高考数学一轮复习第八章第8讲第1课时圆锥曲线的综合问题文

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届高考数学一轮复习第八章解析几何课堂达标圆锥曲线的综合问题文新人教版

课堂达标(四十六) 圆锥曲线的综合问题[A 根底稳固练]1．点A (0,2)和双曲线x 2－y 24＝1，过点A 与双曲线只有一个公共点的直线的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 设过点A (0,2)的直线为y ＝kx ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 24＝1，得(4－k 2)x 2－4kx －8＝0.当k 2＝4即k ＝±2时，方程只有一解，即只有一个交点．当k 2≠4，方程有一解时Δ＝(－4k )2－4×(4－k 2)×(－8)＝0，∴k 2＝8，∴k ＝±22，为切线斜率，共有4条直线．应选D.[答案] D2．(2022·嘉定模拟)过点P (1,1)作直线与双曲线x 2－y 22＝1交于A ，B 两点，使点P 为AB 中点，那么这样的直线( )A ．存在一条，且方程为2x －y －1＝0B ．存在无数条C ．存在两条，方程为2x ±(y ＋1)＝0D ．不存在[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，那么x 21－12y 21＝1，x 22－12y 22＝1，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－12(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0，所以x 1－x 2＝12(y 1－y 2)，即k AB ＝2，故所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－12y 2＝1可得2x 2－4x ＋3＝0，但此方程没有实数解，故这样的直线不存在．应选D.[答案] D3．假设直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，那么k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝16k 2－41－k2×－10>0，x 1＋x 2＝4k1－k 2>0，x 1x 2＝101－k 2＞0，解得－153<k <－1. [答案] D4．(2022·山西太原五中模拟)中心为坐标原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，那么该椭圆方程为( )A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 [解析] 由c ＝52，设椭圆的方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立得⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y 得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，设直线y ＝3x －2与椭圆的交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，由根与系数关系得x 1＋x 2＝12a 2－5010a 2－450，由题意知x 1＋x 2＝1，即12a 2－5010a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以该椭圆方程为y 275＋x 225＝1. [答案] C5．F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，那么||FA |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．16[解析] 依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x ，消去y 得x 2－12x ＋4＝0.。

高三数学一轮复习圆锥曲线的综合问题

是对
应的焦点，点 A1、A 和 B1、B 分别是“果圆”与 x 轴和 y 轴的交点．
(1)若三角形 F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形，求“果圆”的方程；
(2)若|A1A|＞|B1B|，求b的取值范围； a
(3)一条直线与果圆交于两点，两点间的线段称为“果圆”的弦．是否存在平行于 x 轴的直线交“果圆”于两点，得到的弦的中点轨迹方程
①－②得x2－a2m2＋y2－b2 n2＝0，xy22－－mn22＝－ba22，
∴kPM·kPN＝－ba22. 故 kPM·kPN 与 P 的位置无关．
[规律总结] 在解决圆锥曲线的定点和定值问题时，应灵活应用已知条件，巧设变量，在变形过程中应注意各变量之间的关系，善于捕捉题目的信息，注意消元思想在解题中的应用.
解：(1)M→N·A→F＝0，O→N＝1(O→A＋O→F)， 2
∴MN 垂直平分 AF. 又A→M∥M→E，∴点 M 在 AE 上， ∴|A→M|＋|M→E|＝|A→E|＝m|E→F|＝2m，又|M→A|＝|M→F|， ∴|M→E|＋|M→F|＝2m＞|E→F|，
∴点 M 的轨迹 W 是以 E、F 为焦点的椭圆，且半长轴 a＝m，半焦距 c＝1， ∴b2＝a2－c2＝m2－1， ∴点 M 的轨迹 W 的方程是 x2 ＋ y2 ＝1(m＞1)．
又∵a－c＞0，∴a－c＋2b＞0，
∴(a－c)2－b2＝a－c－2b·a－c＋2b≠0，
2
2
2
∴(a－x2c)2＋yb22＝1 为椭圆． 2
即存在平行于 x 轴的直线符合题意．
[规律总结] (1)探索性试题常见的题型有两类：一是给出问题对象的一些特殊关系，要求解题
者探索出一般规律，并能论证所得规律的正确性，通常要求对已知关系进行观察、比较、分析，

