材料力学13能量法
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2
总功为： 先施加P2
Pl V P1 l1 P1 2 1 P2 ( l1 l 2 ) EA 2 EA 2 EA P1 l1 P2 2 ( l1 l2 ) V1 再施加P1 AB又伸长 Dl AB EA 2 EA
2
P1l1 P2保持不变，作功为 V 2 P2 EA
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
（4）弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加 载的次序无关；
P1
A
P2
先施加P1 再施加P2
P12 l1 V1 2 EA
l1
B
l2
C
AB又伸长 Dl AB
P2 l1 EA
P2l1 P1保持不变，作功为 V 2 P1 EA
P2 2 ( l1 l2 ) P2作功为 V 3 2 EA
外力功W＝物体所储存的应变能Vε 。
3、线弹性体（线弹性结构）
（1）材料服从胡克定律。 （2）变形微小，各力的作用互不影响。
应用
叠加原理
的条件
（3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。
（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有
刚体位移。
即：位移是由变形引起。
讨论对象：线弹性体。
§13-2 杆件变形能计算
B2
解：由功的互等定理 F wC1 M B 2
Fl 得：F wC1 M 16E I Ml 由此得：wC1 16E I
2
2
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移D C 。
wC1
F
B2
解：由功的互等定理 F wC1 M B 2
l F 2 得：F wC1 M 2E I 2 Ml 由此得： wC1 8E I
1 2 3
Fkk Fiik
10 k 50 1 40 0.8 20 0.5
k 9.2mm
13-5 卡氏定理
F1
F2
F3
1
2 3 i
1 1 1 V W F1 1 F2 2 F3 3 2 2 2
DFi
若只给 Fi 以增量 ，其余不变，在 DFi作用下，原各力作用点将 产生位移D , D ,, D ,
2
Fk A
A
k
k
即
例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的 B (a) 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm, 3 0.5mm, 若（b）中1、2、3点作用 1 2 3 荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN， F2 F 求k点的挠度？ F1 3 B (b) 解： 由功的互等定理
第十三章
1、能量法：
能量法
在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移 的方法叫能量法。
前面讨论了求简单结构的位移： 三角架——以切代弧 梁——积分法（繁琐）、叠加法（不方便）
局限性
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以 求结构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。
能量法的特点
1．解题简单、适用性广；
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
对于双向弯曲，弯矩沿形心主轴分解 , 若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的，因轴力和剪力远小 k是用来修正横力弯曲时切应力不沿截面均匀分布的修正系数， 2 2 2 于弯矩对变形的影响，故在计算这类杆件的变形时，通常不计轴力 M x M M x y z x 它的数值和截面形状有关。矩形 k=6/5；圆形 dx 。 换成 l 2 EIk=10/9 l 2 EI dx 和剪力的影响。l 2 EI dx
1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
DFi i F1D1 F2 D 2 Fi D i
所以：DV
DFi i
DV i DFi
卡氏第二定理
DFi 0
V i Fi
变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移
举例
F A 利用功能原理—— 2 L ( Fx) dx F 2 L3 1 1 : V W FwA 0 2 EI 6 EI 2 FL3 V FL3 V W wA wA 3EI
1 2 i
变形能的增加量：
1 DV DFi D i F1 D 1 F2 D 2 Fi D i 2
略去二阶小量，则：
DV F1D1 F2 D 2 Fi D i
如果把原有诸力看成第一组力，把 DFi 看作第二组力，根据互等 定理：
a RB P l
3) 由功能原理
2 b a 1 M 2 ( x )dx 1 a b PyC = 0 Px1 dx1 + 0 Px2 dx2 l 2 2 EI 2EI l l 2 2 2 P a b P2 2 3 2 3 b a a b 分析： V W 1 Py 2 6 EIl C 6 EIl 2 2 Pa b 2 yC M 2( x )dx 3 EIl 结果大于零，说明位移的方向与力的方向一致。 V l 2 EI 只适用于结构上有一个载荷，要求载荷作用点沿载荷方向的位移。
