部编北师大版九年级数学下册优质课件 第1课时 垂径定理(1)
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A. CM = DM
B. CB BD C. ∠ACD =∠ADC
D. OM = MD
2.如图，AB 是 ⊙O 的弦，
OC⊥AB 于 C .若 AB = 2 3，OC = 1，则半径 OB 的长为______.
1
3
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平
分弦所对的弧. BC 1 AB 1 2 3 3 .
∴ AC BC . ∵ ∠AOD = 180°－∠AOC，
∠BOD = 180°－∠BOC，
∴∠AOD = ∠BOD.
∴ AD BD .
C MB O
D
下列图形，符合垂径定理的条件吗？
D
√
O
A
√
CE O
BE A
√O
AE B C
A
×O
C
ED
B
B C
×
O
A EB D
D
D
×
O
AE
B
C
例 如图，一条公路的转弯
A
径，并且 CD⊥AB， 垂足为 M．
求证：AM = BM，
AC BC ，AD BD .
C MB O
D
证明：连接 OA，OB，则OA = OB.
在Rt△OAM 和Rt△OBM中，
∵ OA = OB，OM = OM，
A
∴ Rt△OAM ≌ Rt△OBM.
∴ AM = BM，∠AOC = ∠BOC.
22 在Rt△OCF 中，根据勾股定理，
C E
FD
得 OC2 = CF2 + OF2，即
O
R2 = 3002 +（R – 90）2
解这个方程，得 R = 545.
所以，这段弯路的半径为 545 m.
随堂演 练
1.如图，AB 是⊙O 的直径， 弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结 论不一定成立的是（ D ）
2
2
勾股定理 OB
2
3 12 2.
再逛赵州石拱桥
3.赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
C
A
B
D
O
解：如图，设半径为 R，
C
AB = 37.4，CD = 7.2
7.2
AD 1 AB 1 37.4 18.7, A
新课导 入
1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥
（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离， 也叫弓形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到 0.1m）.
思考探 究
ห้องสมุดไป่ตู้
如图，AB是⊙O的一条弦，作 直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M．
A
（1）这个图形是轴对称图形 吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等 量关系？说一说你的理由.
C B
M O
D
归纳结论
条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
结论
A
AM = BM
AC BC
AD BD
C B
M O
D
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧.
已知：如图3-11，AB 是 ⊙O 的一条弦，CD 是 ⊙O 的一条直
处是一段圆弦（即图中CD ，点 O 是CD 所在圆的圆心），其中 CD = 600m，E C为D 上一点，且 OE 丄 CD，垂足为 F，EF = 90m. 求这段弯路的半径.
C E
FD O
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD ， ∴ CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
OD = OC – DC = R – 7.2 .
18.7 R
D R – 7.2
B
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2 ，
O
即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2
解得 R ≈ 27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
B. CB BD C. ∠ACD =∠ADC
D. OM = MD
2.如图，AB 是 ⊙O 的弦，
OC⊥AB 于 C .若 AB = 2 3，OC = 1，则半径 OB 的长为______.
1
3
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平
分弦所对的弧. BC 1 AB 1 2 3 3 .
∴ AC BC . ∵ ∠AOD = 180°－∠AOC，
∠BOD = 180°－∠BOC，
∴∠AOD = ∠BOD.
∴ AD BD .
C MB O
D
下列图形，符合垂径定理的条件吗？
D
√
O
A
√
CE O
BE A
√O
AE B C
A
×O
C
ED
B
B C
×
O
A EB D
D
D
×
O
AE
B
C
例 如图，一条公路的转弯
A
径，并且 CD⊥AB， 垂足为 M．
求证：AM = BM，
AC BC ，AD BD .
C MB O
D
证明：连接 OA，OB，则OA = OB.
在Rt△OAM 和Rt△OBM中，
∵ OA = OB，OM = OM，
A
∴ Rt△OAM ≌ Rt△OBM.
∴ AM = BM，∠AOC = ∠BOC.
22 在Rt△OCF 中，根据勾股定理，
C E
FD
得 OC2 = CF2 + OF2，即
O
R2 = 3002 +（R – 90）2
解这个方程，得 R = 545.
所以，这段弯路的半径为 545 m.
随堂演 练
1.如图，AB 是⊙O 的直径， 弦 CD⊥AB，垂足为 M，下列结 论不一定成立的是（ D ）
2
2
勾股定理 OB
2
3 12 2.
再逛赵州石拱桥
3.赵州桥主桥拱的跨度（弧所对的弦的长） 为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
C
A
B
D
O
解：如图，设半径为 R，
C
AB = 37.4，CD = 7.2
7.2
AD 1 AB 1 37.4 18.7, A
新课导 入
1300多年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥
（如图）的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的 弦的长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离， 也叫弓形高）为7.2m，求桥拱的半径（精确到 0.1m）.
思考探 究
ห้องสมุดไป่ตู้
如图，AB是⊙O的一条弦，作 直径CD，使CD⊥AB， 垂足为M．
A
（1）这个图形是轴对称图形 吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等 量关系？说一说你的理由.
C B
M O
D
归纳结论
条件 CD为⊙O的直径 CD⊥AB
结论
A
AM = BM
AC BC
AD BD
C B
M O
D
垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦， 并且平分弦所对的弧.
已知：如图3-11，AB 是 ⊙O 的一条弦，CD 是 ⊙O 的一条直
处是一段圆弦（即图中CD ，点 O 是CD 所在圆的圆心），其中 CD = 600m，E C为D 上一点，且 OE 丄 CD，垂足为 F，EF = 90m. 求这段弯路的半径.
C E
FD O
解：连接 OC .
设弯路的半径为 R m，则 OF =（R – 90）m .
∵ OE⊥CD ， ∴ CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
OD = OC – DC = R – 7.2 .
18.7 R
D R – 7.2
B
在 Rt△AOD 中，由勾股定理，得
OA2 = AD2 + OD2 ，
O
即 R2 = 18.72 +（R – 7.2）2
解得 R ≈ 27.9（m）.
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.