2021 等比数列的性质及应用
【全套】2021届新课改地区高三数学一轮专题复习——第35讲 等比数列(解析版)
为( )
A．－2＋ 2 2
B.－ 2
C. 2
D．－ 2或 2
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且 a1a5＝4，则 log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________. 【答案】 (1)B (2)5 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为 q，因为 a3，a15 是方程 x2＋6x＋2＝0 的两根，所以 a3·a15＝a29＝2，
1 (q4)3 1 (q4)2
1 23 1 22
7. 3
1 q
（2）：(基本量法) 设数列 an 的首项是 a1 ，公比为 q ，则由 a3 a2 4 ， a4 16 ，得
a1q a1q
2 3
a1q 16
4
解得
aq122 ， S3 a1 a2 a3 a1 a1q a1q2 2 4 8 14 .
项 a1＞0，公比 0<q<1 或首项 a1＜0，公比 q＞1，则数列为递减数列；若公比 q＝1，则数列为常数列；公比
q＜0，则数列为摆动数列．
1
an
(5)若{an}和{bn}均为等比数列，则{λan}(λ≠0)、{|an|}、an 、{a2n}、bn 、{manbn}(m≠0)仍为等比数列．
1 / 14
变式 2、 (1)[2018·如东中学]在等比数列{an}中，各项均为正值，且 a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝5，则 a4＋a8＝
____； (2)[2016·常熟中学]等比数列{an}的首项 a1＝－1，前 n 项和为 Sn，若SS150＝3312，则公比 q＝___．
【答案】（1） 51（2）－1 2
解得
q＝1，代入①得 2
a1＝2，
届数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和学案理含解析
第三节等比数列及其前n项和［最新考纲］［考情分析］［核心素养]1.理解等比数列的概念。
2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系。
等比数列的基本运算,等比数列的判断与证明,等比数列的性质与应用仍是2021年高考考查的热点，三种题型都有可能出现，分值为5~12分.1.数学运算2.逻辑推理‖知识梳理‖1．等比数列的有关概念(1)定义①文字语言：从错误!第2项起，每一项与它的前一项的错误!比都等于错误!同一个常数．②符号语言：错误!错误!＝q（n∈N*，q为非零常数)．（2）等比中项：如果a，G,b成等比数列，那么错误!G叫做a 与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G26ab．2．等比数列的有关公式(1）通项公式：a n＝错误!a1q n－1．（2)前n项和公式3．等比数列的性质（1）通项公式的推广:a n＝a m·q n－m（m，n∈N＊）．（2）对任意的正整数m,n，p，q，若m＋n＝p＋q，则错误!a m·a n ＝错误a p·a q．特别地，若m＋n＝2p,则a m·a n＝a2p.(3）若等比数列前n项和为S n，则S m，S2m－S m,S3m－S2m仍成等比数列，即（S2m－S m)213S m（S3m－S2m）（m∈N＊，公比q≠1）．(4）数列｛a n｝是等比数列，则数列｛pa n}(p≠0，p是常数)也是错误!等比数列．(5)在等比数列{a n｝中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n，a n＋k,a n＋2k，a n＋3k，…为等比数列,公比为错误!q k．►常用结论1．若｛a n｝，｛b n}（项数相同)是等比数列，则{λa n｝（λ≠0),错误!，{a2，n}，{a n·b n｝,错误!仍是等比数列．2．一个等比数列各项的k次幂仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k次幂．3．｛a n｝为等比数列，若a1·a2·…·a n＝T n，则T n，错误!，错误!，…成等比数列．4．当q≠0且q≠1时，S n＝k－k·q n（k≠0）是｛a n}成等比数列的充要条件，这时k＝错误!.5．有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等，特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）．（1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．（)（2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac。
2021届高考二轮复习讲义数列第02讲 等比数列及其前n项和(无答案)
第02讲 等比数列及其前n 项和知识精讲一. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，即：1(0,0)n n na q q a a +=≠≠ 根据q 判断数列的单调性： 当11a >{}1n q a >⇔是递增数列； {}01n q a <<⇔是递减数列；{}=1n q a ⇔是常数列二. 等比数列的通项公式推导等比数列的通项公式：3121221n n n n a a aa q q q q a a a a ---====，，，，， 将这1n -个式子的等号两边分别相乘得：11n na q a -=，即()1*1n n a a q n N -=∈. 这种方法就叫做累乘法．三. 等比中项如果三个数 a G b ，，组成等比数列⇔2G ab =，G 叫做a 与b 的等比中项. 两个符号相同的非零实数，有两个等比中项，一正一负.若数列是等比数列⇔任意相邻三项之间都存在如下关系：211(2)n n n a a a n -+=≥四. 等比数列的性质设{}n a 为等比数列，公比为q ，则：1． 若在等比数列中，若n m u v +=+，则n m u v a a a a ⋅=⋅；特殊地，若2m p q =+，则2mp q a a a =⋅； 推广到三项，即m ，n ，t ，p ，q ，*s N ∈且m n t p q s ++=++m n t p q s a a a a a a ⇒=； 推广到一般形式，只要两边项数一样，且下标和相等，则各项之积相等．2． n m n m a a q -=*(,)m n N ∈；3． 在等比数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即n a ，n m a +，2n m a +，……为等比数列，公比为m q ．4． 若{}{} n n a b ，均为等比数列，且公比分别为()1212 0q q q q ⋅≠，，则数列{} n pa ，{}mn a ，{}n n a b ⋅，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭也为等比数列，且公比分别为111122 mq q q q q q ⋅，，，.五. 等比数列的前n 项和公式()()111(1)11n n na q S a q q q⎧=⎪=⎨-≠⎪-⎩．用错位相减法推导等比数列前n 项和公式：211111n n S a a q a q a q -=++++，等式两边同乘q 得：211111n n n qS a q a q a q a q -=++++，将这两式相减得：()11111(1)n n n q S a a q a q --=-=-， 从而得到等比数列的前n 项和公式()1(1)11n n a q S q q-=≠-；当1q =时，1n S na =.六. 等比数列{}n a 前n 项和公式与指数函数. 区别和联系区别联系n S定义域为*N 图象是一系列的孤立点 （1）解析式都是指数型； （2）n S 图象是指数型函数()f x 图象上一系列的点．()f x定义域为R图象是一条指数型曲线2. 观察()0nn S Aq B AB =+≠和111(1)111n n a q a aS q q q q--==+--- 得11a A B q-=-=-3. 有指数型函数的性质可得：当10 10q a <<<，时，0A >，n S 递减有最大值， 当10 10q a <<>，时，0A <，n S 递增有最小值； 当110q a ><，时，0A <，n S 递减有最大值， 当110q a >>，时，0A >，n S 递增有最小值．七. 等比数列的前n 项和的性质等比数列{}n a 的前n 项和可以构成一个等比数列，即k S ，2k k S S -，32k k S S -成等比数列.公比为k q （k 为偶数时，1q ≠-）如下图所示：323212312213kkk k k kS k k k k kS S S S S a a a a a a a a ++--++++++++++三点剖析一、等比数列的判定方法：（1）定义法：对于数列{}n a ，若1(0)n na q q a +=≠，则数列{}n a 是等比数列； （2）等比中项：对于数列{}n a ，若221n n n a a a ++⋅=，则数列{}n a 是等比数列；（3）等比数列与对数的结合等比数列{}n a 中，若n m u v +=+，则n m u v a a a a ⋅=⋅，相应的，lg lg lg lg n m u v a a a a +=+，{}lg n a 是等差数列，公差为lg q .（4）前n 项和法：()0n n S Aq A Aq =-≠⇔{}n a 等比数列．等比数列的概念例题1、 在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若21a =，8642a a a =+，则6a 的值是________例题2、 已知x ，22x +，33x +是等比数列的前三项，则该数列第四项的值是（ ）A.－27B.12C.272D.272-例题3、 已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a 等于（ ） A.－4 B.－6C.－8D.－10例题4、 己知数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 是等比数列，对一切*n N ∈，都有1n n na b a +=，则数列{}n b 的通项公式为_________．例题5、 在正项等比数列{}n a 中，已知412a =，563a a +=，则12n a a a ⋯的最小值为（ ） A.1256B.1512C.11024D.12048随练1、 在数列{}n a 中，12n n a a +=，若54a =，则456a a a = ． 随练2、 已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1a ，312a ，22a 成等差数列，则91078a a a a ++=（ ）A.12+B.12C.322+D.322-随练3、 在等差数列{}n a 中，如果m ，n ，p ，*r N ∈，且3m n p r ++=，那么必有3m n p r a a a a ++=，类比该结论，在等比数列{}n b 中，如果m ，n ，p ，*r N ∈，且3m n p r ++=，那么必有（ ） A.3m n p r b b b b ++=B.3m n p r b b b b ++= C.3m n p r b b b b = D.3m n p r b b b b =随练4、 公差不为0的等差数列{}n a 的部分项1ak ，2ak ，3ak …构成等比数列{}n ak ，且11k =，22k =，36k =，则5k =________．随练5、 在等比数列{}n a 中，22a =，5128a =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，360n S =，求n 的值．等比数列的性质例题1、 已知{}n a 为各项都是正数的等比数列，若484a a =，则567a a a =________．例题2、 若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 8a 10＋a 7a 11＝2e 6，则lna 1＋lna 2＋…＋lna 17＝________．例题3、 已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7（a 1＋2a 3）＋a 3a 9＝________．例题4、 定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的函数f x （），如果对于任意给定的等比数列{}{}n n a f a ，（）仍 是等比数列，则称f x （）为“保比等比数列”．现有定义在00-∞⋃+∞（，）（，）上的如下函数： ①2f x x =（）； ②2x f x =（）； ③f x x =（）④ln f x x =（）． 则其中是“保比等比数列”的f x （）的序号为 ．随练1、 在等比数列{}n a 中，已知24a =，616a =，则4a =________．随练2、 设等比数列{a n }的前n 项和S n ，若a 1＝－2，S 6＝9S 3，则a 5的值为________随练3、 已知数列{}n a 是递增等比数列，152417,16a a a a +==，则公比q =（ ） A.－4 B.4C.－2D.2随练4、 等比数列{}n a 中，42a =，75a =，则数列{lg }n a 的前10项和等于（ ） A.2 B.lg50C.10D.5等比数列的前n 项和例题1、 已知数列{a n }满足a 1＝1，*12()n n a a n N +=∈，则S 10＝________．例题2、 已知等比数列{}n a 各项均为正数，满足313a a +=，356a a +=，则324354657l a a a a a a a a a a ++++=（ ）A.62B.2C.61D.612例题3、 数列112，124，138，…的前n 项和为n S =（ ）A.21n n-B.12n n -C.(1)1122n n n +-+D.(1)122n n n +-例题4、 已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S 且8426S S -=，则9101112a a a a +++的最小值为_________．例题5、 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 2，S 4，S 3成等差数列． （1）求数列{a n }的公比q ；（2）若a 1－a 3＝3，问218是数列{a n }的前多少项和．随练1、 等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 12＋a 22＋…＋a n 2＝________．随练2、 已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和． （1）求a n 及S n ；（2）设{b n }是首项为2的等比数列，公比为q 满足q 2－（a 4＋1）q ＋S 4＝0．求{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．随练3、 已知数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等比数列{}n b 的通项公式为2()2n n n a k b n-=，求k 的值及此时数列{}n b 的前n 项和n T .等比数列的判定例题1、 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n a +=131n a ++，265a S =，则=____．例题2、 设n n S T ，，分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，647227n n S a =﹣，()2819n n n n a b +=-+，则当n =____时，n T 最小．例题3、 已知数列是等差数列，；数列的前项和是，且． （1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列．{}na 25=6,=18a a {}nb n n T 1n n T b +={}na{}nb例题4、 已知数列{}n a 中，首项15a =，()121n n a a n N *+=+∈． （1）求证：数列{}1n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式n a 以及前n 项和n S ．例题5、 设n S 表示数列{}n a 的前n 项和．1（）若{}n a 是等差数列，试证明：1()2n n n a a S +=； 2（）若110a q =≠，，且对所有的正整数n ，有11nn q S q -=-，判断{}n a 是否为等比数列．例题6、 设数列{}n a 满足1421n n n a a a +-=+*()n N ∈ （Ⅰ）若13a =，21nn n a b a -=-*()n N ∈求证数列{}n b 是等比数列，并求{}n b 的通项公式n b ； （Ⅱ）若1n n a a +>对*n N ∀∈恒成立，求1a 的取值范围。
高中数学4-3-1等比数列的概念第2课时等比数列的性质及应用新人教A版选择性必修第二册
琴，故朱载堉被誉为“钢琴理论的鼻祖”．“十二平均律”是指一个八
度有 13 个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音频率是最 初那个音频率的 2 倍，设第二个音的频率为 f2，第八个音的频率为 f8，则 ff82等于( A )
A． 2
B．3 2
C．4 2
D．6 2
[分析] 建立等比数列模型⇒运用等比数列的性质求解．
一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是
( C) (参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年
B．2019年
C．2020年
D．2021年
[解析] (1)一年后的价格为：8 100×1－13＝5 400； 两年后的价格为：5 400×1－13＝3 600； 三年后的价格为：3 600×1－13＝2 400.
