【压轴题】高二数学上期末试题(及答案)

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高二数学上学期期末考试试题含解析(共19页)

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镇海中学(zhōngxué)2021学年第一学期期末考试高二年级数学试卷第I卷〔选择题〕一、选择题.在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的.,,那么〔〕A. B. C. D.或者【答案】C【解析】【分析】求解出集合的取值范围,利用交集定义求解.【详解】由得:或者,即或者那么此题正确选项:【点睛】此题主要考察集合运算中的交集运算,属于根底题.,,那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据(gēnjù)单调性,可得,再验证可得最终结果.【详解】在上单调递增,即又又此题正确选项:【点睛】此题考察与对数函数有关的比拟大小类问题,属于根底题.在点〔1,0〕处切线的倾斜角为,那么〔〕A. 2B.C. -1D. 0 【答案】A【解析】【分析】求导得,代入,可得切线斜率,即的值.【详解】由题意得:代入,可得切线斜率又,得此题正确选项:【点睛】此题考察导数的几何意义、直线斜率与倾斜角的关系,属于根底题.R上的函数的图像是连续的,且其中的四组对应值如下表,那么在以下区间中,函数不一定存在零点的是〔〕x 1 2 3 53 -1 2 0A. B. C. D.【答案(dá àn)】D【解析】【分析】根据零点存在定理,依次判断各个选项。

又为的子集,那么区间有零点,那么区间也必有零点;上有零点,那么上必有零点;由此可得结果.【详解】由题意可得:在上必有零点又,在上必有零点在上必有零点又,在上必有零点在上不一定存在零点此题正确选项:【点睛】此题主要考察零点存在定理,关键在于需要明确当,不能得到区间内一定无零点的结论,需要进一步判断.,假设,那么〔〕A. 1B. -1C. -2D. 3【答案】B【解析(jiě xī)】【分析】判断的奇偶性,通过奇偶性求得函数的值.【详解】由题意得:即定义域为,关于原点对称又可得:为奇函数此题正确选项:【点睛】此题考察通过函数奇偶性求函数值。

高级中学高二数学上学期期末考试试题含解析

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高级中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕第I 卷一、选择题:z满足()1z i =,那么z =〔 〕2i -2i +4iD.4i + 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据所给的等式表示出z ,是一个复数除法的形式,进展复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的一共轭复数,分子和分母同时进展乘法运算,得到最简形式. 【详解】解:()13i z i +=1i z -∴===应选:D .【点睛】此题考察复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的一共轭复数,把复数整理成整式形式,再进展复数的乘法运算,合并同类项,得到结果.{}2|230A x x x =--≤,{}|lg 0B x x =<,那么A B =〔 〕A. {}|11x x -<<B. {}1|0x x <<C. {}3|1x x <<D. ∅【答案】B 【解析】【分析】根据不等式的解法求出集合的等价条件,结合集合交集的定义进展计算即可. 【详解】解:{}2|230A x x x =--≤,{}|13A x x ∴=-≤≤, {}|lg 0B x x =<, {}|01B x x ∴=<<, {}|01A B x x ∴=<<,应选:B【点睛】此题主要考察集合的根本运算,求出集合的等价条件是解决此题的关键,属于中档题.()2111x x f x lgxx ⎧+≤=⎨>⎩,那么f(f(10)=A. lg101B. 2C. 1D. 0【答案】B 【解析】【详解】因为101>,所以()10lg101f ==. 所以2((10))(1)112f f f ==+=,应选B.【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量x 的取值对应着哪一段区间,就使用哪一段解析式,表达考纲中要求理解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式.{}n a 的前n 项和为n S ,且144a a +=,258a a +=,那么20202020S=〔 〕 A. 2021 B. 2021 C. 2021 D. 2021【答案】B 【解析】 【分析】首先根据条件构造关于1a ,d 的方程组,求出数列的通项公式,再根据等差数列求和公式计算可得;【详解】解:因为144a a +=,258a a +=,所以11113448a a d a d a d ++=⎧⎨+++=⎩解得112a d =-⎧⎨=⎩,()1123n a a n d n ∴=+-=-,()1222n na a n S n n +∴==-22020202022020201820202020S -⨯∴== 应选:B【点睛】此题考察等差数列的通项公式及求和公式的应用,属于根底题. 5.40.5=a ,40.5=b log ,0.54c =,那么,,a b c 的大小关系是〔 〕 A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D.b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性,分别得出,,a b c 的大致范围,即可得出结果. 【详解】∵()410.50,=∈a ,440.510<==b log log ,0.50441c =>=.∴b a c <<. 应选A【点睛】此题考察了指数与对数函数的单调性,考察了推理才能与计算才能,属于根底题型.22:40C x y x +-=与直线l 切于点(P ,那么直线l 的方程为〔 〕A. 20x +=B. 40x -+=C. 40x +-=D.20x +-=【答案】A 【解析】 【分析】利用点P 与圆心连线的直线与所求直线垂直,求出斜率,即可求过点(P 与圆C 相切的直线方程;【详解】圆22:40C x y x +-=可化为:()2224x y -+= ,显然过点(P 的直线1x =不与圆相切,那么点P = ,那么所求直线斜率为3 ,代入点斜式可得()13y x -=- ,整理得20x +=. 应选A.【点睛】此题考察直线方程,考察直线与圆的位置关系,考察分类讨论的数学思想,属于中档题.7.如图,正方体1111ABCD A B C D -中,E 、F 分别是边1AA 和AB 的中点,那么EF 和1BC 所成的角是〔 〕A. 30B. 60︒C. 45︒D. 120︒【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义,把直线1BC 平移和直线EF 相交,找到异面直线EF 与1BC 所成的角,解三角形即可求得结果.【详解】如图,取11A D 的中点G ,连接EG ,FG ,在正方体1111ABCD A B C D -中,设正方体边长为2, 易证GEF ∠〔或者补角〕为异面直线EF 与1BC 所成的角, 在GEF ∆中,2EF =2EG =,6FG =由余弦定理得2261cos 42GEF +-∠==-,即120GEF ︒∠=, 所以异面直线EF 与1BC 所成的角为60︒. 应选:B.【点睛】此题考察异面直线所成的角,以及解决异面直线所成的角的方法〔平移法〕的应用,表达了转化的思想和数形结合的思想方法,属于根底题.x xx x e e y e e--+=-的图像大致为〔 〕A. B. C. D.【答案】A 【解析】试题分析:x x x xe e y e e--+=-2211x e =+-为奇函数且x 0=时,函数无意义,可排除,C D ,又在(,0),(0,)-∞+∞是减函数,应选A .考点:1.函数的奇偶性;2.函数的单调性;3.函数的图象.()()sin f x A x ωϕ=+,〔其中0A >, 0>ω, 2πϕ<〕的一局部图象如下图,将函数上的每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到的图象表示的函数可以为〔 〕A. ()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B. ()sin 43f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C. ()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D. ()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】由图象可知A=1,周期T π=,所以2ω=,又过点(,0)6π-,所以3πϕ=,即()sin(2)3f x x π=+,每一个点的纵坐标不变,横坐标伸长为原来的2倍,得到()sin()3f x x π=+,应选A.()322f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10,那么点(),a b 为〔 〕A. ()3,3-B. ()4,11-C. ()3,3-或者()4,11-D. 不存在【答案】B 【解析】【详解】试题分析:2'()32f x x ax b =++,那么()()110{10f f ='=,2110{320a b a a b +++=++=解得4{11a b ==-或者3{3a b =-=,当3,3a b =-=时,22'()3633(2)0f x x x x =-+=-≥,此时()f x 在定义域R 上为增函数,无极值,舍去.当4,11a b ==-,2'()3811f x x x =--,1x =为极小值点,符合,应选B考点:1.用导数研究函数的极值;2.函数在某一点取极值的条件.【易错点睛】此题主要考察用导数研究函数的极值问题,要求掌握可导函数获得有极值的条件,'()0f x =是函数获得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验,此题中,当3,3a b =-=时,'()0f x ≥,此时()f x 在定义域R 上为增函数,无极值,不符合题意,舍去.此题容易错选A ,认为两组解都符合,一定要注意检验.11.12,F F 分别为双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点,其中点2F 为抛物线()22:20C y px p =>的焦点,设1C 与2C 的一个交点为P ,假设212PF F F =,那么1C 的离心率为( ) A. 51- B. 21+C. 322+D. 51+【答案】B 【解析】设()P m n ,位于第一象限,那么00m n >>, 由题意可得202p F ⎛⎫⎪⎝⎭,,且双曲线的2p c =抛物线的焦点为准线方程为2p x =- 由抛物线的定义可得:21222pm PF F F c +=== 即有2242m c n pm c c ====,即()2P c c ,代入双曲线的方程可得:222241c c a b -= 即为222411e e e -=-,化为42610e e -+=解得)2322322e =+-舍去 可得21e =应选B点睛:,此题主要考察的是抛物线的简单性质和双曲线的简单性质.设()P m n ,位于第一象限,求出抛物线的焦点和准线方程,可得2pc =,再由抛物线的定义,求得m ,代入抛物线的方程可得n ,代入双曲线的方程,再由双曲线a b c ,,和离心率公式,化简整理计算即可得到所求的值.12.0a >且1a ≠,假设当1x ≥时,不等式x a ax 恒成立,那么a 的最小值是〔 〕A. eB.1ee C. 2D. ln 2【答案】A 【解析】 【分析】推导出1x a x -,从而(1)x lna lnx -,令()(1)p x lnx x lna =--,那么1x 时,()0p x ,1()p x lna x'=-,由此利用导数性质结合分类讨论思想能求出a 的最小值. 【详解】解:0a >且1a ≠,当1x 时,不等式x a ax 恒成立,1x a x -∴,两边取自然对数,得:(1)x lna lnx -,令()(1)p x lnx x lna =--,那么1x 时,()0p x , 1()p x lna x'=-, 当0lna <,即(0,1)a ∈时,()0p x '>,()p x 递增, 当1x 时,()()10p x p =,与()0p x 矛盾; 当0lna >,即(1,)∈+∞a 时,令)0(p x '=,得1x lna=, 10,x lna ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,()0p x '>,()p x 递增; 1,x lna ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭,()0p x '<,()p x 递减. 假设11lna >,即(1,)a e ∈,当11,x lna ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,()p x 递增,()()10p x p =,矛盾; 假设11lna,即[),a e ∈+∞,当[)1,x ∈+∞时,()()10p x p =,成立.综上,a 的取值范围是[),e +∞. 故a 的最小值是e . 应选:A .【点睛】此题考察实数值的最小值的求法,考察导数与函数的单调性、极值、最值,着重考察学生的逻辑推理才能以及运算求解才能,属于中档题.第二卷二、填空题:x y xe =在点()0,0处的切线方程为______.【答案】y x = 【解析】 【分析】利用导数求出曲线xy xe =在点()0,0处的切线的斜率,然后利用点斜式可写出所求切线的方程.【详解】依题意得xxy e xe '=+,因此曲线xy xe =在0x =处的切线的斜率等于1, 所以函数xy xe =在点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为:y x =.【点睛】本小题主要考察直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等根底知识,考察运算求解才能.属于根底题.22142x y +=的左、右焦点分别为12F F 、,椭圆上的点P 满足12||||2PF PF -= ,那么12PF F ∆ 的面积为_______.【解析】由椭圆定义得12224PF PF +=⨯=,由122PF PF -=得1231PF PF ==,,因为12|F F =,所以223=+1( ,即12PF F ∆为直角三角形,其面积为12⨯15.sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2θ=________【答案】2425【解析】 【分析】根据诱导公式及二倍角公式计算可得;【详解】解:因为sin 4πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2cos 2cos 224ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦212sin 4πθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭21210⎛=-⨯ ⎝⎭2425=故答案为:2425【点睛】此题考察诱导公式及二倍角公式的应用,属于根底题.()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x >时,()()'>xf x f x ,假设()20f =,那么不等式()0x f x ⋅>的解集为________【答案】()()2,02,-+∞【解析】 【分析】()f x 是定义在R 上的偶函数,说明()f x x 奇函数,假设0x >时,2()()0xf x f x x '->,可得()f x x 为增函数,假设0x <,()f x x为增函数,根据()()220f f -==,求出不等式的解集;构造函数()()f x g x x=,利用导数可得函数的单调性,结合()20f =及函数的奇偶性即可求得不等式()0x f x >的解集.【详解】解:由题意,令()()f x g x x=, 0x 时,2()()()0xf x f x g x x'-'=>. ()g x ∴在(0,)+∞递增,()()f x f x -=,()()g x g x ∴-=-,那么()g x 是奇函数,且()g x 在(,0)-∞递增, 又()()2202f g ==, ∴当02x <<时,()0<g x ,当2x >时,()0>g x ;根据函数的奇偶性,可得当20x -<<时,()0>g x ,当2x <-时,()0<g x .∴不等式()0x f x >的解集为{|20x x -<<或者2}x >.故答案为:()()2,02,-+∞.【点睛】此题考察函数奇偶性的应用,考察函数的单调性,构造函数是关键,属于中档题. 三、解答题:17.在ABC ∆中,222a c b ac +=+.〔1〕求cos B的值;〔2〕假设1,87cosA a==,求b以及ABCS∆的值.【答案】〔1〕12;〔2〕7,【解析】【分析】〔1〕利用余弦定理可求cos B的值;〔2〕先利用同角三角函数关系式求出角,A B的正弦值,再借助于正弦定理求出b,代入条件求出c,进而求出三角形的面积.【详解】〔1〕由余弦定理及得:2221 cos22a c bBac+-==.〔2〕因为,A B为三角形内角,所以sin A===,sin2B===,由正弦定理得:8sin7sina BbA⋅===,又∵2221cos72b c aAbc+-==.22150c c∴--=,解得5c=或者3c=-〔舍〕.1sin2ABCS bc A∆∴=⋅=【点睛】此题主要考察余弦定理以及同角三角函数根本关系式,并涉及到三角形的面积公式和计算才能,属于中档题目.{}n a 满足11a =,且112nn naa a+=+.〔1〕求证:数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列;〔2〕设1n n n b a a +=⋅,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】〔1〕证明见解析;〔2〕21n nS n =+ 【解析】 【分析】 〔1〕根据112n n na a a +=+,得到1112n n a a +=+,根据等差数列的定义,即可得出结论成立; 〔2〕先由〔1〕得*1,21n a n n =∈-N ,推出11(21)(21)+=⋅=-+n n n b a a n n ,根据裂项求和的方法,即可得出结果. 【详解】〔1〕因为112n n n a a a +=+,所以112112n n n na a a a ++==+,即1112n n a a +-= , 又11a =,所以111a ,∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项,2为公差的等差数列. 〔2〕由〔1〕得*121,n n n a =-∈N ,所以*1,21n a n n =∈-N , 所以11111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+⎝⎭,所以11111111112335212122121n nS n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭ ∴数列{}n b 的前n 项和21n nS n =+. 【点睛】此题主要考察由递推关系证明等差数列,以及数列的求和,熟记等差数列的定义与通项公式,以及裂项相消的方法求数列的和即可,属于常考题型.19.如图,ABCD 是平行四边形,24,23AB BC BD ===,BE CE =,平面BCE ⊥平面ABCD .〔1〕证明:BD CE ⊥;〔2〕假设10BE CE ==,求平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)217. 【解析】 【分析】〔1〕推导出BD BC ⊥,取BC 的中点F ,连结EF ,可推出EF BC ⊥,从而EF ⊥平面ABCD ,进而EF BD ⊥,由此得到BD ⊥平面BCE ,从而BD CE ⊥;〔2〕以B 为坐标原点,BC ,BD 所在直线分别为x ,y 轴,以过点B 且与EF 平行的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出平面ADE 与平面BCE 所成二面角的余弦值. 【详解】〔1〕∵ABCD 是平行四边形,且24,23CD AB BC BD ==== ∴222CD BD BC =+,故90o CBD ∠=,即BD BC ⊥ 取BC 的中点F ,连结EF . ∵BE CE =∴EF BC ⊥ 又∵平面BCE ⊥平面ABCD∴EF ⊥平面ABCD ∵BD ⊂平面ABCD∴EF BD ⊥ ∵,,EF BC F EF BC ⋂=⊂平面BCE ∴BD ⊥平面BCE , ∵EC ⊂平面BCE ∴BD CE ⊥〔2〕∵10BE CE ==,由〔Ⅰ〕得221013EF BE BF =-=-=以B 为坐标原点,,BC BD 所在直线分别为,x y 轴,建立空间直角坐标系(如图),那么()()()2,23,0,0,23,0,1,0,3A D E ---∴()()3,23,3,1,23,3AE DE =-=-设平面ADE 的法向量为(),,a x y z =,那么·0·0a AE a DE ⎧=⎨=⎩,即323302330x y z x y z ⎧-++=⎪⎨-++=⎪⎩得平面ADE 的一个法向量为()0,3,2a =- 由〔1〕知BD ⊥平面BCE ,所以可设平面BCE 的法向量为()0,1,0b = 设平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角为θ,那么·031021cos 771·a b a bθ+⨯+===⨯即平面ADE 与平面BCE 所成二面角的平面角的余弦值为217.【点睛】用空间向量求解立体几何问题的注意点〔1〕建立坐标系时要确保条件具备,即要证明得到两两垂直的三条直线,建系后要准确求得所需点的坐标.〔2〕用平面的法向量求二面角的大小时,要注意向量的夹角与二面角大小间的关系,这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角,然后作出正确的结论.21()ln 2f x x a x =-. 〔1〕当1a =,求函数()f x 的极值; 〔2〕当0a >时,1()2f x ≥在定义域内恒成立,务实数a 的值. 【答案】〔1〕1()2f x =极小值,不存在极大值;〔2〕1a = 【解析】 【分析】〔1〕求出1a =的函数的导数,求出单调增区间和减区间,从而得到函数的极值; 〔2〕利用转化思想,当0a >时,1()2f x 在定义域内恒成立,即10a alna --进而求解; 【详解】解:〔1〕因为21()ln 2f x x a x =-的定义域为()0,∞+ 所以当1a =时,21()ln 2f x x x =-, ()()()21111x x x f x x x x x-+-'∴=-== 令()0f x '>解得1x >,即()f x 在()1,+∞上单调递增, 令()0f x '<解得01x <<,即()f x 在()0,1上单调递减, 所以()f x 在1x =处获得极小值,1()2f x =极小值,不存在极大值, 〔2〕因为21()ln 2f x x a x =-定义域为()0,∞+, 2()a x af x x x x-'∴=-=因为0a >,令()0f x '>,解得x >()f x在)+∞上单调递增,令()0f x '<,解得0x <<()f x在(上单调递减,所以()min 12f x f a a ==- 要使1()2f x ≥在定义域内恒成立,即()min 1122f x f a a ==-≥即10a alna --,令()1g a a alna =--, ()11()g a a lna lna a'=-⨯+=-, 当(0,1)a ∈时,()0g a '>,当(1,)∈+∞a 时,()0g a '<,∴当1a =时()g a 在1a =处取极大值, ()()10max g g a ==,()()1g a g ∴≤,假设使10a alna --,只能取1a =,故答案为1a =【点睛】此题考察导数的应用,利用导数研究函数的极值与单调性,属于中档题.22221x y a b+=〔0a b >>〕,1F ,2F 是椭圆的左右焦点,以1F ,2F 及椭圆短轴的一个端点的正三角形. 〔1〕求椭圆方程;〔2〕过1F 分别作直线1l ,2l ,且12l l ⊥,设1l 与椭圆交于A ,C 两点,2l 与椭圆交于B ,D 两点,求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】〔1〕22143x y +=;〔2〕()min 28849ABCD S = 【解析】 【分析】〔1〕根据题意,分析可得2a cbc =⎧⎪⎨=⎪⎩,计算可得a 、b 的值,将a 、b 的值代入椭圆的方程即可得答案;〔2〕根据题意,分直线的斜率存在、不存在两种情况讨论,借助根与系数的关系分析可得四边形ABCD 面积,综合即可得答案.【详解】解:〔1〕由题设可得:23a cbc =⎧⎪⎨=⎪⎩,222a b c -=,24a ∴=,23b =,故椭圆方程为22143x y +=;〔2〕由〔1〕可知椭圆22143x y +=的焦点()11,0F当其中一条直线斜率不存在时,令4AC =,那么223b BD a==162S AC BD ∴== 当直线斜率存在时,设直线:()i l y k x m =+,代入椭圆方程得:22222(34)84120k x k mx k m +++-=,那么2122834k m x x k -+=-+,2212241234k m x x k -=+;所以弦长12|x x=-==设直线AC的斜率为k,不妨设0k>,那么2212(1)||43kACk+=+,2212(1)||43kBDk+=+,∴2222112(1)12(1)24343ABCDk kSk k++=++222472(1)122512kk k+=++2222272(1)12(1)kk k+=++2227212(1)kk=++272288[,6)149121kk=∈+⎛⎫+⎪⎝⎭因为0k>,12kk∴+≥=,241kk⎛⎫+⎪⎝≥⎭,21141kk<≤⎛⎫+⎪⎝⎭,2149121241kk<+≤⎛⎫+⎪⎝⎭,2288726149121kk≤<+⎛⎫+⎪⎝⎭272288[,6)149121kk∴∈+⎛⎫+⎪⎝⎭综上,四边形ABCD面积的取值范围是288,649⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故()min28849ABCDS=【点睛】此题考察椭圆的几何性质,涉及直线与椭圆的位置关系,联立直线与椭圆方程时要注意分析直线的斜率是否存在,属于中档题.2()ln(1)f x x a x x=-+-.〔1〕当1a ≥-时,讨论函数()f x 的单调性.〔2〕当1a <时,证明:对任意的()0,x ∈+∞,有()()2ln 11x f x a x a x<--+-+. 【答案】〔1〕答案见解析;〔2〕证明见解析;【解析】【分析】〔1〕求出原函数的导函数,对a 分类求解原函数的单调区间;〔2〕利用分析法证明,把要证的不等式转化为证明0lnx lnx x x +-成立,即证lnx x lnx x -.令()lnx g x x=,()h x x lnx =-,由导数求出()g x 的最大值和()h x 的最小值,由()g x 的最大值小于()h x 的最小值得答案.【详解】〔1〕解:由2()(1)f x lnx a x x =-+-定义域为()0,∞+,得212(1)1()2(1)1(0)a x x f x a x x x x-+-+'=-+-=>, 当1a =-时,1()x f x x-'=, 当(0,1)x ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数,当(1,)x ∈+∞时,()0f x '<,()f x 为减函数;当1a >-时,2(1)0a -+<,二次方程22(1)10a x x -+-+=有两根,10x =<,20x =>,当x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '>,()f x 为增函数,当x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时,()0f x '<,()f x 为减函数.综上可得,当1a >-时,()f x 在⎛ ⎝⎭上单调递增,在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递减;当1a =-时,()f x 在()0,1上单调递增,在()1,+∞上单调递减;〔2〕证明:要证2()(1)1lnx f x a x a x <--+-+, 即证22(1)(1)1lnx lnx a x x a x a x-+-<--+-+, 即1lnx lnx x a x+-<-, 1a <,10a ∴->, 也就是证0lnx lnx x x +-, 即证lnx x lnx x -. 令()lnx g x x =,那么21()lnx g x x -'=, 当(0,)x e ∈时,()0g x '>,()g x 为增函数,当(,)x e ∈+∞时,()0g x '<,()g x 为减函数, ∴1()()max g x g e e==;令()h x x lnx =-,11()1x h x x x -'=-=, 当(0,1)x ∈时,()0h x '<,()h x 为减函数,当(1,)x ∈+∞时,()0h x '>,()h x 为增函数, ()()11min h x h ∴==, ∴lnx x lnx x -成立, 故对任意的(0,)x ∈+∞,有2()(1)1lnx f x a x a x <--+-+. 【点睛】此题考察利用导数研究函数的单调性,考察了利用导数求函数的最值,表达了分类讨论的数学思想方法,考察逻辑推理才能和运算才能,属于难题.励志赠言经典语录精选句;挥动**,放飞梦想。

