十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究

表 ２ 黄 灯 闪 烁 最 短 时 间 表
Ｌ／ｍ
２０ ２５ ３０ ３５ ４０
１．０ ３．５ ３．７ ３．９ ４．１ ４．３
Ｔ１／ｓ
１．５
２．０
４．０
４．５
４．２
４．７
４．４
４．９
４．６
５．１
４．８
５．３
２．５ ５．０ ５．２ ５．４ ５．６ ５．８
由表２可见，绝 大 部 分 情 况 黄 灯 最 小 时 间 都 超过了４ｓ．事 实 上，在 上 式 ａ＝ｆｇ 中，计 算 的 是 紧急刹车的最大 减 速 度，紧 急 刹 车 会 导 致 比 闯 黄
第３５卷 第５期 ２０１１ 年 １０ 月
武 汉 理 工 大 学 学 报 （交 通 科 学 与 工 程 版 ）
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｗｕｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ （Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｓｃｉｅｎｃｅ ＆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ）
Ｖｏｌ．３５ Ｎｏ．５ Ｏｃｔ．２０１１
该亮多长时间才能使停车线附近的车辆安全顺利 地通过路口呢？本文建立了一个有效黄灯时间的 数学模型，并在城 市 道 路 十 字 路 口 黄 灯 时 间 确 定 为 ４ｓ的 情 况 下 ，分 析 车 辆 的 安 全 停 车 距 离 ．
１ 黄灯时间确定的数学模型
１．１ 保 守 黄 灯 时 间 的 数 学 模 型 ［４－６］ 设驾驶员反映时间 Ｔ１，汽车 通 过 十 字 路 口 时
令南向汽车从起步到达 Ａ 点的距离为Ｌ′１，以ｖ２０表
示这段距离的平 均 速 度，则 南 向 汽 车 到 达 冲 突 点
Ａ
所
用
时
间
为２Ｌ′１ ｖ０
．所
以
有
：ｔ１
＝Ｔ′１
＋２ｖＬ０′１
，故
式
（１０）变 为
Ｔ ＝Ｔ１ ＋Ｔ２ ＋Ｔ３ ＝
Ｔ１ ＋Ｉ＋ｖ０Ｌ１ ＋２ｖａ０ － （Ｔ′１ ＋２ｖＬ０′１）＝
Ｔ１ －Ｔ′１ ＋Ｉ＋Ｌｖ１０－２Ｌ′１ ＋２ｖａ０
收 稿 日 期 ：２０１１－０６－１５ 王秀良（１９７６－ ）：男，博士，讲师，主要研究领域为数学史、应用数学
第５期
王 秀 良 ，等 ：十 字 路 口 黄 灯 时 间 及 困 境 区 域 的 数 学 模 型 研 究
· ８９７ ·
设汽车质量为 ｍ，刹车摩擦因数为 ｆ，汽车从 刹车至 停 止 的 行 驶 距 离 为 ｘ（ｔ）．由 牛 顿 第 二 定 律，刹车过 程 应 满 足 如 下 微 分 方 程，其 中 ｇ 为 重 力加速度．
各 种 路 面 与 轮 胎 之 间 的 动 摩 擦 因 数 见 表 １．
表 １ 路 面 与 轮 胎 之 间 的 动 摩 擦 因 数
路面类型 干沥青与混凝土路面 干碎石路面 湿沥青与混凝土路面
Hale Waihona Puke Baidu