对点训练❸ 设{an}是各项为正数的无穷数列，Ai是长、宽分 别为ai，ai＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{An}为等比数列的充要条件为 (D)
A．{an}是等比数列 B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比数列 C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列 D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比数列，且 公比相同
2．等比数列的项的对称性
有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项
的积(若有中间项则等于中间项的平方)，即 a1·an＝a2·____a_n_－_1____＝ ak·_____a_n－__k＋_1______＝a2n＋1(n 为正奇数)．
2
3．等比数列的运算的性质
2021届新高考数学总复习：等比数列的通项及其性质(附答案解析)
10．在等比数列{an}中，若a5＝2a4，a2＝2，则a6＝（ ）
A．64B．16C．8D．32
11．若等比数列{an}满足：a1＝1，a1+a2+a3＝7，则a4＝（ ）
A．8B．﹣27C．8或﹣27D．﹣8或﹣27
12．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a3a4a5＝29，则a3＝（ ）
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则a1a3a5＝ •a2q•a2q3＝（a2q）3＝8，则a2q＝a3＝2．
又a2a4＝ •a3q＝a32＝22＝4．
故选：B．
4．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，则a3与a7的等比中项为（ ）
A．4B．6C．±6D．±4
【解答】解：∵等比数列{an}中，a3＝2，a7＝18，
A． B．2C．±2D．
7．等比数列{an}中，an∈R+，a5•a6＝32，则log2a1+log2a2+…+log2a10的值为（ ）
A．10B．20C．25D．160
8．已知各项均为正数的等比数列{an}中，a2＝2，a5＝2a4+3a3，则a6＝（ ）
A．2B．54C．162D．243
9．设{an}是等比数列，且a1+a2+a3＝1，a2+a3+a4＝2，则a6+a7+a8＝（ ）
A．16B．32C．64D．256
16．在正项等比数列{an}中，若a3a7＝4，则 ＝（ ）
A．16B．8C．4D．2
17．在等比数列{an}中，已知a1a3＝4，a9＝256，则a8＝（ ）
A．128或﹣128B．128C．64或﹣64D．64
2021届高考数学(新课标) 题型全归纳 数列要点讲解
数 列一、高考要求理解数列的有关概念，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能依据递推公式写出数列的前n 项.理解等差（比）数列的概念，把握等差（比）数列的通项公式与前n 项和的公式. 并能运用这些学问来解决一些实际问题.了解数学归纳法原理，把握数学归纳法这一证题方法，把握“归纳—猜想—证明”这一思想方法. 二、热点分析1.数列在历年高考中都占有较重要的地位，一般状况下都是一个客观性试题加一个解答题，分值占整个试卷的10%左右.客观性试题主要考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式、极限的四则运算法则、无穷递缩等比数列全部项和等内容，对基本的计算技能要求比较高，解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式学问的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类争辩等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.2.有关数列题的命题趋势 （1）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻生疏函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和力气的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点 （2）数列推理题是新毁灭的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查规律推理力气，近两年在数列题中也加强了推理力气的考查。
（3）加强了数列与极限的综合考查题3.娴熟把握、机敏运用等差、等比数列的性质。
等差、等比数列的有关性质在解决数列问题时应用格外广泛，且格外机敏，主动发觉题目中隐含的相关性质，往往使运算简洁秀丽 .如243546225a a a a a a ++=，可以利用等比数列的性质进行转化：从而有223355225a a a a ++=，即235()25a a +=. 4.对客观题，应留意寻求简捷方法 解答历年有关数列的客观题，就会发觉，除了常规方法外，还可以用更简捷的方法求解.现介绍如下： ①借助特殊数列. ②机敏运用等差数列、等比数列的有关性质，可更加精确 、快速地解题，这种思路在解客观题时表现得更为突出，很多数列客观题都有机敏、简捷的解法5.在数列的学习中加强力气训练 数列问题对力气要求较高，特殊是运算力气、归纳猜想力气、转化力气、规律推理力气更为突出.一般来说，考题中选择、填空题解法机敏多变，而解答题更是考查力气的集中体现，尤其近几年高考加强了数列推理力气的考查，应引起我们足够的重视.因此，在平常要加强对力气的培育。
第四章 4.3.1 第2课时 等比数列的应用及性质 【新人教版】高中数学选修性必修第2册
反思 感悟
判断一个数列是等比数列的常用方法 (1)定义法：若数列{an}满足aan＋n1＝q(n∈N*，q 为常数且不为零) 或aan－n1＝q(n≥2，且 n∈N*，q 为常数且不为零)，则数列{an}是 等比数列. (2)通项公式法：若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1(a1≠0， q≠0)，则数列{an}是等比数列.
021等于
019
A.－3
B.－1
√C.1
√D.9
解析 由 3a1，12a3,2a2 成等差数列可得 a3＝3a1＋2a2，
即a1q2＝3a1＋2a1q，
∵a1≠0，∴q2－2q－3＝0.
解得q＝3或q＝－1.
∴a2 a2
020－a2 018－a2
021＝a2 019 a2
00128011－－qq＝aa22
又a1，a3，a5均不为0， ∴a1，a3，a5成等比数列.
(2)已知数列{an}是首项为
2，公差ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－1
的等差数列，令
bn＝
1 2
an
，
求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式.
解 依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，
于是 bn＝123－n. 12－n
而bbn＋n 1＝213－n＝12－1＝2. 2
等比数列.
(数4)列若，{a且n}是公等比比分数别列是，q公，比1q，为q2q，. 则数列{λan}(λ≠0)，a1n，{a2n}都是等比
(5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是 p 和 q，那么{anbn}与 p
abnn也都是等比数列，公比分别为 pq 和 q .
预习小测 自我检验
第四章 4.3.1 等比数列的概念
专题32 等比数列(解析版)
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
【小问2详解】由（1）知， ，所以 ，即 ，亦即 ，解得 ，所以满足等式的解 ，故集合 中的元素个数为 ．
3.（2022·浙江卷T20）已知等差数列 的首项 ，公差 ．记 的前n项和为 ．
（1）若 ，求 ；
（2）若对于每个 ，存在实数 ，使 成等比数列，求d的取值范围．
【答案】（1） （2）
【分析】（1）利用等差数列通项公式及前 项和公式化简条件，求出 ，再求 ；
2023高考一轮复习讲与练
专题32等比数列
练高考 明方向
1.（2022·全国乙（理）T8）已知等比数列 的前3项和为168， ，则 （）
A.14B.12C.6D.3
【答案】D
【分析】设等比数列 的公比为 ，易得 ，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.
【详解】解：设等比数列 的公比为 ，若 ，则 ，与题意矛盾，
基本方法：
等比数列的三种常用判定方法：
定义法：若 ＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a ＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列
通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列
(Ⅰ)证明 是等比数列,并求其通项公式;
(Ⅱ)若 ,求 .
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .
2021版新高考数学一轮教师用书：第6章 第3节 等比数列及其前n项和 Word版含答案
第三节 等比数列及其前n 项和[考点要求] 1.理解等比数列的概念．2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．(对应学生用书第106页)1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的数学表达式为a n ＋1an ＝q (n ∈N *，q 为非零常数).(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 是a 与b 的等比中项⇒a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1＝a m q n －m .(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎨⎧na 1（q ＝1），a 1（1－q n）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.[常用结论]等比数列的常用性质1．在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ，n ，p ，q ，k ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ．2．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 仍然是等比数列．3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ，其中当公比为－1时，n 为偶数时除外．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (2)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .( )(3)若{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (4)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n，则其前n 项和为S n ＝a （1－a n ）1－a.( )(5)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、教材改编1．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4 D ．±42．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A ．13 B ．－13 C ．19 D ．－193．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________． 4．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机________秒，该病毒占据内存8 GB(1 GB ＝210 MB).(对应学生用书第106页)考点1 等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n 项和公式时，注意分q ＝1和q ≠1两类分别讨论．1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2，3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．62．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________． 3．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 2＝________． 4．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .抓住基本量a 1, q ，借用方程思想求解是解答此类问题的关键，求解中要注意方法的择优． 考点2 等比数列的判定与证明判定一个数列为等比数列的常见方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列；(2)等比中项法：若a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N ＋，a n ≠0)，则数列{a n }是等比数列； (3)通项公式法：若a n ＝Aq n －1(A ，q 是不为零的常数)，则数列{a n }是等比数列．设数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝53，a n ＋2＝53a n ＋1－23a n ，令b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *) (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．[逆向问题] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ，若不存在，请说明理由．[解] (1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21. (2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n ＋1， ∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2， ∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *).(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与通项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)已知等比数列求参数的值，常采用特殊到一般的方法求解，如本例的逆向问题．[教师备选例题]设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n－a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式． 考点3 等比数列性质的应用等比数列性质的应用可以分为3类 (1)通项公式的变形． (2)等比中项的变形．(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．(1)[一题多解]已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于( ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7 (2)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2B ．73C ．310 D ．1或2(3)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________．在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，特别关注项a n 或和S n 的下角标数字间的内在关系，活用性质，减少运算量，提高解题速度．[教师备选例题]数列{a n }是一个项数为偶数的等比数列，所有项之和是偶数项之和的4倍，前三项之积为64，则此数列的通项公式a n ＝________.12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1 [设此数列{a n }的公比为q ，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，所以S 奇＝3S 偶，所以q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1a 2a 3＝64，即a 1(a 1q )(a 1q 2)＝a 31q 3＝64，所以a 1q ＝4.又q ＝13，所以a 1＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.]1.已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝1，a 5＝18，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N ＋)的最小值为( )A ．83 B ．1 C ．2 D ．32．等比数列{a n }满足a n ＞0，且a 2a 8＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a 9＝________．。
2021版高考文科数学(人教A版)一轮复习第六章 第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲 等比数列及其前n 项和一、知识梳理1．等比数列的有关概念 (1)定义：①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)． ②符号语言：a n ＋1a n＝q (n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即G 2＝ab ． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 常用结论1．等比数列的单调性当q ＞1，a 1＞0或0＜q ＜1，a 1＜0时，{a n }是递增数列； 当q ＞1，a 1＜0或0＜q ＜1，a 1＞0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．3．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝A ＋B ·C n ⇔A ＋B ＝0，公比q ＝C (A ，B ，C 均不为零) 二、习题改编1．(必修5P53练习T3改编)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选 D.设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9.2．(必修5P53习题T1改编)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝54，a 2＋a 4＝52，则q ＝ ． 答案：23．(必修5P54A 组T8改编)在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 243＝9×q 3，得q 3＝27，所以q ＝3.所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案：27，81一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( )(4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏常见误区(1)运用等比数列的前n 项和公式时，忽略q ＝1的情况； (2)“G 2＝ab ”是“a ，G ，b 成等比数列”的必要不充分条件； (3)对等比数列项的符号不能作出正确判断．1．已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析：选C.当q ＝1时，a n＝7，S 3＝21，符合题意；当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，得q ＝－12.综上，q 的值是1或－12，故选C.2．在等比数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝8，则a 5＝ ．解析：因数列{a n }为等比数列，则a 25＝a 3a 7＝16，又a 3＞0，所以a 5＝4. 答案：43．在等比数列{a n }中，a 2＝4，a 10＝16，则a 2和a 10的等比中项为 ． 解析：设a 2与a 10的等比中项为G ，因为a 2＝4，a 10＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8.答案：±8等比数列的基本运算(师生共研)(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝ ．(2)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.则a n ＝ ．【解析】 (1)通解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝58. 优解一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝⎝⎛⎭⎫－123＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋⎝⎛⎭⎫－18＝58. 优解二：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q ＝－12.所以S 4＝23×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－124＝58.(2)设{a n }的公比为q ，由题设得 2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0. 解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1. 【答案】 (1)58(2)22n －1解决等比数列有关问题的常见数学思想(1)方程思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n 或a 11－q当成整体进行求解．1．(一题多解)(2020·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63解析：选B.