简单的二元二次方程
二元二次方程组的解法
代入消元
x y a 2.对于形如 的二元二次方程组的解法，我们可 xy b 以借助一元二次方程根与系数的关系来求解 。
3.基本步骤： ⑴ 代入消元，将方程转化为一元二次方程
⑵ 解一元二次方程得两根
⑶ 代入方程，求得原方程组的解 4. 注意：方程组的解的书写格式
作业：
解下列方程组
• 1．将方程组中的二元一次方程变形为一 个未知数用另一个未知数表示的代数式. • 2．将所得的代数式代入二元二次方程中 得到一个一元二次方程。 • 3．解一元二次方程求出一个未知数的值。 • 4．将所求的值代入由1所得的式子求出 另一未知数的值。 • 5．写出方程组的解。
练习： 解下列方程组
⒈ y = x－2 x2＋y2 = 6 ⑴ ⑵ ⒉ 2y－3x = 1 ⑴ 13x2－8xy＋3 = 0 ⑵
练习:⒈下列方程中是二元二次方程的是
A x2 1 0 y2 B
（ B ）
x y2 0
x y 2
2 1 1 x y
y 1 C x 2
A
D
⒉下列方程组中，是二元二次方程组的是 （ C ）
x y 2x
2 2
B
x y 1
C
x y 4y 2
2 2
x y 5
的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。
二元二次方程的一般形式是：
ax bxy cy dx ey f 0
2 2
（a、b、c不同时为零）。其中 ax 、bxy、cy 叫做二次项，dx、ey叫做一次项，f叫做常数项。
2
2
观察；下面的两个方程组 x2－2xy＋y2－4x＋y－15=0 x－2y＋1=0 x2－ y2 =10 x2－3xy＋2y2=0 第一个方程组：是由一个二元二次方程和一个二元一次方程 组成的。 第二个方程组： 是由二个二元二次方程组成的 像这样的方程组叫做二元二次方程组。
二元二次方程练习题及解析
二元二次方程练习题及解析一、练习题1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 92. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 163. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 814. 解方程组：{(3x + 2y)² = 16(2x - y)² = 95. 解方程组：{(2x + y)² = 36(3x - y)² = 49二、解析1. 解方程组：{(x + y)² = 25(x - y)² = 9解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 25 (1)(x² - 2xy + y²) = 9 (2)将(2)式两边同时乘以4，并与(1)式相加得到： 5x² = 61解得：x = ±√(61/5)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
2. 解方程组：{(x + y)² = 144(x - y)² = 16解：将两个方程展开得到：(x² + 2xy + y²) = 144 (1)(x² - 2xy + y²) = 16 (2)将(2)式两边同时乘以9，并与(1)式相加得到： 10x² = 208解得：x = ±√(208/10)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
3. 解方程组：{(2x + y)² = 25(4x - y)² = 81解：将两个方程展开得到：(4x² + 4xy + y²) = 25 (1)(16x² - 8xy + y²) = 81 (2)将(2)式两边同时乘以1/9，并与(1)式相加得到： 5x² = 74/9解得：x = ±√(74/45)将x的值代入(1)或(2)式中，解得相应的y值。
简单的二元二次方程的解法
第10章 简单的二元二次方程的解法【知识衔接】————初中知识回顾————含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程．由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．————高中知识链接————二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决．【经典题型】初中经典题型【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩【例2】解方程组11 (1)28 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩ 高中经典题型【例1】解方程组22225() (1)43 (2)x y x y x xy y ⎧-=+⎪⎨++=⎪⎩ 【例2】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 【例3】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩【例4】解方程组 3 (1)38 (2)xy x xy y +=⎧⎨+=⎩【实战演练】————先作初中题 —— 夯实基础————A 组1．解下列方程组：(1) 26x y y x ⎧+=⎨=⎩(2) 22282x y x y ⎧+=⎨+=⎩(3) 221235x y x xy y +=⎧⎨++=⎩(4) 2203210x y x xy -=⎧⎨+=⎩ 2．解下列方程组：(1) 32x y xy +=-⎧⎨=⎩ (2) 16x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：(1) 2(23)01x x y x -=⎧⎨=-⎩ (2) (343)(343)0325x y x y x y +-++=⎧⎨+=⎩(3) 22(2)()08x y x y x y -++=⎧⎨+=⎩ (4) ()(1)0()(1)0x y x y x y x y ++-=⎧⎨---=⎩ 4．