功能材料结构与设计
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功能材料结构与设计
胡中波 材料科学与光电技术学院
内容提要
• 第一章 功能材料概述 – 功能材料的概念、分类及特点 – 功能设计的概念及方法
• 第二章 材料结构原理 – 对称操作和对称元素-分子篇 – 对称操作和对称元素-晶体篇 – 晶体学中的群论 – 二维晶体学 – 三维晶体学 – 空间群与晶体结构
• 分类:(正/负)热膨胀材料 形状记忆材料 测温材料（热电）
• 纳米功能材料、光功能材料 、敏感材料、储氢材料、隐 形材料。。。
功能材料设计的概念及方法
原料
制备
材料试样
观测
组织结构
改
测试
进
特性
试用
可否
评价
微
制
观
备
组
方
材
织
法
料
结
设
设
构
计
系
计
设
统
计
设
计
功能设计基本思想
• 基本思想
Basic Structure +/- d(Structure) = New Structure
对称元素符号 E Cn
σv i Sn
对称元素 恒等操作
旋转
镜面 对称中心
映轴
对称操作符号 E
C i 、C s、C 5 σv、σh、σd
i S1n=σC1n
对称操作 恒等操作 绕C n轴转3600/n
通过镜面反映 按对称中心反演 绕S n轴转3600/n,在反映
分子结构中的重要点群
C1点群：分子完全不对称
• 第三章 固体总论 – 固体中的化学键 – 固体中的缺陷 – 无机固体的合成
• 第四章 功能设计的原理和方法简介 – 固体结构与性能之间的相互关系 – 功能材料设计原理 – 功能材料设计方法
• 第五章 不同功能材料结构与设计选 讲
– 磁性材料 – 超导材料 – 特殊热性能材料 – 智能材料 – 功能高分子材料 – 纳米功能材料 – 其它功能材料 • 第六章 现代功能材料应用及其设计 方法展望
磁矩同向有序排列时才对外显 示强磁性。
• 磁场强度（H）：指空间某处 磁场的大小。
• 磁感应强度（B）：物质在外
磁场作用下，其内部原子磁矩
的有序排列还将产生一个附加
磁场。
软磁材料：镍铁合金（Hc1kA/m）
• Hc-矫顽磁力；Br-剩余磁感应 硬磁材料：钕铁硼永磁合金
强度；Bm-饱和磁感应强度。 矩磁材料：磁滞回线为矩形
分子结构中的重要点群
• Dh 点群
– 对称元素:
• C (和键轴方向一致) • σv (无穷多个,通过键轴
的垂直镜面) • σh (水平镜面) • C2 (无穷多个,垂直
于 C )
– 例: H2 、CO2 、XeF2
– 有对称中心的线型分子
均属 Dh 点群
• Sn点群
– 对称元素:
• Sn (映轴) – n=奇数，Sn=Cnh – n=偶数， S2=Ci S4 ，S6新群
其中：n( v)为第v个不可约表示在可约表示中出现的次 数表应;于示h为第对群i应类的于对阶第称；i操类h作对i第的称i类特操对征作称标的操．特作上征数式标；对，xixiv的为i为求第可和v约个遍表不及示可所对约有 的对称操作类．
可约表示的分解
分子的对称性应用
1. 若分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶极矩等 于零，否则分子就有偶极矩，这种分子就是极性分子。
+
+3
Basic Properties/functions… New Properties/functions…
第二章 材料结构原理- 分子篇
• 分子的对称性：是指存在一定的操作，它在保持任意 两点间距离不变的条件下，使分子内部各部分变换位
