高考数学每日5题
高考数学每日一练(4)-人教版高三全册数学试题
高三数学每日一练（8）——集合（2）1．已知集合}2{<=x x A ，}012{>+=x xB ，则B A =（ ） A ．Φ B ．}21{<<-x xC ．}12{-<<-x xD ．12{<<-x x 或}2>x 2．[2014·某某高考]设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则)(B C A R ＝( )A ．(－3,0)B ．(－3，－1)C ．(－3，－1]D ．(－3,3) 3．设集合2{|21},{|10}x A x B x x -=<=-≥，则A B 等于（ ）A ．{|1}x x ≤B ．{|12}x x ≤<C ．{|01}x x <≤D ．{|01}x x <<4．已知集合{}2,0xM y y x ==>，{})2lg(2x x y x N -==，则N M 为( )A ．()2,1B ．()+∞,1C ．[)+∞,2D ．[)+∞,15．(选做)设集合A ＝{x |x 2＋2x －3>0}，集合B ＝{x |x 2－2ax －1≤0，a >0}．若A ∩B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值X 围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，43C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ D ．(1，＋∞)高三数学每日一练（9）——导数（4）1．已知曲线1ln 342+-=x x y 的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．212．设函数()f x 的导函数为()f x '，如果()f x '是二次函数, 且()f x '的图象开口向上,顶点坐标为 , 那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值X 围是( ) A ．π(0,]3 B ．π2π(,]23 C ．ππ[,)32D ．π[,π)3 3．函数x e x f xln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ） A ．)1(2-=x e y B ．1-=ex y C ．)1(-=x e y D ．e x y -=4．直线(1)y k x =+与曲线()ln f x x ax b =++相切于点(1,2)P ，则2a b +=．5．曲线：12323-+-=x x x y 的切线的斜率的最小值是。
高考数学每日大题训练
星期一 (三角问题)2018年____月____日【题目1】 已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x ) ≥－12.(1)解 f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x ) ≥－12成立.星期二 (立体几何问题)2018年____月____日【题目2】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，CD ＝2AB ，平面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD .E 和F 分别是CD 和PC 的中点.求证： (1)P A ⊥底面ABCD ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面BEF ⊥平面PCD .证明(1)因为平面P AD∩平面ABCD＝AD.又平面P AD⊥平面ABCD，且P A⊥AD，P A⊂平面P AD，所以P A⊥底面ABCD.(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以ABED为平行四边形.所以BE∥AD.又因为BE⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，所以BE∥平面P AD.(3)因为AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形.所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知P A⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以P A⊥CD.又因为P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD，又PD⊂平面P AD，从而CD⊥PD，又E，F分别是CD和CP的中点，所以EF∥PD，故CD⊥EF.由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD⊂平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.星期三(解析几何问题)2018年____月____日【题目3】已知△ABC的两顶点坐标A(－1，0)，B(1，0)，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，CP＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.(1)求曲线M 的方程；(2)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程.解 (1)由题知CA ＋CB ＝CP ＋CQ ＋AP ＋BQ ＝2CP ＋AB ＝4＞AB ， 所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)， 设曲线M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)， 则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝3，所以曲线M ：x 24＋y 23＝1(y ≠0)为所求.(2)注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点B (1，0)，设l BC ：x ＝my ＋1，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 由⎩⎨⎧x ＝my ＋1，3x 2＋4y 2＝12，消x 得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0， 所以y 1，2＝－3m ±6m 2＋13m 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－6m3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4，因为AC →＝(my 1＋2，y 1)，AD →＝(my 2＋2，y 2)，所以AC →·AD →＝(my 1＋2)(my 2＋2)＋y 1y 2＝(m 2＋1)y 1y 2＋2m (y 1＋y 2)＋4＝－9（m 2＋1）3m 2＋4－12m 23m 2＋4＋4＝7－9m 23m 2＋4.注意到点A 在以CD 为直径的圆上，所以AC →·AD→＝0，即m ＝±73，所以直线BC的方程3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0为所求.星期四 (实际应用问题)2018年____月____日【题目4】 经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，日旅游人数f (t )(万人)与时间t (天)的函数关系近似满足f (t )＝4＋1t ，日人均消费g (t )(元)与时间t (天)的函数关系近似满足g (t )＝115－|t －15|.(1)求该城市的旅游日收益w (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式； (2)求该城市旅游日收益的最小值(万元).解 (1)由题意得，w (t )＝f (t )·g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (115－|t －15|)(1≤t ≤30，t ∈N *).所以w (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t （t ＋100）（1≤t ＜15，t ∈N *），⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t （130－t ）（15≤t ≤30，t ∈N *），(2)①当1≤t ＜15时，w (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (t ＋100)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋25t ＋401≥4×225＋401＝441，当且仅当t ＝25t ，即t ＝5时取等号.②当15≤t ≤30时，w (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (130－t )＝519＋⎝ ⎛⎭⎪⎫130t －4t ，可证w (t )在t ∈[15，30]上单调递减， 所以当t ＝30时，w (t )取最小值为40313.由于40313＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为40313万元.星期五 (数列问题)2018年____月____日【题目5】 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3(n ∈N *)，且a 1，a 2，a 7依次是等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }及{b n }的通项公式；(2)是否存在常数a ＞0且a ≠1，使得数列{a n －log a b n }(n ∈N *)是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.解 (1)n ＝1时，8a 1＝a 21＋4a 1＋3，a 1＝1或a 1＝3. 当n ≥2时，8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3， a n ＝S n －S n －1＝18(a 2n ＋4a n －a 2n －1－4a n －1)， 从而(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0因为{a n }各项均为正数，所以a n －a n －1＝4.