通解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B.优解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A ．16B ．8C ．4D ．2解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝3a 3＋4a 1，得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，得q 4－3q 2－4＝0，令q 2＝t ，则t 2－3t －4＝0，解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，所以q 2＝4，即q ＝2或q ＝－2(舍去)．又S 4＝a 1（1－q 4）1－q＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.S 6S 3＝8 D ．S 6S 3＝4解析：选A.因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以a 6a 3＝q 3＝8，解得q ＝2，所以S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝9.等比数列的判定与证明(典例迁移)(1)已知数列{a n }是等比数列，则下列命题不正确的是( ) A ．数列{|a n |}是等比数列B ．数列{a n a n ＋1}是等比数列C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列D ．数列{lg a 2n}是等比数列 (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列．【解】 (1)选D.因为数列{a n }是等比数列，所以a n ＋1a n ＝q .对于A ，|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |，所以数列{|a n |}是等比数列，A 正确；对于B ，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2，所以数列{a n a n ＋1}是等比数列，B 正确；对于C ，1a n ＋11a n ＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，C 正确；对于D ，lg a 2n ＋1lg a 2n ＝2lg a n ＋12lg a n ＝lg a n ＋1lg a n，不一定是常数，所以D 错误． (2)证明：因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ，所以b n ＋1b n＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－4a na n ＋1－2a n＝2.因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．【迁移探究1】 (变问法)若本例(2)中的条件不变，试求{a n }的通项公式． 解：由(2)知b n ＝a n ＋1－2a n ＝3·2n －1， 所以a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列．所以a n 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14，所以a n ＝(3n －1)·2n －2.【迁移探究2】 (变条件)在本例(2)中，若c n ＝a n3n －1，证明：数列{c n }为等比数列．证明：由[迁移探究1]知，a n ＝(3n －1)·2n －2，所以c n ＝2n －2. 所以c n ＋1c n ＝2n －12n －2＝2，又c 1＝a 13×1－1＝12，所以数列{c n }是首项为12，公比为2的等比数列．等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．1．(一题多解)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B.13 C ．－12D ．12解析：选A.法一：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13.法二：因为等比数列的前n 项和S n ＝k ×q n －k ，则12a ＝－16，a ＝－13.2．(2019·高考全国卷Ⅱ节选)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列．证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n )．又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列．等比数列的性质及应用(多维探究) 角度一 等比数列项的性质的应用(1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－ 2 C. 2D ．－2或 2(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝ ．【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3＜0，a 15＜0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.(2)由题意知a 1a 5＝a 23＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2.所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25.所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.【答案】 (1)B (2)5角度二 等比数列前n 项和的性质的应用(1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝ ．(2)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝12，则S 9S 3＝ ．【解析】 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 6S 3＝12，所以{a n }的公比q ≠1.由a 1（1－q 6）1－q÷a 1（1－q 3）1－q ＝12，得q 3＝－12，所以S 9S 3＝1－q 91－q 3＝34. 【答案】 (1)2 (2)34等比数列性质应用问题的解题突破口等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．[提醒] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形．此外，解题时注意“设而不求”的运用．1．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析：选A.a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，因为a 4＋a 8＝－2，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.2．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选 C.因为数列{a n }是各项均为正数的等比数列，所以a 1a 2a 3，a 4a 5a 6，a 7a 8a 9，a 10a 11a 12，…也成等比数列．不妨令b 1＝a 1a 2a 3，b 2＝a 4a 5a 6，则公比q ＝b 2b 1＝124＝3.所以b m ＝4×3m －1.令b m ＝324，即4×3m －1＝324，解得m ＝5， 所以b 5＝324，即a 13a 14a 15＝324. 所以n ＝14.3．在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝ ．解析：因为1a 7＋1a 10＝a 7＋a 10a 7a 10，1a 8＋1a 9＝a 8＋a 9a 8a 9，由等比数列的性质知a 7a 10＝a 8a 9， 所以1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝158÷⎝⎛⎭⎫－98＝－53. 答案：－53思想方法系列11 分类讨论思想求解数列问题(2020·武汉市调研测试)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，a 3－4a 1＝0.(1)求S n ；(2)令b n ＝a n －15，求T ＝|b 1|＋|b 2|＋…＋|b 10|的值．【解】 (1){a n }是正项等比数列，由a 3－4a 1＝0，所以a 1q 2－4a 1＝0 所以q ＝2，则a n 的前n 项和S n ＝1－2n1－2＝2n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，当n ≥5时，b n ＝2n －1－15＞0，n ≤4时，b n ＝2n －1－15＜0， 所以T ＝－(b 1＋b 2＋b 3＋b 4)＋(b 5＋b 6＋…＋b 10)＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4－15×4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 10－15×6)＝－S 4＋S 10－S 4＋60－90 ＝S 10－2S 4－30＝(210－1)－2×(24－1)－30 ＝210－25－29 ＝1 024－32－29 ＝963.分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．1．(2020·福建厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A.法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.2．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1]B ．(－∞，0)∪[1，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q . 当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立； 当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2 （－q ）·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[基础题组练]1．(2020·广东六校第一次联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4＝( )A ．16B ．15C ．8D ．7解析：选B.设公比为q ，由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，又a 1≠0，所以4q ＝4＋q 2，解得q ＝2，所以S 4＝1×（1－24）1－2＝15，故选B.2．(2020·辽宁五校联考)各项为正数的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则log 2a 7＋log 2a 11的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.由题意得a 4a 14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a 4a 14＝a 7a 11＝8，所以log 2a 7＋log 2a 11＝log 2(a 7a 11)＝log 28＝3，故选C.3．(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1，则{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2n －1B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n ＋1解析：选B.当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1， 因此a n ＝2n －1，故选B.4．(2020·长春市质量监测(一))已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若公比q ＝2，则a 1＋a 3＋a 5S 6＝( ) A.13 B.17 C.23D ．37解析：选A.法一：由题意知a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋22＋24)＝21a 1，而S 6＝a 1（1－26）1－2＝63a 1，所以a 1＋a 3＋a 5S 6＝21a 163a 1＝13，故选A.法二：由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5＋(a 2＋a 4＋a 6)＝a 1＋a 3＋a 5＋2(a 1＋a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 3＋a 5)，故a 1＋a 3＋a 5S 6＝13，故选A.5．(2020·宁夏中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )A ．24里B ．12里C ．6里D ．3里解析：选C.记该人每天走的路程里数为{a n }，可知{a n }是公比q ＝12的等比数列，由S 6＝378，得S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，所以a 6＝192×125＝6，故选C.6．(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝ ．解析：通解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q ＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q ＝13×（1－35）1－3＝1213.优解：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.答案：12137．(2020·陕西第二次质量检测)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝ ．解析：等比数列{a n }的各项都是正数，且公比为2，a 2a 12＝16，所以a 1qa 1q 11＝16，即a 21q 12＝16，所以a 1q 6＝22，所以a 15＝a 1q 14＝a 1q 6(q 2)4＝26，则log 2a 15＝log 226＝6. 答案：68．已知{a n }是递减的等比数列，且a 2＝2，a 1＋a 3＝5，则{a n }的通项公式为 ；a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)＝ ．解析：由a 2＝2，a 1＋a 3＝5，{a n }是递减的等比数列，得a 1＝4，a 3＝1，a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1是首项为8，公比为14的等比数列的前n 项和．故a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝8＋2＋12＋…＋8×⎝⎛⎭⎫14n －1＝8×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n1－14＝323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n .答案：a n ＝4×⎝⎛⎭⎫12n －1323×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫14n 9．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m . 解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)，q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1.(2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－（－2）n3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6. 综上，m ＝6.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3的值；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由． 解：(1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4， 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12， 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn ，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．[综合题组练]1．(2020·河南郑州三测)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，则数列{ba n }的前10项和为( )A.12×(310－1) B.18×(910－1) C.126×(279－1) D ．126×(2710－1)解析：选D.因为a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，所以{a n }为等差数列，公差为3，{b n }为等比数列，公比为3，所以a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2，b n ＝1×3n －1＝3n －1，所以ba n ＝33n －3＝27n －1，所以{ba n }是以1为首项，27为公比的等比数列，所以{ba n }的前10项和为1×（1－2710）1－27＝126×(2710－1)，故选D.2．(2020·陕西榆林二模)已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，若b n ＝22a n ，则{b n }的前n 项和S n ＝ ．解析：由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，得a n ＋1n ＋1－a n n ＝2，又a 1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为2，公差为2的等差数列，所以a nn ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n 2，所以b n ＝22a n ＝4n ，所以数列{b n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以S n ＝4－4n ＋11－4＝4n ＋1－43.答案：4n ＋1－433．(2020·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值．解：(1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.(舍去)所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －3.(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n ＜8. 因为a n ＞0，所以S n 单调递增． 又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8)． 又S n ＜m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8.4．(2020·山西长治二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q ＞0.(1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明现由．解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q ＝13，q ＞0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列， 因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋12是等比数列．。
2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第六章 3 第3讲 等比数列及其前n项和
