高职大一应用数学两个重要极限教学设计
两个重要极限教案(修改稿)
一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“ 型”函数的极限,具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标
知识与技能:让学生了解公式 的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算.
教学重点
正确理解公式 ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识,提高学生的学习兴趣.对于公式的证明，所涉及的内容比较多,逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程.在公式的运用上按照循序渐进的原则,设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间,让学生去尝试、联想、探索,以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题,帮助学生获得成功的体验。
2、当 。如 .
例2:求 ⑴ ⑵
解：⑴ =3 =3
⑵ ==Biblioteka =回顾反思：1、此例用到了变量替换（换元），变量替换后一定要注意变量的变化趋势可能会发生变化.
2、函数变形后要注意系数的变化，防止计算错误。
3、一般地 ， ， 。
例3：求
解： = = =
回顾反思：利用公式 求函数极限,有时不仅要进行变量替换，还要利用三角函数公式进行变形。
两个重要极限教案
学生分组巩固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况引导学生使用计算器代入进行近似计算，并猜想。
利用几何画板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用
教师讲授证明过程，学生理解识记，记住公式特征。
教师引导鼓励学生发表观点。第（1）小题学生独立思考，第（2）小题教师引导并板书。
学生尝试，教师引导。体会换元法、转化思想在数学解题中的重要作用。
师生回顾归纳交流解题经验
综合运用，提高分析、解决问题的能力
课堂练习
练习：求下列极限：
3 ②
③ ④
小结
1．正确、灵活地运用公式 。
2．当 。
3．运用换元法时须注意自变量的变化趋势的改变和系数的变化。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
公开课教案
教者
龚桂琼
科目
数学
班级
12级数一班
课题
两个重要极限（一）
课型
时间
地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析
③
一、问题的提出
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案教学目标：1. 理解极限的定义和性质。
2. 掌握两个重要极限的表达式和应用。
3. 能够运用两个重要极限解决实际问题。
教学内容：第一章：极限的定义和性质1.1 极限的定义1.2 极限的性质1.3 极限的存在条件第二章：两个重要极限2.1 极限lim(x->0) (sin x / x) = 12.2 极限lim(x->∞) (sin x / x) = 02.3 两个重要极限的证明和应用第三章：极限的计算方法3.1 直接计算法3.2 因式分解法3.3 代数运算法第四章：无穷小和无穷大4.1 无穷小的定义和性质4.2 无穷大的定义和性质4.3 无穷小和无穷大的比较第五章：极限的运算法则5.1 极限的基本运算法则5.2 极限的复合运算法则5.3 极限的逆运算教学过程：第一章：1.1 引入极限的概念，引导学生理解极限的定义。
1.2 引导学生通过举例和观察，总结极限的性质。
1.3 引导学生探讨极限的存在条件，并举例说明。
第二章：2.1 引导学生理解两个重要极限的表达式，并通过图形和实例进行解释。
2.2 引导学生掌握两个重要极限的证明方法，并能够运用到实际问题中。
2.3 引导学生通过练习题，巩固两个重要极限的应用。
第三章：3.1 引导学生学习直接计算法，并通过例子进行演示。
3.2 引导学生学习因式分解法，并通过例子进行演示。
3.3 引导学生学习代数运算法，并通过例子进行演示。
第四章：4.1 引导学生理解无穷小的概念，并通过例子进行解释。
4.2 引导学生理解无穷大的概念，并通过例子进行解释。
4.3 引导学生掌握无穷小和无穷大的比较方法，并能够运用到实际问题中。
第五章：5.1 引导学生学习极限的基本运算法则，并通过例子进行演示。