所以，当a 1＝1时，a n ＝4n －3；当a 1＝3时，a n ＝4n －1.又因为当a 1＝1时，a 1，a 2，a 7分别为1，5，25，构成等比数列，所以a n ＝4n －3，b n ＝5n －1.当a 1＝3时，a 1，a 2，a 7分别为3，7，27，不构成等比数列，舍去. 综上所述，a n ＝4n －3，b n ＝5n －1. (2)存在满足条件的a ，理由如下： 由(1)知，a n ＝4n －3，b n ＝5n －1，从而 a n －log a b n ＝4n －3－log a 5n －1 ＝4n －3－(n －1)·log a 5 ＝(4－log a 5)n －3＋log a 5.由题意，得4－log a 5＝0，所以a ＝45.星期六 (函数与导数问题)2018年____月____日【题目6】 设f (x )＝e x (ax 2＋x ＋1). (1)若a ＞0，讨论f (x )的单调性；(2)x ＝1时，f (x )有极值，证明：当θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，|f (cos θ)－f (sin θ)|＜2. (1)解 f ′(x )＝e x (ax 2＋x ＋1)＋e x (2ax ＋1)＝a e x (x ＋1a )(x ＋2)，当a ＝12时，f ′(x )＝12e x (x ＋2)2≥0， f (x )在R 上单调递增； 当0＜a ＜12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－2或x ＜－1a ；由f ′(x )＜0，得－1a ＜x ＜－2，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a 和(－2，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，－2上单调递减. 当a ＞12时，由f ′(x )＞0，得x ＞－1a 或x ＜－2； 由f ′(x )＜0， 得－2＜x ＜－1a ，∴f (x )在(－∞，－2)和⎝⎛－1a ，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1a 上单调递减. (2)证明 ∵x ＝1时，f (x )有极值， ∴f ′(1)＝3e(a ＋1)＝0， ∴a ＝－1，∴f (x )＝e x (－x 2＋x ＋1)， f ′(x )＝－e x (x －1)(x ＋2). 由f ′(x )＞0， 得－2＜x ＜1，∴f (x )在[－2，1]上单调递增. ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴sin θ，cos θ∈[0，1]，∴|f (cos θ)－f (sin θ)| ≤f (1)－f (0)＝e －1＜2.星期日 (解答题综合练)2018年____月____日【题目1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab . (1)求角C 的大小；(2)若c ＝2a cos B ，b ＝2，求△ABC 的面积.解 (1)在△ABC 中，由(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab 得(a ＋b )2－c 2＝ab ，进而得a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，即cos C ＝－12.因为0<C <π，所以C ＝2π3.(2)法一 因为c ＝2a cos B ， 由正弦定理得sin C ＝2sin A cos B ， 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝sin(A ＋B )， 所以sin(A ＋B )＝2sin A cos B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0， 即sin(A －B )＝0，又－π3<A －B <π3， 所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ＝2. 所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.法二 由c ＝2a cos B 及余弦定理得c ＝2a ×a 2＋c 2－b 22ac ， 化简得a ＝b ＝2，所以△ABC 的面积为S △ABC ＝12ab sin C ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3. 【题目2】 如图，在三棱锥P －ABC 中，∠P AC ＝∠BAC＝90°，P A ＝PB ，点D ，F 分别为BC ，AB 的中点. (1)求证：直线DF ∥平面P AC ； (2)求证：PF ⊥AD .证明 (1)因为点D ，F 分别为BC ，AB 的中点， 所以DF ∥AC ，又因为DF ⊄平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以直线DF ∥平面P AC . (2)因为∠P AC ＝∠BAC ＝90°， 所以AC ⊥AB ，AC ⊥AP ，又因为AB ∩AP ＝A ，所以AC ⊥平面P AB ， 因为PF ⊂平面P AB ，所以AC ⊥PF ，因为P A ＝PB ，F 为AB 的中点，所以PF ⊥AB ， 因为AC ∩AB ＝A ，所以PF ⊥平面ABC ， 因为AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥PF .【题目3】 某商场对A 品牌的商品进行了市场调查，预计2015年从1月起前x 个月顾客对A 品牌的商品的需求总量P (x )件与月份x 的近似关系是： P (x )＝12x (x ＋1)(41－2x )(x ≤12且x ∈N *). (1)写出第x 月的需求量f (x )的表达式； (2)若第x 月的销售量g (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）－21x ，1≤x ＜7且x ∈N *，x 2e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2－10x ＋96，7≤x ≤12且x ∈N * (单位：件)，每件利润q (x )元与月份x 的近似关系为：q (x )＝10e xx ，问：该商场销售A 品牌商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？(e 6≈403)解 (1)当x ＝1时，f (1)＝P (1)＝39. 当x ≥2时， f (x )＝P (x )－P (x －1)＝12x (x ＋1)(41－2x )－12(x －1)x (43－2x ) ＝3x (14－x ). 由于x ＝1适合上式，∴f (x )＝－3x 2＋42x (x ≤12，x ∈N *). (2)设月利润为h (x )， h (x )＝q (x )·g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧30e x （7－x ），1≤x <7，x ∈N *，103x 3－100x 2＋960x ，7≤x ≤12，x ∈N *， h ′(x )＝⎩⎨⎧30e x （6－x ），1≤x ＜7，x ∈N *，10（x －8）（x －12），7≤x ≤12，x ∈N *，∵当1≤x ≤6时，h ′(x ) ≥0，当6＜x ＜7时，h ′(x )＜0，∴当1≤x ＜7且x ∈N *时，h (x )max ＝30e 6≈12 090， ∵当7≤x ≤8时，h ′(x ) ≥0，当8≤x ≤12时，h ′(x ) ≤0， ∴当7≤x ≤12且x ∈N *时，h (x )max ＝h (8)≈2 987.综上，预计该商场第6个月的月利润达到最大，最大月利润约为12 090元. 【题目4】 如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上、下两个顶点为A ，B ，直线l ：y ＝－2，点P 是椭圆上异于点A ，B 的任意一点，连接AP 并延长交直线l 于点N ，连接PB 并延长交直线l 于点M ，设AP 所在的直线的斜率为k 1，BP 所在的直线的斜率为k 2.若椭圆的离心率为32，且过点A (0，1).(1)求k 1·k 2的值； (2)求MN 的最小值；(3)随着点P 的变化，以MN 为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由.解 (1)因为e ＝c a ＝32，b ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.设椭圆上点P (x 0，y 0)，有x 204＋y 20＝1，所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·y 0＋1x 0＝y 20－1x 20＝－14.(2)因为M ，N 在直线l ：y ＝－2上， 设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)，由方程知x 24＋y 2＝1知，A (0，1)，B (0，－1)，所以k BM ·k AN ＝－2－（－1）x 1－0·－2－1x 2－0＝3x 1x 2，又由(1)知k AN ·k BM ＝k 1·k 2＝－14，所以x 1x 2＝－12， 不妨设x 1＜0，则x 2＞0，则 MN ＝|x 1－x 2|＝x 2－x 1＝x 2＋12x 2≥2x 2·12x 2＝43，所以当且仅当x 2＝－x 1＝23时，MN 取得最小值4 3. (3)设M (x 1，－2)，N (x 2，－2)， 则以MN 为直径的圆的方程为 (x －x 1)(x －x 2)＋(y ＋2)2＝0，即x 2＋(y ＋2)2－12－(x 1＋x 2)x ＝0，若圆过定点， 则有x ＝0，x 2＋(y ＋2)2－12＝0， 解得x ＝0，y ＝－2±23，所以，无论点P 如何变化，以MN 为直径的圆恒过定点(0，－2±23). 【题目5】 已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x ) ≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值.解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，① 若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意.②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax 知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增， 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点. 