置，而且变换后的分子整体又恢复原状。这种操作称 为对称操作。对称操作据以进行的元素称为对称元素。
• 对称元素: E
• 一阶群(E)
Ci点群:
• 对称元素: i
• 二阶群(E，i)
H
Cl
F
F
Cl
H
二氟二氯乙烷
分子结构中的重要点群
Cs点群:
• 对称元素: σ
• 二阶群(E，σ)
C2点群:
• 对称元素: n
• 二阶群(C2，C22=E)
H2O2 C2
分子结构中的重要点群
C3点群:
•Βιβλιοθήκη Baidu对称元素: n • 三阶群
重叠式乙烷
D2h {E,C2,2C2, h,i,2v} D3h {E,2C3,2S3, 3C2,3v h}
分子结构中的重要点群
• Dnd点群
– 对称元素: • Cn • C2(在主轴的垂面方向上) • σd (一套平分每一对C2轴间夹角的垂直镜面)
C3H 4
D2d
分子结构中的重要点群
• Dnd点群例:
第一章 功能材料概述
• 功能材料定义: 在声、光、电、磁、热及化学性能上有特 殊效应的，用于非结构目的的(高技术)材料。
• 功能材料分类: 根据材料的化学组成、应用领域、使用性 能进行分类。
• 功能材料的现状: 现已开发的以物理功能材料最多有， 单 功能材料，功能转换材料，多功能材料，复合和综合功能 材料，新形态和新概念功能材料。化学和生物功能材料的 种类较少，但其发展速度很快，其功能也更多样化。
• 例如：H2O和NH3分子有偶极矩，为极性分子； • CO2的永久偶极矩为零； CCl4分子永久偶极矩为零。 2. 分子有无旋光性就看它是否能跟它的镜像重合。所有
不对称分子都具有旋光性。
第二章 材料结构原理- 晶体篇
• 晶体结构可表述为： 晶体结构 = 点阵 + 结构基元
• 点阵：在空间任何方向上均为周期性排布的无限个全同点的 集合。点操作的集合构成的群称为点群。
电功能材料
体 原子数比: 原子站位:
杂质半导体
1/109 同位
固溶体
1/100 同位
化合物半导
1/100 异位
电功能材料
• 超导电现象：材料的电阻随温度降低而减小并最终出现零 电阻的现象。超导体：低于某一温度出现超导电性的物质。
• 超导体的基本特性： 特性一：完全导电性（零电阻） 特性二：完全抗磁性
电功能材料
– 电功能材料按导电机理可分为：电子导电材料和离子 导电材料两大类。电子导电材料包括导体、超导体和 半导体。
– 导体材料的电阻率随着温度升高而升高。分类:金属材 料，合金材料（铂铑-铂热电偶），无机非金属材料。
– 半导体材料具有负的电阻温度系数。
– 半导体的导电机理：半导体的导电来源于电子（导带） 和空穴（价带）的运动，电子和空穴都是半导体中导 电的载流子。
• UF6 ， SF6 ，PtCl62-
分子结构中的重要点群
• Ih 点群
– 二十面体构型的分子或离子（对称操作: 120个） • 富勒烯、B12H122-
B BBB
BB BB BBB
B
分子结构中的重要点群列表
点群 C1
Cs C2 C2h C2v
C3v
C4v D2h D3h
D4h D5h
范例 CFClBrH、麦角酸 亚硫酰氯、次氯酸
特性三：临界温度（Tc）、临界磁场（Hc）、临界电流Jc 是约束超导现象的三大临界条件
特性四：约瑟夫森（B D Josephson）效应（隧道效应）
• 超导合金其中Ge-Nb3的临界温度最高（23.2K） • 陶瓷超导体YBaCuO（Tc＝90K）
磁功能材料
• 磁功能材料
• 磁化强度（M）：只有当内部
是点阵点
α
α
A
t
B
• 绕A轴旋转α，将B点转 至B’点
• 绕B轴反向旋转α，将A 点转至A’点