5.2 引导学生学习极限的复合运算法则，并通过例子进行演示。
5.3 引导学生学习极限的逆运算，并通过例子进行演示。
教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。
2. 学生的参与度和积极性。
1.4 教学设计——两个重要极限
课题名称
学时数
课程类型
两个重要极限
2
理论课
教学内容及学情分析
本节课学习两个重要极限，通过对函数变化趋势的观察，确定重要极限的极限值。同时要对重要极限的形式进行分析，注意它们的使用前提。
教学目标
知识目标
1.掌握两个重要极限；
2.掌握第二个重要极限的两种形式。
能力目标
1.会用重要极限计算函数的极限；
2.能够对函数的形式进行适当的变形，了解重要极限的结构特点。
素质目标
1.通过启发、诱导，让学生明确两个重要极限的研究过程和研究方法，培养学生分析、归纳、猜想、概括、论证等逻辑思维能力；
2.训练学生严密的逻辑思维能力，培养学生严谨的学习态度；
3.通过对两个重要极限的研究，揭示透过现象看本质的辩证唯物主义观念。
教学过程
教学环节
时间
分配
教学内容
教学活动
教学
资源
覆盖目标
课程育人
5’
哲学教学认识极限：无限与有限、变与不变、量变和质变
师生共同讨论，说出自己的观点和看法
视频
多媒体课件
素质目标
2,3
导入新课
10’
等价无穷小中出现的当
时 ，以此来引出第一个重要极限
在等价无穷小的基础上，引出第一个重要极限，便于学生接受和理解
多媒体课件
素质目标1
讲授新课
40’
1.第一个重要极限
形式介绍、结构特点，如何应用；
2.第二个重要极限
两种形式、结构特点，如何应用
3.第二个重要极限是用Mathematica软件做出函数的图形，以此观察在 时函数值的变化趋势；
2.第一个重要极限的讲授同样可以借助软件来作图，同时说明第二个重要极限的两种形式，第二个重要极限是针对幂指函数求极限的
2.3两个重要极限 单元教学设计
黑板演示
学生讨论
30分钟
6
（任务5）
无穷小替换定理
设
则
（1）无穷小替换要注意什么事项？
（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来，并记忆
用无穷小替换定理处理下题
例1
例2
例3
教师讲解
黑板演示
学生听讲
40分钟
7
案例
案例1 求 （要求：两种方法）
案例2求
案例3求证 ， 与 是等价无穷小
2.3两个重要极限 单元教学设计
一、教案头
单元标题：
两个重要极限
略
上课地点
略
教学
目标
能力目标
知识目标
素质目标
➀能够理解 并应用
➁能够理解 并应用
➂能够运用无穷小替换求极限
掌握
掌握
掌握无穷小替换定理
➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力
能力训练任务
及案例
任务1理解并证明
任务2 在若干极限中的应用
任务3 理解
任务4 在若干极限中的应用
任务5 无穷小替换定理
案例1 求
案例2求
案例3求证 ， 与 是等价无穷小
案例4 注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决
教学
材料
高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社
教师提示
分组研讨
15分钟
3
（任务2）
应用
学生先讨论：如何应用这个极限？ 对吗？为什么？
例1
例2
例3
例4
两个重要极限教案
两个重要极限教案两个重要极限教案作为一名无私奉献的老师，有必要进行细致的教案准备工作，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么大家知道正规的教案是怎么写的吗？下面是小编收集整理的两个重要极限教案，仅供参考，大家一起来看看吧。
一、教材分析两个重要极限是在学生系统学习了数列极限、函数极限以及函数极限运算法则的基础上进行研究的，它在求函数极限中起着重要作用，也是今后研究各种基本初等函数求导公式的工具，所以两个重要极限应重点研究。
二、学情分析一方面，学生已经学习了有界函数和无穷小乘积的极限，他们可以通过类比的方法研究这第一个重要极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生基础比较薄弱，对以前所学的三角函数关系、二倍角公式等运用还不够熟练，所以现在在角的转化上面还存在一定困难。