由于f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x ) ≥0， 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0，令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n . 从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1. 故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e ， 又⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n >⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123＝13564>2， ∴当n ≥3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n ∈(2，e)， 由于⎝⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，且m ∈N *. 所以整数m 的最小值为3.【题目6】 已知数列{a n }的前三项分别为a 1＝5，a 2＝6，a 3＝8，且数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2，其中m ，n 为任意正整数.(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)求满足S 2n －32a n ＋33＝k 2的所有正整数k ，n . 解 (1)在等式S m ＋n ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m )2中，分别令m ＝1，m ＝2，得 S n ＋1＝12(S 2n ＋S 2)－(n －1)2，①S n ＋2＝12(S 2n ＋S 4)－(n －2)2，②②－①，得a n ＋2＝2n －3＋S 4－S 22.在等式S n ＋m ＝12(S 2n ＋S 2m )－(n －m 2)中，令n ＝1，m ＝2，得S 3＝12(S 2＋S 4)－1，由题设知，S 2＝11，S 3＝19，故S 4＝29.所以a n ＋2＝2n ＋6(n ∈N *)，即a n ＝2n ＋2(n ≥3，n ∈N *).又a 2＝6也适合上式，故a n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，2n ＋2，n ≥2.S n ＝⎩⎨⎧5，n ＝1，n 2＋3n ＋1，n ≥2.即S n ＝n 2＋3n ＋1，n ∈N *.(2)记S2n－32a n＋33＝k2(*).n＝1时，无正整数k满足等式(*).n≥2时，等式(*)即为(n2＋3n＋1)2－3(n－10)＝k2.①当n＝10时，k＝131.②当n＞10时，则k＜n2＋3n＋1，又k2－(n2＋3n)2＝2n2＋3n＋31＞0，所以k＞n2＋3n.从而n2＋3n＜k＜n2＋3n＋1.又因为n，k∈N*，所以k不存在，从而无正整数k满足等式(*).③当n＜10时，则k＞n2＋3n＋1，因为k∈N*，所以k≥n2＋3n＋2.从而(n2＋3n＋1)2－3(n－10)≥(n2＋3n＋2)2.即2n2＋9n－27≤0.因为n∈N*，所以n＝1或2.n＝1时，k2＝52，无正整数解；n＝2时，k2＝145，无正整数解.综上所述，满足等式(*)的n，k分别为n＝10，k＝131.。
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一、等差数列选择题1．已知数列{}n a 的前项和221n S n =+，n *∈N ，则5a =（ ）A ．20B ．17C ．18D ．192．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差1d =，且6210S S ，则34a a +=（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列4．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且351024a a a ++=，则13S 的值为（ ） A ．8B ．13C ．26D ．1625．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．76．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．1517．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-8．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．459．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足212n n n a a a ++=-，534a a =-，则7S =（ ） A ．7B ．12C ．14D ．2110．在等差数列{}n a 中，10a >，81335a a =，则n S 中最大的是（ ） A ．21SB ．20SC ．19SD ．18S11．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60 B ．120 C ．160 D ．240 12．在等差数列{a n }中，已知a 5=3，a 9=6，则a 13=（ ）A ．9B ．12C ．15D ．1813．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．614．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）A ．24B ．23C ．17D ．1615．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<16．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7217．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．1018．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．6419．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 20．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布二、多选题21．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列22．题目文件丢失！23．题目文件丢失！24．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝025．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+26．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T27．已知数列{}2nna n +是首项为1，公差为d 的等差数列，则下列判断正确的是（ ） A ．a 1＝3 B ．若d ＝1，则a n ＝n 2+2n C ．a 2可能为6D ．a 1，a 2，a 3可能成等差数列28．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减 D ．数列{}n S 有最大值29．数列{}n a 满足11,121nn n a a a a +==+，则下列说法正确的是（ ） A ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和2n S n = C ．数列{}n a 的通项公式为21n a n =- D ．数列{}n a 为递减数列30．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d ．已知a 3＝12，S 12＞0，a 7＜0，则（ ）A ．a 6＞0B ．2437d -<<- C ．S n ＜0时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】根据题中条件，由554a S S =-，即可得出结果． 【详解】因为数列{}n a 的前项和2*21,n S n n N =+∈， 所以22554(251)(241)18a S S =-=⨯+-⨯+=． 故选：C ． 2．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，可直接得出结果. 【详解】因为n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差1d =，6210S S ，所以()()6543434343222410a a a a a d a d a a a a +++=+++++=++=， 解得343a a +=. 故选：B. 3．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 4．B 【分析】先利用等差数列的下标和性质将35102a a a ++转化为()410724a a a +=，再根据()11313713132a a S a +==求解出结果.【详解】因为()351041072244a a a a a a ++=+==，所以71a =，又()1131371313131132a a S a +===⨯=， 故选：B. 【点睛】结论点睛：等差、等比数列的下标和性质：若()*2,,,,m n p q t m n p q t N +=+=∈，（1）当{}n a 为等差数列，则有2m n p q t a a a a a +=+=； （2）当{}n a 为等比数列，则有2m n p q t a a a a a ⋅=⋅=.5．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 6．B 【分析】由条件可得127a =，然后231223S a =，算出即可. 【详解】因为31567a a a +=+，所以15637a a a =-+，所以1537a d =+，所以1537a d -=，即127a =所以231223161S a == 故选：B 7．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 8．