【压轴题】高二数学上期末试题附答案

【压轴题】高二数学上期末试题附答案

【压轴题】高二数学上期末试题附答案一、选择题1.在区间[]0,1上随机取两个数x ,y ,记P 为事件“23x y +≤”的概率,则(P = ) A .23B .12C .49 D .292.口袋里装有大小相同的5个小球,其中2个白球,3个红球,现一次性从中任意取出3个,则其中至少有1个白球的概率为( ) A .910B .710C .310D .1103.将A ,B ,C ,D ,E ,F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A ,B ,C 三个字母连在一起,且B 在A 与C 之间的概率为( ) A .112B .15C .115D .2154.下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为( )A .90?i ≤B .100?i ≤C .200?i ≤D .300?i ≤5.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积,如图是其设计的一个程序框图,则框图中应填入、输出n 的值分别为( )(参考数据:020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈)A .01180sin ,242S n n =⨯⨯B .01180sin ,182S n n =⨯⨯C .01360sin ,542S n n=⨯⨯D .01360sin ,182S n n=⨯⨯6.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中随机摸出2个球,则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是( ) A .没有白球 B .2个白球 C .红、黑球各1个D .至少有1个红球7.在半径为2圆形纸板中间,有一个边长为2的正方形孔,现向纸板中随机投飞针,则飞针能从正方形孔中穿过的概率为( ) A .4πB .3πC .2πD .1π8.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示:x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+,则以下为真命题的是( ) A .x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5个单位长度 B .x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5个单位长度 C .所有样本点的中心为(1,4.5) D .当8x =时,y 的预测值为13.59.运行如图所示的程序框图,若输出的S 的值为480,则判断框中可以填( )A .60i >B .70i >C .80i >D .90i > 10.设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入,若这n 个数据的中位数为x ,平均数为y ,方差为z ,如果再加上世界首富的年收入1n x +,则这1n +个数据中,下列说法正确的是( )A .年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变B .年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大C .年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变D .年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变11.从1,2,3,…,9中任取两数,其中:①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个都是奇数;③至少有一个奇数和两个都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数.在上述事件中,是对立事件的是 ( ). A .① B .②④C .③D .①③12.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机取一个数x ,cos x 的值介于0到12之间的概率为( )A .13 B .2πC .12D .23二、填空题13.将函数sin 23cos 2y x x =-的图象向左平移6π个单位长度,得到函数()y g x =的图象,则5()6g π__________.14.执行如图所示的程序框图若输人x 的值为3,则输出y 的值为______.15.执行如图所示的程序框图,若输入的1,7s k ==则输出的k 的值为_______.16.在[1,1]-上随机地取一个数k ,则事件“直线y kx =与圆22(5)9x y -+=相离”发生的概率为_______。

【压轴题】高二数学上期末模拟试题(含答案)

【压轴题】高二数学上期末模拟试题(含答案)

x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
根据上表提供的数据得到回归方程
y
b
x
a
中的
b
7
,预测广告费支出
10
万元时,销
售额约为
_____________万元.(参考公式:
a
y
b
x

17.执行如图所示的程序框图,若输入 n 的值为 8,则输出的 s 的值为_____.
18.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 n 的值为___________
【详解】 根据图象可看出,华为在每个季度的销量都最大,所以华为的全年销量最大; 每个季度的销量不知道,根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销
量多少的,同样不能判断华为在哪个季度销量最大,三星在哪个季度销量最小;B , C , D 都错误,故选 A .
【点睛】 本题主要考查对销量百分比堆积图的理解.
b0.78,aybx
元,据此估计,该社
区一户收入为 16 万元家庭年支出为( )
A.12.68 万元
B.13.88 万元
C.12.78 万元
D.14.28 万元
8.执行如图所示的程序框图,如果输入的 a 1,则输出的 S
A.2
B.3
C.4
D.5
9.类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,它是由 3 个全等的三角形与中间的一
19.如图是一个算法流程图,则输出的 S 的值为______.
20.向面积为 20 的 ABC 内任投一点 M ,则使 MBC 的面积小于 5 的概率是
__________.

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷(选择题)1.在三角形ABC中,已知a+b=c-2ab,则C=()。

A。

2π/3 B。

π/3 C。

π D。

3π/4改写:在三角形ABC中,已知a+b=c-2ab,求C的大小。

答案:B2.在三角形ABC中,已知cosAcosB=p,求以下条件p的充要条件。

A。

充要条件B。

充分不必要条件C。

必要不充分条件D。

既非充分也非必要条件改写:在三角形ABC中,已知cosAcosB=p,求p的充要条件。

答案:B3.已知等比数列{an}中,a2a10=6a6,等差数列{bn}中,b4+b6=a6,则数列{bn}的前9项和为()。

A。

9 B。

27 C。

54 D。

72改写:已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件,求{bn}的前9项和。

答案:C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n,则数列{a1}的前n 项和为()。

A。

n^2/(n-1) B。

n(n+1)/(2n+1) C。

3(2n+3)/(2n+1) D。

3(n+1)/(n-1)改写:已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n,求数列{a1}的前n项和。

答案:B5.设 2x-2y-5≤2,3x+y-10≥3,则z=x+y的最小值为()。

A。

10 B。

8 C。

5 D。

2改写:已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3,求z=x+y的最小值。

答案:C6.对于曲线C:x^2/4+y^2/k^2=1,给出下面四个命题:①曲线C不可能表示椭圆;②“14”的必要不充分条件;④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。

其中真命题的个数为()。

A。

0个 B。

1个 C。

2个 D。

3个改写:对于曲线C:x^2/4+y^2/k^2=1,判断下列命题的真假,并统计真命题的个数。

答案:C7.对于曲线C:x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B,则三角形ABM的周长为()。

高二数学上学期期末考试试题含解析4

高二数学上学期期末考试试题含解析4

卜人入州八九几市潮王学校淮阴区淮阴二零二零—二零二壹高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一、选择题28y x =的焦点到准线的间隔是()A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】 【分析】先根据抛物线的方程求出p 的值,再根据抛物线的简单性质即可得到.【详解】由228y px x ==,知p =4,而焦点到准线的间隔就是p .应选C .【点睛】此题主要考察了抛物线的简单性质.考察了学生对抛物线HY 方程的理解和运用,属于根底题.22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆,那么m 的取值范围是〔〕 A.12m << B.31 2m <<C.322m << D.12m <<且32m ≠【答案】C 【解析】 【分析】根据焦点在x 轴上的椭圆方程的特点可得不等式,解不等式求得结果.【详解】22112x y m m+=--表示焦点在x 轴上的椭圆120m m ∴->->,解得:322m <<应选:C【点睛】此题考察根据方程表示椭圆及椭圆焦点位置求解参数范围的问题,属于根底题.3.△ABC 的顶点B 、C 在椭圆23x +y 2=1上,顶点A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC 边上,那么△ABC 的周长是()B.6 D.12【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆定义,椭圆上的点到两焦点间隔之和为长轴长即可得解. 【详解】设另一焦点为F ,由题F 在BC 边上,所以ABC ∆的周长l AB BC CA AB BF CF CA =++=+++==应选:C【点睛】此题考察椭圆的几何意义,椭圆上的点到两焦点间隔之和为定值,求解中要多观察图形的几何特征,将所求问题进展转化,简化计算.22:1916x y E -=的左、右焦点分别为1F ,2F ,点P 在双曲线E 上,且13PF =,那么2PF 等于〔〕A.11B.9C.5D.3【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线方程可知26a =,由双曲线定义构造方程求得结果. 【详解】由双曲线方程得:26a = 由双曲线定义知:21236PF PF PF -=-=,解得:29PF =或者3-〔舍〕应选:B【点睛】此题考察双曲线定义的应用,属于根底题.()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线过点(,且双曲线的一个焦点在抛物线2y=的准线上,那么双曲线的方程为〔〕A.2212128x y -= B.2212821x y -= C.22134x y -=D.22143x y -= 【答案】D 【解析】试题分析:双曲线的一条渐近线是by x a=,那么2b a=①,抛物线2y =的准线是x =,因此c =2227a b c +==②,由①②联立解得2{a b ==,所以双曲线方程为22143x y -=.应选D . 考点:双曲线的HY 方程.C :()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆221123x y +=有公一共焦点,那么C 的方程为〔〕A.221810x y -=B.22145x y -=C.22154x y -=D.22143x y -= 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程可知2b a =;利用椭圆焦点坐标和双曲线中222c a b =+可构造方程求得22,a b ,进而得到双曲线方程.【详解】由双曲线渐近线方程知:b a =,即b =椭圆221123x y +=焦点坐标为()3,0±2229c a b ∴=+=22594a a ∴+=,解得:24a =22554b a ∴==∴双曲线C 的方程为22145x y -=应选:B【点睛】此题考察双曲线方程的求解,涉及到双曲线渐近线方程、椭圆焦点坐标的求解等知识,属于根底题.mx 2+y 2=1的虚轴长是实轴长的2倍,那么m 的值是()A.4B.-4C.-14D.14【答案】C 【解析】 【分析】先将双曲线方程化为HY 形式,利用虚轴长是实轴长的2倍列方程,解方程求得m 的值.【详解】依题意,双曲线的HY方程为2211x y m-=-,即2211,a b m ==-,由于虚轴长是实轴长的2倍,所以2b a =,即224b a =,也即114,4m m -==-.应选C. 【点睛】本小题主要考察双曲线的HY 方程,考察双曲线实轴和虚轴的概念,属于根底题.22221x y a b +=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ,2F 为右焦点,假设1260F PF ∠=,那么椭圆的离心率为〔〕B.2C.12D.13【答案】A 【解析】【详解】根据题意,焦点在x 轴上,设22221x y a b+= 左焦点(-c ,0),故P 坐标可求为(-c ,±2b a )12F F =2c ,所以1F P2b a2103c ac +-=,同时除以a²,2103e e +-=,求得e =2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 且斜率为(0)k k >的直线与C 相交于A B 、两点.假设3AF FB =,那么k =A.1D.2【答案】B 【解析】因为2c e a ==,所以2c a =,从而22224a b a c =-=,那么椭圆方程为222241x y a a =+.依题意可得直线方程为()2y k x a=-,联立2222()2{41y k x ax ya a=-+=可得22222(14)(31)0k x ax k a+-+-=设,A B坐标分别为1122(,),(,)x y x y,那么2212122(31)14k ax x x xk-+==+因为3AF FB=,所以1122,)3(,)x y x y--=,从而有123x x+=①再由3AF FB=可得3AF FB=,根据椭圆第二定义可得12)3)x x-=-,即213x x-=②由①②可得12,39x a x a==,所以2221225(31)914k ax x ak-⋅==+,那么22(31)5149kk-=+,解得k=0k>,所以k=B10.1F、2F是椭圆的两个焦点,满足120MF MF⋅=的点M总在椭圆内部,那么椭圆离心率的取值范围是A.(0,1)B.1(0,]2C.D.【答案】C【解析】设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为,,a b c.因为12·0MF MF =所以点M的轨迹为以原点为圆心,半径为c的圆.与因为点M在椭圆的内部,所以,c a c b<<,所以2222c b a c<=-,所以22222122cc a ea<∴=<,所以(0,2e∈,应选C.【点睛】求离心率的值或者范围就是找,,a b c的值或者关系.由12·0MF MF =想到点M的轨迹为以原点为圆心,半径为c的圆.再由点M在椭圆的内部,可得,c a c b<<,因为a b<.所以由c b<得2222c b a c <=-,由,a c 关系求离心率的范围.C:22221x y a b-=〔0a >,0b >〕的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2,那么C 的离心率为〔〕A.2【答案】A 【解析】由几何关系可得,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=,圆心()2,0到渐近线间隔为d ==,那么点()2,0到直线bx ay +=的间隔为2bd c=== 即2224()3c a c -=,整理可得224c a =,双曲线的离心率2e ===.应选A . 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质,求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围),常见有两种方法:①求出a ,c ,代入公式cea=;②只需要根据一个条件得到关于a ,b ,c 的齐次式,结合b 2=c 2-a 2转化为a ,c 的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ,其右准线与轴的交点为A ,在椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,那么椭圆离心率的取值范围是〔〕A.(0,2B.1(0,]2C.1,1)D.1[,1)2【答案】D 【解析】解:由题意,椭圆上存在点P ,使得线段AP 的垂直平分线过点F ,即F 点到P 点与A 点的间隔相等 |FA|= 二.填空题.221y x m-=的离心率为m =__________.【答案】2 【解析】222222221,,13c a b a b m e m a a +=====+=,2m =.渐近线方程是y ==.14.x ,y 满足y =3yx +的取值范围是_____.【答案】0,5⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】将方程整理为()22104x y y +=≥,可得其图象为半椭圆;将3y x +转化为半椭圆上的点与()3,0-连线的取值范围;由图象可知下底限为0,上限为直线与半椭圆相切的时候;假设切线方程,联立后利用0∆=求得切线斜率,从而得到所求的范围.【详解】由y =()22104x y y +=≥,那么其图象为如以下列图所示的半椭圆3yx +可看做半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率 当如下列图的过()3,0-的直线l 与椭圆相切时,设直线():3l y k x =+,0k >与椭圆方程联立得:()222241243640kx k x k +++-=()()4225764413640k k k ∴∆=-+-=,解得:5k =∴半椭圆上的点(),x y 与()3,0-连线的斜率的取值范围为0,5⎡⎢⎣⎦35y x ⎡∴∈⎢+⎣⎦故答案为:0,5⎡⎢⎣⎦【点睛】此题考察根据直线与椭圆的位置关系求解参数范围的问题,关键是可以明确所求式子的几何意义为曲线上的点与定点连线的斜率,利用数形结合的方式确定临界值,从而求得结果.15.12,F F 是椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥.假设12PF F ∆的面积为9,那么b =_____.【答案】3 【解析】 【分析】由定义得|PF 1|+|PF 2|=2a ,由12PF PF ⊥得|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,由面积得12|PF 1||PF 2|=9,由此能得到b 的值.【详解】∵F 1、F 2是椭圆C :22221x y a b+=〔a >b >0〕的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且12PF PF ⊥,∴|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,12|PF 1||PF 2|=9,∴〔|PF 1|+|PF 2|〕2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2,∴36=4〔a 2-c 2〕=4b 2,∴b=3.故答案为3.【点睛】主要考察椭圆的定义、根本性质和平面向量的知识,重点是三个方程的应用,属于根底题.C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的间隔的积等于常数()21a a >的点的轨迹,给出以下三个结论:①曲线C 过坐标原点; ②曲线C 关于坐标原点对称;③假设点P 在曲线C 上,那么12F PF ∆,的面积不大于212a 其中,所有正确结论的序号是_____ 【答案】②③ 【解析】 【分析】首先结合两点间间隔公式确定曲线C 的方程,()0,0不满足曲线方程,可知①错误;当(),x y 在曲线上时,(),x y --满足曲线方程,可知②正确;由三角形面积公式可知12212sin 2F PFa S F PF ∆=∠,由此可得12212F PFS a ∆≤,③正确.【详解】设曲线C 上点的坐标为(),x y ()21a a =>①将()0,0代入曲线方程知:2111a ⨯=≠∴曲线C 不过坐标原点,①错误;②假设(),x y 在曲线C 上,将(),x y --代入曲线方程,可知方程成立,那么曲线C 关于坐标原点对称,②正确;③122212121211sin sin 222F PFa S PF PF F PF F PF a ∆=∠=∠≤,③正确. 故答案为:②③【点睛】此题考察根据曲线方程研究曲线的性质,涉及到关于原点对称的点的特点、三角形面积公式的应用等知识,关键是可以通过的等量关系确定曲线的方程. 三、解答题.(52)P ,、1(60)F -,、2(60)F ,. 〔1〕求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆的HY 方程; 〔2〕设点P 、1F 、2F 关于直线y x =的对称点分别为P '、1F '、2F ',求以1F '、2F '为焦点且过点P '的双曲线的HY 方程.【答案】〔1〕221459x y +=〔2〕2212016x y -=.【解析】试题分析:(1)根据题意设出所求的椭圆的HY 方程,然后代入半焦距,根据椭圆的定义求出a =而可得2229b a c =-=,进而可得椭圆的HY 方程;〔2〕点()52P ,、1(60F ,)-、()260F ,关于直线y x =的对称点分别为()25P ',、()'106F -,、()'206F ,.设所求双曲线的HY 方程为2222111y x a b -=〔10a >,10b >〕其半焦距16c =,由双曲线定义得''1122a P F P F =-=''得1a =22211116b c a =-=,进而可得'1F 、'2F 为焦点且过点P '的双曲线的HY 方程.试题解析:〔1〕由题意知,焦点在x 轴上,可设椭圆的HY 方程为22221x ya b+=〔0a b >>〕 其半焦距6c = 由椭圆定义得122a PF PF =+∴a=∴22245369b a c =-=-=故椭圆的HY 方程为221459x y +=.〔2〕点()52P,、1(60F ,)-、()260F ,关于直线y x =的对称点分别为()25P ',、()'106F -,、()'206F ,.设所求双曲线的HY 方程为 2222111y x a b -=〔10a >,10b >〕其半焦距16c =, 由双曲线定义得''1122a P F P F =-''∴1a =222111362016b c a =-=-=,故所求的双曲线的HY 方程为2212016x y -=.()222210x y a b a b +=>>离心率e =,过左焦点F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于点P ,且2PF =.(1)求椭圆的方程; (2)点(),Qx y在椭圆上,求x +的最大值.【答案】〔1〕221168x y +=〔2〕【解析】 【分析】〔1〕由题意可知PF 为半通径,得到22b a=,由离心率和椭圆,,a b c 的关系构造方程组求得,a b ,进而得到椭圆方程;〔2〕利用椭圆参数方程表示出Q点坐标,那么利用辅助角公式可将所求式子化为4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,由正弦型函数值域可求得所求式子的最大值.【详解】〔1〕PF 为椭圆的半通径22b a ∴=又椭圆离心率2c e a ==,222a b c =+4a ∴=,b c ==∴椭圆的方程为221168x y +=〔2〕设4cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩,那么4cos 4sin 4x πθθθ⎛⎫+=+=+ ⎪⎝⎭∴当sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时,()maxx +=【点睛】此题考察椭圆HY 方程的求解、利用椭圆参数方程求解最值的问题;此题中求解最值的关键是可以利用参数方程将所求式子转化为三角函数式的形式,进而利用三角函数的知识来求解最值.22173x y +=. (1)椭圆的左右焦点为1F ,2F ,点P 在椭圆上运动,求12PF PF ⋅的取值范围; (2)倾斜角为锐角的直线l 过点()1,0M交椭圆于A ,B 两点,且满足2AM MB =,求直线l 的方程.【答案】〔1〕[]1,3-〔2〕:l y x =-【解析】 【分析】 〔1〕设)Pθθ,利用平面向量数量积的坐标运算可整理得到2124cos 1PF PF θ⋅=-,由余弦函数的值域可求得12PF PF ⋅的取值范围;〔2〕由2AM MB =可利用B 点横纵坐标表示出A 点坐标,将A ,B 两点坐标代入椭圆方程可求得B 点坐标;利用两点连线斜率公式求得直线l 斜率后,利用点斜式得到直线方程. 【详解】〔1〕由椭圆方程知:()12,0F -,()22,0F设)Pθθ那么()12,PF θθ=-,()22,PF θθ=20cos 1θ≤≤214cos 13θ∴-≤-≤,即12PF PF ⋅的取值范围为[]1,3-〔2〕设()11,A x y ,()22,B x y ,那么()111,AM x y =--,()221,MB x y =-由2AM MB =得:()12121212x x y y ⎧-=-⎨-=⎩1212322x x y y =-⎧∴⎨=-⎩()2232,2A x y ∴-- 由,A B 两点在椭圆上可得:()22222222324173173x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:225214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩52B ⎛∴ ⎝⎭∴直线l斜率145712k ==-∴直线l 方程为:()717y x =-,即7777y x =- 【点睛】此题考察椭圆中的向量问题的求解,涉及到平面向量数量积的取值范围的求解、直线方程的求解问题;求解平面向量数量积的关键是可以灵敏应用椭圆的参数方程,将问题转化为三角函数的值域求解问题.222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 的中点为M .〔Ⅰ〕证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; 〔Ⅱ〕假设l 过点(,)3mm ,延长线段OM 与C 交于点P ,四边形OAPB 能否为平行四边形?假设能,求此时l 的斜率,假设不能,说明理由. 【答案】〔Ⅰ〕详见解析;〔Ⅱ〕能,47-或者47+.【解析】试题分析:〔1〕设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理求根与系数的关系,并表示直线OM 的斜率,再表示;〔2〕第一步由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x ,直线OM 与椭圆方程联立求点P 的坐标,第二步再整理点的坐标,假设能构成平行四边形,只需,假设有值,并且满足0k>,3k ≠的条件就说明存在,否那么不存在.试题解析:解:(1)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠,11(,)A x y ,22(,)B x y ,(,)M M M x y .∴由222{9y kx b x y m =++=得2222(9)20kx kbx b m +++-=,∴12229Mx x kbx k +==-+,299M M b y kx b k =+=+. ∴直线OM 的斜率9M OM M y k x k==-,即9OM k k ⋅=-. 即直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值9-. 〔2〕四边形OAPB 能为平行四边形.∵直线l 过点(,)3mm ,∴l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >,3k ≠ 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-.设点P 的横坐标为P x .∴由2229,{9,y x kx y m =-+=得,即将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=,因此2(3)3(9)M mk k x k -=+. 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分,即2P M x x =∴239km k ±=+2(3)23(9)mk k k -⨯+.解得147k =-,247k =+.∵0,3i i k k >≠,1i =,2,∴当l 的斜率为47-或者47+时,四边形OAPB 为平行四边形.考点:直线与椭圆的位置关系的综合应用【一题多解】第一问涉及中点弦,当直线与圆锥曲线相交时,点是弦的中点,〔1〕知道中点坐标,求直线的斜率,或者知道直线斜率求中点坐标的关系,或者知道求直线斜率与直线OM 斜率的关系时,也可以选择点差法,设,,代入椭圆方程,两式相减,化简为,两边同时除以得,而,,即得到结果,〔2〕对于用坐标法来解决几何性质问题,那么就要求首先看出几何关系满足什么条件,其次用坐标表示这些几何关系,此题的关键就是假设是平行四边形那么对角线互相平分,即2P M x x =,分别用方程联立求两个坐标,最后求斜率.2212x y +=上两个不同的点A ,B 关于直线12y mx =+对称.〔1〕务实数m 的取值范围;〔2〕求AOB ∆面积的最大值〔O 为坐标原点〕.【答案】〔1〕63m <-或者63m >;〔2〕22. 【解析】〔1〕可设直线AB 的方程为1y x b m=-+,从而可知有两个不同的解,再由AB 中点也在直线上,即可得到关于m 的不等式,从而求解;〔2〕令1t m=,可 将AOB ∆表示为t 的函数,从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值,从而求解.试题解析:〔1〕由题意知0m ≠,可设直线AB 的方程为1y x b m=-+,由,消去y ,得,∵直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点,∴224220b m ∆=-++>,①,将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++代入直线 方程12y mx =+解得2222m b m +=-,②.由①②得63m <-或者63m >;〔2〕令166(t m =∈⋃,那么42223222112t t AB t t -++=++,且O 到直线AB的间隔为22121t d t +=+,设AOB ∆的面积为()S t , ∴221112()2()22222S t AB d t =⋅=--+≤212t =时,等号成立,故AOB ∆. 考点:1.直线与椭圆的位置关系;2.点到直线间隔公式;3.求函数的最值.C 的方程为()222210,0y x a b a b -=>>,离心率e =(1)求双曲线C 的方程; (2)设P 是双曲线C 上F 点,A ,B 两点在双曲线C 的两条渐近线上,且分别位于第一、二象限,假设1,,23AP PB λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,求AOB ∆面积的取值范围.【答案】〔1〕2214y x -=〔2〕82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】〔1〕由顶点到渐近线间隔、离心率和双曲线,,a b c 的关系可构造方程求得,a b ,进而得到双曲线方程; 〔2〕假设,,A P B 三点坐标,利用AP PB λ=可表示出P 点坐标,代入双曲线方程整理可得12x x ;结合渐近线斜率和倾斜角的关系、同角三角函数和二倍角公式可求得sin AOB ∠,利用三角形面积公式可将所求面积化为关于λ的函数,利用对号函数的性质即可求得所求取值范围. 【详解】〔1〕由双曲线方程可知其渐近线方程为ay x b=±,顶点坐标()0,a ± ∴顶点到渐近线间隔ab d c ===由2225ab cc e a c a b ⎧=⎪⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩得:21a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴双曲线C 的方程为:2214y x -=〔2〕由〔1〕知:双曲线渐近线方程为2y x =±设()00,P x y ,()11,2A x x ,()22,2B x x -,其中1>0x ,20x <那么()0101,2AP x x y x =--,()2020,2PB x x x y =---由AP PB λ=得:()()0120012022x x x x y x x y λλ⎧-=-⎪⎨-=--⎪⎩1201201221x x x x x y λλλλ+⎧=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩()()()()2212122241411x x x x λλλλ-+∴-=++,整理可得:()21214x xλλ+=-设2AOB θ∠=tan 22πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭111tan cot 2tan 2θπθθ∴===⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 5θ∴=,cos 5θ=4sin 22sin cos 5θθθ==又1OA ===,2OB ===当1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,1y λλ=+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在[]1,2上单调递增 min 12λλ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭,max 1110333λλ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭823AOB S ∆∴≤≤即AOB ∆面积的取值范围为82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】此题考察双曲线方程的求解、双曲线中三角形面积取值范围的求解问题;求解三角形面积取值范围的关键是可以利用某一变量将所求面积表示为关于该变量的函数的形式,进而利用函数求值域的方法求得所求范围.。