第3讲 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ．“a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ； (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列；(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 4．等比数列的单调性当q >1，a 1>0或0<q <1，a 1<0时，{a n }是递增数列； 当q >1，a 1<0或0<q <1，a 1>0时，{a n }是递减数列； 当q ＝1时，{a n }是常数列． 5．等比数列与指数函数的关系当q ≠1时，a n ＝a 1q ·q n，可以看成函数y ＝cq x ，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列{a n }各项所对应的点都在函数y ＝cq x 的图象上．[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( )(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( ) (3)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．( ) (4)如果{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ [教材衍化]1．(必修5P54A 组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．解析：设该数列的公比为q ，由题意知， 192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12，12×4＝48. 答案：12，482．(必修5P51例3改编)已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________．解析：由题意知q 3＝a 5a 2＝18，所以q ＝12.答案：123．(必修5P61A 组T1改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝________．解析：因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝－⎝⎛⎭⎫－12n －1.答案：－⎝⎛⎭⎫－12n －1[易错纠偏](1)忽视项的符号判断； (2)忽视公比q ＝1的特殊情况； (3)忽视等比数列的项不为0.1．在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 3与a 7的等比中项为________．解析：设a 3与a 7的等比中项为G ，因为a 3＝4，a 7＝16，所以G 2＝4×16＝64，所以G ＝±8.答案：±82．数列{a n }的通项公式是a n ＝a n (a ≠0)，则其前n 项和S n ＝________．解析：因为a ≠0，a n ＝a n ，所以{a n }是以a 为首项，a 为公比的等比数列．当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时S n ＝a （1－a n ）1－a.答案：⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，a （1－a n ）1－a，a ≠0，a ≠13．已知x ，2x ＋2，3x ＋3是一个等比数列的前三项，则x 的值为________． 解析：因为x ，2x ＋2，3x ＋3是一个等比数列的前三项， 所以(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， 即x 2＋5x ＋4＝0， 解得x ＝－1或x ＝－4.当x ＝－1时，数列的前三项为－1，0，0， 不是等比数列，舍去． 答案：－4等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度为中、低档题．主要命题角度有：(1)求首项a 1、公比q 或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．角度一 求首项a 1、公比q 或项数n(1)已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( ) A.13 B ．－13C.19D ．－19(2)设数列{a n }是等比数列，前n 项和为S n ，若S 3＝3a 3，则公比q ＝________． 【解析】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＝a 2＋10a 1，得a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1，即a 3＝9a 1，q 2＝9， 又a 5＝a 1q 4＝9，所以a 1＝19.(2)当q ≠1时，a 1（1－q 3）1－q＝3a 1q 2，解得q ＝1(舍去)或－12.当q ＝1时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 3也成立．【答案】 (1)C (2)1或－12角度二 求通项或特定项已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0，则a n ＝________．【解析】 由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1)． 因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n ＝12.故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.【答案】12n －1角度三 求前n 项和(2020·温州模拟)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【解析】 设等比数列的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝9，a 21·q 3＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，q ＝12.又{a n }为递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.【答案】 2n －1解决等比数列有关问题的三种常见思想方法(1)方程思想：等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和q ，问题可迎刃而解．(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n 或a 11－q当成整体进行求解．1．设等比数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若a 1＝1，a 3＝4，S k ＝63，则k ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.设等比数列{a n }的公比为q ，由已知a 1＝1，a 3＝4，得q 2＝a 3a 1＝4.又{a n }的各项均为正数，所以q ＝2.而S k ＝1－2k1－2＝63，所以2k －1＝63， 解得k ＝6.2．(2020·绍兴市柯桥区高三期中考试)已知正数数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 和2的等比中项等于a n 和2的等差中项，则a 1＝________，S n ＝________．解析：由题意知a n ＋22＝2S n ，平方可得S n ＝（a n ＋2）28，①由a 1＝S 1得a 1＋22＝2a 1，从而可解得a 1＝2.又由①式得S n －1＝（a n －1＋2）28(n ≥2)，②①－②可得a n ＝S n －S n －1＝（a n ＋2）28－（a n －1＋2）28(n ≥2)，整理得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0， 因为数列{a n }的各项都是正数， 所以a n －a n －1－4＝0，即a n －a n －1＝4.故数列{a n }是以2为首项4为公差的等差数列， 所以S n ＝2n ＋n （n －1）2×4＝2n 2.当n ＝1时，S 1＝a 1＝2. 故S n ＝2n 2. 答案：2 2n 2等比数列的判定与证明(1)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝12，a 3a 5＝4，则下列说法正确的是( )A ．{a n }是单调递减数列B ．{S n }是单调递减数列C ．{a 2n }是单调递减数列D ．{S 2n }是单调递减数列(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.①求a 4的值；②证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．【解】 (1)选C.由于{a n }是等比数列，则a 3a 5＝a 24＝4，又a 2＝12，则a 4＞0，a 4＝2，q 2＝16，当q ＝－66时，{a n }和{S n }不具有单调性，选项A 和B 错误；a 2n ＝a 2q 2n －2＝12×⎝⎛⎭⎫16n －1单调递减，选项C 正确；当q ＝－66时，{S 2n }不具有单调性，选项D 错误． (2)①当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4(1＋32＋54＋a 4)＋5⎝⎛⎭⎫1＋32＝8⎝⎛⎭⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78.②证明：由4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，得4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．因为 4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．(变问法)在本例(2)条件下，求数列{a n }的通项公式． 解：由本例(2)的②知，a n ＋1－12a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1， 即a n ＋1⎝⎛⎭⎫12n ＋1－a n⎝⎛⎭⎫12n ＝4. 所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n ⎝⎛⎭⎫12n 是以a 112＝2为首项，4为公差的等差数列，所以a n⎝⎛⎭⎫12n ＝2＋4(n －1)＝4n －2，即a n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝(2n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1.等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：若数列{a n }中a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成a n ＝c ·q n －1(c ，q 均为不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0，1)，则{a n }是等比数列．[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．(2020·瑞安市龙翔中学高三月考)各项为正的数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a 2nλ＋a n (n ∈N *)． (1)取λ＝a n ＋1，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列，并求其公比； (2)取λ＝2时令b n ＝1a n ＋2，记数列{b n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的前n 项之积为T n ，求证：对任意正整数n ，2n ＋1T n ＋S n 为定值．解：(1)由λ＝a n ＋1，得a n ＋1＝a 2na n ＋1＋a n ，所以a 2n ＋1－a n ＋1a n －a 2n ＝0.两边同除a 2n 可得：⎝⎛⎭⎫a n ＋1a n 2－a n ＋1a n －1＝0， 解得a n ＋1a n ＝1±52.因为a n >0，所以a n ＋1a n ＝1＋52为常数，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列，公比为1＋52.(2)证明：当λ＝2时，a n ＋1＝a 2n2＋a n ，得2a n ＋1＝a n (a n ＋2)，所以b n ＝1a n ＋2＝12·a na n ＋1.所以T n ＝b 1·b 2…b n ＝⎝⎛⎭⎫12·a 1a 2⎝⎛⎭⎫12·a 2a 3…⎝⎛⎭⎫12·a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12na 1a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12n ＋11a n ＋1，又b n ＝12·a n a n ＋1＝a 2n2a n a n ＋1＝2a n ＋1－2a n 2a n a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1a 1－1a n ＋1＝2－1a n ＋1，故2n ＋1T n ＋S n ＝2n ＋1·⎝⎛⎭⎫12n ＋11a n ＋1＋2－1a n ＋1＝2为定值．等比数列的性质(高频考点)等比数列的性质是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，其难度为中等．主要命题角度有：(1)等比数列项的性质的应用； (2)等比数列前n 项和的性质的应用． 角度一 等比数列项的性质的应用(1)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 2B ．4C ．－22或2 2D ．－4或4(2)(2020·温州八校联考)数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，则使不等式a 21＋a 22＋…＋a 2n <5×2n＋1成立的n 的最大值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 (1)因为a 3，a 15是方程x 2－6x ＋8＝0的根， 所以a 3a 15＝8，a 3＋a 15＝6，易知a 3，a 15均为正，由等比数列的性质知，a 1a 17＝a 29＝a 3a 15＝8， 所以a 9＝22，a 1a 17a 9＝22，故选A. (2)因为a n ＝2n －1，a 2n＝4n －1， 所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1×（1－4n ）1－4＝13(4n－1)． 因为a 21＋a 22＋…＋a 2n <5×2n ＋1， 所以13(4n －1)<5×2n ＋1，因为2n (2n －30)<1，对n 进行赋值，可知n 的最大值为4.【答案】 (1)A (2)C角度二 等比数列前n 项和的性质的应用等比数列{a n }中，已知a 1＋a 3＝8，a 5＋a 7＝4，则a 9＋a 11＋a 13＋a 15的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．5【解析】 法一：因为{a n }为等比数列，所以a 5＋a 7是a 1＋a 3与a 9＋a 11的等比中项，所以(a 5＋a 7)2＝(a1＋a 3)·(a 9＋a 11)，故a 9＋a 11＝（a 5＋a 7）2a 1＋a 3＝428＝2. 同理，a 9＋a 11是a 5＋a 7与a 13＋a 15的等比中项， 所以(a 9＋a 11)2＝(a 5＋a 7)(a 13＋a 15)， 故a 13＋a 15＝（a 9＋a 11）2a 5＋a 7＝224＝1.所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝2＋1＝3. 法二：在等比数列{a n }中， 得q 4＝a 5＋a 7a 1＋a 3＝12，所以a 9＋a 11＋a 13＋a 15＝q 8(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝14(8＋4)＝3.【答案】 C等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类： (1)通项公式的变形； (2)等比中项的变形；(3)前n 项和公式的变形．根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．1．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 8＝－2，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．－9解析：选A.a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2，因为a 4＋a 8＝－2，所以a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝4.2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18B ．－18C.578D.558解析：选A.因为a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，且S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，即8，－1，S 9－S 6成等比数列，所以8(S 9－S 6)＝1，即S 9－S 6＝18.所以a 7＋a 8＋a 9＝18.3．(2020·杭州学军中学高三月考)已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a n ＋ma m＝a n ，则a 3＝________；{a n }的前n 项和S n ＝________． 解析：因为a n ＋ma m ＝a n ，所以a n ＋m ＝a n ·a m ，所以a 3＝a 1＋2＝a 1·a 2＝a 1·a 1·a 1＝23＝8； 令m ＝1，则有a n ＋1＝a n ·a 1＝2a n ，所以数列{a n }是首项为a 1＝2，公比q ＝2的等比数列， 所以S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.答案：8 2n ＋1－2思想方法系列4 分类讨论思想求解数列问题等差数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，满足a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3.(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2S n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，设数列{c n }的前n 项和为T n ，求T 2n .【解】 (1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋S 2＝10，a 5－2b 2＝a 3，得⎩⎪⎨⎪⎧q ＋6＋d ＝10，3＋4d －2q ＝3＋2d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝2n －1.(2)由a 1＝3，a n ＝2n ＋1，得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n (n ＋2)，则c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n （n ＋2），n 为奇数，2n －1，n 为偶数，即c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1n －1n ＋2，n 为奇数，2n －1，n 为偶数，所以T 2n ＝(c 1＋c 3＋…＋c 2n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c 2n )＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＋(2＋23＋…＋22n －1) ＝1－12n ＋1＋2（1－4n ）1－4＝2n 2n ＋1＋23(4n －1)．分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知S n 与a n 的关系，要分n ＝1，n ≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q ＝1，q ≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．(4)等比数列的单调性的判断注意与a 1，q 的取值的讨论．1．(2020·宁波模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2解析：选A.法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n ＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.2．已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，0)∪[1，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)解析：选D.设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝⎛⎭⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q . 当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立； 当公比q <0时，S 3＝1－⎝⎛⎭⎫－q －1q ≤1－2（－q ）·⎝⎛⎭⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立．所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．[基础题组练]1．(2020·宁波质检)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4 C. 2D ．2 2解析：选B.在等比数列{a n }中，a 2a 4＝a 23＝1，又a 2＋a 4＝52，数列{a n }为递减数列，所以a 2＝2，a 4＝12，所以q 2＝a 4a 2＝14，所以q ＝12，a 1＝a 2q＝4.2．(2020·衢州模拟)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 2－8a 5＝0，则S 8S 4的值为( )A.12B.1716 C ．2D ．17解析：选B.设{a n }的公比为q ，依题意得a 5a 2＝18＝q 3，因此q ＝12.注意到a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝q 4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)，即有S 8－S 4＝q 4S 4，因此S 8＝(q 4＋1)S 4，S 8S 4＝q 4＋1＝1716，选B.3．(2020·瑞安四校联考)已知数列{a n }的首项a 1＝2，数列{b n }为等比数列，且b n ＝a n ＋1a n，若b 10b 11＝2，则a 21＝( )A ．29B ．210C ．211D ．212解析：选C.由b n ＝a n ＋1a n ，且a 1＝2，得b 1＝a 2a 1＝a 22，a 2＝2b 1；b 2＝a 3a 2，a 3＝a 2b 2＝2b 1b 2；b 3＝a 4a 3，a 4＝a 3b 3＝2b 1b 2b 3；…；a n ＝2b 1b 2b 3…b n －1，所以a 21＝2b 1b 2b 3…b 20，又{b n }为等比数列，所以a 21＝2(b 1b 20)(b 2b 19)…(b 10b 11)＝2(b 10b 11)10＝211.4．(2020·丽水市高考数学模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，下列结论一定成立的是( )A ．a 1＋a 3≥2a 2B ．a 1＋a 3≤2a 2C ．a 1S 3>0D ．a 1S 3<0解析：选C.选项A ，数列－1，1，－1为等比数列，但a 1＋a 3＝－2<2a 2＝2，故A 错误；选项B ，数列1，－1，1为等比数列，但a 1＋a 3＝2>2a 2＝－2，故B 错误；选项D ，数列1，－1，1为等比数列，但a 1S 3＝1>0，故D 错误；对于选项C ，a 1(a 1＋a 2＋a 3)＝a 1(a 1＋a 1q ＋a 1q2)＝a 21(1＋q ＋q 2)，因为等比数列的项不为0，故a 21>0，而1＋q ＋q 2＝⎝⎛⎭⎫q ＋122＋34>0， 故a 21(1＋q ＋q 2)>0，故C 正确．5．