三、教学目标根据以上两点分析并结合本节教材的特点，现把本节课的目标、重点、难点定为：教学目标：（1）知识与技能：使学生掌握重要极限公式的特点及其变形式，并能运用其求某些函数极限；（2）过程与方法：提高学生的自学意识，培养学生类比、观察、归纳、举一反三等方面的'能力；（3）情感态度与价值观：通过对重要极限公式的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯，同时激发学生的学习兴趣。
教学重点与难点：重点：重要极限公式及其变形式难点：的灵活应用四、教法与学法的选择本节课我是以学案为载体，采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。
学法上以课前自学为主要方式，在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，让学生自己出题，把思路方法和需要解决的问题弄清。
五、教学环节的设计（1）课前尝试利用学案导学，让学生明确课前要做的作业，课堂采用的方法，需要达到的要求，在尝试练习中，让学生通过练习，类比，引入新课。
两个重要极限
=
=e
例题4求
解： =
= =
=
例题5求
解： = = = =
练习：求
教学步骤及教学内容
时间分配
四，课堂练习
五，课堂小结
1.第一个重要极限：
2．第二个重要极限：
作业布置
课后反思
准则1如果数列 及 满足下列条件：
（1） ，（2）
那么数列 的极限存在，且 。
准则2单调有界数列必有极限
例 求
解：
而
所以原式极限为1。
二．新课讲解
1.第一个重要极限：
教学步骤及教学内容
时间分配
注：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的 型的极限。
（2）公式形象的记为： （）表示同一个代数式
2．第二个重要极限：
授课课题
两个重要极限
教学
目标和要求
掌握两个极限的存在准则，并会利用它们求极限，
掌握利用两个重要极限求极限的方法
教学
重点和难点
利用两个重要极限求极限
特别是利用第二重要极限求极限的方法
教学方法
案例分析法
教学手段
板书
授课时间
第3周
课时累计
1-2
教 学 过 程
教学步骤及教学内容
时间分配
一，新课引入
1.下面我们来介绍极限存在的两个准则：
也可以写为：
注：（1）公式形象记忆为：
（2）此极限主要解决 型幂指函数的极限。
三．例题讲解
例1（1）求
解：原式= = =1
（2）求
解：原式= = =练习来自求例2（1）求 （2）
解：(1)原式
（2）令arcsinx=t,则x=sint，当 时， 。
两个重要极限教案
公开课教案教者龚桂琼科目数学班级12级数一班课题两个重要极限（一）课型时间地点教材分析《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
学情分析一方面，学生已经学习了函数的极限以及函数极限的运算法则，会用因式分解约去非零因子、有理化分子或分母这两种方法计算“0型”函数的极限，具备了接受新知识的基础；另一方面，学生理性思维能力相对较弱，对函数极限概念的理解还比较浅显，运用极限思维解决问题的能力有限。
教学目标知识与技能：让学生了解公式1sinlim=→xxx的证明过程，正确理解公式，知道公式应用的条件，熟练运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
过程与方法：通过教师引导，学生观察、实验、猜想、分析讨论和练习，培养学生观察、归纳、举一反三的能力，进一步认识换元法、转化思想、数型结合思想在数学解题中的重要作用。
情感态度与价值观：通过对这一重要极限公式的研究，进一步认识数学的美，激发学生的学习兴趣；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维品质。
教学重点正确理解公式1sinlim=→xxx，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点公式1sin lim0=→xxx 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。
通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。
在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。
对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。
在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 理解极限存在的概念，掌握极限的定义。
2. 学习两个重要极限：e和π的极限。
