组合数公式的证明
组合数公式整理
组合数公式整理[Warning]:作者在现在粗略看了⼀下这个东西后发现⾃⼰好像有点锅...之前找出来的锅已经fixed了。
但是不排除可能还有锅。
暑假应该会重写⼀篇。
如果各位有看到错的地⽅⿇烦在评论指出⼀下...⾸先明确⼀下定义：C(n,m)表⽰的意义是从m个数⾥⾯取出n个数的⽅案数⼀.通项公式C(n,m)=m!n!(m−n)!⼆.递推公式C(n,m)=C(m−1,n−1)+C(m,n−1)三.组合数相关问题1.杨辉三⾓与⼆项式定理好像关于组合数的都有涉及到这个(a+b)n=n∑k=0C(k,n)∗a n−k∗b k⼆项式定理⼤概就是这个样⼦因为⼀般的杨辉三⾓是⽤上⾯提到的组合数递推公式来算出每⼀项的系数的，效率O(n2)，如果要快速求(a+b)n的值可以⽤⼆项式定理O(n)求出由C(k,n)=n!k!(n−k)!可以得到C(k,n)=n−k+1k∗C(k−1,n)所以也可以⽤这个公式来O(n)计算出杨辉三⾓某⼀⾏的值upd:杨辉三⾓第n⾏的和，其实就是2n−12.有相同元素的全排列设有n个元素，其中第i个元素有xi个，总数为m，求全排列全排列数为：m!x1!∗x2!∗...∗xn!证明：对于m个不同的元素，它的全排列个数为m!同理，对于xi个不同的元素，它的全排列个数为xi!于是除掉那些相同的排列即可3.c(n,m)=c(m−n,m)证明：胡乱证明⼀下（数学证明我不想写好长啊，所以很不严谨，⼤家可以跳过下⾯那⼀⾏）回顾⼀下开篇说的定义：C(n,m)表⽰的意义是从m个数⾥⾯取出n个数的⽅案数。
这其实等价于在m种取出n−m个物品然后扔掉的⽅案数。
也就是说，c(n,m)=c(m−n,m)4.C(n,m)∗C(r,n)=C(r,m)∗C(n−r,m−r)证明：C(n,m)=m!n!(m−n)!C(r,n)=n!r!(n−r)!C(n,m)∗C(r,n)=m!n!(m−n)!∗n!r!(n−r)!=m!r!(m−r)!∗(m−r)!(m−n)!(n−r)!=C(r,m)∗C(n−r,m−r) Processing math: 100%。
组合数递推公式证明
组合数递推公式证明要证明组合数递推公式，我们可以使用数学归纳法来进行推导。
首先，我们知道组合数的公式是C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
这个公式表示从n个元素中选择k个元素的组合数等于从n-1个元素中选择k-1个元素的组合数加上从n-1个元素中选择k个元素的组合数。
我们先来验证当k = 1时，组合数递推公式是否成立。
根据组合数公式，C(n, 1) = C(n-1, 0) + C(n-1, 1)。
由于C(n, 1)表示从n个元素中选择1个元素的组合数，而C(n-1, 0)表示从n-1个元素中选择0个元素的组合数，C(n-1, 1)表示从n-1个元素中选择1个元素的组合数。
我们可以知道，从n个元素中选择1个元素的组合数等于从n-1个元素中选择0个元素的组合数加上从n-1个元素中选择1个元素的组合数。
所以，当k = 1时，组合数递推公式成立。
假设当k = m时，组合数递推公式成立，即C(n, m) = C(n-1,m-1) + C(n-1, m)。
我们来验证当k = m+1时，组合数递推公式是否成立。
根据组合数公式，C(n, m+1) = C(n-1, m) + C(n-1,m+1)。
由于C(n, m+1)表示从n个元素中选择m+1个元素的组合数，C(n-1, m)表示从n-1个元素中选择m个元素的组合数，C(n-1, m+1)表示从n-1个元素中选择m+1个元素的组合数。
我们可以知道，从n个元素中选择m+1个元素的组合数等于从n-1个元素中选择m个元素的组合数加上从n-1个元素中选择m+1个元素的组合数。
所以，当k = m+1时，组合数递推公式成立。
综上所述，根据数学归纳法，可以得出组合数递推公式C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)是成立的。
【最新精选】几个常用组合数公式
⑸①几个常用组合数公式n n nn n n C C C 2210=+++ 11111121153142011112++--++++++-+=+==++=+++=+++k n k n k n k n m n m m n m m m m m mn n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C②常用的证明组合等式方法例.i. 裂项求和法. 如：)!1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n （利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.v. 递推法（即用m n m n mn C C C 11+-=+递推）如：413353433+=+++n n C C C C C . vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n nn n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅-- ，而右边nn C 2= 四、排列、组合综合.1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型：①直接法. ②排除法.③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”，例如，一般地，n 个不同元素排成一列，要求其中某)(n m m ≤个元素必相邻的排列有m m m n m n A A ⋅+-+-11个.其中11+-+-m n m n A 是一个“整体排列”，而m m A 则是“局部排列”.又例如①有n 个不同座位，A 、B 两个不能相邻，则有排列法种数为-2n A 2211A A n ⋅-.②有n 件不同商品，若其中A 、B 排在一起有2211A A n n ⋅--.③有n 件不同商品，若其中有二件要排在一起有112--⋅n n n A A .注：①③区别在于①是确定的座位，有22A 种；而③的商品地位相同，是从n 件不同商品任取的2个，有不确定性.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素互不相邻，不同的排法种数为多少？m m n m n m n A A 1+---⋅（插空法），当n – m+1≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n 个元素进行全排列有n n A 种，)(n m m 个元素的全排列有m m A 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，共有m m n nA A 种排列方法.例如：n 个元素全排列，其中m 个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？解法一：（逐步插空法）（m+1）（m+2）…n = n！/ m ！；解法二：（比例分配法）m m nn A A /.⑦平均法：若把kn 个不同元素平均分成k 组，每组n 个，共有kk n n n n k n kn A C C C )1(-⋅.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法？有3!224=C （平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将200名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？ （!2/102022818C C C P =）注意：分组与插空综合. 例如：n 个元素全排列，其中某m 个元素互不相邻且顺序不变，共有多少种排法？有m m m m n m nm n A A A /1+---⋅，当n – m+1 ≥m, 即m≤21+n 时有意义. ⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.例如：124321=+++x x x x 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为4321,,,x x x x 显然124321=+++x x x x ，故（4321,,,x x x x ）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解),,,(4321y y y y ，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数311C .注意：若为非负数解的x 个数，即用n a a a ,...,21中i a 等于1+i x ，有A a a a A x x x x n n =-+-+-⇒=+++1...11...21321，进而转化为求a 的正整数解的个数为1-+n n A C .4⑨定位问题：从n 个不同元素中每次取出k 个不同元素作排列规定某r 个元素都包含在内，并且都排在某r 个指定位置则有r kr n r r A A --.例如：从n 个不同元素中，每次取出m 个元素的排列，其中某个元素必须固定在（或不固定在）某一位置上，共有多少种排法？固定在某一位置上：11--m n A ；不在某一位置上：11---m n m n A A 或11111----⋅+m n m m n A A A （一类是不取出特殊元素a ，有m n A 1-，一类是取特殊元素a ，有从m-1个位置取一个位置，然后再从n-1个元素中取m-1，这与用插空法解决是一样的）⑩指定元素排列组合问题.i. 从n 个不同元素中每次取出k 个不同的元素作排列（或组合），规定某r 个元素都包含在内 。
组合数学讲义2
二项式系数组合数的简单结论二项式的系数实际就是一个组合数。
前面已经得到公式)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n n k n 以下证明一个非常重要的公式⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111k n k n k n证明：方法1、代数法：由右至左。
（略）方法2、组合证明，从组合数的意义来说明。
构造计数方法，采用算两次的方法。
S 有n 个元素，计算其k 元子集的个数。
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k n 显然是一个答案；采用第二个计算方法是在S 中选择一个元素x ，那么S 的k 元子集分成两类，一类是含x 的（⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11k n ），一类是不含x 的（⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k n 1）。
利用加法原理，可得结果。
例1 S={x, a, b,,c,d}，求其三元子集。
xab ，xac ，xad ，xbc ，xbd ，xcd ，abc ，abd ，acd ，bcd验证以上公式4634241035+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 提供了一个采用递推的方法来实现组合计算。
⎪⎪⎭⎫⎝⎛k nPascal 三角形：可以看出一些事实。
一些恒等式。
以及：1、k=0的列均为1；k=1的列为线型堆放的点，等差；k=2的列为平面型堆放的点；k=3的列为立体型堆放的点；2、从开始往下的走法组合数（直接向下和斜下450，不允许横走），验证⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111k n k n k n二项式定理nk k n n n n y x n n y x k n y x n y x n y x 011010)(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-- 证明方法一：数学归纳法，非常啰嗦。
证明方法一：组合证明方法。
kn nk k ny x k n y x y x y x y x y x -=∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++=+0)())()(()(分析通项，发现x k 的系数实际就是全部乘开以后，该项的个数，也就是从n 个位置中选取k 个位置的组合数。
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
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THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
排列数和组合数的计算公式
排列数和组合数的计算公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个相同元素中，余因子m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个相同元素中抽出m 个元素的一个女团;从n个相同元素中抽出m(m≤n)个元素的所有女团的个数，叫作从n个相同元素中抽出m个元素的女团数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分为k类，每类的个数分别就是n1,n2,...nk这n个元素的全排序数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排序(pnm(n为负号，m为上标))pnm=n×(n-1)....(n-m+1);pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;pn1(n为下标1为上标)=n女团(cnm(n为负号，m为上标))cnm=pnm/pmm ;cnm=n!/m!(n-m)!;cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;cn1(n为下标1为上标)=n;cnm=cnn-m1. 掌控分类计数原理与分步计数原理，并会用它们分析和化解一些直观的应用领域问题。
2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。
3. 认知女团的意义，掌控女团数计算公式和女团数的性质，并会用它们化解一些直观的应用领域问题。
组合恒等式的证明方法与技巧
