第六章 格代数
离散数学第6章 格与布尔代数

6-1 格的概念
5)下面证明 a∧b=aa∨b=b 若a∧b=a 则 a∨b=(a∧b)∨b=b 反之,若a∨b=b 则 a∧b=a∧(a∨b)=a
b用a∨b代替(∵两式中b是相互独立的) ∴a∨(a∧(a∨b))=a 即 a∨a=a. (2)格的等价定理:〈A,∨,∧〉代数系统,∨.∧满足交换性, 结合性,吸收性,则A上存在偏序关系≤,使〈A,≤〉是一个格
从格可引出代数系统〈A,∨,∧〉; 而从满足三个条件的〈A,∨,∧〉也可导出格〈A,≤〉 证明见书:(格中⑻⑼⑾三个性质很重要,决定了格)
(11) 要证 a≤a∨(a∧b) 第一式显然成立
a∨(a∧b)≤a
a≤a
a∧b≤a
∴a∨(a∧b) ≤a
∴a=a∨(a∧b)
6-1 格的概念
6、格的等价原理:格〈A,≤〉 (1)引理6-1.1:〈A,∨,∧〉代数系统,若∨, ∧满足吸收性,
则∨, ∧满足幂等性 证:a,b∈A. a∨(a∧b)=a a∧(a∨b)=a.
第六章 格与布尔代数
格论是近代数学的一个重要分支,由它所引出的布尔 代数在计算机科学中有很多直接应用。
格的概念 分配格 有补格 布尔代数 布尔表达式
6-1 格的概念
1、回忆偏序集〈A,≤〉,≤偏序关系:满足自反性,反对称性, 传递性。有限集合上的偏序集可用哈斯图来表示:
COV (A) {a,c, b,c, c, d, d,e, d, f }
∧也易求得 ∴ A,∨,∧〉是格〈A,|〉 诱导的代数系统
6-1 格的概念
《离散数学及其应用》魏雪丽第6章 格与布尔代数

6.1.1 格的概念(lattices) 格的概念( ) 虽然偏序集合的任何子集的上确界、 虽然偏序集合的任何子集的上确界、下确界并不一 定都存在,但存在,则必唯一, 定都存在,但存在,则必唯一,而格的定义保证了 任意两个元素的上确界、下确界的存在性。 任意两个元素的上确界、下确界的存在性。因此我 们通常用a∨b表示 ,b}的上确界,用a∧b表示 , 表示{a, 的上确界 的上确界, 表示{a, 们通常用 ∨ 表示 ∧ 表示 b}的下确界,即 的下确界, 的下确界 a∨b=LUB{a,b}(Least upper bound), ∨ ( ) a∧b=GLB{a,b}(Greatest lower bound), ∧
LUB{a, b} = LUB{a, b}, GLB{a, b} = GLB{a, b}
L B L B
为此我们考察下面的例子。 为此我们考察下面的例子。 如图6.1.4), 取 【例6.1.4】设〈A,≤〉是一个格 如图 】 , 〉是一个格(如图
B1 = {b, d , h}, B2 = {a, b, d , h}, B3 = {a, b, d , f } B4 = {c, e, g , h}, B5 = {a, b, c, d , e, g , h},
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第6章 格和布尔代数 章
6.1.1 格的概念(lattices) 格的概念( )
表示正整数集, ”表示Z 上整除关系, (3)设Z+表示正整数集,“|”表示 +上整除关系,那么 ) 〈 Z+ ,|〉为格,其中并、交运算即为求两正整数最小公倍数 〉为格,其中并、 和最大公约数的运算, 和最大公约数的运算,即 m∨n=LCM(m,n) m∧n=GCD(m,n), ∨ = ( ) ∧ = ) 由〈 Z+ ,|〉所诱导的代数系统为〈 Z+ , ∨,∧ 〉。 〉所诱导的代数系统为〈 (4)任一全序集〈A, 〉是一个格。因为 a,b ∈A, )任一全序集〈 , 是一个格。 , ∀
第6章代数

第六章 代 数 例3 (a) 考虑具有〈N, +, 0〉形式的构成成分和下述公理的代数类。 (1) a+b=b+a (2) (a+b)+c=a+(b+c) (3) a+0=a
那么〈I, ·, 1〉, 〈ρ(S), ∪, 和〈R, min, +∞〉(这里R是
包含+∞的非负实数)等, 都是这一种类的成员。
而每一非0元素 x 的逆元是(k - x) 。
第六章 代 数
