《多元正态分布》PPT课件 (2)

)
~
N
p
0,
I
6．设 x ~ N p (, ), >0 ，则
(x ) 1(x ) ~ 2 ( p)
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7．设 x ~ N p (, ) ，对 x, , ( 0) 作如下剖分
x
x1 x2
k p
k
,
1 2
k p
k
,
11 21
k
12 k
22
p
k
pk
则子向量 x1 和 x 2 相互独立 12 0
u的分布称为均值为0，协方差矩阵为I 的p 元正态分布，记作
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u ~ N p (0, I )
设p 维随机向量 u ~ Np (0, I ) ，下面考虑 u 的一个非退化
变换 x A u 的分布，这里 App 0
x 的均值和协方差矩阵分别为
E(x) AE(u)
V (x) AV (u)A AA
24
34 44
则
(1) xi ~ N (i ,ii ), i 1, 2,3, 4;
(2)
x1 x4
~
N2
1 2
,
11 41
14 44
;
(3)
x4 x1
~
N3
4 1
,
44
14
41 11
43 13
.
x3
3 34 31 33
阵，则 x A u 的分布称为 p 元正态分布，记作
x ~ N p (, ) 其中 AA. 若 rank(A) = p ，则 1 存在，此时x的分布
称为非退化的p元正态分布；若 rank(A) < p ，则 1 不存在， 此时x的分布称为退化的p元正态分布，不存在概率密度.
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1
x2
e2
2
x
3、标准正态分布与一般正态分布之间的关系
记 u ~ N (0 ,1 )，则 x=+ u ~ N ( , 2 )
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二、多元正态分布的定义
iid
定义3.2 设p 维随机向量 u (u1,u2, , up ), u1,u2, ,up ~ N(0,1)
则 u 的密度函数为
第三章 多元正态分布
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第一节 多元正态分布的定义
一、一元正态分布回顾
一个游戏：高尔顿钉板游戏 考察某一学科考试成绩的分布 考察人类身高的分布情况 思考：以上分布具有什么样的特点？
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1、一元正态分布的定义
定义3.1 若r.v. x 的密度函数为
f (x)
1
e
(
注意：性质3说明了多元正态分布的任何边际分布仍为多 元正态分布，但反之不成立。
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例 3.2.4 设 x ~ N4 (, ) ，这里
x1
1
11 12 13 14
x
x2 x3 x4
，
2 3 4
，
21
31 41
22 32 42
23 33 43
f (u)
p i1
(2
)1
2
exp
1 2
ui2
(2 ) p
2
exp
1 2
p i 1
ui2
(2Βιβλιοθήκη Baidu
)
p
2
exp
1 2
uu
,
ui ,i 1, 2, , p
u的均值和协方差矩阵分别为
E(u) (E(u1), E(u2 ), , E(up )) 0
V (u) diag(V (u1),V (u2), ,V (up )) I
注意：性质7说明了多元正态变量的子向量之间互不相关 和独立是等价的。
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例 3.2.5 设 x ~ N3(, ) ，其中
3 0 0
0
5
1
0 1 1
则
(1) x2和x3不独立
x 的密度函数为
f
(x)
(2
)
p
2
exp
1 2
uu
J(u x)
(2
) p
2
exp
1 [A1(x 2
)][A1 (x
)]
1
2
(2 ) p
2
1 2
exp
1 (x 2
) 1 ( x
)
,
（3.1.5）
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x的分布称为非退化的p 元正态分布，记作 x ~ N p (, )
更一般的，设p 维随机向量 u ~ Np (0, I ) ， Apq为常数矩
x )2 2 2
2
x
其中, 为常数， 0
亦称高斯 (Gauss)分布
则称 x 服从参数为 , 2 的正态分布，记作 x ~ N ( , 2 )
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2、标准正态分布 =0 , =1 的正态分布称为标准正态分布，记作 x ~ N (0 ,1 )
密度函数记为
(x)
x1 1 1
2
2
x1 1 1
x2 2 2
x2 2 2
2
,
x1, x2 .
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第二节 多元正态分布的性质
1. 设x是一个p 维随机向量，则x服从多元正态分布，当且 仅当它的任何线性组合 a’x( a 为p 维常数向量 )均服
从 一元正态分布。
2．设 x ~ N p (, ), y Cx b ，其中 C 为 r p 常数矩阵，b 为 r 维 常数向量，则 y ~ Nr (C b,CC)
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例 3.2.2 设 x ~ N p (, ) ，a 为 p 维常数向量,写出 ax 的分布．
解 ax ~ N(a, aa)
例3.1.1(二元正态分布) 设 x (x1, x2 ) ，~ N这2 (里, )
1 2
,
2 1
1 2
1 2
2 2
.
试写出x的概率密度的表达式，并观察其图像。
解 x的概率密度为
f
(x)
(2 )2
2
1 2
exp
1 2
(x
)1(x
)
1
21 2
1
2
exp
1
2(1 2 )
例 3.2.3 设 x (x1, x2 ) ~ N2 (, ) ，这里
1 2
,
12 1
2
1
2 2
2
.
试写出x1–x2的分布。
解
x1
x2
~
N (1
2 ,12
2 2
21 2 )
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3．设 x ~ N p (, ) ，则 x 的任何子向量也服从（多元）正态分布，
其均值为 的相应子向量，协方差矩阵为 的相应子矩阵。
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4．设 x1, x2 , , xn 相互独立，且 xi ~ N p (i , i ), i 1, 2,
任意 n 个常数 k1，k2，… kn，有
n
ki xi
~
Np
n
kii ,
n
ki2i
i1
i1
i1
, n ，则对
5．设 x ~ N p (, ), >0 ，则
1
2
(x