3. 学会运用极限存在准则判断极限的存在性。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：极限存在准则的证明及运用。
三、教学准备1. 教学材料：教材、教案、PPT、黑板。
2. 教学工具：投影仪、计算机。
四、教学过程1. 导入：回顾极限的基本概念，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念：介绍极限的定义，解释极限存在的意义。
3. 推导两个重要极限：a. 推导e的极限：x→0时，(1+x)^(1/x)的极限。
b. 推导π的极限：x→0时，(1+x)^2/2 x^2的极限。
4. 讲解极限存在准则：a. 单调有界定理：判断函数在区间上单调有界，即可得出极限存在。
b. 夹逼定理：利用两个单调有界的函数夹逼目标函数，得出极限存在。
5. 例题讲解：运用极限存在准则判断给定函数极限的存在性。
6. 课堂练习：让学生独立判断一些函数极限的存在性，巩固所学知识。
7. 总结：回顾本节课所学内容，强调极限存在准则的重要性。
五、课后作业1. 复习本节课所学内容，巩固极限存在准则。
2. 完成课后练习题，提高判断极限存在性的能力。
3. 预习下一节课内容，了解极限的性质和运算。
六、教学拓展1. 引入极限存在定理：讨论函数在区间上的连续性，结合极限存在定理，加深对极限存在性的理解。
2. 探讨极限的存在性与函数性质之间的关系：分析单调性、有界性与极限存在性的联系。
七、案例分析1. 分析实际问题中的极限存在性：例如，在物理学中，研究物体运动速度趋于某一值的情况。
2. 引导学生运用极限存在性解决问题，培养学生的实际应用能力。
八、教学互动1. 组织小组讨论：让学生分组讨论极限存在性准则的应用，分享解题心得。
2. 开展课堂提问：鼓励学生主动提问，解答疑难问题。
九、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结极限存在准则及其应用。
两个重要极限教案(修改
两个重要极限教案（修改）一、教学目标：1. 让学生理解两个重要极限的概念和意义。
2. 让学生掌握两个重要极限的推导过程。
3. 让学生能够运用两个重要极限解决实际问题。
二、教学内容：1. 极限概念的引入。
2. 两个重要极限的定义和推导。
3. 两个重要极限的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 教学难点：两个重要极限的推导过程和实际应用。
四、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解两个重要极限的概念、推导和应用。
2. 利用多媒体课件，展示两个重要极限的推导过程和实际应用。
3. 进行课堂练习，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
五、教学过程：1. 引入极限概念，引导学生理解极限的思想。
2. 讲解两个重要极限的定义和推导，让学生掌握推导过程。
3. 进行课堂练习，让学生运用两个重要极限解决实际问题。
4. 总结两个重要极限的应用，强调其在数学和物理中的重要性。
5. 布置课后作业，巩固学生对两个重要极限的理解和应用。
教学评价：通过课堂讲解、课堂练习和课后作业，评价学生对两个重要极限的概念、推导和应用的掌握程度。
关注学生在解决问题时的思维过程和方法，培养学生的数学思维能力。
六、教学目标：1. 让学生理解极限的基本性质和运算规则。
2. 让学生掌握极限的求解方法，如直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
3. 让学生能够运用极限的性质和求解方法解决实际问题。
七、教学内容：1. 极限的基本性质：保号性、保不等式性、保单调性等。
2. 极限的运算规则：加减乘除、乘方、对数等。
3. 极限的求解方法：直接求极限、夹逼定理、单调有界定理等。
4. 极限的实际应用：解决函数的极值、曲线的切线等问题。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 教学难点：极限的求解方法和实际应用。
九、教学方法与手段：1. 采用讲授法，讲解极限的基本性质、运算规则和求解方法。
2. 利用多媒体课件，展示极限的求解过程和实际应用。
两个重要极限教案(修改稿)
正确理解公式 ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
4.利用此公式求极限时，一定要注意变量的变化趋势，不能一概而论，造成思维定势，如求 。
作业
P A组1
课前准备
教师：多媒体课件；学生：计算器。
教学环节
教学内容
师生双边活动