(g) 设Nk是前k个自然数的集, 这里k≥2, 定义模k乘法×k如下:
x×ky = z
这里z∈Nk, 且对某一n, xy – z = nk。
即 xy/k = n …… z (余 )
( --------用于计算)
结论:
① 1是幺元 。
② 有逆元仅当x和k互质。
第六章 代 数
③ (G除去幺元b,剩下a与c ) 经考察发现:
运算表中a所在行与c 所在列的交叉元素,
以及c所在行与a所在列 的交叉元素都是幺元b。
故a与c互 逆 。
*a b c aa a b ba b c cbc c
第六章 代 数
(e) 考虑在函数的合成运算下,集合A上的所有函数的集合F。
那么恒等函数IA 是幺元,每一双射函数有一逆元。 (f) 设 Nk 是前k 个自然数的集合, 这里 k ﹥ 0 ,
在运算表中, x0所在行与列的元素,分别与表头的行与
列的元素一一对应相同 。 结论2: 在运算表中,某元素 y0 ∈ A是运算*的零元
在运算表中, y0所在行与列的元素都是y0
结论3: 运算*满足交换律
运算表中的元素 关于主对角线对称
地六章-格和布尔代数(1)

定义6.7 集合 L 中的偏序关系 R 与其逆关系 R1,称为互 相对偶的两个关系。 对任意 x, y∈L,xR1y yRx。 6.1.1 节例 6.4 中的 关系即为蕴涵关系 的逆关系。 因此,对任意 P, Q∈S, (P Q) (Q P)
【例6.7】设 n 是一个正整数,Sn 是 n 的所有因数的集合, 两个正整数的最大公因数 ,最小公倍数 可看作是 Sn 上两个代数运算,于是,(Sn, , ) 是一个格。
定理6.1 关于格的两种定义(以对应一个代数格;任意一个代 数格也都可以对应一个偏序格。
定义中没有要求 , 运算满足等幂律,实际上由 , 满足吸收律即可推出它们一定满足等幂律。任取 L 中元素
a,由 , 满足吸收律知
a(aa)=a
a(aa)=a
故
aa=a(a(aa))
aa=a(a(aa))
又由 , 满足吸收律知,上面两式的等式右端都等于 a。
因此,
aa=a
aa=a
即定义 6.3 中的 , 运算亦满足等幂律。
【例6.4】设 S 是所有的命题集合,定义 “” 关系如下: A B 当且仅当 B 蕴涵 A
则 (S, ) 是一个格。对 A, B∈S, sup{A, B}=A∧B∈S inf{A, B}=A∨B∈S
定义6.2 若格 L 的一个子集 M≠Ф 对于运算 和 封闭, 则 M 称作子格。
例如:a 是格 L 的一个固定元素,则使 X≥a(或 X≤a) 的 L 中元素 X 的集合,显然是一个子格。若 a≥b,则使 a≥X≥b 的 L 中元素 X 的集合是一个子格,这样的子格 叫作一个闭区间(商),记作 M(a,b)。
例如,S6={1, 2, 3, 6}, S24={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}。
中北大学 离散数学第六章 格和布尔代数

16
§6.3 有补格
[定理]如果<L,≤>是有界格,全上界和全下界分别 是1和0,则对任意元素aL,有: a1=1a=1 ,a1=1a=a, a0=0a=a ,a0=0a=0。 证明:因为1≤a1, 又因(a1)L且1是全上界,∴a1≤1, ∴ a1=1。由交换律:1a=a1=1。 因为a≤a,a≤1,∴a a≤a1,即:a≤a1, 又a1≤a, ∴ a1=a。仿此可得另两式。
3
§6.1 格的概念
例:以下均为偏序集合格(D为整除关系,Sn为n的因 子集合)。
4
§6.1 格的概念
2.代数系统格 L, [定义]设 是一个格,如果在A上定 义两个二元运算和,使得对于任意的a,bA, ab等于a和b的最小上界,ab等于a和b的最大 下界,那么就称<L, ,L,> 为由格 所诱导的代数系统。
2
§6.1 格的概念
1.偏序集合格 L, [定义]格是一个偏序集合 ,其中每一对元素 a, b L 都拥有一个最小上界和最大下界。通常用 a b表示a和b的最大下界,用 a b 表示a和b的最 小上界。即: GLB{a, b} a b ——称为元素a和b的保交运算,
LUB{a, b} a b ——称为元素a和b的保联运算。
20