1 W me 2
T 2l 1 1 应变能 V me T 2GI P 2 2
当扭矩随截面位置变化时
T 2 ( x )dx V l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲 M=m 加载过程中始终有
m m
Ml EI
m 静载 外力功
Fra Baidu bibliotek
l 应变能 横力弯曲 M=M(x) P2 P1
2
2 3
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。
解： B F A
⑴ 弯矩方程
M ( x) M e Fx
⑵ 变形能
Me
L
M 2 ( x) 1 V dx ( M e Fx) 2 dx 2 EI 2 EI L L M e2 L M e FL2 F 2 L2 2 EI 2 EI 6 EI
应变能远远小于弯曲应变能。
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
2 内 力 l 1 V W F 2刚度 2
F-广义力泛指力或力偶矩；
-广义位移为线位移或角位移；
（2）应变能的数值恒为正值； （3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不 能叠加。
证明 1） F1 , F2 共同作用下：
1、拉压
P=FN 静载P l q(x) P 加载过程中始终有 P P F l Dl N
EA
P
Dl
Dl 1 外力功 W PDl 2 2 1 1 FN l 应变能 V P Dl FN Dl 2 2 2 EA
1 FN 2 ( x )dx dV FN ( x )d Dl 2 2 EA
y z
变形能的应用
1.计算变形能 2.利用功能原理计算变形
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理
求自由端B的挠度。
F
A
B
解： M ( x) - F x
l
x
1 W F wB 2
M ( x) F l V dx 2E I 6EI l 3 由V W，得 wB Fl 3EI
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M ( x)
FN ( x)
Fs(x)
M ( x)
FN ( x)
T ( x)
T ( x)Fs(x)
2 FN (x) T 2 (x) M 2 (x) kFs 2 (x) Vε dx dx dx dx l 2 EA(x ) l 2GI (x) l 2 EI (x) l 2GA(x) p
L wA=？
B
F A Me L
⑶ 当F和Me分别作用时
MeL V 1 2 EI V 2 F 2 L3 6 EI
V 1 V 2 V
⑷ 用普遍定理
FL3 M e L2 wA ( wA ) F ( wA ) M e 3EI 2 EI FL2 M e L A ( A ) F ( A ) M e 2 EI EI 2 3 2 2 1 1 F L M F M e eL V W FwA M e A 2 2 6 EI 2 EI 2 EI
Dl
x
dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
q(x)· dx
FN(x)
dx
FN(x)＋dFN (x)
FN 2 ( x )dx V dV l l 2 EA
应变能密度（变形比能）
1 2
2、扭转
加载过程中始终有 me
me T=me
l me 静载 外力功
Tl GI p
1 W M 2
1 M 2l V M 2 2 EI
w =
1 dV M ( x )d 2
M(x) dθ = EI dx
d
M ( x) dx EI
理论证明：
M 2 ( x )dx dV 2 EI 剪力对变形的影响很小，剪切
V
l
M 2 ( x )dx 2 EI
求位移的普遍方法
2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题；（只讨论线弹性问题）
3．可求解静定与超静定问题；
2、应变能和功能原理
应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能 量称为弹性应变能，也称变形能。
功能原理
物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位 移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。
§13-4 互等定理
F1
1
2
F2
F1
11
21
i j
荷载作用点
•位移发生点
F2
12
22
F1
11
21
F2
12
22
先作用F1，后作用F2，外力所作的功： 1 1 V F111 F2 22 F112 2 2 先作用F2，后作用F1，外力所作的功：
说明：
(1) 互等定理只适用于线弹性结构；
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相 应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的 力为数值相同，位移相同也仅代表数值相同，量 纲对应。
（3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下, 只是由变形引起的位移.