解下列方程组：(1) 222230x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩ (2) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩ ————再战高中题 —— 能力提升————B 组1．解下列方程组：(1) 2232320x y x y x +=⎧⎨-+-=⎩ (2) 22231234330x y x xy y x y -=⎧⎨-+-+-=⎩2．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩ (2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩ 3．解下列方程组：(1) 2222384x y x xy y ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩ (2) 224221x y xy ⎧+=⎨=-⎩4．解下列方程组：(1)2252x yxy⎧+=⎨=-⎩(2)22410x yx y+=⎧⎨+=⎩。
二元二次方程组的概念
二元二次方程组的概念1. 引言大家好，今天咱们来聊聊一个数学小话题——二元二次方程组。
听起来有点高大上，但其实呢，它就像一杯刚泡好的茶，细细品味，里面其实藏着不少有趣的东西！可能你一听到方程就想：“哎呀，这可又要费脑筋了！”别担心，今天我会把它说得轻松点，让大家都能听懂。
2. 什么是二元二次方程组？2.1 概念解析首先，我们得搞清楚什么是二元二次方程。
简单来说，二元二次方程就是那种形式像 (ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0) 的方程。
听上去是不是有点拗口？没关系，咱们把字母换成数字就简单多了。
比如，(x^2 + y^2 1 = 0) 就是个典型的二元二次方程。
这个方程其实描绘的是一个圆，想象一下那温柔的圆形，真是太美了！2.2 方程组的定义那么，什么是方程组呢？简单来说，方程组就是几道题放在一起，你需要同时解出来。
比如，你有两个方程：(x^2 + y = 4) 和 (x + y^2 = 5)。
这些方程好比是两个小朋友在讨论：嘿，我们一起来找找 (x) 和 (y) 的答案吧！所以，解这个方程组的过程就是找出两个小朋友同时都满意的答案。
3. 解二元二次方程组的方法3.1 代入法说到解方程组的方法，咱们可以先聊聊代入法。
想象一下，这就像你把一个朋友的喜好带到另一个朋友那儿。
比如，先从第一个方程出发，找到 (y) 的值，然后把这个 (y)的值代入到第二个方程里去。
最后，再解出来 (x) 和 (y)。
听起来是不是简单得像和朋友去吃饭，最后大家都找到了想要的餐厅？3.2 消元法再来说说消元法。
这种方法就像是在两个人争论时，你要让其中一个先闭嘴。
我们可以把一个方程的某个部分消掉，接着再解另一个方程。
就像是把一堆烦恼先放到一边，专心解决眼前的问题。
这种方法能让你事半功倍，真是聪明又高效。
4. 二元二次方程组的应用4.1 现实生活中的应用那么，二元二次方程组到底有什么用呢？其实，它们在生活中无处不在！比如说，你在规划一个花园，想知道放几种花才能既美观又节省空间。
二元二次方程基本公式
二元二次方程基本公式
二元二次方程基本公式为ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0。
二元二次方程是指含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是二的整式方程，叫做二元二次方程，且a、b、c中至少有一个不是零；当b=0时，a与d以及c与e分别不全为零。
二元二次方程组求解的基本思想是“转化”，即通过“降次”、“消元”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。
由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。
1、有两组相等的实数解。
2、有两组不相等的实数解；
3、没有实数解。
解：将②代入①，整理得二次方程③的判别式。
4、当a<2时，方程③有两个不相等的实数根，则原方程有不同的两组实数解。
5、当a=2时，方程③有两个相等的实数根，则原方程有相同的两组实数解。
6、当a>2时，方程③没有实数根，因而原方程没有实数解。
“代入消元法”和“加减消元法”解方程组：
代入消元法是将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解。
这种解方程组的方法叫做代入消元法,简称代入法。
加减消元法是当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法。
简单的二元二次方程组
简单的二元二次方程组二元二次方程组是指由两个二次方程组成的方程组。
二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是已知常数，x是未知数。
二元二次方程组则是由两个二次方程组成的方程组，其中每个方程都有两个未知数。
解二元二次方程组的一种常见方法是将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。
具体步骤如下：假设我们有以下二元二次方程组：方程组1：a1x^2+b1y^2+c1xy+d1x+e1y+f1=0方程组2：a2x^2+b2y^2+c2xy+d2x+e2y+f2=0我们可以先将方程组1转化为关于x的一元二次方程。
假设我们固定y的值为y0，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于x的一元二次方程：a2x^2+b2y0^2+c2xy0+d2x+e2y0+f2=0解这个一元二次方程，可以得到两个解x1和x2。