§6.3 有补格
[定理]在有界分配格中,若有一个元素有补元,则 必是唯一的。 证明:
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§6.4 布尔代数
[定义]一个有补分配格称为布尔格。
[定义]一个格<L,≤>如果它既是有补格,又是分配格, 则它为有补分配格。我们把有补分配格中任一元 素a的唯一补元记为a。 讨论定义: (1)布尔格中,每个元素有唯一的补元。 (2)我们可以定义L上的一个一元运算,称为补运算, 记为“-”。
离散数学_第06章代数结构概念及性质

【例】(1)以实数集 R 为基集,加法运算" +"为二元,运算组成一代数系统,记为〈R, +〉。 (2)以全体n×n实数矩阵组成的集合 M为基集,矩阵加"+"为二元运算,组成一代 数系统,记为〈M,+〉。 (3)设 S A { | 是集合A上的关系}, “ ” 是求复合关系的运算。它们构成代数 系统S A , 。
有了集合上运算的概念后,便可定义代数结
构了。
定义6.1.2 设S是个非空集合且fi是S上的 ni元运算,其中i=1,2,…,m。由S及f1, f2,…,fm组成的结构,称为代数结构,记 作<S,f1,f2,…,fm>。
此外,集合S的基数即|S|定义代数结构 的基数。如果S是有限集合,则说代数结构 是有限代数结构;否则便说是无穷代数结构。
分配律,或者⊙对于○是可左分配的,即
(x)(y)(z)
(x,y,z∈S→x⊙(y○z))=(x⊙y)○(x⊙z))。
运算⊙对于○满足右分配律或⊙对于○是可 右分配的,即(x)(y)(z) (x,y,z∈S→(y○z)⊙x=(y⊙x)○(z⊙x)) 类似地可定义○对于⊙是满足左或右分配律。 若⊙对于○既满足左分配律又满足右分配律, 则称⊙对于○满足分配律或是可分配的。同样可 定义○对于⊙满足分配律。
x为关于⊙的右逆元:=(y)(y∈S∧y⊙x=e);
x为关于⊙可逆的:=(y)(y∈S∧y⊙x=x⊙y=e)
给定<S,⊙>及幺元e;x,y∈S,则 y为x的左逆元:=y⊙x=e
y为x的右逆元:=x⊙y=e
y为x的逆元:=y⊙x=x⊙y=e
显然,若y是x的逆元,则x也是y的逆元,
因此称x与y互为逆元。通常x的逆元表为x-1。
第六章 格与布尔代数

21
4. 格的半分配律
格中一般地不满足分配律
定理6-1.5:设<A, ≼>是一个格,对任意的a,b,c,d∈A,都有 (1) a∨( b∧c) ≼ (a∨b)∧( a∨c) (2) (a∧b)∨( a∧c) ≼ a∧( b∨c) 证明:(1)因为a≼a∨b,a≼a∨c, 所以a∧a≼(a∨b)∧(a∨c) 又a=a∧a,故a≼(a∨b)∧(a∨c) 又因b≼a∨b,c≼a∨c,所以由保序性 b∧c≼(a∨b)∧(a∨c) 故(a∨b)∧(a∨c)是a和b∧c的上界, 所以a∨(b∧c)≼(a∨b)∧(a∨c)
由(3)(4)式 a∨a=a, ∨满足等幂性。 同理可证:∧都满足等幂性。
2
回顾
1. 极大(极小)元: B⊆A,b∈B,B中无元素x满足b≺x (x≻b)。 不一定存在;若存在也不一定唯一。 2. 最大(最小)元: a B⊆A,b∈B,B中每一元素x都满足x≼b (b≼x)。 不一定存在;若存在也不一定唯一。 3. 上界(下界 ): B⊆A,a∈A,B中每一元素x有x≼a (a≼x)。 不一定存在;若存在也不一定唯一。 4. 最小上界、最大下界。不一定存在;若存在则必唯一。
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四、格的代数结构
根据前面的讨论: 格<A, ≼>可以诱导出具有结合律、交换律、吸收律的两个 代数运算∨和∧的代数系统<A,∨,∧> 。
反之,什么样的代数系统<A,*, °> 可确定一个格。 一个代数系统<A,*, °>,如果运算*和°满足结合律、交 换律、吸收律,则可诱导出一个格<A, ≼>,其中偏序 ≼ 定 义为:a ≼b ⇔ a°b=a, 或 a ≼b ⇔ a*b=b
例:<I+, |>是偏序集。 最小上界:两个元素的最小公倍数; 最大下界:两个元素的最大公约数。 <I+, |>是格.