(2020·郑州市第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<t ，则实数t 的取值范围为( )A ．(13，＋∞)B ．[13，＋∞)C ．(23，＋∞)D ．[23，＋∞)解析：选D.依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22（n －1）2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n ＝122n －1，数列{1a n }是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列{1a n }的前n 项和等于12（1－14n ）1－14＝23(1－14n )<23，因此实数t 的取值范围是[23，＋∞)，选D.6．(2020·江南十校联考)设数列{a n }是各项均为正数的等比数列，T n 是{a n }的前n 项之积，a 2＝27，a 3a 6a 9＝127，则当T n 最大时，n 的值为( )A ．5或6B ．6C ．5D ．4或5解析：选D.数列{a n }是各项均为正数的等比数列，因为a 3a 6a 9＝127，所以a 36＝127，所以a 6＝13.因为a 2＝27，所以q 4＝a 6a 2＝1327＝181，所以q ＝13.所以a n ＝a 2q n －2＝27×⎝⎛⎭⎫13n －2＝⎝⎛⎭⎫13n －5.令a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －5＝1，解得n ＝5，则当T n 最大时，n 的值为4或5.7．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10，2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 25＝a 10，得(a 1q 4)2＝a 1·q 9，即a 1＝q .又由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，得2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2⎝⎛⎭⎫q ＝12舍去，所以a n ＝a 1·q n －1＝2n .答案：2n8．已知等比数列{a n }的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85，所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为________．解析：由题意得a 1＋a 3＋…＝85，a 2＋a 4＋…＝170， 所以数列{a n }的公比q ＝2，由数列{a n }的前n 项和公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，得85＋170＝1－2n1－2，解得n ＝8.答案：89．(2020·温州市十校联合体期初)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析：设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，且S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列， 则2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2，若q ＝1，则S n ＝na 1，等式显然不成立，若q ≠1，则为2·a 1（1－q n ）1－q ＝a 1（1－q n ＋1）1－q ＋a 1（1－q n ＋2）1－q ，故2q n ＝q n ＋1＋q n ＋2， 即q 2＋q －2＝0， 因此q ＝－2. 答案：－210．(2020·台州市高考模拟)已知数列{a n }的前m (m ≥4)项是公差为2的等差数列，从第m －1项起，a m －1，a m ，a m ＋1，…成公比为2的等比数列．若a 1＝－2，则m ＝________，{a n }的前6项和S 6＝________．解析：由a 1＝－2，公差d ＝2，得a m －1＝－2＋2(m －2)＝2m －6， a m ＝－2＋2(m －1)＝2m －4，则a m a m －1＝2m －42m －6＝2，所以m ＝4；所以S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ＝－2＋0＋2＋4＋8＋16＝28. 答案：4 2811．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.② 联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5，q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.12．(2020·瑞安市龙翔中学高三月考)已知数列{a n }是首项为2的等差数列，其前n 项和S n 满足4S n ＝a n ·a n ＋1.数列{b n }是以12为首项的等比数列，且b 1b 2b 3＝164.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，若对任意n ∈N *不等式1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥14λ－12T n 恒成立，求λ的取值范围．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得4a 1＝a 1(a 1＋d )，解得d ＝2，所以a n ＝2n ，由b 1b 2b 3＝b 32＝164⇒b 2＝14， 从而公比q ＝b 2b 1＝12，所以b n ＝⎝⎛⎭⎫12n.(2)由(1)知1S n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，所以对任意n ∈N *，1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≥14λ－12T n等价于32－1n ＋1－12n ＋1≥14λ，因为32－1n ＋1－12n ＋1对n ∈N *递增，所以⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－12n ＋1min ＝32－12－14＝34，所以34≥14λ⇒λ≤3，即λ的取值范围为(－∞，3]．[综合题组练]1．(2020·丽水模拟)已知等比数列{a n }的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为T n ，且a 2a 4＝a 3，则使得T n ＞1的n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C.因为{a n }是各项均为正数的等比数列且a 2a 4＝a 3，所以a 23＝a 3，所以a 3＝1.又因为q ＞1，所以a 1＜a 2＜1，a n ＞1(n ＞3)，所以T n ＞T n －1(n ≥4，n ∈N *)，T 1＜1，T 2＝a 1·a 2＜1，T 3＝a 1·a 2·a 3＝a 1a 2＝T 2＜1，T 4＝a 1a 2a 3a 4＝a 1＜1，T 5＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝a 53＝1，T 6＝T 5·a 6＝a 6＞1，故n 的最小值为6，故选C.2．(2020·温州十校联合体期初)已知数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列(b n >0)．( )A ．若b 7≤a 6，则b 4＋b 10≥a 3＋a 9B ．若b 7≤a 6，则b 4＋b 10≤a 3＋a 9C ．若b 6≥a 7，则b 3＋b 9≥a 4＋a 10D ．若b 6≤a 7，则b 3＋b 9≤a 4＋a 10解析：选C.因为数列{a n }是等差数列，数列{b n }是等比数列(b n >0)， 在A 中，因为b 7≤a 6，b 4＋b 10≥2b 4b 10＝2b 7，a 3＋a 9＝2a 6，所以b 4＋b 10≥a 3＋a 9不一定成立，故A 错误； 在B 中，因为b 7≤a 6，b 4＋b 10≥2b 4b 10＝2b 7，a 3＋a 9＝2a 6，所以b 4＋b 10≤a 3＋a 9不一定成立，故B 错误；在C 中，因为b 6≥a 7，所以b 3＋b 9≥2b 3·b 9＝2b 6，a 4＋a 10＝2a 7，所以b 3＋b 9≥a 4＋a 10，故C 正确；在D 中，因为b 6≤a 7，所以b 3＋b 9≥2b 3·b 9＝2b 6，a 4＋a 10＝2a 7，所以b 3＋b 9≤a 4＋a 10不一定成立，故D 错误．3．已知直线l n ：y ＝x －2n 与圆C n ：x 2＋y 2＝2a n ＋n 交于不同的两点A n ，B n ，n ∈N *，数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝14|A n B n |2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：圆C n 的圆心到直线l n 的距离d n ＝|2n |2＝n ，半径r n ＝2a n ＋n ，故a n ＋1＝14|A n B n |2＝r 2n －d 2n ＝2a n ，故数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n －1(n ∈N *)． 答案：a n ＝2n －1(n ∈N *)4．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，且对任意正整数m ，n 都有a m ＋n ＝a m ·a n ，若S n <a 恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为a m ＋n ＝a m ·a n ，令m ＝1得a n ＋1＝a 1·a n ，即a n ＋1a n ＝a 1＝13，所以{a n }为等比数列，所以a n ＝13n ，所以S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝12⎝⎛⎭⎫1－13n <12，所以a ≥12.故a 的最小值为12. 答案：125．(2020·温州瑞安七中高考模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，n ＝1，2，…(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．解：(1)因为对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成等差数列，所以B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，即a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，亦即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4.故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列，于是a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3. (2)证明：(必要性)：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，对任意n ∈N *，有a n ＋1＝a n q .由a n >0知，A (n )，B (n )，C (n )均大于0，于是B （n ）A （n ）＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1a 1＋a 2＋…＋a n ＝q （a 1＋a 2＋…＋a n ）a 1＋a 2＋…＋a n ＝q ，C （n ）B （n ）＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q （a 2＋a 3＋…＋a n ＋1）a 2＋a 3＋…＋a n ＋1＝q ，即B （n ）A （n ）＝C （n ）B （n ）＝q ，所以三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列；(充分性)：若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列，则 B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )，于是C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，即a n ＋2－a 2＝ q (a n ＋1－a 1)，亦即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1. 由n ＝1时，B (1)＝qA (1)， 即a 2＝qa 1，从而a n ＋2－qa n ＋1＝0. 因为a n >0，所以a n ＋2a n ＋1＝a 2a 1＝q .故数列{a n }是首项为a 1，公比为q 的等比数列．综上所述，数列{a n }是公比为q 的等比数列的充分必要条件是：对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )组成公比为q 的等比数列．6．(2020·杭州市七校高三联考)已知等比数列{a n }的公比为q (0<q <1)，且a 2＋a 5＝98，a 3a4＝18. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝a n ·(log 2a n )，求{b n }的前n 项和T n ；(3)设该等比数列{a n }的前n 项和为S n ，正整数m ，n 满足S n －m S n ＋1－m <12，求出所有符合条件的m ，n 的值．解：(1)由等比数列的性质可知a 3a 4＝a 2a 5＝18，a 2＋a 5＝98，所以a 2，a 5是方程x 2－98x ＋18＝0的两根，由题意可知a 2>a 5， 解得a 2＝1，a 5＝18，由等比数列的性质可知a 5＝a 2·q 3，解得q ＝12，a n ＝a 2·⎝⎛⎭⎫12n －2＝⎝⎛⎭⎫12n －2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －2.(2)由(1)可知b n ＝a n ·(log 2a n )＝2－n2n －2， {b n }的前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2＋0＋⎝⎛⎭⎫－12＋⎝⎛⎭⎫－222＋⎝⎛⎭⎫－323＋…＋2－n 2n －2， 12T n ＝1＋0＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－223＋⎝⎛⎭⎫－324＋…＋2－n 2n －1， 两式相减可得12T n ＝1－⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n －2－2－n 2n －1 ＝1－12－12n －11－12－2－n 2n －1＝1－⎝⎛⎭⎫1－12n －2－2－n2n －1＝12n －2－2－n 2n －1＝n2n－1，所以T n ＝n2n －2.(3)因为S n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ， 由S n －m S n ＋1－m <12⇒2<2n (4－m )<6，2n (4－m )为偶数，因此只能取2n (4－m )＝4，所以有⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝24－m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧2n ＝44－m ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1m ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ＝3.。
新高考数学 第三节 等比数列
解得qa＝1＝21，，
所以 Sn＝a111－－qqn＝2n－1，an＝a1qn－1
＝2n－1，所以Sann＝22nn－－11＝2－21－n，故选 B．
法二：设等比数列{an}的公比为 q，因为aa65－ －aa43＝aa4311－－qq22＝aa43＝2142＝2，所以 q＝2，
a11－qn
所以Sann＝
答案：C
2．(2020·全国Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5－a3＝12，a6－a4＝24，则
Sann＝ A．2n－1
B．2－21－n
()
C．2－2n－1
D．21－n－1
解析：法一：设等比数列{an}的公比为 q，则由
a5－a3＝a1q4－a1q2＝12， a6－a4＝a1q5－a1q3＝24，
等比数列的性质及应用
考向1 等比数列项的性质应用
(1)已知数列{an}为等比数列，且a2a6＋2a24＝π，则tan(a3·a5)＝
A． 3
B．－ 3
()
C．－
3 3
D．± 3
(2)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则a6＋
a7＋a8＝
()
A．12
[逐点清]
1．(多选) (选择性必修第二册31页练习1题改编)已知数列{an}是等比数列，那么下列
数列一定是等比数列的是
()
A．a1n C．{an＋an＋1}
B．log2a2n D．{an＋an＋1＋an＋2}
解析：等比数列{an}的通项an＝1时，log2a
2 n
＝0，数列{log2a
2 n
}不是等比数列；等比
S2 ＝a111－－qq2＝a11＋q＝4， 列的前n项和公式，得S4＝a111－－qq4＝a11＋q1＋q2＝4222－ 2，
专题6.3等比数列及其前n项和(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 等比数列及其前n 项和一、题型全归纳题型一 等比数列基本量的运算【题型要点】1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q (q ≠0，n ∈N *)．(2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3.解决等比数列有关问题的2种常用思想4．等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行． (2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a 1，n ，q ，a n ，S n 的“知三求二”问题．例1】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝ ．【答案】58.【解析】通解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯21--121--114＝58.优解一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝321-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋⎪⎭⎫ ⎝⎛81-＝58.优解二：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q ＝－12.所以S 4＝23×⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯421--11＝58.【例2】(2020·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63【解析】：通解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B.优解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1， 所以S 5＝31，故选B.题型二 等比数列的判定与证明【题型要点】等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列． 【易错提醒】：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．【例1】已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．【解析】 (1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4. (2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.【例2】设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ＋a n ＝n －1n (n ＋1)，n ＝1,2，…，n .(1)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n S n 是等比数列；(2)求S n . 【解析】 (1)证明：由题意，n ＝1时，S 1＋a 1＝0，即a 1＝0，n ≥2时，S n ＋S n －S n －1＝2S n －S n －1＝n －1n (n ＋1)＝2n ＋1－1n，所以S n －1n ＋1＝12⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n S n 11-，S 1－12＝－12，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n S n 是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知，S n －1n ＋1＝121-⎪⎭⎫⎝⎛n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-＝n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-，所以S n ＝1n ＋1－n⎪⎭⎫⎝⎛21. 【例3】已知数列{a n }是等比数列，则下列命题不正确的是( ) A ．数列{|a n |}是等比数列 B ．数列{a n a n ＋1}是等比数列 C ．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列 D ．数列{lg a 2n }是等比数列 【解析】.因为数列{a n }是等比数列，所以a n ＋1a n ＝q .对于A ，|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |，所以数列{|a n |}是等比数列，A 正确；对于B ，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2，所以数列{a n a n ＋1}是等比数列，B 正确；对于C ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列，C 正确；对于D ，lg a 2n ＋1lg a 2n ＝2lg a n ＋12lg a n ＝lg a n ＋1lg a n ，不一定是常数，所以D 错误． 【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ，若不存在，请说明理由． 