第十二章第二节二重积分的应用共17页
第二节 二重积分的计算
a
O
a
a
0
2a
x
原式= dy
a a2 y2 f ( x, y2 2a
2 2
y ) dx
2a 2a y2 f 2a
dy
0
a
2a
a a y
f ( x , y )dx dy
a
( x , y ) dx
19
二重积分的计算法
交换积分次序的步骤
(1) 将已给的二次积分的积分限得出相
计算结果一样. 但可作出适当选择.
a
b
x
11
二重积分的计算法
(4) 若区域如图, 则必须分割.
y
D1
在分割后的三个区域上分别 使用积分公式.
(用积分区域的可加性质)
O
D3
D2
x
D
D
1
D2 D3
D1、D2、D3都是X型区域
12
二重积分的计算法
例 求 ( x 2 y )dxdy , 其中D是抛物线 y x 2和
R
R
dy
R2 y2
R 2 x 2 y 2 dx
8
二重积分的计算法
注 特殊地 D为矩形域: a≤x≤b,c≤y≤d
则
f ( x , y )d dx f ( x , y )dy a c D dy f ( x, y ) d x
d b c a
b
d
如D是上述矩形域, 且f ( x , y ) f1 ( x ) f 2 ( y ) 则
立体的体积.
D
曲顶z R 2 x 2
z
解 V1 f ( x , y ) d
高等数学(第三版)课件：二重积分的计算
式：0 x π ,0 y 2 所确定的长方形区域. 2
解 这题可以不必画积区域.分析被积函数可知，如先
对x积分，需用分部积分法. 如先对y积分则不必，
计算会简单些.因此，我们选择先对y积分，即
π
xy
cos(
xy
2
)dxdy
2
0
dx
2
0
xy
cos(
xy
2
)dy
D
1π
2
2
0
sin( xy 2 )
和
x
π
D
所围成的三角形区域.
2
解法1 先对y积分. 作平行于y轴的直线与积分 区域D
相交，沿着y的正方向看，入口曲线为y=0，出口
曲线为y=x，D在x 轴上的投影区间为[0, π] . 2
sin
x
cos
ydxdy
π
2
0
dx
x
0
sin
x
cos
ydy
D
π
02
sin
x
sin
y
x 0
dy
π
02
sin
2
xdx
由 y x, x 2,
得x 2, y 2.
在y轴上的积分区间为12 ,2
当1 y 1时，平行于x轴的直线与区域D相交时，
2 沿x轴正方向看，入口曲线为
x，出1口曲线为x=2.
y
当1 y 2时，平行于x轴的直线与区域D相交时, 沿x轴正方向看，入口曲线为x=y，出口曲线为x=2.
依上述不等式组可作出区域D的图形，
再化为先对y积分后对x积分的二次积分.
01
dy
1y
二重积分的应用
二重积分的应用§ 二重积分的应用定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：1、所要计算的某个量U 对于闭区域D 具有可加性(即:当闭区域D 分成许多小闭区域σd 时, 所求量U 相应地分成许多部分量U ?,且∑?=U U )。
2、在D 内任取一个直径充分小的小闭区域σd 时, 相应的部分量U ?可近似地表示为σd y x f ),(, 其中σd y x ∈),(, 称σd y x f ),(为所求量U ?的元素, 并记作dU 。
(注: σd y x f ),(的选择标准为: σd y x f U ),(-?是σd 直径趋于零时较σd 更高阶的无穷小量)3、所求量U 可表示成积分形式U f x y d D=??(,)σ一、曲面的面积设曲面S 由方程z f x y =(,)给出,D xy 为曲面S 在xoy 面上的投影区域,函数f x y (,)在D xy 上具有连续偏导数f x y x (,)和f x y y (,),现计算曲面的面积A 。
在闭区域xy D 上任取一直径很小的闭区域σd (它的面积也记作σd ),在σd 内取一点),(y x P ,对应着曲面S 上一点)),(,,(y x f y x M ,曲面S 在点M 处的切平面设为T 。
以小区域d σ的边界为准线作母线平行于z 轴的柱面, 该柱面在曲面S 上截下一小片曲面,在切平面T 上截下一小片平面,由于d σ的直径很小,那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面S 在点M 处的法线向量( 指向朝上的那个 )为ρn f x y f x y x y =--{(,),(,),}1它与z 轴正向所成夹角γ的方向余弦为cos (,)(,)γ=++1122f x y f x y x y而dA d =σγcos所以dA f x y f x y d x y =++?122(,)(,)σ这就是曲面S 的面积元素, 故σd y x f y x f A xyD y x ??++=),(),(122故AzxzydxdyD xy=+?+122【例1】求球面x y z a 2222++=含在柱面x y ax22+=(a>0) 内部的面积。
二重积分的计算与应用
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1.二重积分的概念 (1)1.1二重积分的定义 (1)1.2可积条件 (2)1.3可积类 (2)1.4二重积分的性质 (2)2.二重积分的计算方法 (3)2.1直角坐标系下的二重积分的计算 (3)2.2二重积分的变量变换 (4)2.2.1普通情况下的变换 (4)2.2.2极坐标计算二重积分 (4)3.广义二重积分 (6)4.二重积分的应用 (6)4.1体积 (7)4.2曲面的面积 (8)4.3其它 (8)参考文献 (9)二重积分的计算与应用学生姓名：学号：数学与信息科学学院数学与应用数学专业指导教师：职称：摘要：研究了二重积分的几何意义，概念，性质以及在直角坐标系及极坐标下的计算方法，并给出了计算公式及相关例题,最后总结了二重积分的计算方法.