• 线段B’A’长度为t’，且与 线段AB平行
可约表示
不可约表示
特征标表
• 任何表示矩阵的集合，包含了点群的全部对称信息，这些信 息也包含在矩阵的特征标之中。
• 同类元素: 若A, B, C为群的元素.当有关系式BAB-1=C 成立时,称A和C是群的类元素。
C3v 的特征标表
群的不可约表示和特征标规则
1. 群的不可约表示维数平方和等于群的阶。 • C(132v点+ 1群2 的+ 三22个= 6不=可h约) 表示中，两个一维，一个二维，阶为6。
• 给定晶体，其中任意两个点阵点所代表的两个结构基元应该 满足： 1)化学组成相同 2)内部结构相同 3)周围环境相同
• 旋转、倒反、反映、旋转-倒反、旋转-反映、螺旋旋转、滑移反映
点对称操作
轴次定理
轴次定理：晶体中只可能存在1，2，3，4，6重对称轴，5重和 6重以上对称轴不存在 。
B’
t’
A’ • A，B点是点阵点，A’,B’点也必
其他功能材料
• 磁致伸缩材料：磁性材料在外磁场作用下，产生伸长或缩 短的现象－为磁致伸缩效应。 （声纳、传感器敏感元件）
• 功能高分子 - 指当有外部刺激时，能通过化学或物理的方 法做出反应的高分子材料。
• 热功能材料：随着温度的变化，有些材料的某些物理性能 会发生显著变化，如热胀冷缩、出现形状记忆效应或热电 效应等，这类材料称为热功能材料。
• 封闭性：若aϵG, bϵG，则abϵG • 结合律：(ab)c=a(bc) • 单位元E：ae=ea=a • 逆元素: aa-1=e
• 对称操作的集合构成的群称为对称操作群,简称对称群。 • 分子所有对称元素必须至少通过一点,故称分子点群。
• 证明：封闭性
对称群
对称群
• 旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关 1. n=是偶数，不论M是偶或奇数，它的逆操作都是Snn-m 2. n=是奇数，m=偶数，则Snm = Cnm ，因而它的逆操作是Cnn-m 3. n=是奇数，m=奇数，则Snm = Cnm σ，它的逆操作应为Cnn-m σ
CCl3CH3 C3
分子结构中的重要点群
• Cn点群（n>1）
– 对称元素: n – n 阶群(Cn, Cn2, Cn3… Cnn-1, Cnn=E)
分子结构中的重要点群
• Cnv 点群
– 对称元素: n，n个σv /σd
– 2n 阶群
C4v BrF5
C5v Ti(C5H5)
分子结构中的重要点群
H3C CH3
N CH3
H3C
S4 {E, S41, S42, S43}
{E,hC41,C21, hC43}
分子结构中的重要点群
• Td 点群
– 正四面体构型的分子 或离子（对称操作: 24个）
• CH4 ， CCl4 ，GeCl4
• Oh 点群
– 正八面体构型的分子 或离子（对称操作: 48个）
过氧化氢 反-1,2-二氯乙烯 水、四氟化硫、硫酰氟
氨、三氯氧磷
四氟氧氙 四氧化二氮、乙硼烷 三氟化硼、五氯化磷、三氧化硫
四氟化氙 二茂铁重叠式构象、C70富勒烯
点群 D6h D2d D3d D4d D5d Td Oh C∞v D∞h Ih
范例 二苯铬、苯
丙二烯、四氮化四硫 乙硅烷交叉式构象 十羰基二锰交叉式构象 二茂铁交叉式构象 四氯化锗、五氧化二磷
• Cnv 点群:
H2O
NH3
分子结构中的重要点群
• Cnh 点群
– 对称元素: n，σh
– 2n 阶群 C1h =Cs
分子结构中的重要点群
• Cv 点群
– 对称元素: • C (和键轴方向一致) • σv (无穷多个,通过键轴的垂直镜面)