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 9．C 【分析】判断出{}n a 是等差数列，然后结合等差数列的性质求得7S . 【详解】∵212n n n a a a ++=-，∴211n n n n a a a a +++-=-，∴数列{}n a 为等差数列. ∵534a a =-，∴354a a +=，∴173577()7()1422a a a a S ++===. 故选：C 10．B 【分析】设等差数列的公差为d .由已知得()()1137512a d a d +=+，可得关系1392a d =-.再运用求和公式和二次函数的性质可得选项. 【详解】设等差数列的公差为d .由81335a a =得，()()1137512a d a d +=+，整理得，1392a d =-. 又10a >，所以0d <，因此222120(20)2002222n d d d dS n a n n dn n d ⎛⎫=+-=-=-- ⎪⎝⎭， 所以20S 最大. 故选：B. 11．B 【分析】利用等差数列的性质，由7916+=a a ，得到88a =，然后由15815S a =求解. 【详解】因为7916+=a a ，所以由等差数列的性质得978216a a a +==， 解得88a =， 所以()11515815151581202a a S a +===⨯=． 故选：B 12．A 【分析】在等差数列{a n }中，利用等差中项由95132a a a =+求解. 【详解】在等差数列{a n }中，a 5=3，a 9=6， 所以95132a a a =+，所以139522639a a a =-=⨯-=， 故选：A 13．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】 因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 14．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 15．D 【分析】由等差数列前n 项和公式即可得解. 【详解】由题意，1110,0m m a a a a ++>+<， 所以1()02m m m a a S +=>，111(1)()02m m m a a S ++++=<. 故选：D. 16．A 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()1999983622a a S +⨯===. 故选：A . 【点睛】熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 17．D 【分析】由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，得：111154435242238a d a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭+++=⎧⎪⎨⎪⎩，即{1132024a d a d +-+=， 解得：{123a d =-=，51424310a a d ∴=+=-+⨯=.18．A 【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列的通项公式列方程组，求出1a 和d 的值，12111a a d =+，即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则111681631a d a d a d +++=⎧⎨+=⎩，即117831a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得：174174d a ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以12117760111115444a a d =+=-+⨯==， 所以12a 的值是15， 故选：A 19．C 【分析】由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，求出数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而得出答案．【详解】 由已知可得数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且121131,2x x ==，故公差12d = 则()1111122n n n x +=+-⨯=，故21n x n =+故选：C 20．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D.二、多选题21．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n ∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.22．无 23．无24．ABD 【分析】对于A ，由题意得b n ＝4πa n 2，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】由题意得b n ＝4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4πa 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确；故选：ABD.【点睛】此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 25．BD【分析】根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可.【详解】解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，选项A ：不符合题设；选项B ：01(1)12,a =-+=12(1)10,a =-+= 23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；选项C ：，12sin 2,2a π==22sin 0,a π==332sin 22a π==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.故选：BD.【点睛】本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题.26．AD【分析】分类讨论67,a a 大于1的情况，得出符合题意的一项.【详解】①671,1a a >>, 与题设67101a a -<-矛盾. ②671,1,a a ><符合题意.③671,1,a a <<与题设67101a a -<-矛盾. ④ 671,1,a a <>与题设11a >矛盾.得671,1,01a a q ><<<，则n T 的最大值为6T .∴B ，C ，错误.故选：AD.【点睛】考查等比数列的性质及概念. 补充：等比数列的通项公式：()1*1n n a a qn N -=∈. 27．ACD【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可求解【详解】 因为1112a =+，1(1)2nn a n d n =+-+，所以a 1＝3，a n ＝[1+(n -1)d ](n +2n ).若d ＝1，则a n ＝n (n +2n )；若d ＝0，则a 2＝6.因为a 2＝6+6d ，a 3＝11+22d ，所以若a 1，a 2，a 3成等差数列，则a 1+a 3＝a 2，即14+22d ＝12+12d ，解得15d =-. 故选ACD28．ABD【分析】由10n n a a d +-=<可判断AB ，再由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，可判断CD.【详解】根据等差数列定义可得10n n a a d +-=<，所以数列{}n a 单调递减，A 正确； 由数列{}n a 单调递减，可知数列{}n a 有最大值a 1，故B 正确；由a 1＞0，d ＜0，可知等差数列数列{}n a 先正后负，所以数列{}n S 先增再减，有最大值，C 不正确，D 正确.故选：ABD.29．ABD【分析】 首项根据11,121n n n a a a a +==+得到1112n n a a +-=，从而得到1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，再依次判断选项即可.【详解】对选项A ，因为121n n n a a a +=+，11a =， 所以121112n n n n a a a a ++==+，即1112n na a +-=所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以首项为1，公差为2的等差数列，故A 正确. 对选项B ，由A 知：112121n n n a 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和()21212n n n S n +-==，故B 正确. 对选项C ，因为121n n a =-，所以121n a n =-，故C 错误. 对选项D ，因为121n a n =-，所以数列{}n a 为递减数列，故D 正确. 故选：ABD【点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和前n 项和，同时考查了递推公式，属于中档题.30．ABCD【分析】S 12＞0，a 7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a 6+a 7＞0，a 6＞0．再利用a 3＝a 1+2d ＝12，可得247-＜d ＜﹣3．a 1＞0．利用S 13＝13a 7＜0．可得S n ＜0时，n 的最小值为13．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0.7≤n ≤12时，n n S a ＜0．n ≥13时，n n S a ＞0．进而判断出D 是否正确．【详解】∵S 12＞0，a 7＜0，∴()67122a a +＞0，a 1+6d ＜0．∴a 6+a 7＞0，a 6＞0．∴2a 1+11d ＞0，a 1+5d ＞0，又∵a 3＝a 1+2d ＝12，∴247-＜d ＜﹣3．a 1＞0． S 13＝()113132a a +＝13a 7＜0．∴S n ＜0时，n 的最小值为13． 数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中，n ≤6时，n n S a ＞0，7≤n ≤12时，n n S a ＜0，n ≥13时，n n S a ＞0． 对于：7≤n ≤12时，n nS a ＜0．S n ＞0，但是随着n 的增大而减小；a n ＜0， 但是随着n 的增大而减小，可得：n nS a ＜0，但是随着n 的增大而增大．∴n ＝7时，n nS a 取得最小值． 综上可得：ABCD 都正确．故选：ABCD ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