将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与y0相关的解y1和y2。
重复以上步骤，我们可以固定x的值，将方程组1代入方程组2中，得到一个关于y的一元二次方程：a1x0^2+b1y^2+c1x0y+d1x0+e1y+f1=0解这个一元二次方程，可以得到两个解y3和y4。
将这两个解代入方程组1中，我们可以得到两个与x0相关的解x3和x4。
我们得到了四个解(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4)，它们是原方程组的解。
当然，这只是解二元二次方程组的一种方法，还有其他方法可以求解。
无论使用哪种方法，都需要注意方程的特殊情况，例如方程没有解或有无穷多解的情况。
二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，可以使用不同的方法求解。
解二元二次方程组需要将其中一个方程转化为关于一个未知数的一元二次方程，然后将其代入另一个方程中求解。
解二元二次方程组需要仔细分析方程的特殊情况，并注意求解过程中的计算准确性。
二元二次方程计算器在线
二元二次方程计算器在线二元二次方程是一种形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。
解一元二次方程可以通过求根公式，即 x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a) 来得到。
而对于二元二次方程，它是二元的，即含有两个未知数，可以通过几种方法来求解，如代入法、凑方程法、用图像法等。
下面将介绍一种通过代入法求解二元二次方程的计算器在线。
我们可以通过代入法将二元二次方程转化为一元二次方程来进行求解。
具体的计算步骤如下：步骤一：将二元二次方程中的一元用另一个未知数表示出来，将其代入到方程中，得到一个一元二次方程。
步骤二：解一元二次方程，得到一元的值。
步骤三：将求得的一元的值代入到方程中，求得另一个未知数的值。
下面是一个简单的二元二次方程求解的计算器的代码：```Pythonimport mathdef solve_quadratic_equation(a, b, c):delta = b * b - 4 * a * cif delta < 0:print("No real solutions.")elif delta == 0:x=-b/(2*a)print("The only real solution is x =", x)else:x1 = (-b + math.sqrt(delta)) / (2 * a)x2 = (-b - math.sqrt(delta)) / (2 * a)print("The real solutions are x1 =", x1, "and x2 =", x2) def solve_binomial_quadratic_equation(a, b, c, x):equation = a * x**2 + b * x + csolve_quadratic_equation(a, b, equation)def calculate_binomial_quadratic_equation(:print("Please enter the coefficients of the binomial quadratic equation ax^2 + bx + c = 0:")a = float(input("a = "))b = float(input("b = "))c = float(input("c = "))print("Please enter the value of x:")x = float(input("x = "))solve_binomial_quadratic_equation(a, b, c, x)calculate_binomial_quadratic_equation```此计算器可以通过输入二元二次方程的系数a、b、c，以及x的值来求解二元二次方程。
三元一次方程组的解法与简单的二元二次方程组课件-2022年初高衔接数学
2 − + 2 = −4
数，含未知数的项的次数都是1，这样的方程组叫
做三元一次方程组.
解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方
程组一致，通过消元转化为我们会解的方程组：
消元
消元
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一
点拨精讲
+ + = 12 ，
2的整式方程，叫做二元二次方程.由含有相同的两个
未知数的两个二元二次方程，或一个二元二次方程和
一个二元一次方程，组成的方程组叫做二元二次方程
组.
解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公
共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，
消元就是把二元化为一元，降次就是把二次降为一次，
其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、
化归为二元一次方程组，再化归为一元一次
方程.实际上，消元是解一次方程组的主要方
法.解一次方程组的消元“化归”基本思想，
可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.
点拨精讲
探究二：简单的二元二次方程组
像 2 + 2 = 1， 2 − 2 2 + + 3 = 10这类含
有两个未知数，并且含有未知数的项的最高项次数是
一元一次方程.解二次一元方程组的
基本方法有代入消元法和加减消元法.消元的目
的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.
在现实生活中，我们遇到未知数不止两个
的方程，下面我们就来学习三元一次方程组.