动摩擦因数 ０．７０～０．８ ０．６０～０．７ ０．３２～０．４
取ｇ＝１０ ｍ／ｓ２，ｆ＝０．８，由ａ＝ｆｇ，算 得ａ＝ ８ ｍ／ｓ２．
４０ ４．９ ４ ２．７
５０ ４．７ ４ ２．９
中 图 法 分 类 号 ：Ｕ４９１
ＤＯＩ：１０．３９６３／ｊ．ｉｓｓｎ．１００６－２８２３．２０１１．０５．００７
０ 引 言
２００４年颁布的《中华人 民 共 和 国 道 路 交 通 安 全法实施条例》第 ３８ 条 规 定，“绿 灯 亮 时，准 许 车 辆通行，但转弯的 车 辆 不 得 妨 碍 被 放 行 的 直 行 车 辆、行 人 通 行．黄 灯 亮 时，已 越 过 停 止 线 的 车 辆 可 以继续通 行．红 灯 亮 时，禁 止 车 辆 通 行．”［１］近 几 年，国内很多城市 已 经 对 路 口 信 号 灯 灯 序 及 黄 灯 闪烁时间 进 行 了 “标 准 化 ”设 置．以 北 京 市 为 例， ２００７年７月３日，北京市交 管 局 将 机 动 车 信 号 灯 灯序全部统一为“绿 － 黄 － 红 － 绿”，将 黄 灯 过 渡 信 号 时 间 统 一 设 置 为 ４ｓ．这 样 方 便 了 机 动 车 驾 驶 员对信号灯放行 次 序 的 辨 识，驾 驶 员 在 到 达 路 口 前 可 以 预 判 情 况 、控 制 车 速 ，提 高 路 口 通 行 的 安 全 性 ．调 整 后 的 信 号 灯 灯 序 与 国 际 惯 例 保 持 一 致 ，不 同的国家关于黄 灯 时 间 的 设 定 是 不 同 的．美 国 联 邦公路局在２００３年 版 的 《交 通 控 制 设 施 手 册》认 为“黄 灯 持 续 时 间 应 该 在 近 似 ３～６ｓ的 范 围 内， 路口 限 速 越 大，则 可 增 大 对 应 黄 灯 的 持 续 时 间”［２］．德国现 行 的 交 通 控 制 行 业 行 为 规 范 《交 通 信号控制指南》中 关 于 黄 灯 时 间 的 规 定 依 十 字 路 口进口道处不同限速而有所 不 同，黄 灯 时 间 ３，４， ５ｓ对应的限速分别为５０，６０，７０ｋｍ／ｈ［３］．黄 灯 应
十字路口黄灯时间及困境区域的数学模型研究
王秀良 乔 木
（中 国 人 民 公 安 大 学 理 科 基 础 部 北 京 １０００３８）
摘要：城市交通十字路口是冲突交通流汇聚的节点，安全问题 十 分 突 出，黄 灯 在 交 通 信 号 系 统 中 起
着非常重要的作用，黄灯时间的长短设置直接影响城市交通 的 状 况．建 立 保 守 黄 灯 时 间 数 学 模 型 ，
＝０．２ｓ，Δｖ＝１１０ｖ０，Ｉ＝４ｍ，Ｌ＝３０ｍ，Ｔ１＝２ｓ．不
同 车 速 不 同 模 型 的 黄 灯 时 间 见 表 ３．
表 ３ 不 同 车 速 不 同 模 型 的 黄 灯 时 间 比 较 表
以 下 车 速 （ｋｍ·ｈ－１）时 黄 灯 时 间／ｓ
模 型 （７） 北京实际 模 型 （１３）
３０ ５．５ ４ ２．５
间 Ｔ２，距停车线距离的驾 驶 时 间 Ｔ３，则 黄 灯 应 亮 时间为 Ｔ＝Ｔ１＋Ｔ２＋Ｔ３．见图１．
图 １ 车 辆 在 十 字 路 口 的 平 面 示 意 图