高考理科数学小题专题练习 (5)
横坐标缩短到原来的
1 2
倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin
2x＋π2
的图象，再把所得函数的图象向左平移
π 12
个单位长度，可得函
数y＝sin2x＋1π2＋π2＝sin2x＋23π的图象，即曲线C2.故选D.
第13页
6.(2019·广东省韶关市高考模拟)已知函数 f(x)＝sinωx＋π6
得tanθ＝34或43.故选D.
第21页
10.(2019·安徽淮南一模)设α∈ 0，π2 ，β∈ 0，π4 ，且tanα＝
1＋cossi2nβ2β，则下列结论中正确的是(
)
A.α－β＝π4
B.α＋β＝π4
C.2α－β＝π4
D.2α＋β＝π4
第22页
答案 A
解析
tanα＝
1＋sin2β cos2β
＝
（sinβ＋cosβ）2 cos2β－sin2β
＝
cosβ＋sinβ cosβ－sinβ
＝
1＋tanβ 1－tanβ
＝tan
β＋π4
.因为α∈
0，π2
，β＋
π 4
∈
π4，π2
，所以α＝β＋
π4，即α－β＝π4.故选A.
第23页
11.(2019·山西晋城一模)已知函数f(x)＝2sin ωx＋π3 的图象的
一个对称中心为π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1，3).若对任意的
实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是( )
π
A.1
B.2
C.2
D.π
第24页
答案 B
解析 因为函数f(x)＝2sin ωx＋π3 的图象的一个对称中心为
高考数学考前刷题大卷练5三角函数(理)(含解析)
刷题大卷练 5 三角函数大卷练A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π8答案：B解析：由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，在原点附近的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，因此⎩⎪⎨⎪⎧x 03≤π6，2x 0≥2π3，解得π3≤x 0≤π2，故选B.6．[2019·广州调研]将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度，所得图象对应的函数恰为奇函数，则φ的最小值为( )A.π6B.π12C.π4D.π3 答案：A解析：由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，该函数的图象向左平移φ个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋φ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3，因为g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋2π3为奇函数，所以2φ＋2π3＝k π(k ∈Z )，φ＝k π2－π3(k ∈Z )，又φ>0，故φ的最小值为π6，选A.7．[2019·武汉模拟]已知f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)(0<θ<π)的图象关于⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，则函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为( ) A ．－1 B ．－ 3C ．－12D ．－32答案：B解析：由已知得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋θ＋π6，令2x ＋θ＋π6＝k π，k ∈Z ，其中x ＝π2为方程的一个解，代入得θ＝(k －1)π－π6，k ∈Z ，又0<θ<π，所以θ＝5π6，因而f (x )＝－2sin2x ，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上单调递减，所以f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－ 3. 8．[2019·河北联考]已知函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，其中φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则下列关于函数g (x )＝cos(2x －φ)的正确描述是( )A ．g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，π3上的最小值为－1 B ．g (x )的图象可由函数f (x )的图象向上平移2个单位长度，向右平移π3个单位长度得到C ．g (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，0D ．g (x )的一个单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2答案：C 解析：∵函数f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋3φ)是偶函数，y ＝1，y ＝2cos x 都是偶函数，∴y＝cos(x ＋3φ)是偶函数，∴3φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝k π3，k ∈Z ，又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当－π12≤x ≤π3时，－π2≤2x －π3≤π3，cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[0,1]，故A 错误；f (x )＝1＋2cos x cos(x ＋π)＝1－2cos 2x ＝－cos2x ，显然B 错误；当x ＝－π12时，g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0，故C 正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3不单调，故D 错误．故选C.9．[2019·吉林梅河口五中月考]若tan(α＋80°)＝4sin420°，则tan(α＋20°)的值为( )A ．－35B ．335C.319 D.37 答案：D解析：由tan(α＋80°)＝4sin420°＝4sin60°＝23，得tan(α＋20°)＝tan[(α＋80°)－60°]＝tan α＋80°－tan60°1＋tan α＋80°tan60°＝23－31＋23×3＝37.故选D.10．[2019·南宁联考]若角α满足sin α＋2cos α＝0，则tan2α＝( )A ．－43 B.34C ．－34 D.43答案：D解析：解法一 由题意知，tan α＝－2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝43，故选D. 解法二 由题意知，sin α＝－2cos α，tan2α＝sin2αcos2α＝2sin αcos αcos 2α－sin 2α＝43，故选D. 11．[2019·黄冈质检]已知α＋β＝π6，且3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α＝( )A ．－33 B. 3C ．－ 3D ．3 3 答案：D解析：由3(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0得，3tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－2 3 ①，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝33，即3(tan α＋tan β)＝1－tan αtan β ②，由①②得tan α＝33，故选D.12．已知函数f (x )＝A sin ()ωx ＋φ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－2π3对称B ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称C ．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数f (x )的图象 D ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值与最小值的差为2＋ 3 答案：D解析：由函数图象可知，A ＝2，设最小正周期为T ，则T 4＝π3－π12＝π4，所以T ＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝2，又|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.对于选项A ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋π3＝2sin(－π)＝0，所以f (x )的图象不关于直线x ＝－2π3对称，即选项A 不正确；对于选项B ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12＋π3＝－2，所以f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π12，0对称，即选项B 不正确；对于选项C ，因为将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象向左平移π6个单位长度得到函数图象对应的解析式为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，即选项C 不正确；对于选项D ，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，所以2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3∈[－2，3]，即函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0上的最大值与最小值的差为2＋3，选项D 正确．