点拨精讲
+ + = 12
像 + 2 + 5 = 22 ，
二元二次方程组的解法分式方程的解法无理方程的解法教(学)案
个性化教学辅导教案学科：数学 任课教师：谭盛德 授课时间：2013 年 8 月 2 日(星期 五 ) 16 : 00 ~ 18 : 00 郭海杰年级 高一 性别男教学课题 简单的二元二次方程组的解法教学目标1. 会用代入解简单的二元二次方程组 2．会用平方法解无理方程 3．熟悉分式方程的解法重点 难点 重点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法 难点：二元二次方程组的解法，分式方程，无理方程的解法课前检查 作业完成情况：优□ 良□ 中□ 差□ 建议_______________________________ 第 4次课第四讲 简单的二元二次方程组的解法在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法，掌握了用消元法解二元一次方程组．高中新课标必修2中学习圆锥曲线时，需要用到二元二次方程组的解法．因此，本讲讲介绍简单的二元二次方程组的解法．含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组．一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解．其蕴含着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解．【例1】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩ 分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)，得2y x =，代入方程(2)消去y ． 解：由(1)得：2y x = (3)将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或 把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或．说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)；②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；。
二元二次方程的解法
二元二次方程的解法
升初三的学生在九年级上册【人教版】会学到一元二次方程的解法，相比二次函数、圆与相似，一元二次方程较为简单，但是在竞赛类的考试当中常出现二元二次方程的求解，这对没有接触过类似题型的同学来说，解二元二次方程确是一个不小的挑战！接下来我们就一个例题来探讨二元二次方程的求解方法.
例题：求方程的实数解.
方法一：主元法
【分析】二元二次方程的求解没法直接像一元二次方程那般，直接求根公式或者因式分解.但一元二次方程的求解方法能不能给二元二次的求解提供思路呢？我们可以把x，y其中一者当作未知数，另一个当做常数.不妨把x当做常数，过程如下：
方法二：公式法
【分析】两个方程两个未知数，理论上来说没法求解，而既然要求出二元二次方程的实数解，那说明二元二次方程左边可以化为非负数和为0的题型.过程如下：
方法三：偏导法
【分析】以上两种方法用来做解答题都是比较不错的.但是对于选择填空题花的时间过多，对于理解能力强的孩子可以介
绍一下求偏导的方法.求偏导虽然要大学阶段才会系统学习，但是教会同学们遇到此题如何操作即可！
二元二次方程的解法还有其它，但是百变不离其宗，极客张志航老师就先给大家介绍这三种方法，有兴趣的还可以自己研究哦！。
专题2.2 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法(解析版)
2.2 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法（解析版）回顾过去在初中我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法．进入高中之后，我们会学习更多类型的方程的解法．高中新课标必修2中学习直线与圆的方程时，涉及到二元二次方程组的解法，本讲内容主要涉及到二元一次方程组、三元一次方程组、二元二次方程组的解法．1．简单的二元一次方程组【例1 】 解方程组：327,2 5.x y x y -=⎧⎨+=⎩①②解析：由②，得 52x y =-. ③ 将③代入①，得 3(52)27y y --=， 15627y y --=，88y -=-， 1.y =把 1y =代入③，得 3.x = 所以原方程组的解是⎩⎨⎧==.1,3y x2．简单的三元一次方程组【例2】 解方程组： 3472395978x z x y z x y z +=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩①②③分析：方程①只含x ，z ，因此，可以由②，③消去y ，再得到一个只含x ，z 的方程，与方程①组成一个二元一次方程组．解：②×3＋③，得 11x ＋10z ＝35． （4）与④组成方程组347111035x z x z +=⎧⎨+=⎩①④解这个方程组，得52x z =⎧⎨=-⎩，把x ＝5，z ＝－2代入②，得2×5＋3y －2＝9，∴13y =，所以5132x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩变式1． 解方程组：34145217223x z z x y z x y z ++=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩①②③分析：三个方程中，z 的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z ．