高考数学第一轮复习圆锥曲线的综合问题

圆锥曲线的综合问题●知识梳理分析几何是联系初等数学与高等数学的纽带，它自己重视于形象思想、推理运算和数形联合，综合了代数、三角、几何、向量等知识. 反应在解题上，就是依据曲线的几何特色准确地变换为代数形式，依据方程画出图形，研究几何性质. 学习时应娴熟掌握函数与方程的思想、数形联合的思想、参数的思想、分类与转变的思想等，以达到优化解题的目的.详细来说，有以下三方面：（ 1）确立曲线方程，本质是求某几何量的值；含参数系数的曲线方程或变化运动中的圆锥曲线的主要问题是定值、最值、最值范围问题，这些问题的求解都离不开函数、方程、不等式的解题思想方法 . 有时题设设计的特别隐蔽，这就要求仔细审题，发掘题目的隐含条件作为解题打破口 .（ 2）分析几何也能够与数学其余知知趣联系，这种综合一般比较直观，在解题时保持思想的灵巧性和多面性，能够顺利进行转变，即从一知识转变为另一知识.（ 3）分析几何与其余学科或本质问题的综合，主要表此刻用分析几何知识去解相关知识，详细地说就是经过成立坐标系，成立所研究曲线的方程，并经过方程求解往返答本质问题. 在这一类问题中“本质量”与“数学量”的转变是易犯错的地方，这是由于在座标系中的量是“数目” ，不单有大小还有符号 .●点击双基1. （ 2005 年春天北京， 5）设 abc ≠0，“ ac >0”是“曲线 ax 2+by 2=c 为椭圆”的 A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充足必需条件D. 既不充足又不用要条件 2 2分析： ac >0 曲线 ax +by =c 为椭圆 .答案： B2. 到两定点 A （0， 0）， B （ 3， 4）距离之和为 5 的点的轨迹是A. 椭圆所在直线 C. 线段 ABD. 无轨迹分析：数形联合易知动点的轨迹是线段： = 4，此中 0≤ x ≤ 3.AB3答案： C3. 若点（ x ， y ）在椭圆 4x 2+y 2=4 上，则x y 的最小值为2B. － 1C.－23D. 以上都不对3分析：y的几何意义是椭圆上的点与定点（ 2， 0）连线的斜率 . 明显直线与椭圆相x2切时获得最值，设直线 = （－ 2）代入椭圆方程（ 4+k 2）x 2－4 2 +4 2－4=0.y k xk x k令 =0， k =± 23 .3∴ k min =－ 23 .3答案： C4. （ 2005 年春天上海， 7）双曲线 9 2－ 16 y 2=1 的焦距是 ____________.x分析：将双曲线方程化为标准方程得x2y221 21 ，－ 1 =1. ∴ a =9 ， b =16 19 16c 2=a 2+b 2= 1 + 1 =25 .9 16 144∴ c = 5， 2c = 5.126答案：565. （ 2004 年春天北京）若直线+ －3=0 与圆 x 2+ y 2=3 没有公共点，则mx ny系式为 ____________；以（ m ， n ）为点 P 的坐标，过点 P 的一条直线与椭圆公共点有 ____________个 .分析：将直线 mx +ny － 3=0 变形代入圆方程x 2+y 2=3，消去 x ，得（2+2） y 2－ 6 ny +9－3 2=0.m nm22令 <0 得 m +n <3.又 m 、n 不一样时为零，2 2∴ 0<m +n <3.223 ， | m |< 3 ，由 0<m +n <3，可知 | n |<m 、n 知足的关2 2 x y再由椭圆方程 a = 7 ， b = 3 可知公共点有 2 个.2 2答案： 0<m +n <3 2 ●典例分析【例 1】（2005 年春天北京， 18）如图， O 为坐标原点，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别是 a 和 b （ a >0， b ≠ 0），且交抛物线 y 2=2px （p >0）于 M （ x 1， y 1），N （ x 2， y 2）两点 .lyMOa xb N（ 1）写出直线 l 的截距式方程；（ 2）证明： 1+1=1；y 1y 2 b （ 3）当 =2 时，求∠的大小 .a pMON分析：易知直线l 的方程为 x + y =1 ，欲证 1+1=1，即求 y1y 2 的值，为此只要aby 1 y 2by 1 y 22=2px 交点的纵坐标 . 由根与系数的关系易得 121 2的值，从而证得求直线 l 与抛物线 y y +y 、y y 1+ 1 = 1. 由 OM · ON =0 易得∠ MON =90° . 亦可由 k OM ·k ON =－ 1 求得∠MON =90° . y 1 y 2 b（ 1）解：直线 l 的截距式方程为x + y=1.a b①（ 2）证明：由①及 y 2=2 消去x可得by 2+2－2 =0.pxpaypab②点、的纵坐标 y 1、 y 2 为②的两个根，故 y 1+ 2=2 pa ， 1 y 2=－2. M Npab2 pa所以 1 + 1y 1 y 2 = b1== .y 1 y 2y 1 y 2 2 pa b （ 3）解：设直线 OM 、 ON 的斜率分别为k 1、 k 2，则 k 1=y 1，k 2=y 2.x 1 x 2当 a =2p 时，由（ 2）知， y 1y 2=－ 2pa =－ 4p 2，2222由 y 1 =2px 1， y 2 =2px 2，相乘得（ y 1y 2）=4p x 1 x 2，x 1x 2= ( y 1 y 2 ) 2 =( 4 p 2 ) 2=4p 2，4 p 2 4 p 2所以 ky 1 y 2 4 p 21k 2===－ 1.x 1 x 24 p 2所以 OM ⊥ ON ，即∠ MON =90° .评论：此题主要考察直线、抛物线等基本知识，考察运用分析几何的方法分析问题和解决问题的能力 .【例 2】（2005 年黄冈高三调研考题）已知椭圆C 的方程为x 2+ y 2=1（ a >b >0），双a 2b 2x 2 y 2121曲线a 2－b 2 =1 的两条渐近线为 l 、l ，过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l，使 l ⊥ l ，又 l 与l 2 交于 P 点，设 l 与椭圆 C 的两个交点由上至下挨次为A 、B . （以下列图）ylPl 2AOFx Bl 1（ 1）当 l 1 与 l 2 夹角为 60°，双曲线的焦距为4 时，求椭圆 C 的方程；（ 2）当 FA =λ AP 时，求 λ的最大值 .分析：（ 1）求椭圆方程即求、 b 的值，由l 1与l2的夹角为 60°易得b=3，由双曲aa3线的距离为 4 易得 a 2+b 2=4，从而可求得 a 、b .（ 2）由 FA =λ AP ，欲求 λ 的最大值，需求A 、P 的坐标，而 P 是 l 与 l 1 的交点，故需求 l 的方程 . 将 l 与 l 2 的方程联立可求得 P 的坐标，从而可求得点A 的坐标 . 将 A 的坐标代入椭圆方程可求得λ的最大值 .解：（ 1）∵双曲线的渐近线为 y =± bx ，两渐近线夹角为60°，a又 b<1，a∴∠ POx =30°，即 b=tan30 ° = 3.a3∴ a = 3 b .又 a 2+b 2=4，∴ a 2=3，b 2=1.故椭圆 C 的方程为x 22+y =1.3（ 2）由已知 l ： y = a（ x －c ），与 y = bx 解得 P （ a 2，ab），ba ccca 2abFA=cc） .由得（，λ APA11将 A 点坐标代入椭圆方程得（ c 2+λa 2）2+λ2a 4=（ 1+λ） 2a 2c 2. ∴（ e 2+λ） 2+λ2=e 2（ 1+λ） 2.∴ λ2= e4e 2 =－［（ 2－ e 2）+ 2 ］+3≤3－2 2 . e 222 e 2∴ λ的最大值为2 － 1.评论：此题考察了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用. 解决此题的难点是经过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想 . 此题是培育学生分析问题和解决问题能力的一道好题 .【例 3】设椭圆中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率= 3，已知点（0， 3）2 2到这个椭圆上的点的最远距离是 7 ，求这个椭圆方程，并求椭圆上到点P 的距离等于 7 的点的坐标 .分析：设椭圆方程为x2+ y2=1，由 e =3知椭圆方程可化为x 2+4y 2=4b 2，而后将距离a 2b 22转变为 y 的二次函数，二次函数中含有一个参数b ，在判断距离有最大值的过程中，要议论y =－ 1能否在 y 的取值范围内，最后求出椭圆方程和P 点坐标 .2解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是x2 y 2=1，此中 a ＞b ＞ 0 待定 .a+2b 2由 e 2c2=a 2b 2=1－（b2可知b1 e2 = 13 1 ，即 a =2b .=a 2 a 2a ） =4 =a222322y 229设椭圆上的点（ x ，y ）到点 P 的距离为 d ，则 d =x +（y － 2 ） =a （ 1－ b 2）+y － 3y + 4 =4b 2－3y 2－ 3y + 9 =－ 3（y + 1）2 +4b 2+3，此中－ b ≤ y ≤b .42假如b ＜1，则当y =－ b 时2（从而）有最大值，由题设得（7）2=（ + 3）2，由2ddb 2此得 b = 7 － 3＞ 1，与 b ＜ 1矛盾 .222所以必有 b ≥1成立，于是当 y =－127 222 2 时 d （从而 d ）有最大值，由题设得（） =4b +3，由此可得 b =1， a =2.