高数 第二章

§1. 数学发展简史 §2．数学的三次危机 §3. 经典数学问题
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第一节 数学发展简史
人类历史的长河中， 在人类历史的长河中，数学的发展经历了一条漫 长的道路，出现过三次危机，迄今仍未完全消除。 长的道路，出现过三次危机，迄今仍未完全消除。数 学作为一门基础学科，其重要性毋庸置疑。因此， 学作为一门基础学科，其重要性毋庸置疑。因此，了 解数学发展历程（数学史）和规律，对于我们认识数 解数学发展历程（数学史）和规律， 学是完全必要的。 学是完全必要的。 在第一章，我们把数学的发展按质分类， 在第一章，我们把数学的发展按质分类，大体分成 四类， 精确数学、随机数学、模糊数学、突变数学。 四类，即精确数学、随机数学、模糊数学、突变数学。 在这一节，我们将对数学的发展按时间分期， 在这一节，我们将对数学的发展按时间分期，可以认 为数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量（初等） 为数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量（初等） 数学的萌芽时期 数学时期、变量（近代）数学时期和现代数学时期。 数学时期、变量（近代）数学时期和现代数学时期。
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人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化， 人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化， 采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系， 采用逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系，它 包括几何 算术、代数、三角等独立学科 几何、 等独立学科， 包括几何、算术、代数、三角等独立学科，是中小学 数学课的主要内容。 数学课的主要内容。 欧几里得（Euclid约公元前330~约公元前275） 约公元前330~约公元前275 欧几里得（Euclid约公元前330~约公元前275）的 几何原本》和成书于东汉时期的《九章算术》 《几何原本》和成书于东汉时期的《九章算术》，是人 们在长期的实践中，用数学解决实际问题的经验总结。 们在长期的实践中，用数学解决实际问题的经验总结。 几何原本》 九章算术》 《几何原本》和《九章算术》标志着古典初等数学体系 的形成。 几何原本》全书共13 13卷 的形成。《几何原本》全书共13卷，以空间形式为研究 对象，以逻辑思维为主线， 条公设、23个定义和 个定义和5 对象，以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5条 公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 467条定理 公理推出了467条定理，从而建立了公理化演绎体系。 九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成 246个数学问题 术文组成， 《九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成，
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主要的研究对象是数量关系。该书以直觉思维为主线， 主要的研究对象是数量关系。该书以直觉思维为主线， 按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈 按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、 方田 不足、方程、勾股等九章 等九章， 不足、方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械 化算法体系。 化算法体系。
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在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步， 在漫长的萌芽时期中，数学迈出了十分重要的一步，形成 了最初的数学概念，如自然数、分数；最简单的几何图形， 了最初的数学概念，如自然数、分数；最简单的几何图形， 如正方形、矩行、三角形、圆形等， 如正方形、矩行、三角形、圆形等，数和形的概念逐步产 这时也开始产生一些简单的数学计算知识， 生。这时也开始产生一些简单的数学计算知识， 如数的符号、记数方法、计算方法等等。 如数的符号、记数方法、计算方法等等。中小学数学中 关于算术和几何最简单的概念， 关于算术和几何最简单的概念，就是在这个时期的日常 生活实践基础上公元17世纪 二、常量数学时期（公元前6世纪到公元 世纪） 常量数学时期（公元前 世纪到公元 世纪）
从公元前6世纪到公元 世纪初 从公元前 世纪到公元17世纪初，是数学发展的第二 世纪到公元 世纪初， 常量数学或初等数学时期。 个时期，通常称为常量数学或初等数学时期 个时期，通常称为常量数学或初等数学时期。这一时期 也可以分成两段， 也可以分成两段，第一段是初等数学的开始时代，第二 段是初等数学的交流和发展时期。这个时期的特点是， 段是初等数学的交流和发展时期。这个时期的特点是，
合肥工业大学 数学系 任蓓
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参考书
《大学文科数学》 张国楚 徐本顺等 高等教育出版社 大学文科数学》 高等数学》 少学时） 《高等数学》（少学时） 同济大学出版社 数学的思想、方法和应用》 文科类高等数学） 《数学的思想、方法和应用》（文科类高等数学） 张顺燕编 北京大学 出版社 数学文化》 《数学文化》顾沛 高等教育出版社 数学与文化》 《数学与文化》 邓东皋 、孙小礼 北京大学 出版社 数学文化》 《数学文化》 张楚廷 高等教育出版社 数学美拾趣》 第二版） 《数学美拾趣》 （第二版） 易南轩著 科学出版社 数学与艺术》 《数学与艺术》——无穷的碎片 上海教育出版社 2 无穷的碎片