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

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高二上学期期末考试数学试卷含答案(全卷满分:120 分 考试用时:120 分钟)一、选择题(本大题共12小题,共60分)1.某社区有500户家庭,其中高收入家庭125户,中等收入家庭280户,低收入家庭95户,为了调查社会购买力的某项指标,要从中抽取1个容量为100户的样本,记作①;某学校高三年级有12名足球运动员,要从中选出3人调查学习负担情况,记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是( )A. ①用随机抽样法,②用系统抽样法B. ①用系统抽样法,②用分层抽样法C. ①用分层抽样法,②用随机抽样法D. ①用分层抽样法,②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行,则m 的值为( )A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时,2v 的值为( )A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图,如果输入的3N =,那么输出的S =( )A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位:件) 若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x 和y 的值分别为( )A. 5,5B. 3,5C. 3,7D. 5,7 6.若点P (3,4)和点Q (a ,b )关于直线10x y --=对称,则( )A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点(0,2),被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是( )A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中,以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为( )A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是( )C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45,则k 的值为( ) A .-21B .21C .-1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x +2y -2=0的最大距离是( ) A .3 B.11 C .2 2D.1012.2=,若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点,则k 的取值范围是( )A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题(本大题共4小题,共20分)13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ .14.已知x 与y 之间的一组数据:,已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+,则a 的值为______ .15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩,则2z x y =-的最小值为______.16.椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,焦距为2c. 若直线y =3(x +c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于________.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题10分)已知直线l 的方程为210x y -+=. (1)求过点A (3,2),且与直线l 垂直的直线1l 的方程; (2)求与直线l 平行,且到点P (3,0)的距离2l 的方程.18.(本小题12分)设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<(0a >);命题:q 实数x 满足32x x -+<0. (1)若1a =且p ∧q 为真,求实数x 的取值范围;(2)若¬q 是¬p 的充分不必要条件,求实数a 的取值范围.19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查,通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照[0,0.5),[0.5,1), …[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的a 值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数.说明理由; (3)估计居民月均用水量的中位数.20.(本小题12分)某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.记两次记录的数分别为x 、y . 奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀,小亮准备参加此项活动. (1)求小亮获得玩具的概率;(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由.21.(本小题12分)已知曲线方程为:22240x y x y m +--+=. (1)若此曲线是圆,求m 的取值范围;(2)若(1)中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点,且OM⊥ON(O 为坐标原点),求m 的值.22.(本小题12分)已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,且点3(1,)2P 在椭圆C 上. (1)求椭圆C 的方程;(2)直线:l y kx m =+(m >0)与椭圆C 有且仅有一个公共点,且与x 轴和y 轴分别交于点M ,N ,当△OMN 面积取最小值时,求此时直线l 的方程.数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.(1)设与直线l :2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为:x +2y +m =0,-------------------------2分把点A (3,2)代入可得,3+2×2+m =0,解得m =-7.-------------------------------4分 ∴过点A (3,2)且与直线l 垂直的直线1l 方程为:x +2y -7=0;----------------------5分(2)设与直线l :2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为:2x -y +c =0,----------------------------7分∵点P (3,0)到直线2l =,解得c =-1或-11.-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为:2x -y -1=0或2x -y -11=0.-------------------------------------------10分18.(1)由x 2-4ax +3a 2<0得(x -3a )(x -a )<0,又a >0,所以a <x <3a ,.------------------------------------------------------2分 当a =1时,1<x <3,即p 为真时实数x 的取值范围是1<x <3.由实数x 满足302x x -<+ 得-2<x <3,即q 为真时实数x 的取值范围是-2<x <3.------4分 若p ∧q 为真,则p 真且q 真,所以实数x 的取值范围是1<x <3.---------------------------------------------- 6分(2)¬q 是¬p 的充分不必要条件,即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a >0,及3a ≤3得0<a ≤1,所以实数a 的取值范围是0<a ≤1.-------------------------------------------------12分19.(1)∵1=(0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04)×0.5,------------------------2分整理可得:2=1.4+2a ,∴解得:a =0.3-----------------------------------------------------------------4分(2)估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万,理由如下:由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为(0.12+0.08+0.04)×0.5=0.12,又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万.---------------------------8分 (3)根据频率分布直方图,得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47<0.5, 0.47+0.5×0.52=0.73>0.5,∴中位数应在(2,2.5]组内,设出未知数x ,---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5, 解得x =0.06;∴中位数是2+0.06=2.06.--------------------------------------------------------12分 20.(1)两次记录的数为(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),共16个, ----------------------------2分 满足xy ≤3,有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),共5个, ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516; -------------------------------------------------------6分 (2)满足xy ≥8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)共6个, ----8分∴小亮获得水杯的概率为616; --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=,----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率.-------------------------------------------------12分21.(1)由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0.整理得:(x -1)2+(y -2)2=5-m ,------------------------------------------------2分 又曲线为圆,则5-m >0,解得:m <5.------------------------------------------------------------------4分(2)设直线x +2y -4=0与圆:x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M (x 1,y 1)N (x 2,y 2).则:22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩,消去x 整理得:5y 2-16y +8+m =0, 则:1212168,55m y y y y ++==,------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON (O 为坐标原点),可得x 1x 2+y 1y 2=0,-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1,x 2=4-2y 2,则(4-2y 1)(4-2y 2)+y 1y 2=0.---------------------------------------------------10分 解得:85m =,故m 的值为85.--------------------------------------------------12分 22.(1)∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点,且点3(1,)2P 在椭圆C 上,∴依题意,1c =,又3242a ==,故2a =.---------------------2分由222b c a +=得b 2=3.-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.-----------------------------------------------4分(2)由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消y 得(4k 2+3)x 2+8kmx +4m 2-12=0,由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知,△=64k 2m 2-4(4k 2+3)(4m 2-12)=0,整理得m 2=4k 2+3.-----------------------------6分 由条件可得k ≠0,(,0)mM k-,N (0,m ). 所以.①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①,得.因为|k |>0,所以,-------------------------------10分当且仅当34k k=,则,即时等号成立,S △OMN 有最小值.-----11分因为m 2=4k 2+3,所以m 2=6,又m >0,解得.故所求直线方程为或.----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分,共4页,满分150分。

高二数学上学期期末考试题及答案

高二数学上学期期末考试题及答案

高二数学上学期期末考试题一、 选择题:(每题5分,共60分)2、若a,b 为实数,且a+b=2,则3a +3b 的最小值为( )(A )18, (B )6, (C )23, (D )2433、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 ( ) (A )(x-3)(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x ≥0, (D)(x-3)(2-x)>0 6、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 ( )(A )L 1到L 2的角为π43, (B )L 1到L 2的角为4π (C )L 2到L 1的角为43π, (D )L 1到L 2的夹角为π43 7、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 ( )(A )3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0,(C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距离是 ( ) (A )29 (B )29 (C )429 (D )229 11、双曲线: 的准线方程是191622=-x y ( ) (A)y=±716(B)x=±516 (C)X=±716 (D)Y=±516 12、抛物线:y=4ax 2的焦点坐标为 ( )(A )(a 41,0) (B )(0, a 161) (C)(0, -a 161) (D) (a161,0)二、填空题:(每题4分,共16分)13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是(–21,31),则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 .15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为(θ为参数),则其标准方程为 .16、已知双曲线162x -92y =1,椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点,椭圆与双曲线的离心率互为倒数,则椭圆的方程为 .三、 解答题:(74分)17、假如a ,b +∈R ,且a ≠b ,求证: 422466b a b a b a +>+(12分)19、已知一个圆的圆心为坐标原点,半径为2,从这个圆上随意一点P 向x 轴作线段PP 1,求线段PP 1中点M 的轨迹方程。

【压轴卷】高二数学上期末试卷带答案

【压轴卷】高二数学上期末试卷带答案

【压轴卷】高二数学上期末试卷带答案一、选择题1.在如图所示的算法框图中,若()321a x dx =-⎰,程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍,那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( )A .3K <B .3K >C .2K <D .2K >2.口袋里装有大小相同的5个小球,其中2个白球,3个红球,现一次性从中任意取出3个,则其中至少有1个白球的概率为( ) A .910B .710C .310D .1103.大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙丙3个村小学进行支教,若每个村小学至少分配1名大学生,则小明恰好分配到甲村小学的概率为( ) A .112B .12C .13D .164.某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400人、中部地区学生有1600人、西部地区学生有1000人.从中选取100人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的有( )①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48人、中部地区学生32人、西部地区学生20人;②用简单随机抽样的方法从新生中选出100人; ③西部地区学生小刘被选中的概率为150; ④中部地区学生小张被选中的概率为15000A .①④B .①③C .②④D .②③5.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A.1B.-1C.0D.-26.在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,L,18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为().A.151B.168C.1306D.14087.已知线段MN的长度为6,在线段MN上随机取一点P,则点P到点M,N的距离都大于2的概率为()A.34B.23C.12D.138.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元, 5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是()A.310B.25C.12D.359.类比“赵爽弦图”,可类似地构造如图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形,设D为BE中点,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是()A .17B .14C .13D .41310.一位学生在计算20个数据的平均数时,错把68输成86,那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A .B .C .D .11.甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中,数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ,则下列叙述正确的是( )A .12x x >,乙比甲成绩稳定B .12x x >,甲比乙成绩稳定C .12x x <,乙比甲成绩稳定D .12x x <,甲比乙成绩稳定12.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有2班公交车到达该站,到站的时间分别为7:05,7:15,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为( ) A .13B .49C .59D .23二、填空题13.若(9)85a =,(5)301b =,(2)1001c =,则这三个数字中最大的是___ 14.为长方形,,,为的中点,在长方形内随机取一点,取到的点到的距离大于1的概率为________.15.一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球,其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球,则2只球颜色相同的概率为____. 16.如图是某算法流程图,则程序运行后输出S 的值为____.17.在[0,1]上随机取两个实数,a b ,则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________. 18.执行下面的程序框图,如果输入的0.02t =,则输出的n =_______________.19.在区间[]0,2中随机地取出一个数x ,则sin6x π>的概率是__________.20.在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ,则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________.三、解答题21.2018年中秋节到来之际,某超市为了解中秋节期间月饼的销售量,对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量(单位:g)进行了问卷调查,得到如下频率分布直方图:()1求频率分布直方图中a 的值;()2以频率作为概率,试求消费者月饼购买量在600g 1400g ~的概率;()3已知该超市所在销售范围内有20万人,并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的5%,请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足市场需求(频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表)?22.甲、乙两位同学参加数学应用知识竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次测试成绩中随机抽取8次,记录如下:(Ⅰ)分别估计甲、乙两名同学在培训期间所有测试成绩的平均分;(Ⅱ)从上图中甲、乙两名同学高于85分的成绩中各选一个成绩作为参考,求甲、乙两人成绩都在90分以上的概率;(Ⅲ)现要从甲、乙中选派一人参加正式比赛,根据所抽取的两组数据分析,你认为选派哪位同学参加较为合适?说明理由.23.某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,现用一种新配方做试验,生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结质量指标值 [)75,85[)85,95[)95,105[)105,115[)115,125频数62638228(1)将答题卡上列出的这些数据的频率分布表填写完整,并补齐频率分布直方图; (2)估计这种产品质量指标值的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)与中位数(结果精确到0.1). 质量指标值分组频数 频率 [)75,8560.06[)85,95[)95,105[)105,115 [)115,125合计100124.某地随着经济的发展,居民收入逐年增长,下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额),如下表1: 年份x2011 2012 2013 2014 2015 储蓄存款y (千亿元)567810为了研究计算的方便,工作人员将上表的数据进行了处理,2010,5t x z y =-=-得到下时间代号t1 2 3 4 5 z1235(Ⅰ)求z 关于t 的线性回归方程;(Ⅱ)用所求回归方程预测到2020年年底,该地储蓄存款额可达多少?(附:对于线性回归方程ˆˆˆybx a =+,其中1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx yb ay bx xnx ==-⋅==--∑∑) 25.某医疗器械公司在全国共有100个销售点,总公司每年会根据每个销售点的年销量进行评价分析.规定每个销售点的年销售任务为一万四千台器械.根据这100个销售点的年销量绘制出如下的频率分布直方图.(1)完成年销售任务的销售点有多少个?(2)若用分层抽样的方法从这100个销售点中抽取容量为25的样本,求该五组[2,6),[6,10),____________=,[14,18),[18,22),(单位:千台)中每组分别应抽取的销售点数量.(3)在(2)的条件下,从该样本中完成年销售任务的销售点中随机选取2个,求这两个销售点不在同一组的概率.26.为庆祝新中国成立70周年,某市工会组织部分事业单位职工举行“迎国庆,广播操比赛”活动.现有200名职工参与了此项活动,将这200人按照年龄(单位:岁)分组:第一组[15,25),第二组[25,35),第三组[35,45),第四组[45,55),第五组[55,65],得到的频率分布直方图如图所示.记事件A 为“从这200人中随机抽取一人,其年龄不低于35岁”,已知P (A )=0.75.(1)求,a b 的值;(2)在第二组、第四组中用分层抽样的方法抽取6人,再从这6人中随机抽取2人作为活动的负责人,求这2人恰好都在第四组中的概率.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】 【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式,求出3x 的系数,由已知先求a 的值,模拟程序的运行,可得判断框内的条件. 【详解】解:由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰,Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅,令3r =,3233152T C x +∴=⋅⋅;3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=.∴程序运行的结果S 为360,模拟程序的运行,可得6k =,1S = 不满足条件,执行循环体,6S =,5k = 不满足条件,执行循环体,30S =,4k = 不满足条件,执行循环体,120S =,3k = 不满足条件,执行循环体,360S =,2k =由题意,此时,应该满足条件,退出循环,输出S 的值为360. 则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <? 故选A . 【点睛】本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.2.A解析:A 【解析】 【分析】根据题意,求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数,然后利用古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】由题意可知,从5个大小相同的小球中,一次性任意取出3个小球包含的总的基本事件数为n =35C 10=,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球包含的基本事件数为122123239m C C C C =+=,由古典概型的概率计算公式得,一次性任意取出的3个小球中,至少有1个白球的概率为910m P n ==. 故选:A 【点睛】 本题考查利用组合数公式和古典概型的概率计算公式求随机事件的概率;正确求出总的基本事件数和至少有1个白球包含的基本事件数是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.3.C解析:C 【解析】 【分析】基本事件总数n 2343C A ==36,小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12,由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率.【详解】解:大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教, 每个村小学至少分配1名大学生,基本事件总数n 2343C A ==36,小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m 322332A C A =+=12,∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p 121363m n ===. 故选C . 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概率、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.B解析:B 【解析】分析:由题意逐一考查所给的说法是否正确即可. 详解:逐一考查所给的说法:①由分层抽样的概念可知,取东部地区学生2400100240016001000⨯=++48人、中部地区学生1600100240016001000⨯=++32人、西部地区学生1000100240016001000⨯=++20人,题中的说法正确;②新生的人数较多,不适合用简单随机抽样的方法抽取人数,题中的说法错误; ③西部地区学生小刘被选中的概率为100124001600100050=++,题中的说法正确;④中部地区学生小张被选中的概率为100124001600100050=++,题中的说法错误;综上可得,正确的说法是①③. 本题选择B 选项.点睛:本题主要考查分层抽样的概念,简单随机抽样的特征,古典概型概率公式等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.B解析:B 【解析】 【分析】由题意结合流程图运行程序,考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下: 首先初始化数据:1,2i S ==, 此时不满足5i >,执行循环:111,122S i i S =-==+=; 此时不满足5i >,执行循环:111,13S i i S=-=-=+=; 此时不满足5i >,执行循环:112,14S i i S=-==+=; 此时不满足5i >,执行循环:111,152S i i S =-==+=; 此时不满足5i >,执行循环:111,16S i i S=-=-=+=; 此时满足5i >,输出1S =-. 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程,属于中等题.6.B解析:B 【解析】 【分析】【详解】分析:利用组合数列总事件数,根据等差数列通项公式确定所求事件数,最后根据古典概型概率公式求结果.详解:共有318C 17163=⨯⨯种事件数,选出火炬手编号为13(1)n a a n =+-, 由1、4、7、10、13、16,可得4种, 由2、5、8、11、14、17,可得4种, 由3、6、9、12、15、18,可得4种,4311716368p ⨯==⨯⨯.选B . 点睛:古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法:适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目,常采用树状图法.(3)列表法:适用于多元素基本事件的求解问题,通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法:适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.7.D解析:D 【解析】 【分析】根据题意画出图形,结合图形即可得出结论. 【详解】 如图所示,线段MN 的长度为6,在线段MN 上随机取一点P , 则点P 到点M ,N 的距离都大于2的概率为2163P ==. 故选D . 【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.8.D解析:D 【解析】 【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==,甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个,由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意,所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次, 甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==,甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个,分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==,故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题,其中解答中正确理解题意,找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.9.A解析:A 【解析】 【分析】根据几何概型的概率计算公式,求出中间小三角形的面积与大三角形的面积的比值即可 【详解】设DE x =,因为D 为BE 中点,且图形是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形 所以2BE x =,CE x =,120CEB ∠=︒所以由余弦定理得:2222cos BC BE CE BE CE CEB =+-⋅⋅∠222142272x x x x x ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭即BC =,设DEF V 的面积为1S ,ABC V 的面积为2S因为DEF V 与ABC V 相似所以21217S DE P S BC ⎛⎫=== ⎪⎝⎭故选:A10.B解析:B 【解析】 【分析】应用平均数计算方法,设出两个平均数表达式,相减,即可。

【压轴卷】高二数学上期末模拟试题(附答案)(1)

【压轴卷】高二数学上期末模拟试题(附答案)(1)

【压轴卷】高二数学上期末模拟试题(附答案)(1)一、选择题1.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组后,得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a的值为 0.040B.样本数据低于130分的频率为 0.3C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分D.总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数不相等2.将A,B,C,D,E,F这6个字母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A,B,C三个字母连在一起,且B在A与C之间的概率为()A.112B.15C.115D.2153.《九章算术》是我国古代的数学名著,体现了古代劳动人民的数学智慧,其中第六章“均输”中,有一竹节容量问题,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图,若输出m的值为67,则输入a的值为()A.7B.4C.5D.114.下列赋值语句正确的是()A .s =a +1B .a +1=sC .s -1=aD .s -a =15.如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如:第三季度华为销量约占50%,苹果销量约占20%,三星销量约占30%).根据该图,以下结论中一定正确的是( )A .华为的全年销量最大B .苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C .华为销量最大的是第四季度D .三星销量最小的是第四季度6.某校从高一(1)班和(2)班的某次数学考试(试卷满分为100分)的成绩中各随机抽取了6份数学成绩组成一个样本,如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份,则(2)班成绩更好的概率为( )A .1636B .1736C .12D .19367.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表: 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中0.78b ∧=,a y b x ∧∧=-元,据此估计,该社区一户收入为16万元家庭年支出为( ) A .12.68万元B .13.88万元C .12.78万元D .14.28万元8.执行如图的程序框图,如果输出的是a=341,那么判断框( )A .4k <B .5k <C .6k <D .7k <9.执行如图所示的程序框图,若输入2x =-,则输出的y =( )A .8-B .4-C .4D .810.根据表中提供的全部数据,用最小二乘法得出y 关于x 的线性回归方程是9944y x =+$,则表中m 的值为( ) x 8 10 1112 14 y2125m2835A .26B .27C .28D .2911.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有2班公交车到达该站,到站的时间分别为7:05,7:15,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为( ) A .13B .49C .59D .2312.执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A .10B .17C .19D .36二、填空题13.已知实数]9[1x ,,执行如图所示的流程图,则输出的x 不小于55的概率为________.14.某篮球运动员在赛场上罚球命中率为23,那么这名运动员在赛场上的2次罚球中,至少有一次命中的概率为______.15.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出的s 的值为_____.16.为弘扬我国优秀的传统文化,某小学六年级从甲、乙两个班各选出7名学生参加成语知识竞赛,他们取得的成绩的茎叶图如图,其中甲班学生的平均分是85,乙班学生成绩的中位数是83,则的值为__________.17.使用如图所示算法对下面一组数据进行统计处理,则输出的结果为__________.数据:19.3a =,29.6a =,39.3a = 49.4a =,59.4a =,69.3a = 79.3a =,89.7a =,99.2a = 109.5a =,119.3a =,129.6a =18.已知AOB ∆中,60AOB ∠=o ,2OA =,5OB =,在线段OB 上任取一点C ,则AOC ∆为锐角三角形的概率_________.19.如图,曲线sin32xy π=+把边长为4的正方形OABC 分成黑色部分和白色部分.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是__________.20.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的45%,在一次考试中,男、女生平均分数依次为72、74,则这次考试该年级学生的平均分数为__________.三、解答题21.一个盒子中装有4张卡片,每张卡片上写有1个数字,数字分别是1、2、3、4,现从盒子中随机抽取卡片.(Ⅰ)若一次从中随机抽取3张卡片,求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率; (Ⅱ)若第一次随机抽取1张卡片,放回后再随机抽取1张卡片,求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.22.某地统计局调查了10000名居民的月收入,并根据所得数据绘制了样本的频率分布直方图如图所示.(1)求居民月收入在[3000,3500)内的频率; (2)根据频率分布直方图求出样本数据的中位数;(3)为了分析居民的月收入与年龄、职业等方面的关系,必须按月收入再从这10000中用分层抽样的方法抽出100人做进一步分析,则应从月收入在[2500,3000)内的居民中抽取多少人?23.(1)用秦九韶算法求多项式5432()54323f x x x x x x =++++-当2x =时的值; (2)用辗转相除法或更相减损术求81和135的最大公约数.24.今年4月的“西安奔驰女车主哭诉维权事件”引起了社会的广泛关注,某汽车4S 店为了调研公司的售后服务态度,对5月份到店维修保养的100位客户进行了回访调查,每位客户用10分制对该店的售后服务进行打分.现将打分的情况分成以下几组:第一组[0,2),第二组[2,4),第三组[4,6),第四组[6,8),第五组[8,10],得到频率分布直方图如图所示.已知第二组的频数为10.(1)求图中实数a,b的值;(2)求所打分值在[6,10]的客户人数;(3)总公司规定,若4S店的客户回访平均得分低于7分,则将勒令其停业整顿.试用频率分布直方图的组中值对总体平均数进行估计,判断该4S店是否需要停业整顿.25.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率;(2)记实验次数为X,求X的分布列及数学期望.26.口袋中有质地、大小完全相同的5个球,编号分别为1,2,3,4,5,甲、乙两人玩一种游戏:甲先摸出一个球,记下编号,放回后乙再摸一个球,记下编号,如果两个编号的和为偶数算甲赢,否则算乙赢.(Ⅰ)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率;(Ⅱ)这种游戏规则公平吗?试说明理由.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【解析】【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a=;样本数据低于130分的频率为:0.7;[)80,120的频率为0.4,[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为:0.50.41203123.30.3-+⨯≈分;样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等,总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等. 【详解】由频率分布直方图得:()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=,解得0.030a =,故A 错误;样本数据低于130分的频率为:()10.0250.005100.7-+⨯=,故B 错误;[)80,120的频率为:()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=, [)120,130的频率为:0.030100.3⨯=.∴总体的中位数(保留1位小数)估计为:0.50.412010123.30.3-+⨯≈分,故C 正确; 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等, 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等,故D 错误.故选C . 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.因为条形分布直方图的面积表示的是概率值,中位数是位于最中间的数,故直接找概率为0.5的即可;平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高,将每一个数值相加得到.2.C解析:C 【解析】 【分析】将A ,B ,C 三个字捆在一起,利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==.故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算,利用捆绑法可以简化运算.3.C解析:C 【解析】模拟程序框图的运行过程,如下:输入a ,23m a =-,1i =,()223349m a a =--=-;2i =,()2493821m a a =--=-; 3i =,()282131645m a a =--=-;4i =,()2164533293m a a =--=-;输出3293m a =-,结束; 令329367a -=,解得5a =. 故选C.4.A解析:A【解析】赋值语句的格式为“变量=表达式”,“=”的左侧只能是单个变量,B 、C 、D 都不正确.选A.5.A解析:A 【解析】 【分析】根据图象即可看出,华为在每个季度的销量都最大,从而得出华为的全年销量最大,从而得出A 正确;由于不知每个季度的销量多少,从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的,从而得出选项B ,C ,D 都错误. 【详解】根据图象可看出,华为在每个季度的销量都最大,所以华为的全年销量最大; 每个季度的销量不知道,根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的,同样不能判断华为在哪个季度销量最大,三星在哪个季度销量最小;B ∴,C ,D 都错误,故选A . 【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解.6.C解析:C 【解析】 【分析】由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份,(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高,用列举法列出所有可能结果,由此计算出概率。