– 例: CO、HCN – 无对称中心的线型分子均属 Cv 点群
立方烷、六氟化硫 氯化氢、一氧化二碳 氢分子、叠氮根离子、二氧化碳
富勒烯
对称操作的表示矩阵
•恒等操作E的表示矩阵
•反映操作σxy的表示矩阵
•反演操作i的表示矩阵
•旋转Cn操作矩阵方程,绕Z轴
对称操作的表示矩阵
• 旋转-反映操作Sn的表示矩阵 (绕 z 轴按逆时针方向转动 θ 角)
对称操作群
• 群的定义：按照某种规律联系着的一组元素的集合。 对于给定的乘法满足下述四条公设：满足封闭性、结 合律成立、单位元E存在、逆元素存在。
2. 群的不可约表示的数目等于群中类的数。 • C3v点群的群元素分成三类．因而必须有三个不可约表示。
3. 群的不可约表示特征标的平方和等于群的阶。
4. 群的两个不可约表示的特征标满足正交关系。
5. 属于同一类的对称操作具有相同的特征标。
可约表示的分解
• 可约表示可以分解为组成它的一系列不可约表示．分 解公式：
HCN
分子结构中的重要点群
• Dn点群
– 对称元素: Cn，C2(在主轴的垂面方向上) – 含三个相同双齿配体的六配位化合物均属D3点群．
C2
N6 N3
C2
N1
N5
C2
N4 N2
D3： [Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+
分子结构中的重要点群
• Dnh点群
– 对称元素: Cn，C2(在主轴的垂面方向上)，σh (水平)
的乘积，且等于Cn2n-m σ ，因而可写成单一的操作Sn2n-m
• 反映 σ 的逆操作就是 σ 本身：σ σ = σ 2=E • 旋转Cnm的逆操作是Cnn-m，因为：Cnm Cnn-m = Cnn = E
群的表示
• 对称操作群所含的一组对称操作的表示矩阵也构成群. 简称群的表示．
• 特征标 --- 矩阵的对角元素之和.任何表示矩阵的集合， 包含了点群的全部对称信息，这些信息也包含在矩阵 的特征标之中。
胡中波 材料科学与光电技术学院
内容提要
• 第一章 功能材料概述 – 功能材料的概念、分类及特点 – 功能设计的概念及方法
• 第二章 材料结构原理 – 对称操作和对称元素-分子篇 – 对称操作和对称元素-晶体篇 – 晶体学中的群论 – 二维晶体学 – 三维晶体学 – 空间群与晶体结构
• 分类:(正/负)热膨胀材料 形状记忆材料 测温材料（热电）
• 纳米功能材料、光功能材料 、敏感材料、储氢材料、隐 形材料。。。
功能材料设计的概念及方法
原料
制备
材料试样
观测
组织结构
改
测试
进
特性
试用
可否
评价
微
制
观
备
组
方
材
织
法
料
结
设
设
构
计
系
计
设
统
计
设
计
功能设计基本思想
• 基本思想
Basic Structure +/- d(Structure) = New Structure
对称元素符号 E Cn
σv i Sn
对称元素 恒等操作
旋转
镜面 对称中心
映轴
对称操作符号 E
C i 、C s、C 5 σv、σh、σd
i S1n=σC1n
对称操作 恒等操作 绕C n轴转3600/n
通过镜面反映 按对称中心反演 绕S n轴转3600/n,在反映
分子结构中的重要点群
C1点群：分子完全不对称
• 第三章 固体总论 – 固体中的化学键 – 固体中的缺陷 – 无机固体的合成
• 第四章 功能设计的原理和方法简介 – 固体结构与性能之间的相互关系 – 功能材料设计原理 – 功能材料设计方法
• 第五章 不同功能材料结构与设计选 讲