解：①+③，得 5x+6y=17 ④ ②+③×2，得， 5x+9y=23 ⑤④与⑤组成方程组56175923x z x y +=⎧⎨+=⎩，解这个方程组，得12x y =⎧⎨=⎩， 把x=1，y=2代入③得：2×1+2×2-z=3，∴ z=3∴ 123x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩3．简单的二元二次方程组【例3】解方程组2220 (1)30 (2)x y x y -=⎧⎨-+=⎩解：由(1)得：2y x = (3) 将(3)代入(2)得：22(2)30x x -+=，解得：1211x x ==-或把1x =代入(3)得：22y =；把1x =-代入(3)得：22y =-．∴原方程组的解是：11111122x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩或． 说明：(1) 解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤：①由二元一次方程变形为用x 表示y 的方程，或用y 表示x 的方程(3)； ②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程； ③解消元后得到的一元二次方程；④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)，求相应的未知数的值；(2) 消x 还是消y ，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如210x y -+=，可以消去x ，变形得21x y =-，再代入消元．(3) 消元后，求出一元二次方程的根，应代入二元一次方程求另一未知数的值不能代入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这点注意．变式1．解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩解：第二个方程可变形为 x ＝2y ＋2，，将其带人到第一个方程，整理得8y 2＋8y ＝0，即y (y ＋1)＝0， 解得y 1＝0，y 2＝－1． 把y 1＝0代入③, 得 x 1＝2； 把y 2＝－1代入③, 得x 2＝0． 所以原方程组的解是 112,0x y =⎧⎨=⎩， 220,1.x y =⎧⎨=-⎩ 说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解． 【例4】解方程组9 (1)18 (2)x y xy +=⎧⎨=⎩解：根据一元二次方程的根与系数的关系，把x 、y 看成是方程29180z z -+=的两根，解方程得：3z z ==或6． ∴ 原方程组的解是：11113663x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或． 说明：对于这种对称性的方程组x y axy b +=⎧⎨=⎩，利用一元二次方程的根与系数的关系构造方程时，未知数要换成异于x 、y 的字母，如z ．练习1．解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩解法一：由①，得 7.x y =- ③ 把③代入②，整理，得 27120y y -+= 解这个方程，得 123,4y y ==．把13y =代入③，得14x =；把24y =代入③，得23x =． 所以原方程的解是 114,3x y =⎧⎨=⎩， 223,4.x y =⎧⎨=⎩ 解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把,x y 看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求,x y ．这个方程组的,x y 是一元二次方程 27120z z --= 的两个根，解这个方程，得 3z =，或4z =．① ②所以原方程组的解是 114,3;x y =⎧⎨=⎩ 223,4.x y =⎧⎨=⎩【例5】解方程组2212 (1)4 (2)x xy xy y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得到一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型．解：(1)(2)3-⨯得：223()0x xy xy y +-+=，即 22230(3)()0x xy y x y x y --=⇒-+=， ∴ 300x y x y -=+=或∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组：22300,44x y x y xy y xy y -=+=⎧⎧⎨⎨+=+=⎩⎩． 用代入法解这两个方程组，得原方程组的解是：121233,11x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩．说明：若方程组的两个方程均缺一次项，则消去常数项，得到一个二元二次方程．此方程与原方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组．【例6】解方程组2226 (1)5 (2)x y xy ⎧+=⎨=⎩分析： (1)(2)2+⨯得：2()36 (3)x y +=，(1)(2)2-⨯得：2()16 (4)x y -=，分别分解(3)、(4)可得四个二元一次方程组．解：(1) +(2)2⨯得：222236()3666x y xy x y x y x y ++=⇒+=⇒+=+=-或， (1)-(2)2⨯得：222216()1644x y xy x y x y x y +-=⇒-=⇒-=-=-或．