高二(上学期)期末数学试卷及答案解析

高二(上学期)期末数学试卷及答案解析

高二(上学期)期末数学试卷及答案解析(时间120分钟,满分150分)一、单选题(本大题共8小题,共40.0分)1.倾斜角为135°,在轴上的截距为的直线方程是()A. B. C. D.2.设双曲线上的点到点的距离为15,则点到的距离是()A. 7B. 23C. 7或23D. 5或233.命题甲:双曲线C的渐近线方程是:y=±;命题乙:双曲线C的方程是:,那么甲是乙的()A. 分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.对抛物线y2=4x,下列描述正确的是()A. 开口向上,焦点为(0,1)B. 开口向上,焦点为C. 开口向右,焦点为(1,0)D. 开口向右,焦点为5.已知a、b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面.下列选项中说法正确的是()①若a∥b,b⊂α,则a∥α②若a⊥α,b⊥a,则b∥α③若a⊥α,b⊥β,a∥b则α∥β④若α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥bA. ①②B. ③④C. ②③D. ③6.已知圆,则过点的最短弦所在直线的方程是()A. B. C. D.7.已知曲线C的方程为+=1,给定下列两个命题:p:若9<k<25,则曲线C为椭圆;q:若曲线C是焦点在x轴上的双曲线,则k<9;那么,下列命题为真命题的是()A. B.C. D.8.椭圆+=1上的点到直线(t为参数)的最大距离是()A. 3B.C. 2D.二、多选题(本大题共4小题,共20.0分)9.一个正方体纸盒展开后如图所示,则在原正方体纸盒中下列结论正确的是()A. B. 与所成的角为60°C. D. 与所成的角为60°10.已知双曲线,则下列说法正确的是()A. 离心率的最小值为4B. 当m=2时,离心率最小C. 离心率最小时,双曲线的标准方程为D. 离心率最小时,双曲线的渐近线方程为11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1B的中点,F为线段BC上的动点(不包括端点),则()A. 对任意的F点,三棱锥F-ADE与三棱锥A1-ADE的体积相等B. 对任意的F点过D,E,F三点的截面始终是梯形C. 存在点F,使得EF∥平面A1C1DD. 存在点F,使得EF⊥平面BDC112.已知抛物线的焦点为,,是抛物线上两点,则下列结论正确的是()A. 点的坐标为B. 若直线过点,则C. 若,则的最小值为D. 若,则线段的中点到轴的距离为三、单空题(本大题共4小题,共20.0分)13.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为.14.设点A(2,-3),B(-3,-2),直线l过点P(1,1)且与线段AB相交,则l的斜率k的取值范围是.15.将边长为的正方形沿翻折成直二面角,若四点在同一个球面上,则该球的体积等于_______________.16.以椭圆=1的右焦点为圆心,且与双曲线=1的两条渐近线都相切的圆方程为______.四、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知直线经过两条直线和的交点,且与直线垂直,求直线的方程.18.已知圆和点(1)若过点有且只有一条直线与圆相切,求实数的值,并求出切线方程;(2)若,过点作圆的两条弦,且互相垂直,求的最大值。

【压轴卷】高二数学上期末试题(带答案)

【压轴卷】高二数学上期末试题(带答案)

【压轴卷】高二数学上期末试题(带答案)一、选择题1.执行如图的程序框图,若输入1t=-,则输出t的值等于( )A.3B.5C.7D.152.七巧板是古代中国劳动人民的发明,到了明代基本定型.清陆以湉在《冷庐杂识》中写道:近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.如图,在七巧板拼成的正方形内任取一点,则该点取自图中阴影部分的概率是()A.116B.18C.38D.3163.执行如图所示的程序框图,若输入8x=,则输出的y值为()A.3B.52C.12D.34-4.我国古代数学著作《九章算术》中,有这样一道题目:“今有器中米,不知其数,前人取半,中人三分取一,后人四分取一,余米一斗五升.问:米几何?”下图是源于其思想的一个程序框图,若输出的3S=(单位:升),则输入的k=()A.9B.10C.11D.125.如图,边长为2的正方形有一内切圆.向正方形内随机投入1000粒芝麻,假定这些芝麻全部落入该正方形中,发现有795粒芝麻落入圆内,则用随机模拟的方法得到圆周率π的近似值为()A .3.1B .3.2C .3.3D .3.46.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以,OA OB 为直径作两个半圆,在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .21π-B .122π- C .2πD .1π7.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是( )A .至少有一个白球;都是白球B .至少有一个白球;至少有一个红球C .至少有一个白球;红、黑球各一个D .恰有一个白球;一个白球一个黑球8.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有2班公交车到达该站,到站的时间分别为7:05,7:15,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为( ) A .13B .49C .59D .239.下表是某两个相关变量x ,y 的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+,那么表中t 的值为( ) x 3 4 5 6 y2.5t44.5A .3B .3.15C .3.5D .4.510.执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A.10 B.17 C.19 D.3611.有一个容量为200的样本,样本数据分组为[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150),其频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图估计样本数据落在区间[90,110)内的频数为()A.48B.60C.64D.7212.2路公共汽车每5分钟发车一次,小明到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过两分钟的概率是()A.25B.35C.23D.15二、填空题13.已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束,则恰好检测四次停止的概率为_____(用数字作答).14.如图,在半径为1的圆上随机地取两点,B E,连成一条弦BE,则弦长超过圆内接正BCD边长的概率是__________.15.为长方形,,,为的中点,在长方形内随机取一点,取到的点到的距离大于1的概率为________.16.某校为了解1000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________17.已知集合{1,U =2,3,⋯,}n ,集合A 、B 是集合U 的子集,若A B ⊆,则称“集合A 紧跟集合B ”,那么任取集合U 的两个子集A 、B ,“集合A 紧跟集合B ”的概率为______.18.将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球,则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______. 19.向面积为20的ABC ∆内任投一点M ,则使MBC ∆的面积小于5的概率是__________.20.在区间[,]-ππ内随机取出两个数分别记为a 、b ,则函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为__________.三、解答题21.某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”,先在本校进行初赛(满分150分),随机抽取100名学生的成绩作为样本,并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)根据频率分布直方图,估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数.22.为了减轻家庭困难的高中学生的经济负担,让更多的孩子接受良好的教育,国家施行高中生国家助学金政策,普通高中国家助学金平均资助标准为每生每年1500元,具体标准由各地结合实际在1000元至3000元范围内确定,可以分为两或三档.各学校积极响应政府号召,通过各种形式宣传国家助学金政策.为了解某高中学校对国家助学金政策的宣传情况,拟采用随机抽样的方法抽取部分学生进行采访调查.(1)若该高中学校有2000名在校学生,编号分别为0001,0002,0003,…,2000,请用系统抽样的方法,设计一个从这2000名学生中抽取50名学生的方案.(写出必要的步骤) (2)该校根据助学金政策将助学金分为3档,1档每年3000元,2档每年2000元,3档每年1000元,某班级共评定出3个1档,2个2档,1个3档,若从该班获得助学金的学生中选出2名写感想,求这2名同学不在同一档的概率.23.市政府为了节约用水,调查了100位居民某年的月均用水量(单位:t ),频数分布如下: 分组 [0,0.5) [0.5,1)[1,1.5)[1.5,2)[2,2.5) [2.5,3) [3,3.5)[3.5,4) [4,4.5]频数4815222514642(1)根据所给数据将频率分布直方图补充完整(不必说明理由); (2)根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数;(3)根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数(同一组数据由该组区间的中点值作为代表).24.近年来,某地大力发展文化旅游创意产业,创意维护一处古寨,几年来,经统计,古寨的使用年限x (年)和所支出的维护费用y (万元)的相关数据如图所示,根据以往资料显示y 对x 呈线性相关关系.(1)求出y 关于x 的回归直线方程y bx a =+$$$;(2)试根据(1)中求出的回归方程,预测使用年限至少为几年时,维护费用将超过10万元?参考公式:对于一组数据()11,x y ,()22,x y ,…,(),n n x y ,其回归方程y bx a =+$$$的斜率和截距的最小二乘估计分别为$1221,ni ii x ynx b ay bx xy nx=--==--∑∑$$. 25.从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中,每摸出2个球为一次试验,直到摸出的球中有红球(不放回),则实验结束(1)求第一次实验恰好摸到1个红球和1个白球的概率; (2)记实验次数为X ,求X 的分布列及数学期望.26.1766年;人类已经发现的太阳系中的行星有金星、地球、火星、木星和土星.德国的一位中学教师戴维一提丢斯在研究了各行星离太阳的距离(单位:AU ,AU 是天文学中计量天体之间距离的一种单位)的排列规律后,预测在火星和木星之间应该还有一颗未被发现的行星存在,并按离太阳的距离从小到大列出了如下表所示的数据:受他的启发,意大利天文学家皮亚齐于1801年终于发现了位于火星和木星之间的谷神星. (1)为了描述行星离太阳的距离y 与行星编号之间的关系,根据表中已有的数据画出散点图,并根据散点图的分布状况,从以下三种模型中选出你认为最符合实际的一种函数模型(直接给出结论即可);①y ax b =+;②(1)xy a b c b =⋅+>;③log (1)b y a x c b =⋅+>.(2)根据你的选择,依表中前几组数据求出函数解析式,并用剩下的数据检验模型的吻合情况;(3)请用你求得的模型,计算谷神星离太阳的距离.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】直接根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】模拟执行程序,可得1t =-,不满足条件0t >,0t =,满足条件()()250t t +-<, 不满足条件0t >,1t =,满足条件()()250t t +-<, 满足条件0t >,3t =,满足条件()()250t t +-<,满足条件0t >,7t =,不满足条件()()250t t +-<,退出循环,输出t 的值为7. 故选:C. 【点睛】本题考查了程序框图,意在考查学生的计算能力和理解能力.2.B解析:B 【解析】 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ,计算出七巧板所在正方形的边长,并计算出两个正方形的面积,利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示,设阴影部分正方形的边长为a,则七巧板所在正方形的边长为, 由几何概型的概率公式可知,在七巧板拼成的正方形内任取一点,则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =,故选:B.【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率,解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系,考查分析问题和计算能力,属于中等题.3.C解析:C 【解析】 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知该程序的作用是利用循环计算y 值并输出,模拟程序的运行过程,直到达到输出条件即可. 【详解】输入8,第一次执行循环:3y =,此时5y x -=, 不满足退出循环的条件,则3x =,第二次执行循环:12y =,此时52y x -=, 满足退出循环的条件,故输出的y 值为12,故选C . 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.4.D解析:D 【解析】 【分析】计算出每次循环时各变量的值并与3S =比较后可得对应的k 的值. 【详解】1n =,S k =; 2n =,22k k S k =-=; 3n =,263k k k S =-=; 4n =,33124k k kS =-==,所以12k =. 故选:D. 【点睛】本题以数学文化为背景考虑流程图,此类问题应该根据流程图计算每次循环时各变量的值,从而可得程序终止的条件、输出的结果等,本题属于中档题.5.B解析:B 【解析】 【分析】由圆的面积公式得:S π=圆,由正方形的面积公式得:4S =正,由几何概型中的面积型结合随机模拟试验可得:7951000S S =圆正,得解. 【详解】由圆的面积公式得:S π=圆, 由正方形的面积公式得:4S =正, 由几何概型中的面积型可得:7951000S S =圆正, 所以79543.21000π⨯=≈, 故选:B .【点睛】本题考查了圆的面积公式、正方形的面积公式及几何概型中的面积型,属简单题.6.A解析:A【解析】试题分析:设扇形OAB半径为,此点取自阴影部分的概率是11-,故选B.2π考点:几何概型.【方法点晴】本题主要考查几何概型,综合性较强,属于较难题型.本题的总体思路较为简单:所求概率值应为阴影部分的面积与扇形的面积之比.但是,本题的难点在于如何求阴影部分的面积,经分析可知阴影部分的面积可由扇形面积减去以为直径的圆的面积,再加上多扣一次的近似“椭圆”面积.求这类图形面积应注意切割分解,“多还少补”.7.C解析:C【解析】【分析】由题意逐一考查所给的事件是否互斥、对立即可求得最终结果.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,逐一分析所给的选项:在A中,至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故A不成立.在B中,至少有一个白球和至少有一个红球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故B不成立;在C中,至少有一个白球和红、黑球各一个两个事件不能同时发生但能同时不发生,是互斥而不对立的两个事件,故C成立;在D中,恰有一个白球和一个白球一个黑球两个事件能同时发生,不是互斥事件,故D不成立;本题选择C选项.【点睛】“互斥事件”与“对立事件”的区别:对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.8.C解析:C【解析】【分析】设小赵到达汽车站的时刻为x,小王到达汽车站的时刻为y,根据条件建立二元一次不等式组,求出对应的区域面积,结合几何概型的概率公式进行计算即可.如图,设小赵到达汽车站的时刻为x ,小王到达汽车站的时刻为y , 则0≤x≤15,0≤y≤15,两人到达汽车站的时刻(x ,y )所对应的区域在平面直角坐标系中画出(如图所示)是大正方形.将2班车到站的时刻在图形中画出,则两人要想乘同一班车, 必须满足{(x ,y )|0505x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩,或515515x y ≤⎧⎨≤⎩<<},即(x ,y )必须落在图形中的2个带阴影的小正方形内,则阴影部分的面积S=5×5+10×10=125, 则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率P=1251515⨯=59, 故选:C 【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用,根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键.9.A解析:A 【解析】 【分析】计算得到 4.5x =,114t y +=,代入回归方程计算得到答案. 【详解】3456 4.54x +++==, 2.54 4.51144t t y ++++==,中心点(),x y 过ˆ0.70.35yx =+, 即114.50.70.354t +=⨯+,解得3t =. 故选:A . 【点睛】本题考查了回归方程的相关问题,意在考查学生的计算能力.10.C【解析】试题分析:该程序框图所表示的算法功能为:235919S =+++=,故选C . 考点:程序框图. 11.B解析:B 【解析】 【分析】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=,求出a ,计算出数据落在区间[90,110)内的频率,即可求解.【详解】由(0.00500.00750.01000.0125)201a ++++⨯=, 解得0.015a =,所以数据落在区间[90,110)内的频率为0.015200.3⨯=, 所以数据落在区间[90,110)内的频数2000.360⨯=, 故选B. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图,频率、频数,属于中档题.12.A解析:A 【解析】分析:根据已知中某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过,我们可以计算出两辆车间隔的时间对应的几何量长度为5,然后再计算出乘客候车时间不超过2分钟的几何量的长度,然后代入几何概型公式,即可得到答案 详解::∵公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过当乘客在上一辆车开走后3分钟内到达候车时间会超过2分钟 ∴乘客候车时间不超过2分钟的概率为53255P -== . 故选A .点睛:本题考查的知识点是几何概型,其中计算出所有事件和满足条件的事件对应的几何量的值是解答此类问题的关键二、填空题13.【解析】由题意可知2次检测结束的概率为3次检测结束的概率为则恰好检测四次停止的概率为解析:35由题意可知,2次检测结束的概率为22225110ApA==,3次检测结束的概率为31123232335310A C C ApA+==,则恰好检测四次停止的概率为231331110105p p p=--=--=.14.【解析】【分析】取圆内接等边三角形的顶点为弦的一个端点当另一端点在劣弧上时求出劣弧的长度运用几何概型的计算公式即可得结果【详解】记事件{弦长超过圆内接等边三角形的边长}如图取圆内接等边三角形的顶点为解析:13【解析】【分析】取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点,当另一端点在劣弧CD上时,BE BC>,求出劣弧CD的长度,运用几何概型的计算公式,即可得结果.【详解】记事件A={弦长超过圆内接等边三角形的边长},如图,取圆内接等边三角形BCD的顶点B为弦的一个端点,当另一端点在劣弧CD上时,BE BC>,设圆的半径为r,劣弧CD的长度是23rπ,圆的周长为2rπ,所以()21323rP Arππ==,故答案为13.【点睛】本题主要考查“长度型”的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误;(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.15.1-π12【解析】【分析】由题意得长方形的面积为S=3×2=6以O点为原型半径为1作圆此时圆在长方形内部的部分的面积为Sn=π2再由面积比的几何概型即可求解【详解】由题意如图所示可得长方形的面积为S解析:【解析】【分析】由题意,得长方形的面积为,以O点为原型,半径为1作圆,此时圆在长方形内部的部分的面积为,再由面积比的几何概型,即可求解.【详解】由题意,如图所示,可得长方形的面积为,以O点为原型,半径为1作圆,此时圆在长方形内部的部分的面积为,所以取到的点到的距离大于1的表示圆的外部在矩形内部分部分,所以概率为.【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题,解决此类问题的步骤:求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”,再求出总的基本事件对应的“几何度量”,然后根据求解,着重考查了分析问题和解答问题的能力.16.18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析:18【解析】【分析】由题意知,抽样方法为系统抽样,因此,若第一组抽取号码为x,则第18组抽取的号码为x+⨯=,即可解得.1725443【详解】因为抽样方法为系统抽样,因此,若第一组抽取号码为x,则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=,解得18x =. 【点睛】本题主要考查了系统抽样,属于中档题.17.【解析】【分析】由题意可知集合U 的子集有个然后求出任取集合U 的两个子集AB 的个数m 及时AB 的所有个数n 根据可求结果【详解】解:集合23的子集有个集合AB 是集合U 的子集任取集合U 的两个子集AB 的所有个解析:3()4n【解析】 【分析】由题意可知集合U 的子集有2n 个,然后求出任取集合U 的两个子集A 、B 的个数m ,及A B ⊆时A 、B 的所有个数n ,根据nP m=可求结果. 【详解】解:Q 集合{1,U =2,3,⋯,}n 的子集有2n 个,Q 集合A 、B 是集合U 的子集,∴任取集合U 的两个子集A 、B 的所有个数共有22n n ⨯个,A B ⊆Q ,①若A =∅,则B 有2n 个,②若A 为单元数集,则B 的个数为112n nC -⨯个, ⋯同理可得,若{1,A =2,3}n ⋯,则B =n 只要1个即012n n C =⨯,则A 、B 的所有个数为112202222(12)3n n n n n nn n n C C C --+⨯+⨯+⋯+⨯=+=个,集合A 紧跟集合B ”的概率为33()224n nn n P ==⨯.故答案为3()4n【点睛】本题考查古典概率公式的简单应用,解题的关键是基本事件个数的确定.18.65【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为再设红球在红盒内的概率为黄球在黄盒内的概率为红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为则红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得则即故答案为解析:65 【解析】设红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率为P ,再设红球在红盒内的概率为1P ,黄球在黄盒内的概率为2P ,红球在红盒内且黄球在黄盒内的概率为3P ,则()1231P P P P =-+-:P 红球不在红盒且黄球不在黄盒由古典概型概率公式可得,1234!3!,5!5!P P P ===,则()1234!3!131125!5!20P P P P ⎛⎫=-+-=-⨯-=⎪⎝⎭,即0.65P =,故答案为0.65. 19.【解析】分析:在内任投一点要使的面积小于5根据几何关系求解出它们的比例即可详解:记事件{的面积大于5}基本事件是的面积如图:事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积(DE 分别是三角形的边上的四等分点)且 解析:716【解析】分析:在ABC ∆内任投一点M ,要使MBC ∆的面积小于5,根据几何关系求解出它们的比例即可.详解:记事件A ={MBC ∆的面积大于5}, 基本事件是ABC ∆的面积,如图:事件A 的几何度量为图中阴影部分的面积(D 、E 分别是三角形的边上的四等分点),ADE ABC ∆~∆Q ,且相似比为34,239416ADE ABC S S ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭, ()916ADE ABC S P A S ∆∆∴==. ∴MBC ∆的面积小于5的概率是()97111616P A -=-=. 故答案为:716. 点睛:本题考查几何概型,解答此题的关键在于明确测度比是面积比,对于几何概型常见的测度是长度之比、面积之比、体积之比、角度之比,要根据题意合理的判断和选择是哪一种测度进行求解,属于中档题.20.【解析】分析:根据题意求出区间内随机取两个数分别记为以及对应平面区域的面积再求出满足调价使得函数有零点的所对应的平面区域的面积利用面积比的几何概型即可求解详解:由题意使得函数有零点则即在平面直角坐标 解析:14π-【解析】分析:根据题意,求出区间[,]-ππ内随机取两个数分别记为,a b ,以及对应平面区域的面积,再求出满足调价使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的所对应的平面区域的面积,利用面积比的几何概型,即可求解.详解:由题意,使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点, 则222(2)4()0a b π∆=--+≥,即222a b π+≥,在平面直角坐标系中,a b 的取值范围,所以对应的区域,如图所示, 当,[,]a b ππ∈-对应的面积为边长为2π的正方形,其面积为24π,所以其概率为2324144ππππ-=-.点睛:本题主要考查了几何概型及其概率的计算,对于几何概型概率可以为线段的长度比,区域的面积、几何体的体积比等,其中这个“几何度量”值域大小有关,与形状和位置无关,解决的步骤为:求出满足条件的基本事件对应的“几何度量”,在求出总的事件所对应的“几何度量”,最后根据公式求解,着重考查了分析问题和解答问题的能力.三、解答题21.(1)0.001a =(2)平均数、中位数、众数依次为80,81,80 【解析】 【分析】(1)利用频率分布直方图的性质,列出方程,即可求解;(2)由频率分布直方图,结合平均数、中位数、众数的计算方法,即可求解. 【详解】(1)由频率分布直方图的性质,可得20.0020.0040.0090.0130.0200.05a +++++=,解得0.001a =. (2)由频率分布直方图,结合平均数、中位数、众数的计算方法,可得平均数为:200.02400.08600.18800.41000.261200.041400.0280x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=中位数为x ,则0.020.080.18(70)0.0200.5x +++-⨯=,解得81x =. 根据众数的概念,可得此频率分布直方图的众数为:80, 因此估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数依次为80,81,80. 【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质,平均数、中位数和众数的求解,其中解答中熟记频率分布直方图的相关知识是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 22.(1)见解析;(2)()1115P A = 【解析】 【分析】(1)第一步编号分组,第二步抽样;(2)先用枚举法确定从6名学生选2名的总事件数,再从中确定2名同学不在同一档的事件数,最后根据古典概型概率公式求结果. 【详解】(1)第一步:分组.将2000名学生分成50组,每组40人,编号是0001~0040的为第1组,编号为0041~0080的为第2组,…,编号为1961~2000为第50组;第二步:抽样.在第1组中用简单随机抽样方法(抓阄)抽取一个编号为m 的学生,则在第k 组抽取编号为()401k m -+的学生.每组抽取一人,共计抽取50名学生.(2)记该班3个1档的学生为1A ,2A ,3A ,2个2档的学生为1B ,2B ,1个3档的学生为1C ,从该班获得助学金的同学中选择2名同学不在同一档为事件A .基本事件:12A A ,13A A ,11A B ,11A B ,11A C ,23A A ,21A B ,22A B ,21A C ,31A B ,32A B ,31A C ,12B B ,11B C ,21B C ,共计15个.事件A 包含的基本事件共有11个,则()1115P A =【点睛】本题考查系统抽样以及古典概型概率公式,考查基本分析求解能力,属基础题. 23.(1)直方图见解析;(2)2.02;(3)2.02. 【解析】分析:(1)根据表格中数据,求出所缺区间的纵坐标,即可将频率分布直方图补充完整;(2)根据直方图可判断中位数应在[)2,2.5组内,设中位数为x ,则()0.4920.500.5x +-⨯=,解得 2.02x =;(3)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和,即可得到本市居民月均用水量的平均数. 详解:(1)频率分布直方图如图所示:(2)∵0.04+0.08+0.15+0.22=0.49<0.5, 0.04+0.08+0.15+0.22+0.25=0.74>0.5, ∴中位数应在[2,2.5)组内,设中位数为x , 则0.49+(x -2)×0.50=0.5, 解得x =2.02.故本市居民月均用水量的中位数的估计值为2.02.(3)0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25 +2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02 =2.02.故本市居民月均用水量的平均数的估计值为2.02.点睛:本题主要考查频率分布直方图的应用,属于中档题. 直方图的主要性质有:(1)直方图中各矩形的面积之和为1;(2)组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率;(3)每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值;(4)直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.24.(1)ˆ0.70.35yx =+(2)使用年限至少为14年时,维护费用将超过10万元 【解析】 【分析】(1)由已知图形中的数据求得ˆb与ˆa 的值,则线性回归方程可求;(2)直接由ˆ0.70.3510yx =+>求得x 的范围得答案. 【详解】(1)34564.54x +++==, 2.534 4.5 3.54y +++==, 222223 2.543546 4.54 4.5 3.5ˆ0.73456445b⨯+⨯+⨯+⨯-⨯⨯==+++-⨯g , ˆ 3.50.7 4.50.35a=-⨯=. 故线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+; (2)由ˆ0.70.3510yx =+>,解得111314x >. 故使用年限至少为14年时,维护费用将超过10万元. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法,考查计算能力,是基础题. 25.(1)37;(2)x 的分布列为 x1234p1328928528128()14E x =【解析】 【分析】 【详解】(I )1126283()7C C P A C == (II )1122622813(1)28C C C P X C +===;2112642222869(2)28C C C C P X C C +==⋅=; 22112642222228645(3)28C C C C C P X C C C +==⋅⋅=;;X 的分布列为 X1234P13289285281281395125()12342828282814E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 点评:对于古典概型的问题,主要是理解试验的基本事件空间,以及事件发生的基本事件空间利用比值来求解概率,结合排列组合的知识得到.而分布列的求解关键是对于各个概率值的求解,属于中档题.26.(1)模型②符合题意(2)见解析(3)2.8AU【解析】【分析】(1)画出散点图,根据图形得到答案.(2)将(1,0.7),(2,1),(3,1.6)分别代入x y a b c =⋅+得到解析式,再验证得到答案.(3)取4x =,代入计算得到答案.【详解】(1)散点图如图所示:根据散点图可知,模型②符合题意(2)将(1,0.7),(2,1),(3,1.6)分别代入x y a b c =⋅+得230.711.6a b c a b c a b c ⋅+=⎧⎪⋅+=⎨⎪⋅+=⎩,解得0.15,2,0.4a b c ===,所以()*0.1520.4x y x =⨯+∈N当5x =时,50.1520.4 5.2y =⨯+=.当6x =时,60.1520.410y =⨯+=.与已知表中数据完全吻合.(3)当4x =时,40.1520.4 2.8AU y =⨯+=,即谷神星距太阳的距离为2.8AU 【点睛】本题考查了散点图,函数解析式,意在考查学生的应用能力和计算能力.。