高等代数第六章

3)如果 σ 、τ都是双射,那么 g 也是双射,并且
g 1 ( ) 1 1 1
§2.线性空间的定义和简单性质
线性空间的定义 线性空间的简单性质
引例1 对于数域P上的n维向量空间Pn,定义了两个向 量的加法和数量乘法: (a1 , a2 , , an ) (b1 , b2 , , bn ) (a1 b1 , a2 b2 , , an bn )
2) M 中元素的象要唯一、且M´中每个元素都要有象.
3) M 中不同元素的象可能相同. 4) 函数可以看成是映射的一个特殊情形:任意一个 在实数集R上的函数 y=f(x)都是实数集R到自身 的映射. Ex
4. 映射的性质与运算
定义:映射的乘积
设映射 : M M ', : M ' M '' , 乘积 定义为: (a)=τ(σ(a)) a M
1. 若集合A有n个元素,则含有k(k<n)个元素的A 的子集有多少个? 2. 已知 M { Ann | A A}, N {Bnn | B B},求 M N , M N , M N
3.映射的定义
定义:映射指一个对应法则,
设M、M´是给定的两个非空集合,通过法则σ,有 对于 a M , | a M 与之对应,则称 σ为M到M´的4来自 上两种运算满足下列8条规则:
① ② ( ) ( )
③ 在V中有一个元素0,对 V , 有 0 (具有这个性质的元素0称为V的零元素) ④ 对 V , 都有V中的一个元素β ,使得
0 ;(β 称为 的负元素) ⑤ 1 ⑥ k (l ) (kl )
第六章 格与布尔代数

第六章格与布尔代数教学重点:掌握格、子格的定义,理解并且学会证明格的几个基本性质;透彻理解分配格和有补格的定义和性质的证明。
教学难点:格、子格、分配格和有补格的定义和性质的证明。
教学要求:格、子格、分配格和有补格的定义和性质的证明。
6-1 格 (Lattice)一 . 基本概念1. 格的定义<A,≤>是偏序集,如果任何a,b∈A,使得{a,b}都有最大下界和最小上界,则称<A,≤>是格。
2. 由格诱导的代数系统设<A, ≤>是格,在A上定义二元运算∨和∧为:∀a,b∈A a∨b=LUB {a,b} {a,b}的最小上界.Least Upper Bound a∧b=GLB {a,b} {a,b}的最大下界.Greatest Lower Bound,称<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统. (∨-并,∧-交)例如右边的格中a∧b=b a∨b=a b∧c=e3. 子格:设<A,≤>是格, <A,∨,∧>是由<A,≤>诱导的代数系统。
B是A的非空子集,如果∧和∨在B上封闭,则称<B, ≤>是<A, ≤>的子格。
二. 格的对偶原理设<A,≤>是格,≤的逆关系记作≥,≥也是偏序关系。
<A, ≥>也是格,<A,≥>的Hasse图是将<A,≤>的Hasse图颠倒180º即可。
格的对偶原理:设P是对任何格都为真的命题,如果将P中的≤换成≥,∧换成∨,∨换成∧,就得到命题P’ , 称P’为P的对偶命题,则P’对任何格也是为真的命题。
例如:P: a∧b≤a P’: a∨b≥a{a,b}的最大下界≤a {a,b}的最小上界≥a三. 格的性质<A,∨,∧>是由格<A,≤>诱导的代数系统。
∀a,b,c,d∈A1. a≤a∨b b≤a∨b a∧b≤a a∧b≤b此性质由运算∨和∧的定义直接得证。
第六章高等代数练习及答案

一、填空题 1、在3F 中,计算()()()112,0,11,1,20,1,1____32;-+---+=1111,,326⎛⎫--- ⎪⎝⎭2、若1234,α,α,αα线性无关,则12233441,,α+α,α+αα+αα+α的极大无关组是 ;()12233441dim ,,L α+α,α+αα+αα+α= ;122334,α+α,α+αα+α;33、若向量α关于基123,,ααα的坐标为()123,,x x x 则α关于基1232,,ααα-的坐标为 ;在向量空间()2M F 中,向量a b c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭关于基1000⎛⎫ ⎪⎝⎭,0010⎛⎫ ⎪⎝⎭,0100⎛⎫ ⎪⎝⎭ ,0001⎛⎫⎪⎝⎭的坐标是 ;1231,,2x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭;(),,,a c b d 4、向量组()()()()12340,1,13,1,2α=1,1,1,, α=2,1,0, α=, α=的一个极大 无关组是 ;向量组1(1,1,0,0)α=,2(0,1,1,0)α=,3(1,0,1,0)α=,4(1,0,0,1)α=的极大无关组是 ;123α,α,α;1234,α,α,αα。