复习导入
新授
1、说说当 时，函数 的极限的定义。
如果当 无限接近于定值 时，函数 无限接近于一个确定的常数 ，那么 称为函数 当 时的极限，记作 。
2、 的充要条件是什么？
=
3、说出函数极限的四则运算法则。
4、求下列函数的极限：① ；②
③
一、问题的提出
“ 型”极限的计算方法，到目前为止，我们学过因式分解约去非零因子，有理化分子或分母这两种方法。是不是所有的“ 型”都可以用这两种方法解决呢？
问题：如何求 ？
（学生使用计算器进行实验）
二、动态演示，验证猜想
于 ，则 ，拖动点 ，改变 的大小，观察 值的变化趋势。
极限存在准则两个重要极限教案
极限存在准则两个重要极限教案一、教学目标1. 让学生理解极限存在的概念，掌握极限的定义和性质。
2. 让学生掌握两个重要极限：e^x 和sin x 的极限存在性。
3. 培养学生运用极限思想解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：极限存在的概念，两个重要极限的推导及应用。
2. 教学难点：理解极限过程，灵活运用极限思想解决问题。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解极限的概念、性质和两个重要极限的推导过程。
2. 运用案例分析法，引导学生运用极限思想解决实际问题。
3. 开展小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
四、教学准备1. 教案、PPT、教材等相关教学资源。
2. 计算机、投影仪等教学设备。
五、教学过程1. 导入新课：回顾极限的基本概念和性质，引导学生思考极限存在的意义。
2. 讲解极限存在的概念，阐述极限的重要性和应用范围。
3. 推导第一个重要极限：e^x 的极限存在性。
a. 讲解e^x 的定义和性质。
b. 引导学生运用极限思想推导e^x 的极限存在性。
4. 推导第二个重要极限：sin x 的极限存在性。
a. 讲解sin x 的定义和性质。
b. 引导学生运用极限思想推导sin x 的极限存在性。
5. 课堂练习：布置相关习题，让学生巩固所学内容。
6. 总结与展望：对本节课内容进行总结，强调极限存在的意义和应用。
7. 布置作业：布置课后习题，巩固所学知识。
8. 课后辅导：针对学生存在的问题进行个别辅导，提高学生的学习效果。
六、教学拓展与应用1. 让学生了解极限存在在其他领域的应用，如物理学、工程学等。
2. 引导学生运用极限思想解决实际问题，如求解函数极限、导数、积分等。
3. 分析极限在实际问题中的作用，培养学生运用极限思维分析问题的能力。
七、极限存在与连续性的关系1. 讲解连续函数的极限存在性定理。
2. 分析连续函数在其极限点处的性质，如连续性、导数存在等。
3. 引导学生理解连续性与极限存在的关系，提高学生对连续性的认识。
高等数学教案 1.4 两个重要极限
§1.4 两条极限存在准则 两个重要极限【教学内容】：1、夹逼准则2、单调有界准则3、两个重要极限【教学目的】：1、了解函数和数列的极限存在准则2、会用两个重要极限求极限【教学重点】：应用两个重要极限求极限【教学难点】：应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】：首先通过几个具体的数列的求极限例子：从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识。
介绍两条极限存在准则（夹逼准则，单调有界准则）及其利用他们求数列函数的极限（50分钟）。
再介绍两个重要极限及x xxx (1sin lim 0=→为弧度）的证明（20分钟），讲解例题（20分钟），课堂练习（10分钟）。
【教学内容】：引入：考虑下面几个数列的极限1、∑=∞→+1000121limi n i n 1000个0相加，极限等于0。
2、∑=∞→+ni n in 121lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、n n x ∞→lim ，其中12-+=n n x x ，21=x ，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决 一、夹逼准则夹逼准则：当),(0δx U x o∈时，有)()()(x h x g x f ≤≤，且A x f x x =→)(lim 0=)(lim 0x h x x →，则A x g x x =→)(lim 0。
推论：设}{n x 、}{n y 、}{n z 都是数列，且满足n n n z y x ≤≤，又=∞→n n x lim A z n n =∞→lim ，则有A y n n =∞→lim 。
