数字信号处理--第四章

z1z1 z-11 b ●
●
●
b
●
● ●
1 b z1z z-12 ●
●
●
●
b2
●
● ● ● ●
● ●
bM1 ●
bM-1
●
●
aa N N
z11 z-1 bM z bM ● ● ● ●
●
直接Ⅱ型——最少延迟网络，也称典范形式，正准型。
例4-2：已知数字滤波器的系统函数
84z1 +11z2 2z3 H(z)=
例4-1：用直接Ⅰ型结构实现系统函数：
3 4.2 z 1 0.8 z 2 H ( z) 2 0.6 z 1 0.4 z 2
4.2.2、IIR系统的直接Ⅱ型 x(n) x(n)
● ●
● ●
y2 (n)b
0●
b0
● ●1
●
y(n) y(n)
● ●
a a11 a a22
aa 1 N N 1
z-1
2
z-1
2.8
z-1
1.5
y(n)
H(z)=0.96+2z1+2.8z2+1.5z3 =( 0.6+0.5z-1) ( 1.6+2z-1+3z-2)
或
H(z)=0.96 ( 1+0.833z 1) ( 1+1.25z1+1.875z2)
级联型结构如图所示:
0.96 y(n) 0.833
z1
z-1
bM
(2)根据系统传递函数
y (n) bi x(n i ) ai y (n i )
i 0 i 1
M
N
系统传递函数
bkzk
H(z)=
k=0
M
1+

k=1
N
akzk
M
= H1(z)H2(z)=H2(z)H1(z)
式中
H1 (z) =
bkzk ， H2(z) =
E F 1
例4-5 已知系统传递函数
84z1 +11z2 2z3 H(z)= 11.25z1 +0.75z2 0.125z3
画出系统的并联结构。
8 + 解： H(z)= 16+ 10.25z1 1z1 +0. z2
16+20z1
16 8 x(n) 0.25 z-1 -16 z-1 -0.5 z-1 20 y(n)
第4章
数字滤波器的结构 直接型 ※
IIR滤波器的结构
级联型 ※ 并联型 ＊
直接型 ※
FIR滤波器的结构
级联型 ※ 频率采样型 ＊
快速卷积型
第4章
数字滤波器的结构
对于同一个系统，对输入信号的处理可采用的 算法有很多种，每一种算法对应一种不同的运算结 构，对于每一种不同的运算结构，可以用三种基本 的运算单元来实现。运算结构影响系统的精度、误 差、稳定性、经济性以及运算速度等许多重要性能。
例 N=6
|H1(ej) |=|1 ej6|=2|sin(3)|
|H1 (ej) |=|1 ejN|=2|sin(N/2)|
2
0
/3
2/3

4/3
5/3
2

②IIR系统
H2(z)=
k=0
N1
直接型 FIR滤波器的结构 级联型
频率采样型
快速卷积型
4.3.1
直接型
1、实现方法 (1)根据FIR系统的时域差分方程 FIR系统的差分方程或卷积形式为
y(n)= x(m)h(nm) = x(nm)h(m)
m= m=


=h(0) x(n)+ h(1) x(n1) +…+ h(N1) x(nN+1)
1 2 i 1
K
x(n)
a01 a11 a21
a02
a0M
y(n)
z-1 z-1
z-1 z-1
a12
a22
z-1 a1M z-1
a2M
例4-6：已知某FIR网络系统函数
H(z)=0.96+2z1+2.8z2+1.5z3
画出其直接型与级联型结构。
解 直接型结构如图所示: x(n)
0.96
k=0
1 1-