故所求椭圆的直角坐标方程是x 2 +y 2=1.4由 y =－ 1及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点（－3 ，－ 1），点（3，－ 1）到222点 P 的距离都是7 .解法二：依据题设条件，设椭圆的参数方程是x =a cos θ，y =b sin θ，此中 a ＞ b ＞ 0 待定，0≤ θ＜ 2π，∵ e = 3，2 ∴ a =2b .设椭圆上的点（ x ， y ）到点 P 的距离为 d ，则d 2=x 2+（ y －3）2=a 2cos 2θ +（ b sin θ－3）2=－ 3b 2·（sin θ+1） 2+4b 2+3.222b假如1＞1，即 b ＜1272，则当 sin θ=－ 1 时， d （从而 d ）有最大值，由题设得（） =2b2（ +3） 2，由此得b =7－3＞1，与＜1矛盾 .b22 2b 2所以必有1≤1 成立，于是当 sin θ=－1时， d 2（从而 d ）有最大值，由题设得（7 ）2b2b2=4b 2+3.由此得 b =1， a =2. 所以椭圆参数方程x =2cos θ， y =sin θ.消去参数得 x2+y 2=1，由 sin θ=1 ，cos θ=±3知椭圆上的点（－ 3，－1），（ 3 ，4222－ 1）到 P 点的距离都是7 .2评论：此题表现认识析几何与函数、三角知识的横向联系，解答中要注意议论.深入拓展依据图形的几何性质，以P 为圆心，以 7 为半径作圆，圆与椭圆相切时，切点与P 的距离为7 ，此时的椭圆和切点即为所求. 读者不如一试 .x 2+（ y － 3） 2=7，提示：由2x 2+4 2=4 2，y b得 3y 2+3y － 9=4b 2－ 7，4由 =0 得 b 2=1，即椭圆方程为 x 2+4y 2=4.所求点为（－3，－ 1）、（ 3，－ 1） .22●闯关训练夯实基础1. （ 2005 年北京东城区目标检测）以正方形的相对极点、为焦点的椭圆，恰ABCD A C好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为102 B. 5 1A.3351D. 102C.22分析：成立坐标系，设出椭圆方程，由条件求出椭圆方程，可得e =102.2答案： D2. 已知 F 1（－ 3， 0）、F 2（3， 0）是椭圆x 2 + y 2＝ 1 的两个焦点， P 是椭圆上的点，当m n∠ F 1PF 2＝2π时，△ F 1PF 2 的面积最大，则有3=12， n =3=24 ， n =6 =6， n =3=12 ， n =62分析：由条件求出椭圆方程即得 m =12， n =3.答案： A3. （ 2005 年启东市第二次调研）设P （ 2 ，2 ）、P （－2 ，－ 2 ）， M 是双曲线12y = 1上位于第一象限的点，对于命题①| 2| － |1|=2；②以线段1为直径的圆与圆xMPMP2MPx 2+y 2=2 相切；③存在常数 b ，使得 M 到直线 y =－ x +b 的距离等于2| MP 1|. 此中全部正确命2题的序号是 ____________.分析：由双曲线定义可知①正确，②绘图由题意可知正确，③由距离公式及| MP 1| 可知正确 .答案：①②③4. （ 2004 年全国Ⅱ， 15）设中心在原点的椭圆与双曲线2 2－ 2 2=1 有公共的焦点，且xy它们的离心率互为倒数，则该椭圆的方程是_________________.分析：双曲线中， a =1=b ，∴ F （± 1， 0）， e = c= 2 . ∴椭圆的焦点为（± 1， 0），2a离心率为2. ∴长半轴长为2 ，短半轴长为1.2∴方程为x 2+y 2=1.2答案： x 2+y 2=125. （ 1）试议论方程（ 1－k ） x 2+（ 3－k 2） y 2=4（ k ∈ R ）所表示的曲线；（ 2）试给出方程x 2 y2k+=1 表示双曲线的充要条件 .k 26 6k 2k 1解：（ 1） 3－ k 2>1－k >0 k ∈（－ 1， 1），方程所表示的曲线是焦点在x 轴上的椭圆；1－ k >3－ k 2>0 k ∈（－3 ，－ 1），方程所表示的曲线是焦点在 y 轴上的椭圆； 1－k =3－k 2>0 k =－ 1，表示的是一个圆；（ 1－ k ）（ 3－ k 2） <0 k ∈（－∞，－ 3 ）∪（ 1， 3 ），表示的是双曲线； k =1， k =－3 ，表示的是两条平行直线； k = 3 ，表示的图形不存在 .（ 2）由（ k 2+k － 6）（ 6k 2－ k －1）<0（k +3）（ k －2）（ 3k +1）（ 2k － 1）<0 k ∈（－ 3，－ 1）∪（ 1，2）.326. （ 2003 年湖北八市模拟试题）已知抛物线y 2 =2px 上有一内接正△ AOB ，O 为坐标原点 .yAOxB（ 1）求证：点 A 、 B 对于 x 轴对称；（ 2）求△ AOB 外接圆的方程 .（ 1）证明：设 A （ x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2），∵| |=|| ，∴x 2+ 22211=2+2.OAOByxy又∵ y 12=2px 1， y 22=2px 2， 22∴ x 2 － x 1 +2p （x 2－ x 1） =0，即（ x 2－x 1）（ x 1+x 2+2p ）=0.又∵ x 1、x 2 与 p 同号，∴ x 1+x 2+2p ≠ 0. ∴ x 2－ x 1=0，即 x 1=x 2. 由抛物线对称性，知点A 、B 对于 x 轴对称 .（ 2）解：由（ 1）知∠ AOx =30°，则y 2=2px ， x =6p ，y =3 x ∴y =2 3 p .3∴ A （ 6p ， 2 3 p ） .方法一：待定系数法， △ AOB 外接圆过原点 O ，且圆心在 x 轴上，可设其方程为 x 2+y 2+dx =0.将点 A （ 6p ， 2 3 p ）代入，得 d =－ 8p . 故△ AOB 外接圆方程为 x 2+y 2－ 8px =0.方法二：直接求圆心、半径，设半径为 r ，则圆心（ r ，0） .培育能力7. （理）（ 2004 年北京， 17）以下列图，过抛物线2=2px （ p ＞ 0）上必定点 P （x ， y ）y（＞ 0），作两条直线分别交抛物线于（1，1）、（ 2， 2） .yA xyB x y（ 1）求该抛物线上纵坐标为p的点到其焦点 F 的距离；2yPO AxB（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求是非零常数 .解：（ 1）当 y =p时， = p.2 x 8又抛物线 y 2=2px 的准线方程为x =－ p，2由抛物线定义得所求距离为p－（－ p） =5p.8 2 8（ 2）设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为22=2px ，由 y=2px ， y0 11相减得（ y 1－ y 0）（ y 1+y 0） =2p （ x 1－ x 0），故 ky 1y 0 =2 p（x ≠ x ） .PA1x 1 x 0 y 1 y 0y1y2的值，并证明直线AB的斜率y0 k PB.同理可得 k PB =2 p（ x 2 ≠ x 0）.y 2y 0由 PA 、 PB 倾斜角互补知 k PA =－ k PB ，即2 p 2 p，所以 y +y =－ 2y ，=－y 1y 0y 2 y 0 1 2 0故y1y 2=－ 2.y 0设直线 AB 的斜率为 k.AB22由 y 2 =2px 2， y 1 =2px 1，相减得（ y 2－ y 1）（ y 2+y 1） =2p （ x 2－ x 1），所以 k AB = y2y1= 2 p（ x 1≠ x 2） .x 2 x 1 y 1y 2将 y 1+y 2=－2y 0（ y 0＞ 0）代入得k AB =2 p =－ p，所以 k AB 是非零常数 . y 1 y 2 y 0（文）以下列图，抛物线对于x 轴对称，它的极点在座标原点，点（ 1，2）、（ 1， 1）、PA xyB （ x 2， y 2）均在抛物线上 .y PO AxB（ 1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（ 2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1+y 2 的值及直线 AB 的斜率 .解：（ 1）由已知条件，可设抛物线的方程为 y 2=2px . ∵点 P （ 1， 2）在抛物线上，∴ 22=2p ·1，得 p =2.故所求抛物线的方程是 y 2=4x ，准线方程是 x =－ 1. （ 2）设直线的斜率为 k PA ，直线的斜率为 k PB .PAPB则 k PA =y 12（ x 1≠ 1），k PB =y 22（ x 2≠ 1） .x 1 1x 2 1∵ PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴ k PA =－ k PB .由 A （x 1， y 1）、 B （ x 2， y 2）在抛物线上，得2y 1 =4x 1，①2y 2 =4x 2，②∴ y 12=－ y 2 2 .1 y 12 1 1 y 2 2 1 4 4∴ y 1+2=－（ y 2+2） . ∴ y 1+y 2=－ 4. 由①－②得直线 AB 的斜率y 2 y 14=－ 4） .=－ 1（ x ≠ xAB12x 2x 1 y 1 y 2 48.（ 2003 年北京东城区模拟试题）从椭圆 x2+ y 2 =1（ a ＞ b ＞ 0）上一点 M 向 x 轴作垂线，a 2b 2恰巧经过椭圆的左焦点 F 1，且它的长轴右端点A 与短轴上端点B 的连线 AB ∥ OM .