【解析】：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21.(2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：因为S n ＝2a n －3n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n ＋1， 所以2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，所以a n ＋1＋3a n ＋3＝2，所以存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． 所以a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．题型三 等比数列性质的应用【题型要点】1.等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ． (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列．(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 常用结论2．记住等比数列的几个常用结论(1)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{a 2n }，{a n ·b n }，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 仍是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(3)一个等比数列各项的k 次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k 次幂． (4){a n }为等比数列，若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列．(5)当q ≠0，q ≠1时，S n ＝k －k ·q n (k ≠0)是{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．类型一 等比数列项的性质的应用【例1】已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D ．18【解析】：法一：因为a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又因为q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C. 法二：因为a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.【例2】(2020·洛阳市第一次联考)等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－2 C. 2D ．－2或2【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3＜0，a 15＜0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.类型二 等差数列前n 项和性质的应用【例3】等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________． 【解析】法一：设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n ）1－q＝48，①a 1（1－q 2n ）1－q＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n ＝14.③将③将入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 1（1－q 3n ）1－q ＝64×⎪⎭⎫⎝⎛341-1＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝（S 2n －S n ）2S n ＋S 2n ＝（60－48）248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为S 2n ＝S n ＋q n S n ，所以q n ＝S 2n －S n S n ＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q 2n S n ＝60＋241⎪⎭⎫⎝⎛×48＝63.【例4】(2020·池州高三上学期期末)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前100项和为S 100＝90，则其偶数项 a 2＋a 4＋…＋a 100为( ) A ．15 B ．30 C ．45D ．60【解析】设S ＝a 1＋a 3＋…＋a 99，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)q ＝2S ，又因为S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝90，所以3S ＝90，S ＝30，所以a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S ＝60.【例5】已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝ ．【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.【总结提升】1．掌握运用等比数列性质解题的两个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件． (2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：①若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列． ②若公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 2．牢记与等比数列前n 项和S n 相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)，S 奇－a 1S 偶＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m(q 为公比)．题型四 数列与数学文化及实际应用类型一．等差数列与数学文化【例1】(2020·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( ) A ．6斤 B ．7斤 C ．9斤D ．15斤【解析】 设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{a n }，则有a 1＝4，a 5＝2，所以a 1＋a 5＝6，数列{a n }的前5项和为S 5＝5×a 1＋a 52＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.【题后升华】以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n 项和等．类型二．等比数列与数学文化【例2】(2020·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为( ) A.253 B ．503 C.507 D ．1007【解析】5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则a 1（1－23）1－2＝50，解得a 1＝507，所以马主人应偿还粟的量为a 2＝2a 1＝1007，故选D.【题后升华】以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n 项和等．类型三．递推数列与数学文化【例3】(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数a 4为( ) A ．7 B ．10 C ．12D ．22【解析】因为数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，所以a 2＝2a 1－1＝2－1＝1，所以a 3＝2a 2＋2＝2×1＋2＝4，所以a 4＝2a 3－1＝2×4－1＝7.故选A.【题后升华】以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用此递推公式往要求的量转化，如本题，剥去数学文化背景，实质就是已知a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，求a 4的问题．类型四．周期数列与数学文化【例4】(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( ) A ．672 B ．673 C ．1 346D ．2 019【解析】 由于{a n }是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{a n }是周期为3的周期数列， 且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2 019＝673×3， 所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C.【题后反思】以数学文化为背景的周期数列模型题的求解关键是细审题，建立数学模型，并会适时脱去背景，如本题，脱去背景，实质是利用斐波那契数列的各项除以2的余数的特征，得出新数列的周期性，进而求出结果．类型五．数列在实际问题中的应用【例5】私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3 000元的等差数列，第一年维修费为3 000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是________年．【解析】设这辆汽车报废的最佳年限为n 年，第n 年的费用为a n ，则a n ＝1.5＋0.3n .前n 年的总费用为S n ＝15＋1.5n ＋n 2(0.3＋0.3n )＝0.15n 2＋1.65n ＋15，年平均费用：S n n ＝0.15n ＋15n＋1.65≥20.15n ×15n＋1.65＝4.65，当且仅当0.15n ＝15n ，即n ＝10时，年平均费用S nn 取得最小值．所以这辆汽车报废的最佳年限是10年．【题后反思】数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程．有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表达数列问题，用数学的知识得到数列模型，用数列的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果．二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·湖南衡阳一模)在等比数列{a n }中，a 1a 3＝a 4＝4，则a 6的所有可能值构成的集合是( ) A ．{6} B ．{－8，8} C ．{－8}D ．{8}【解析】：因为a 1a 3＝a 22＝4，a 4＝4，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝2×4＝8，故a 6的所有可能值构成的集合是{8}，故选D.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．2【解析】：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝3a 3＋4a 1，得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，得q 4－3q 2－4＝0，令q 2＝t ，则t 2－3t －4＝0，解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，所以q 2＝4，即q ＝2或q ＝－2(舍去)．又 S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.S 6S 3＝8 D ．S 6S 3＝4【解析】：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以a 6a 3＝q 3＝8，解得q ＝2，所以S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝9.4．(2020·山西3月高考考前适应性测试)正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( ) A ．1 B ．2 C.22D ．2【解析】：设公比为q ，由正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，可得a 23＋2a 3a 7＋a 27＝(a 3＋a 7)2＝16，即a 3＋a 7＝4，由a 5与a 9的等差中项为4，得a 5＋a 9＝8，则q 2(a 3＋a 7)＝4q 2＝8，则q ＝2(舍负)，故选D. 4．(2020·湘赣十四校第二次联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里D ．96里【解析】：由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{a n }，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则q ＝12，依题意有a 1（1－q 6）1－q ＝378，解得a 1＝192，则a 6＝192×(12)5＝6，最后一天走了6里，故选A.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( ) A ．13 B ．12 C ．11D ．10【解析】：设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，所以a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，所以T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n ，所以n ＝12.6．(2020·青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( ) A ．3 B ．9 C ．10D ．13【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，所以6a 4＝a 4(q 2－q )．由题意得a 4>0，q >0.所以q 2－q －6＝0，解得q ＝3，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．(2020届福建厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2【解析】： 解法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A.解法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.8．(2020·新乡调研)已知各项均不为0的等差数列{a n }满足a 3－a 272＋a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 1·b 13＝( )A ．25B ．16C ．8D ．4【解析】由a 3－a 272＋a 11＝0，得2a 7－a 272＝0，a 7＝4，所以b 7＝4，b 1·b 13＝b 27＝16. 9.(2020·福建厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2【解析】：法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.10．(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n ＋1【解析】：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1， 因此a n ＝2n －1，故选B.11．(2020·长春市质量监测(一))已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若公比q ＝2，则a 1＋a 3＋a 5S 6＝( )A.13B.17C.23D ．37【解析】：法一：由题意知a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋22＋24)＝21a 1，而S 6＝a 1（1－26）1－2＝63a 1，所以a 1＋a 3＋a 5S 6＝21a 163a 1＝13，故选A. 法二：由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5＋(a 2＋a 4＋a 6)＝a 1＋a 3＋a 5＋2(a 1＋a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 3＋a 5)，故a 1＋a 3＋a 5S 6＝13，故选A.12.(2020·河南郑州三测)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，则数列{ba n }的前10项和为( )A.12×(310－1)B.18×(910－1)C.126×(279－1) D ．126×(2710－1)【解析】：因为a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n ＝3，所以{a n }为等差数列，公差为3，{b n }为等比数列，公比为3，所以a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，b n ＝1×3n －1＝3n －1，所以ba n ＝33n －3＝27n －1，所以{ba n }是以1为首项，27为公比的等比数列，所以{ba n }的前10项和为1×（1－2710）1－27＝126×(2710－1)，故选D.二、填空题1.(2020·陕西第二次质量检测)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝ ．【解析】：等比数列{a n }的各项都是正数，且公比为2，a 2a 12＝16，所以a 1qa 1q 11＝16，即a 21q 12＝16，所以a 1q 6＝22，所以a 15＝a 1q 14＝a 1q 6(q 2)4＝26，则log 2a 15＝log 226＝6.2．(2020·陕西榆林二模)已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，若b n ＝22a n ，则{b n }的前n 项和S n ＝ ．【解析】：由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，得a n ＋1n ＋1－a n n ＝2，又a 1＝2，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为2，公差为2的等差数列，所以a nn ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n 2，所以b n ＝22a n ＝4n ，所以数列{b n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以S n ＝4－4n ＋11－4＝4n ＋1－43.3．(2020·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．【解析】：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ2n a .由于数列{a n－1}是等比数列，所以2λ＝1， 得λ＝2.4.在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝________． 【解析】：因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64.又a 1＋a n ＝34， 所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2.又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32. 由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q＝42，解得q ＝4.由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3.5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m ＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．【解析】：因为a n ＋m a m ＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.6.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________.【解析】因为S 10∶S 5＝1∶2，所以设S 5＝2a ，S 10＝a (a ≠0)，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，即2a ，－a ，S 15－a 成等比数列，所以(－a )2＝2a (S 15－a )， 解得S 15＝3a2，所以S 15∶S 5＝3∶4.三 解答题1.(2020·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值．【解析】：(1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.(舍去)所以a n ＝4·121-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝321-⎪⎭⎫ ⎝⎛n .(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎪⎭⎫⎝⎛n 21-1＜8.因为a n ＞0，所以S n 单调递增．又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8)．又S n ＜m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8. 2．(2020·山西长治二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q ＞0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明现由．【解析】：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q＝13，q ＞0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a n＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， 所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n S 是等比数列．3.(2020届长春市高三质量监测)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，设b n ＝a n 2n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和S n .【解析】：(1)证明：当n ≥2时，b n －b n －1＝a n 2n －a n －12n －1＝a n －2a n －12n ＝1，又b 1＝1，所以{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，b n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n －1n ＋1，所以S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.4.(2020届南昌市第一次模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4，得2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2.又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知a 1＝1，q ＝2，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，所以b n ＝2n－1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋22＋…＋2n －n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .。
