平方差公式证明推导过程及运用详解(数学简便计算方法)
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数学简便计算方法之平方差公式证明推导及运用详解
平方差公式是小学奥数计算中的常用公式。
通常写为:
a²-b²=(a+b)x(a-b)
它的几何方法推导过程是这样的:
如下图所示,四边形ABCD和四边形DEFG为正方形,边长分别为a和b,求阴影部分面积。
显然,阴影部分面积有2种求法。
第一种方法
阴影面积=大正方形面积-小正方形面积
即,阴影面积=a²-b²
(G老师讲奥数)
第二种方法
作两条辅助线,延长FG、EG,分别交线段AB、BC与点H、J。
阴影面积=四边形AEGH面积+四边形HBJG面积+四边形GFCJ面积
跟G老师一起分别计算下上述三个四边形的边长吧。
分别计算出三个四边形的边长后,
我们发现四边形GFCJ=四边形AEGH面积。
接下来,我们将四边形GFCJ旋转后挪到四边形HBJG右侧。
即如下图所示,将③移到④后,
纯手绘,就认为和上边的图一样吧
此刻,
阴影部分的面积=①+②+④组成的大矩形面积。
阴影部分面积=(a-b)x[b+(a-b)+b]=(a-b)x(a+b)。
因为第一种和第二种方法都是计算阴影部分面积,
所以它们的结果是相等的。
a²-b²=(a+b)x(a-b)
当然,代数方法也可以证明。
令A=(a+b),
(a+b)x(a-b)
=Ax(a-b)
=Axa-Axb (乘法分配律)
=(a+b)xa-(a+b)xb(代入A=a+b)
=a²+ab-ab-b²
=a²-b²
【例题】计算:48x52+37x43
分析:48和52刚好都与50相差2,37和43刚好与40相差3。
48x52+37x43
=(50-2)x(50+2)+(40-3)x(40+3)
=50²-2²+40²-3²
=2500-4+1600-9
=4087
这类题目往往不会明确告知你需要用什么技巧简化计算,关键在于自己要熟练掌握,牢记于心,灵活运用。(更多知识总结,在“G老师讲奥数”)