（ 1）求椭圆的离心率；（ 2）若 Q 是椭圆上随意一点， F 2 是右焦点，求∠ F 1QF 2 的取值范围；（ 3）过 F 1 作 AB 的平行线交椭圆于 C 、 D 两点，若 | CD |=3 ，求椭圆的方程 .解：（ 1）由已知可设（－，），Mcy则有( c) 2y2a 2+=1.b2∵ M 在第二象限，∴ M （－ c ，b 2） .a又由 AB ∥ OM ，可知 k AB =k OM .∴－ b 2 =－ b. ∴b =c . ∴ a = 2 b .acac2a2（ 2）设 | F 1Q |= m ，| F 2Q |= n ，22则 m +n =2a ， mn ＞ 0.| F 1F 2|=2 c ，a =2c ，∴ cos ∠ 1 2= m 2 n 2 4c 2F QF2mn( m n) 22mn 4c 2 4a 2 4c2=2mn=2mn － 1= a 2 － 1≥ a 2 － 1= a 2 － 1=0.mn m n 2 a 2()2 当且仅当 m =n =a 时，等号成立 .故∠ F QF ∈［ 0， π ］.122（3）∵ ∥ ， CD =－ b=－ 2 .CD AB ka2设直线 CD 的方程为 y =－2（x +c ），2即 y =－2（ x +b ）.222x+ y =1，a 22b则消去 y ，整理得y =－2（x +b ）.2（ a 2+2b 2）x 2+2a 2bx － a 2b 2=0.设 C （x 1， y 1）、 D （ x 2， y 2），∵ a 2=2b 2，∴ x 1+x 2=－2a 2b =－ 4b 3=－ b ，a 22b 24b 2x 1· x 2=－a 2b 2 =－ 2b 4 =－ b 2.a 2 2b 24b 22∴ | CD |= 1 k 2| x 1－x 2|=1 k 2· (x 1x 2 )24x 1x 2=1 (2 ) 2 · ( b)22b 2=9b 2 =3.22∴ b 2=2，则 a 2=4.∴椭圆的方程为 x 2+ y 2 =1.4 2 研究创新9. （ 2005 年春天上海， 22）（ 1）求右焦点坐标是（ 2， 0），且经过点（－ 2，－ 2 ）的椭圆的标准方程 .（ 2）已知椭圆 C 的方程是 x 2 + y 2=1（ a >b >0）. 设斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、Ba 2b 2两点，的中点为 . 证明：当直线 l 平行挪动时，动点在一条过原点的定直线上 .AB MM （ 3）利用（ 2）所揭露的椭圆几何性质，用作图方法找出下边给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.（ 1）解：设椭圆的标准方程为x2+y2 =1， a >b >0，a 2b 2 ∴ a 2=b 2+4，即椭圆的方程为x 2 +y2 =1.b 2 4 b 2∵点（－ 2，－2 ）在椭圆上，∴4+2 =1.b24 b 2解得 b2=4或 b2=－2（舍）.由此得 a2=8，即椭圆的标准方程为x2+ y2=1.8 4 （2）证明：设直线l的方程为y=kx +m，与椭圆 C的交点 A（ x， y）、B（ x ， y ），1122y=kx+m，则有x2+ y2=1.a 2b2222222222解得（ b+a k） x +2a kmx+a m－ a b =0.2222∵ >0，∴m<b+a k，即－ b 2 a 2 k 2<m< b 2 a 2 k 2.2a 2 km， y+y=kx +m+kx +m=b 22b 2m，则 x +x =－b2a 2k 2 a 2k 2121212∴ AB中点 M的坐标为（－a 2 km b2 mb2 a 2k 2，b 2a 2 k 2）.∴线段 AB的中点 M在过原点的直线b2x+a2ky=0上.（ 3）解：以下列图，作两条平行直线分别交椭圆于A、 B和 C、 D，并分别取 AB、 CD的中点 M、 N，连接直线MN；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于A、B 和11 C1、D1，并分别取 A1B1、C1D1的中点 M1、N1，连接直线 M1N1，那么直线 MN和 M1N1的交点 O即为椭圆中心 .C AMA1ON C1BM1DB1N 1●思悟小结在知识的交汇点处命题，是高考命题的趋向，而分析几何与函数、三角、数列、向量等知识的亲密联系，正是高考命题的热门，为此在学习时应抓住以下几点：1.客观题求解时应注意绘图，抓住波及到的一些元素的几何意义，用数形联合法去分析解决 .2.四点重视：①重视定义在解题中的作用；②重视平面几何知识在解题中的简化功能；③重视根与系数关系在解题中的作用；④重视曲线的几何特色与方程的代数特色的一致3. 注意用好以下数学思想、方法：.①方程思想；②函数思想；③对称思想；④参数思想；⑤转变思想；⑥分类思想.除上述几种常用数学思想外，整体思想、数形联合思想、主元分析思想、正难则反省想、结构思想等也是分析几何解题中不行缺乏的思想方法. 在复习中一定赐予足够的重视，真实发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用，从而提升简化计算能力.●教师下载中心教课点睛本节是圆锥曲线的综合应用，主假如曲线方程的运用、变量范围的计算、最值确实定等，解决这种问题的重点是依照分析几何自己的特色，找寻一个打破口，那么怎样找到解决问题的打破口呢？（1）联合定义利用图形中几何量之间的大小关系 . （ 2）成立目标函数，转变为求函数的最值问题 . （ 3）利用代数基本不等式 . 代数基本不等式的应用，常常需要创建条件，并进行奇妙的构想 . （ 4）联合参数方程，利用三角函数的有界性. 直线、圆或椭圆的参数方程，它们的一个共同特色是均含有三角式 . 所以，它们的应用价值在于：①经过参数示曲线上点的坐标；②利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、题.（5）结构一个二次方程，利用鉴别式≥ 0.拓展题例【例 1】（ 2005 年启东市第二次调研题）抛物线y2=4px（p>0）的准线与x 轴交于 M 点，过点 M作直线 l 交抛物线于 A、 B 两点.（ 1）若线段AB的垂直均分线交x 轴于 N（ x ，0），求证： x>3p；00（ 2）若直线l的斜率挨次为p，p2，p3，，线段AB的垂直均分线与x 轴的交点挨次为 N， N， N，，当0<p<1时，求111的值 .++ +123| N1N2 | | N2N3 || N10 N11 |（1）证明：设直线l方程为y=k（x+p），代入y2=4px.得 k2x2+（2k2p－4p）x+k2p2=0.=4（k2p－ 2p）2－ 4k2·k2p2>0，得 0<k2<1.令 A（x， y）、 B（ x ， y），则 x +x=－2k 2 p 4 p， y +y=k（x+x +2p） =4 p，112212k 21212kAB中点坐标为（ 2 p k 2 p ， 2 p ）.k 2k垂直均分线为y － 2 p=－1（x－ 2 p k 2 p） .AB k k k2令y =0，得x0= k 2 p 2 p= +2 p.k 2p2k由上可知 0<k2<1，∴x0>p+2p=3p.∴x0>3p.（2）解：∵l的斜率挨次为p，p2，p3，时，AB中垂线与x轴交点挨次为N1，N2，N3，（0<p<1） .∴点N的坐标为（2， 0）. +np 2n1| N n N n+1|=| （p+2）－（ p+2） |= 2(1p 2 )，p2n1p2n 1p 2n1θ简洁地表范围等问1p 2n 1| N n N n 1 |=，2(1 p 2 )13421p 3 (1 p 19 )所求的值为 2(1p 2 ) ［ p +p + +p ］ = 2(1 p) 2 (1p) .【例 2】（ 2003 年南京市模拟试题）已知双曲线： x 2－ y2=1（＞0，＞ 0）， B 是右C2 b 2a极点， F 是右焦点，点 A 在 x 轴正半轴上，且知足 | OA |、| OB | 、| OF | 成等比数列，过 F作双曲线 C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P .yDPEAB FxO l（ 1）求证： PA · OP =PA · FP ；（ 2）若 l 与双曲线 C 的左、右两支分别订交于点D 、E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .（ 1）证法一：yDPEOABFlxl ： y =－ a（ x －c ） . b y =－ a（ x － c ），bby = x .解得（ a2，ab）. ∵ | OA | 、| OB | 、 | OF | 成等比数列，∴（ a2， 0）.ccc∴ PA =（ 0，－ab）， OP =（ a 2，ab），c cc b2，ab） .FP =（－cc∴ PA · OP =－a 2b 2， PA · FP =－a 2b 2.c 2c 2∴ PA · OP =PA · FP .证法二：同上得 P （ a 2，ab） .cc∴ PA ⊥x 轴，PA · OP － PA · FP =PA · OF =0.∴ PA · OP =PA · FP .y =－ a（x － c ），（ 2）解：bb 2x 2－ a 2y 2=a 2b 2.422a222∴ b x －（ x － c ） =a b ，即（ b 2－ a4） x 2+2 a4cx －（ a 4c 2+a 2b 2） =0.b 2b 2b 2a 4c 2 22)(2 a b∵ x 1· x 2=ba 4＜ 0，b 2b2∴ b 4＞ a 4，即 b 2＞ a 2，c 2－ a 2＞ a 2.∴ e 2＞ 2，即 e ＞ 2 .。