2020_2021学年高中数学第一章数列3等比数列第2课时等比数列的性质学案(含解析)北师大版必修5
第2课时等比数列的性质Q情景引入ing jing yin ru1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们知道这是一个等比数列，那么，等比数列中，有什么特殊的性质呢？X新知导学in zhi dao xue1．等比数列的性质：(1)通项公式的推广：a n＝a m·q n－m (m、n∈N＋)．(2)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是等比数列，公比为q .(3)若{a n}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N＋，则a m·a n＝a p·a q .(4)若等比数列{a n}的公比为q，则{1a n }是以1q为公比的等比数列．(5)一组等比数列{a n}中，下标成等差数列的项构成等比数列 .(6)若{a n}与{b n}均为等比数列，则{a n b n}为等比数列 .(7)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和(和不为0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为q m .(8){a n}是等差数列，c是正数，则数列{ca n}是等比数列．(9){a n}是等比数列，且a n>0，则{log a a n}(a>0，a≠1)是等差数列．2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或aq，a，aq.(2)若四个数成等比数列，可设 a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设a q 3，a q，aq ，aq 3. Y 预习自测u xi zi ce1．在等比数列{a n }中，若 a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( A ) A ．4 B ．32 C ．169D ．3[解析] 解法一：∵a 6＝a 3·q 3， ∴a 3·q 3＝6.a 9＝a 6·q 3，∴q 3＝96＝32.∴a 3＝6q 3＝6×23＝4.解法二：由等比数列的性质，得a 26＝a 3·a 9， ∴36＝9a 3，∴a 3＝4.2．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( D ) A ．90 B ．30 C ．70 D ．40[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2， ∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.3．如果数列{a n }是等比数列，那么( A ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列[解析] 数列{a 2n }是等比数列，公比为q 2，故选A ． 4．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 9＝9，则a 5＝ 3 . [解析] 由a 25＝a 1·a 9，∴a 25＝9，∴a 5＝±3. 而a 1、a 9均为正值，故a 5也为正值，∴a 5＝3.5．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 12＝ 567 . [解析] 解法一：可知a 4、a 6、a 8、a 10、a 12成等比数列．其公比为 a 6a 4＝217＝3，所以a 12＝a 4·35－1＝7×34＝567.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 6a 4＝q 2＝3. ∴a 12＝a 4·q 8＝7×34＝567.解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝7，a 6＝21，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝7，a 1q 5＝21，两式相比得q 2＝3.∴a 12＝a 1·q 11＝(a 1·q 5)·q 6＝a 6·(q 2)3＝21×33＝567.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨运用等比数列性质解题例题1 在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝162，求a 10.[分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q ，再求a 10. [解析] 解法一：设公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 5＝162，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝23q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23q ＝－3.∴a 10＝a 1q 9＝23×39＝13 122或a 10＝a 1q 9＝－23×(－3)9＝13 122.解法二：∵a 6＝a 2q 4，∴q 4＝a 6a 2＝1622＝81，∴a 10＝a 6q 4＝162×81＝13 122.解法三：在等比数列中，由a 26＝a 2·a 10得a 10＝a 26a 2＝16222＝13 122.『规律总结』 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用．〔跟踪练习1〕(1)若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( A ) A ．－12B ．12C ．±12D ．14(2)若等比数列{a n } 的各项均为正数，且a 10·a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .[解析] (1)∵1，a 1，a 2,4成等差数列， 3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0， ∴b 2＝2， ∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. (2)因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12， 所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20) ＝ln(a 10·a 11)10＝10ln(a 10·a 11) ＝10·lne 5＝50.命题方向2 ⇨对称法设未知项例题2 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析] 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．[解析] 设四个数为2a q －a 、aq、a 、aq ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2q ＝162aq－a ·aq ＝－128，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8q ＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.『规律总结』 (1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a 、q 表示四个数，也可以据前三个成等差，用a 、d 表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x ，则第二个数为16x ，则第一个数为32x－x ，最后一个数为x 316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x 的方程x 316·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x ＝－128，解之得x ＝±8，则更简捷．〔跟踪练习2〕有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为多少．[解析] 解法一：设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9.d ＝－6.所以，当a ＝4，d ＝4时， 所求四个数为0,4,8,16. 当a ＝9，d ＝－6时， 所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16. 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.解法三：设四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由条件有⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋12－y ，12－y2＝y ·16－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16，或15,9,3,1.命题方向3 ⇨有关等比数列的开放探究题例题3 已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }定义为b n ＝1n[lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n －1＋lg(ka n )]，是否存在实数k ，使得数列{b n }为等差数列？并证明你的结论．[分析] 先利用数列{a n }是等比数列，求出数列{b n }的通项公式，再求b n ＋1－b n ，看使它成为常数的条件是什么？[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1，b n ＝1n[lg a 1＋lg(a 1q )＋lg(a 1q 2)＋…＋lg(ka 1q n －1)]，解得b n ＝1n [n lg a 1＋12n (n －1)lg q ＋lg k ]＝lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ，∴b n ＋1－b n ＝[lg a 1＋12n lg q ＋1n ＋1lg k ]－[lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ]＝12lg q －1n n ＋1lg k . 要使数列{b n }为等差数列，只需k ＝1， 故存在实数k ＝1，使得数列{b n }成为等差数列．『规律总结』 除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条件入手，找到解决问题的突破口．下面的性质要熟悉：①若{a n }是等差数列，c 是正数，则数列{ca n }是等比数列；②若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0，a ≠1)是等差数列，这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化．〔跟踪练习3〕在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1＝1，且a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 8＝b 3. (1)求数列{a n }的公差d 和数列{b n }的公比q ；(2)是否存在常数a ，b 使得对一切正整数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q1＋7d ＝q2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝6d ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝1d ＝0(舍去)．(2)假设存在a ，b 使得a n ＝log a b n ＋b 成立， 即有1＋5(n －1)＝log a 6n －1＋b .整理，得(5－log a 6)n －(4＋b －log a 6)＝0. ∵a n ＝log a b n ＋b 对一切正整数n 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧5－log a 6＝04＋b －log a 6＝0，∴a ＝56，b ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为134，求这个等比数列的公比．[误解] 设这四个数为aq －3，aq －1，aq ，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3q －3＝1，①aq －1＋aq ＋aq 3＝134.②由①得a ＝q ，把a ＝q 代入②并整理，得4q 4＋4q 2－3＝0，解得q 2＝12或q 2＝－32(舍去)，故所求的公比为12.[辨析] 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q 2，则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误．[正解] 设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝1，①aq ＋aq 2＋aq 3＝134.②由①得a ＝q －1，把a ＝q －1代入②并整理，得4q 2＋4q －3＝0，解得q ＝12或q ＝－32，故所求公比为12或－32.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu等比数列的性质⎩⎪⎨⎪⎧等比数列的性质等比数列中的设项方法与技巧等差数列与等比数列的综合应用。
2021版新高考数学：等比数列及其前n项和含答案
即病毒共复制了13次．∴所需时间为13×3＝39(秒).](对应学生用书第106页)考点1等比数列的基本运算等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列的通项公式与前n项和公式共涉及五个量a1、a n、q、n、S n、已知其中三个就能求另外两个(简称“知三求二”).(2)运用等比数列的前n项和公式时、注意分q＝1和q≠1两类分别讨论．1.设S n为等比数列{a n}的前n项和、已知3S3＝a4－2、3S2＝a3－2、则公比q＝()A．3B．4C．5D．6∴q ＝－12或q ＝1. ∴a 2＝a3q ＝－3或32.]4．(20xx·全国卷Ⅲ)等比数列{a n }中、a 1＝1、a 5＝4a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和、若S m ＝63、求m . [解] (1)设{a n }的公比为q 、由题设得a n ＝q n －1. 由已知得q 4＝4q 2、解得q ＝0(舍去)、q ＝－2或q ＝2. 故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1(n ∈N ＋). (2)若a n ＝(－2)n －1、则S n ＝1－（－2）n 3. 由S m ＝63得(－2)m ＝－188、 此方程没有正整数解． 若a n ＝2n －1、则S n ＝2n －1. 由S m ＝63得2m ＝64、解得m ＝6. 综上、m ＝6.抓住基本量a 1, q 、借用方程思想求解是解答此类问题的关键、求解中要注意方法的择优．考点2 等比数列的判定与证明故⎩⎨⎧⎭⎬⎫an 2n 是首项为12、公差为34的等差数列． ∴an 2n ＝12＋(n －1)·34＝3n －14、 故a n ＝(3n －1)·2n －2.(20xx·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1、b 1＝0、4a n ＋1＝3a n －b n ＋4、4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列、{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式．[解] (1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )、即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ). 又因为a 1＋b 1＝1、所以{a n ＋b n }是首项为1、公比为12的等比数列． 由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8、即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1、所以{a n －b n }是首项为1、公差为2的等差数列． (2)由(1)知、a n ＋b n ＝12n －1、a n －b n ＝2n －1.所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12、 b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12. 考点3 等比数列性质的应用。
2021版新高考数学一轮复习讲义：第五章第三讲 等比数列及其前n项和 (含解析)
第三讲 等比数列及其前n 项和ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 等比数列的概念 (1)等比数列的定义如果一个数列__从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)__，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的__公比__，通常用字母__q __表示．符号语言：__a n ＋1a n＝q __(n ∈N *，q 为非零常数)．(2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么__G __叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝__ab __.注意：任意两数的等差中项都唯一存在；但只有两个数满足ab >0时，a 、b 才有等比中项，且有互为相反数的两个．知识点二 等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝__a 1q n －1__＝__a m q n －m __.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧__na 1__，q ＝1，__a 1(1－q n )1－q __(＝__a 1－a n q1－q __)，q ≠1. 知识点三 等比数列的主要性质设数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m a n ＝a p a q ，其中m ，n ，p ，q ∈N *，特别地，若2s ＝p ＋r ，则a p a r＝a 2s ，其中p ，s ，r ∈N *.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为q m (k ，m ∈N *)．(3)若数列{a n }，{b n }是两个项数相同的等比数列，则数列{ba n }，{pa n ·qb n }和{pa nqb n}(其中b ，p ，q 是非零常数)也是等比数列．(4)当q ≠－1或q ＝－1且k 为奇数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…是等比数列．当q ＝－1且k 为偶数时，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…不是等比数列．(5)等比数列{a n }的单调性①满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1时，{a n }是递增数列．②满足⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }是递减数列．③当⎩⎪⎨⎪⎧a 1≠0，q ＝1时，{a n }为常数列．④当q <0时，{a n }为摆动数列．重要结论1．等比数列的概念的理解(1)等比数列中各项及公比都不能为零．(2)由a n ＋1＝qa n (q ≠0)，并不能断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0. (3)等比数列中奇数项的符号相同，偶数项的符号相同．(4)S m ＋n ＝S n ＋q n S m ＝S m ＋q m S n ；若数列{a n }的项数为2n ，则S 偶S 奇＝q ；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q .(5)若{a n }是等比数列，且a n >0(n ∈N *)，则{log a a n }(a >0且a ≠1)成等差数列，反之亦然． (6)若{a n }是等差数列，则{aa n }(a >0，a ≠1)成等比数列，反之亦然．(7)三个数成等比数列可设三数为bq ，b ，bq ，四个数成等比数列且公比大于0时，可设四个数为b q 3，bq，bq ，bq 3.2．