例：求图示简支梁C截面的挠度。
F
wC1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
F1
F2
此可采用便于计算的方式计算应变能。
F3 采用比例加载
外力 位移 0 0 比例 比例
1
2 3
F1、F2、F3
1、 2、 3
n 1 1 1 1 V W F11 F2 2 F3 3 Fi i 2 2 2 i 1 2
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
C
1)求反力 2) 弯矩方程
b
x2
B RB
b RA P l
总功为： 先施加P2
Pl V P1 l1 P1 2 1 P2 ( l1 l 2 ) EA 2 EA 2 EA P1 l1 P2 2 ( l1 l2 ) V1 再施加P1 AB又伸长 Dl AB EA 2 EA
2
P1l1 P2保持不变，作功为 V 2 P2 EA
b Px1 l ( 0 ≤x1 ≤ a) a CB段： M(x2 ) = RB x2 = Px2 l ( 0 ≤x2≤ b) 2
AC段：M(x1 ) = RA x1 =
13-3 应变能的普遍表达式
基础知识
广义
线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。
线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性 齐次关系。 比例加载时，线弹性结构上任一外力作用点沿外力方 向的位移与该点的广义力成正比。
（4）弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加 载的次序无关；
P1
A
P2
先施加P1 再施加P2
P12 l1 V1 2 EA
l1
B
l2
C
AB又伸长 Dl AB
P2 l1 EA
P2l1 P1保持不变，作功为 V 2 P1 EA
P2 2 ( l1 l2 ) P2作功为 V 3 2 EA
外力功W＝物体所储存的应变能Vε 。
3、线弹性体（线弹性结构）
（1）材料服从胡克定律。 （2）变形微小，各力的作用互不影响。
应用
叠加原理
的条件
（3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。
（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有
刚体位移。
即：位移是由变形引起。
讨论对象：线弹性体。
§13-2 杆件变形能计算
B2
解：由功的互等定理 F wC1 M B 2
Fl 得：F wC1 M 16E I Ml 由此得：wC1 16E I
2
2
例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移D C 。
wC1
F
B2
解：由功的互等定理 F wC1 M B 2
l F 2 得：F wC1 M 2E I 2 Ml 由此得： wC1 8E I
1 2 3
Fkk Fiik
10 k 50 1 40 0.8 20 0.5
k 9.2mm
13-5 卡氏定理
F1
F2
F3
1
2 3 i
1 1 1 V W F1 1 F2 2 F3 3 2 2 2
DFi
若只给 Fi 以增量 ，其余不变，在 DFi作用下，原各力作用点将 产生位移D , D ,, D ,
2
Fk A
A
k
k
即
例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的 B (a) 挠度分别为 1 1mm, 2 0.8mm, 3 0.5mm, 若（b）中1、2、3点作用 1 2 3 荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN， F2 F 求k点的挠度？ F1 3 B (b) 解： 由功的互等定理
第十三章
1、能量法：
能量法
在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移 的方法叫能量法。
前面讨论了求简单结构的位移： 三角架——以切代弧 梁——积分法（繁琐）、叠加法（不方便）
局限性
工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以 求结构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。
能量法的特点
1．解题简单、适用性广；
( F1 F2 ) L F1 L F2 L F1F2 L V 2 EA 2 EA 2 EA EA
2
2
2
L
2） F1 单独作用下：
F1 F2
F1 L V 1 2 EA
3）F2 单独作用下：
F22 L V 2 2 EA
2
L F1 F2
L
V1 V 2 V
证毕。
对于双向弯曲，弯矩沿形心主轴分解 , 若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的，因轴力和剪力远小 k是用来修正横力弯曲时切应力不沿截面均匀分布的修正系数， 2 2 2 于弯矩对变形的影响，故在计算这类杆件的变形时，通常不计轴力 M x M M x y z x 它的数值和截面形状有关。矩形 k=6/5；圆形 dx 。 换成 l 2 EIk=10/9 l 2 EI dx 和剪力的影响。l 2 EI dx
1 1 V F2 22 F111 F2 21 2 2
功的互等定理:
F1 12 F2 21
即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2 力在由F1力引起的位移上所作的功。
若F1 = F2 ，则得
位移互等定理:
12 21
即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同 样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。
DFi i F1D1 F2 D 2 Fi D i
所以：DV
DFi i
DV i DFi
卡氏第二定理
DFi 0
V i Fi
变形能对任一载荷Fi 的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移
举例
F A 利用功能原理—— 2 L ( Fx) dx F 2 L3 1 1 : V W FwA 0 2 EI 6 EI 2 FL3 V FL3 V W wA wA 3EI
1 2 i
变形能的增加量：
1 DV DFi D i F1 D 1 F2 D 2 Fi D i 2
略去二阶小量，则：
DV F1D1 F2 D 2 Fi D i