【压轴题】高二数学上期末模拟试题(及答案)

【压轴题】高二数学上期末模拟试题(及答案)

【压轴题】高二数学上期末模拟试题(及答案)一、选择题1.如图阴影部分为曲边梯形,其曲线对应函数为1x y e =-,在长方形内随机投掷一颗黄豆,则它落在阴影部分的概率是( )A .23e - B .13e - C .43e- D .53e- 2.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,从中任意取出一个,则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A .B .C .D .3.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内现将这100名学生的成绩按照 [80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组后,得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是( )A .频率分布直方图中a 的值为 0.040B .样本数据低于130分的频率为 0.3C .总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分D .总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数不相等 4.已知一组数据的茎叶图如图所示,则该组数据的平均数为( )A .85B .84C .83D .815.如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A .14B .13 C .12D .236.如果数据121x +、221x +、L 、21n x +的平均值为5,方差为16,则数据:153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差分别为( )A .1-,36B .1-,41C .1,72D .10-,1447.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A .1B .-1C .0D .-28.为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表: 收入x 万 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 支出y 万5.97.88.18.49.8根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+,其中0.78b ∧=,a y b x ∧∧=-元,据此估计,该社区一户收入为16万元家庭年支出为( ) A .12.68万元B .13.88万元C .12.78万元D .14.28万元9.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A .136B .118C .112D .1910.从0,1,2,3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数,则这个两位数是偶数的概率为( ) A .27B .57C .29D .5911.执行如图所示的程序框图,则输出s 的值为( )A .10B .17C .19D .3612.已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图,则其中位数和众数分别为( )A .92,94B .92,86C .99,86D .95,91二、填空题13.执行如图所示的伪代码,若输出的y 的值为10,则输入的x 的值是________.14.下图是华师一附中数学讲故事大赛7位评委给某位学生的表演打出的分数的茎叶图.记分员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91分,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x )无法看清,若记分员计算无误,则数字x 应该是____________.15.一只口袋中装有形状、大小都相同的6只小球,其中有3只红球、2只黄球和1只蓝球.若从中1次随机摸出2只球,则2只球颜色相同的概率为____.16.在[0,1]上随机取两个实数,a b ,则,a b 满足不等式221a b +≤的概率为________. 17.变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表: X 10 11.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数,b 2表示变量V 与U 之间的回归系数,则b 1与b 2的大小关系是___.18.某公司的班车在8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是__________ 19.将红、黄、蓝、白、黑5个小球分别放入红、黄、蓝、白、黑5个盒子里,每个盒子里放且只放1个小球,则红球不在红盒内且黄球不在黄盒内的概率是______. 20.在四位八进制数中,能表示的最小十进制数是__________.三、解答题21.某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行了一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记5分,“不合格”记0分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示: 等级 不合格合格得分[)20,40 [)40,60 [)60,80 []80,100频数 6a24 b(Ⅰ)求a ,b ,c 的值;(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈.现再从这10人这任选4人,记所选4人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望()E ξ;(Ⅲ)某评估机构以指标M (()()E M D ξξ=,其中()D ξ表示ξ的方差)来评估该校安全教育活动的成效.若0.7M ≥,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?22.某地区为了了解本年度数学竞赛成绩情况,从中随机抽取了n 个学生的分数作为样本进行统计,按照[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100的分组作出频率分布直方图如图所示,已知得分在[)70,80的频数为20,且分数在70分及以上的频数为27.(1)求样本容量n 以及x ,y 的值;(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[)80,90内的概率.23.从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率; (2)求频率分布直方图中的a ,b 的值;(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论)24.为研究女高中生身高与体重之间的关系,一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生,其身高()x cm 和体重()y kg 数据如下表所示: 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高/x cm164160158172162164174166体重/y kg60 46 43 48 48 50 61 52该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现,女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.(1)调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+,请你据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重;(2)调查员乙仔细观察散点图发现,这8名同学中,编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大,于是提出这样的数据应剔除,请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中,并据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重; (3)请你分析一下,甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠?说明理由.附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ,其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:()()()121ˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑. 25.某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图: 组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 第一组 [25,30) 120 0.6第二组 [30,35) 195 p第三组 [35,40) 1000.5 第四组 [40,45) a0.4 第五组 [45,50) 30 0.3 第六组[50,55]150.3(1)补全频率分布直方图并求,,n a p 的值;(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40,45)岁的概率.26.设甲、乙、丙三个乒乓球协会分别选派3,1,2名运动员参加某次比赛,甲协会运动员编号分别为1A ,2A ,3A ,乙协会编号为4A ,丙协会编号分别为5A ,6A ,若从这6名运动员中随机抽取2名参加双打比赛. (1)用所给编号列出所有可能抽取的结果;(2)求丙协会至少有一名运动员参加双打比赛的概率; (3)求参加双打比赛的两名运动员来自同一协会的概率.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.D 解析:D 【解析】 【分析】通过定积分可求出空白部分面积,于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3,而长方形空白部分面积为:()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰,故所求概率为25133e e---=,故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积,几何概型的运算,难度中等.2.C解析:C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n =27,在得到的27个小正方体中,若其两面涂有油漆,则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上,且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体,则两面涂有油漆的小正方体共有12个,由此能求出在27个小正方体中,任取一个其两面涂有油漆的概率. 【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体, ∴基本事件总数n =27, 在得到的27个小正方体中,若其两面涂有油漆,则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上, 且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体,则两面涂有油漆的小正方体共有12个,则在27个小正方体中,任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选:C 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、正方体性质等基础知识,考查推理论证能力、空间想象能力,考查函数与方程思想,是基础题.3.C解析:C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =;样本数据低于130分的频率为:0.7;[)80,120的频率为0.4,[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为:0.50.41203123.30.3-+⨯≈分;样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等,总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等. 【详解】由频率分布直方图得:()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=,解得0.030a =,故A 错误;样本数据低于130分的频率为:()10.0250.005100.7-+⨯=,故B 错误;[)80,120的频率为:()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=, [)120,130的频率为:0.030100.3⨯=.∴总体的中位数(保留1位小数)估计为:0.50.412010123.30.3-+⨯≈分,故C 正确; 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等, 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等,故D 错误.故选C . 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.因为条形分布直方图的面积表示的是概率值,中位数是位于最中间的数,故直接找概率为0.5的即可;平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高,将每一个数值相加得到.4.A解析:A 【解析】【分析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解. 【详解】由一组数据的茎叶图得: 该组数据的平均数为:1(7581858995)855++++=. 故选:A . 【点睛】本题考查平均数的求法,考查茎叶图、平均数的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.5.C解析:C 【解析】 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题,关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积,通过相除的方法完成本题的解答. 【详解】解:由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为P=.故选C . 【点评】本题考查概率的计算,考查几何概型的辨别,考查学生通过比例的方法计算概率的问题,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生几何图形面积的计算方法,属于基本题型.6.A解析:A 【解析】 【分析】计算出数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值x 和方差2s 的值,然后利用平均数和方差公式计算出数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值和方差. 【详解】设数据1x 、2x 、L 、n x 的平均值为x ,方差为2s , 由题意()()()()121221212121215n n x x x x x x x nn++++++++=+=+=L L,得2x =,由方差公式得()()()()()()22212212121212121n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+++-++++-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221224416n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L ,24s ∴=. 所以,数据153x -、253x -、L 、53n x -的平均值为()()()12535353n x x x n-+-+-L ()1235535321n x x x x n+++=-=-=-⨯=-L,方差为()()()()()()22212535353535353n x x x x x x n⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+---++---⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()2221229936n x x x x x x s n⎡⎤-+-++-⎢⎥⎣⎦===L . 故选:A. 【点睛】本题考查平均数与方差的计算,熟练利用平均数与方差的公式计算是解题的关键,考查计算能力,属于中等题.7.B解析:B 【解析】 【分析】由题意结合流程图运行程序,考查5i >是否成立来决定输出的数值即可. 【详解】结合流程图可知程序运行过程如下: 首先初始化数据:1,2i S ==, 此时不满足5i >,执行循环:111,122S i i S =-==+=; 此时不满足5i >,执行循环:111,13S i i S=-=-=+=; 此时不满足5i >,执行循环:112,14S i i S=-==+=; 此时不满足5i >,执行循环:111,152S i i S =-==+=; 此时不满足5i >,执行循环:111,16S i i S=-=-=+=; 此时满足5i >,输出1S =-. 本题选择B 选项.本题主要考查循环结构流程图的识别与运行过程,属于中等题.8.A解析:A 【解析】 【分析】由已知求得 x , y ,进一步求得$ a,得到线性回归方程,取16x =求得y 值即可. 【详解】8.38.69.911.1512.1 10x +++=+=, 5.97.88.18.49.858y ++++==.又 0.78b =$,∴$ 80.78100.2a y bx --⨯===$. ∴$ 0.780.2y x =+.取16x =,得$ 0.78160.212.68y ⨯+==万元,故选A .【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法,考查了学生的计算能力,属于中档题.9.B解析:B 【解析】设大圆的半径为R ,则:126226T R ππ==⨯=, 则大圆面积为:2136S R ππ==,小圆面积为:22122S ππ=⨯⨯=,则满足题意的概率值为:213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛:数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式,在图形中画出事件A 发生的区域,据此求解几何概型即可.10.D解析:D 【解析】 【分析】由题意列出所有可能的结果,然后结合古典概型计算公式可得概率值. 【详解】能组成两位数有:10,12,13,20,21,23,30,31,32,总共有9种情况. 其中偶数有5种情况,故组成的两位数是偶数的概率为59p =.【点睛】本题主要考查古典概型计算公式,属于中等题.11.C解析:C 【解析】试题分析:该程序框图所表示的算法功能为:235919S =+++=,故选C . 考点:程序框图. 12.B解析:B 【解析】由茎叶图可知,中位数为92,众数为86. 故选B.二、填空题13.3【解析】【分析】分析出算法的功能是求分段函数的值根据输出的值为10分别求出当时和当时的值即可【详解】由程序语句知:算法的功能是求的值当时解得(或不合題意舍去);当时解得舍去综上的值为3故答案为3【解析:3 【解析】 【分析】分析出算法的功能是求分段函数22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值,根据输出的值为10 ,分别求出当3x <时和当3x ≥时的x 值即可. 【详解】由程序语句知:算法的功能是求22,31,3x x y x x <⎧=⎨+≥⎩的值,当3x ≥时,2110y x =+=,解得3x =(或3- ,不合題意舍去); 当3x <时,210y x ==,解得5x = ,舍去, 综上,x 的值为3,故答案为3 . 【点睛】本题主要考查条件语句以及算法的应用,属于中档题 .算法是新课标高考的一大热点,其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮,这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然,很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力,解决算法的交汇性问题的方:(1)读懂程序框图、明确交汇知识,(2)根据给出问题与程序框图处理问题即可.14.1【解析】【分析】因为题目中要去掉一个最高分所以对进行分类讨论然后结合平均数的计算公式求出结果【详解】若去掉一个最高分和一个最低分86分后平均分为不符合题意故最高分为94分去掉一个最高分94分去掉一解析:1 【解析】 【分析】因为题目中要去掉一个最高分,所以对x 进行分类讨论,然后结合平均数的计算公式求出结果 【详解】若4x >,去掉一个最高分()90x +和一个最低分86分后,平均分为()1899291949291.65++++=,不符合题意,故4x ≤,最高分为94分,去掉一个最高分94分,去掉一个最低分86分后,平均分()18992909192915x +++++=,解得1x =,故数字x 为1 【点睛】本题考查了由茎叶图求平均值,理解题目意思运用平均数计算公式即可求出结果,注意分类讨论15.【解析】【分析】由题求得基本事件的总数15种再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数根据古典概型及其概率的计算公式即可求解【详解】由题意一只口袋中装有形状大小都相同的6只小球其中有3只红球2只黄球和1 解析:415【解析】 【分析】由题,求得基本事件的总数15种,再求得2只颜色相同包含的基本事件的个数,根据古典概型及其概率的计算公式,即可求解。