5、设0,a V a b R a b ⎧⎫⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭则dim V = 2 ;06、设(){}11220nn V x x xx nx =+++= ,则dim V = n-1 ;7.由基123,,2ααα到基1232,,ααα-的过渡矩阵是 ;2000101002⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭8、设A 为n 阶方阵,且()()r A s s n =≠则齐次线性方程组AX=0的解空间的维数为 n-s ; 9、若1234,,,αααα线性无关,则123,,ααα线性 无关 ;10、 向量空间没有基;含一个向量的向量空间是 空间;二、解答题1、检验下列集合对所规定的运算是否构成所给数域上的线性空间: 1)设{},V a a b Q =+∈,对普通数的加法和乘法;是2)V 为定义在数域P 上的一切n 阶方阵,对数与矩阵的乘法及以下定义的加法:,,n n X Y P X Y XY YX ⨯∀∈⊕=-;不是3)(){},|,V x y x y P =∈,加法按普通矩阵相加,并定义数乘为:()()2111,,,0,x y P k P k ky αα∀=∈∈∙=:不是2、设,F F 是数域,若F F ⊂,问对数的加法与乘法,F 是否构成F 上线性空间?F 是否构成F 上线性空间?不是;是3、实数域对于数的加法和乘法构成实数域上线性空间,问有理数集是否为实数集的子空间?又R +是否R 的子空间?若实数域对于数的加法和乘法构成有理数域上线性空间,问有理数集是否为实数集的子空间?不是;是 4、判断正误,并说明为什么?1)如果12,,,r V ααα∈ ,则12,,,r ααα 是()12,,,r L ααα 的基;不一定 2)若12,,,n ααα 是n 维空间的一组生成元,则12,,,n ααα 一定是V 的基;不 3)若()12,,,r L ααα 中有某一向量关于12,,,r ααα 的表示法唯一,则()12,,,r L ααα 是r 维线性空间;是4)设()()(){}1,1,0,1,1,0,0,0,0S =--,则S 是3P 的子空了间;不5)任一线性空间都有基。
离散数学讲义(第6章)

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6-2 分配格(续)
定理:如果在一个格中交运算对并运算可分配,则并运算 对交运算一定可分配。反之亦然。
定理:每个链是分配格。
定理:设〈A, ≤ 〉为一个分配格,则对任意的a,b,c A,如果有a b = a c且a b = a c,则b=c。
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6-2 分配格(续)
定义:设〈A,,〉是由格〈A, ≤ 〉所诱导的代数系统。 如果对任意的a,b,cA,当b ≤ a时,有: a (b c) = b (a c) 则称〈A, ≤ 〉是模格。
5
6-1 格的概念(续)
偏序集但不是格
e d f
格
c a b
6
6-1 格的概念(续)
代数系统
设〈A, ≤ 〉是一个格,如果在A上定义两个二元运 算和,使得对于任意的a,bA,ab等于a和b的最小 上界,ab等于a和b的最大下界,那么就称〈A, , 〉 为由格〈A, ≤ 〉所诱导的代数系统。二元运算, 分 别称为并运算和交运算。
定理:分配格一定是模格。
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6-3 有补格
定义:设〈A, ≤ 〉是一个格,如果存在元素aA,对 任意的xA,都有a ≤ x, 则称a为格〈A, ≤ 〉的全下界。记作 0。 定义:设〈A, ≤ 〉是一个格,如果存在元素bA,对 任意的xA,都有x ≤ b, 则称b为格〈A, ≤ 〉的全上界。记作 1。
{a,b} {a,b} {a,b} {a,b} {a,b}
{b} {a,b}
6-4 布尔代数(续)
定理:对布尔代数中的任意两个元素a,b,有
(a ) a
ab a b
a b ab
定义:具有有限个元素的布尔代数称为有限布尔代数。
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第6章 格与布尔代数

借助于子代数给子格下的定义: Def 设(L, +, ∙)是格, M L, 若(M, +, ∙)是 格, 则称(M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格(sunlattice).