等比数列前n 项和公式的推导方法__错位相减法__.双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列命题不正确的是( ABCD )A ．满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列B ．如果数列{a n }为等比数列，b n ＝a 2n －1＋a 2n ，则数列{b n }也是等比数列C ．如果数列{a n }为等比数列，则数列{ln a n }是等差数列D ．数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列 题组二 走进教材2．(必修5P 54A 组T8改编)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为__12,48__.[解析] 设该数列的公比为q ，由题意知，192＝3×q 3，q 3＝64，所以q ＝4.所以插入的两个数分别为3×4＝12,12×4＝48.3．(必修5P 62B 组T2改编)等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则{a n }的通项公式a n ＝__－(－12)n －1__.[解析] 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝－132，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，所以q 5＝－132，q ＝－12，则a n ＝－1×(－12)n －1＝－(－12)n －1.题组三 考题再现4．(2018·北京，5)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D ) A ．32f B ．322f C ．1225f D ．1227f[解析] 本题主要考查等比数列的概念和通项公式，数学的实际应用． 由题意知十三个单音的频率依次构成首项为f ，公比为122的等比数列，设此数列为{a n }，则a 8＝1227f ，即第八个单音的频率为1227f ，故选D ．5．(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( C )A ．16B ．8C ．4D ．2[解析] 设数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝3a 3＋4a 1，得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，得q 4－3q 2－4＝0，令q 2＝t ，则t 2－3t －4＝0，解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，所以q 2＝4，即q ＝2或q ＝－2(舍去)．又S 4＝a 1(1－q 4)1－q＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C ．6．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝__1213__. [解析] 解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，所以a 1q＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13(1－35)1－3＝1213.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 24＝a 6，所以a 2a 6＝a 6，所以a 2＝1，又a 1＝13，所以q ＝3，所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35)1－3＝1213.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 等比数列的基本运算——自主练透例1 (1)(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( C )A ．2B ．1C ．12D ．18(2)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( A )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里(3)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝__58__.(4)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝2，S 4＝5S 2，则a 6＝__16或－16__. [解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，知q ≠1，则a 1q 2×a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，∴116×q 6＝4(14×q 3－1)，∴q 6－16q 3＋64＝0，∴(q 3－8)2＝0，即q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝12，故选C ．(2)由题意得，将该人每天所走的路程依次排列，形成一个公比为12的等比数列，记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1[1－(12)6]1－12＝378，解得a 1＝192，所以a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，故选A ．(3)解法一：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解q ＝－12，所以S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝1×[1－(－12)4]1－(－12)＝58. 解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝(－12)3＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋(－18)＝58.解法三：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q＝－12.所以S 4＝23×[1－(－12)4]＝58.(4)设等比数列的公比为q ，由a 3＝2知：若q ＝1，则S 4＝8，而5S 2＝20，不合题意．∴q ≠1，∴a 1(1－q 4)1－q ＝5a 1(1－q 2)1－q，解得q ＝2或－2.当q ＝2时，a 6＝a 3·q 3＝16，当q ＝－2时，a 6＝a 3q 3＝－16，即a 6＝16或－16. 名师点拨 ☞等比数列基本量的求法等比数列的计算涉及五个量a 1，a n ，q ，n ，S n ，知其三就能求其二，即根据条件列出关于a 1，q 的方程组求解，体现了方程思想的应用．特别提醒：在使用等比数列的前n 项和公式时，q 的值除非题目中给出，否则要根据公比q 的情况进行分类讨论，切不可忽视q 的取值而盲目用求和公式．考点二 等比数列的判定与证明——师生共研例2 已知数列{a n }的首项a 1>0，a n ＋1＝3a n 2a n ＋1(n ∈N *)，且a 1＝23.(1)求证：{1a n －1}是等比数列，并求出{a n }的通项公式；(2)求数列{1a n }的前n 项和T n .[解析] (1)记b n ＝1a n－1，则b n ＋1b n ＝1a n ＋1－11a n －1＝2a n ＋13a n －11a n－1＝2a n ＋1－3a n3－3a n ＝1－a n 3(1－a n )＝13，又b 1＝1a 1－1＝32－1＝12，所以{1a n －1}是首项为12，公比为13的等比数列．所以1a n －1＝12·(13)n －1，即a n ＝2·3n －11＋2·3n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2·3n －11＋2·3n －1.(2)由(1)知，1a n －1＝12·(13)n －1，即1a n ＝12·(13)n －1＋1. 所以数列{1a n }的前n 项和T n ＝12(1－13n )1－13＋n ＝34(1－13n )＋n .名师点拨 ☞等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．提醒：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中． 〔变式训练1〕(1)对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( D ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列(2)(2018·课标全国Ⅰ，17)已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .①求b 1，b 2，b 3；②判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； ③求{a n }的通项公式．[解析] (1)设等比数列的公比为q ，则a 3＝a 1q 2，a 6＝a 1q 5，a 9＝a 1q 8，满足(a 1q 5)2＝a 1q 2·a 1q 8，即a 26＝a 3·a 9. (2)①由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.②{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． ③由②可得a nn＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.考点三 等比数列性质的应用——多维探究角度1 等比数列项的性质的应用例3 (1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( B )A ．－2＋22B ．－ 2C ．2D ．－2或 2(2)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝__5__.[解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.故选B ．(2)由题意知a 1a 5＝a 23＝4，因为数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2.所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25.所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.名师点拨 ☞(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．角度2 等比数列前n 项和的性质例4 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝__2__.(2)(2020·浙江丽水模拟)已知各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为其前n 项和，且S 3＝10，S 9＝70，那么S 12＝( A )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50[分析] (2)可将S 3，S 9用a 1和公比q (显然q ≠1)表示，解方程组求出a 1、q 进而可求S 12；但利用S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列运算简便；注意到S n ＝a 1(1－q n )1－q (q ≠1)＝a 11－q －a 11－q·q n，故可设S n ＝A －Aq n 求解． [解析] (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.(2)解法一：设等比数列的公比为q ，显然q ≠1， 又S n ＝a 1(1－q n )1－q，∴S 9S 3＝1－q 91－q 3＝q 6＋q 3＋1＝7.∴q 3＝2或－3(舍去)． 又S 12S 3＝1－q121－q 3＝1－(q 3)41－q 3＝15. ∴S 12＝15S 3＝150.故选A ．解法二：∵S 9＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋(a 7＋a 8＋a 9) ＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3＝S 3(1＋q 3＋q 6)，∴10(q 6＋q 3＋1)＝70，∴q 3＝2或－3(舍去)， ∴S 12＝S 9＋q 9S 3＝70＋80＝150.故选A ．解法三：由等比数列的性质知S 3、S 6－S 3、S 9－S 6、S 12－S 9是等比数列，∴(S 6－10)2＝10(70－S 6)，解得S 6＝30或－20(舍去)，又(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)(S 12－S 9)，即402＝20(S 12－70)，解得S 12＝150.故选A ．解法四：设等比数列前n 项和为S n ＝A －Aq n ，则⎩⎪⎨⎪⎧A (1－q 9)＝70，A (1－q 3)＝10，两式相除得1＋q 3＋q 6＝7， 解得q 3＝2或－3(舍去)，∴A ＝－10. ∴S 12＝－10(1－24)＝150.故选A ．[引申]本例(2)中若去掉条件“各项都是正数”，结果如何？ [解析] 由本例解法一知q 3＝2或－3， 当q 3＝2时，S 12＝S 9＋q 9S 3＝70＋80＝150；当q 3＝－3时，S 12＝S 9＋q 9S 3＝70－270＝－200.故选C ． 名师点拨 ☞(1)等比数列前n 项和的性质主要是：若S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列． (2)利用等比数列的性质可以减少运算量，提高解题速度．解题时，根据题目条件，分析具体的变化特征，即可找到解决问题的突破口．(3)注意等比数列前n 项和公式的变形．当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 11－q －a 11－q ·q n ，即S n＝A －Aq n (q ≠1)．(4)S 2n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n (1＋q n ＋q 2n )，…. 〔变式训练2〕(1)(角度1)在等比数列{a n }中，若a 3＝4，a 9＝1，则a 6＝__±2__，若a 3＝4，a 11＝1，则a 7＝__2__.(2)(角度1)(2020·内蒙古呼和浩特一中摸底)已知数列{a n }是递减的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2·a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( B )A ．8－12n －3B ．16－12n －4C ．2n －3－8D ．16－2n －3(3)(角度2)(2020·吉林统考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝( C )A ．13B ．13或12C ．3D ．3或－2[解析] (1)设数列{a n }的公比为q ，则a 3，a 6，a 9组成的新数列的公比为q 3.若a 3＝4，a 9＝1，则a 26＝4，a 6＝±2，合题意； a 3，a 7，a 11组成的新数列的公比为q 4，由a 3＝4，a 11＝1，得a 27＝4，当a 7＝2时，q 4＝12，合题意，当a 7＝－2时，q 4＝－12，不合题意，舍去．(2)设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝8，∴a 1·a 4＝8，又a 1＋a 4＝9且数列{a n }是递减数列，∴a 1＝8，a 4＝1，∴q 3＝18，∴q ＝12，∴S n ＝8(1－12n )1－12＝16－12n －4，故选B ．(3)不妨设S 4＝1，则S 12＝7， ∵S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， ∴(S 8－1)2＝7－S 8，解得S 8＝3或－2， 又S 8＝(1＋q 4)S 4>0，∴S 8＝3，∴S 8S 4＝3.故选C ．另解：由题意S 12S 4＝(1＋q 4＋q 8)S 4S 4＝1＋q 4＋q 8＝7即q 8＋q 4－6＝0，∴q 4＝2或－3(舍去)，∴S 8S 4＝(1＋q 4)S 4S 4＝1＋q 4＝3，故选C ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升等差、等比数列的综合运用例5 (2020·重庆巴蜀中学期中)已知等差数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，{b n }为各项均为正数的等比数列，b 1＝2，且b 2＋S 2＝7，a 2＋b 3＝10.(1)求a n 与b n ；(2)定义新数列{C n }满足C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，(n 为奇数)b n ，(n 为偶数)(n ∈N *)求{C n }前20项的和T 20.[分析] (1)用等差、等比数列基本公式求解； (2)分组求和即可．[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q (q >0)，则由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ 2q ＋2＋d ＝7，1＋d ＋2q 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－1d ＝7(舍去)，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b n ＝b 1q n －1＝2n .(2)由题意知C n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n 为奇数)，2n (n 为偶数).∴T 20＝C 1＋C 2＋C 3＋C 4＋…＋C 19＋C 20 ＝1＋22＋3＋24＋…＋19＋220 ＝(1＋3＋…＋19)＋(22＋24＋…＋220) ＝10(1＋19)2＋4(1－410)1－4＝100＋43(410－1)．[引申](1)本例中数列{C n}的前n 项和T n＝__⎩⎨⎧n 24＋43(2n－1)(n 为偶数)，(n ＋1)24＋43(2n －1－1)(n 为奇数).__.(2)本例中若C n ＝a n ·b n ，则{C n }的前n 项和T n ＝__(n －1)·2n ＋1＋2__.[解析] (1)当n 为偶数时T n ＝＋＝n 24＋4(1－4n 2)1－4＝n 24＋43(2n－1)．当n 为奇数时T n ＝＝(n ＋1)24＋4(1－4n -12)1－4＝(n ＋1)24＋43(2n －1－1)．∴T n＝⎩⎨⎧n 24＋43(2n－1)(n 为偶数)，(n ＋1)24＋43(2n －1－1)(n 为奇数).(2)T n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ① 则2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)2n ＋n ·2n ＋1② ①－②得－T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1 ＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋2. 名师点拨 ☞(1)若{a n }，{b n }分别为等差、等比数列，则求{a n ·b n }前n 项和时用“错位相减法”． (2)求奇数项与偶数项表达式不同的数列的前n 项和一般用分组求和法．(注意当n 为偶数时，奇数项、偶数项都是n2项；当n 为奇数时，奇数项有n ＋12项，偶数项为n －12项)需对n 进行分类讨论求解．〔变式训练3〕(2016·全国卷Ⅰ)已知{a n }是公差为3的等差数列，数列{b n }满足b 1＝1，b 2＝13，a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n .(1)求{a n }的通项公式； (2)求{b n }的前n 项和．[解析] (1)由已知，a 1b 2＋b 2＝b 1，b 1＝1，b 2＝13，得a 1＝2.所以数列{a n }是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为a n ＝3n －1.(2)由(1)和a n b n ＋1＋b n ＋1＝nb n ，得b n ＋1＝b n3，即b n ＋1b n ＝13.因此数列{b n }是首项为1，公比为13的等比数列．记{b n }的前n 项和为S n ， 则S n ＝1－(13)n1－13＝32－12×3n －1.。
新课程2021高考数学一轮复习第五章数列第3讲等比数列及其前n项和课件
解析 由 a24＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，整理得 q＝a11＝3.∴S5＝13×1－1－3 35＝ 121 3.
3．设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a3＝32，S3＝92. (1)求数列{an}的通项公式；
解 (1)①当公比 q＝1 时，∵a3＝32，S3＝92， ∴an＝32；
nn＋1 此时 Tn＝2· 2 ＝n(n＋1)． 综上所述，Tn＝2n 或 Tn＝n(n＋1)．
1.等比数列基本运算中的两种常用数学思想
等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三 方程的思想 求二”，通过列方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可迎刃而
解．如举例说明 2
分类讨论 的思想
2.(2020·滨海新区期中)已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七 项的积为 512，且这三项分别减去 1,3,9 后成等差数列.
(1)求{an}的首项和公比； 解 (1)根据等比数列的性质，可得 a3·a5·a7＝a53＝512，解得 a5＝8. 设数列{an}的公比为 q，则 a3＝q82，a7＝8q2， 由题设可得q82－1＋(8q2－9)＝2×(8－3)＝10， 解得 q2＝2 或12.
∴an＝3＋6－1n.
等比数列的判定方法 (1)定义法：若aan＋n 1＝q(q 为非零常数，n∈N*)或aan－n 1＝q(q 为非零常数且 n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列．如举例说明(2). (2)等比中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 an2＋1＝an·an＋2(n∈N*)，则 数列{an}是等比数列. (3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn(c，q 均是不为 0 的常 数，n∈N*)，则{an}是等比数列.