例1、 求∑=∞→+ni n in 121lim 。
解：因为=+12n n 111111222++++++n n n ≤++++++≤n n n n 22212111nn nn nn ++++++222111 nn n +=2而=++∞→1lim2n nn 1lim 2=++∞→nn nn所以∑=∞→+ni n in 121lim =1注意：夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 二、单调有界准则单调有界数列必有极限（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在； （2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。
两个重要极限教案(修改稿)
两个重要极限教案(修改稿)章节一：引言与极限概念的复习教学目标：1. 理解极限的概念及其在数学分析中的重要性。
2. 复习函数在一点附近的性质以及极限的定义。
教学内容：1. 引入极限的概念，解释极限在数学分析中的作用。
2. 复习函数在一点附近的性质，包括连续性、可导性等。
3. 回顾极限的定义，包括左极限、右极限以及极限的存在性。
教学方法：1. 通过举例和问题引导students 理解极限的概念。
2. 通过图形和实际例子解释函数在一点附近的性质。
3. 通过练习题帮助students 复习和巩固极限的定义。
章节二：极限的计算方法教学目标：1. 掌握常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 学会运用极限的性质和运算法则进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍常见的极限计算方法，包括直接代入法、因式分解法、有理化法等。
2. 讲解极限的性质和运算法则，如无穷小和无穷大的性质、四则运算法则等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固极限的计算方法。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示常见的极限计算方法。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握极限的性质和运算法则。
3. 通过练习题和问题引导学生运用极限的计算方法解决实际问题。
章节三：无穷小和无穷大的概念教学目标：1. 理解无穷小和无穷大的概念及其在极限计算中的应用。
2. 学会运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
教学内容：1. 介绍无穷小和无穷大的概念，包括无穷小和无穷大的定义、性质等。
2. 讲解无穷小和无穷大的性质，如无穷小的比较、无穷大的比较等。
3. 通过例子和练习题讲解和巩固无穷小和无穷大的应用。
教学方法：1. 通过讲解和示例演示无穷小和无穷大的概念和性质。
2. 通过问题和解题方法的讨论，帮助students 理解和掌握无穷小和无穷大的应用。
3. 通过练习题和问题引导学生运用无穷小和无穷大的性质进行极限的计算。
章节四：极限的存在性教学目标：1. 理解极限的存在性及其在数学分析中的应用。
[整理]2.3两个重要极限 单元教学设计
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教师画图讲解ຫໍສະໝຸດ 教师提示分组研讨15分钟
3
（任务2）
应用
学生先讨论：如何应用这个极限？ 对吗？为什么？
例1
例2
例3
例4
教师启发讲解
板书
师生研讨
30分钟
4
（任务3）
理解
（1）这个极限要注意什么？
（2）你打算如何使用这个极限？
（3）
教师画图讲解
学生听讲
学生讨论
15分钟
5
（任务4）
应用
例1
例2
例3 （注：这个也是公式）
例4
教师提示，引导学生注意
黑板演示
学生讨论
30分钟
6
（任务5）
无穷小替换定理
设
则
（1）无穷小替换要注意什么事项？
（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来，并记忆
用无穷小替换定理处理下题
例1
例2
例3
教师讲解
黑板演示
学生听讲
40分钟
7
案例
案例1求 （要求：两种方法）
案例2求
案例3求证 ， 与 是等价无穷小
案例4 （注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决）
教师指导
45
作业
28页1 2
课后
体会