又令汽车的行驶 速 度 为 法 定 行 驶 限 速 度ｖ０， 十字路口的长度为 Ｌ，车身长度为Ｉ，则汽车 通 过 十 字 路 口 的 时 间 为 ：Ｔ２＝ （Ｉ＋Ｌ）／ｖ０．
ｘｖ（ｔ０）＝
ｖ０ ２ｆｇ
＝
２ｖａ０ ．
所以黄灯时间理论上的数值应为
Ｔ ＝ Ｔ１ ＋Ｔ２ ＋Ｔ３ ＝ Ｔ１ ＋Ｉｖ＋０Ｌ ＋２ｖａ０ （７）
应用等不等式ａ＋ｂ≥２ 槡ａｂ（ａ≥０，ｂ≥０），得
槡 Ｔ ≥ Ｔ１ ＋
２（Ｉ＋Ｌ） ａ
（８）
当ａ 取最大值时，即汽车紧急制动，所得的时
间 Ｔ 就是黄 灯 应 该 闪 烁 的 最 短 时 间．根 据 资 料，
∫ Ｔ
＝Δ１ｖ
ｖ０＋Δ２ｖ ｖ０－Δ２ｖ
Ｔ（ｖ）ｄｖ
＝
Ｔ１
－Ｔ′１
＋
ｖ０ ２ａ
＋Ｉ＋ＬΔ１ｖ－２Ｌ′１ｌｎ２２ｖｖ００
＋ －
Δｖ Δｖ
（１２）
根据城市路面十字路口的实际情况，令 Ｌ１ ＝
２３Ｌ东西 ，Ｌ′１ ＝ １３Ｌ南北 ，则式（１２）变为
Ｔ ＝Ｔ１ －Ｔ′１ ＋２ｖａ０ ＋
Ｉ＋
２ ３
（Ｌ东 西 Δｖ
号，令停车线与 Ａ 点 的 距 离 为Ｌ１，因 此 黄 灯 时 间 计算公式改变为
Ｔ ＝ Ｔ１ ＋Ｔ２ ＋Ｔ３ ＝ Ｔ１ ＋Ｉ＋ｖ０Ｌ１ ＋２ｖａ０ （９）
进一步考察 黄 灯 时 间，发 现 只 要 东 西 向 的 车 辆在南北向的车辆到达可能冲突点 Ａ 之前汽车 通过可 能 冲 突 点 Ａ 就 可 以 了，故 式 （９）进 一 步 修
烄ｍ
ｄ２ ｘ ｄＴ２
＝－ｆｍｇ
（１）
烅
ｄｘ ｄｔ
＝ｖ０
ｔ＝０
烆 ｘ（０）＝０
对 式 （１）积 分 ，将 初 始 条 件 （２）代 入 ，得
（２） （３）
ｄｘ ｄｔ
＝－ｆｇｔ＋ｖ０
当 汽 车 在 停 车 线 前 停 止 时 ，由 式 （４）得
（４）
ｔ１
＝ ｖ０ ｆｇ
对 式 （４）再 积 分 ，将 式 （３）代 入 ，得
通过逐步修订，建立了更符合实际情 况 的 有 效 黄 灯 时 间 的 数 学 模 型 ，并 在 城 市 道 路 十 字 路 口 黄 灯
时间确定为４ｓ的情况下，对安全停车距离进行了分析，指出困境区域的存在性与进行深 入 研 究 的
必要性．
关 键 词 ：交 通 工 程 ；黄 灯 时 间 模 型 ；运 动 学 方 程 ；有 效 黄 灯 时 间 ；困 境 区 域 ；安 全 停 车 距 离
（５）
ｘ（ｔ）＝－ １２ｆｇｔ２ ＋ｖ０ｔ
（６）
将 式 （５）代 入 式 （６），得 到 停 车 距 离
ｘ（ｔ１）＝－
１２ｆｇ（ｆｖｇ０ ）２
＋ｖ０
ｖ０ ｆｇ
＝
ｖ２０ ２ｆｇ
故有 Ｔ３
＝
ｘｖ（ｔ０）＝
ｖ０ ２ｆｇ
．
当汽车 开 始 减 速 时，设 汽 车 的 减 速 度 为 ａ
（ｍ／ｓ２），则 有 ｍａ＝ｆｍｇ，即 ａ＝ｆｇ，所 以 Ｔ３ ＝
（１１）
图 ３ 修 正 前 后 交 叉 口 通 过 距 离 对 比 示 意 图
另外，在黄灯 时 间 的 保 守 数 学 模 型 中 把 驾 驶
员的速度设为常数ｖ０ 也是不合实际 的．设 汽 车 驶
入路口的速度ｖ 服从区间［ｖ０－Δ２ｖ，ｖ０＋Δ２ｖ］上 的
均 匀 分 布 ，则 式 （１１）的 黄 灯 时 间 改 变 为