– 磁性材料 – 超导材料 – 特殊热性能材料 – 智能材料 – 功能高分子材料 – 纳米功能材料 – 其它功能材料 • 第六章 现代功能材料应用及其设计 方法展望
磁矩同向有序排列时才对外显 示强磁性。
• 磁场强度（H）：指空间某处 磁场的大小。
• 磁感应强度（B）：物质在外
磁场作用下，其内部原子磁矩
的有序排列还将产生一个附加
磁场。
软磁材料：镍铁合金（Hc1kA/m）
• Hc-矫顽磁力；Br-剩余磁感应 硬磁材料：钕铁硼永磁合金
强度；Bm-饱和磁感应强度。 矩磁材料：磁滞回线为矩形
分子结构中的重要点群
• Dh 点群
– 对称元素:
• C (和键轴方向一致) • σv (无穷多个,通过键轴
的垂直镜面) • σh (水平镜面) • C2 (无穷多个,垂直
于 C )
– 例: H2 、CO2 、XeF2
– 有对称中心的线型分子
均属 Dh 点群
• Sn点群
– 对称元素:
• Sn (映轴) – n=奇数，Sn=Cnh – n=偶数， S2=Ci S4 ，S6新群
其中：n( v)为第v个不可约表示在可约表示中出现的次 数表应;于示h为第对群i应类的于对阶第称；i操类h作对i第的称i类特操对征作称标的操．特作上征数式标；对，xixiv的为i为求第可和v约个遍表不及示可所对约有 的对称操作类．
可约表示的分解
分子的对称性应用
1. 若分子的正负电荷中心重合，就表示分子的偶极矩等 于零，否则分子就有偶极矩，这种分子就是极性分子。
+
+3
Basic Properties/functions… New Properties/functions…
第二章 材料结构原理- 分子篇
• 分子的对称性：是指存在一定的操作，它在保持任意 两点间距离不变的条件下，使分子内部各部分变换位
置，而且变换后的分子整体又恢复原状。这种操作称 为对称操作。对称操作据以进行的元素称为对称元素。
• 对称元素: E
• 一阶群(E)
Ci点群:
• 对称元素: i
• 二阶群(E，i)
H
Cl
F
F
Cl
H
二氟二氯乙烷
分子结构中的重要点群
Cs点群:
• 对称元素: σ
• 二阶群(E，σ)
C2点群:
• 对称元素: n
• 二阶群(C2，C22=E)
H2O2 C2
分子结构中的重要点群
C3点群:
•Βιβλιοθήκη Baidu对称元素: n • 三阶群
重叠式乙烷
D2h {E,C2,2C2, h,i,2v} D3h {E,2C3,2S3, 3C2,3v h}
分子结构中的重要点群
• Dnd点群
– 对称元素: • Cn • C2(在主轴的垂面方向上) • σd (一套平分每一对C2轴间夹角的垂直镜面)
C3H 4
D2d
分子结构中的重要点群
• Dnd点群例:
第一章 功能材料概述
• 功能材料定义: 在声、光、电、磁、热及化学性能上有特 殊效应的，用于非结构目的的(高技术)材料。
• 功能材料分类: 根据材料的化学组成、应用领域、使用性 能进行分类。
• 功能材料的现状: 现已开发的以物理功能材料最多有， 单 功能材料，功能转换材料，多功能材料，复合和综合功能 材料，新形态和新概念功能材料。化学和生物功能材料的 种类较少，但其发展速度很快，其功能也更多样化。
• 例如：H2O和NH3分子有偶极矩，为极性分子； • CO2的永久偶极矩为零； CCl4分子永久偶极矩为零。 2. 分子有无旋光性就看它是否能跟它的镜像重合。所有
不对称分子都具有旋光性。
第二章 材料结构原理- 晶体篇
• 晶体结构可表述为： 晶体结构 = 点阵 + 结构基元
• 点阵：在空间任何方向上均为周期性排布的无限个全同点的 集合。点操作的集合构成的群称为点群。