高等数学应用205例李心灿主编高等教育出版社
二、教学设计
步骤
教学内容
教学方法
教学手段
学生活动
时间
分配
1
（告知）
本单元学习目标：
并应用
（五）规划环境影响评价的跟踪评价 并应用
运用无穷小替换求极限
3.政府部门规章
【教案】两个重要极限教案修改稿
教师：多媒体课件；学生：计算器。
教学环节
教学内容
师生双边活动
复习导入
新授
1、说说当 时，函数 的极限的定义。
如果当 无限接近于定值 时，函数 无限接近于一个确定的常数 ，那么 称为函数 当 时的极限，记作 。
2、 的充要条件是什么？
=
3、说出函数极限的四则运算法则。
4、求下列函数的极限：① ；②
【关键字】教案
公开课教案
教者
龚桂琼
科目
数学
班级
12级数一班
课题
两个重要极限（一）
课型
时间
地点
教材分析
《两个重要极限》是在学生学习了数列的极限、函数的极限以及函数极限的四则运算法则的基础上进行研究的，它是解决极限计算问题的一个有效工具，也是今后研究初等函数求导公式的一个工具，所以两个重要极限是后继学习的重要基础。
教师引导，学生回忆口述，为了解公式的证明、正确计算有关函数极限作铺垫，达到温故知新的目的。
学生分组巩固练习
设疑激趣
分组讨论
教师视情况引导学生使用计算器代入进行近似计算，并猜想。
利用几何画板事先制作课件，拖动动点，让学生观察比值的变化，验证猜想。体会数形结合思想的作用
教师讲授证明过程，学生理解识记，记住公式特征。
教学重点
正确理解公式 ，并能运用公式及其变形式解决有关函数极限的计算。
教学难点
公式 的证明、公式及其变形式灵活运用。
教法学法
本节课采用实验法、讨论法以及讲练结合的教学方法。通过复习函数极限的定义以及函数极限的运算法则，配以适当的练习，强化学生对极限概念的理解和运算能力。在公式的引入上通过设疑引导学生尝试、讨论、猜想，并借助多媒体动画帮助学生理解结论，锻炼学生运用数学工具解决数学问题的意识，提高学生的学习兴趣。对于公式的证明，所涉及的内容比较多，逻辑性较强，在老师的引导下了解论证过程。在公式的运用上按照循序渐进的原则，设计梯度、降低难度，留出学生的思考空间，让学生去尝试、联想、探索，以独立思考和相互交流相结合的形式，在教师的指导下分析和解决问题，帮助学生获得成功的体验。
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学科
应用数学
教 学 内 容 1.7 两个重要极限（第一重要极限） （课名）
该内容总课时 共讲 2 讲 一、学习内容分析
翻转课时 第 1 讲
两个重要极限在整个学期的授课共 2 时节，在第一模块函数的极限与连续中学完极限的运算
法则后的内容。
这堂翻转课教学内容特色：两个重要极限在内容上是两特殊的极限，重点是让学生掌握应用，
40%，组间互评 占 30%，组内互 评占 30%。这部
打分
间互评。
分成绩记入过
程考核中的作
业成绩。
学生总结所学
3 总结
内容并谈学习 答疑补充 学生总结
10
感受
下次课要
4 求·
巡回答疑
辅导答疑 提出问题
5
六、教学设计反思 在课前学习中学生必须要认真进行学习，课堂上的翻转才能真正实施，所以课前任务设计是 关键，要想办法调动学生学习积极性。对于课上翻转部分，学生的分组也是很关键的，一个 小组中成员应该是基础好的和基础差的搭配，如果某个组成员基础都很差就有可能课前任务 完成不了。
有点类似于掌握两个公式的应用。
重点：第一重要极限的形式及变形
难点：第一重要极限的形式及变形的应用
二、学习目标分析 学习目标：第一重要极限的形式及变形的应用 通过学生做巩固练习题的正确率来判断学生是否达到了目标
三、学习者特征分析 学生基础薄弱，运算能力不强；对极限的运算性质掌握不牢固；
四、课前任务设计 学生通过课前导学指导观看视频 1.7.1，完成在线测试 1.7.1，并以小组为单位形成一篇学习笔 记（要体现出课前学习过程中不理解的地方） 课前导学内容：第一步观看视频 1.7.1，掌握第一重要极限的形式、第一重要极限的变形及应 用。第二步完成在线测试 1.7.1。第三步以小组为单位形成一篇学习笔记。 在线测试占课前学习成绩的 60%，学习笔记在线测试占课前学习成绩的 40%. 课前导学、视频、在线测试学习笔记通过学校教学平台发给学生
五、课上任务设计
序 号
步骤
教学内容
教师活动 （方法与 手段）
学生活动
时
间 评价标准与
分
方法配小组展示Fra bibliotek报告，学 集中出现问题 重点讲解， 小组展示学习
1
和在线测试集
生线上学 中出错题目
解疑答惑
报告
5
习提示
老师打分占
2
学 习 成 果 课堂强化训练 检验
辅导答疑， 现场做题，检 验线下学习成
现场给小组 果，组内、组 25