证明组合恒等式的方法与技巧前言组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来．1. 利用组合公式证明组合公式：mn C =n!!n m m （－）！例1． 求证：m mn C =n 11m n C －－分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式代入，经过简化比较，等号两边相等即可．证：∵ m mn C =m n!!n m m （－）！11m n C －－=n n !1!n m m （－1）（－）（－）！=n n !m 1!n m m m （－1）（－）（－）！=m n!!n m m （－）！∴ m mn C =n －－11m n C .技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取．2. 利用组合数性质证明组合数的基本性质：（1）m n C =n mnC －（2）1mn C ＋=mn C +1m nC －（3）k kn C =n k 11n C －－（4）＋＋...＋＝012n 2nn n n n C C C C－＋－＋...＋（－1）＝00123n nn n n n n C C C C C （5）例2：求证：－＋＋3...＋n ＝n 123n 122n n n n n C C C C分析：等式左边各项组合数的系数与该项组合数上标相等，且各项上标是递增加1的,由此我们联想到组合数的基本性质：k kn C =n k 11n C －－ ，利用它可以将各项组合数的系数化为相等，再利用性质＋＋...＋＝012n 2n n n n n C C C C 可得到证明．证：由k kn C =n k 11n C －－ 得123n2n n n n C C C C ＋＋3...＋n＝012n 11111n n n n n n n C C C C －－－－－＋＋...＋n ＝n （012n 11111n n n n C C C C －－－－－＋＋...＋） ＝n n 12－.例3．求证：012k 1k 1m m 1m 2m k 1m k C C C C C －－＋＋＋－＋＋＋＋...＋＝分析： 观察到，等式左边各项的组合数的上标和下标存在联系：上标＋m ＝下标，而且各项下标是递增＋1的．由此我们想到性质（2），将左边自第二项各项裂项相消，然后整理而得到求证．证：由性质（2）可得i m i 1C ＋＋=i m i C ＋+i 1m i C －＋ （i ∈N ） 即im i C ＋＝i m i 1C ＋＋－i 1m i C －＋令i ＝1，2，…，k －1，并将这k －1个等式相加，得12k 1m 1m 2m k 1C C C －＋＋＋－＋＋...＋ ＝1021k 1k 2m 2m 1m m m k m k C C C C C C －－＋＋＋3＋2＋＋－1－＋－＋...＋－ ＝－0m 1C ＋＋k 1m k C －＋ ＝－0m C ＋k 1m k C －＋∴012k 1k 1m m 1m 2m k 1m k C C C C C －－＋＋＋－＋＋＋＋...＋＝.技巧：例2和例3的证明分别利用性质（3）（5）、（2）此方法的技巧关键在于观察，分析各项组合数存在的联系，读者应在平时实践做题总结，把它们对号入座，什么样的联系用什么样的性质来解决．3. 利用二项式定理证明我们都知道二项式定理：n n 1n 2n 2n 1n n n n n a b a a b a b ab b C C C －1－2－－1（＋）＝＋＋＋...＋＋，对于某些比较特殊的组合恒等式可以用它来证明，下面以两个例子说明3．1．直接代值例4．求证：（1）－1－1＋3＋3＋...＋3＋3＝122n n 1n 2n n n n 2C C C （2）－－－1－－＋＋...＋（－1）＋（－1）＝n n 11n 22n n 1nn n n 22221C C C 分析：以上两题左边的各项组合数都是以 i n ii n ab C － 的形式出现，这样自然会联想到二项式定理．证：设n n 1n 2n 2n 1n n n n n a b a a b a b ab b C C C －1－2－－1（＋）＝＋＋＋...＋＋ ① ⑴ 令a ＝1，b ＝3，代入①，得 －1－＋）＝1＋3＋3＋...＋3＋3n 122n n 1n n n n (13C C C 即， －1－1＋3＋3＋...＋3＋3＝122n n 1n 2n n n n 2C C C(2) 令a ＝2，b ＝－1，代入①，得n n n 11n-22n 1n 1n n n n 121C C C －－－（2－1）＝2－2＋2＋...＋（－）＋（－）即，－－－1－－＋＋...＋（－1）＋（－1）＝n n 11n 22n n 1n n n n 22221C C C .技巧：此方法的关键在于代值，在一般情况，a ，b 值都不会很大，一般都是0， 1，－1，2，－2 , 3，—3这些数，而且a ，b 值与恒等式右边也有必然的联系，如上题中1＋3＝22，2－1=1,在做题的时候要抓住这点．3. 2．求导代值例5．求证： －＋3＋...＋（－1）＝（－1）23nn 2n n n 212nn n n 2C C C （n ≧2）分析：观察左边各项组合数的系数发现不可以直接运用二项式定理，但系数也有一定的规律，系数都是i(i-1) i=2,3,…n 我们又知道（x i）’’=i(i-1)x i-2由此我们想到了求导的方法．证：对n 0122n n n n n n x x x x C C C C （1＋）＝＋＋＋...＋ 两边求二阶导数，得n 223n n 2n n n n n 1x 212x n n x C C C －－（－1）（＋）＝＋3＋...＋（－1）令x=1得 －＋3＋...＋（－1）＝（－1）23n n 2n n n 212n n n n 2C C C （n ≧2）技巧：此方法证明组合恒等式的步骤是，先对恒等式na x （＋）＝i 1mnn i i C ax -=∑ 两边对x 求一阶或二阶导数，然后适当选取x 的值代入．4. 比较系数法比较系数法主要利用二项式定理中两边多项式相等的充要条件为同次幂的系数相等加以证明．例6．求证：2222＋＋)＋()＋()＋...＋()＝012m m 1m 22(n nn n C C C C C （范德蒙恒等式）分析：本题若考虑上面所讲和方法来证明是比较困难的，注意到等式左边各项恰是二项展开式中各项二项式系数的平方，考虑二项展开式 （1＋）n x =＋0n C ＋＋...＋122n nn n n x x x C C C 和（1＋）＝＋＋＋...＋n 012n n n n n 2n 1111x x x xC C C C 这两个展开式乘积中常数项且好式是2222＋＋)＋()＋()＋...＋()012m m 1m 2(n n C C C C证：∵n 0122n n n n n n x x x x C C C C （1＋）＝＋＋＋...＋ （1＋）＝＋＋＋...＋n 012n n nn n 2n 1111x x x xC C C C ∴n1x (1)n x+（1＋）=（＋＋＋...＋0122n n n nn n x x x C C C C ） （＋＋＋...＋012n n nn n 2n 111x x xC C C C ） 又有，n1x (1)n x+（1＋）＝2nn(1+x)x 比较两边的常数项，左边常数项为2222＋＋)＋()＋()＋...＋()012m m 1m 2(n n C C C C右边的常数项为2nn C ，根据二项展开式中对应项的唯一性得 2222＋＋)＋()＋()＋...＋()＝012m m 1m 22(n n n n C C C C C技巧：此方法关键是适当地选择一个已知的恒等式，然后比较两边x 同次幂的系数．当然，已知恒等式的选择不是唯一的，例5也可以选择已知恒等式n 2x (1)(1)n nx x +=+（1＋） ，只须比较恒等式中两边含有nx 的系数即可得证，证明留给读者．5. 利用数列求和方法证明回到例2，除了利用组合数的性质，我们还可以有其他方法．