【压轴卷】高二数学上期末试卷及答案

【压轴卷】高二数学上期末试卷及答案

【压轴卷】高二数学上期末试卷及答案一、选择题1.在如图所示的算法框图中,若()321a x dx =-⎰,程序运行的结果S 为二项式()52x +的展开式中3x 的系数的9倍,那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是( )A .3K <B .3K >C .2K <D .2K >2.如图阴影部分为曲边梯形,其曲线对应函数为1xy e =-,在长方形内随机投掷一颗黄豆,则它落在阴影部分的概率是( )A .23e - B .13e - C .43e- D .53e- 3.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内现将这100名学生的成绩按照 [80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组后,得到的频率 分布直方图如图所示则下列说法正确的是( )A .频率分布直方图中a 的值为 0.040B .样本数据低于130分的频率为 0.3C .总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分D .总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数不相等 4.如图,矩形ABCD 中,点E 为边CD 的中点,若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ,则点Q 取自△ABE 内部的概率等于A .14B .13C .12D .235.若执行如图所示的程序框图,则输出S 的值为( )A .10072015B .10082017C .10092019D .101020216.如果数据12,,,n x x x L 的平均数为x ,方差为28,则152x +,252x +,…,52n x +的平均数和方差分别为( ) A .x ,28B .52x +,28C .52x +,2258⨯D .x ,2258⨯7.预测人口的变化趋势有多种方法,“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+(1k >-),n P 为预测人口数,0P 为初期人口数,k 为预测期内年增长率,n 为预测期间隔年数.如果在某一时期有10k -<<,那么在这期间人口数 A .呈下降趋势B .呈上升趋势C .摆动变化D .不变8.执行如图的程序框图,如果输出a 的值大于100,那么判断框内的条件为( )A .5k <?B .5k ≥?C .6k <?D .6k ≥?9.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如下表所示:x0 1 2 3 4 y 2.24.34.54.86.7若,x y 满足回归方程 1.5ˆˆyx a =+,则以下为真命题的是( ) A .x 每增加1个单位长度,则y 一定增加1.5个单位长度 B .x 每增加1个单位长度,y 就减少1.5个单位长度 C .所有样本点的中心为(1,4.5) D .当8x =时,y 的预测值为13.510.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案,它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物生成变化根源的哲理,展现了一种相互转化、相对统一的形式美.按照太极图的构图方法,在平面直角坐标系中,圆O 被3sin6y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案,其中小圆的半径均为1,现在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A .136B .118C .112D .1911.甲、乙两位同学在高一年级的5次考试中,数学成绩统计如茎叶图所示,若甲、乙两人的平均成绩分别是12,x x ,则下列叙述正确的是( )A .12x x >,乙比甲成绩稳定B .12x x >,甲比乙成绩稳定C .12x x <,乙比甲成绩稳定D .12x x <,甲比乙成绩稳定12.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如40337=+.(注:如果一个大于1的整数除1和自身外无其他正因数,则称这个整数为素数.)在不超过11的素数中,随机选取2个不同的数,其和小于等于10的概率是( ) A .12B .13C .14D .15二、填空题13.我国传统的房屋建筑中,常会出现一些形状不同的窗棂,窗棂上雕刻有各种花纹,构成种类繁多的图案.如图所示的窗棂图案,是将半径为R 的圆六等分,分别以各等分点为圆心,以R 为半径画圆弧,在圆的内部构成的平面图形.现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是__________.14.某单位有职工900人,其中青年职工450人,中年职工270人,老年职工180人,为了了解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为10人,则样本容量为________.15.若从甲、乙、丙、丁4位同学中选出2名代表参加学校会议,则甲、乙两人至少有一人被选中的概率为____.16.甲、乙二人约定某日早上在某处会面,甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达,乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是________. 17.执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出的s 的值为_____.18.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出n 的值为___________19.由茎叶图可知,甲组数据的众数和乙组数据的极差分别是__________.20.下列说法:①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变;②设有一个回归方程ˆ35yx =-,若变量x 增加一个单位时,则y 平均增加5个单位; ③线性回归方程^^^y b x a =+所在直线必过(),x y ; ④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;⑤在一个22⨯列联表中,由计算得213.079K =,则其两个变量之间有关系的可能性是0090.其中错误的是________.三、解答题21.某高中为了选拔学生参加“全国高中数学联赛”,先在本校进行初赛(满分150分),随机抽取100名学生的成绩作为样本,并根据他们的初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)根据频率分布直方图,估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数.22.某中学随机选取了40名男生,将他们的身高作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.观察图中数据,完成下列问题.(Ⅰ)求a 的值及样本中男生身高在[]185,195(单位:cm )的人数;(Ⅱ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,通过样本估计该校全体男生的平均身高;(Ⅲ)在样本中,从身高在[)145,155和[]185,195(单位:cm )内的男生中任选两人,求这两人的身高都不低于185cm 的概率.23.黄冈“一票通”景区旅游年卡,是由黄冈市旅游局策划,黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程,持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区.为了解市民每年旅游消费支出情况(单位:百元),相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查,并把得到的数据列成如表所示的频数分布表: 组别 [)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[)80,100频数1039040018812()1求所得样本的中位数(精确到百元);()2根据样本数据,可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布()245,15N ,若该市总人口为750万人,试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上;()3若年旅游消费支出在40(百元)以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人,一年内继续来该景点游玩记2分,不来该景点游玩记1分,将上述调查所得的频率视为概率,且游客之间的选择意愿相互独立,记总得分为随机变量X ,求X 的分布列与数学期望.(参考数据:()0.6827P X μσμσ-<<+≈,(22)0.9545P X μσμσ-<<+≈;(33)0.9973)P X μσμσ-<<+≈24.某新上市的电子产品举行为期一个星期(7天)的促销活动,规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份,随着促销活动的有效开展,第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计,y 表示第x 天参加该活动的人数,得到统计表格如下:x1 2 3 4 5 y 46102322(1)若y 与x 具有线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$;(2)预测该星期最后一天参加该活动的人数(按四舍五入取到整数).参考公式:()()()1122211nniii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xn x====---⋅==--⋅∑∑∑∑$,$ay bx =- 25.为了调查某中学学生在周日上网的时间,随机对名男生和名女生进行了不记名的问卷调查,得到了如下的统计结果: 表1:男、女生上网时间与频数分布表 上网时间(分钟) [30,40)[40,50)[50,60) [60,70) [70,80]男生人数 5 25 30 25 15 女生人数1020402010(Ⅰ)若该中学共有女生750人,试估计其中上网时间不少于60分钟的人数; (Ⅱ)完成下表,并回答能否有90%的把握认为“学生周日上网时间与性别有关”?上网时间少于60分钟 上网时间不少于60分钟 合计男生 女生 合计附:公式22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++,其中20()P k k ≥ 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024 6.635 7.879 10.8326.某中学随机抽取部分高一学生调査其每日自主安排学习的时间(单位:分钟),并将所得数据绘制成如图所示的频率分布直方图,其中自主安排学习时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].(1)求直方图中x 的值;(2)现采用分层抽样的方式从每日自主安排学习时间不超过40分钟的学生中随机抽取6人,若从这6人中随机抽取2人进行详细的每日时间安排调查,求抽到的2人每日自主安排学习时间均不低于20分钟的概率.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.A 解析:A 【解析】 【分析】根据二项式5(2)x +展开式的通项公式,求出3x 的系数,由已知先求a 的值,模拟程序的运行,可得判断框内的条件. 【详解】解:由于32300(21)|6a x dx x x =-=-=⎰,Q 二项式5(2)x -展开式的通项公式是5152r r r r T C x -+=⋅⋅,令3r =,3233152T C x +∴=⋅⋅;3x ∴的系数是32352140C ⋅⋅=.∴程序运行的结果S 为360,模拟程序的运行,可得6k =,1S = 不满足条件,执行循环体,6S =,5k = 不满足条件,执行循环体,30S =,4k = 不满足条件,执行循环体,120S =,3k = 不满足条件,执行循环体,360S =,2k =由题意,此时,应该满足条件,退出循环,输出S 的值为360. 则判断框中应填入的关于k 的判断条件是3k <? 故选A . 【点睛】本题考查程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.2.D解析:D 【解析】 【分析】通过定积分可求出空白部分面积,于是利用几何概型公式可得答案. 【详解】由题可知长方形面积为3,而长方形空白部分面积为:()()11001|2x x e dx e x e -=-=-⎰,故所求概率为25133e e---=,故选D. 【点睛】本题主要考查定积分求几何面积,几何概型的运算,难度中等.3.C解析:C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =;样本数据低于130分的频率为:0.7;[)80,120的频率为0.4,[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为:0.50.41203123.30.3-+⨯≈分;样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等,总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等. 【详解】由频率分布直方图得:()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=,解得0.030a =,故A 错误;样本数据低于130分的频率为:()10.0250.005100.7-+⨯=,故B 错误;[)80,120的频率为:()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=, [)120,130的频率为:0.030100.3⨯=.∴总体的中位数(保留1位小数)估计为:0.50.412010123.30.3-+⨯≈分,故C 正确; 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等, 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等,故D 错误.故选C . 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.因为条形分布直方图的面积表示的是概率值,中位数是位于最中间的数,故直接找概率为0.5的即可;平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高,将每一个数值相加得到.4.C解析:C 【解析】 【分析】利用几何概型的计算概率的方法解决本题,关键要弄准所求的随机事件发生的区域的面积和事件总体的区域面积,通过相除的方法完成本题的解答. 【详解】解:由几何概型的计算方法,可以得出所求事件的概率为P=.故选C .【点评】 本题考查概率的计算,考查几何概型的辨别,考查学生通过比例的方法计算概率的问题,考查学生分析问题解决问题的能力,考查学生几何图形面积的计算方法,属于基本题型.5.C解析:C【解析】【分析】 首先确定流程图的功能为计数111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L 的值,然后利用裂项求和的方法即可求得最终结果.【详解】 由题意结合流程图可知流程图输出结果为111113355720172019S =++++⨯⨯⨯⨯L , 11(2)111(2)2(2)22n n n n n n n n +-⎛⎫=⨯=- ⎪+++⎝⎭Q , 111113355720172019S ∴=++++⨯⨯⨯⨯L 11111111123355720172019⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 1110091220192019⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. 本题选择C 选项.【点睛】识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.6.C解析:C【解析】 根据平均数的概念,其平均数为52x +,方差为2258⨯,故选C.7.A解析:A【解析】【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断.【详解】当10k -<<时,()011011nk k <+<<+<,,所以()001n n P P k P =+<,呈下降趋势.【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断. 8.C解析:C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a 的值,模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.【详解】由题意,模拟程序的运算,可得k 1=,a 1=满足判断框内的条件,执行循环体,a 6=,k 3=满足判断框内的条件,执行循环体,a 33=,k 5=满足判断框内的条件,执行循环体,a 170=,k 7=此时,不满足判断框内的条件,退出循环,输出a 的值为170.则分析各个选项可得程序中判断框内的“条件”应为k 6<?故选:C .【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.9.D解析:D【解析】【分析】利用回归直线过样本点中心可求回归方程,根据该方程可得正确的选项.【详解】由$$1.5y x a=+,得x 每增一个单位长度,y 不一定增加1.5,而是大约增加1.5个单位长度,故选项,A B 错误; 由已知表格中的数据,可知0123425x ++++==,2.2 4.3 4.5 4.8 6.7 4.55y ++++==,Q 回归直线必过样本的中心点()2,4.5,故C 错误;又4.5 1.52 1.5ˆˆa a =⨯+⇒=,∴回归方程为$1.5 1.5y x =+,当8x =时,y 的预测值为1.58 1.513.5⨯+=,故D 正确,故选:D.【点睛】 本题考查线性回归方程的性质及应用,注意回归直线过(),x y ,本题属于基础题. 10.B解析:B【解析】设大圆的半径为R ,则:126226T R ππ==⨯=, 则大圆面积为:2136S R ππ==,小圆面积为:22122S ππ=⨯⨯=, 则满足题意的概率值为:213618p ππ==. 本题选择B 选项.点睛:数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条件转化为事件A 满足的不等式,在图形中画出事件A 发生的区域,据此求解几何概型即可.11.C解析:C【解析】 甲的平均成绩11(7378798793)825x =++++=,甲的成绩的方差22222211[(7382)(7882)(7982)(8782)(9382)]50.45s =-+-+-+-+-=; 乙的平均成绩21(7989899291)885x =++++=,乙的成绩的方差22222221[(7988)(8988)(8988)(9288)(9188)]21.65s =-+-+-+-+-=. ∴12x x <,乙比甲成绩稳定.故选C .12.A解析:A【解析】【分析】先列出不超过11的素数,再列举出随机选取2个不同的数的情况,进而找到和小于等于10的情况,即可求解【详解】不超过11的素数有:2,3,5,7,11,共有5个,随机选取2个不同的数可能为:()2,3,()2,5,()2,7,()2,11,()3,5,()3,7,()3,11,()5,7,()5,11,()7,11,共有10种情况, 其中和小于等于10的有:()2,3,()2,5,()2,7,()3,5,()3,7,共有5种情况, 则概率为51102P ==, 故选:A【点睛】本题考查列举法求古典概型的概率,属于基础题 二、填空题13.【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度面积体积等时应考虑使用几何概型求解;(2)利用几何概型求概率时关键是试验的全部结果构成的区域和事件发解析:2π-【解析】∵阴影部分面积为221141262222R R R ππ⎛⎫-⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭∴飞镖落在黑色部分的概率为22422R R ππ-=故答案为2 点睛:(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时,应考虑使用几何概型求解;(2)利用几何概型求概率时,关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找,有时需要设出变量,在坐标系中表示所需要的区域;(3)几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.14.20【解析】青年职工中年职工老年职工三层之比为所以样本容量为故答案为20点睛:本题主要考查了分层抽样方法及其应用分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配这是分层抽样的最主要的特点首先各确定分层 解析:20【解析】青年职工、中年职工、老年职工三层之比为5:3:2,所以样本容量为102012=,故答案为20.点睛:本题主要考查了分层抽样方法及其应用,分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配,这是分层抽样的最主要的特点,首先各确定分层抽样的个数,分层后,各层的抽取一定要考虑到个体数目,选取不同的抽样方法,但一定要注意按比例抽取,牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键,着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力.15.【解析】【分析】由题意从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议求得基本事件的总数再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中求得其包含的基本事件的个数即可求解【详解】由题意从甲乙解析:5 6【解析】【分析】由题意,从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议,求得基本事件的总数,再由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中,求得其包含的基本事件的个数,即可求解.【详解】由题意,从甲乙丙丁4位同学中选出2名代表参加学校的会议,则基本事件的总数为246n C==,又由甲乙两人至少有一人被选中的对立事件是甲乙两人都没有选中,其包含的基本事件的个数为221m C==,所以甲乙两人至少有一人被选中的概率为151166mpn=-=-=.故答案为56.【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式,以及对立事件的应用,其中解答中认真审题,合理选择方法,分别求得基本事件的总数和事件所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.16.【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型试验包含的所有事件是Ω={(xy)|0≤x≤205≤y≤20}作出事件对应的集合表示的面积写出满足条件的事件是A={(xy)|0≤x≤205≤y≤20y﹣x解析:38【解析】【分析】由题意知本题是一个几何概型,试验包含的所有事件是Ω={(x,y)|0≤x≤20,5≤y≤20},作出事件对应的集合表示的面积,写出满足条件的事件是A={(x,y)|0≤x≤20,5≤y≤20,y﹣x≥5 },算出事件对应的集合表示的面积,根据几何概型概率公式得答案.【详解】由题意知本题是一个几何概型,设甲和乙到达的分别为7时x 分、7时y 分,则10≤x ≤20,5≤y ≤20,甲至少需等待乙5分钟,即y ﹣x ≥5,则试验包含的所有区域是Ω={(x ,y )|0≤x ≤20,5≤y ≤20},甲至少需等待乙5分钟所表示的区域为A ={(x ,y )|0≤x ≤20,5≤y ≤20,y ﹣x ≥5}, 如图:正方形的面积为20×15=300,阴影部分的面积为12⨯15×152252=, ∴甲至少需等待乙5分钟的概率是225323008=, 故答案为38【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型,属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有:长度型、角度型、面积型、体积型,求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积;几何概型问题还有以下几点容易造成失分,在备考时要高度关注:(1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误;(2)基本事件对应的区域测度把握不准导致错误 ;(3)利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 17.8【解析】【分析】根据程序框图知该程序的功能是计算并输出变量的值模拟程序的运行过程即可求解【详解】当时满足循环条件当时满足循环条件当时满足循环条件;当时不满足循环条件跳出循环输出故填【点睛】本题主要 解析:8【解析】【分析】根据程序框图知,该程序的功能是计算并输出变量s 的值,模拟程序的运行过程即可求解.【详解】当2i =时,满足循环条件,2,4,2s i k ===,当4i =时,满足循环条件,4,6,3s i k === ,当6i =时,满足循环条件,8,8,4s i k ===;当8i =时,不满足循环条件,跳出循环,输出8s =.故填8.【点睛】本题主要考查了程序框图,循环结构,属于中档题.18.4【解析】由程序框图可知:S=2=0+(﹣1)1×1+(﹣1)2×2+(﹣1)3×3+(﹣1)4×4因此当n=4时满足判断框的条件故跳出循环程序故输出的n 的值为4故答案为4解析:4【解析】由程序框图可知:S=2=0+(﹣1)1×1+(﹣1)2×2+(﹣1)3×3+(﹣1)4×4, 因此当n=4时,满足判断框的条件,故跳出循环程序.故输出的n 的值为4.故答案为4.19.【解析】【分析】首先从茎叶图中找到出现次数最多的数从而得到甲组数据的众数找出乙组数据的最大值和最小值两者作差求得极差得到结果【详解】根据众数的定义可以断定甲组数据的众数是21;从茎叶图中可以发现其最 解析:21,43【解析】【分析】首先从茎叶图中找到出现次数最多的数,从而得到甲组数据的众数,找出乙组数据的最大值和最小值,两者作差求得极差,得到结果.【详解】根据众数的定义,可以断定甲组数据的众数是21;从茎叶图中可以发现,其最大值为52,其最小值为9,所以极差为52943-=, 故答案为21,,43.【点睛】该题考查的是茎叶图的应用,涉及到的知识点有一组数据的众数和极差的概念,只要明确众数是数据中出现次数最多的数,极差是最大值和最小值的差距,从而求得结果.20.②④⑤【解析】分析:根据方程性质回归方程性质及其含义卡方含义确定命题真假详解:由方差的性质知①正确;由线性回归方程的特点知③正确;回归方程若变量增加一个单位时则平均减少5个单位;曲线上的点与该点的坐 解析:②④⑤【解析】分析:根据方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义确定命题真假.详解:由方差的性质知①正确;由线性回归方程的特点知③正确;回归方程ˆ35yx =-中若变量x 增加一个单位时,则y 平均减少5个单位; 曲线上的点与该点的坐标之间不一定具有相关关系;在一个22⨯列联表中,由计算得213.079K =,只能确定两个变量之间有相关关系的可能性,所以②④⑤均错误.点睛:本题考查方程性质、回归方程性质及其含义、卡方含义,考查对基本概念理解与简单应用能力.三、解答题21.(1)0.001a =(2)平均数、中位数、众数依次为80,81,80【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的性质,列出方程,即可求解;(2)由频率分布直方图,结合平均数、中位数、众数的计算方法,即可求解.【详解】(1)由频率分布直方图的性质,可得20.0020.0040.0090.0130.0200.05a +++++=,解得0.001a =.(2)由频率分布直方图,结合平均数、中位数、众数的计算方法, 可得平均数为:200.02400.08600.18800.41000.261200.041400.0280x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 中位数为x ,则0.020.080.18(70)0.0200.5x +++-⨯=,解得81x =.根据众数的概念,可得此频率分布直方图的众数为:80,因此估计这次初赛成绩的平均数、中位数、众数依次为80,81,80.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质,平均数、中位数和众数的求解,其中解答中熟记频率分布直方图的相关知识是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.22.(1)4(2)171.5?cm (3)25 【解析】试题分析:(1)根据频率直方图的总面积为1,可求得a 0.010=,n=N*高*组距400.01104⨯⨯=.(2)平均数为,每个区间的中点值与频率乘积和.(3)学生身高在[]185,195内的人有4个,记这四人为a,b,c,d .所以,身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人.采用枚举可得总共15个基本事件,满足的有6个.()62P M 155==. 试题解析:(Ⅰ)根据题意, ()0.005a 0.0200.0250.040101++++⨯=.解得 a 0.010=.所以样本中学生身高在[]185,195内(单位:cm )的人数为 400.01104⨯⨯=. (Ⅱ)设样本中男生身高的平均值为x ,则x 1500.051600.21700.41800.251900.1=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯7.532684519171.5=++++= .所以,该校男生的平均身高为171.5cm .(Ⅲ)样本中男生身高在[)145,155内的人有 400.005102⨯⨯=(个),记这两人为A,B .由(Ⅰ)可知,学生身高在[]185,195内的人有4个,记这四人为a,b,c,d . 所以,身高在[)145,155和[]185,195内的男生共6人.从这6人中任意选取2人,有b,ac,ad,aA,aB,bc,bd,bA,bB,cd,cA,cB,dA,dB,AB , 共15种情况.设所选两人的身高都不低于185cm 为事件M ,事件M 包括ab,ac,ad,bc,bd,cd ,共6种情况.所以,所选两人的身高都不低于185cm 的概率为()62P M 155==. 23.()145(百元);()217.1万;()3分布列见解析,()245E X =. 【解析】【分析】()1设样本的中位数为x ,可得()40103904000.510001000100020x -++⋅=,解得x ; ()245μ=,15σ=,275μσ+=,旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)22P x P x μσμσμσ--<<+≥+=,即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上; ()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35,X 可能取值为3,4,5,6,利用二项分布列即可得出.【详解】解:()1设样本的中位数为x ,则()40103904000.510001000100020x -++⋅=, 解得45x =,所得样本中位数为45(百元); ()245μ=,15σ=,275μσ+=,旅游费用支出在7500元以上的概率为()1(22)10.954420.022822P x P x μσμσμσ--<<+-≥+===,0.022875017.1⨯=,估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上;()3由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为35,X 可能取值为3,4,5,6.()3283()5125P X ===,()12332364()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()22332545()55125P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,()33276()5125P X ===, 故其分布列为:()34561251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查了二项分布列、互斥事件与对立事件的概率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 24.(1)$ 5.3 2.9y x =-(2)34【解析】【分析】 (1)利用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程$ 5.3 2.9y x =-;(2)将7x =代入$ 5.3 2.9y x =-中得解.【详解】解:(1)根据表中的数据,可得()11234535x =++++=,()146102322135y =++++=, 则()()()51521i i i ii x x y y b x x ==--=-∑∑$()()()()()()()()()()()()()()()2222213413236133310134323135322131323334353--+--+--+--+--=-+-+-+-+- 5.3=,又由$13 5.33 2.9a=-⨯=-, 故所求回归直线方程为$ 5.3 2.9y x =-.(2)将7x =代入$ 5.3 2.9y x =-中,求得$ 5.37 2.934.234y =⨯-=≈,故预测最后一天参加该活动的人数34.【点睛】本题主要考查最小二乘法求线性回归方程,考查回归方程的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。

【压轴卷】高二数学上期末试题附答案

【压轴卷】高二数学上期末试题附答案

【压轴卷】高二数学上期末试题附答案一、选择题1.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,从中任意取出一个,则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A.B.C.D.2.某校为了解高二年级学生某次数学考试成绩的分布情况,从该年级的1120名学生中随机抽取了100 名学生的数学成绩,发现都在[80,150]内现将这100名学生的成绩按照[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分组后,得到的频率分布直方图如图所示则下列说法正确的是()A.频率分布直方图中a的值为 0.040B.样本数据低于130分的频率为 0.3C.总体的中位数(保留1位小数)估计为123.3分D.总体分布在[90,100)的频数一定与总体分布在[100,110)的频数不相等3.七巧板是古代中国劳动人民的发明,到了明代基本定型.清陆以湉在《冷庐杂识》中写道:近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.如图,在七巧板拼成的正方形内任取一点,则该点取自图中阴影部分的概率是()A.116B.18C.38D.3164.如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图,则判断框内应填入的条件是( )A .4i >?B .5i >?C .4i ≤?D .5i ≤?5.公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14,这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积,如图是其设计的一个程序框图,则框图中应填入、输出n 的值分别为( )(参考数据:0020sin 200.3420,sin()0.11613≈≈)A .01180sin ,242S n n =⨯⨯B .01180sin ,182S n n =⨯⨯C .01360sin ,542S n n=⨯⨯D .01360sin ,182S n n=⨯⨯6.把化为五进制数是( ) A .B .C .D .7.“微信抢红包”自2015年以来异常火爆,在某个微信群某次进行的抢红包活动中,若所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元,1.83元,2.28元,1.55元,0.62元, 5份供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次,则甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率是 ( ) A .310B .25C .12D .358.一位学生在计算20个数据的平均数时,错把68输成86,那么由此求出的平均数与实际平均数的差为 A .B .C .D .9.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A .13B .512C .12D .71210.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个,从中任取2个,则互斥而不对立的两个事件是( )A .至少有一个白球;都是白球B .至少有一个白球;至少有一个红球C .至少有一个白球;红、黑球各一个D .恰有一个白球;一个白球一个黑球11.小赵和小王约定在早上7:00至7:15之间到某公交站搭乘公交车去上学,已知在这段时间内,共有2班公交车到达该站,到站的时间分别为7:05,7:15,如果他们约定见车就搭乘,则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为( ) A .13B .49C .59D .2312.下表是某两个相关变量x ,y 的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+,那么表中t 的值为( ) x 3 4 5 6 y2.5t44.5A .3B .3.15C .3.5D .4.5二、填空题13.根据党中央关于“精准脱贫”的要求,石嘴山市农业经济部门派3位专家对大武口、惠农2个区进行调研,每个区至少派1位专家,则甲,乙两位专家派遣至惠农区的概率为_____.14.已知2件次品和3件正品放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束,则恰好检测四次停止的概率为_____(用数字作答).15.我国传统的房屋建筑中,常会出现一些形状不同的窗棂,窗棂上雕刻有各种花纹,构成种类繁多的图案.如图所示的窗棂图案,是将半径为R 的圆六等分,分别以各等分点为圆心,以R 为半径画圆弧,在圆的内部构成的平面图形.现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在黑色部分(忽略图中的白线)的概率是__________.16.某程序框图如图所示,若输入的4t =,则输出的k =______.17.如图是某算法流程图,则程序运行后输出S 的值为____.18.投掷一枚均匀的骰子,则落地时,向上的点数是2的倍数的概率是_________, 19.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率是________20.父亲节小明给爸爸从网上购买了一双运动鞋,就在父亲节的当天,快递公司给小明打电话话说鞋子已经到达快递公司了,马上可以送到小明家,到达时间为晚上6点到7点之间,小明的爸爸晚上5点下班之后需要坐公共汽车回家,到家的时间在晚上5点半到6点半之间.求小明的爸爸到家之后就能收到鞋子的概率(快递员把鞋子送到小明家的时候,会把鞋子放在小明家门口的“丰巢”中)为 __________.三、解答题21.从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y ,(单位:千元)的数据资料,算出101010102111180,20184,720ii i i i i i i i xy x y x ========∑∑∑∑,,附:线性回归方程1221ˆˆˆˆˆˆ,,ni ii nii x y nxyybx a b ay bx xnx ==-=+==--∑∑,其中,x y 为样本平均值.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+ ; (2)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.22.在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道:摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱. (1)摸出的3个球为白球的概率是多少?(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?23.为了了解某省各景区在大众中的熟知度,随机从本省1565:岁的人群中抽取了n 人,得到各年龄段人数的频率分布直方图如图所示,现让他们回答问题“该省有哪几个国家AAAAA 级旅游景区?”,统计结果如下表所示: 组号 分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组 [)1525, a0.5第2组 [)2535, 18x第3组 [)3545, b 0.9 第4组 [)4555, 9 0.36第5组[)5565,3y(1)分别求出,,,a b x y 的值;(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人,求第2,3,4组每组抽取的人数;(3)在(2)中抽取的6人中随机抽取2人,求所抽取的人中恰好没有年龄段在[)3545,的概率24.某高中为了了解高三学生每天自主参加体育锻炼的情况,随机抽取了100名学生进行调查,其中女生有55名.下面是根据调查结果绘制的学生自主参加体育锻炼时间的频率分布直方图:将每天自主参加体育锻炼时间不低于40分钟的学生称为体育健康A 类学生,已知体育健康A 类学生中有10名女生.(Ⅰ)根据已知条件完成下面22⨯列联表,并据此资料你是否认为达到体育健康A 类学生与性别有关?非体育健康A 类学生 体育健康A 类学生 合计男生女生合计(Ⅱ)将每天自主参加体育锻炼时间不低于50分钟的学生称为体育健康A +类学生,已知体育健康A +类学生中有2名女生,若从体育健康A +类学生中任意选取2人,求至少有1名女生的概率. 附:P (20K k ≥)0.05 0.010 0.005 0k3.8416.6357.879()()()()()22n ad bc k a c b d c d a b -=++++25.据报道,全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点,一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注,为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法,某媒体在该地区选择了3 000人进行调查,就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计,结果如下表:已知在全体样本中随机抽取1人,抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.06. (1)现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取300人进行问卷访谈,问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人?(2)在持“应该保留”态度的人中,用分层抽样的方法抽取6人,然后从这6人中随机抽取2人,求这2人中恰好有1个人为在校学生的概率.26.为研究女高中生身高与体重之间的关系,一调查机构从某中学中随机选取8名女高中生,其身高()x cm 和体重()y kg 数据如下表所示:该调查机构绘制出该组数据的散点图后分析发现,女高中生的身高与体重之间有较强的线性相关关系.(1)调查员甲计算得出该组数据的线性回归方程为ˆˆ0.7yx a =+,请你据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重;(2)调查员乙仔细观察散点图发现,这8名同学中,编号为1和4的两名同学对应的点与其他同学对应的点偏差太大,于是提出这样的数据应剔除,请你按照这名调查人员的想法重新计算线性回归话中,并据此预报一名身高为176cm 的女高中生的体重; (3)请你分析一下,甲和乙谁的模型得到的预测值更可靠?说明理由.附:对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y L ,其回归方程ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:()()()121ˆˆ,niii nii x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.C 解析:C 【解析】 【分析】先求出基本事件总数n =27,在得到的27个小正方体中,若其两面涂有油漆,则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上,且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体,则两面涂有油漆的小正方体共有12个,由此能求出在27个小正方体中,任取一个其两面涂有油漆的概率. 【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体, ∴基本事件总数n =27, 在得到的27个小正方体中,若其两面涂有油漆,则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上,且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体,则两面涂有油漆的小正方体共有12个,则在27个小正方体中,任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选:C 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、正方体性质等基础知识,考查推理论证能力、空间想象能力,考查函数与方程思想,是基础题.2.C解析:C 【解析】 【分析】由频率分布直方图得的性质求出0.030a =;样本数据低于130分的频率为:0.7;[)80,120的频率为0.4,[)120,130的频率为0.3.由此求出总体的中位数(保留1位小数)估计为:0.50.41203123.30.3-+⨯≈分;样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等,总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等. 【详解】由频率分布直方图得:()0.0050.0100.0100.0150.0250.005101a ++++++⨯=,解得0.030a =,故A 错误;样本数据低于130分的频率为:()10.0250.005100.7-+⨯=,故B 错误;[)80,120的频率为:()0.0050.0100.0100.015100.4+++⨯=, [)120,130的频率为:0.030100.3⨯=.∴总体的中位数(保留1位小数)估计为:0.50.412010123.30.3-+⨯≈分,故C 正确; 样本分布在[)90,100的频数一定与样本分布在[)100,110的频数相等, 总体分布在[)90,100的频数不一定与总体分布在[)100,110的频数相等,故D 错误.故选C . 【点睛】本题考查命题真假的判断,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.因为条形分布直方图的面积表示的是概率值,中位数是位于最中间的数,故直接找概率为0.5的即可;平均数是每个长方条的中点乘以间距再乘以长方条的高,将每一个数值相加得到.3.B解析:B 【解析】 【分析】设阴影部分正方形的边长为a ,计算出七巧板所在正方形的边长,并计算出两个正方形的面积,利用几何概型概率公式可计算出所求事件的概率. 【详解】如图所示,设阴影部分正方形的边长为a,则七巧板所在正方形的边长为, 由几何概型的概率公式可知,在七巧板拼成的正方形内任取一点,则该点取自图中阴影部分的概率()2218a =,故选:B.【点睛】本题考查几何概型概率公式计算事件的概率,解题的关键在于弄清楚两个正方形边长之间的等量关系,考查分析问题和计算能力,属于中等题.4.C解析:C 【解析】 【分析】根据程序框图依次计算得到答案. 【详解】根据程序框图:1,1S i ==;3,2S i ==;7,3S i ==;15,4S i ==;31,5S i ==,结束. 故选:C . 【点睛】本题考查了程序框图,意在考查学生的计算能力和理解能力.5.C解析:C 【解析】分析:在半径为1的圆内作出正n 边形,分成n 个小的等腰三角形,可得正n 边形面积是13602S n sinn=⨯⨯o,按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可的结果.详解:在半径为1的圆内作出正n 边形,分成n 个小的等腰三角形,每一个等腰三角形两腰是1,顶角是360n ⎛⎫ ⎪⎝⎭o,所以正n 边形面积是13602S n sin n=⨯⨯o,当6n =时,332.62S =≈; 当18n =时, 3.08S ≈;当54n =时, 3.13S ≈;符合 3.11S ≥,输出54n =,故选C.点睛:本题主要考查程序框图的循环结构流程图,属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点:(1) 不要混淆处理框和输入框;(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构;(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构;(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数;(5) 要注意各个框的顺序,(6)在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.6.B解析:B 【解析】 【分析】利用倒取余数法可得化为五进制数.【详解】 因为所以用倒取余数法得323,故选:B. 【点睛】本题考查十进制数和五进制数之间的转化,利用倒取余数法可解决此类问题.7.D解析:D 【解析】 【分析】甲、乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数2510n C ==,甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元包含基本事件有6个,由此能求出甲、乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率. 【详解】由题意,所发红包的总金额为8元,被随机分配为1.72元、1.83元、2.28元、1.55元、0.62元、5分,供甲、乙等5人抢,每人只能抢一次, 甲乙二人抢到的金额之和包含的基本事件的总数为2510n C ==,甲乙二人抢到的金额之和不低于3元包含的基本事件有6个,分别为(1.72,1.83),(1.72,2.28),(1.72,1.55),(1.83,2.28),(1.83,1.55),(2.28,1.55)所以甲乙二人抢到的金额之和不低于3元的概率为63105p ==,故选D. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题,其中解答中正确理解题意,找出基本事件的总数和不低于3元的事件中所包含的基本事件的个数是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.8.B解析:B【解析】【分析】应用平均数计算方法,设出两个平均数表达式,相减,即可。