电功能材料
体 原子数比: 原子站位:
杂质半导体
1/109 同位
固溶体
1/100 同位
化合物半导
1/100 异位
电功能材料
• 超导电现象：材料的电阻随温度降低而减小并最终出现零 电阻的现象。超导体：低于某一温度出现超导电性的物质。
• 超导体的基本特性： 特性一：完全导电性（零电阻） 特性二：完全抗磁性
电功能材料
– 电功能材料按导电机理可分为：电子导电材料和离子 导电材料两大类。电子导电材料包括导体、超导体和 半导体。
– 导体材料的电阻率随着温度升高而升高。分类:金属材 料，合金材料（铂铑-铂热电偶），无机非金属材料。
– 半导体材料具有负的电阻温度系数。
– 半导体的导电机理：半导体的导电来源于电子（导带） 和空穴（价带）的运动，电子和空穴都是半导体中导 电的载流子。
• UF6 ， SF6 ，PtCl62-
分子结构中的重要点群
• Ih 点群
– 二十面体构型的分子或离子（对称操作: 120个） • 富勒烯、B12H122-
B BBB
BB BB BBB
B
分子结构中的重要点群列表
点群 C1
Cs C2 C2h C2v
C3v
C4v D2h D3h
D4h D5h
范例 CFClBrH、麦角酸 亚硫酰氯、次氯酸
特性三：临界温度（Tc）、临界磁场（Hc）、临界电流Jc 是约束超导现象的三大临界条件
特性四：约瑟夫森（B D Josephson）效应（隧道效应）
• 超导合金其中Ge-Nb3的临界温度最高（23.2K） • 陶瓷超导体YBaCuO（Tc＝90K）
磁功能材料
• 磁功能材料
• 磁化强度（M）：只有当内部
是点阵点
α
α
A
t
B
• 绕A轴旋转α，将B点转 至B’点
• 绕B轴反向旋转α，将A 点转至A’点
• 线段B’A’长度为t’，且与 线段AB平行
可约表示
不可约表示
特征标表
• 任何表示矩阵的集合，包含了点群的全部对称信息，这些信 息也包含在矩阵的特征标之中。
• 同类元素: 若A, B, C为群的元素.当有关系式BAB-1=C 成立时,称A和C是群的类元素。
C3v 的特征标表
群的不可约表示和特征标规则
1. 群的不可约表示维数平方和等于群的阶。 • C(132v点+ 1群2 的+ 三22个= 6不=可h约) 表示中，两个一维，一个二维，阶为6。
• 给定晶体，其中任意两个点阵点所代表的两个结构基元应该 满足： 1)化学组成相同 2)内部结构相同 3)周围环境相同
• 旋转、倒反、反映、旋转-倒反、旋转-反映、螺旋旋转、滑移反映
点对称操作
轴次定理
轴次定理：晶体中只可能存在1，2，3，4，6重对称轴，5重和 6重以上对称轴不存在 。
B’
t’
A’ • A，B点是点阵点，A’,B’点也必
其他功能材料
• 磁致伸缩材料：磁性材料在外磁场作用下，产生伸长或缩 短的现象－为磁致伸缩效应。 （声纳、传感器敏感元件）
• 功能高分子 - 指当有外部刺激时，能通过化学或物理的方 法做出反应的高分子材料。
• 热功能材料：随着温度的变化，有些材料的某些物理性能 会发生显著变化，如热胀冷缩、出现形状记忆效应或热电 效应等，这类材料称为热功能材料。
• 封闭性：若aϵG, bϵG，则abϵG • 结合律：(ab)c=a(bc) • 单位元E：ae=ea=a • 逆元素: aa-1=e
• 对称操作的集合构成的群称为对称操作群,简称对称群。 • 分子所有对称元素必须至少通过一点,故称分子点群。
• 证明：封闭性
对称群
对称群
