运筹学教程》胡云权第五版运筹学6对策论矩阵对策

一局对策中，各局中人选定策略的集合，称局势
赢得函数（ H(s) ）:对于任一局势，局中人的赢得值。支付函数
严格占优策略/严格劣势策略
2
上策均衡/纳什均衡
可编辑ppt
典型案例和重要结论
囚徒困境 智猪博弈
结论1：不要选择严格劣势策略。 结论2：个人理性选择导致非最优。 结论3：学会换位思考。 求解方法：删除严格劣势策略
课程目标
理解并掌握矩阵对策的纯策略 理解并掌握矩阵对策的混合策略 掌握矩阵对策的求解方法
6
可编辑ppt
矩阵对策的策略
纯策略：确定的选择某策略 混合策略：以某一概率分布选择各策略。
7
矩阵对策的纯策略
可编辑ppt
1、矩阵对策的一般表达
设用Ⅰ、Ⅱ分别表示两局中人，Ⅰ有 m 个纯策略
1,2 ,,m ，Ⅱ有 n 个纯策略 1, 2 ,, n ，则
均有
a ij
*
ai* j*
ai* j
2 7 2 1 1
例： G {S1, S2; A}，其中 A 2 2 3 4 2
3 5 4 4 3
2 2 1 6 1
3746
由
max i
min j
aij
min j
max i
aij
a31
ห้องสมุดไป่ตู้
3 则VG
3 ，G
的解
为3, 1分别是局中人Ⅰ、Ⅱ的最优纯策略。
事实：对策 G 的值VG ai* j* 是 A a 中 i* j* 所在的行的最小 12
矩阵对策的纯策略
2、矩阵对策解的引例
例： 设 G {S1, S2; A} ，
其中 S1 {1,2,3,4} ，
6
A
3
1 2
8 -8
4
2
S2 {1, 2, 3}，
9 1 10 -10
3 0
6
-3
926
可编辑ppt
理智行为：从各自最不利情形中选择最有利 I：最大最小原则 II：最小最大原则
β2）（α3,
β4） 14
可编辑ppt
矩阵对策的纯策略
5、矩阵对策纯策略的性质
性质1：无差别性
若（αi1 ，βj1）和（αi2，βj2）是对策G的两个解，则
ai1j1 = ai2j2
性质2：可交换性
若（αi1 ，βj1）和（αi2，βj2）是对策G的两个解，则（αi1 ，βj2） 和（αi2，βj1）也是对策G的两个解。
元素，又是所在列的最大元素，即
a ij
*
ai* j*
ai* j 。
可编辑ppt
矩阵对策的纯策略
4、矩阵对策的鞍点与解
对于一个对策G={S1, S2, A}, 若
有
max i
min j
aij
min j
max i
aij
ai* j*
则称局势（αi*, βj*）为对策G的
鞍点，V = a i*j*为对策G的值。
Ⅰ的策略集为： S1 {1,2 , i , ,m}，
Ⅱ的策略集为： S2 {1, 2 , j , , n} 。
当Ⅰ、Ⅱ分别选择纯策略i , j 时，形成了一个纯局势
(i , j ) S S1 S2 ，则对任一 (i , j ) S ，记Ⅰ的赢得
值为 ai j ，即Ⅱ赢得值为 ai j (i 1,2,, m; j 1,2,, n) .
3
可编辑ppt
矩阵对策的基本理论
4
可编辑ppt
对策/博弈分类
局中人个数：二个，多个 策略集中的个数：有限，无限 支付/赢得代数和：零和，非零和 局中人是否合作：非合作，合作 局中人行动时间：静态，动态 局中人对他者信息了解程度：完全信息，非完全信息 对策次数：单次，重复
5
可编辑ppt
平衡局势：双方均可接受，且对双方都是最稳妥的结果。 10 （α2 ，β2），局中人I和II的最优纯策略。
矩阵对策的纯策略
3、矩阵对策的最优纯策略
可编辑ppt
定义 1：设 G {S1, S2; A}为矩阵对策，其中
S1 {1,2 ,,m} ， S2 {1, 2 ,, n}, A {aij }mn ，
如
果
max i
min j
aij
min j
max i
aij
ai* j*
成立，记 VG
ai* j*
，则
称VG ai* j* 为矩阵对策 G 的值.
相应的纯局势 (i* , j* ) 为 G 在纯策略下的解，i* 与 j*
分别称为局中人Ⅰ与Ⅱ的最优纯策略。
从上例看出，矩阵A中平衡局势（α2 ，β2）对应的元素
矩阵对策的值唯一。即当一个局中人选择了最 15
优纯策略后，他的赢得值不依赖于对方的纯策略。
a22既是其所在行的最小元素，也是其所在列的最大元素，
11
即有 ai2≤a22 ≤ a2j i=1,2,3,4 j=1,2,3
矩阵对策的纯策略
可编辑ppt
3、矩阵对策的最优纯策略
定理 1: 矩阵对策 G {S1, S2; A}在纯策略意义下有解的充要条
件是：存在纯局势 (i* , j* ) 使得对一切 i 1,2,, m; j 1,2,,n
可编辑ppt
第六章 对策论
1
基本概念
对策论又称博弈论，研究冲突对抗条件下最优决策问题
的理论。
可编辑ppt
策略形势：不完全竞争条件下的对抗行为，各方收益由
自身行为和其他方行为共同决定。
基本要素
局中人（I ）：有权决定自己行动方案的对策参加者，理性人 策略集（S ）：供局中人选择的实际可行完整行动方案的集合，
a11 a12 a1n
记
A
a21
a22
a2
n
am1
am2
amn
Ⅰ的赢得矩阵
或Ⅱ的支付矩阵
8
Ⅱ的赢得矩阵为-A 。
矩阵对策的纯策略
1、矩阵对策的一般表达
可编辑ppt
如果局中人Ⅰ、Ⅱ的策略集为 S1, S2 ，局中人Ⅰ的赢得矩阵
为 A，则矩阵对策的模型为
G {, ; S1, S2; A} 或 G {S1, S2; A}
例：田忌赛马
局中人：田忌（I）、齐王（II）
S1 =｛（上、中、下），（上、下、中），（中、上、下）， （中、下、上），（下、中、上），（下、上、中）｝= S2
3 1 1 1 1 1
1
3
1
1
1
1
1 1 3 1 1 1
A 1 1
1
3
1
1
9
1 1 1 1 3 1
1 1 1 1 1 3
注：在矩阵中，一个数在所在行中是最大值，在所 在列中是最小值，则被称为鞍点。
13
矩阵对策的纯策略
4、矩阵对策的鞍点与解 多鞍点与无鞍点对策 例: 设有一矩阵对策如下，求它的解。
可编辑ppt
6 5 6 5
A 1 4 2 1 8 5 7 5
0 2
6
2
局势（α1, β2），（α1, β4），（α3, 均构成鞍点，此对策有多个解。