解此四个方程组，得原方程组的解是：312412341515,,,1551x x x x y y y y =-===-⎧⎧⎧⎧⎨⎨⎨⎨===-=-⎩⎩⎩⎩．说明：对称型方程组，如22x y a x y b ⎧+=⎨+=⎩、22x y a xy b⎧+=⎨=⎩都可以通过变形转化为x y mxy n +=⎧⎨=⎩的形式，通过构造一元二次方程求解．1. 解下列三元一次方程组1） 2）3）2．已知345x y z==，且x+y+z=24，求x 、y 、z 的值． 3．已知2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，且xyz≠0，求：234x y zx y z ++-+的值．4．已知567x y y z z x+++==且xyz≠0，求x ：y ：z ．． 5．用100元恰好买了三种笔共100支，其中金笔每支10元，铂金笔每支3元，圆珠笔每支0．5元，试问三种笔各买了多少支？6．解下列方程组：(1) 32x y xy -=⎧⎨=-⎩ (2) 24221x y xy +=⎧⎨=-⎩ (3) 22223x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩(4) 168xy x xy x +=⎧⎨-=⎩4．解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2.2 二元一次、三元一次、二元二次方程组及其解法 答案1.(1) 438x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩ (2)306a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ (3) 842x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩2. x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-41 3.814.::3:2:4x y z =5.金笔 5支，铂金笔5支，圆珠笔90支6．121212127312(1),,(2),372 1 22x x x x y y y y ==-⎧⎧==⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨=-=-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩(3) 123412342222,x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪====⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩．(4)43x y =⎧⎨=⎩． 7．（1）1115,20,x y =⎧⎨=⎩2220,15;x y =-⎧⎨=-⎩（2）115,2,x y =⎧⎨=-⎩222,5;x y =-⎧⎨=⎩（3）5,34.3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（4）112,2,x y =⎧⎨=⎩ 222,2.x y =⎧⎨=-⎩。
二元二次方程简单计算公式
二元二次方程简单计算公式二元二次方程是指含有两个未知数的二次方程，通常表示为ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0。
其中，a、b、c、d、e、f为已知数，x和y为未知数。
解二元二次方程的方法有很多种，但是最简单的方法就是使用求根公式来计算。
下面我们将介绍二元二次方程的求根公式及简单计算方法。
二元二次方程的求根公式如下：对于二元二次方程ax^2 + by^2 + cxy + dx + ey + f = 0，其求根公式为：x = (-bd ±√(b^2d^2 4ace))/(2a)。
y = (-bd ±√(b^2d^2 4ace))/(2b)。
其中，±表示两个解，√表示平方根。
下面我们通过一个例子来演示如何使用二元二次方程的求根公式进行计算。
例题，求解二元二次方程2x^2 + 3y^2 2xy 5x + 6y 8 = 0的解。
解，根据二元二次方程的求根公式，我们可以先计算出判别式Δ = b^2d^2 4ace 的值。
Δ = (-26)^2 423(-5) = 36 (-120) = 156。
判别式Δ大于0，说明方程有两个不相等的实数根。
接下来，我们可以直接代入求根公式进行计算。
x = (-(-5)6 ±√156)/(22) = (30 ±√156)/4。
y = (-(-5)6 ±√156)/(23) = (30 ±√156)/6。
所以，二元二次方程2x^2 + 3y^2 2xy 5x + 6y 8 = 0的解为：x = (30 + √156)/4 或 x = (30 √156)/4。
y = (30 + √156)/6 或 y = (30 √156)/6。
通过上面的计算，我们得到了二元二次方程的两个实数根。
除了使用求根公式进行计算外，我们还可以通过配方法、因式分解等方法来求解二元二次方程。
但是求根公式是最直接、最简单的方法，尤其适用于一些复杂的二元二次方程。
二元二次方程化简公式
二元二次方程化简公式二元二次方程，这个名字听起来高深莫测，仿佛是在说什么了不得的数学秘密。
咱们可以把它想象成一个“数学小怪兽”，它有点难对付，但其实也没那么可怕。
大家应该听过这样的方程：ax² + bx + c = 0，对吧？其中的a、b、c就是我们的小伙伴，缺一不可。
每当我们面对这个方程，心里总会有一种“这玩意儿我能搞定”的冲动，但又总怕自己搞砸。
来，咱们一起“勇敢”地上这道题，找到化简的公式，看看能不能把这个小怪兽驯服。
咱们来聊聊这条“化简公式”，其实就是为了让我们轻松找到x的值。