显然, (M, +, ∙)为(L, +, ∙)的子格 M关于+和 ∙封闭.
Remark 设(L, +, ∙)是格, M L, (M, )是 格与(M, )是子格存在差异. 正因为这样, 才 借助于子代数对子格定义.
(L, )与(L, )? Def 对于任意关于格(L, )的命题, 将命题前 提和结论中的(1) 改为; (2)+ 改为; (3) 改 为+;(4)0改为1;(5)1改为0所得到的命题称 为原命题的对偶命题. Theorem 6-2 对于任意关于格(L, )的真命题, 其对偶命题亦为真.
Chapter 6 格与布尔代数
格论(1935)是一种重要的代数结构, 它是计算机语 言的指称语义的理论基础,在计算机应用逻辑研 究中有着重要作用. 布尔代数是英国数学家George Boole在1847年左右 在对逻辑思维法则进行研究时提出的,后来很多 数学家特别是E. V. Hungtington和E. H. Stone对布 尔代数的进行了一般化研究,在1938年C. E. Shannon发表的A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits 论文,为布尔代数在工艺技术
2.格的两种定义的等价性 格的这两种定义是否是一回事? Theorem 6-7 偏序格(L, )与代数格(L, +, ∙)是 等价的. Proof () () x, y L : x y x y x. (1) 是偏序.
格与布尔代数(离散数学)

定理6-1.4 设<A,∨,∧>是一个代数系统,其中 ∨,∧都是二元运算且满足交换律、结合律和吸收律,
哈尔滨理工大学本科生课程
离 散 数 格与分配格 学
计算机系
第六章 格与布尔代数
这一章将介绍另一类代数系统,这就是格。
格论大体上是在1935年左右形成的,它不仅是
代数学的一个分支,而且在近代解析几何,半
序空间等方面也都有重要的作用。我们在这里
只介绍格的一些基本知识以及几个具有特别性
质的格——分配格、有补格。
则<T,≤>是 <S,≤>的一个子格。
解 对于任意的x,yT,必有x≤a 和y≤a, 所以x∨y≤a,x∧y≤a 而 x∨yS,x∧yS 故x∨yT,x∧yT
因此<T,≤>是 <S,≤>的一个子格。
同样地,可以证明,如果取Q={x|xS且a≤x},
则<Q,≤>也是 <S,≤>的一个子格。
4. 上界、下界 定义3-12.7:设<A,≤>是一偏序集,对于BA,如有a∈A,
且对任意元素x∈B,都有x≤a,则称a为B的上界。同理,对
任意元素x∈B,都有a≤x,则称a为B的下界。 5. 上确界、下确界 定义3-12.8:设<A,≤>是一偏序集且BA,a是B的任一上 界,若对B的所有上界y均有a≤y,则称a是B的最小上界(上
二、知识点
1 .格的概念,偏序集上的并运算、 偏序集上的交运算。
2.分配格、有补格; 3.布尔代数、Stone表示定理及其推 论,布尔表达式、布尔函数、开关代数的 概念。
三、要求
1.识记 根据哈斯图识别是否是格,分配格、有补格, 模格,布尔格、布尔代数。 2.领会
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格是一种特殊的代数系统,特殊在:在代数系统中 引入了次序关系,让一个代数系统的载体具有序结构。 1847年由英国数学家G.Boole创立的布尔代数, 最初的设想是利用代数学的方法研究人类的思维规 律。经过后继者的研究,使得它与许多数学分支发 生了联系,如集合论、数理逻辑、代数系统、图论 与组合学。而到上世纪30年代突然发现它与工程技 术又有着意想不到的联系,1950年苏联的 M.A.aBрИЛoB发表了“继电器接点网络原理”,把 基于布尔代数的演算系统发展成为接点网络实用中 的通用理论。目前布尔代数已成为计算机科学的最 重要基础理论之一。
再证a≤b a∨b=b 设a≤b,而b≤b从而a∨b≤b∨b(=b) 而b≤a∨b,故a∨b=b(由≤的反对称性) 反之,设a∨b=b,而a≤a∨b 从而a≤b.