关键词：二重积分;直角坐标系;极坐标;曲顶柱体The calculation and application of double integral Abstract : This paper mainly studies the geometric significance of double integral, the concept, nature and calculation method under the rectangular coordinate system and polar coordinate calculation method.Key Words: Double integral; The rectangular coordinate system; The polar coordinate; Curved top cylinder前言我们已经很熟悉定积分的一些性质及计算方法.同样，二重积分在实际中应用广泛，且有直观的几何解释，所不同的是现在讨论的对象为定义在平面区域上的二元函数.这类问题在物理学与工程技术中也常遇到，如求非均匀平面的质量、质心、转动惯量等.二重积分的计算的基本途径是将其转化成二次积分计算，计算二重积分时选择积分顺序，交换积分次序以及转换坐标系都是至关重要的问题.本文对二重积分的计算方法进行了全面的概括和总结，并对各种计算方法的选择进行了认真地研究，为准确的计算二重积分提供有效的帮助.1.二重积分的概念1.1[]2二重积分的定义设(,)f x y是定义在可求面积的有界闭区域D上的函数.J是一个确定的数，若对任给的某个正数ε，总存在某个正数δ，是对于D的任何分割T，当它的细度||T||时，属于T 的所有积分和都有1(,)||ni i i i f J ξσσε=∆-<∑则成(,)f x y 在D 上可积，数J 称为(,)f x y 的二重积分，记为(,)σDJ f x y d =⎰⎰.1.2[]1可积条件二重积分的可积条件与定积分类似(1)必要条件：函数(,)f x y 在D 上可积，则(,)f x y 在D 上必有界. (2)充要条件：①函数(,)f x y 在D 上可积s S =⇔(其中S ，s 分别为在上的上积分和下积分). ②函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得()().ε<-T s T S③函数(,)f x y 在D 上可积⇔对0>∀ε，存在分割T ，使得.1εσω<∑=∆ni i i1.3[]1可积类(1)有界闭区域D 上的连续函数必可积.(2)若(,)f x y 在有界闭区域D 上有界，且仅在D 内有限条光滑曲线上不连续，则(,)f x y 在D 上可积.1.4[]2二重积分的性质性质4.1（线性性） (,)σ(,)σDDkf x y d k f x y d =⎰⎰⎰⎰.性质4.2（线性性）[](,)(,)σ=(,)σ(,)σDDDf x yg x y d f x y d g x y d ±±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.3（分段可加性）1212(,)σ=(,)σ+(,)σD D D D f x y d f x y d f x y d +⎰⎰⎰⎰⎰⎰.性质4.4（保不等式性） 设(,),(,)(,)x y D f x y g x y ∀∈<, 则 (,)σ(,)σDDf x y dg x y d <⎰⎰⎰⎰.性质4.5 设(,)m f x y M ≤≤,则(,)σDm f x y d M σσ≤≤⎰⎰其中σ表示D 的面积.性质4.6 (二重积分的中值定理)设函数(,)f x y 在闭区域D 上连续，D S 是D 的面积，则∃（ζ，η）∈D 使得(,)Df x y ⎰⎰σd =(,)f ξηDS.其中中值定理的几何意义：以D 为底，z=(,)f x y ((,)f x y ≥0)为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于(,)f x y 在区域D 某点的函数值(,)f ξη.2.二重积分的计算方法定理1 设在矩形区域[][],,D a b c d =⨯上可积，且对每个[],x a b ∈积分存在，则累次积分(,)b d acdx f x y dy ⎰⎰也存在，且(,)σ=(,)b d acDf x y d dx f x y dy ⎰⎰⎰⎰.另外，同理(,)σ=(,)db caDf x y d dy f x y dx ⎰⎰⎰⎰.2.1[]4直角坐标系下的二重积分的计算此方法的关键就是化二重积分为累次积分，对于一般区域，通常可以分为以下两种区域进行计算：①X 型区域：平面点集12{(,)|()(),},D x y y x y y x a x b =≤≤≤≤ 则化二重积分为累次积分21()()(,)σ(,)bx a x Dy f x y d dx f x y dy y =⎰⎰⎰⎰. ②Y 型区域：平面点集{12(,)|()(),}D x y x y x x y c y d =≤≤≤≤则化二重积分为累次积分21()()(,)σ=(,)dy c y Dx f x y d dy f x y dx x ⎰⎰⎰⎰. 例1 设D 是由直线0,1x y ==及x y =围成的区域，试计算22()y DI x e d σ-=⎰⎰.解 利用Y 型区域积分：231123001()3yy y I dy x e dx y e dy --==⎰⎰⎰.由分部积分法得 1163I e=-. 例2 计算二重积分Dd σ⎰⎰，其中D 为由直线2,2y x x y ==及3x y +=所围的三角形区域.解 利用X 型区域，则相应的221()2(01),()3(12),2x y x x x y x x x y =≤≤=-<≤=所以 1223012212x x x x DD D d d d dx dy dx dy σσσ-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰1201(2)(3)22x xx dx x dx =-+--⎰⎰ =32. 2.2[]5 二重积分的变量变换定理2 设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积，变换T: (,),(,)x u v y u v ==将uv 平面由按段光滑闭曲线所围成的闭区域∆一对一的映成xy 平面上的闭区域D ,函数(,),(,)x u v y u v 在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的行列式 (,)0(,)(,)x y J u v u v ∂=≠∈∆∂， 则 (,)((,),(,))|(,)|D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ∆=⎰⎰⎰⎰. 