• 旋转-反映Snm的逆操作与m和n的奇偶性有关 1. n=是偶数，不论M是偶或奇数，它的逆操作都是Snn-m 2. n=是奇数，m=偶数，则Snm = Cnm ，因而它的逆操作是Cnn-m 3. n=是奇数，m=奇数，则Snm = Cnm σ，它的逆操作应为Cnn-m σ
CCl3CH3 C3
分子结构中的重要点群
• Cn点群（n>1）
– 对称元素: n – n 阶群(Cn, Cn2, Cn3… Cnn-1, Cnn=E)
分子结构中的重要点群
• Cnv 点群
– 对称元素: n，n个σv /σd
– 2n 阶群
C4v BrF5
C5v Ti(C5H5)
分子结构中的重要点群
H3C CH3
N CH3
H3C
S4 {E, S41, S42, S43}
{E,hC41,C21, hC43}
分子结构中的重要点群
• Td 点群
– 正四面体构型的分子 或离子（对称操作: 24个）
• CH4 ， CCl4 ，GeCl4
• Oh 点群
– 正八面体构型的分子 或离子（对称操作: 48个）
过氧化氢 反-1,2-二氯乙烯 水、四氟化硫、硫酰氟
氨、三氯氧磷
四氟氧氙 四氧化二氮、乙硼烷 三氟化硼、五氯化磷、三氧化硫
四氟化氙 二茂铁重叠式构象、C70富勒烯
点群 D6h D2d D3d D4d D5d Td Oh C∞v D∞h Ih
范例 二苯铬、苯
丙二烯、四氮化四硫 乙硅烷交叉式构象 十羰基二锰交叉式构象 二茂铁交叉式构象 四氯化锗、五氧化二磷
• Cnv 点群:
H2O
NH3
分子结构中的重要点群
• Cnh 点群
– 对称元素: n，σh
– 2n 阶群 C1h =Cs
分子结构中的重要点群
• Cv 点群
– 对称元素: • C (和键轴方向一致) • σv (无穷多个,通过键轴的垂直镜面)
– 例: CO、HCN – 无对称中心的线型分子均属 Cv 点群
立方烷、六氟化硫 氯化氢、一氧化二碳 氢分子、叠氮根离子、二氧化碳
富勒烯
对称操作的表示矩阵
•恒等操作E的表示矩阵
•反映操作σxy的表示矩阵
•反演操作i的表示矩阵
•旋转Cn操作矩阵方程,绕Z轴
对称操作的表示矩阵
• 旋转-反映操作Sn的表示矩阵 (绕 z 轴按逆时针方向转动 θ 角)
对称操作群
• 群的定义：按照某种规律联系着的一组元素的集合。 对于给定的乘法满足下述四条公设：满足封闭性、结 合律成立、单位元E存在、逆元素存在。
2. 群的不可约表示的数目等于群中类的数。 • C3v点群的群元素分成三类．因而必须有三个不可约表示。
3. 群的不可约表示特征标的平方和等于群的阶。
4. 群的两个不可约表示的特征标满足正交关系。
5. 属于同一类的对称操作具有相同的特征标。
可约表示的分解
• 可约表示可以分解为组成它的一系列不可约表示．分 解公式：
HCN
分子结构中的重要点群
• Dn点群
– 对称元素: Cn，C2(在主轴的垂面方向上) – 含三个相同双齿配体的六配位化合物均属D3点群．
C2
N6 N3
C2
N1
N5
C2
N4 N2
D3： [Co(NH2CH2CH2NH2)3]3+
分子结构中的重要点群
• Dnh点群
– 对称元素: Cn，C2(在主轴的垂面方向上)，σh (水平)
的乘积，且等于Cn2n-m σ ，因而可写成单一的操作Sn2n-m
• 反映 σ 的逆操作就是 σ 本身：σ σ = σ 2=E • 旋转Cnm的逆操作是Cnn-m，因为：Cnm Cnn-m = Cnn = E
群的表示
• 对称操作群所含的一组对称操作的表示矩阵也构成群. 简称群的表示．
• 特征标 --- 矩阵的对角元素之和.任何表示矩阵的集合， 包含了点群的全部对称信息，这些信息也包含在矩阵 的特征标之中。