高考数学一轮复习 8.9圆锥曲线的综合问题课件文

(1)求 k 的取值范围； (2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量O→P＋O→Q与A→B垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由．
【思路启迪】 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元得一元二次方程，由判别式大于零可得 k 的范围；(2)利用根与系数的关系结合已知条件确定 k 的值即可判断．
答案：A
2．已知(4,2)是直线 l 被椭圆3x62 ＋y92＝1 所截得的线段的中点，
则 l 的方程为( )
A．x－2y＝0
B．x＋2y－4＝0
C．2x＋3y＋4＝0 D．x＋2y－8＝0
析：设 l 与椭圆的交点为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有33xx662122 ＋＋yy992122＝＝11，，
虑： (1)利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核
心是在两个参数之间建立等量关系；
(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；
(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．
在建立函数关系时，注意函数的定义域．
(2014·北京卷)已知椭圆 C：x2＋2y2＝4. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y＝2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OA⊥OB，求线段 AB 长度的最小值．
解析：设直线 PA 的斜率为 kPA，PB 的斜率为 kPB，由 y21＝2px1，y20＝2px0，得 kPA＝yx11－－yx00＝y12＋py0，同理 kPB＝y22＋py0，由于 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，因此y12＋py0＝－y22＋py0，即 y1＋y2＝－2y0(y0>0)，那么y1＋y0 y2＝－2. 答案：－2

高考数学一轮复习第八章平面解析几何 8.8 圆锥曲线的综合问题课件

p
已知抛物线y2=2px(p>0)的弦AB的中点M(x0,y0)(y0≠0) ,则kAB=⑧ yc0 . 若涉及直线过圆锥曲线焦点的问题,则一般利用圆锥曲线的定义去解决.
4.定点、定值问题 (1)求定值问题常见的方法 (i)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关. (ii)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. (2)定点问题的常见解法 (i)假设定点坐标,根据题意选择参数,建立一个直线系或曲线系方程,而该方程与参数无关,故得到一个关于定点坐标的方程组,以这个方程组的解为坐标的点即所求定点; (ii)从特殊位置入手,找出定点,再证明该点适合题意.
6.求定值、最值问题等圆锥曲线综合问题要四重视 (1)重视定义在解题中的作用; (2)重视平面几何知识在解题中的作用; (3)重视根与系数的关系在解题中的作用; (4)重视曲线的几何特征与方程的代数特征在解题中的作用. 7.存在性问题一般采用“假设反证法”或“假设验证法”来解决存在性问题.
1.设抛物线y2=4x的焦点弦被焦点分为长是m和n的两部分,则m与n的关系是( ) A.m+n=4 B.mn=4 C.m+n=mn D.m+n=2mn 答案 C 解法一:焦点为F(1,0),设焦点弦为AB,其中A(x1,y1),B(x2,y2),当直线AB的斜率存在时,依题意设AB的方程为y=k(x-1)(k≠0). 由焦半径公式得AF=x1+1=m,BF=x2+1c =n,又 y2 4x,
1 k2
c
|y1-y2|(k≠0)
.
3.已知弦AB的中点,研究AB的斜率和方程
(1)AB是椭圆
x2 a2
+
y2 b2
=1(a>b>0)的一条弦,AB中点M的坐标为(x0,y0)(y0≠0),

高考数学第八章第八节圆锥曲线的综合问题(视情况选用)课件文

第七页，共18页。
[以题试法 1] 选 C 易知抛物线 y2＝8x 的准线 x＝－2 与 x 轴的交点为 Q(－2,0)，于是，可设过点 Q(－2,0)的直线 l 的方程为 y＝k(x＋2)(由题可知 k 是存在的)，联立yy2＝＝k8xx，＋2 ⇒k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0. 当 k＝0 时，易知符合题意；当 k≠0 时，其判别式为 Δ＝(4k2 －8)2－16k4＝－64k2＋64≥0，可解得－1≤k≤1.
7)．所以当且仅当 m＝1－ 7时，u(m)取到最大值．故当且仅当 m＝1－ 7时，S 取到最大值．综上，所求直线 l 的方程为 3x＋2y＋2 7－2＝0.
第十三页，共18页。
[以题试法 2] 选 B 设抛物线上关于直线 x＋y＝1 对称的两点是 M(x1，y1)、N(x2，y2)，设直线 MN 的方程为 y＝x＋b.将 y＝x＋b 代入抛物线方程，得 x2＋(2b－2p)x＋b2＝0，则 x1＋x2＝2p－2b， y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b＝2p，则 MN 的中点 P 的坐标为(p－b，p)．因为点 P 在直线 x＋y＝1 上，所以 2p－b＝1，即 b＝2p－1.又 Δ＝(2b－2p)2－4b2＝4p2－8bp＞0，将 b＝2p－1 代入得 4p2－8p(2p－1)＞0，即 3p2－2p＜0，解得 0＜p＜23.
故双曲线方程为 y2－x32＝1.
第二页，共18页。
2．选 A 由于直线 y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1 过定点(1,1)，而(1,1)
在椭圆内，故直线与椭圆必相交．
3．选 C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x
＝0，过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线

高考数学(文江苏专用)一轮复习课件：第八章第8讲圆锥曲线中的热点问题

第八章平面解析几何第8讲圆锥曲线中的热点问题1. 定值问题如果曲线中某些量不依赖于变化元素而存在，则称为定值, 探讨定值的问题可以为解答题，也可以为证明题，求定值的基本方法是：先将变动元素用参数表示，然后计算出所需结果与该参数无关；也可将变动元素置于特殊状态下，探求出定值，然后再予以证明，因为毕竟是解析几何中的定值问题, 所以讨论的立足点是解析几何知识，工具是代数、三角等知识，基本数学思想与方法的体现将更明显，更逼真.教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源2.最值问题圆锥曲线中最值问题是高中数学的重要内容，试题把代数、三角和几何等有机结合起来，问题具有高度的综合性和灵活性.常用的方法有⑴利用定义求解；⑵构造基本不等式；⑶ 利用数形结合；（4）构造函数等.3.范围问题求解析几何中的有关范围问题往往通过类比、联想、转化、合理地构造函数，然后去分析、研究问题，转化问题和解决问题.对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线段长度及“，b, c, e 之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时非常有效.產D -做一做•1.直线y=〉+ 3与双曲线器一* = 1的交点个数是1解析：因为直线丿=纭+3与双曲线的渐近线y=^x平行，所以它与双曲线只有1个交点.2.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为4的正方形，设P为该椭圆上的动点，C, D的坐标分别是（7, 0）,（边，0）,则PC PD的最大值为& .2 2解析：设椭圆的标准方程为》+器=l@>b>0）, C2=a2—b2.由正方形的对角线性质可得:b=c,又该正方形面积为4,,则4X；X沪=4,所以b=c=逸,则C, D所以疋喀便仟斗=—心=4要点整食r1.必明辨的2个易错点(1)直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切, 事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2)直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.2.常用的1个结论设斜率为冰H0）的直线/与圆锥曲线C相交于£ B两点, A(x p ji), Bg丿2)，贝!IAB = \Jl-{-k2lx 1—兀21=\/1+/ • yl(X1+X2)2—4X1X2=寸1+* • Wlpl=\J1+p ■<Ji+j2)2—4yjj2.產D；、绦二综［1.过点(0, 1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线有 3 条.解析：设过点(0, 1),斜率为比的直线方程为y=kx+l.由得^x2+(2JI-4)x+1=0.(*) 当吃=0时，(*)式只有一个根;当&工0 时，4=（2氐_4）2_4疋=_16氐+16, 由/=0,即一16抵+16=0 得k=\.所以片0,或片1时，直线与抛物线只有一个公共点'又直线x=0和抛物线只有一个公共点•故所求直线有3条，2.以直线无±2y=0为渐近线，且截直线x-j-3=0所得弦只斤丘 2_丫长为竽的双曲线方程为解析：设双曲线方程为x 2-4y 2=^消去〃得3兀2—24兀+(36+2)=0・设直线被双曲线截得的弦为AB, MA(xx ，J O, B(X 2, J 2),联立方程组 X 2—4y 2=l,x —y —3 = 0,兀1+ X2"~A = (—24) 2—12 (36+2) >0・所以 AB=(1+A:2) [ (xj+x 2) 2-4XX X 2]0 解得2=4,故所求双曲线方程是^—y 2= l.那么, 36+2 V 兀1兀2=J ， 2_4X %+力 "J G 厂厂=8f(1 + 1)（2016•泰州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中,缶+器=1（。

