专题14 二次函数及其应用(解析版)

专题14 二次函数及其应用

1. 二次函数y ＝x 2

－2x ＋4化为y ＝a(x －h)2

＋k 的形式，下列正确的是( )

A . y ＝(x －1)2＋2

B . y ＝(x －1)2＋3

C . y ＝(x －2)2＋2

D . y ＝(x －2)2＋4

【答案】B

【解析】y ＝x 2

－2x ＋4＝x 2

－2x ＋1＋3＝(x －1)2

＋3. 2.对于二次函数y ＝－14

x 2

＋x ＋4，下列说法正确的是( )

A . 当x>0时，y 随x 的增大而增大

B . 当x ＝2时，y 有最大值－3

C . 图象的顶点坐标为(－2，－7)

D . 图象与x 轴有两个交点

【答案】 D

【解析】y ＝－14x 2＋x ＋4＝－14(x －2)2

＋5，∴当0＜x ＜2时，y 随x 增大而增大，当x

＞2时，y 随x 增大而减小，故A 错误；因为抛物线开口向下，所以当x ＝2，y 有最大值是5，故B 不正确；图象的顶点坐标是(2，5)，故C 不正确；∵b 2

－4ac ＝5>0，∴抛物线与x 轴有2个交点，故D 正确，故答案为D.

3. 二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c(a ≠0)图象上部分点的坐标(x ，y)对应值列表如下：

x … －3 －2 －1 0 1 … y

…

－3

－2

－3

－6

－11

…

则该函数图象的对称轴是( )

A . 直线x ＝－3

B . 直线x ＝－2

C . 直线x ＝－1

D . 直线x ＝0

【答案】B

【解析】由表格的数据可以看出，x ＝－3和x ＝－1时y 的值相同都是－3，所以可以判断出，点(－3，－3)和点(－1，－3)关于二次函数的对称轴对称，利用公式x ＝x 1＋x 2

2

可

求出对称轴为直线x ＝

x 1＋x 22

＝

－3－12

＝－4

2

＝－2.故选B.

4.A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2

＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3，的大小关系为( )

A . y 1>y 2>y 3

B . y 1>y 3>y 2

C . y 3>y 2>y 1

D . y 3>y 1>y 2

第4题解图

【答案】A

【解析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A 的对称点A ′，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小．∵函数的解析式是y ＝－(x ＋1)2

＋a ，如右图，

∴对称轴是x ＝－1，∴点A 关于对称轴的点A ′是(0，y 1)，那么点A ′、B 、C 都在对称轴的右边，而对称轴右边y 随x 的增大而减小，于是y 1＞y 2＞y 3.故选A.

5.将抛物线y ＝x 2

－4x －4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为( )

A ．y ＝(x ＋1)2－13

B ．y ＝(x －5)2－3

C ．y ＝(x －5)2－13

D ．y ＝(x ＋1)2－3

【答案】D

【解析】将抛物线y ＝x 2

－4x －4化为顶点式：y ＝(x －2)2

－8，根据“左加右减、上加下减”的原则可得y ＝[(x ＋3)－2]2

－8＋5＝(x ＋1)2

－3，故选D.

6.若二次函数y ＝ax 2

－2ax ＋c 的图象经过点(－1，0)，则方程ax 2

－2ax ＋c ＝0的解为( )

A . x 1＝－3，x 2＝－1

B . x 1＝1，x 2＝3

C . x 1＝－1，x 2＝3

D . x 1＝－3，x 2＝1

【答案】C

【解析】将二次函数化为顶点式得y ＝a (x －1)2

＋c －a ，∴对称轴为直线x ＝1，∴方程满足

x 1＋x 2

2

＝1，解得x 2＝3，即方程的另一解为3.∴方程的两个根为x 1＝－1或x 2＝3.

7. 已知一次函数y 1＝ax ＋c 和反比例函数y 2＝b

x 的图象如图所示，则二次函数

y 3＝ax 2

＋bx ＋c 的大致图象是( )

第7题图

第8题图

【答案】B

【解析】由一次函数图象经过一、二、四象限可知，a <0，c >0，由反比例函数图象位于第二、四象限知，b <0，由a <0，b <0，可得抛物线的开口向下，对称轴在y 轴的左边，再由

c >0可知，抛物线与y 轴相交于正半轴，符合这些情况的只有B ，故选B.

8. 在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2

＋2x －3的图象如图所示，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是该二次函数图象上的两点，其中－3≤x 1＜x 2≤0，则下列结论正确的是( )

A . y 1＜y 2

B . y 1＞y 2

C . y 的最小值是－3

D . y 的最小值是－4

【答案】D

【解析】因为y ＝x 2

＋2x －3＝(x ＋1)2

－4，所以函数的对称轴是x ＝－1，最小值为－4，故D 正确，C 错误，在－3≤x ≤0上，函数增减性无法确定，故A 、B 错误．

9. 抛物线y ＝x 2

＋bx ＋c(其中b ，c 是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则c 的值不可能是( )

A . 4

B . 6

C . 8

D . 10 【答案】A

【解析】由题知，对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则有1≤－b

2≤3，可得－6≤b

≤－2，由二次函数过A (2，6)，代入得：4＋2b ＋c ＝6，∴6＝2－c 2，∴－b ≤2－c

2≤－2，

解得6≤c ≤14，所以c 的值不可能是4.

10. 已知抛物线y ＝－x 2

－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，将这条抛物线的顶点记为C ，连接AC 、BC ，则tan ∠CAB 的值为( )

A . 1

2 B .

55 C . 255

D . 2

第10题解图

【答案】D