想象一下，我们的目标就是把方程的右边变成零，让这个小怪兽乖乖听话。
公式的核心，咱们说是求根公式，听起来挺高大上的，其实就是：x = (b ± √(b² 4ac)) / (2a)。
嘿，看着这个公式，有没有一种“我懂了”的感觉？虽然看上去像是个秘密密码，但其实不过就是数学家们给我们的“救命稻草”。
这两个±号就像是选择题，给了我们两条路走，不是选择A就是选择B，简简单单。
肯定有人会问：哎，平方根里的那个b² 4ac又是啥意思？这可是判断我们能否成功的关键啊。
如果这个值大于零，那咱们就有两个不同的解，像是选择了两种口味的冰淇淋，简直美滋滋。
如果它等于零，那就是一球进洞，一个解就搞定，省时省力。
但要是小于零，哎，这就麻烦了，意味着我们的方程没解，就像追了一场空。
咱们再深入聊聊吧，想象一下，方程的每一部分就像一个家庭，每个成员都有各自的角色。
a是个强壮的大叔，b则是个聪明的妹子，c嘛，嘿，是个可爱的小宝宝。
大家和睦相处，但当问题出现时，能不能调和好就看b² 4ac的了。
如果这几个小伙伴能和谐共处，那生活就会顺利得多。
大家说是不是？不过，要是有人碰巧不熟悉这个公式，那就别怕。
多做几道题，就能轻松应对了。
数学就像骑自行车，开始的时候总是摇摇欲坠，但一旦掌握了技巧，哎，连风都能追上。
二元二次方程有实数根的条件
二元二次方程有实数根的条件二元二次方程，听起来就像高大上的数学术语，其实它就是我们生活中常常碰到的小问题。
想象一下，你走在路上，看到一块招牌，上面写着“卖西瓜”，你心里想：“哎，今天有点热，来个西瓜解解暑吧！”这就好比我们的二元二次方程，西瓜就是那个我们要找的答案，而判断西瓜甜不甜的标准，就是我们今天要聊的“有实数根的条件”啦。
咱们得知道，二元二次方程通常写成“ax² + bx + c = 0”这样的形式。
你可能会问，什么是a、b、c呢？别急，这些其实就是方程里的参数，就像做菜的配料一样，少了一个，味道可就大打折扣了。
最重要的，当然是那个a，不能是零哦，不然就变成一元方程了，没意思。
好了，接下来咱们就聊聊“有实数根”的问题，这里最关键的就是那个“判别式”，听起来是不是很复杂？其实简单得很。
判别式就是“b² 4ac”。
如果这个值大于零，嘿，恭喜你，这个方程有两个不一样的实数根，就像夏天的两个西瓜，虽然都是西瓜，但一个是大个的，一个是小个的，各有各的味道。
如果这个值等于零，那么你会得到一个重根，也就是两个相同的西瓜，外形一模一样，吃起来却有点不同，因为它是个“完美的”西瓜，味道更浓郁。
若是这个判别式小于零，那就没戏了，咱们这西瓜可就成了“虚无缥缈”，不管你怎么努力，最终也只能是个空口无物的梦想。
说到这里，有些朋友可能会想：“这有啥用呢？”其实呀，二元二次方程的应用可大着呢。
在物理上，抛物线运动、自由落体这些问题都能用它来解决，生活中买车、贷款、投资等等，也能看到它的身影。
你想想，当你要决定买哪款车时，考虑的就是性价比，这和计算二次方程的根本没什么区别，都是在寻找最佳选择嘛。
再说，数学其实不光是数字和公式，它也能让你更好地理解生活中的各种现象。
比如，你在公园里看到小朋友在放风筝，那个风筝的轨迹就是抛物线，回头想想，你会发现，二元二次方程不就是解读这种美好景象的钥匙吗？就像调味料，让生活变得更加丰富多彩。
二元二次方程表示直线的判定及直线方程的一种简便求法
二元二次方程表示直线的判定及直线方程的一种简便求法直线是几何上最基本的图形之一，其方程的求解一直是数学学习中的重点和难点。
在二维平面上，直线可以用一元一次方程来表示，而在平面解析几何和代数几何中，我们常常会遇到二元二次方程来表示直线。
下面我们将探讨二元二次方程表示直线的判定及一种简便的直线方程的求法。
首先我们来看一元一次方程表示直线的情况。
一元一次方程的一般形式为y=ax+b，在二维平面上表示一条直线，其中a表示斜率，b表示截距。
这种表示方法非常直观和易于理解，但在实际问题中并不是所有情况下都能简单地使用一元一次方程来表示直线。
当遇到二元二次方程时，我们可以通过一些方法来判定其是否表示一条直线。
二元二次方程的一般形式为Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0，在这个方程中，如果A和B同时为0，则不表示直线；如果A和B中有一个为0，另一个不为0，则表示直线。
我们可以通过判断A和B的情况来确定二元二次方程是否表示直线。
当A和B中有一个为0时，我们可以用一种简便的方法来求得直线的方程。
假设二元二次方程为Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F=0，且A=0。
我们可以用下面的步骤来求得直线的方程：1.将上述方程改写为y=(-Bx - Cx^2 - Dx - F)/(2Cy + Ey)，其中x不等于0；2.对上式化简得到y=(-B/C)x - (D/C)x^2 - (1/(2C))x - F/(2Cy + Ey)，化简后再把x^2系数记作a，x系数记作b，常数项记作c，即得到y=ax + b + c/(2y+e)；3.接下来我们令z=2y+e，则方程可表示为z=2y+e，将y代入原方程中可得2zx+(a-e)z^2+(b-e^2/c)z+c=0。
这就是一个一元二次方程，我们可以用一元二次方程的求根公式来求得z的值，然后再代入y=ax + b + c/z中即可得到直线的方程。
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2．新课讲解 我们已经学过二元一次方程和二元一次方程组，会用代入消元法 或加减消元法解二元一次方程组，这节课，我们将学习二元二次方 程及二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法. 关于新课的导入，使学生对于本课所要学习的知识一目了解，并且 能使学生懂得通过哪些旧知识来学习新内容.
