等边三角形的性质和判定

A M
C
D
B
2 如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线
MN交BC于M,交AB于N, C
求证:CM=2BM
M
B
A
N
2、在Rt△ABC 中， 如果∠BＣＡ＝ ９0° ， ∠A＝ 30 °，CD 是高，
（1）BD=1，则BC、AB各等于多少；
（2）求证：BD=1/2BC=1/4AB
等边三角形的判定:
名 称
图形
判定
等
三条边都相等的三角形
边
A
三个角都等于60°的三角形
三
角 形B
C 有一个角等于60°的等腰 三角形
将两个含有30°的直角三角板如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直
角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
A
B
C
D
∵△ABC与△ADC关于AC轴对称 ∴AB＝AD △ABD是等边三角形 又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝1/2AB
图形
等腰 三角形
等边 三角形
边
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
角 两底角相等 （等边对等角）
？
轴对称图形 是（三线合一）
一条对称轴
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形
等腰 三角形
等边 三角形
边
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
角
轴对称图形
两底角相等
A
你还能用其他
方法证明吗?
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
30°
B┓ C
在直角△ABC中
∵∠A＝30° ∴AC＝2BC
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
已知：在△ABC 中，∠A=∠B=∠C．求证：△ABC 是等边三角形．
证明：∵ ∠A =∠B，∠B =∠C ，
∴ BC =AC， AC =AB．
C
∴ AB =BC =AC．
∴ △ABC 是等边三角形．
A
B
探索星空：探究判定二
2、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形?
A
当顶角为60°时，两个底角各为60°.
是（三线合一）
（等边对等角）
一条对称轴
相等 每个角都等于60°
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形
等腰 三角形
等边 三角形
边
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
角
轴对称图形
两底角相等
是（三线合一）
（等边对等角）
一条对称轴
相等
是（三线合一）
每个角都等于60° 三条对称轴
解（1）由已知可求得
C
∠BＣD= 30 °
于是在Rt△ADC 与Rt△BDC
A
中用本定理得BC=2，AB=4
DB
（2）在Rt△ADC 与Rt△BDC运用本定理
BD=1/2BC
BC=1/2AB
∴ BD=1/2BC=1/4AB
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、 乙、 丙三家农户去种植,如果∠C＝90°∠A＝ 30°,要使这三家农户所得土地的大小和 形状都相同,请你试着分一分,在图上画出 来.
AC于E点
D
E
B
C
动脑思考，例题解析
例1 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分
别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.
证明： ∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
A
∵ DE∥BC，
∴ ∠B =∠ADE，∠C =∠AED．
∴ ∠A=∠ADE =∠AED． D
等边三角形的性质： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等 于60°.
A
符号语言： ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
B
C
探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什
么?
A
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角 的平分线都三线合一。（ 所有的高线，角平分 线，中线的长度相等。）
E
∴ △ADE 是等边三角形．
追问 本题还有其他证法吗？B
C
动脑思考，变式训练
变式1 若点D、E 在边AB、AC 的延长线上，且 DE∥BC，结论还成立吗？
证明：∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠A =∠ABC =∠ACB =60°． A
∵ DE∥BC，
∴ ∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形． 等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形．
等边三角形的判定方法:
1.三边相等的三角形是等边三角形.
•2.三个内角都等于60 °（或三个内 角都相等）的三角形是等边三角形. •3.有一个内角等于60 °的等腰三角 形是等边三角形.
B
D
A EC
解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A＝30° 可得 2BC＝AB, 2DE＝AD
∴BC＝1/2 ×7.4＝3.7m 又 AD＝1/2 AB ∴DE＝1/2 AD＝1/2 ×3.7＝1.85m
答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.
1 如图,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线 交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
探索星空：探究性质三
3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
A
Biblioteka Baidu
B
C
等边三角形的性质
1 .三条边相等
2.等边三角形的内角都相等,且等于60 ° 3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平 分线都三线合一. 4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个三 角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形
A
B
C
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理1： 三个角都相等的三角形是等边三角形．
符号语言：
C
在△ABC 中，
∵ ∠A=∠B =∠C ，
∴ △ABC 是等边三角形．
A
B
细心观察，探索性质
A
┓
C
B
请你说一说这节课的收获和体 验让大家与你一起分享 ？
教师寄语
愿你用勤奋的汗水 浇灌智慧的花朵
知识回顾 Knowledge Review
…
知识回顾
名 称
图形
性质
等
腰
A
两腰相等
三
等边对等角
角
形B
C 三线合一
轴对称图形
判定 两边相等 等角对等边
等边三角形: 三条边都相等的三角形. (正三角形) 等边三角形是特殊的等腰三角形.
创设情境，导入新知
请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合
你画的图形说出它们有什么区别和联系？
A
A
B
CB
已知：△ABC 是等边三角形 求证：∠A =∠B =∠C
=60°．
证明：∵ △ABC 是等边三角形，
∴ BC =AC，BC =AB．
A
∴ ∠A =∠B，∠A =∠C ．
∴ ∠A =∠B =∠C ．
∵ ∠A +∠B +∠C =180°，
∴ ∠A =60°．
B
C
∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
细心观察，探索性质
当底角为60°时，顶角为60°.
B
C
细心观察，探索性质
等边三角形的判定定理2： 有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
符号语言：
C
在△ABC 中，
∵ BC =AC，∠A =60°，
∴ △ABC 是等边三角形．
A
B
细心观察，概括归纳
判定等边三角形的方法： 从边的角度：等边三角形的定义； 从角的角度：等边三角形的两条判定定理．
１、下列四个说法中，不正确的有（Ｂ ） （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个
三个角都相等的三角形是等边三角形。 有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。
２、等边三角形的对称轴有（Ｃ） （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条
C
联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；
区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形
只有两条.
探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?
∵ AB=AC=BC
A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个
三角形中等边对等角)
B
C
∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
细心观察，探索性质
B
C
∴ ∠A =∠ADE =∠AED.
∴ △ADE 是等边三角形. D
E
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形， E D
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
A
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
细心观察，探索性质
问题 等边三角形除了用定义（即用边）来判定以 外，能否利用角来判定呢？
思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等 边三角形？
思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角 形？
三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三 角形．
探索星空：探究判定一
1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形?
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
∴ △ADE 是等边三角形．
B
C
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴 ,将此图变成四个等边三角形.
提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么 想想里面吧.
等边三角形的性质:
名 称
图形
性质
等
三条边都相等
边
A
三
三个角都相等，且都为60°
角 形B
C 三线合一
轴对称图形，有三条对称轴
３、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（Ａ） （A）3条（B）6条（C）9条（D）7条
探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别 得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ （1）在边AB，AC，分别截取AD=AE （2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上 （3）过边AB上D点，作DE∥BC，交 A
例4 等边三角形ABC的周长等于21㎝， A
求：（1）各边的长；
（2）各角的度数。
B
C
解：（1）∵AB＝BC＝CA，
又 ∵AB＋BC＋CA＝21㎝（已知）
∴AB＝BC＝CA＝21/3＝7（㎝）
（2）∵AB＝BC＝CA，（已知）
∴∠A ＝∠B＝∠C＝60°
（等边三角形的每个内角都等于60°）
（选择）