故选D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝________. 答案：－12解析：解法一 由已知可得cos θ＝12，sin θ＝32，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos θcos π3－sin θsin π3＝12×12－32×32＝－12.解法二由已知可得θ＝π3＋2kπ，k∈Z，所以cos⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝cos⎝⎛⎭⎪⎫π3＋2kπ＋π3＝－12.14．[2019·浙江绍兴诸暨中学模拟]3tan12°－34cos212°－2sin12°＝________.答案：－4 3解析：原式＝3s in12°－3cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23⎝⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos24°sin24°＝43sin12°－60°sin48°＝－4 3.15．[2019·惠州调研]已知tanα＝12，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝________.答案：－55解析：解法一cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝sinα，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧tanα＝sinαcosα＝12，sin2α＋cos2α＝1，得5sin2α＝1，故sinα＝－55.解法二cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π2＝sinα，由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2知α为第三象限角，由tanα＝12，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sinα＝－55.16．[2019·赣州崇义月考]函数f(x)＝sin x在区间(0,10π)上可找到n个不同数x1，x2，…，x n，使得f x1x1＝f x2x2＝…＝f x nx n，则n的最大值等于________．答案：10解析：设f x1x1＝f x2x2＝…＝f x nx n＝k，则条件等价为方程f(x)＝kx在(0,10π)上的根的个数．作出函数y＝f(x)和y＝kx的大致图象，由图可知函数y＝kx与y＝f(x)的图象在区间(0,10π)上最多有10个交点，即n的最大值为10，故答案为10.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)[2019·福建惠安惠南月考]已知cosα－sinα＝5213，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4.(1)求sinαcosα的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值．解析：(1)∵cos α－sin α＝5213，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4，平方可得1－2sin αcos α＝50169，∴sin αcos α＝119338.(2)sin α＋cos α＝sin α＋cos α2＝1＋2sin αcos α＝12213，∴原式＝cos2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos α－sin α·cos α＋sin α22cos α－sin α＝2(cos α＋sin α)＝2413.18．(本小题满分12分)[2019·安徽合肥检测]已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．解析：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π， ∴ω＝2.于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，令2x －π4＝k π＋π2，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )． 注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8上的单调递增；同理，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2上单调递减． 19．(本小题满分12分)[2019·湖北襄阳四校模拟联考]设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x cos x －sin 2(π－x )－12.(1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若f (α)＝3210－1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8，求f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π8的值．解析：(1)∵f (x )＝sin x cos x －sin 2x －12＝12(sin2x ＋cos2x )－1＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－1，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，x －5π12 －π6 π12 π37π12 f (x ) 0 －1 0 1 0∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，7π12上的大致图象如图：21．(本小题满分12分)[2019·黑龙江哈尔滨六中月考]已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)将y ＝f (x )的图象向左平移π3个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象与直线y＝a 有三个交点，求实数a 的取值范围．解析：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝12cos2x ＋32sin2x ＋(sin x －cos x )(sin x ＋cos x ) ＝12cos2x ＋32sin2x ＋sin 2x －cos 2x ＝12cos2x ＋32sin2x －cos2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令－π2＋2k π≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)将f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得g 1(x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos2x 的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g (x )＝cos x的图象．作函数g (x )＝cos x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，13π4上的图象，作直线y ＝a .根据图象知，实数a的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0.22．(本小题满分12分)[2019·江苏常州]如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图象的一部分，其中点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是图象的一个最高点，点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0是图象与x 轴的一个交点，且与点P 相邻．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的单调递增区间．解析：(1)由函数f (x )的图象可知A ＝2，最小正周期T ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3－π3＝4π，∴ω＝2πT ＝12，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，2是函数图象的一个最高点， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×4π3＋φ＝2，∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.(2)由(1)得，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.把函数f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的图象，再把所得图象上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变)，得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．由题意，得g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．。
高考文科数学中档题训练5(学生版)
1 文科高考数学中档题系列（ 5 ）
1. 已知函数()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x πππ=-+-+ （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程
（Ⅱ）求函数()f x 在区间[,]122ππ
-上的值域 2. 某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(
（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,
将该样本看成一个总体, 从中任取2人, 求至少有1人的学历为研究生的概率；
（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上 的概率为
539
，求x 、y 的值.