k=1
N
akzk
H(z)=H1(z)H2(z) =
bkzk
k=0
M
1
1-

k=1
N
akzk
x(n)
z-1
●
b0 b1 b2
b M 1 bM
●
●
●
y(n) z 1
●
●
a1 a2
●
z-1
●
●
●
●
z 1
●
●
●
a N 1
aN
●
z-1
●
z 1
●
●
●
H(z)=H2(z)H1(z)=
z1-1.4 z1
-0.9
-0.8
(11.4z1 +z2) 3(10.8z1) H(z)= 1 +0.8z2)(10.5z1+0.9z2) (11.2z
x(n) z-1
1.2
-1.4 0.5
3
y(n)
z-1
-0.8
z-1
-0.8 -0.9
z-1
例4-4 已知系统传递函数
i 0 N i i 1
M
y2 (n) ai y (n i )
y (n) bi x(n i ) ai y (n i ) y1 (n) y2 (n)
i 0 i 1
M
N
x(n)
b0 z-1
●
●
●
●
y(n) z 1
b1
●
●
a1 a2 a N 1 aN
j1
K
式中：
0 j 1 j z 1 2 j z 2 H j ( z) 1 2 1 1 j z 2 j z
x(n)
11 21
0k
A
z-1 11
z-1 21
1k 2k
z-1
1k 2k
y(n)
z-1
例4-3：已知系统传递函数
3(10.8z1) (11.4z1 +z2)
（4）根据网络结构判定
IIR系统因为与过去的输出有关，所以网络结构有反馈支
路也称为递归结构；
而FIR系统只与激励有关，因此没有反馈支路，也称为非递 归结构。
例 已知某离散系统的差分方程式
y(n)= ay(n1)+x(n) ，判断是IIR系统还是FIR系统。
（1）系统响应y(n)除了与当前激励x(n)有关，还与以前的输 解：
H(z)=
bkzk
k=0
M
除原点处外，系统
（3）根据差分方程的形式判定
IIR系统的差分方程为
y(n)=
br x(nk) aky(nk)
k=0 k=1
M
N
输出除了与当前及以往的激励有关，还与以前的输出有关；
FIR系统差分方程为
y(n)=
br x(nk)
k=0
M
输出只与当前及以往的激励有关，与过去的输出无关。
●
z-1
●
b2
b M 1 bM
●
●
●
z 1
●
●
●
●
z-1
●
z 1
●
●
●
y (n) bi x(n i ) ai y (n i ) y2 (n) y1 (n)
i 0 i 1
M
N
x(n)
b0
y(n)
a1
a2 a N 1 aN
z1 z1
z-1 z-1
b1 b2 bM-1
基本运算单元为：加法器、乘法器、单位延时
器。
加法器
x2(n) x1(n)
乘法器
x2(n) y(n) x1(n)
●
y(n)
x(n) a
延时器
ax1(n)
x(n)
a
ax1(n)
x(n)
z-1
x(n-1)
x(n)
z-1
x(n-1)
最常用描述离散系统的数学形式是给定系统函数 H(z)
Y(z) H(z)= = X(z)
H(z)=
(10.5z1+0.9z2) (11.2z1 +0.8z2)
画出系统的级联结构。
解
(11.4z1 +z2) 3(10.8z1) H(z)= 1+0.9z2) (11.2z1 +0.8z2) (10.5z
3 0.5
x(n) z1 -0.8
z1
1.2
y(n)
K
H ( z) b j z j
j 1
x(n) b1
z-1
b2
b3
z-1
z-1
bK-2
z-1
bK-1
bK
y(n)
4.3.2
实现方法
级联型
将传递函数H（z）分解成二阶实系数因子相乘的形式，即
H ( z ) ( 0i 1i z 1 2i z 2 )
j 1
K
H ( z ) ( 0i 1i z 2i z )
1
1k=1

N
akzk
●
k=0
bkzk
y(n)
M
x(n)
●
●
b0 b1 b2
bM-1 bM
●
●
a1 a2
z1 ● z1 ●
●
z-1
●
●
●
z-1
● ●
●
●
a N 1
aN
●
●
●
z1
z-1
●
●
根据系统函数绘制IIR滤波器网络结构时，一
定要注意系统函数的形式，即：H（z）的分母首系
数为1，分子和分母各项分别按z的降幂排列。
= |H(k)|ej(k)
频率取样结构包括两部分 ①FIR系统 H1(z)= 1zN
由1zN=0 ，解得N个零点为
2 zi=e j N i
i=0,1,2,…,N1
频响函数为 H1 (ej) =1e-jN
|H1(ej) |=|1 ejN|=2|sin(N/2)|
频响是梳状的
1、实现方法 (1)根据时域方程 一个N阶的IIR滤波器的输入输出差分方程为 ：
y (n) bi x(n i) ai y (n i ) y1 (n) y2 (n) y2 (n) y1 (n)
i 0 i 1
M
N
式中 y1 (n)
b x(n i )
84z1 +11z2 2z3 H(z)= 11.25z1 +0.75z2 0.125)z3
画出系统的级联结构。
解：H(z)=
8(10.19z1) 10.25z1