观察，恒等式左边的各项组合数的系数为等差数列，现在我们仿照求和公式(1)12 (2)n n n -+++=的证明来证明例2 证：设123nn n n n s=C 2C 3C ...n C ＋＋＋ ① 则nn-121n n n n s=n C n-1)C ...2C C ＋(＋＋ 01n-2n-1n n n n =n C n-1)C ...2C C ＋(＋＋ ② ①＋②得01n-1nn n n n 2s=n C C ...n C C n ＋＋＋n 01n-1nn n n n =n(C C ...C C )＋＋＋=n 2n∴ 12n s n -=技巧：此方法的证明有一定的特殊性,分析等式中组合数系数的变化规律尤其重要,知识的迁移在此方法是一个很好的见证．6. 利用数学归纳法证明我们都知道数学归纳法，在证明数列的题目中，我们就体会了数学归纳法的好处，只要按照数学归纳法的两个步骤进行就可以了．那么，组合恒等式的证明可不可以用数学归纳法来证明呢看下面的一个例题 例7．已知{n a }是任意的等差数列，且n ≧2，求证：123n n+1a －a ＋a －...＋（－1）a +（－1）a ＝0012n-1n-1nn n n n n n C C C C C分析：由于本题恒等式左边的各项组合数系数是一个不确定的等差数列，用上面的方法处理就比较困难，又因为等式含有数列，我们不妨用数学归纳法试试．证：i) 当n ＝2时，因为2132a a a a -=-所以12320a a a -+=，故等式成立，ii) 假设，当n ＝k （k ≧2）时等式成立，即对任何等差数列{n a }，有，123k k+1a －a ＋a －...＋（－1）a +（－1）a ＝0012k-1k-1kk k k k k k C C C C C ① 则当n ＝k ＋1时，利用组合数性质，有＋1＋1＋2＋13＋1k ＋1k+2a －a ＋a －...＋（－1）a +（－1）a 012k k k k ＋111＋1k k k k k C C C C C123－＋1k ＋1k+2＝a －（＋）a ＋（＋）a －... ＋（－1）（＋）a +（－1）a 01021k k k 1k k k k k k k k k k C C C C C C C C 123k ＋1－－234k ＋1k ＋2＝a －a ＋a -...+（1）a －a －a ＋a -...+（1）a +（1）a 012k k 012k 1k 1k k[－][－－]k k k k k k k k k C C C C C C C C C因为根据归纳假设，当n ＝k 时，对任意等差数列12k 123k 2a a a a a a ＋＋，，...，与，，①式都成立，所以上式右端的两个方括号都等于零．于是我们证明了当n ＝k ＋1时等式也成立，根据（1）和（2）可知，等式对n ≧2的任何自然数都成立．技巧：用本方法证明的思路清晰，只须分两步进行即可，但归纳法的关键是由“假设n ＝k 成立，推导到n ＝k ＋1也成立”这一步中间的变换过程比较复杂，在“无路可走”的情况之下，归纳法也是一个好的选择．7. 利用组合分析方法证明所谓组合分析法就是通过构造具体的组合计数模型，采用了“算两次”的方法，再根据组合数的加法原理和乘法原理得到恒等式两边相等．例8．证明：－－＋＋...＋＝0112n 1n n 12n n n n n n n C C C C C C C （n ≧2）证明：算右边，假设有2n 个球，现要在2n 个球中任取出（n －1个，取法有 －n 12n C 种，算左边，把2n 个球分成两堆，每堆个n 个，现要 在2n 个球在中取出（n －1）个，取法是，在第一堆取0个，第二堆取（n －1）个，或第一堆取1个，第二堆 取（n －2）个，或…或第一堆取（n －1）个，第二堆 取0.再根据加法原理总的取法有 －－－＋＋...＋0n 11n 2n 10n n n n n n C C C C C C 又因为－－－＋＋...＋0n 11n 2n 10n n n n n n C C C C C C ＝－＋＋...＋0112n 1nn n n n n n C C C C C C所以，左右两边都是在2n 个球中取出（n －1）个球，因此有，－－＋＋...＋＝0112n 1n n 12n n n n n n n C C C C C C C （n ≧2）技巧：用组合分析法证明组合恒等式的步骤是：选指出式子的一边是某个问题的解，然后应用加法原理和乘法原理等去证明式子的另一边也是该组合问题的解．用此方法也可以证明例6，证明过程非常简洁．8概率法证排列组合基本理论是古典概型计算的基石．能否用古典概型来解决某些排列组合问题我们来看下面的例子 例9证明组合数加法题推公式：.21111C C C C k n k n k n k n ----+++=分析：把特征等式经过适当变形，使之右端变为1，而左端为若干项之和，根据左端和式中各项的特点，构造以概率模型，并找到样本空间的一个特殊分化，使之相应概率等于左端和式的各项，从而得证． 证明：我们将公示变形为.11211111=+++--+--+CC CC CC k n k n k n k n k n k n下面利用超几何分布概率公式构建摸球模型来证明：设袋中有1+n 只球，其中有1只黑球，1只白球，现随机地抽取k 只球()11+≤≤n k .设事件A ：“抽取的k 只球中含有黑球”，B ：“抽取的k 只球中含有白球”，则()CC C kn knA P 101+= 由全概率公式得()()()()()B A P B P B A P B P A P +==CC C CC C CC C CC C knk n k n k n k nk n k n k n 1111101121111111--+---+-•+• =CC CCkn k n k n k n 111121+--+--+ 由()()1=+A P A P ,立即得证该公式技巧：利用概率对立事件发生的概率和为1，或是在某种情况下必然事件的概率也为1.可以与实际相结合，容易理解．9 几何法例10 证明nnn n n C C C 21=+++ 分析：主要是利用组合的几何意义来证明．无重组合Cn 1n +的几何意义表示平面坐标上的（0,0）点到整点（n,m ）（这里n,m 都是整数）的递增路径的总和．一条从点（0,0）到点（n,m ）的递增路径是 指一个有长度为1的端点为整点的线段首尾连接所组成的折线， 并且每一条线段的后一个端点的坐标或者在x 上或者在y 上，比 前一个端点增加一的单位长，水平走一步为x,垂直走一步为y,图 1中的递增路径可表示为：x,y,x,x,y,y,x,x,y,y 证明：由图2可知等式的左边，Cn0表示从（0,0）到（0，n ）点的增路径，Cn1表示从（0,0）到（1，n-1）点的增路径数，┄，Cn n1-表示从（0,0）到（n-1,1）点的的增路径数，Cn n表示从（0,0）到（n,0）点的的增路径数1，而这所有的地 增路径之和就是从（0,0）点到斜边上的整点的递增路径． 另一方面，从（0,0）点到斜边上任何一整点的递增路径是 n 步步长，每一步是x 或者y ，有两种选择，由乘法法则，n 步的不同方法的总数为2n ，所以等式成立．10 用幂级数法我们知道，()1-1--n x 可展成如下幂级数： ()=---11n x k k k kn x C∑∞=+01<x现在我们用次展开式证明下列等式 例11 证明C C C C n m n n m n n n n n 111+++++=+++证明：因为 ()()()111-1-+--x x n =()21---n x左边应为：()()()1111-+---x x n =∑∑∞=∞=+•0i ikk nk n x x C右边应为：()=---21n x k k n k n x C ∑∞=+++011比较两边nx 的系数可知，原等式成立．技巧：对组合求和，当组合下标变动时，常用幂级数方法．11微积分法例11 求证：()∑∑==-=-nk kn nk k kkC 11111 分析：利用微分与积分的相互转化是问题得以解决，求导后再积回去，不改变原等式的性质． 