第一章第三节 古典概型和几何概型 概率论课件
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每个盒子中至多有一个球的放法(由乘法 原理得): N(N-1)…(N-n+1)=PNn 种。 故，
P(A)= PNn/Nn。
许多问题和上例有相同的数学模型。
例如(生日问题):某人群有n个人，他们中至 少有两人生日相同的概率有多大？
设每个人在一年(按365天计)内每天出 生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365) 个人,则他们生日各不相同的概率为
P(E)=4/36=1/9; 因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9； 因B= A∪E ,且A与E互斥,得
P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。
(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次
从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次
解: 从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种
取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。
令 A={两件商品都来自产地甲},kA= C212=66, B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3，
而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与 B互斥,A∪B包含基本事件数66+3=69。
注意:这种分析方法使用的是中学学过的
乘法原理
因每个基本事件发生的可能性相同,第一 次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。 所以,取两只甲类三极管共有 44=16 种可能 的取法, 即kA=16。故
P(A)=16/36=4/9； 令E={抽到两只乙类三极管},kE=22=4。故
=P({1})+P({2 })+…+P({n}) =nP({i}), i=1,2,…n。
从而，P({i})= 1/n，i=1,2,…n。
记 A={摸到2号球} 2
P(A)=?
P(A)=1/10 记 B={摸到红球}
1 2 345 6
P(B)=? P(B)=6/10
85 1946 7 2 3 10
记 B={摸到红球}
故，所求概率=69/105=23/35。
例3：有外观相同的三极管6只,按电流放大系
数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方 案抽取三极管两只,
(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取 下一只(放回抽样);
(2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。
设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类 三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽 到两只不同类三极管}。
求：P(A),P(B),P(C),P(D)。
解: (1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是
在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一 只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取 一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管 共有66=36 种可能的取法。从而,n=36。
P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。
例4：n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中,若盒 子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球” 的概率。
解: 因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个,
故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放 入N个盒子中共有Nn种不同的放法。
P365n/365n。 于是, n源自文库人中至少有两人生日相同的概率 为 1- P365n/365n。
S={1,2,…,10} , 且每个样本点(或者说 基本事件)出现的可能 性相同 .
称这样一类随机试验 为古典概型.
如i =2
2
1 7
98345106
II. 古典概率模型中事件概率求法
因试验E的结果只有有限种,即样本点是有 限个: 1,2 ,…,n ，其中
Ω={1}∪{2 }∪…∪{n}， {i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有 1=P(Ω)=P({1}∪{2 }∪…∪{n})
第一章第三节
古典概型和几何概型
试验结果
ω1, ω2 , …，ωn
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
85 1946 7 2 3 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
III. 古典概模型的例
例1：掷一颗均匀骰子，
设:A表示所掷结果为“四点或五点”； B表示所掷结果为“偶数点”。
求:P(A)和P(B)。
解：由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；
再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。
例2：货架上有外观相同的商品15件，其中12
件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品 中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产 地的概率。
是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有n=65=30 种可能的取法。 由乘法原理,得 kA=43=12, P(A)=12/30=2/5; kE=21=2，P(E)=2/30=1/15; 由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15； 由B=A∪E,且A与E互斥,得
因为抽取时这些球是 10个球中的任一个被取 完全平等的，我们没有理 出的机会都是1/10
由认为10个球中的某一个
会比另一个更容易取得 .
也就是说，10个球中的任
一个被取出的机会是相等 的，均为1/10.
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我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例”动态
转化为“概率”
当我们要求“摸到红
球”的概率时，只要找出 它在静态时相应的比例.
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事件A的概率求法
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本 点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件 A的概率为：
A包含的样本点数
P(A)＝k/n＝
S中的样本点总数 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 .
若用基本事件叙述，则为
若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n。
A包含的基本事件数
P(A)＝k/n＝
基本事件总数
这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 .
P(A)= PNn/Nn。
许多问题和上例有相同的数学模型。
例如(生日问题):某人群有n个人，他们中至 少有两人生日相同的概率有多大？
设每个人在一年(按365天计)内每天出 生的可能性都相同,现随机地选取n(n≤365) 个人,则他们生日各不相同的概率为
P(E)=4/36=1/9; 因C是E的对立事件，故 P(C)=1-P(E)=8/9； 因B= A∪E ,且A与E互斥,得
P(B)=P(A)+P(E)=5/9； D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。
(2).由于第一次抽测后不放回,因此,第一次
从6只中取一只,共有6种可能的取法；第二次
解: 从15件商品中取出2商品,共有C215 =105种
取法,且每种取法都是等可能的，故n=105。
令 A={两件商品都来自产地甲},kA= C212=66, B={两件商品都来自产地乙},kB= C23 =3，
而事件:{两件商品来自同一产地}=A∪B,且A与 B互斥,A∪B包含基本事件数66+3=69。
注意:这种分析方法使用的是中学学过的
乘法原理
因每个基本事件发生的可能性相同,第一 次取一只甲类三极管共有4种可能取法,第二 次再取一只甲类三极管还是有4种可能取法。 所以,取两只甲类三极管共有 44=16 种可能 的取法, 即kA=16。故
P(A)=16/36=4/9； 令E={抽到两只乙类三极管},kE=22=4。故
=P({1})+P({2 })+…+P({n}) =nP({i}), i=1,2,…n。
从而，P({i})= 1/n，i=1,2,…n。
记 A={摸到2号球} 2
P(A)=?