高二数学上学期期末考试试题含解析 9

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卜人入州八九几市潮王学校秦淮二零二零—二零二壹高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一.单项选择题:1.以下结论正确的选项是〔〕 A.假设0a b <<,那么22a ab b >>B.假设0a b <<,那么11a b< C.假设a b >,那么ac bc > D.假设a b >,那么22a b >【答案】A 【解析】 【分析】不等式a b <的两边同时乘以a ,得到2a ab >,不等式a b <的两边同时乘以b ,得到2ab b >,即可判断A 选项;利用特殊值排除B,C,D 选项即可. 【详解】不等式a b <的两边同时乘以a ,得到2a ab >,不等式a b <的两边同时乘以b ,得到2ab b >,所以22a ab b >>,故A 正确;当2,1a b =-=-时,1121>--,故B 错误; 当0c 时,a b ac bc >⇒=,故C 错误; 当1,2ab =-=-时,()()2212-<-,故D 错误.应选:A【点睛】此题主要考察了不等式的性质,属于根底题.21aii+-为纯虚数,那么实数a =〔〕 A.4 B.3C.2D.1【答案】C 【解析】【分析】根据复数的除法运算,化简得到2i 22i 1i 22a a a +-+=+-,再由题意,即可得出结果. 【详解】因为()2(1)22(2)221(1)(1)222+++++--+===+--+ai i ai a i a a a i i i i 为纯虚数, 所以202a-=,因此2a =. 应选C【点睛】此题主要考察由复数的类型求参数,熟记复数的除法运算即可,属于根底题型.(0,1,1),(1,1,0)a b =-=,且()a b a λ+⊥,那么实数λ的值是〔〕A.1-B.0C.2-D.1【答案】C 【解析】 【分析】先求出a λb +的坐标,利用()a b a λ+⊥可得()0a b a λ+⋅=,代入坐标计算即可.【详解】解:由(0,1,1)(1,1,0)(,1,1)a b λλλλ+=-+=+-,由()a b a λ+⊥得:()(,1,1)(0,1,1)110a b a λλλλ+⋅=+-⋅-=++=,2λ∴=-,应选:C.【点睛】此题考察数量积的坐标运算,其中()()0a b a a b a λλ+⊥⇔+⋅=是解题的关键,是根底题.22221x y a b-=的一条渐近线经过点()3,4-,那么此双曲线的离心率为()A.3B.54C.43D.53【答案】D 【解析】因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点〔3,-4〕, 应选D.考点:双曲线的简单性质【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质,在解决有关双曲线问题时,需结合渐近线从数形结合上找打破口.与渐近线有关的结论或者方法还有:〔1〕与双曲线22221x y a b-=一共渐近线的可设为2222(0)x y a b λλ-=≠;〔2〕假设渐近线方程为b y x a =±,那么可设为2222(0)x y a bλλ-=≠;〔3〕双曲线的焦点到渐近线的间隔等于虚半轴长b ;〔4〕22221(0.0)x y a b a b-=>>的一条渐近线的斜率为b a ==可以看出,双曲线的渐近线和离心率的本质都表示双曲线张口的大小.另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化,其本质是确定极端或者极限位置.d 不为零的等差数列{}n a 中,617a =,且3a ,11a ,43a 成等比数列,那么d =()A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】 【分析】运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,可得首项和公差的方程,解方程可得所求公差. 【详解】在公差d 不为零的等差数列{}n a 中,617a =,且3a ,11a ,43a 成等比数列,可得1517a d +=,且211343a a a =,即()()2111(10)242a d a d a d +=++,解得12a =,3d =,应选:C .【点睛】此题考察等差数列的通项公式和等比数列的中项性质,考察方程思想和运算才能,属于根底题.6.0,0x y >>,且91x y +=,那么11x y+的最小值是A.10B.12?C.14D.16【答案】D 【解析】 【分析】通过常数代换后,应用根本不等式求最值. 【详解】∵x>0,y >0,且9x+y=1,∴()111199911016y x x y x y x y x y ⎛⎫+=+⋅+=+++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当9y x x y =时成立,即11,124x y ==时取等号. 应选D.【点睛】此题考察了应用根本不等式求最值;关键是注意“1〞的整体代换和几个“=〞必须保证同时成立.x 的不等式0ax b -<的解集是()1,+∞,那么关于x 的不等式()()30ax b x +->的解集是()A.()(),13,-∞-+∞B.()1,3C.()1,3-D.()(),13,-∞⋃+∞【答案】C 【解析】关于x 的不等式0ax b -<,即ax b <的解集是()1,,0a b +∞∴=<,∴不等式()()30ax b x +->,可化为()()130x x +-<,解得13x ,∴所求不等式的解集是()1,3-,应选C.k 的直线l 与椭圆22:143x y C +=交于A ,B 两点,线段AB 的中点为(1,)M m 〔0m >〕,那么k 的取值范围是〔〕A.12k<- B.1122k -<< C.12k >D.12k <-,或者12k >【答案】A 【解析】 【分析】 先设11(,)A x y ,22(,)B x y ,再由点差法求出34k m=-,再由点(1,)M m ,0m >在椭圆内,求出m 的范围即可得解.【详解】解:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,又点A ,B 在椭圆22:143x y C +=上,那么2211143x y +=,2222143x y +=,两式相减可得:12121212()()()()043x x x x y y y y -+-++=,又1212y y k x x -=-,12122,2x x y y m +=+=那么12123344x x ky y m+=-⋅=-+,又点(1,)M m ,0m >在椭圆内,那么21143m +<,那么302m <<, 所以12k<-, 应选:A.【点睛】此题考察了椭圆中的中点弦问题,重点考察了点差法,属根底题.二.多项选择题:{}n a 是等差数列,n S 是其前项的和,且56S S <,678S S S =>,那么以下结论正确的选项是〔〕A.0d< B.70a =C.95S S >D.6S 与7S 均为n S 的最大值【答案】ABD 【解析】 【分析】 由{}n a 是等差数列,n S 是其前项的和,且56S S <,678S S S =>,那么60a >,70a =,80a <,780a a +<,再代入逐一检验即可得解.【详解】解:由{}n a 是等差数列,n S 是其前项的和,且56S S <,678S S S =>,那么6650a S S =->,7760a S S =-=,8870a S S =-<,78860a a S S +=-<,那么数列{}n a 为递减数列,即选项A ,B 正确,由959876872()0S S a a a a a a -=+++=+<,即95S S <,即选项C 错误,由126789...0...a a a a a a >>>==>>>,可得6S 与7S 均为n S 的最大值,即选项D 正确,应选:ABD.【点睛】此题考察了等差数列的性质,重点考察了运算才能,属根底题. 10.以下说法不正确的选项是〔〕 A.假设x ,0y >,2x y +=,那么22x y +的最大值为4B.假设12x <,那么函数1221y x x =+-的最大值为1-C.假设x ,0y >,3x y xy ++=,那么xy 的最小值为1D.函数2y =的最小值为4【解析】 【分析】由均值不等式逐一判断即可得解,一定要注意取等的条件.【详解】解:对于选项A ,x,0y >,2x y +=,那么224x y +≥=,当且仅当22x y =,即x y =时取等号,即22x y +的最小值为4,即A 错误;对于选项B ,当12x<,那么函数1221y x x =+-1(12)11112x x =--++≤-+=--,当且仅当11212x x-=-即0x =时取等号,即B 正确;对于选项C ,假设x ,0y >,3x y xy ++=,那么3xy +≤,即01<≤,即1xy ≤,那么xy 的最大值为1,即C 错误;对于选项D ,函数24y ==+≥=,当且仅当=,即x=D 正确,即不正确的选项是选项A,C , 应选:AC.【点睛】此题考察了均值不等式的应用,重点考察了运算才能,属根底题.1:11p x >-〕 A.12x << B.12x -<< C.21x -<<D.22x -<<【答案】BD【分析】先解分式不等式,再利用充分必要条件逐一判断即可得解. 【详解】解:由1210(1)(2)01211x x x x x x ->⇔<⇔--<⇔<<--, 12x <<的充要条件,选项B 为12x <<的必要不充分条件, 选项C 为12x <<的既不充分也不必要条件, 选项D 为12x <<的必要不充分条件, 应选:BD.【点睛】此题考察了分式不等式的解法,重点考察了充分必要条件,属根底题.()222210x y a b a b+=>>的左,右焦点是12F F P 、,是椭圆上一点,假设122PF PF =,那么椭圆的离心率可以是〔 〕 A.14B.13C.12D.23【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆的定义和题设条件122PF PF =,求得1242,33PF a PF a ==,再在12PF F ∆中,结合三角形的性质,得到223a c ≤,求得离心率的范围,即可求解. 【详解】由椭圆的定义,可得122PF PF a+=,又由122PF PF =,解得1242,33PF a PF a ==, 又由在12PF F ∆中,1212||PF PF F F -≤,可得223a c ≤,所以13c e a =≥,即椭圆的离心率e 的取值范围是1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 应选:BCD .【点睛】此题主要考察了椭圆的离心率的求解,其中解答中纯熟椭圆的离心率的概念,合理应用椭圆的定义和三角形的性质,得到关于,a c 的不等式是解答的关键,着重考察了推理与运算才能,属于中档试题. 三.填空题:1x ∀>,2210x ax --<〞的否认是________________________.【答案】“01x ∃>,200210x ax --≥〞【解析】 【分析】1x ∀>,2210x ax --<〞的否认是“01x ∃>,200210x ax --≥〞,故答案为:“01x ∃>,200210x ax --≥〞.14.假设数列{a n }的前n 项和24n nS =-,那么{a n }的通项公式是______【答案】a n=12,12,2n n n --=⎧⎨≥⎩.【解析】【分析】由题意得11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-⎩,求出n a 即可.【详解】∵数列{a n }的前n 项和24n n S =-,∴当1n =时,a 1=S 1=2-4=-2,当n ≥2时,()11112424222n n n n n nn n S a S ----==--=---=.检验:当1n =时,12a =-不适宜上式,∴{a n}的通项公式是a n=12,12,2n n n --=⎧⎨≥⎩.故答案为a n =12,12,2n n n --=⎧⎨≥⎩.【点睛】此题考察数列的前n 项和与通项公式的关系,解题时要认真审题,属于根底题.111ABC A B C -中,90ACB ∠=,12AA =,1AC BC ==,那么异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________.【答案】3010【解析】 【分析】先找出线面角,运用余弦定理进展求解【详解】连接1AB 交1A B 于点D ,取11B C 中点E ,连接DE ,那么1DE AC ,连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111RtAC B 中,111AC =,1111122C E C B == 15A E ∴=同理可得16A D =5DE = 222165530cos 10652A DE +-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,∴异面直线1A B 与1AC 30【点睛】此题主要考察了异面直线所成的角,考察了空间想象才能,运算才能和推理论证才能,属于根底题.1F ,2F 为椭圆22122:1x y C a b +=〔0a b >>〕和双曲线22222:1x y C a b -=''〔0a '>,0b '>〕的公一共焦点,点P 为两曲线的一个交点,且满足01290F PF ∠=,设椭圆与双曲线的离心率分别为1e ,2e ,那么221211e e +=___________. 【答案】2 【解析】 【分析】先结合椭圆及双曲线的定义可得2'2a a +22c =,再结合离心率公式求解即可.【详解】解:设P 为双曲线右支上的任意一点,点1F ,2F 分别为左、右交点, 由椭圆定义有122PF PF a +=,由双曲线定义有'122PF PF a -=,那么212()PF PF +212()PF PF +-=22122()PF PF +2'24()a a =+,即2212PF PF +2'22()a a =+,又01290F PF ∠=,那么222124PF PF c +=,即2'2a a +22c =,所以2'2222a a c c +=, 即221211e e +=2, 故答案为:2.【点睛】此题考察了椭圆及双曲线的定义,重点考察了离心率的求法,属中档题.四.解答题:()21332z a i a =+-+,()2231z a i =++〔a R ∈,i 是虚数单位〕. 〔1〕假设复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限,务实数a 的取值范围 〔2〕假设虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根,务实数m 的值.【答案】〔1〕21a -<<-;〔2〕13. 【解析】 【分析】〔1〕由复数在复平面上对应点落在的象限列不等式求解即可; 〔2〕由虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根,那么1z 也是实系数一元二次方程260x x m -+=的根,再结合根与系数的关系求解即可.【详解】解:〔1〕由条件得,()21232342z z a a i a ⎛⎫-=-+-- ⎪+⎝⎭因为12z z -在复平面上对应点落在第一象限,故有23202340a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩,即210241a a a a +⎧<⎪+⎨⎪><-⎩或,即12241a a a ⎧-<<-⎪⎨⎪><-⎩或, 解得21a -<<-.〔2〕因为虚数1z 是实系数一元二次方程260x x m -+=的根,所以1z 也是实系数一元二次方程260x x m -+=的根,所以11662z z a +==+,即1a =-, 把1a =-代入,那么132z i =-,132z i =+,所以22113(2)13mz z =⋅=+-=.【点睛】此题考察了复数的运算,重点考察了根与系数的关系,属根底题.{}n a 的前n 项和为n S ,满足312S =,且124,,a a a 成等比数列.〔1〕求n a 及n S ;〔2〕设2na n n Sb n⋅=,数列{}n b 的前n 项和为nT,求n T .【答案】〔1〕2n a n =;2n S n n =+或者4n a =,4n S n =;〔2〕1(32)489n n n T ++⋅-=或者64n T n =【解析】 【分析】 〔1〕先设等差数列{}n a 的公差为d ,根据题中条件列出方程组,求出首项和公差,结合公式即可求出结果;〔2〕先由〔1〕得到(1)4nn b n =+⋅,或者64n b =,再由错位相减法或者常数列求和,即可求出结果.【详解】〔1〕设等差数列{}n a 的公差为d ,因为312S =,且124,,a a a 成等比数列,所以有322214312S a a a a ==⎧⎨=⎩,即121114()(3)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩,解得12a d ==或者140a d =⎧⎨=⎩, 所以1(1)2na a n d n =+-=,21()2n n n a a S n n +==+;或者4n a =,4n S n =. 〔2〕由〔1〕可得22(1)2(1)4n a n nn n S n n b n n n ⋅+⋅===+⋅,或者2n a n n S b n⋅={}n b 的前n 项和为n T ,当(1)4nn b n =+⋅时,所以23123...243444...(1)4nn n T b b b b n =++++=⋅+⋅+⋅+++⋅, 因此,23414243444...(1)4n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅,两式作差得2341324444...4(1)4nn n T n +-=⋅+++++-+⋅,整理得1(32)489n n n T ++⋅-=.当64nb =时,64n T n =.【点睛】此题主要考察等差数列,以及数列的求和,熟记等差数列的通项公式、求和公式,以及错位相减法求数列的和即可,属于根底题.〔1〕,x R ∀∈,不等式恒成立,求m 的范围; 〔2〕1x ∀>,不等式恒成立,求m 的范围; 【答案】〔1〕(0,4)m ∈;〔2〕m (0,)∈+∞.【解析】 【分析】〔1〕不等式转化为二次不等式,利用判别式小于0,即可判断不等式恒成立,求m 范围; 〔2〕通过对一切1x >的实数不等式恒成立,判断对称轴的位置,以及(1)f 的值,即可求m 范围.【详解】〔1〕不等式244x mx x m +>+-,转化为:不等式2440x mx x m +--+>,所以△2(4)4(4)0m m =---<,解得:(0,4)m ∈. 〔2〕不等式244x mx x m +>+-,转化为不等式2440x mx x m +--+>令2()44f x x mx x m =+--+,对一切1x >的实数不等式恒成立,转化为:412(1)0mf -⎧⎪⎨⎪⎩或者△0<,所以41210m-⎧⎪⎨⎪⎩或者2(4)4(4)0m m -+-<,解得:0m >.所以m(0,)∈+∞.【点睛】此题考察含参数不等式、恒成立问题,考察分类讨论思想和运算求解才能.P ABCD -中,PA ⊥面ABCD ,底面ABCD 为菱形,且有1AB =,AP =120BAD ∠=︒,E 为PC 中点.〔1〕证明:AC ⊥面BED ;〔2〕求二面角E AB C --的平面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2)二面角E ﹣AB ﹣C 的平面角的余弦值为11【解析】 【分析】〔1〕因为菱形的对角线互相垂直,所以AC BD ⊥,再由PAC ∆的中位线,得到//EO PA ,结合PA ⊥面ABCD ,所以EO ⊥面ABCD ,从而AC EO ⊥.最后根据直线与平面垂直的断定定理,得到AC ⊥面BED ;〔2〕以A 为原点,AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴,建立如下列图坐标系,那么可得到A 、B 、C 、E 各点的坐标,从而得到向量AB 、AC 、AE 的坐标,然后利用垂直向量数量积为零的方法,分别求出平面ABE 和平面ABC 的一个法向量,结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值.最后根据题意,二面角E AB C --是锐二面角,得到二面角E AB C --平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值.【详解】解:〔1〕设O 为底面ABCD 的中心,连接EO ,底面ABCD 为菱形,AC BD ∴⊥PAC ∆中,E 、O 分别是PC 、PA 的中点又PA ⊥面ABCD ,EO ∴⊥面ABCDAC ⊂面ABCD ,AC EO ∴⊥又BD 、EO 是平面BED 内的两条相交直线AC ∴⊥面BED〔2〕以A 为原点,AD 、AP 所在直线分别为y 轴、z 轴,建立如下列图坐标系,那么可得111(0,0,0),,0),,0),224A B C E - 设1111(,,)nx y z =是平面ABE 一个法向量由111111111···()?00221····0442n AB x y z n AE x y z ⎧=+-+=⎪⎪⎨⎪=++=⎪⎩,解得1111y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以取11x =,1y =1z =,可得1(1,n =, 因为PA ⊥平面ABC ,所以向量PA即为平面ABC 的一个法向量,设2PA n ==根据题意可知:二面角E AB C --是锐二面角,其余弦值等于12cos ,n n ∴二面角E AB C --的平面角的余弦值为11.【点睛】此题给出底面为菱形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥,证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之值,着重考察了线面垂直的断定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点,属于中档题.xOy 中,抛物线C :y 2=2px 〔p >0〕的焦点为F ,过F 垂直于x 轴的直线与C 相交于A 、B两点,△AOB 的面积为2.〔1〕求抛物线C 的方程; 〔2〕假设过P 〔2p-,0〕的直线与C 相交于M ,N 两点,且PM =2PN ,求直线l 的方程. 【答案】〔1〕y 2=4x 〔2〕)13y x =+或者)13y x =-+. 【解析】 【分析】〔1〕先得出直线AB 的方程,将直线AB 的方程与抛物线C 的方程联立,求出交点A 、B 的坐标,可求出|AB |,然后利用三角形的面积公式可求出p 的值,即可求出抛物线的方程;〔2〕设直线l 的方程为x =my ﹣1,设点M 〔x 1,y 1〕、N 〔x 2,y 2〕,将直线l 的方程与抛物线C 的方程联立,并列出韦达定理,由2PM PN =得出y 1=2y 2,并将此关系式代入韦达定理,可求出m 的值,即可得出直线l 的方程.【详解】〔1〕易知直线AB 的方程为2px =,将该直线方程代入抛物线C 的方程得2222py p p =⋅=,∴2p A p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,、2p B p ⎛⎫- ⎪⎝⎭,,且|AB |=2p , ∴△AOB 的面积为2122222AOBp p Sp =⋅⋅==,∵p >0,解得p =2. 因此,抛物线C 的方程为y 2=4x ;〔2〕设直线MN 的方程为214x my y x=-⎧⎨=⎩,设点M 〔x 1,y 1〕、N 〔x 2,y 2〕,y 2﹣4my +4=0 △=16m 2﹣16>0,解得m <﹣1或者m >1.()111PM x y =+,,()221PN x y =+,,∵2PM PN =,∴y 1=2y 2,由韦达定理得y 1+y 2=3y 2=4m ,那么243my =,22212243222()439m m y y y ==⨯==,得4m =±,因此,直线l 的方程为14x y =±-,即()13y x =+或者()13y x =-+. 【点睛】此题考察直线与抛物线的综合问题,考察韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用,考察计算才能,属于中等题.M 是圆1F :22(36x y ++=上的一动点,点2F ,点P 在线段1MF 上,且满足22()0PM PF MF +⋅=.〔1〕求点P 的轨迹C 的方程; 〔2〕设曲线C 与x 轴的正半轴,y 轴的正半轴的交点分别为点A ,B ,斜率为13的动直线l 交曲线C 于D 、E 两点,其中点D 在第一象限,求四边形ADBE 面积的最大值.【答案】〔1〕2219x y +=;〔2〕【解析】 【分析】〔1〕由向量的数量积的运算,可得2PF PM=,化简得12126PF PF F F +=>=定义,即可求得动点的轨迹方程. 〔2〕设直线l 的方程为13y x m =+,联立方程组,利用根与系数的关系和弦长公式,求得 1212,x x x x +和DE,在利用点到直线的间隔公式,求得点A 到直线DE 的间隔1d 和点B 到直线DE的间隔为2d ,得出四边形ADBE 面积,即可求解.【详解】〔1〕由题意,()()()2222PM PF MF PM PF PF PM +⋅=+⋅-2220PF PM =-=,∴2PF PM =.∴1211PF PF PF PMFM +=+=126F F =>= ∴点P 的轨迹是以点1F ,2F 为焦点且长轴长为6的椭圆,即26a =,2c=,∴3a =,c =2221b a c =-=.即点P 的轨迹C 的方程为2219x y +=.〔2〕由〔1〕可得()3,0A ,()0,1B .设直线l 的方程为13y x m =+,由点D 在第一象限,得11m -<<,()11,D x y ,()22,E x y ,由221399y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩,得2226990x mx m ++-=, 那么123x x m +=-,212992m xx -=,DE==,点A到直线DE的间隔为131md+==,点B到直线DE的间隔为231md-==∴四边形ADBE面积()1212ADE BDES S S DE d d∆∆=+=⨯+12==,又11m-<<,∴当0m=时,S获得最大值即四边形ADBE面积的最大值为【点睛】此题主要考察椭圆的定义和HY方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目,通常联立直线方程与椭圆〔圆锥曲线〕方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系进展求解,此类问题易错点是复杂式子的变形才能缺乏,导致错解,能较好的考察考生的逻辑思维才能、运算求解才能、分析问题解决问题的才能等.。