停车线．但实际上，式 （７）的 黄 灯 时 间 相 对 比 较 保 守；（２）速 度 始 终 为 一 个 定 值，这 也 与 实 际 情 况
不符． １．２ 有 效 黄 灯 时 间 的 数 学 模 型 ［７－１１］
见图２，汽车只要通过冲突点 Ａ 就可以了，而
没有必要 等 到 车 辆 完 全 通 过 路 口 才 结 束 黄 灯 信
驾驶员的反应时 间 Ｔ１ 的 确 定 是 一 个 比 较 复 杂的问 题．速 度、时 间、道 路、位 置 空 间 等，都 是 驾
驶员安全考虑并 进 行 分 析 判 断 的 因 素．另 外 反 应 时间也与驾驶员 的 年 龄，以 及 城 市 交 通 情 况 繁 杂
多 变 和 危 险 情 况 有 关 ．根 据 目 前 已 有 的 研 究 成 果 ， ８５％的驾驶员感知时 间 值 在 １～１．８ｓ，对 于 一 些 年老的驾驶员，反应 时 间 一 般 不 小 于 ２．５ｓ．根 据 美国各州公路和 交 通 工 作 者 协 会 建 议，对 所 有 车
速在确定安全停车 距 离 时，反 应 时 间 用 ２．５ｓ，在 确定交叉口时距时，反 应 时 间 用 ２．０ｓ．本 文 将 反 应时间设为 １～２．５ｓ，典 型 车 身 长 度 为Ｉ＝４ ｍ， 路口宽度 Ｌ 设为２０～４０ ｍ．不 同 反 应 时 间、不 同 路 口 宽 度 下 ，模 型 （７）算 出 的 黄 灯 时 间 见 表 ２．
灯 更 大 的 危 险 ．研 究 表 明 ，９０％ 的 驾 驶 员 会 以 不 大 于ａ＝３．４ ｍ／ｓ２ 的 减 速 度 减 速，这 个 减 速 度 能 够
使驾驶员在潮湿的路面上刹车时保持驾驶控制． 以ａ＝３．４ ｍ／ｓ２，算 得 上 表 中 最 短 的 黄 灯 时 间 也 超过了４ｓ．仔细考 察 式（７）发 现 其 确 定 的 黄 灯 时 间太过理 想 化，其 中 存 在 以 下 几 个 问 题：（１）式 （７）中的黄灯时 间 虽 然 有 效 避 免 了 相 邻 相 位 车 流 间的相互干扰，当 红 灯 亮 时 汽 车 的 尾 部 刚 好 通 过
－Ｌ南
北
） ｌｎ２２ｖｖ００
＋ －
Δｖ Δｖ
（１３）
式 （１３）表 明 黄 灯 时 间 的 确 定 主 要 由 以 下 几 个
因 素 决 定 ：刹 车 反 应 时 间 与 起 步 反 应 时 间 的 差 ；两
个 方 向 路 口 的 宽 度 差 ；路 口 的 限 速 度 ．
令ａ＝３．４ ｍ／ｓ２，Ｌ东西 －Ｌ南北 ＝８ ｍ，Ｔ１ －Ｔ′１
正为
Ｔ ＝ Ｔ１ ＋Ｔ２ ＋Ｔ３ ＝ Ｔ１ ＋Ｉ＋ｖ０Ｌ１ ＋２ｖａ０ －ｔ１ （１０）
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武 汉 理 工 大 学 学 报 （交 通 科 学 与 工 程 版 ）
２０１１ 年 第 ３５ 卷
图 ２ 相 邻 相 位 下 冲 突 点 产 生 过 程 示 意 图
式中：Ｔ１ 为南向驾驶员看到绿灯 亮 时 的 起 步 反 应 时间 Ｔ′１ 与汽车从停车线到达冲 突 点 Ａ 所 用 的 时 间，见图３，假 定 汽 车 起 步 时 为 匀 加 速 直 线 运 动，