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(11)定理6-1.7 a≤c a∨(b∧c) ≤(a∨b) ∧c Proof:设a≤c 则 a∨c=c Def6-2.2 而 a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c) 故 a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧c 反之,设 a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧c, 而 a≤ a∨(b∧c), (a∨b)∧c ≤c 故 a ≤c(由≤的传递性) # (12)推论 (a∧b)∨(a∧c) ≤a∧(b∨(a∧c)) a∨(b∧(a∨c)) ≤(a∨b) ∧(a∨c) Proof:在(11)中因a∧c≤a可得第一式(以a∧c代替a,a 代c);因a≤a∨c可得第二式(以a代a,以a∨c代c). #
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(9) 定理6-1.5 a∨(b∧c) ≤(a∨b) ∧(a∨c) (a∧b)∨(a∧c) ≤ a∧(b∨c)(分配不等式) Proof:a≤a∨b a≤a∨c 故a∧a≤(a∨b) ∧(a∨c) 而a= a∧a 故a ≤(a∨b) ∧(a∨c) 另外 b∧c≤b, b≤a∨b故b∧c≤a∨b(传递性) b∧c≤c, c≤a∨c故b∧c≤a∨c(传递性) 故b∧c =(b∧c) ∧(b∧c)≤(a∨b)∧(a∨c) 从而 a∨(b∧c)≤ (a∨b)∧(a∨c)
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(2)定理6-1.1 对格<A, ≤>中任意a和b有a≤a∨b , a∧b≤a , b≤a∨b , a∧b ≤b Proof:因为a∨b是a的一个上界,当然有 <a, a∨b>∈≤ 同样地 <b, a∨b>∈≤即b ≤ a∨b 而a∧b是a的一个下界,当然有 < a∧b,a> ∈≤ 同样地 < a∧b,b> ∈≤即a∧b ≤b #
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2.格的性质 (1)格的对偶原理(Duality Priciple) 设<A, ≤>是格,则<A,≥>也是一个格(使用格的定义即 可证得)。前者的∧恰好是后者的∨,前者的∨恰好 是后者的∧,若有关于<A, ≤> 的有效命题(真命题), 则在该命题中将≤换成≥,将∧换成∨,将∨换成∧便 得到一个关于<A, 一个非空集合,则<2S, >是一个格; 设B={T , F},则<B,>也是一个格。 因集合{a,b}的上确界和下确界均唯一,我们可定义 两个运算: 定义6-1.2 设<A, ≤>是一个格,在A上定义并运算∨ 与交运算∧如下,对任意的 a , b A,a∨b等于a与 b的最小上界,a∧b等于a与b的最大下界,并称<A, ∨, ∧>为由格<A, ≤>所诱导的代数系统。 例3:设A={1,2,3,4,6,12},则<A , | >是一个格,且 4∨6=12 , 4∧6=2。
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所以a∧b是a、b的最大下界。 下面证A中任意两个元素a , b均有最小上界a∨b。 因 a∧(a∨b) = a (吸收律) b∧(a∨b )= b(吸收律) 所以a∨b是a与b的一个上界。 现在我们证明a∨b 是a与b的最小上界。 设d是a与b的任一个上界,则 (a∨b)∨d = a∨(b∨d) (结合律) = a∨((b∧d)∨d) (因为b = b∧d) =a∨d (吸收律) = (a∧d)∨d = d 故(a∨b)∧d = (a∨b)∧((a∨b)∨d ) = a∨b
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(4)推论 对格<A, ≤>中任意a,b,c,若b≤c则 a∧b≤ a∧c , a∨b≤a∨c (格的保序性) Proof:由(iii) 即得 #
下面的(5)至(8)为定理6-1.3 (5) 交运算和并运算是可交换的(交换律) Proof:由定义 即得
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(6) 交运算和并运算是可结合的(结合律) Proof:证∨可结合: 设g=a∨(b∨c),h=(a∨b) ∨c 则a≤a ∨(b∨c)(=g), b∨c ≤ a∨(b∨c)(=g) 而b≤b∨c,c≤b∨c 故b≤a∨(b∨c)(=g) c≤a∨(b∨c)(=g)(均由传递性) 从而a ∨b ≤g(因a ∨b是a和b的最小上界) 从而(a∨b)∨c≤g(因(a∨b)∨c是a和b的最小上界) 即 h ≤g(<h,g>∈≤ ) 同理 g≤h(<g,h>∈≤) 从而g=h(由≤的反对称性) 由对偶原理可证保交运算是可结合的。 #
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从而 a∨b ≤ d 即a∨b 是a与b的最小上界。 #