2.2.1普通情况下的变换例3 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围成的区域D 的面积S （0,0m n αβ<<<<）.解 D 的面积DS dxdy =⎰⎰为了简化积分区域，做变换2,,u ux y v v==则[][],,m n αβ∆=⨯.由于4(,)(,)(,)x y uJ u v u v v ∂==∈∆∂,所以 22334433()()6n m Du dv n m S dxdy dudv u du v v βαβααβ∆--====⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 2.2.2极坐标计算二重积分当积分区域是圆域或圆域的一部分时，或者背积函数的形式为22()f x y +时，采用极坐标变换T ：cos ,sin (0,02)x r y r r θθθπ==≤<+∞≤≤, 则 (,)(,)(,)x y J r r u v θ∂==∂.定理3 设(,)f x y 满足定理1的条件，且在极坐标变换下xy 平面上有界闭区域D 与r θ平面上区域∆对应，则成立(,)(cos ,sin )Df x y dxdy f r r rdrd θθθ∆=⎰⎰⎰⎰.二重积分在极坐标下化为累次积分有以情况：1.θ型区域：若原点o D ∈，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交与两点,则必可表示为12()(),r r r θθαθβ≤≤≤≤, 于是有 2()1()(,)(cos ,sin )r r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθθ=⎰⎰⎰⎰.R 型区域：若平面上的圆r =常数与D 的边界至多交与两点，则∆必可表示为1212()(),r r r r r θθθ≤≤≤≤,于是有 2211()()(,)(cos ,sin )r r Dr f x y dxdy rdr f r r d r θθθθθ=⎰⎰⎰⎰.2．若原点为D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则∆必可表示成为0(),02r r θθπ≤≤≤≤,于是有 2()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr πθθθθ=⎰⎰⎰⎰.3．若原点O 在D 的边界上，则∆为0(),r r θαθβ≤≤≤≤, 于是有 ()0(,)(cos ,sin )r Df x y dxdy d f r r rdr βθαθθθ=⎰⎰⎰⎰.例4 计算I=D其中D 为圆域.122≤+y x解 由于原点为D 的内点故有210Dd πθ=⎰⎰[].212010202πθθππ=--=⎰⎰d d r例5 求球体2222x y z R ++≤被圆柱体22x y Rx +=所割下部分的体积（称为维维安尼体（Viviani ））.解 由所求立体的对称性，只要求出第一卦限的部分体积后乘以4即可.在第一卦限内的体积是一个曲顶柱体，其底为xy 平面内由0y ≥和22x y Rx +=所确定的区域，曲顶的方程为z =所以4DV σ=.其中D={}22(,)|0,x y y x y Rx ≥+≤，用极坐标变换后有cos33322004424(1sin )()3323R V d R d R ππθπθθθ==-=-⎰⎰⎰.3[]4.广义二重积分若在无界区域D 上(),0,≥y x f 则()σd y x f D⎰⎰,收敛⇔在D 的任何有界子区域上f 可积,且积分值有上界.例6 证明反常积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛,其中[)[);,0,0+∞⨯+∞=D 并由此计算概率积分.02dx e x ⎰+∞-证明 设(),,)(22y xe y xf +-= 则显然()y x f ,在[)[)+∞⨯+∞=,0,0D 上非负.设,0,0,:222≥≥≤+y x R y x D R 则).1(4r 2222020)(R Rr Dy x e e d d e--+--==⎰⎰⎰⎰πθσπ显然对D的任何有限子集'D ,只要R 充分大,总可使得,'R D D ⊂ 于是有.4'22'22)()(πσσ≤≤⎰⎰⎰⎰+-+-d e d e Dy xDy x即广义积分σd e Dy x⎰⎰+-)(22收敛.记,2dx e I x ⎰+∞-=则.))(()(022222dxdy e dy e dx e I Dy xy x ⎰⎰⎰⎰+-+∞-+∞-== 其中[)[),,0,0:+∞⨯+∞D 做极坐标代换,0,20,sin ,cos +∞<≤≤≤⎩⎨⎧==r r y r x πθθθ 则,4r 02022πθπ==⎰⎰∞+-dr e d I r .202π==⎰∞+-dx e I x 4.二重积分的应用二重积分在几何、物理等许多学科中有着广泛的应用，这里重点介绍它在几何方面的应用． 4.1体积根据二重积分的几何意义，⎰⎰Dd y x f σ),(表示以),(y x f 为曲顶，以),(y x f 在xOy坐标平面的投影区域D 为底的曲顶柱体的体积．因此，利用二重积分可以计算空间曲面所围立体的体积． 例7[]6 求椭球面1222222=++cz b y a x 所围之椭球的体积．解 由于椭球体在空间直角坐标系八个卦限上的体积是对称的．令D 表示椭球面在xOy 坐标面第一象限的投影区域，则D ,0,0,1),(2222⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥≥≤+=y x b y a x y x体积.),(8⎰⎰=Ddxdy y x z V 作广义极坐标变换θθsin ,cos br y ar x ==,则此变换的雅可比行列式abr J =，与D 相对应的积分区域{},20,10),(*πθθ≤≤≤≤=r r D 此时,1),(2r c y x z z -==从而 abrdr r c d drd J br ar z V D ⎰⎰⎰⎰-==2*1218)sin ,cos (8πθθθθ.34128102abc dr r r abc ππ⎰=-⋅= 例8[]6 求球面+2x 2224a z y =+与圆柱面)0(222>=+a ax y x 所围立体的体积.图1解 由对称性（图1（a ）给出的是第一卦限部分）.44222⎰⎰--=Ddxdy y x a V其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域（图1（b ））．在极坐标系中，与闭区域D 相应的区域*D {},20,cos 20),(πθθθ≤≤≤≤=a r r 于是⎰⎰⎰⎰-=-=Da rdr r a d rdrd r a V 20cos 2022224444πθθθ=.)322(332)sin 1(33220333⎰-=-ππθθa d a4.2曲面的面积设曲面S 的方程为),,(y x f z = 它在xOy 面上的投影区域为,xy D 求曲面S 的面积.A若函数),(y x f z =在域xy D 上有一阶连续偏导数，可以证明，曲面S 的面积.),(),(122dxdy y x f y x f A xyD y x ⎰⎰'+'+=（1）例9 计算抛物面22y x z +=在平面1=z 下方的面积．解 1=z 下方的抛物面在xOy 面的投影区域xy D {}.1),(22≤+=y x y x又,2x z x =',2y z y =' 221y x z z '+'+=,44122y x ++ 代入公式（1）并用极坐标计算，可得抛物面的面积 ⎰⎰⎰⎰+=++=xyxyD D rdrd r dxdy y x A *22241441θ=).155(6)41(201212-=+⎰⎰πθπrdr r d如果曲面方程为),(z y g x =或),(z x h y =，则可以把曲面投影到yOz 或xOz 平面上，其投影区域记为yz D 或xz D ，类似地有.),(),(122dydz z y g z y g A yzD zy ⎰⎰'+'+= 或.),(),(122dxdz x z h x z h A xzD z x⎰⎰'+'+= 4.3其它例10[]4 平均利润 某公司销售商品Ⅰx 个单位，商品Ⅱy 个单位的利润),(y x P .5000)100()200(22+----=y x现已知一周内商品Ⅰ的销售数量在150～200个单位之间变化，一周内商品Ⅱ的销售数量在80～100个单位之间变化．求销售这两种商品一周的平均利润．解 由于y x ,的变化范围{},10080,200150),(≤≤≤≤=y x y x D 所以D 的面积.10002050=⨯=σ 由二重积分的中值定理，该公司销售这两种商品一周的平均利润为[]σσσd y x d y x P DD⎰⎰⎰⎰+----=5000)100()200(10001),(122 []dy y x dx 5000)100()200(100012210080200150+----=⎰⎰ dx y y y x 100803220015050003)100()200(10001⎥⎦⎤⎢⎣⎡+----=⎰ 20015020015023292000)200(2030001⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=x x dx 4033300012100000≈=（元）． 参考文献：[1] 赵树原,胡显佑,陆启良.微积分学习与考试指导[M] .北京：中国人民大学出版社, 1999. [2] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M]. 北京：高等教育出版社,2004. [3] 刘玉琏,傅沛仁等.数学分析讲义(第四版)[M]. 北京：高等教育出版社,2003. [4] 周应编著. 数学分析习题及解答[M]. 武汉：武汉大学出版社，2001. [5] 胡适耕，张显文编著. 数学分析原理与方法[M].北京：科学出版社，2008. [6] 吴良森等编著. 数学分析习题精解[M].北京：科学出版社，2002.。
二重积分及其应用
2
2
例4 计算 y x 2 d . 其中 D : 1 x 1, 0 y 1.
D
解 先去掉绝对值符号，如图
D
y x 2 d
D3
2
D1 D2
1
( x
0
2
y )d ( y x )d
D3
2 1 1 2
D1
D2
dx
f ( x , y )dy. (a 0)
0 x 2a , 解 D: 2 2 ax x y 2ax ,
将积分区域 D 分成 D1 , D2 及 D3 三部分,
y2 D1 : x a a 2 y 2 , 2a 0 y a;
D1
D2
D3
y D2 : x 2a , a y 2a; 2a
• 1
解 I 0 dy 1
1
2 y 1 y 2
f ( x,y ) dx
( 2). I 1 dx x f ( x , y ) dy 2 dx x f ( x , y ) dy
y y=x2 y=x
2
x2
8
8
4•
•• o 12
4 y
D
• 8 x
8 y
解 I 1 dy y f ( x , y ) dx 4 dy 2 f ( x , y ) dx
例2 计算
I
x 2 y 2 a 2
2 ( x 2 x 3 y 2)d
y
解. D＝{(x,y)|x2+y2a2}是关于 x、y轴对称。因此 ( 2 x 3 y )d ＝0
x 2 y2 a 2
第讲 二重积分的应用PPT课件
• 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为
V D f (x, y)dxdy
例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体 体积。
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例1 计算由曲面 z 1 4 x2 y2 及 xoy 面所围的立体
体积。
z
z
1
解 设立体在
第一卦限上 的体积为 V1。
x
(x, y) y d
为 S 上过 M ( x, y, f ( x, y))
的切平面.
以 d 边界为准线，母线平行于 z 轴的小 柱面，截曲面 s 为 ds；截切平面 为 dA， 则有dA ds.
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d 为 dA 在 xoy 面上的投影, d dA cos ,
cos
1
,
1
1000 150 3
12100000 4033 (元). 3000
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1 a
D
f
(x,
y)d
1
200
dx
100[5000 (x 200)2
( y 100)2 ]dy
50 20 150 80
1
1000
200 150
([5000
y
(
x
200)2
y
(
y
100)3 3
]100 80
)dx
1 200[ 292000 20(x 200)2 ]dx
一周内商品甲的销售量在150～200之间，商品乙的 销售量在80～ 100之间.试求销售这两种产品一周的 平均利润.
解: x,y的变换范围 D={(x,y)|150≤ x≤200,80≤y ≤100}
第二节 二重积分的计算
D
α ≤ϕ ≤ β,
ρ = ρ2 (θ )
ρ 1 (ϕ ) ≤ ρ ≤ ρ 2 (ϕ ).
β
o
α
A
∫∫ f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ
D
= ∫α dθ ∫ρ12(ϕ ) f ( ρ cos ϕ , ρ sin ϕ ) ρdρ .
β
ρ (ϕ )
二重积分化为二次积分的公式（ 二重积分化为二次积分的公式（２）
π
a cos ϕ
I = ∫ dϕ ∫0
2 π − 2
f ( ρ ,ϕ )dρ
(a ≥ 0).
思考题解答
π π − ≤ϕ ≤ D: 2 2 , 0 ≤ ρ ≤ a cos ϕ
I = ∫0 dρ ∫
a a ρ − arccos a arccos
y
ϕ = arccos
D
ρ
a ρ = a cosϕ
D
例 1 写出积分∫∫ f ( x , y )dxdy的极坐标二次积分形
D
式，其中积分区域
D = {( x, y ) | 1 − x ≤ y ≤ 1 − x 2 , 0 ≤ x ≤ 1}.
x = ρ cos ϕ 解 在极坐标系下 y = ρ sin ϕ 所以圆方程为 ρ = 1, 1 直线方程为 ρ = , sin ϕ + cosϕ
所求面积σ =
∫∫ dxdy = 4∫∫ dxdy
D
D1
= 4 ∫0 dϕ ∫a
6
π
a 2 cos 2ϕ
ρ dρ
π = a ( 3 − ). 3
2
三、小结
二重积分在极坐标下的计算公式
∫∫ f ( ρ cosϕ , ρ sin ϕ ) ρdρdϕ D β ρ (ϕ ) = ∫α dϕ ∫ρ (ϕ ) f ( ρ cosϕ , ρ sinϕ ) ρ dρ .
第二节二重积分的计算方法
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
βα
A
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
区域特征如图
r = ϕ1(θ )
D
α ≤θ ≤ β,
r = ϕ2 (θ )
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
第二节 二重积分的计算方法
二重积分的计算可以按照定义来进行， 二重积分的计算可以按照定义来进行， 同定积分按照定义进行计算一样， 同定积分按照定义进行计算一样，能够按照 定义进行计算的二重积分很少， 定义进行计算的二重积分很少，对少数特别 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 简单的被积函数和积分区域来说是可行的， 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 但对于一般的函数和积分区域却不可行。 本节介绍一种计算二重积分的方法—— 本节介绍一种计算二重积分的方法 二重积分化为二次单积分（定积分） 把 二重积分化为二次单积分（定积分）来 计算。 计算。
z = f (x, y)
o
a
x
x + dx
b
x
a
o
已知平行截面面积 A ( x ) 的立体的体积
α
y
x
b
x
V = ∫a A(x)dx.
b
y
o
x
a
b
x
∵ 当 f ( x , y ) > 0时 , ∫∫ f ( x , y )dxdy 的值等于以 D 为底，以 为底，
D
为曲顶柱体的体积． 曲面 z = f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
第二节 二重积分的计算法
第二节 二重积分的计算方法教学目的：利用直角坐标系把二重积分化为二次积分 教学重难点：将积分区域用不等式组表示 教 法:讲授 课 时:4仅仅依靠二重积分的定义及其性质，不可能对一般的二重积分进行计算。
本节介绍一种二重积分的计算方法，这种方法是把二重积分化为两次单积分（即两次定积分）来计算。
一、利用直角坐标系计算二重积分我们首先来考虑直角坐标系下面积元素σd 的表达形式。
在二重积分的定义中对区域D 的分割是任意的，极限∑=→∆ni i i i f 10),(lim σηξλ都存在，那么对于区域进行特殊分割该极限也应该存在。
因此，在直角坐标系下，我们用平行于x 轴和y 轴的两族直线把区域D 分割成许多小区域（图10—4）。
除靠区域D 边界曲线的一些小区域外，其余的都是小矩形区域。
当这些小区域的直径的最大者λ→0时，这些靠区域D 边界的不规则的小区域的面积之和趋于0。
因此，第i 个小矩形区域i σ∆的面积k j i y x ∆⋅∆=∆σ。
因此，直角坐标系下面积元素dxdy d =σ。
于是二重积分的直角坐标形式为⎰⎰⎰⎰=DDdxdy y x f d y x f ),(),(σ。
由二重积分的几何意义知道，如果0),(≥y x f ，⎰⎰Dd y x f σ),(的值等于一个以D 为底、以曲面),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积。
下面我们用定积分的微元法来推导二重积分的计算公式。
若积分区域D 可用不等式组表示为⎩⎨⎧≤≤≤≤)()(21x y x b x a ϕϕ 如图10—5，选x 为积分变量，x ∈[a ，b]，任取小区间[x ，dx x +]⊂ [a ，b]。
在x 轴上分别过点x 、dx x +作垂直于x 轴的平面，设)(x A 表示过点x 垂直x 轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，则小薄片的体积近似等于以)(x A 为底、dx 为高的柱体的体积，即体积元素 dx x A dV )(=该截面是一个以区间)](),([21x x ϕϕ为底边、以曲线),(y x f z =（x 固定）为曲边的曲边梯形，因此⎰=)()(21),()(x x dy y x f x A ϕϕ所以⎰⎰⎰=ba Ddx x A d y x f )(),(σ=dx dy y x f x x ba ]),([)()(21⎰⎰ϕϕ，即dx dy y x f d y x f x x b a D]),([),()()(21⎰⎰⎰⎰=ϕϕσ。
第二节二重积分的计算
第二节二重积分的计算二重积分是微积分中的重要内容之一，用于计算在二维区域上的函数的平均值、面积、质心等物理量。
本文将介绍二重积分的计算方法，并以具体的例子说明。
在介绍二重积分的计算方法之前，我们先来回顾一下一重积分。
一重积分是对一维区间上的函数进行求和的过程。
对于一维区间[a,b]上的函数f(x)，可以将区间[a,b]分成无数个小区间，然后计算每个小区间上的函数值与区间长度的乘积，并将所有结果相加。
数学表示为：∫f(x)dx = lim(n->∞) Σ f(xi)Δx其中lim(n->∞)表示极限，Σ表示求和，xi表示区间的随机点，Δx表示区间的长度。
而二重积分是对二维区域上的函数进行求和的过程。
对于二维区域D 上的函数f(x,y)，可以将区域D分成无数个小区域，然后计算每个小区域上的函数值与小区域面积的乘积，并将所有结果相加。
数学表示为：∬f(x,y)dxdy = lim(m,n->∞) Σ Σ f(xi,yj)ΔxΔy其中lim(m,n->∞)表示极限，Σ表示求和，xi和yj表示区域的随机点，Δx和Δy分别表示小区域在x轴和y轴方向上的长度。
二重积分的计算方法有两种：直角坐标系下的二重积分和极坐标系下的二重积分。
首先介绍直角坐标系下的二重积分的计算方法。
在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过将区域D投影到x轴和y轴上得到：∬f(x,y)dxdy = ∫[a,b]∫[c,d]f(x,y)dxdy其中[a,b]是区域D在x轴上的投影区间，[c,d]是区域D在y轴上的投影区间。
接下来我们以具体的例子说明直角坐标系下的二重积分的计算方法。
考虑函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D:0≤x≤1，0≤y≤2上的二重积分的计算。
首先我们将其投影到x轴和y轴上，得到[a,b]=[0,1]和[c,d]=[0,2]。
然后我们可以计算二重积分：∬f(x,y)dxdy = ∫[0,1]∫[0,2](x^2 + y^2)dxdy内层积分∫(x^2 + y^2)dx的结果为(x^3/3 + xy^2)，[0,1] = (1/3 + y^2/3)，将其带入到外层积分∫(1/3 + y^2/3)dy中，得到：∫[0,2](1/3 + y^2/3)dy = (y/3 + y^3/9)，[0,2] = (2/3 + 8/9)- (0/3 + 0/9) = 2/3 + 8/9 = 26/9所以，函数f(x,y)=x^2+y^2在区域D:0≤x≤1，0≤y≤2上的二重积分的结果为26/9接下来我们介绍极坐标系下的二重积分的计算方法。
重积分及其简单应用课件.ppt
2
[
1 xy (1 )dy]dx
——对y积分时要固定
2 1 4 3
x为常数.
2
[( y
2
x 4
y
1 6
y2
)
11]dx
2 2
(2
x)dx(2x1x2)
2
4
2 2
8
二重积分及其简单应用
解法二：
xy
(1
D
4
)dxdy 3
——先对 x再对y的累 次积分.
1
[
1
2 (1x y)dx]dy ——对x积分时要固定
f (x, y)dy]dx
D
a 1 ( x)
二重积分及其简单应用
类型2 若积分区域D用1(yc)yxd2(y)来表示. 此时D称为Y—型区域.
d
x1(y) c
D x2(y)
d
x1(y) D
c
x2(y)
二重积分及其简单应用
Y型区域的特点：
穿过区域且平行于 x轴的直线与 区域边界相交不多于两个交点. 计算公式：
fx,ydxdy d [ 2(y) f (x, y)dx]dy c 1( y)
D
ddy2(y) f(x,y)dx
c
1(y)
二重积分及其简单应用
例5
计算积分 xydxdy, 其中D由y x2 和
D
yx2,y0围成的第一象限的区域
解: 如图所示
解方程组
y x2
y x 2
解得交点 (1,1)
D
二重积分及其简单应用
n
Df(x,y)dl i0m i1f(i,i)i
其中“ ”称为二重积分符号, D称为积分区域, f (x, y) 称为被积函数,
二重积分的应用
y
D
o
1
由于薄板形状及密度关于x轴对称， x 0, 只需求 y 即可。 故重心必在y轴上，即
m x y d d r 2 dr
2 2 D 0 0
x
1
3
mx y x y d d r 3 sin dr
32 3 2 a ( ) 3 2 3
例2 求由曲面 z x y 和z 4 所围立体 的体积。 z 解：所围图形如图。 将所求立体投影到xoy平面，得 2 2 D : x y 4 , 体积V 积分区域 o y 是以D为底，4为高的圆柱体体 x 2 2 z x y 积V1与以 顶，D为 底的曲顶柱体体积之差，即
设曲面S在点M处的法向量与z轴正向的夹角为 γ ，则有 d dA cos
因为
cos
1 1 f x2 ( x , y ) f y2 ( x , y )
所以
dA 1 f x2 ( x, y ) f y2 ( x, y )d
因而此曲面面积为
A
D
1 f x2 ( x, y ) f y2 ( x, y )d
0
o
D
y
2
,0 r 2a cos
x
于是
V 4V1 4 4a 2 x 2 y 2 dxdy
D
4 4a 2 r 2 rdrd
D
4 d
2 0
2 a cos
0
4a 2 r 2 dr
32 3 a 2 (1 sin 3 )d 0 3
x
设想这部分质量集中在点 ( x, y), 于是得薄板
二重积分的应用
2
2
例1 求球面 x y z a (a 0) 的表面积.
2
2
2
2
解
上半球面方程为 z
a x y ,
2
2
2
Dxy : x 2 y 2 a 2
于是
z z 1 x y
2
2 2
a , 2 2 2 a x y
x 2 y 2 被柱面 x 2 y 2 ax(a 0)
截下的有限曲面片的面积.
解 因曲面方程为 z
x2 y2
z
zx
x , zy 2 2 x y
2 x 2 y
y 2 2 x y
2
z x2 y2
y o D a
所以, 1 z z
x 2 y 2 ax
设xOy平面上有n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),, ( xn , yn ) 处， 质量分别为
m1 , m2 ,, mn . 则该质点系的重心的坐标为
My M
x
mi xi
i 1 n
n
,
mi
i 1
Mx y M
m i yi
i 1 n
n
.
D yz
x x 1 y z dydz .
2
2
3. 设曲面的方程为： y h( z , x ) 它在xOz面上的投影区域为 Dxz , 曲面面积为 A
Dxz
y y 1 dxdz . x z
2 2 2
考虑第一卦限
0 y
二重积分的计算法
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、利用直角坐标计算二重积分
• 二重积分定义为积分和式的极限．如果 直接用二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的，甚至是不可能的.
• 下面我们根据二重积分的几何意义—曲 顶柱体的体积来导出二重积分的计算方 法.
dx0
f (x, y)dy
解: 积分域由两部分组成:
y
D1
:
0
y
1 2
x2,
0x2
D2
: 0
y 2
8 x2 x2 2
将 D D1 D2 视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2 D1 D2
o 22 2 x
D
:
2y x 0 y2
8 y2
2
8 y2
I D f (x, y) d x d y 0 dy 2y f (x, y)dx
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
0
c
a
z=f (x,y)
y
d
y
b
D
x
二重积分的计算 (D是矩形区域z )
I f ( x, y)dxdy
D
D是矩形区域
z
f (x, y y
y)
z=f (x,y)
a x b
D
(x,
y)
c
y
d
b
0
c
y
Q( y) a f (x, y)dx a
d
y
d
第二节 二重积分的计算
y
1
y=x
y= x
x , y = x所围 .
解 (按先 y后 x积分次序计算 )
I = ∫ dx ∫
0 1
1
x
x
sin y dy y
o
1
x
积不出的积分，无法计算。 积不出的积分，无法计算。
(改变积分次序 , 按先 x后 y积分次序计算 )
sin y 1 sin y I = ∫ dy ∫ 2 dx = ( y − y 2 )dy 0 y ∫0 y y
积分域由两部分组成: 解: 积分域由两部分组成
0 ≤ y ≤ 2x − x2 D1 : , 0≤ x ≤1
0 ≤ y ≤ 2 − x D2 : 1≤ x ≤ 2
y = 2− x
视为 型区域 将D = D + D2 视为Y–型区域 , 则 1
1− 1− y2 ≤ x ≤ 2 − y D: , 0≤ y ≤1
∫∫D
b a d
f (x, y) dx dy
ϕ2 ( x)
1
= ∫ d x ∫ (x) f (x, y) dy ϕ = ∫ d y∫
c
ψ 2 ( y)
ψ 1( y) y)
f (x, y) dx
y y = ϕ (x) 2 d x =ψ2 ( y) x =ψ1( y) D y y = ϕ1(x) c o a x bx
根据二重积分的几何意义, 根据二重积分的几何意义,当
D
时,
为底， ∫∫ f ( x, y )dσ 等于以 D 为底，以曲面 z = f ( x, y ) 为顶的 曲顶柱体的体积． 曲顶柱体的体积．
z 应用计算“ 应用计算“平行截 面面积为已知的立 y = ϕ2 (x) 体求体积”的方法, 体求体积”的方法
二重积分及其性质
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底， z
并取典型小区域，
z f (x, y)
用若干个小平
顶柱体体积之 和近似表示曲
顶柱体的体积，
x
曲顶柱体的体积
o
D
•
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
第六页，课件共17页
例题
每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体
在 i 上任取一点 (i ,i ) ，以 f (i ,i ) 为高、以 i 为底的平顶
第四页，课件共17页
例题
将D划分为n个小闭区域：
1 ， 2 ，…， n (同时以这些记号表示相应小区域的面积
以每个小区域为底，以它们的 边界曲线为准线作母线平行于z轴
的柱面，形成许多小曲顶柱体. 原曲顶柱体被分割成n个小曲顶柱
体.
曲顶柱体体积的近似等于 n个小曲顶柱体的体积之和
第五页，课件共17页
特别，令 f (x, y)≡1，则有
1d （D 的面积）
D
第十三页，课件共17页
二重积分的性质
性质1 被积函数的常系数因子可以提到积分号外，即
kf (x, y)d k f (x, y)d
D
D
性质2 函数和（差）的二重积分等于各函数二重积分的和
（差），即
[ f (x, y) g(x, y)]d f (x, y)d g(x, y)d
由性质 5 知 e d ( x2 y2 ) ea2 ,
D
ab e d ( x2 y2 ) abea重积分及其性质
第一页，课件共17页
定义
二重积分
二重积分及其性质
引入
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y
•
d
o
x
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第3页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例1. 设平面薄片D是由 x+ y =2，y =x 和 x 轴所围成的区域，
它的密度
(x,y)x2，求y该2 薄片的质量.
解: 先解方程组
x y,
x
y
2,
x 1
y
1
得两曲线的交点为(1,1)， D可用不等式表示为
y x 2 y,
0 y 1.
y
2
x y
1
D
x y2
O
12
x
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第4页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
m(x, y)dxdy D
1
dy
2y(x2y2)dx
0
y
2y
1 0
1 3
x3
y2x
y
dy
y
2
x y
1
D
x y2
O
12
x
011 3(2y)32y27 3y3dy
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第14页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
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15
第十二章多元函数积分学
谢谢
薄片绕 y 轴转动
D
y
dIyx2dm x2(x,y)d,
y
•
Iy x2(x,y)d, D
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d
ox
x
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例 5 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别 为
a 、 b ，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
解 对 y 轴的转动惯量为
§12.2 二重积分的应用
四、平面薄片的转动惯量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，在点
( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在 D上连 续，求平面薄片对于 x轴和 y 轴的转动惯量。
薄片绕 x 轴转动
d Ixy2 d m y2(x ,y)d , Ix y2(x,y)d,
§12.2 二重积分的应用
一、立体体积 二、平面薄片的面积和质量 三、平面薄片的重心 三、平面薄片的转动惯量
小结
贵州航天职业技术学院 周学来
第十二章多元函数积分学
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第1页
§12.2 二重积分的应用
一、立体体积:
V f(x, y)d
zD
二、平面薄片面积和质量:
1．求平面薄片的面积
d
(x2 y2)dxdy
D
4 2 d 2r3dr
0
1
15 π. 8
y r2 D
O
x
r 1
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
三、平面薄片的重心 (x, y)
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D ，在点
( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在D 上连
续，求平面薄片的重心
y
m(x, y)d
D
y
•
d M xx d m x (x ,y)d
d
ox
x d M yyd m y(x,y)d
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第8页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
Mxmxx(x,y)d
D
Mymyy(x,y)d
D
x( x, y)d
x D
,
( x, y)d
D
y( x, y)d
y D
.
( x, y)d
D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例4
设平面薄板由
x y
a(t a(1
sin t)
，(0
cos t )
t
2)
与
x轴
围成，它的面密度 1，求形心坐标．
Iy x2dxd,y D bdya(1by)x2dx 00 1 a3b. 12
y
x a(1 y ) b
b
oa
x
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对 x 轴的转动惯量为
Ix
y2dxdy
D
1 ab3
12
.
第13页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
小结
几何应用：立体体积，平面面积． 物理应用：重心、转动惯量、 （注意审题，熟悉相关物理知识）
D
y
d
y D
O
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dy
D
xo
dx
x
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在
D 上连续，平面薄片的质量为多少？
dM(x,y)d
M(x, y)d D
3. 4
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第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例2. 设平面薄片D为: 2sinr4sin,密度(x, y) 1 ,
y
求该平面薄片质量.
解: 区域D为
0 π, 2sin r 4sin.
mD (x,y)dxdyD 1 ydxdy.
π
4sin
d
1 rdr
由于区域关于直线x a对称 ，
所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
y 1
ydy
AD
A0
0
61a2
2a[y(x)]2dxa 2[1cot]s3dt
0
60
5 6
a.
所求形心坐标为
( a,
5 6
a
)
.
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第11页
第十二章多元函数积分学
0 2sin rsin
π
1
4sin
r d
0 sin 2sin
π
2d 2π.
0
y
r4sin
D
r2sin
O
x
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第6页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用
例3 . 设平面薄片1x 2y24 ,x0 ,y0 ,面密度 (x,y)x2y2
求该薄片的质量m.
解: m(x, y)d D
y(x)
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
0 t 2 ， 0 x 2 a
D
O
a 2 a
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
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第10页
第十二章多元函数积分学
§12.2 二重积分的应用