高二数学上学期期末考试试题含解析_3

高二数学上学期期末考试试题含解析_3

华东师范大学第二附属中学2021-2021学年高二数学上学期期末考试试题〔含解析〕一、填空题2212x y +=的左焦点的坐标为________. 【答案】(1,0)- 【解析】 【分析】由椭圆的HY 方程求得椭圆的c ,可求得椭圆的左焦点坐标.【详解】根据椭圆2212x y +=的HY 方程得2222,1,1,1a b c c ==∴=∴=,所以左焦点的坐标为(1,0)-, 故答案为:(1,0)-.【点睛】此题考察椭圆的根本几何性质,属于根底题.12z i =+,那么||z =________.【解析】 【分析】根据复数的模的计算公式可得值.【详解】∵12z i =+,∴||z ==【点睛】此题考察复数的模的计算,属于根底题.(2,1)n =-是直线l 的一个法向量,那么l 的倾斜角的大小为________〔结果用反三角函数值表示〕【答案】arctan 2 【解析】 【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量,从而得到直线的斜率,根据tan k α=,即可求解直线的倾斜角。

【详解】由(2,1)n =-是直线l 的一个法向量,所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2),直线l 的倾斜角为α,可得tan 2k α==, 所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。

故答案为:tan 2arc 。

【点睛】此题主要考察了直线的方向向量,以及直线的斜率与倾斜角的应用,其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键,着重考察了计算才能,属于根底题。

221x y a+=的虚轴长是实轴长的2倍,那么a =________. 【答案】4- 【解析】 【分析】利用虚轴长和实轴长的定义,建立方程可求得参数的值。

【详解】双曲线221x y a +=的HY 方程为 221x y a-=-,虚轴的长是 2,由题意知 ,∴4a =-, 故答案为:4-.【点睛】此题考察双曲线的HY 方程和简单的几何性质,关键在于分清双曲线HY 方程中的,a b ,属于根底题.(1,2)C -且经过点(5,1)P 的圆的方程为________.【答案】22(1)(2)25x y -++= 【解析】 【分析】求出圆的半径,即可写出圆的HY 方程.【详解】圆心为(1,2)C -,那么圆的半径为5=,所以所求的圆的方程为: 22(1)(2)25x y -++=, 故答案为: 22(1)(2)25x y -++=.【点睛】此题考察圆的HY 方程的求得,关键在于根据条件:圆过点,求得圆的半径,属于根底题.4π的直线过抛物线22y x =的焦点F ,交抛物线于A 、B 两点,那么||AB =______. 【答案】4 【解析】 【分析】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,再求得直线的方程,将直线的方程与抛物线的方程联立得出交点的坐标的关系123x x +=,再由抛物线的定义可求得线段的长. 【详解】由抛物线22y x =得焦点1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭,∴倾斜角为4π的直线过焦点F 的方程为:12y x =-,与抛物线22y x =联立得21304x x -+=,令()11,A x y ,()22,B x y ,那么123x x +=,由抛物线的定义得1211||,||22AF x BF x =+=+,∴22111141||22AB x x x x =+++++==, 故答案为:4.【点睛】此题考察抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系,关键在于运用抛物线的定义转化了求线段的长的关系,属于根底题.xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,假设直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公一共点,那么k 的最大值为__________. 【答案】43【解析】【详解】∵圆C 的方程为x 2+y 2-8x+15=0,整理得:〔x-4〕2+y 2=1,即圆C 是以〔4,0〕为圆心,1为半径的圆;又直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公一共点,∴只需圆C ′:〔x-4〕2+y 2=4与直线y=kx-2有公一共点即可.设圆心C 〔4,0〕到直线y=kx-2的间隔 为d,2d =≤即3k 2≤4k,∴0≤k≤43,故可知参数k 的最大值为43. 8.在△ABC 中,2AB =,3C π∠=,那么AB AC ⋅的最大值为_______.2+ 【解析】 【分析】根据向量的数量积运算和余弦定理得2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc+-=+,再由正弦定理和三角函数的恒等变换得,a A b B ==,()222216sin sin 3b a B A -=-23A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,可求得最值. 【详解】在△ABC 中,2AB =,3C π∠=,由正弦定理得2sin 2AB R C ==, 3R ∴=, ∴2cos AB AC b A ⋅=⋅⋅22222b c a b bc +-=⋅222222242222b ac b a b a -+-+-===+,2sin sin sin a b c R AB C ===, ,a A b B ∴==,()222216sin sin 3b a B A ∴-=-161cos 21cos 2322B A --⎛⎫=- ⎪⎝⎭8(cos 2cos 2)3A B =-82cos 2cos 233A A π⎡⎤⎛⎫=--⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦81cos 2cos 22322A A A ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭ 233A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭, ()22max3b a∴-=, 22max222b a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭, 所以AB AC ⋅的2, 故答案为:23+. 【点睛】此题考察了正弦定理,余弦定理和三角形的面积公式,以及向量的数量积运算,纯熟掌握正弦定理进展三角形的边角互化,运用三角函数求最值是解此题的关键,属于中档题.22:143x y Γ+=的右焦点为F ,过原点O 的直线与椭圆Γ交于A 、B 两点,那么11||||AF BF +的取值范围为________. 【答案】4[1,]3【解析】 【分析】利用椭圆的定义设|AF |=x ∈[1,3],那么|BF |=4﹣x ,构造函数()[]11134f x x x x=+∈-,,,利用导数求其范围即可. 【详解】取椭圆左焦点F ′,连接AF ,BF ,AF ′,BF ′,易知四边形AFBF ′为平行四边形,即有|AF |+|BF |=|AF |+|AF ′|=2a =4,设|AF |=x ∈[1,3],那么|BF |=4﹣x ,故11114AF BF x x+=+-, 令()[]11134f x x x x=+∈-,,,那么()()222222228211(4)'(4)(4)(4)x x x f x x x x x x x ---=-==---,易知函数f 〔x 〕在[1,2〕上单调递减,在[2,3]上单调递增, ∴()()()4()13()213max min f x f f f x f =====,, 即11AF BF +的取值范围为413⎡⎤⎢⎥⎣⎦,. 故答案为:413⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.【点睛】此题考察直线与椭圆的位置关系,关键在于由中心对称的转化,考察椭圆的定义及导数的运用,考察转化思想及函数思想,属于中档题.C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动,且23AOB π∠=,假设OC OA OB x y =+,那么23x y +的取值范围为________.【答案】 【解析】 【分析】设OA 为直角坐标系的x OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,求出三个向量坐标,进而利用同角三角函数的平方关系,可得到()23x y θϕ+=+(其中tan ϕ=),结合三角函数的图象和性质,可得答案.【详解】设OA 为直角坐标系的x 轴,建立平面直角坐标系如下列图所示,记OC 与OA 夹角为203πθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭,那么(cos ,sin ),(1,0)OC OA θθ==,1,22OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,代入OC OA OB x y =+,有(cos ,sin )(,0),22y x θθ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭,∴cos sin 2y x θθ-==,∴cos ,x y θθθ=+=,故()23x y θϕ+=+(其中tan ϕ=203πθ≤≤,23πϕθϕϕ∴≤+≤+,而sin ϕ=,2sin 3πϕ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭,当2πθϕ+=时,23x y +,当θϕϕ+=,即0θ=时,23x y +取最小值2,∴23x y +的取值范围为257[2,]3, 故答案为: 257[2,]3.【点睛】此题考察向量的线性关系,运用三角函数的恒等变换和性质求最值,关键在于建立适宜的平面直角坐标系,将所求的式子转化为关于角的三角函数,属于中档题. 二、 选择题12i 是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根,那么〔 〕A. 2,3b c ==B. 2,1b c ==-C. 2,1b c =-=-D.2,3b c =-=【答案】D 【解析】【分析】由题意,将根代入实系数方程x 2+bx +c =0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a ,b 的方程组102220bc b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩,解方程得出a ,b 的值即可选出正确选项【详解】由题意12+i 是关于x 的实系数方程x 2+bx +c =0 ∴2i ﹣2+b 2++c =0,即()12220b c b i -+++=∴102220b c b -++=⎧⎪⎨=⎪⎩,解得b =﹣2,c =3应选:D .【点睛】此题考察复数相等的充要条件,解题的关键是纯熟掌握复数相等的充要条件,能根据它得到关于实数的方程,此题考察了转化的思想,属于根本计算题x ,y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩那么z =2x +y 的最小值是〔 〕A. -15B. -9C. 1D. 9【答案】A 【解析】 【分析】作出不等式组表示的可行域,平移直线z =2x +y ,当直线经过B 〔-6,-3〕时,获得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域,结合目的函数的几何意义得函数在点B 〔-6,-3〕处获得最小值z min =-12-3=-15.应选:A【点睛】此题考察二元一次不等式组表示平面区域,解决线性规划问题,通过平移目的函数表示的直线求得最值.10x y -+=与圆22()2x a y -+=有公一共点,那么实数a 的取值范围是〔 〕A. [3,1]--B. [1,3]-C. [3,1]-D.(,3][1,)∞-+∞【答案】C 【解析】由题意得圆心为(,0)a . 圆心到直线的间隔 为d =, 由直线与圆有公一共点可得≤12a +≤,解得31a -≤≤.∴实数a 取值范围是[3,1]-. 选C .:1l x y +=与双曲线2221x y a -=〔0a >〕交于A 、B 两点,与y 轴交于点D ,假设512DA DB =,那么a 的值是( ) A. 1713 B. 1913C.2113D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先由直线方程与双曲线方程联立得出A 、B 两点的坐标关系,再由512DA DB =找到A 、B 两点横坐标的关系,结合根与系数的关系得到关于a 的方程,从而求得选项.【详解】由直线方程与双曲线方程联络222201x a y a y x ⎧--=⎨=-+⎩得()22221220x a x a α-+-=,设()()()1122,,,,0,1A x y B x y D ,∵512DA DB =,∴()()11225,1,112x y x y -=-,∴12512x x =,212221a x x a -+=-,212221a x x a-⋅=-,∴1212x x x x +=⋅,2222551212x x x +=,211731717,512512x x ∴==⨯=, ∴2122171725121a x x a -⋅=⨯=-,解得1713a =, 应选:A.【点睛】此题是考察双曲线和直线位置关系的综合题目,解题的关键是如何利用的向量条件构造关于a 的方程,还考察了一元二次方程根与系数的关系,并且对学生的运算才能要求较高,属于中档题.三、解答题x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根的绝对值的和为2,务实数m 的值.【答案】0m =【解析】【分析】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ,根据根与系数的关系得212m 103x x +⋅=>,12,x x 同号,分两根全为正,和两根全为负分别求解可得值. 【详解】设关于x 的方程2236(1)10x m x m --++=的两根为12,x x ,那么212m 103x x +⋅=>, 12,x x ∴同号,要么全为正,要么全为负.假设全为正,那么122(1)2x x m +=-=,解得2m =,此时方程为23650x x -+=,方程无解,所以舍去;假设全为负,那么122(1)2x x m +=-=-,解得0m =,此时方程为23610x x ++=方程有两个负根,且绝对值的和为2,综上所述,m 的值是0.【点睛】此题考察一元二次方程的根与系数的关系,求解时,注意带回验证是否有根,是否满足题意,属于根底题.(1,)P a 在双曲线22:14y x Γ-=上. (1)求双曲线的两条渐近线方程;(2)求点(1,)P a 到两条渐近线间隔 的乘积.【答案】(1)2y x =±;(2)45. 【解析】【分析】 (1)由双曲线22:14y x Γ-=得,1,2a b ==,可求得双曲线的渐近线的方程;(2)由点(1,)P a 在双曲线22:14y x Γ-=上,求得0a =,再根据点到直线的间隔 公式可求得点(1,0)P 到两条渐近线间隔 的乘积.【详解】(1)由双曲线22:14y x Γ-=得,1,2a b ==,所以双曲线的渐近线的方程为:2y x =±,(2)∵点(1,)P a 在双曲线22:14y x Γ-=上,∴2114a -=,0a ∴=,∴(1,0)P , (1,0)P 到2y x =的间隔 为1d =,(1,0)P 到2y x =-的间隔 为2d =1245d d ∴⋅==, 所以点(1,0)P 到两条渐近线间隔 的乘积为45. 【点睛】此题考察双曲线的简单的几何性质,和双曲线上的点到两渐近线的间隔 之积,属于根底题.222:1y x a Γ+=〔0a >〕经过点2,直线l 与椭圆交于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点,11(,)p ax y =,22(,)q ax y =.(1)求椭圆的方程;(2)假设p q ⊥,直线l 经过点F ,求直线l 的方程.【答案】(1)2214y x +=;(2)y =. 【解析】【分析】(1) 根据椭圆222:1y x a Γ+=〔0a >〕经过点,代入可求得 a 得椭圆的方程;(2)显然直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y kx =+()22410k x ++-=,可得出根与系数的关系,再根据向量的垂直关系可得到关于k 的方程,可求得k ,从而得到直线l 的方程.【详解】(1) ∵椭圆222:1y x a Γ+=〔0a >〕经过点2,21314a ∴+=, 24a ∴=, 0,2a a >∴=,∴椭圆的方程为: 2214y x +=; (2)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为:0x =,(0,2),(0,2),(0,2),(0,2)A B p q -==-,显然不满足p q ⊥,∴直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y kx =由2214y x y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩,得()22410k x ++-=,∵11(,)A x y 、22(,)B x y,那么122122241416160x x k x x k k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪∆=+>⎪⎪⎩, 又()()11222,,2,,p x y q x y p q ==⊥,121240p q x x y y ∴⋅=+=,即(121240x x kx kx +=,()()21212430,k x x x x ∴+++=()()224(1)()340k k ∴+⨯-⋅-++=,解得22,k k =∴=所以直线l的方程为y =+【点睛】此题考察椭圆方程的求解,直线与椭圆的位置关系,以及向量的垂直关系的数量积表示,关键在于将目的条件转化为直线与椭圆的交点的坐标的韦达定理上,属于常考题,难度题. 2:2y px Γ=〔0p >〕经过点(1,2)P ,直线l 与抛物线Γ有两个不同的交点A 、B ,直线PA 交y 轴于M ,直线PB 交y 轴于N .(1)假设直线l 过点(0,1)Q ,求直线l 的斜率的取值范围;(2)假设直线l 过点(0,1)Q ,设(0,0)O ,QM QO λ=,QN QO μ=,求11λμ+的值;(3)假设直线l 过抛物线Γ的焦点F ,交y 轴于点D ,DA AF λ=,DB BF μ=,求λμ+的值.【答案】(1)(,1)-∞且3k ≠-且0k ≠;(2)112λμ+=;(3)1-.【解析】【分析】(1)由题意易得直线斜率存在且不为0,且直线PA 、PB 斜率存在,设出直线方程,并联立抛物线方程,根据交点有两个,得出>0∆,解不等式即可得直线斜率的范围.(2)根据QM QO λ=,QN QO μ=,得出λ、μ与点,M N 坐标之间的关系,再根据,,M A P 在同一直线上,,,N B P 在同一直线上,得出λ,μ与点,A B 坐标之间的关系,根据〔1〕中联立所得的方程得出点,A B 横坐标之间的关系,对原式进展化简,即可得11λμ+的值.(3) 设直线l 的方程为:()10,x my m =+≠联立直线与抛物线的方程得出点,A B 纵坐标之间的关系,再由DA AF λ=,DB BF μ=,得出λ、μ与点,A B 坐标之间的关系,对λμ+化简可求得λμ+的值.【详解】〔1〕因为抛物线2:2y px Γ=经过点(1,2)P ,所以42p =,所以2p =,所以抛物线Γ的解析式为24y x =。

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【压轴题】高二数学上期末试题(及答案)一、选择题1.一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体,若将这些小正方体均匀地搅混在一起,从中任意取出一个,则取出的小正方体两面涂有油漆的概率是( ) A .B .C .D .2.气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于022C .现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据(记录数据都是正整数): ①甲地:5个数据是中位数为24,众数为22; ②乙地:5个数据是中位数为27,总体均值为24;③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8 则肯定进入夏季的地区有( ) A .①②③B .①③C .②③D .①3.将A ,B ,C ,D ,E ,F 这6个字母随机排成一排组成一个信息码,则所得信息码恰好满足A ,B ,C 三个字母连在一起,且B 在A 与C 之间的概率为( ) A .112B .15C .115D .2154.下面的程序框图表示求式子32×35×311×323×347×395的值, 则判断框内可以填的条件为( )A .90?i ≤B .100?i ≤C .200?i ≤D .300?i ≤5.设A 为定圆C 圆周上一点,在圆周上等可能地任取一点与A 2倍的概率( ) A .34B .35C .13D .126.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为63,则判断框中应填入的条件为( )i≤A.4i≤B.5i≤C.6i≤D.77.如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图(如:第三季度华为销量约占50%,苹果销量约占20%,三星销量约占30%).根据该图,以下结论中一定正确的是()A.华为的全年销量最大B.苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C.华为销量最大的是第四季度D.三星销量最小的是第四季度8.运行如图所示的程序框图,若输出的S的值为480,则判断框中可以填() i>A.60B .70i >C .80i >D .90i >9.赵爽是我国古代数学家、天文学家大约在公元222年赵爽为《周碑算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)类比“赵爽弦图”,赵爽弦图可类似地构造如图所示的图形,它是由个3全等的等边三角形与中间的一个小等边三角形组成的一个大等边三角形,设DF =2AF ,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形的概率是( )A .B .C .D .10.设数据123,,,,n x x x x 是郑州市普通职工*(3,)n n n N ≥∈个人的年收入,若这n 个数据的中位数为x ,平均数为y ,方差为z ,如果再加上世界首富的年收入1n x +,则这1n +个数据中,下列说法正确的是( )A .年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变B .年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大C .年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变D .年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变11.从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动,每天一人,则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为( ) A .13B .512C .12D .71212.下表是某两个相关变量x ,y 的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+,那么表中t 的值为( ) x 3 4 5 6 y2.5t44.5A .3B .3.15C .3.5D .4.5二、填空题13.已知样本数据为40,42,40,a ,43,44,且这个样本的平均数为43,则该样本的标准差为_________.14.已知实数]9[1x ∈,,执行如图所示的流程图,则输出的x 不小于55的概率为________.15.现有10个数,其平均数为3,且这10个数的平方和是100,则这组数据的标准差是______.16.如果执行如图的程序框图,那么输出的S =__________.17.甲、乙二人约定某日早上在某处会面,甲在7:00~7:20内某一时刻随机到达,乙在7:05~7:20内某一时刻随机到达,则甲至少需等待乙5分钟的概率是________.18.从边长为4的正方形ABCD 内部任取一点P ,则P 到对角线AC 的距离不大于2的概率为________.19.如图,在平放的边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落到红心阴影部分上,据此估计红心阴影部分的面积为____.20.对具有线性相关关系的变量,x y ,有一组观测数据(,)i i x y (1,2,3,,10i =),其回归直线方程是3ˆ2ˆybx =+,且121012103()30x x x y y y +++=+++=,则b =______.三、解答题21.某中学高二年级的甲、乙两个班中,需根据某次数学预赛成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次预赛他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86.(1)求出x ,y 的值,且分别求甲、乙两个班中5名学生成绩的方差、,并根据结果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛?(2)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名.求至少有1名来自甲班的概率. 22.在人群流量较大的街道,有一中年人吆喝“送钱”,只见他手拿一黑色小布袋,袋中有3只黄色、3只白色的乒乓球(其体积、质地完成相同),旁边立着一块小黑板写道:摸球方法:从袋中随机摸出3个球,若摸得同一颜色的3个球,摊主送给摸球者5元钱;若摸得非同一颜色的3个球,摸球者付给摊主1元钱. (1)摸出的3个球为白球的概率是多少?(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少?(3)假定一天中有100人次摸奖,试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱?23.某县一中学的同学为了解本县成年人的交通安全意识情况,利用假期进行了一次全县成年人安全知识抽样调查.已知该县成年人中40%的拥有驾驶证,先根据是否拥有驾驶证,用分层抽样的方法抽取了100名成年人,然后对这100人进行问卷调查,所得分数的频率分布直方图如下图所示.规定分数在80以上(含80)的为“安全意识优秀”.拥有驾驶证 没有驾驶证 合计得分优秀得分不优秀 25合计100(1)补全上面22⨯的列联表,并判断能否有超过99%的把握认为“安全意识优秀与是否拥有驾驶证”有关?(2)若规定参加调查的100人中分数在70以上(含70)的为“安全意识优良”,从参加调查的100人中根据安全意识是否优良,按分层抽样的方法抽出5人,再从5人中随机抽取3人,试求抽取的3人中恰有一人为“安全意识优良”的概率.附表及公式:()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++,其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82824.某公司为研究某产品的广告投入与销售收入之间的关系,对近五个月的广告投入x (万元)与销售收入y(万元)进行了统计,得到相应数据如下表:广告投入x(万元)91081112销售收入y(万元)2123212025(1)求销售收入y关于广告投入x的线性回归方程y bx a=+.(2)若想要销售收入达到36万元,则广告投入应至少为多少.参考公式:()()()121ni iiniix x y ybx x∧==--=-∑∑,ˆˆ•a yb x=-25.盒子里放有外形相同且编号为1,2,3,4,5的五个小球,其中1号与2号是黑球,3号、4号与5号是红球,从中有放回地每次取出1个球,共取两次.(1)求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率;(2)求取到的2个球中至少有1个是红球的概率.26.某学校高一、高二、高三的三个年级学生人数如下表按年级分层抽样的方法评选优秀学生50人,其中高三有10人.(1)求z的值;(2)用分层抽样的方法在高一中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1名女生的概率;(3)用随机抽样的方法从高二女生中抽取8人,经检测她们的得分如下:9.4,8.6,9.2, 9.6,8.7,9.3,9.0,8.2,把这8人的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题1.C解析:C【解析】【分析】先求出基本事件总数n=27,在得到的27个小正方体中,若其两面涂有油漆,则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上,且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体,则两面涂有油漆的小正方体共有12个,由此能求出在27个小正方体中,任取一个其两面涂有油漆的概率.【详解】∵一块各面均涂有油漆的正方体被锯成27个大小相同的小正方体,∴基本事件总数n=27,在得到的27个小正方体中,若其两面涂有油漆,则这个小正方体必在原正方体的某一条棱上,且原正方体的一条棱上只有一个两面涂有油漆的小正方体,则两面涂有油漆的小正方体共有12个,则在27个小正方体中,任取一个其两面涂有油漆的概率P =故选:C 【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、正方体性质等基础知识,考查推理论证能力、空间想象能力,考查函数与方程思想,是基础题.2.B解析:B 【解析】试题分析:由统计知识①甲地:5个数据的中位数为24,众数为22可知①符合题意;而②乙地:5个数据的中位数为27,总体均值为24中有可能某一天的气温低于22C ,故不符合题意,③丙地:5个数据中有一个数据是32,总体均值为26,总体方差为10.8.若由有某一天的气温低于22C 则总体方差就大于10.8,故满足题意,选C 考点:统计初步 3.C解析:C 【解析】 【分析】将A ,B ,C 三个字捆在一起,利用捆绑法得到答案. 【详解】由捆绑法可得所求概率为242466A A 1A 15P ==. 故答案为C 【点睛】本题考查了概率的计算,利用捆绑法可以简化运算.4.B解析:B 【解析】 【分析】根据题意可知该程序运行过程中,95i =时,判断框成立,191i =时,判断框不成立,即可选出答案。

【详解】根据题意可知程序运行如下: 1S =,2i =; 判断框成立,33122S =⨯=,2215i =⨯+=; 判断框成立,3325S =⨯,25111i =⨯+=; 判断框成立,3332511S =⨯⨯,211123i =⨯+=; 判断框成立,3333251123S =⨯⨯⨯,223147i =⨯+=; 判断框成立,3333325112347S =⨯⨯⨯⨯,247195i =⨯+=;判断框成立,3333332511234795S =⨯⨯⨯⨯⨯,2951191i =⨯+=; 判断框不成立,输出3333332511234795S =⨯⨯⨯⨯⨯. 只有B 满足题意,故答案为B. 【点睛】本题考查了程序框图,属于基础题。

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