3. 一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a 的正方形，左视图是直角边长为a 的等腰三角形）如图所示，其中M 、N 分别是AB 、AC 的中点，G 是DF 上的一动点
. （Ⅰ）求证：;AC GN ⊥
（Ⅱ）求三棱锥
F MCE -的体积；
（Ⅲ）当FG=GD 时，证明AG //平面FMC.
4. 已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．
(1)求P 0的坐标；
(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．
a a a 俯视图左视图 主视图G E F N M D C B A。
高中数学高考复习每日一题(整理)
高中数学高考复习每日一题（整理）高中数学高考复习每日一道好题11．已知P 是ABC ∆内任一点,且满足AP xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r,x 、y R ∈,则2y x +的取值范围是 ___ ．解法一：令1x y AQ AP AB AC x y x y x y ==++++u u u ru u u r u u u r u u u r ,由系数和1x y x y x y+=++,知点Q 在线段BC 上．从而1AP x y AQ +=<u u u ru u u r ．由x 、y 满足条件0,0,1,x y x y >>⎧⎨+<⎩易知2(0,2)y x +∈．解法二：因为题目没有特别说明ABC ∆是什么三角形，所以不妨设为等腰直角三角形，则立刻变为线性规划问题了．2．在平面直角坐标系中，x 轴正半轴上有5个点, y 轴正半轴有3个点，将x 轴上这5个点和y 轴上这3个点连成15条线段，这15条线段在第一象限内的交点最多有 个．答案：30个高中数学高考复习每日一道好题21．定义函数()[[]]f x x x =,其中[]x 表示不超过x 的最大整数,如:[1.5]1[ 1.3]2=-=-，,当*[0)()x n n N ∈∈，时,设函数()f x 的值域为A ,记集合A 中的元素个数为n a ,则式子90n a n+的最小值为 ． 【答案】13．【解析】当[)0,1n ∈时,[]0x x ⎡⎤=⎣⎦,其间有1个整数；当[),1n i i ∈+,1,2,,1i n =-L 时,[]2(1)i x x i i ⎡⎤≤<+⎣⎦,其间有i 个正整数,故(1)112(1)12n n n a n -=++++-=+L ,9091122na n n n +=+-, 由912n n=得,当13n =或14时,取得最小值13． 2． 有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有 种． 答案：192种a1．已知直线l ⊥平面α，垂足为O ．在矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，若点A 在l 上移动，点B 在平面α上移动，则O ，D 两点间的最大距离为 ． 解：设AB 的中点为E ，则E 点的轨迹是球面的一部分，1OE =，DE 所以1OD OE ED ≤+=当且仅当,,O E D 三点共线时等号成立．2． 将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个球放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子中至少放一个球且Ａ、Ｂ两个球不能放在同一盒子中，则不同的放法有 种． 答案：30种高中数学高考复习每日一道好题41． 在平面直角坐标系xOy 中，设定点(),A a a ，P 是函数()10y x x=>图象上一动点．若点,P A 之间的最短距离为a 的所有值为 ．解：函数解析式（含参数）求最值问题()222222211112222AP x a a x a x a x a a x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-++-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因为0x >，则12x x+≥，分两种情况：（1）当2a ≥时，min AP ==，则a =（2）当2a <时，min AP =1a =-2． 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有 种． 答案：90种1．已知,x y ∈R ，则()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为 ．解： 构造函数1y x =，22y x =-，则(),x x 与2,y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭两点分别在两个函数图象上，故所求看成两点(),x x 与2,y y⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离平方，令222080222y x mx mx m m y x =+⎧⎪⇒++=⇒∆=-=⇒=⎨=-⎪⎩， 所以22y x =+是与1y x =平行的22y x=-的切线，故最小距离为2d = 所以()222x y x y ⎛⎫++- ⎪⎝⎭的最小值为42． 某单位要邀请10位教师中的6人参加一个研讨会，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有 种． 答案：140种高中数学高考复习每日一道好题61．已知定圆12,O O 的半径分别为12,r r ，圆心距122O O =，动圆C 与圆12,O O 都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为12,e e ，则1212e e e e +的值为（ ） A ．1r 和2r 中的较大者 B ．1r 和2r 中的较小者C ．12r r +D ．12r r - 解：取12,O O 为两个焦点，即1c =若C e 与12,O O e e 同时相外切（内切），则121221CO CO R r R r r r -=--+=- 若C e 与12,O O e e 同时一个外切一个内切，则121221CO CO R r R r r r -=---=+ 因此形成了两条双曲线．此时21211212212111221122r r r r e e e e r r r r +-++=-+，不妨设21r r >，则12212e e r e e += 2．某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共有 种． 答案：6种高中数学高考复习每日一道好题71． 已知12,F F 是双曲线()222210,0x y a b ab-=>>的左右焦点，以12F F 为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M ，与双曲线交于点N ，且M 、N 均在第一象限，当直线1//MF ON 时，双曲线的离心率为e ，若函数()222f x x x x=+-，则()f e = ．解：()222,x y c M a b by x a ⎧+=⎪⇒⎨=⎪⎩1F M b k a c =+，所以ON b k a c =+，所以ON 的方程为b y x a c=+， 所以22221x y a a c a b N b y xa c ⎧-=⎪⎛⎫+⎪⇒⎨⎪=⎪+⎩又N 在圆222x y c +=上，所以222a a c c ⎛⎫⎛⎫++= 所以322220e e e +--=，所以()2222f e e e e=+-=2．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有 个． 答案：28个1． 已知ABC ∆的三边长分别为,,a b c ，其中边c 为最长边，且191a b+=，则c 的取值范围是 ．解：由题意知，,a c b c ≤≤，故1919101a b c c c =+≥+=，所以10c ≥ 又因为a b c +>，而()1991016baa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭所以16c <故综上可得1016c ≤<2． 从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有 种． 解： 48种高中数学高考复习每日一道好题91．