初等几何研究作业参考答案

初等几何研究作业参考答案

《初等几何研究》作业参考答案

一．填空题

1．①射线（或半直线），②。

2. ①两，②度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理。

3．①前4组公理（或绝对几何），②平行公理。

4．①平移，②旋转，③轴对称.

5． 1=⋅⋅ZB

AZ YA CY XC BX 。 6．①交轨法，②三角奠基法，③代数法，④变换法。

7．①反身性、②对称性、③传递性、④可加性.

8．外角.

9．答案不惟一.

10．①演绎，②综合，③直接，④反证，⑤同一；

11． 1=⋅⋅ZB

AZ YA CY XC BX .（答－1也对） 12． ①过两点可作一条直线（或其部分），②已知圆心

和半径可作一圆(或其部分).

13．①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成

的点的集合。

14．连续.

15．答案不惟一.

16．①不过，②圆.

17．1=⋅⋅ZB AZ YA CY XC BX （或－1）.

18．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤

讨论.

19．①相容，②独立，③完备.

20．合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等

21．对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至少有两条过A 与a 不相交的直线.

22．①代数，②解析，③三角，④面积，⑤复数，⑥向

量.

23．相等。

24．所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理

式表出．

二．问答题

1．对于公理系统∑，若有一组具体事物M ，其性质是已知的，在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后，可验证∑中每个公理在M 中都成立，则称M 为公理系统∑的一个模型；

2．①若AB≡B A''，则d(AB)=d(B A'')；

②当C B Aˆ时，有d(AB)+d(BC)=d(AC).

3．命题“三角形的内角和不大于两个直角”与欧氏平行公理不等价。

4．结合，介于，合同；结合——即有公共点，介于——即在…之间，合同——相等或完全相等.

5．长度、角度、相等、全等、运动、移置、叠合、重合等.

6．由第五公设引出了该公理独立性的问题，对该问题的研究导致了非欧几何等结果的产生.

7．通常用“在……上”、“属于”、“通过”等语句来表述。

8．线段“合同”的概念是由公理引出来的，线段“长度”的概念是以定义的形式引出来的。

9．不可以。问题出在第二步“设⊿ABC的内角和为x”。设任何三角形的内角和都相等是不对的。

10．刻划了直线的无限延伸性及三角形的封闭性；

11．一共有5条.这组公理的名称“合同”与长度、角度、相等、全等等概念有关.

12．介于关系，合同关系.

三．轨迹问题

1．已知：BC 是定线段，l 是过B 点的定直线，A 是l

上的动点，O 是⊿ABC 的外心，MN 是

O 的轨迹是MN.

① 完备性：O 是⊿ABC 又∵MN 是BC 的中垂线，∴O 点必在②纯粹性：在MN 上任取一点在l 上取点A,使PA=PB, 则OP 是AB 的中垂线.

OP 与MN 的交点O 是⊿ABC 的外心，

即MN 上的任意点都符合条件.

③结论：由①②可知，⊿ABC 的外心O 的

轨迹是BC 的中垂线MN.

④讨论：若A 与B 重合, 则⊿ABC 不存在，外心也就

不存在. 过B 作l 的垂线交MN 于Q, 虽然Q 点不符合条件，但Q 点周围的任意点都符合条件, 即MN 上除Q 点外都符合条件.

2．①探求：设点M 满足条件，即MA:MB=m,

则M 关于AB 的对称点M’也满足条件；

C

A B C D

M

∵轨迹是一个圆，∴圆心一定在直线AB 上.

又∵AB 上还有两点C,D 满足条件,

即CA:CB=DA:DB=m,

∴轨迹应是以CD 为直径的圆.

②完备性：即由MA:MB=m 证明M 在CD 为直径的圆上. ∵ MA:MB=m=CA:CB=DA:DB, ∴MC,MD 分别为⊿ABM 的

内角和外角平分线, ∴MC ⊥MD.

③纯粹性：即对CD 为直径的圆上任一点M 证明

MA:MB=m.

作MB 关于MC 的对称线，交AB 于A’.

∵MC ⊥MD, ∴MC, MD 是∠A’MB 的内、外角平分

线， 因此CB

DB CD CB DB A C A D DB A D CB A C -=-'-'='='， 由CA:CB=DA:DB=m 可知

CB DB CD CB DB CA DA DB DA CB CA -=--==，即CA’=CA.

又A’与A 在C 同侧，∴A’与A 是同一点，因此

得MA:MB=m.

④下结论：满足命题条件的点的轨迹, 是以CD 为直

径的圆周.

⑤讨论: m=1，轨迹是AB 的中垂线；m<1, 圆在左

侧； m>1, 圆在右侧.

3．探求：A 点轨迹是以BC 为弦的弓形弧，

∵∠1=∠2=α/2是定值， ∴D 的轨迹也是以BC 为弦的弓形弧. 但要注意到A 的变化范围： 当A →B 时，BA 的 极限位置是B 处的切线BT

，

这时D →T, AB →0,

则BT=B(A)C,

∴∠4=∠BCT=∠3,

又∠4=∠1，∴∠3=∠1= α/2 .

因此：D 的轨迹是以BC 为弦,视角为α/2的弓形弧的

一半CDT 弧, 或者说是以CT 为弦,视角为α的弓形弧.

四. 作图问题

1．作法：作A 关于 l 连接A’B 与 l 交于P ，则P 点就是所求位置。α B

C A

D 1

2

T

3 4