证明：令 ()()k k nnk k x kx f C∑=--=111则 ()00=f ，()()Ck nnk k kf ∑=--=1111()()1111-=-∑-='k nk kn k xx f C =()k n k k n kx x C ∑=--111=()x x n---11=()()x x n----1111 =()()()121111--++-+-+n x x x即()()∑-=-='11n j jx x f上式两边同时求积分得 ()()C x j x f n j j +-+-=∑-=+11111所以 ()C j f n j ++-==∑-=11100 ⇒ ∑∑-===+=101111n j nk kj C 从而 ()()∑∑=-=++-+-=n k n j j kx j x f 1111111()()∑∑==-==-nk knnk k k f kC 111111 12 递推公式法上述例12是否还可以用递推公式的方法解决，我们来看一下· 证明：令()∑=--=nk k nk n Ckf 111 （ ,3,2,1=n ）则 ，11=f 当2≥n 时，n f =()()C C k n k n nk k11111-k 1----=+∑=()()∑∑=-----=--+-nk k n k kn n k k CC kk1111111111=()∑=---n k k n k n C n f 1111=()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---∑=-11101n k k n kn C n f=()1011---n f n =n f n 11+- 所以 n f f n n 11+=-=n n f n 1112+-+-=nf 131211++++==∑==++++n k kn 1113121113 生成函数法首先介绍生成函数相关定义和定理．定义1 设{}n a 是一个数列，做形式幂级数() +++++=nn x a x a x a a x f 2210称()x f 为数列{}n a 的生成函数． 定义2 对任何实数r 和整数k 有=Ck r()()!111k k r r r +-- 000>=<k k k定理1 设数列{}{}n n b a ,的生成函数为()()x B x A ,，若∑==ni i n a b 0，则()()xx A x B -=1 定理2 设m 是一个有理数，R a ∈，有()∑∞==+01k k k kmmx a ax C例13 设n ∈N,有())3)(2(11123+++++n n n n Cn n证明：设数列Ck kkn +2的生成函数A(x),即A(x)=xC k kk kn k +∞=∑02设∑==n i i n a b 1,先求A(x),由()x n --11-=xC kk kkn ∑∞=+1对上式两边求导得：()()xC k k kk n n k x n 11211-∞=+--∑=-+两边同乘x 得：()()x C kkk n k n k x n +∞=--∑=-+1211对上式两边求导得：()()()()()2311121-----++-++n n x n x x n n =xC k k k kn k 112-+∞=∑两边同乘x 得：()()()()()x x n x x n n n n 22311121-----++-++=xC kkk kn k +∞=∑12=A(x)由定理1=-=xx A x B 1)()(()()()()()x x n x x n n n n 32411121-----++-++ 由⑴式得()41---n x 中2-n x的系数为Cn n 212-+，()3-1--n x 中1-n x的系数为Cn n 112-+.因此)(x B 展开式中nx 的系数为 =n b ()()()121112212++++-+-+n n n C C n n n n =()()()3211123+++++n n n n Cn n因此Ck kkn nk +=∑12=()()()3211123+++++n n n n Cn n14 牛顿公式法相关定理及定义:定义1 设(){}0≥n n f 为任一数列，令△()()()n f n f n f -+=1 () ,2,1,0=n△()n f k =△()11+-n f k -△()n f k 1- () ,2,1,0=n这里△成为差分算子．定义2 设(){}0≥n n f 为任一数列，令()()1+=n f n Ef () ,2,1,0=n()n f E k ()()k n f n f E k +=+=-11 () ,2,1,0=n这里称E 移位算子定义3 设(){}0≥n n f 为任一数列，令()()n f n If = () ,2,1,0=n()()()n f n f I n f I k k ==-1 () ,2,1,0=n这里称I 为恒等因子．定理1 设(){}0≥n n f 为任一数列，R b a ∈,，则△()()()=+n bg n af a △()n f +b △()n g ，约定：△I I E ===000定理2 （牛顿公式）n E =（△+I ）∑==nj j n n C 0△j△()()j j n jn n j n n EI E C -=∑-=-=01例14 ()l f =m m l a l a a +++ 10(其中0≠m a ，R a i ∈ ，N l ∈)，有()()C kn n k k n l f ∑-=-01={nm a m n m m =<,!0，证明：由牛顿公式()()=∑-=-C j n n j j n l f 11()∑-=-n j j n 11，()=-j l f E C jj n △f n ,实际上是证明△f n ={nm a m n m m =<,!,0 ⑴对()f ∂用数学归纳法证明当()n f <∂时，有△()l f n=0 当()1=∂f 时，令()b al l f +=（0≠a ）△()l f ()()=-+l f l f 1()()a b al b l a =+-++1，△()02=-=a a l f 假设()m f <∂时命题成立，当()m f =∂且n m <时，令()m m l a l a a l f +++= 10△()=l f ()()()m m m m l a l a a l a l a a +++-+++++ 101011 显然∂（△()l f ）11-<-≤n m ，由归纳法设△()l f n=△1-n （△()l f ）=0 ⑵设()=l f n n l a l a a +++ 10（其中0≠n a ）对n 用归纳法证明△()n n a n l f !=当()1=∂f 时，令()b al l f += ()0≠a△()=l f ()()l f l f -+1=()()a b al b l a =+-++1假设()m f <∂时命题成立当()m f =∂时△()=l f ()()()=+++-+++++m m m m l a l a a l a l a a 101011()l g l ma m m +-1()2-≤∂m l g ，由⑴有 △()01=-l g m由归纳假设有 △11-m -m l =()!1-m 因此 △()=l f m △1-m （△()l f ）=△()11--m m m l ma +△()l g m 1-=m ma △11--m m l =m a m !因此，命题成立．结束语关于组合恒等式的证明方法还有很多，例如，倒序求和法，二项式反演公式法，母函数等等．本文介绍的主要是几种方法中，大多是以高中知识为基础，也可以说是组合恒等式证明的初等方法，也有大学学的方法，比较深入，不是很好理解．通过学习，我们要学会具体问题具体分析和解决问题多样化的思想．顺便指出，以上例题的解法不是唯一的，本文也有提及．细心的话也可以留意到，各种方法之间也存在着一定的联系，在这里就不再累赘了．参考文献⑴陈智敏，组合恒等式新的证明方法，广州大学学报，２００６（０４）．⑵侯为波、卓泽强，古典概型在排列组合恒等式证明中的应用，淮北师范大学学报，１９９６（０４）．⑶概率在证明组合恒等式中的应用，淮南师范大学学报，２００４（０２）．⑷周棉刚，关于组合恒等式的几种证法，黔南民族师范学院学报，２００３（３）．⑸何宗祥，漫谈组合恒等式的证明，中国数学月刊１９９４（２）．⑹几何法，数学教学，１９８９（０１）．⑺杨青文，有关组合恒等式的几种证法，青海师专学报，１９９５（２）．⑻杜庆坤，组合恒等式的证明技巧，临沂师范学报，２００３（１２）．⑼曹汝成，组合数学，华南理工大学出版社，广州，２０１１⑽卢开澄，组合数学，清华大学出版社（第二版），北京．。