如果把原有诸力看成第一组力，把 DFi 看作第二组力，根据互等 定理：
a RB P l
3) 由功能原理
2 b a 1 M 2 ( x )dx 1 a b PyC = 0 Px1 dx1 + 0 Px2 dx2 l 2 2 EI 2EI l l 2 2 2 P a b P2 2 3 2 3 b a a b 分析： V W 1 Py 2 6 EIl C 6 EIl 2 2 Pa b 2 yC M 2( x )dx 3 EIl 结果大于零，说明位移的方向与力的方向一致。 V l 2 EI 只适用于结构上有一个载荷，要求载荷作用点沿载荷方向的位移。
1 W me 2
T 2l 1 1 应变能 V me T 2GI P 2 2
当扭矩随截面位置变化时
T 2 ( x )dx V l 2GI p
3、弯曲
纯弯曲 M=m 加载过程中始终有
m m
Ml EI
m 静载 外力功
Fra Baidu bibliotek
l 应变能 横力弯曲 M=M(x) P2 P1
2
2 3
例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩 Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。
解： B F A
⑴ 弯矩方程
M ( x) M e Fx
⑵ 变形能
Me
L
M 2 ( x) 1 V dx ( M e Fx) 2 dx 2 EI 2 EI L L M e2 L M e FL2 F 2 L2 2 EI 2 EI 6 EI
应变能远远小于弯曲应变能。
应变能的特点：
（1）基本变形的应变能通式：
2 内 力 l 1 V W F 2刚度 2
F-广义力泛指力或力偶矩；
-广义位移为线位移或角位移；
（2）应变能的数值恒为正值； （3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不 能叠加。
证明 1） F1 , F2 共同作用下：
1、拉压
P=FN 静载P l q(x) P 加载过程中始终有 P P F l Dl N
EA
P
Dl
Dl 1 外力功 W PDl 2 2 1 1 FN l 应变能 V P Dl FN Dl 2 2 2 EA
1 FN 2 ( x )dx dV FN ( x )d Dl 2 2 EA
y z
变形能的应用
1.计算变形能 2.利用功能原理计算变形
例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理
求自由端B的挠度。
F
A
B
解： M ( x) - F x
l
x
1 W F wB 2
M ( x) F l V dx 2E I 6EI l 3 由V W，得 wB Fl 3EI
即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘
积的二分之一的总和。
克拉贝依隆原理
对于组合变形
M ( x)
FN ( x)
Fs(x)
M ( x)
FN ( x)
T ( x)
T ( x)Fs(x)
2 FN (x) T 2 (x) M 2 (x) kFs 2 (x) Vε dx dx dx dx l 2 EA(x ) l 2GI (x) l 2 EI (x) l 2GA(x) p
L wA=？
B
F A Me L
⑶ 当F和Me分别作用时
MeL V 1 2 EI V 2 F 2 L3 6 EI
V 1 V 2 V
⑷ 用普遍定理
FL3 M e L2 wA ( wA ) F ( wA ) M e 3EI 2 EI FL2 M e L A ( A ) F ( A ) M e 2 EI EI 2 3 2 2 1 1 F L M F M e eL V W FwA M e A 2 2 6 EI 2 EI 2 EI
Dl
x
dx
略去高阶微量，认为dx只承受FN (x)
q(x)· dx
FN(x)
dx
FN(x)＋dFN (x)
FN 2 ( x )dx V dV l l 2 EA
应变能密度（变形比能）
1 2
2、扭转
加载过程中始终有 me
me T=me
l me 静载 外力功
Tl GI p
1 W M 2
1 M 2l V M 2 2 EI
w =
1 dV M ( x )d 2
M(x) dθ = EI dx
d
M ( x) dx EI
理论证明：
M 2 ( x )dx dV 2 EI 剪力对变形的影响很小，剪切
V
l
M 2 ( x )dx 2 EI
求位移的普遍方法
2．不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性
问题；（只讨论线弹性问题）
3．可求解静定与超静定问题；
2、应变能和功能原理
应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能 量称为弹性应变能，也称变形能。
功能原理
物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位 移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。
§13-4 互等定理
F1
1
2
F2
F1
11
21
i j
荷载作用点
•位移发生点
F2
12
22
F1
11
21
F2
12
22
先作用F1，后作用F2，外力所作的功： 1 1 V F111 F2 22 F112 2 2 先作用F2，后作用F1，外力所作的功：
说明：
(1) 互等定理只适用于线弹性结构；
(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相 应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的 力为数值相同，位移相同也仅代表数值相同，量 纲对应。
（3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下, 只是由变形引起的位移.
例：求图示简支梁C截面的挠度。
F
wC1
应变能只取决于受力变形的最终状态，因
F1
F2
此可采用便于计算的方式计算应变能。
F3 采用比例加载
外力 位移 0 0 比例 比例
1
2 3
F1、F2、F3
1、 2、 3
n 1 1 1 1 V W F11 F2 2 F3 3 Fi i 2 2 2 i 1 2
P12 l1 P1作功为 V 3 2 EA
（5）应变能是可逆的。(跳板跳水)
总功仍为上述表达式。
直接利用功能原理求位移的实例
利用能量法求解时，所列 例 求简支梁外力P作用点C的挠度。 弯矩方程应便于求解。
解：
A x1 RA l a
P
C
1)求反力 2) 弯矩方程
b
x2
B RB
b RA P l