P(A)=1/10 记 B={摸到红球}
1 2 345 6
P(B)=? P(B)=6/10
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记 B={摸到红球}
故，所求概率=69/105=23/35。
例3：有外观相同的三极管6只,按电流放大系
数分类,4只属甲类,2只属乙类。按下列两种方 案抽取三极管两只,
(1).每次抽取一只,测试后放回,然后再抽取 下一只(放回抽样);
(2).每次抽取一只,测试后不放回,然后在剩下 的三极管中再抽取下一只(不放回抽样)。
设A={抽到两只甲类三极管},B={抽到两只同类 三极管},C={至少抽到一只甲类三极管},D={抽 到两只不同类三极管}。
求：P(A),P(B),P(C),P(D)。
解: (1).由于每次抽测后放回,因此,每次都是
在6只三极管中抽取。因第一次从6只中取一 只,共有6种可能取法；第二次还是从6只中取 一只,还是有6种可能取法。故,取两只三极管 共有66=36 种可能的取法。从而,n=36。
P(B)=P(A)+P(E)=7/15； 由D是B的对立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15。
例4：n个球随机地放入N(N≥n)个盒子中,若盒 子的容量无限制。求“每个盒子中至多有一球” 的概率。
解: 因每个球都可以放入N个盒子中的任何一个,
故每个球有N种放法。由乘法原理,将n个球放 入N个盒子中共有Nn种不同的放法。
P365n/365n。 于是, n源自文库人中至少有两人生日相同的概率 为 1- P365n/365n。
S={1,2,…,10} , 且每个样本点(或者说 基本事件)出现的可能 性相同 .
称这样一类随机试验 为古典概型.
如i =2
2
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II. 古典概率模型中事件概率求法
因试验E的结果只有有限种,即样本点是有 限个: 1,2 ,…,n ，其中
Ω={1}∪{2 }∪…∪{n}， {i}是基本事件，且它们发生的概率都相等。 于是，有 1=P(Ω)=P({1}∪{2 }∪…∪{n})
第一章第三节
古典概型和几何概型
试验结果
ω1, ω2 , …，ωn
你认为哪个 结果出现的 可能性大？
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
例如，一个袋子中装有 10个大小、形状完全相同 的球. 将球编号为1－10 . 把球搅匀，蒙上眼睛，从 中任取一球.
85 1946 7 2 3 10
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III. 古典概模型的例
例1：掷一颗均匀骰子，
设:A表示所掷结果为“四点或五点”； B表示所掷结果为“偶数点”。
求:P(A)和P(B)。
解：由n=6，kA=2,得P(A)=2/6=1/3；
再由kB=3，得P(B)=3/6=1/2。
例2：货架上有外观相同的商品15件，其中12
件来自产地甲, 3件来自地乙。现从15件商品 中随机地抽取两件,求这两件商品来自一同产 地的概率。
是从剩余的5只中取一只,有5种可能的取法。 由乘法原理，知取两只三极管共有n=65=30 种可能的取法。 由乘法原理,得 kA=43=12, P(A)=12/30=2/5; kE=21=2，P(E)=2/30=1/15; 由C是E的对立事件,得P(C)=1-P(E)=14/15； 由B=A∪E,且A与E互斥,得
因为抽取时这些球是 10个球中的任一个被取 完全平等的，我们没有理 出的机会都是1/10
由认为10个球中的某一个
会比另一个更容易取得 .
也就是说，10个球中的任
一个被取出的机会是相等 的，均为1/10.
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我们用 i 表示取到 i号球， i =1,2,…,10 . 则该试验的样本空间
P(B)=6/10
静态
这里实际上是从“比例”动态
转化为“概率”
当我们要求“摸到红
球”的概率时，只要找出 它在静态时相应的比例.
85 1946 7 2 3 10
事件A的概率求法
设试验E是古典概型, 其样本空间S由n个样本 点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件 A的概率为：
A包含的样本点数
P(A)＝k/n＝
S中的样本点总数 称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 .
若用基本事件叙述，则为
若事件A包含k个基本事件，有 P(A)=k(1/n)=k/n。
A包含的基本事件数
P(A)＝k/n＝
基本事件总数
这样就把求概率问题转化为计数问题 . 排列组合是计算古典概率的重要工具 .