高考数学一轮复习圆锥曲线的综合问题第1课时

第9节圆锥曲线的综合问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法；2•了解圆锥曲线的简单应用；3.理解数形结合的思想.I基础摻斷回归教材，夯丈基础知识梳理1 •直线与圆锥曲线的位置关系判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线I的方程Ax+ By+ C = 0(A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x, y) = 0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，消去y, 得ax2+ bx+ c—0.Ax+ By+ C—0,F (x, y)—0(1) 当a^ 0时，设一元二次方程ax2+ bx+ c—0的判别式为△,贝U A> 0?直线与圆锥曲线C相交;A—0?直线与圆锥曲线C相切;Av0?直线与圆锥曲线C相离.⑵当a—0, b M0时，即得到一个一次方程，则直线I与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线I与双曲线的渐近线的位置关系是平—行；若C为抛物线，则直线I与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.2 •圆锥曲线的弦长设斜率为k(k M 0)的直线I与圆锥曲线C相交于A, B两点，A(x i, y i), B(X2, y2), 则|AB|—,1+ k2x i —X2|—.1 + k2• (x i+ x2)2—4x1x2—j+1 y—y2i —1+k2 - (y1 + y2)2—4y1y2.［常用结论与微点提醒］判断直线与圆锥曲线位置关系时的注意点(1) 直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点.(2) 直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行或重合时也相交于一点.诊断自测1. 思考辨析(在括号内打“V”或“X”)(1) 直线I与椭圆C相切的充要条件是：直线I与椭圆C只有一个公共点.()(2) 直线I与双曲线C相切的充要条件是：直线I与双曲线C只有一个公共点.()(3) 直线I与抛物线C相切的充要条件是：直线I与抛物线C只有一个公共点.()(4) 如果直线x= ty+ a与圆锥曲线相交于A(x i，y i)，B(x2, y2)两点，则弦长AB|=一1 +t2|y i—y2|.()(5) 若抛物线C上存在关于直线I对称的两点，则需满足直线I与抛物线C的方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式△> 0.()解析(2)因为直线I与双曲线C的渐近线平行时，也只有一个公共点，是相交，但并不相切.(3) 因为直线I与抛物线C的对称轴平行或重合时，也只有一个公共点，是相交，但不相切.(5)应是以I为垂直平分线的线段AB所在的直线I 与抛物线方程联立，消元后所得一元二次方程的判别式△> 0.答案(1)2 (2) X (3)X ⑷V (5) X2 22. 直线y= kx—k+ 1与椭圆倉+ 4 = 1的位置关系为()A .相交B .相切C.相离 D .不确定解析直线y= kx—k+1 = k(x—1)+ 1恒过定点(1，1)，又点(1，1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交.答案A3. 过点(0，1)作直线，使它与抛物线y2= 4x仅有一个公共点，这样的直线有()A. 1条B. 2条C. 3条D . 4条解析过(0,1)与抛物线y2= 4x相切的直线有2条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三条直线与抛物线都只有一个公共点.答案C2 24 .若直线y= kx与双曲线鲁—y4 = 1相交，则k的取值范围是()A. 0, 3B. -3 0C. —3, 3D. —8,—3 U 3，+®2 2 3解析双曲线9—4 = 1的渐近线方程为y^^x，若直线与双曲线相交，数形结合，得k€ —3, 3.答案C5.已知F1, F2是椭圆16x2+ 25y2= 1 600的两个焦点，P是椭圆上一点，且PF1丄PF2，则△ F1PF2的面积为_____________ .解析由题意可得|PF11+ |PF2|= 2a = 20,|PF『+ |PF2|2= |F1F2|2= 4c2= 144 = (|PF1| + |PF2|)2—2|PF1| |PF2| = 202—2|PF1| |PF2|,解得|PF1| |PF2|= 128,1 1所以△ F1PF2 的面积为2|PF1| |PF2|= 128= 64.答案642 2x y 一6. (2018宁波检测)椭圆4 + 3 = 1的左焦点为F,直线x= m与椭圆相交于点A,B,当m= _________ 时，△ FAB的周长最大，此时△ FAB的面积是 _______ .2 2解析设椭圆4+ y3 = 1的右焦点为F',贝U F(—1, 0), F' ,10).由椭圆的定义和性质易知，当直线x= m过F，,10)时厶FAB的周长最大，此时1,把x= 1y= ±2，S^FAB = 2 |F1F2| AB | = |x 2X 3 = 3.1 得y2= 4,答案 1 3第1课时直线与圆锥曲线I考点突破I考点一直线与圆锥曲线的位置关系【例1】(2018温州模拟)已知A , B , C 是抛物线y 2 = 2px(p >0)上三个不同的点, 且AB 丄AC.(1) 若 A(1, 2), B(4,— 4),求点 C 的坐标；(2) 若抛物线上存在点D ，使得线段AD 总被直线BC 平分，求点A 的坐标. 解 (1)： A(1, 2)在抛物线上，二p = 2.设 C 4, t ，则由 k AB k Ac =— 1,得 t = 6,即 C(9, 6).(2)设 A(x o , y o ), B 2P , y 1 , c2p , y 2 , 则直线BC 的方程为(y 1 + y 2)y = 2px + y 〔y 2, 由 k AB k A 尸一2 32 — 1,y 1 y O y 2 y O2p — 2p 2p — 2p得 y o (y 1 + y 2) + y 1y 2 + y o = — 4p 2,代入直线 BC 的方程，得(y 1 + y 2)(y + y o )= 2p(x — 2p — x o ), 故直线BC 恒过点E(x o + 2p ,— y o ),因此直线AE 的方程为y = — "(x — x o )+ y o , p代入抛物线的方程y 2= 2px(p > o),們一比’2p (x o + p )2p (x o + p )) I y o ' y o J因为线段AD 总被直线BC 平分, 2p (x o + p ) y o解得 x o = p , y o =±,2 (x o + 2p ) =x o + 2p (x0+p ) y o所以—2y o = y o —即点A的坐标为i p, =tp .规律方法研究直线与圆锥曲线的位置关系时，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，消元后，应注意讨论含 X 2项的系数是否为零的情况，以及判别式的应用•但对于选择、填空题要充分利用几何条件，用数形结合的方法求解.2 2【训练1】在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C i :£ + b ^= i (a > b > 0)的左焦点为F i ( — 1，0)，且点P(0，1)在C i 上. (1) 求椭圆C i 的方程； (2) 设直线I 同时与椭圆C 1和抛物线C 2: y 2= 4x 相切，求直线I 的方程. 解 ⑴椭圆C 1的左焦点为F 1( — 1，0),二c = 1，又点P(0，1)在曲线C 1 上, 0 1 2 2 2 二孑 + 孑二 1,得 b = 1,贝U a = b + c = 2， 2 所以椭圆C 1的方程为号+ y 2= 1. (2)由题意可知，直线I 的斜率显然存在且不等于0,设直线I 的方程为y = kx + m ，消去 y ,得(1 + 2k 2)x 2 + 4kmx + 2m 2— 2 = 0.