(10.31z1 +1.3161z2) 1z1 +0. z2
8(10.19z1) H(z)=
IIR
系统分类
FIR
（1）根据h(n)判别
IIR系统的单位脉冲响应h(n)有无穷多项；
而FIR系统对应的单位脉冲响应h(n)只有有限项。
（2）根据零极点判别
IIR系统函数为
B(z) k=0 ，系统有极点； H(z)= = N A(z) 1+ akzk
k=1
bkzk
M
而FIR系统函数为 只 有 零 点 。
出 y(n1) 有关。 （2）系统函数为 H(z)= 有一个z =a 的极点 （3）其单位脉冲响应h(n)=anu(n) 有无穷多项。
1 1az1
该系统是IIR系统。
§4.2 IIR系统的基本结构
直接Ⅰ型 直接型 IIR系统的基本结构 级联型 并联型
直接Ⅱ型
4.2.1 IIR系统的直接Ⅰ型
bkzk
k=0
M
1+

k=1
N
akzk
H1(z)=
1 10.8z1 +0.15z2
1.5 2.5 H2(z)= + 1 10.3z 10.5z1
1 1 H3(z)= 1 10.3z 10.5z1
上面的H1(z)、H2(z)、H3(z)是同一系统不同的传输函数表示， 相应有不同的运算结构。
1(5/4)z1 +(3/4)z2 (1/8)z3
画出该滤波器的直接型结构。 解：
x(n)
5/4
-3/4 1/8
8
z-1
ห้องสมุดไป่ตู้
y(n)
-4
z-1 11 z-1
-2
4.2.3、IIR系统的级联型
1、实现方法 将H（z）的分子和分母分别进行因式分解，得到多个 因式连乘积的形式，即
H ( z) A H j ( z)
x(n)
z-1
z-1
1.25 1.875
z-1
4.3.3 频率采样型
频域采样定理：频域采样点数应大于等于时域采样点数。 满足采样定理时，系统函数可以写成如下形式：
H(z)=
1 zN N

k=0
N1
H(k) 1WN
k
k 1 z
其中 H(k)= H(z)
K=0,1,2, …,N-1
z= WN
10.25z1

(10.31z1 +1.3161z2) 1z1 +0. 5z2
8
x(n) z-1
0.25
-0.19 -0.5
y(n)
z-1 z-1
-0.31 1.136
4.2.4、IIR系统的并联型
1、实现方法
把传递函数展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤
波器的并联型结构，即
Ai 0i 1i z H ( z ) A0 1 1 pi z 1 1i z 1 2i z 2 i 1 i 1
直接型结构
x(n)
x(n)
b0 z-1 z-1
●
●
●
●
y(n) z 1 z-1
b1 z-1
h(2)2 b
●
z-1
●
a1
●
z-1 h(0) h(1)
●
●
h(N-3) a2
● ●
●
h(N-2) h(N-1) z 1 y(n)
●
b M 1 bM
●
a N 1 aN
●
z-1
●
z 1
●
●
●
(2)根据FIR系统的系统函数
4.3 FIR系统的基本结构
FIR系统的特点： (1)FIR系统的单位脉冲响应h(n)是时宽为N的有限长序列 (2)FIR系统差分方程为
y(n)=
br x(nk)
k=0
M
输出只与当前及以往的激励有关，与过去的输出无关。 (3)系统函数无极点
(4)网络结构一般没有反馈支路。
4.3 FIR滤波器的结构