格的另一种定义是:设<A,∨,∧>是一个代数系统,其
中的∨、∧都是二元运算且满足交换律、结合律、 原定义 吸收律,则称<A,∨,∧>是格。 本定理说明了两种定义间的等价性及运算与偏序的 对应关系。
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4.格同态 定义6-1.4 设<A1, ≤1>,<A2, ≤2>是两个格,它们分别 诱导的代数系统为<A1, ∨1, ∧1>,<A2, ∨2, ∧2>,若存 在f:A1A2,使得:a,bA1 f(a∨1b)=f(a) ∨2 f(b) f(a ∧1 b)=f(a) ∧2 f(b) 则称f为从<A1, ∨1, ∧1>到<A2, ∨2, ∧2>的格同态, 称<f(A1), ≤2>是<A1, ≤1>的格同态像; 若这个f为双射,则称之为<A1, ∨1, ∧1>到<A2, ∨2, ∧2>的格同构,或说格<A1,≤1>和<A2,≤2>是同构的
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定义6-1.3 设<A, ≤>是一个格,由它所诱导的代数 系统为<A, ∨, ∧>, B是A的非空子集,若A上的 二元运算 ∨, ∧在B上均是封闭的,则称<B, ≤>是 <A, ≤>的子格。 可以证明,若<B, ≤>是<A, ≤>的子格,则<B, ≤>是 一个格。(满足格的定义) 注意:设 <A, ≤>是格,B为A的子集,则<B, ≤>不一 定是格;即使是格也不一定是<A, ≤>的子格。
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再证A中任意两个元素a、b均有最大下界和最小上 界。 以下要说明a∧b是a和b的下界: 由∧运算的交换性、结合性、吸收性有 (a∧b)∧a=(b∧a)∧a=b∧(a∧a)=b∧a=a∧b (a∧b)∧b=a∧(b∧b)=a∧b 从而由≤的定义有a∧b ≤a, a∧b ≤b 即a∧b 是a和b的下界,再说明它是最大下界: 另设c是a和b的任一下界,即c≤a , c≤b 从而 c∧a=c , c∧b=c 而 c∧(a∧b) = (c∧a)∧b = c∧b = c 即 c≤a∧b
由对偶原理可知a∧(b∨c) ≥(a∧b)∨(a∧c) #
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(10) 定理6-1.6 a≤b a∧b =a b∨a=b Proof:先证a≤b a∧b=a 设a≤b,而a≤a从而(a=)a∧a≤a∧b 而a∧b ≤a,故a ∧b=a(由≤的反对称性) 反之,设a ∧b=a,而a∧b ≤b从而a ≤b.
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例4:下面的HASEE图定义了一个格 。a A={a,b,c,d,e,f,g}, <A, ≤>是格 。b 。d <A,∨,∧>是<A,≤>诱导的代数系统 。c a b c d e f g 。e 。f a a b a d a a g a c a e f a 。g b b b a g b g b a e a e a g c a a c a c c g c e f e f c d d g a d g d d a a f a f g e a b c g e g g e e e a c e f a g c d g f g f a f f c f g g b g d g g g a g c g e f
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(3)定理6-1.2 对格<A, ≤>中任意a,b,c,d,若a≤b,c≤d则 a∧c≤b ∧d , a∨c ≤ b∨d Proof:由(ii) 有b≤b∨d,而a≤b 即 <b,b∨d>∈≤,<a,b>∈≤ 由传递性知 <a,b ∨d>∈≤,即a ≤ b ∨d 同样地 因d≤b∨d,而c≤d 即 <d,b∨d>∈≤,<c,d>∈≤ 由传递性知 <c,b∨d>∈≤,即c≤ b ∨d a和c有一个上界 b ∨d,而a和c的最小上界为a∨c 故 a ∨c ≤ b ∨d 同理可有 a∧c≤b ∧d #
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3.格的存在性 引理6-1.1 设<A,∨,∧>是一个代数系统,其中的∨、 ∧都是二元运算且满足吸收性,则∨、∧都满足幂 等性。 Proof:a,bA,有a ∨(a∧b)=a a ∧(a ∨b)=a 故 a ∨(a∧(a∨b))=a(第一式中以a∨b代b) 从而 a ∨a=a(由第二式即得)
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6-1 格(Lattice)的概念 1.格的定义 定义6-1.1 设<A, ≤>是一个偏序集(即≤是A上的具有 自反、反对称、可传递的关系),若A中任两个元素 a,b构成的集合都有最大下界(下确界)和最小上界(上 确界)则称<A, ≤>为一个格。 另一定义 例1:设I+是所有正整数的集合,| 为I + 上的整除关 系,即<a,b>| 当且仅当b是a的倍数,则< I + , | > 是一个格。