高中数学排列组合-平均分组(分配问题)讲解
复习巩固：
1、组合定义:
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成 一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
2、组合数:
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个
数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号
C
m n
表示.
3、组合数公式:
Cnm
Anm Amm
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
=90
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列
C
13 2 C
3 9
C62
较大的相同的一个组合数．
2 此性质的作用：恒等变形，简化运算．在今后学 习“二项式定理”时，我们会看到它的主要应用．
排列组合中的分组(堆)分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
1.把abcd分成平均两组有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
C
2 4
C
2 2
A
n(n 1)(n 2) m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
证明组合恒等式的方法与技巧_柳丽红
研究一下。
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两边求二阶导数, 得 n ( n- 1)
( 1+ x ) n- 2 = 2
1
C
2 n
+ 3 2 C3nx + + n( n- 1) Cnn x n- 2
令 x= 1, 得 2 1 C2n+ 3 2 C3n+
+ n( n- 1)
C
n n
= n( n- 1) 2n- 2( n 2)
技巧: 此方法证明组合恒等式的步骤是, 先对恒
分
析:
这题可以利 用组合公式 解决, 等式 两边都 只是 一个
简单的组合 数。由 此, 我们只 要把 相关组 合公 式代
入, 经过化简, 等号两边相等即可。
证 明:
C
m n
=
m!
n! ( n- m) !
=
n m
n!
( m- 1) ! ( n- m) !
=
n m
C
mn-
11,
m+ n-
1 m
n! ( m+ 1) ! ( n- m) !
1 m-
1=
C0n+ 1 +
C1n+
1+
C2n+ 2 +
L+
C
mn+
1 m-
1=
C
1 n+
2+
C2n+ 2 +
L+
Cmn+-
1 m-
1=
C
2 n+
3+
L+
C
mn+
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）
排列组合的一些公式及推导（非常详细易懂）绪论：加法原理、乘法原理分类计数原理：做一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn 种不同的方法。
分步计数原理：完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×⋯×mn种不同的方法。
区别：分类计数原理是加法原理，不同的类加起来就是我要得到的总数；分步计数原理是乘法原理，是同一事件分成若干步骤，每个步骤的方法数相乘才是总数。
排列问题排列数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的排列数，用符号Amn表示。
排列数公式Amn=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)=n!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤n（规定0!=1）推导：把n个不同的元素任选m个排序，按计数原理分步进行：取第一个：有n种取法；取第二个：有(n−1)种取法；取第三个：有(n−2)种取法；……取第m个：有(n−m+1)种取法；根据分步乘法原理，得出上述公式。
排列数性质Amn=nAm−1n−1 可理解为“某特定位置”先安排，再安排其余位置。
Amn=mAm−1n−1+Amn−1 可理解为：含特定元素的排列有mAm−1n−1，不含特定元素的排列为Amn−1。
组合问题组合数从n个不同元素种取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素种取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。
组合数公式Cmn=AmnAmm=n(n−1)(n−2)⋯(n−m+1)m!=n!m!(n−m)!,n,m∈N∗,并且m≤nC0n=Cnn=1证明：利用排列和组合之间的关系以及排列的公式来推导证明。
将部分排列问题Amn分解为两个步骤：第一步，就是从n个球中抽m个出来，先不排序，此即组合数问题Cmn；第二步，则是把这m个被抽出来的球排序，即全排列Amm。
数学的组合公式
数学的组合公式摘要：1.组合公式的定义和意义2.组合公式的计算方法3.组合公式的应用实例4.组合公式的扩展和推广正文：一、组合公式的定义和意义组合公式，又称组合数公式，是组合数学中的一种重要概念，用于计算从n 个不同元素中取出m 个元素的不同组合数量。
组合公式的数学表达式为C(n,m)，其中n 表示元素总数，m 表示选取元素的数量。
组合公式可以直观地反映出组合问题的计算规律，对于解决实际问题具有重要的意义。
二、组合公式的计算方法组合公式的计算方法有多种，其中最常见的是数学归纳法和二项式定理。
下面分别介绍这两种方法：1.数学归纳法数学归纳法是一种基于归纳推理的证明方法，通过验证基础情况和归纳步骤来证明公式的正确性。
对于组合公式C(n,m)，我们可以通过数学归纳法证明其计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中n! 表示n 的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) *...* 1。
2.二项式定理二项式定理是组合数学中的一种重要定理，可以将组合公式转化为二项式展开式的形式。
根据二项式定理，我们有：C(n,m) = (1 + 1)^n / (1 + 1)^m * C(n-1,m) + (1 + 1)^n / (1 +1)^(m+1) * C(n-1,m-1)通过二项式定理，我们可以将组合公式的计算转化为二项式展开式的计算，从而简化计算过程。