因为直线I 与椭圆C 1相切，所以△= 16k 2m 2 — 4(1 + 2k 2)(2m 2— 2) = 0.整理得2k 2— m 2+ 1= 0.①y = 4x , -- -由' 消去 y ,得 k x + (2km —4)x + m = 0.y= kx + m因为直线I 与抛物线C 2相切，所以 &= (2km — 4)2 — 4k 2m 2 = 0,整理得 km = 1.②.工「k =_综合①②，解得 2，或 2，m = . 2 m =— . 2.所以直线I 的方程为 y=fx +V 2或 y = — fx —V 2.考点二弦长问题-2X -+ y 2= 1 由 2+y 1,y = kx + m2【例2】(2017全国I 卷)设A , B 为曲线C : y = X ［上两点，A 与B 的横坐标之和为4.(1)求直线AB 的斜率；⑵设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线 AB 平行，且AM 丄BM ，求直线AB 的方程.解(1)设 A(x i ，y i )，B(X 2，y 2)，2X 2 , y 2= 4, X i + X 2= 4, 于是直线AB 的斜率k = yr » = X1-^= 1.X 1 — X 2 42(2) 由 y =X 4，得 y -2设M (X 3，y 3)，由题设知号=1，解得X 3 = 2，于是M(2，1).设直线AB 的方程为y =X + m ，故线段 AB 的中点为 N(2, 2+ m), |MN|=|m + 1|.2 X Q将 y =X + m 代入 y —才得 X 2 — 4X — 4m = 0.当△= 16(m + 1)>0，即 m>— 1 时，X 1, 2= 2i2,m + 1.从而 |AB|= 2|X 1 — X 2| = 4 2 ( m + 1).由题设知 AB| = 2|MN|,即卩 4 2 ( m + 1)= 2(m + 1),解得 m = 7.所以直线AB 的方程为x — y + 7 = 0.规律方法有关圆锥曲线弦长问题的求解方法：涉及弦长的问题中，应熟练的利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解.2 2 1 【训练2】已知椭圆字+ *= 1(a > b > 0)经过点(0 , 3),离心率为2左、右焦点分别为 F 1( — c , 0), F 2(c , 0).则 X l MX , 2X1-43 . • AB|= . 1+ — 2 [l¥]m 2-4 (m 2— 3)]由辭字得二直线I 的方程为、:—2=i '解得 m = y =-仝+宁或 y =- 2x —±f,满足(*) •(1) 求椭圆的方程；i(2) 若直线I : y = — 2X + m 与椭圆交于A , B 两点，与以F i F 2为直径的圆交于C , D 两点，且满足jCD = ^^3 了「b = ■3,c i 解(i)由题设知-=2,a 2b 2 = a 2— c-,2 2•••椭圆的方程为x +卷=i.⑵由⑴知，以F i F 2为直径的圆的方程为x 2 + y 2= i ,•圆心到直线I 的距离d = 2叟，由d v 1,得 |m|< 申(*)••• |CD| = 2 i — d 2= 2 i — ：m 2 =设 A(x i , y i ), B(x 2, y 2), f 1y = — 2x + m ,厶 /口 2 22 2 得 x — mx + m —3 = 0,|x +y = i4 十 3 ',由根与系数关系可得x i + X 2= m , x i x 2= m 2— 3.,求直线I 的方程.解得 a = 2, b = 3, c = 1,由」 5— 4m 2.2 —m .考点三中点弦问题【例3】设抛物线过定点A(- 1, 0),且以直线x= 1为准线.(1) 求抛物线顶点的轨迹C的方程；1(2) 若直线I与轨迹C交于不同的两点M , N,且线段MN恰被直线x=—㊁平分, 设弦MN的垂直平分线的方程为y= kx+ m,试求m的取值范围.解⑴设抛物线顶点为P(x, y),贝U焦点F(2x—1, y).再根据抛物线的定义得|AF| = 2,即(2x)2+ y2= 4,所以轨迹C的方程为x2+卷=1仪工1).[1 、⑵设弦MN的中点"4X M+ y M = 4,为P —2, y o ,M(X M , y M), N(X N, y N)，则由点M , N为椭圆C上的点，可知'9 2 ’.4X N + y N= 4.两式相减，得4(X M —X N)(X M + X N) + (y M —y N)(y M + y N) = 0, 将X M+X N = 2 X —1 =一1, y M + y N= 2y o,又点P—2, y o在弦MN的垂直平分线上,1所以y o= —2k+ m.所以m= y o + 2k= 4y o.「1 、 1由点P —2, y o在线段BB上(B‘，B为直线x= —2与椭圆的交点，如图所示), 所以y B’v y o v y B,也即一〔3v y o v 一3.21, ②规律方法处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有X 1 + X 2, y i + y 2,底2三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率, 借用中点公式即可求得斜率. (2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解. 2 2E :予+器=1(a >b >0)的右焦点为F(3, 0),过点F 的若AB 的中点坐标为(1,- 1),贝U E 的方程为()2 2 r x y / B — + —= 1 36 + 27 2 2x y / D — + 匚=1 D.18十 9 | 【训练3】⑴已知椭圆直线交E 于A ，B 两点. 2 2 宀 + V-二 1A.45+36 2 2 CX 2+ y_ 二 1 C.27+18— 1 22—y_ x 3 点在抛物线y 2= 18x 上，则实数m 的值为 ⑵已知双曲线 1上存在两点M ，N 关于直线y =x + m 对称，且MN 的中解析(1)因为直线AB 过点F(3, 0)和点(1,- 1), 1 所以直线AB 的方程为y =3(x — 3), 2 2代入椭圆方程拿+治=1消去y , 2a 2 2 3 2 9 2 Z 2 得 4 +b x — 2a x +4a — a b = 0, 所以AB 的中点的横坐标为 3 22a莎匚1, 即 a 2= 2b 2，又 a 2= b 2 + c 2，所以 b = c = 3，a = 3.2，选 D. ⑵设 M(x 1, y 1), N(X 2,y 2), MN 的中点 P(x 0, y 0), x 2 — 2y 1= 3 = 1,由②一①得(X 2—x i )(x 2+x i )= 3(y 2—y i )(y 2+y i ),T M , N 关于直线y = X + m 对称，二k MN =— i ,…y o = 一 3x o .P …丄 -D rm 3m又• y o = x o + m , •• P 一a ，才,代入抛物线方程得i^m 2^ i8 •—乎, 解得m = 0或一 8,经检验都符合. 答案(i)D (2)0 或一8I 课乍业另层训练、提升能力基础巩固题组一、选择题1 .过抛物线y 2二2x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A , B 两点，它们的横坐标之和等于2,则这样的直线() A .有且只有一条 B .有且只有两条 C .有且只有三条D .有且只有四条解析•••通径2p = 2,又|AB 匸x i + X 2 + p ,二|AB|= 3>2p ,故这样的直线有且只有两条. 答案 Bb x 22 2 .直线y =ax + 3与双曲线器=i(a > 0, b > 0)的交点个数是( )A . iB . 2C . i 或 2D . 0解析因为直线y = b x + 3与双曲线的渐近线y =b x 平行，所以它与双曲线只有1a a 个交占I 八、、・答案 A 3.抛物线y = x 2到直线x — y —2= 0的最短距离为()显然 X l M X 2.二y 2 — y i y 2 + y iX 2 — X i X 2 +X =3,即 k MN $ = 3,A. 2B.7^C. 2 2 。

