电工电子学第三章魏红-张畅教学内容

T Ri2dtRI2T 0
（3.1.3）
对于正弦电流 的有效值为
I
1 T
T 0
[I
m
sin(t
i
)]
2
dt
（3.1.4）
1 T
T 0
1 2
I
2
m
[1
cos
2(t
i
)]dt
Im 2
同理，正弦电压和正弦电动势的有效值：
U Um
2
E Em
2
（3.1.5） （3.1.6）
2
可见，交流电的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内积分的平 均值再取平方根。所以有效值也称为方均根值。有效值用大写字母表 示。虽然与表示直流的字母相同，但物理含义不同。
的关系。二是电路中能量的转换和功率的问题。
3.2.1 纯电阻交流电路
图3.2.1 电阻元件的交流电路
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设电流为参考正弦量。即 iImsi nt
则有 u R R im sIit n U m sitn （3.2.1）
可见,电阻上的电流 与它两端的电压 是同频率同相位的正弦量。如图 3.2.1（b）所示，它们间的大小关系为
2. 周期、频率和角频率
正弦量重复变化一次所需要的时间称为周期, 用T表示，单位为s（秒 ）。每秒内重复变化的次数称为频率，用 f表示，单位为 （赫兹）。
周期与频率互为倒数关系，即：
f
1
（3.1.7）
我国电厂生产的交流电频率为 ，这一T频率称为工业标准频率，简称
工频。
正弦量每重复变化一次，相当于变化了 弧度。为了避免与机械角度 混淆，这里称为电角度。正弦量每秒变化 次，则每秒变化的电角度 为 弧度。即每秒变化的弧度数称为正弦量的角频率或电角速度，单 位为 （弧度/秒）。
电工电子学第三章魏红-张畅
通常用有效值来表示正弦量的大小。
有效值是从电流热效应的角度规定的。设一个交流电流 和某个直流
电流 分别通过阻值相同的电阻 ，并且在相同的时间内（如一个周期
）产生的热量相等，则这个直流电流 的数值叫做交流电流 的有效值
，按此定义，有：
即
I 1 T i 2 dt T0
向下
设电流为参考正弦量，即
9
iImsi nt
则有
uLd(Im d sitn t)Lm Ico ts
L m sIit n 9 ) ( 0 U m sit n 9 ) (0 （3.2.6）
可见，电压和电流是同频率的正弦量，其波形如图3.2.2（b）所示 。它们之间的关系为
相位关系 电压超前电流
量在 t 0时刻的值，即初始值。初相位与计时起点的选择有关，计 时起点选的不同，正弦量的初相位就不同，正弦量的初始值也就不同
。
在同一个交流电路中，电压 u和电流i 的频率是相同的，但初相
位不一定相同。两个同频率正弦量的相位之差称为相位差。用 表示
。如图3.1.3所示。
图3.1.3 初相不等的正Baidu Nhomakorabea量
4
p ui U msint I msint
2UIsin 2 t
（3.2.4）
1 2UmIm
(1
cos 2t )
UI (1 cos2t)
由瞬时功率 的表达式和波形图可知，除了过零点外，其余时间均为 正值。即 p≥0，这说明电阻元件从电源取用电能，并将电能转换为 热能，这是一种不可逆的能量转换过程。所以电阻元件是耗能元件。
Um RIm 或 Um U R
Im I
（3.2.2）
若用相量表示，则有
．
U Uej0
．
I Iej0
．
U Uej0
． I
Iej0
Uej0 I
R
即
．
．
U RI
同理有
．
．
Um RIm
（3.2.3）
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交流电路的电压和电流是随时间变化的，故电阻所消耗的功率也随时 间变化。在任一瞬间，电压瞬时值与电流瞬时值的乘积称为瞬时功率 。用小写字母 p表示。即
（3.1.8）
2πf 2π
T
3
3. 相位、初相位和相位差
在正弦量的表达式uU msi nt (u)，iImsi nt (i) 中， (t u) 和
(ti) 都是随时间变化的电角度，称为正弦量的相位或相位角，它 反映了正弦量的变化进程。相位的单位是弧度，也可用度。
t 0 时的相位叫做正弦量的初相位或初相位角。初相位确定了正弦
正弦量的相量表示法的实质是用复数来表示正弦量，它简化了正弦量 之间的运算问题，是分析正弦交流电路的有利工具。
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正弦量由幅值、角频率、初相位三要素来确定。而平面坐标内的一个
旋转矢量可以表示出正弦量的三要素，因此旋转矢量可以表示正弦量
。
3. 2 纯电阻、纯电感、纯电容单相正弦交流电路
交流电路的分析主要有两个方面，一是确定电路中电压与电流
上图两正弦量的相位差为：
( t u ) ( t i) u i （3.1.9）
上式表明，两个同频率正弦量之间的相位之差并不随时间改变，它等
于两者的初相位之差。当计时起点改变时，正弦量的相位和初相位跟
着改变，但两者之间的相位差保持不变。
3.1.2 正弦交流电的表示法
1．瞬时值表示法
三角函数表示法和波形图表示法能完整和准确地表示正弦量的
．
，则有 U Uej90
；．
I Iej0
即
．
U Uj9 e0
I．Iej0
Uej90 I
j
LjXL
大小关系 或
UmLIm
Um U L
Im I
（3.2.7）
当电感电压一定时， 愈大，流过电感的电流愈小。可见 L 具有阻碍
交流电流的性质。因而称之为感抗，单位为 （欧姆），用 X L 表示
。即
XLL2fL
（3.2.8）
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应当注意，感抗只是电感电压与电流的幅值或有效值之比，而不是瞬
时值之比，这与电阻电路不同。若用相量表示电感电压与电流的关系
瞬时功率只能说明功率的变化情况，实用意义不大。通常所说电路的 功率是指瞬时功率在一个周期内的平均值，称为平均功率，用大写字 母 P表示。即
P1Tpd 1tTU(1 Ico 2 ts)dt
T0
T0
(3.2.5)
8
3.2.2 纯电感交流电路
图3.2.2 电感元件的交流电路
图3.2.2（a）所示为一电感元件的交流电路。在图示的关联参考方
特征，而且波形图表示法能直观地表示正弦量的变化过程，特别是便
于比较几个正弦量之间的相位关系。它们都是瞬时值表示法。
如果用三角函数式进行计算，虽然运算结果准确，但计算过程
非常繁琐；用正弦波形合成的方法，既繁琐也不准确。为了方便地分
析计算正弦交流电路，引入了正弦量的另一种表示法――相量表示法
。
2．相量表示法