三、组合公式的应用实例组合公式在实际问题中有广泛的应用，下面举一个简单的实例：一个班级有5 名学生，现在需要从中选出3 名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选法？根据组合公式，我们可以计算出：C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10因此，这个班级有10 种不同的选法来参加数学竞赛。
四、组合公式的扩展和推广组合公式可以进一步扩展和推广，例如在组合公式的基础上引入权重，可以得到加权组合公式；在组合公式的基础上引入计数，可以得到排列公式。
随机组合计算公式
随机组合计算公式随机组合计算公式是组合数学中的重要内容，它在许多领域都有广泛的应用，如密码学、生物学、统计学等。
组合数学研究的是从给定的有限集合中选取若干元素进行组合的问题，这些组合可以是排列、组合、二项式系数等。
本文将介绍随机组合计算公式及其应用，并通过实例进行演示。
一、随机组合计算公式的概念与用途随机组合计算公式主要涉及组合数的概念，组合数是由组合公式计算出来的，表示从n个元素中选取r个元素的组合数量。
组合数的计算公式为：C(n, r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n表示总的元素数量，r表示选取的元素数量，!表示阶乘。
组合数在密码学、遗传学、概率论等领域具有重要的应用。
例如，在密码学中，随机组合计算可以用于生成密码串，提高密码的安全性；在遗传学中，可以用于分析基因型的组合情况，预测后代的基因型比例等。
二、常见随机组合计算方法1.直接计算法：根据组合公式逐个计算组合数。
2.数学归纳法：利用数学归纳法证明组合数的递推公式。
3.生成函数法：通过构造生成函数，快速计算组合数。
4.矩阵快速幂法：将组合数表示为矩阵的形式，利用快速幂算法计算组合数。
三、实例演示与应用假设有一个班级共有10名学生，现在需要从中选取3名学生参加比赛。
采用随机组合计算公式，可以计算出选取3名学生的不同组合数量：C(10, 3) = 10! / (3!(10-3)!) = 120这意味着有120种不同的组合方式。
在实际应用中，随机组合计算可以帮助我们快速得到所需结果的组合数量。
四、随机组合计算在实际场景中的应用1.密码学：在加密算法中，随机组合计算可以用于生成复杂的密码，提高安全性。
2.遗传学：在基因研究中，随机组合计算可以帮助分析基因型的组合情况，预测后代的基因型比例。
3.彩票：在彩票游戏中，随机组合计算可以帮助玩家分析号码组合的可能性，提高中奖概率。
4.组合优化：在组合优化问题中，随机组合计算可以帮助找到最优解。
排列组合公式证明过程
排列组合公式证明过程好的，以下是为您生成的关于“排列组合公式证明过程”的文章：咱先来说说排列组合这回事儿哈。
在数学的世界里，排列组合就像是一个神秘的魔法盒子，里面藏着各种有趣的规律和秘密。
先来讲讲排列。
排列呢，就是从一堆东西里面挑出几个，然后给它们排排坐，顺序很重要！比如说，从 5 个不同的水果里选出 3 个排成一排，这就有很多种可能啦。
那排列的公式是怎么来的呢？咱们假设从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列，第一个位置咱们有 n 种选择，选了一个之后，第二个位置就剩下 n - 1 种选择啦，第三个位置就剩下 n - 2 种选择，以此类推，一直到第 m 个位置就剩下 n - m + 1 种选择。
所以总的排列数就是把这些选择数乘起来，就得到了 A(n, m) = n × (n - 1) × (n - 2) ×...× (n - m + 1) 。
我记得有一次在课堂上，我给学生们出了一道这样的题：有 7 个不同颜色的球，选 4 个排成一排，有多少种排法？一开始，很多同学都被这个题难住了，抓耳挠腮的。
我就引导他们一步一步来，先想第一个位置有 7 种选择，第二个位置 6 种，第三个位置 5 种，第四个位置 4 种。
然后让他们自己算一算，最后大家都算出了答案，脸上露出了那种恍然大悟的表情，我看着也特别开心。
再来说说组合。
组合就不一样啦，它只关心选出来的结果，不关心顺序。
比如说，从 5 个水果里选出 3 个，不管怎么排，只要是这 3 个水果就行。
组合的公式 C(n, m) = A(n, m) / m! 。
为啥呢？因为在排列里，同样的m 个元素，由于顺序不同会被重复计算很多次，而组合不关心顺序，所以要把这些重复的去掉，就得除以 m! 。
举个例子哈，从 10 个人里选 3 个人组成一个小组，这就是组合问题。
咱们先算出从 10 个人里选 3 个人的排列数 A(10, 3) ，然后再除以3! ，就能得到组合数 C(10, 3) 。
组合公式的证明过程
组合公式的证明过程组合公式，这可是数学里相当有趣的一部分！咱们先来说说组合公式到底是啥。
组合公式表示从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记为 C(n, m) ，它的计算公式是：C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
那怎么来证明这个公式呢？咱们先假设要从 n 个不同的元素里选出m 个元素。
咱们就拿选班委这件事来说吧。
比如说咱班有 30 个同学（n = 30），现在要选出 5 个班委（m = 5）。
先想想，选第一个班委的时候，有 30 种选择。
选了第一个之后，选第二个班委就只有 29 种选择啦。
接着选第三个班委，就剩 28 种选择，以此类推，选第五个班委的时候就只有 26 种选择。
那按照这样依次选择的方式，总的选法应该是30×29×28×27×26 种。
但是这里面有个问题哦，比如说我们先选了甲同学，再选乙同学，然后丙同学，丁同学，戊同学；和先选乙同学，再选甲同学，然后丙同学，丁同学，戊同学，这其实是同一种班委组合，但是在刚才的算法里被算作了不同的选法。
因为选出的 5 个班委的顺序不同，被重复计算了。
那到底重复计算了多少次呢？实际上，对于选出的这 5 个班委，它们自身的排列顺序有 5! 种。
所以刚才的 30×29×28×27×26 种选法里面，每一种组合都被重复计算了 5! 次。
那真正不同的选班委的组合数，就应该是（30×29×28×27×26）÷5! 。
咱们再推广一下，从 n 个不同元素里选 m 个元素，按照同样的思路，先依次选择有 n×(n - 1)×(n - 2)×······×(n - m + 1) 种选法。
但是这里面同样存在因为顺序不同而导致的重复，对于选出的 m 个元素，它们自身的排列顺序有 m! 种。
组合数公式——精选推荐
组合数公式排列组合：排列推导：n k +n k −1=n +1k很好证明，将定义式⼦写出来后合并分数即可.⼆项式定理：(a +b )n =n∑i =0ni a n −i b i证明可以利⽤上⾯的推导做归纳。
多重集的排列数定义：多重集是包含重复元素的⼴义集合。
⽽多重集的排列数⼜称为 多重组合数 。
性质：设 S ={n 1⋅a 1,n 2⋅a 2,⋯,n k ⋅a k ,}，表⽰由 n 1 个 a 1 .... n k 个 a k 组成的多重集，则 S 的全排列个数为：n !∏k i =1n i !=n !n 1!n 2!⋯n k !相当于是把相同元素的排列数除掉了。
具体来说，有 k 种不⼀样的球，每种球的个数分别是 n 1,n 2,....,n k ,且加和为 n 。
这 n 个球的全排列数就是 多重集的排列数。
多重集的组合数 1：设 S ={n 1⋅a 1,n 2⋅a 2,⋯,n k ⋅a k ,}，表⽰由 n 1 个 a 1 .... n k 个 a k 组成的多重集。