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发展，如非标准分析、 发展，如非标准分析、模糊数学与突变理论等诸多数学 分支，也在这一时期涌现出来。 分支，也在这一时期涌现出来。 总之，从时间上看，数学史是一个由简单到复杂 由简单到复杂、 总之，从时间上看，数学史是一个由简单到复杂、 由低级向高级、由特殊到一般的过程。 由低级向高级、由特殊到一般的过程。 的过程
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现代数学时期(公元 世纪以后) 公元19世纪以后 四、现代数学时期 公元 世纪以后
世纪末到现在， 从19世纪末到现在，是现代数学时期。这个时期 世纪末到现在 是现代数学时期。 是科学技术飞速发展的时期， 是科学技术飞速发展的时期，不断出现震撼世界的重 大创造与发展。在这个时期里数学发展的特点是,由 大创造与发展。在这个时期里数学发展的特点是 由 研究现实世界的一般抽象形式和关系， 研究现实世界的一般抽象形式和关系，进入到研究更 抽象、更一般的形式和关系， 抽象、更一般的形式和关系，数学各分支互相渗透融 随着计算机的出现和日益普及， 合，随着计算机的出现和日益普及，数学越来越显示 出科学和技术的双重品质。 世纪初 世纪初， 出科学和技术的双重品质。20世纪初，涌现了大量 新的应用数学科目， 计算数学、对策论、控制论、 新的应用数学科目，如计算数学、对策论、控制论、 生物数学、数学金融学等。 生物数学、数学金融学等。数学渗透到几乎所有的科 学领域里去，起到越来越大的作用。 世纪 世纪40年代 学领域里去，起到越来越大的作用。20世纪 年代 以后，纯数学基础理论和计算机一样， 以后，纯数学基础理论和计算机一样，也有了飞速的
方法向解析方法的转变，主要是欧拉、 方法向解析方法的转变，主要是欧拉、拉格朗日和拉 普拉斯完成了从几何方法向解析方法的转变。 普拉斯完成了从几何方法向解析方法的转变。这个世 纪数学发展的动力，除了来自物质生产之外， 纪数学发展的动力，除了来自物质生产之外，一个直 接的动力是来自物理学，特别是来自力学、 接的动力是来自物理学，特别是来自力学、天文学的 需要。 需要。 19世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪 世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪。 19世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪。这 一时期，近代数学的主体部分发展成熟了： 一时期，近代数学的主体部分发展成熟了：微积分发 展成为了数学分析，方程论发展成为高等代数， 展成为了数学分析，方程论发展成为高等代数，解析 几何发展成为高等几何。19世纪还有一个独特的贡献 世纪还有一个独特的贡献， 几何发展成为高等几何。19世纪还有一个独特的贡献， 就是数学基础的研究形成了三个理论：实数理论、 就是数学基础的研究形成了三个理论：实数理论、集 合论和数理逻辑， 合论和数理逻辑，这三个理论的建立为现代数学的发 展打下了更加坚实的基础。 展打下了更加坚实的基础。
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数学的萌芽时期（远古到公元前6世纪 世纪） 一、数学的萌芽时期（远古到公元前 世纪）
数学的萌芽时期大体从远古到公元前6世纪， 数学的萌芽时期大体从远古到公元前 世纪，根据目 世纪 前考古学的成果，可以追溯到几十万年以前。 前考古学的成果，可以追溯到几十万年以前。这一时期 可以分为两段，第一段是史前时期， 可以分为两段，第一段是史前时期，从几十万年前到大 约公元前5000年，第二段是从公元前 年到公元前6 约公元前 年 第二段是从公元前5000年到公元前 年到公元前 世纪。 世纪。 人类在长期的生产实践中，逐步形成了数的概念 数的概念， 人类在长期的生产实践中，逐步形成了数的概念， 并初步掌握了数的运算方法 积累了一些数学知识。 数的运算方法， 并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识。由 初步兴起， 于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起 于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起，但 是这些知识是片段和零碎的，缺乏逻辑因素， 是这些知识是片段和零碎的，缺乏逻辑因素，基本上看 不到命题的证明。 不到命题的证明。这一时期对数学的发展做出贡献的主 要是中国 埃及、巴比伦和印度。 中国、 要是中国、埃及、巴比伦和印度。
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17世纪是数学发展史上具有开创性的世纪。17 世纪是数学发展史上具有开创性的世纪。 世纪是数学发展史上具有开创性的世纪 世纪创立了一系列影响很大的新领域：解析几何、 世纪创立了一系列影响很大的新领域：解析几何、微 积分、概率论、射影几何和数论等。 积分、概率论、射影几何和数论等。这一世纪的数学 还出现了代数化的趋势， 还出现了代数化的趋势，代数比几何占有更重要的位 它进一步向符号代数转化， 置，它进一步向符号代数转化，几何问题常常反过来 用代数方法解决。随着数学新分支的创立，新的概念 用代数方法解决。随着数学新分支的创立， 层出不穷，如无理数、虚数、导数、积分等等， 层出不穷，如无理数、虚数、导数、积分等等，它们 都不是经验事实的直接反映， 都不是经验事实的直接反映，而是数学认识进一步抽 象的结果。 象的结果。 18世纪是数学蓬勃发展的时期，以微积分为基 世纪是数学蓬勃发展的时期， 世纪是数学蓬勃发展的时期 础发展起来的数学领域——数学分析（包括无穷数论、 数学分析（ 础发展起来的数学领域 数学分析 包括无穷数论、 微分方程、微分几何、变分法等学科）， ），后来成为数 微分方程、微分几何、变分法等学科），后来成为数 学发展的一个主流。 学发展的一个主流。数学方法也发生了从几何 9