组合数公式的证明

A C A 根据分步计数原理， 3 4
3 3
4
3
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
nm
组合数公式:
Cnm

Anm Amm

n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm

n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴

3 : 5 : 5, 求m、n的值。
并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个
元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一 列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多 少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车 票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？组合问题
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动， 有多少种不同的选法？
A32 6 有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有 多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组，共有多 少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手 多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多 少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.
a
b
c
b cd
c
d
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过
11C3x

24C
2 x 1
【总结提炼】
组合的定义简单地说，一是取出元素，二是并成一组， 与排列是有区别的，但事物总是一分为二的，排列与组合 也有一定的联系，从两者的联系中推导出组合数公式，要 能理解、记住并正确地运用，尤其要注意逆用公式。
思考题 已知
Cm n2
:
C m1 n2
:
C m2 n2
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑： 4
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
单循环决出冠亚军． （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
Fra Baidu bibliotek
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠
军
中
中
中
美
美
美
古
古
古俄
俄
俄
亚 军
美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
例2求证：
C
m n

m 1 n． m

C
m1 n
一级练习
1、计算：C83
C160
C140
C66
2、证明： ① ② ③
Cnm

m 1 nm
C m1 n
Cnm

C nm n
Cm n 1

Cnm

C m1 n
3、解方程：
从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 Cnm表示
m m，n所满足的条件是：
Cn ⑴m∈N，n∈N*
⑵m≤n
思考:如何计算: C43
取出元素个数
m
元素总个数
组合的第一个 英文字母
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
bd acd
abc ， abd ， acd ， bcd .
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb