高中数学课件-圆的一般方程

a)2
(1
b)2
r2
解得 b 3
(4 a)2 (2 b)2 r2
r 5
所求圆的方程为：(x 4)2 ( y 3)2 25
即圆的半径r 5,圆心坐标为(4， 3)
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的
圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
解：设所求圆的一般方程为：
圆的一般方程
温故知新
1.圆的定义: 平面内到定点的距离等于定长 的点的轨迹叫做圆．
其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．
2.圆的标准方程:(x a)2 ( y b)2 r 2 (r 0)
特点： 直接可以看出圆心坐标为(a,b),
半径为 r
小组活动
思考1：下列方程各表示什么图形？
(1) x2 y2 4x 2 y 1 0 (x 2) 2 ( y 1) 2 4
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
配方 一般方程 展开 标准方程(圆心,半径)
3.已知圆的一般方程会求圆的圆心坐标和半径。
D 2
,
E 2
；)
(3)当D2＋E2－4F＜0时，
此方程无实数解,不表示任何图形．
圆的一般方程：
x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
(1)圆心坐标为( D , E ),半径为1 D2 E2 4F；
22
2
(2)特点：
①x2与y2系数相同，并且不等于0；
②没有xy这样的二次项．
即圆的半径r 5,圆心坐标为(4， 3)
总结求圆方程的方法：
待定系数法
设圆的方程为(x a)2 ( y b)2 r2 或x2 y2 Dx Ey F 0
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
解出a，b，r（或D，E，F），代入标准 方程（或一般方程）
本课小结
1. 本节课主要学习了圆的一般方程,其表达式为 x 2 y2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0
(3)圆的一般方程与标准方程的关系：
① a D , b E , r 1 D2 E2 4F
2
2
2
②标准方程易于看出圆Байду номын сангаас与半径．
例题2.若方程 x2 y 2 2ax 2 y a 3 0
表示圆心在第二象限的圆,则实数 a 的取值
范围是________________．
答案：a 1
由于a, b, r均为常数
令 2a D,2b E, a2 b2 r 2 F
结论：任何一个圆的方程都可以写成下面形式：
x2 y2 Dx Ey F 0
自主探究 2.方程 x2 y2 Dx Ey F 0
一定表示圆的方程吗？
将x2 y2 Dx Ey F 0左边配方，得
(2) x2 y2 4x 2y 5 0 (x 2)2 ( y 1)2 0 (3) x2 y2 2x 4 y 6 0 (x 1)2 ( y 2)2 1
自主探究
把圆的标准方程 (x a)2 ( y b)2 r 2 (r 0)
展开，得
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
例题3： 求过三点O(0，0)，A(1，1) ,B(4，2)的 圆方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.
方法1：
解：设所求圆的标准方程为：
(x a)2 (y b)2 r2(r 0)
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上,则
待定系数法
(a)2 (b)2 r2
a 4
(1
方法2： x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
因为O(0,0),A (1,1),B(4,2)都在圆上，则
F 0
D 8
待定系数法D E F 2 0 解得E 6
4D 2E F 20 0 F 0
所求圆的方程为:
x2 y2 8x 6y 0， 即(x 4)2 ( y 3)2 25
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
(1)当D2＋E2－4F>0时，此方程表示以( D , E )
22
为圆心，以1 D2 E2 4F为半径的圆。 2
(x D)2 (y E )2 D2 E2 4F
2
2
4
( 2 ) 当 D2＋E2－4F＝0 时 ，
此方程表示一个点(