高考数学一轮复习第八章平面解析几何 881 圆锥曲线的综合问题课件文

y＝kx＋2， y＝kx＋2，由x92＋y2＝1，
2021/12/8
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消去 y 得，(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0，由 Δ＝(36k)2－108(1＋9k2)>0，得 k2>13。设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得 x1＋x2＝－1＋369kk2，x1x2＝1＋279k2， |AB|＝ 1＋k2|x1－x2| ＝ 1＋k2· －1＋369kk22－4·1＋279k2 ＝6 3 11＋＋k92k23k2－1，令 1＋9k2＝t，则 t>4，
答案 (1＋ 2，＋∞)
2021/12/8
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第1课时
最值、范围(fànwéi)、证明问题
2021/12/8
第十六页，共四十九页。微考点来自大课堂考点例析对点微练
2021/12/8
第十七页，共四十九页。
考点一最值问题【例 1】 (2019·广东六校联考)已知圆 C：(x＋2 2)2＋y2＝36 与定点 M(2 2，0)，动圆 I 过 M 点且与圆 C 相切。 (1)求动圆圆心 I 的轨迹 E 的方程； (2)若过定点 N(0,2)的直线 l 交轨迹 E 于不同的两点 A，B，求|AB|的最大值。
答案 B
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4．已知点 F1，F2 分别是双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过 F1 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点，若△ABF2 是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________。
解析由题设条件可知△ABF2 为等腰三角形，只要∠AF2B 为钝角即可，所以有ba2>2c，即 b2>2ac，所以 c2－a2>2ac，即 e2－2e－1>0，所以 e>1 ＋ 2。

高考数学大一轮复习第八章平面解析几何第8课时圆锥曲线的综合问题文北师大版

1．(2016·沈阳模拟)若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右
支交于不同的两点，则 k 的取值范围是( )
A.－
315，
15 3
C.－ 315，0
B.0，
15 3
D.－ 315，－1
解析：由yx＝2－kyx2＋＝26，，得(1－k2)x2－4kx－10＝0，
(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点， A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 1＋k2 |x1－x2|＝ 1＋k12·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝ x1＋x2＋p＝si2np2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．
审题视点 (1)利用离心率公式直接求解；(2)求直线AB的方程，利用原点到直线AB的距离判断直线与圆的位置关系．
解 (1)由题意，椭圆C的标准方程为x42＋y22＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2. 因此a＝2，c＝ 2.
故椭圆C的离心率e＝ac＝ 22.
(2)直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：设点A，B的坐标分别为(x0，y0)，(t,2)，其中x0≠0. 因为OA⊥OB，所以 O→A ·O→B ＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－ 2xy00. 当x0＝t时，y0＝－t22，代入椭圆C的方程，得t＝± 2，故直线AB的方程为x＝± 2，圆心O到直线AB的距离d＝ 2. 此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．
所在直线的斜率k＝yp0.
[基础自测]
1．(教材改编题)直线y＝kx－k＋1与椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的位置关
系为( )

高考数学一轮总复习第八章平面解析几何8_10圆锥曲线的综合问题课件理新人教A版

(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有
一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．
2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝
[解析] (1)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1，解得a2＝8，b2＝4. 所以C的方程为x82＋y42＝1.
(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入x82＋y42＝1，得 (2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0. 故xM＝x1＋2 x2＝2－k22＋kb1，
③代入①得t2m2－3＋2m2t2＝0， ∴(mt)2＝1，由题意mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线l方程为x＝ty＋1，过定点(1,0)，即Q为定点．
考点二|圆锥曲线的定值(常数)问题 (思维突破) 【例2】已知椭圆C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22，点(2， 2)在C上． (1)求C的方程； (2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M. 证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．
考点三|圆锥曲线中的范围(最值)问题 (方法突破)
【例3】
已知椭圆E：
x2 a2
＋
y2 b2
＝1(a>b>0)，其焦点为F1，F2，离心率为
2 2
，直线
l：x＋2y－2＝0与x轴，y轴分别交于点A，B.
(1)若点A是椭圆E的一个顶点，求椭圆的方程；

2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：圆锥曲线中探索性与综合性问题

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(2)在抛物线E上任取与原点不重合的点A，过A作抛物线E的切线交x轴于点B，点A在直线x＝－1上的射影为点C，试判断四边形ACBF的形状，并说明理由.
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设A(x0，y0)，则过A作抛物线E的切线为y－y0＝k(x－x0)，即 x＝y－k y0＋x0，代入 y2＝4x，整理得 ky2－4y＋4y0－ky20＝0，因为此直线与抛物线相切，所以 Δ＝4(4－4ky0＋k2y20)＝0，即(ky0－2)2＝0，解得 k＝y20，所以过 A 的切线为 y－y0＝y20(x－x0)，
＝kx－p2，联立抛物线方程得 k2x2－(k2p＋2p)x＋k24p2＝0，
Δ＝(k2p＋2p)2－k4p2>0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝k2pk＋2 2p＝2kp2 ＋p，此时|AB|＝x1＋x2＋p＝2kp2 ＋2p>2p，
显然当直线AB的斜率不存在时，|AB|的值最小，即2p＝4，解得p＝2， ∴抛物线E：y2＝4x.
第八章直线和圆、圆锥曲线
§8.13 圆锥曲线中探索性与综合性问题
题型一探索性问题
例 1 (2023·南通模拟)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的离心率为 2，
且过点
315，
2.
(1)求双曲线C的标准方程；
依题意ac＝2， 35a2－b22＝1，
结合 c2＝a2＋b2，
所以抛物线C的标准方程为x2＝4y.
(2)不过点M的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若直线MA，MB的斜率之积为－2，试判断直线l能否与圆(x－2)2＋(y－m)2＝80相切？若能，求此时直线l的方程；若不能，请说明理由.

高考数学一轮复习第八章解析几何第8讲 1 圆锥曲线的综合问题课件文新人教版

第八章解析几何
• 第8讲圆锥曲线的综合问题
◆高考导航·顺风启程◆
最新考纲
常见题型
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位圆锥曲线问题是高考的
置关系的思想方法．
重点与热点，多以压轴
2.了解圆锥曲线的简单应用．
题出现，是高考的难点，
3.理解数形结合的思想.
占 13 分.
[知识梳理] 1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程．即AFxx＋，Byy＋＝C0 ＝0，消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.
[解] (1)根据椭圆的左焦点为 F1(－1,0)，知 a2－b2＝1，又根据点 P(0,1)在椭圆上，知 b＝1，所以 a＝ 2，所以椭圆 C1 的方程为x22＋ y2＝1.
(2)因为直线 l 与椭圆 C1 和抛物线 C2 都相切，所以其斜率存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(k≠0)，代入椭圆方程得x22＋(kx＋m)2＝1，
(2)关注点 ①联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况． ②判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式 Δ 起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．
【针对补偿】
1．(2018·兰州检测)若直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交
()
A.0，23
B.－23，0
C.－23，23
D.－∞，－23∪23，＋∞
[解析] 双曲线x92－y42＝1 的渐近线方程为 y＝±23x，

近年届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第8讲圆锥曲线中的热点问题演练直击高考文(2021年整理)

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第8讲圆锥曲线中的热点问题1．（2018·镇江调研)已知点A(0，2)及椭圆错误!＋y2＝1上任意一点P,则PA的最大值为________．[解析］设P(x0，y0)，则－2≤x0≤2,－1≤y0≤1，所以PA2＝x错误!＋(y0－2)2.因为错误!＋y错误!＝1，所以PA2＝4（1－y错误!)＋（y0－2）2＝－3y20－4y0＋8＝－3错误!错误!＋错误!。

因为－1≤y0≤1，而－1<－错误!〈1，所以当y0＝－错误!时,PA错误!＝错误!，即PA max＝错误!.[答案] 错误!2．设椭圆错误!＋错误!＝1(m＞1）上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P到右准线的距离为________．[解析] 因为m2＞m2－1，所以m2＝a2，m2－1＝b2。

所以c2＝1。

又3＋1＝2a⇒a＝2，所以dP－l右＝错误!＝错误!＝2.［答案］ 23．已知双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b〉0）的一条渐近线方程是y＝错误!x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．[解析］因为一条渐近线方程是y＝错误!x,所以错误!＝错误!.①因为双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上,所以c＝6。

高考数学一轮复习 第八章 第8讲 第1课时圆锥曲线的综合问题 文