（1）二元二次方程及二元二次方程组
y2
1.
15
所以原方程的解是
x1
1,x2
8 15
,
y1
1;
y2
1 15
.
说明：本题在师生共同分析后，让学生独立完成，教师指导学生
解题过程. 巩固练习：教材P57 1、2
四、总结、扩展
关于本节的小结，教师引导学生共同总结. 本节课我们学习了二元二次方程、二元二次方程组的定义及常见 的二元二次方程组的两种类型，理解了解二元二次方程组的基本思 想是消元和降次，使之转化为二元一次方程或一元一次方程；对于 一个二元一次方程组和一个二元二次方程组成的二元二次方程组， 一般采用代入消元法解. 学生学完了用代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程 组成的二元二次方程组后，教师和学生可以共同总结这种类型方程 组的解题步骤：
第十二章 一元二次方程
第八节 简单的二元二次方程(一)
一、教学目标 1．使学生知道二元二次方程的概念、二元二次方程组的概念；
2．使学生掌握由代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次 方程组成的方程组.
3. 通过二元二次方程组解法的教学，向学生渗透“消元”、“降次” 的数学思想方法，从而提高分析问题和解决问题的能力；
4. 通过二元二次方程组解法的剖析，对学生进行事物间可以相互转 化的辨证唯物主义思想的教育； 5. 通过方程组的学习，渗透方程组解的对称美.
二、重点·难点·疑点及解决办法 1．教学重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，会用 代入法解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次 方程组.
二元二次方程组及解法
1．二元二次方程组
2．二元二次方程的解法
（1）二元二次方程： （1）基本思想：…………
…………
（2）例1…………
（2）二元二次方程组： …………
…………
…………
…………
…………
2．教学难点：理解解二元二次方程组的基本思想.
3．教学疑点：关于学生对二元二次方程组概念的理解.由于教材 中关于二元二次方程组的概念的给出，是通过具体实例的形象定 义，因此，部分学生可能认为只有由一个二元一次方程和一个二 元二次方程组成的或由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元 二次方程组，其实不然.关于这一点，可利用课后辅导向学生做一 简单的说明.
二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方
程.
对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程 组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.
例1 解方程组
x2 4y2 x 3y 1 0 2x y 1 0
分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，
12都是二元二次方程组.
（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二组的解法，所谓解二元一次方程组就
是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是
求方程组中两个方程的公共解.
解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为
一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元
1．将方程组中的二元一次方程变形为一个未知数用另一个未知 数表示的代数式.
2．将所得的代数式代入二元二次方程中得到一个一元二次方程 或一元一次方程.
3．解一元二次方程或一元一次方程. 4．将所求的值代入由1所得的式子求出另一未知数. 5．写出方程组的解.
五、布置作业 教材P58 1，2. 六、板书设计
观察方程 x2 2xy y2 x y 6，此方程的特点：①含有两个未知数；
②是整式方程；③含有未知数的项的最高次数是2.
定义①：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的 整式方程叫做二元二次方程.
二元二次方程的一般形式是：ax2 bxy cy2 dx ey f 0
（a、b、c不同时为零）.
x 所以通过代入可以达到消元的目的，通过②得 y 2x 1 再代入①
可以求出 的值，从而得到方程组的解. 解：由②，得
y 2x 1
把③代入①，整理，得 15x2 23x 8 0.
解这个方程，得
8 x1 1, x2 15
把 x1 1 代入③，得 y1 1 ；
把
x2
代8 入③，得
15
4．解决办法：关键是消元，化二元为一元，本节主要是用代入消 元. 三、教学过程
1．复习提问 （1）举例说明什么是二元一次方程、什么是二元一次方程组？ （2）解二元一次方程组的基本思路是什么？ （3）解二元一次方程组有哪几种方法？ 问题1、2的设计是为了学生能用类比的方法学习二元二次方程、 二元二次方程组的概念和二元二次方程组的解法.
dx f 其中 ax2 、bxy、cy2 叫做二次项， 、ey 叫做一次项， 叫做
常数项.. 定义②：由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两 个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：
x2 5x
y2 2 ,
y5
x2 2xy y2
2
x
2
3xy
x
x y
y 1