那么对于整数 r (r <n i ) ,从 S 中选择 r 个元素组成⼀个多重集的⽅案数就是 多重集的组合数 。
这个问题等价于 ：x 1+x 2+...+x k =r 的⾮整数解的数⽬，可以⽤插板法解决。
答案为：r +k −1k −1证明：因为在这种情况下， x [1,k ] 的数可能为 0 ,我们把每⼀个 x +1 ,得到了这个式⼦：x 1+x 2+...+x k =r +k代换意义就是⽤ k −1 个挡板，在 k +r −1 个空隙，将 k +r 个⼩球分成 k 部分。
即以上式⼦。
多重集的组合数 2:设 S ={n 1⋅a 1,n 2⋅a 2,⋯,n k ⋅a k ,}，表⽰由 n 1 个 a 1 .... n k 个 a k 组成的多重集。
对于正整数 r (r <n ) , 求从 S 中选择 r 个元素组成⼀个多重集的⽅案数.()()()()()这样的话就限制了每种元素取的个数，把这个问题转化成带限制的线性⽅程：∀i∈[1,k],x i≤n i,k∑i=1x i=r我们利⽤容斥原理去解决，模型如下：1. 全集：∑k i=1x i=r的⾮负整数解2. 属性：x i≤n i设满⾜属性i的集合是S i，¯S i表⽰不满⾜属性i的集合，即满⾜xi≥n i+1 的集合，那么答案即为：k⋂i=1S i=|U|−k⋃i=1¯S i根据容斥原理。
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(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手 多少次? 组合问题
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多 少种不同的方法? 排列问题
问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活 动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动， 有多少种不同的选法？
A32 6 有顺序
问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有 多少种不同的选法？
甲、乙；甲、丙；乙、丙
无顺序
组合定义: 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素
排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关
想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?
两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多 少个? 组合问题
(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车 票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？组合问题
并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一 个组合．
排列定义: 一般地说，从n个不同元素中，取出m (m≤n) 个
元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列.
思考: 排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？
共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”
不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一 列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”．
3 : 5 : 5, 求m、n的值。
11C3x
24C
2 x 1
【总结提炼】
组合的定义简单地说，一是取出元素，二是并成一组， 与排列是有区别的，但事物总是一分为二的，排列与组合 也有一定的联系，从两者的联系中推导出组合数公式，要 能理解、记住并正确地运用，尤其要注意逆用公式。
思考题 已知
Cm n2
:
C m1 n2
:
C m2 n2
A C A 根据分步计数原理， 3 4
3 3
4
3
3
A 从而 3 C4
4 3
A3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
A C A m m m
n
nm
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
C 例1计算：⑴
组合
abc abd acd bcd
排列
abc bac cab acb bca cba
abd bad dab adb bda dba
acd cad dac adc cda dca
bcd cbd dbc bdc cdb dcb
A 求 3可分两步考虑： 4
C 第一步， 3 （ 4）个； 4
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 Cnm表示
m m，n所满足的条件是：
Cn ⑴m∈N，n∈N*
⑵m≤n
思考:如何计算: C43
取出元素个数
m
元素总个数
组合的第一个 英文字母
写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
c
bd acd
abc ， abd ， acd ， bcd .
单循环决出冠亚军． （1）列出所有各场比赛的双方； （2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴
中国—古巴 美国—俄罗斯
中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯
（2） 冠
军
中
中
中
美
美
美
古古古俄俄俄亚 军美
古
俄
中
古
俄
中
美
俄中
美
古
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做
4 7
⑵ C170
C A (3) 已知 3 2 ,求 n ．
n
n
例2求证：
C
m n
m 1 n． m
C
m1 n
一级练习
1、计算：C83
C160
C140
C66
2、证明： ① ② ③
Cnm
m 1 nm
C m1 n
Cnm
C nm n
Cm n 1
Cnm
C m1 n
3、解方程：
b cd
写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.
cdbd bc cdadacbd ad ab bcacab
bcd acd abd abc
a
b
c
d
所有的排列为：
abc bac cab dab abd bad cad dac
acb bca cba dba acd bcd cbd dbc adb bda cda dca adc bdc cdb dcb
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是: ab , ac , bc (3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元素的所有组合.
a
b
c
b cd
c
d
d
ab , ac , ad , bc , bd , cd
6个
练习: 中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过