在平面直角坐标系xoy 中，已知点A 是半圆()224024x y x x +-=≤≤上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC =u u u r u u u rg 时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．解：设()22cos ,2sin A θθ+，()22cos ,2sin C λλθλθ+，1λ>，,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦由20OA OC =u u u r u u u rg 得：522cos λθ=+所以()()[]5sin 055sin 2sin 5,522cos 1cos cos 1C y θθθθθθ-=⋅⋅==∈-++--2． 编号为1、2、3、4、5的五个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个的编号与座位号一致的坐法是 种． 答案：20种1．点D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，3,2AC BC ==，将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使'B DC ∆与ADC ∆构成直二面角，则翻折后'AB 的最小值是 ． 解：过点'B 作'B E CD ⊥于E ，连结,BE AE ， 设'BCD B CD α∠=∠=，则有'2sin ,2cos ,2B E CE ACE πααα==∠=-在AEC ∆中由余弦定理得22294cos 12cos cos 94cos 12sin cos 2AE παααααα⎛⎫=+--=+- ⎪⎝⎭在'RT AEB ∆中由勾股定理得22222''94cos 12sin cos 4sin 136sin 2AB AE B E ααααα=+=+-+=-所以当4πα=时，'AB 取得最小值为72．从1到10这是个数中，任意选取4个数，其中第二大的数是7的情况共有 种． 答案：45种高中数学高考复习每日一道好题111．已知函数()421421x x x x k f x +⋅+=++，若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，则实数k 的取值范围是 ．解：()421111421212x x x x x x k k f x +⋅+-==+++++ 令()110,13212x x g x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦++当1k ≥时，()213k f x +<≤，其中当且仅当0x =时取得等号所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需223k +≥，所以14k ≤≤ 当1k <时，()213k f x +≤<，其中当且仅当0x =时取得等号 所以若对于任意的实数123,,x x x 均存在以()()()123,,f x f x f x 为三边长的三角形，只需2213k +⋅≥，所以112k -≤<综上可得，142k -≤≤2．在一条南北方向的步行街同侧有8块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若只要求相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案共有 种． 答案：55种高中数学高考复习每日一道好题121．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ．解：()()()222111f x x ax a x a x a =-+-=---+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 所以()0f x <的解集为()1,1a a -+所以若使()()0f f x <的解集为空集就是1()1a f x a -<<+的解集为空，即min ()1f x a ≥+所以11a -≥+，即2a ≤-2．某校举行奥运知识竞赛，有6支代表队参赛，每队2名同学，12名参赛同学中有4人获奖，且这4人来自3人不同的代表队，则不同获奖情况种数共有 种．答案：31116322C C C C 种高中数学高考复习每日一道好题131．已知定义在R上的函数()f x满足①()()20f x f x+-=；②()()20f x f x---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]21,1,01,0,1x xf xx x⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩，则函数()f x与函数()122,0log,0x xg x x x⎧≤⎪=⎨>⎪⎩的图象在区间[]3,3-上的交点个数为．2．若5(1)ax-的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是．答案：2高中数学高考复习每日一道好题141．()f x是定义在正整数集上的函数，且满足()12015f=，()()()()212f f f n n f n+++=L，则()2015f=．解：()()()()212f f f n n f n+++=L，()()()()()212111f f f n n f n+++-=--L两式相减得()()()()2211f n n f n n f n=---所以()()111f n nf n n-=-+所以()()()()()()()()201520142201420132012121 201512015201420131201620152014320161008f f ff ff f f=⋅⋅=⋅⋅⋅==L2． 某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式 有 种． 答案：144种高中数学高考复习每日一道好题151． 若,a b r r 是两个非零向量，且a b a bλ==+r r r r，3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则b r 与a b -r r 的夹角的取值范围是 ．解：令1a b ==r r ，则1a b λ+=r r设,a b θ=r r ，则由余弦定理得()22221111cos 1cos 22λπθθλ+--==-=- 又3,1λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以11cos ,22θ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦所以2,33ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以由菱形性质得25,,36b a b ππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦r r r2． 若()11n x -的展开式中第三项系数等于6，则n = ．答案：12高中数学高考复习每日一道好题161． 函数()22f x x x =+，集合()()(){},|2A x y f x f y =+≤，()()(){},|B x y f x f y =≤，则由A B I 的元素构成的图形的面积是 ． 解：()()(){}()()(){}22,|2,|114A x y f x f y x y x y =+≤=+++≤()()(){}()()(){},|,|22B x y f x f y x y x y x y =≤=-++≤画出可行域，正好拼成一个半圆，2S π=2． 甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两公司各承包2项，共有承包方式 种． 答案：1680种高中数学高考复习每日一道好题171． 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，112AE AB =u u u ru u u ur ，在面ABCD 中取一个点F ，使1EF FC +u u u ru u u u r最小，则这个最小值为 ．解：将正方体1111ABCD A B C D -补全成长方体，点1C 关于面ABCD 的对称点为2C ，连接2EC 交平面ABCD 于一点，即为所求点F ，使1EF FC +u u u r u u u u r最小．其最小值就是2EC ． 连接212,AC B C ，计算可得21213,5,2AC B C AB ===，所以12AB C ∆为直角三角形，所以2142EC =2． 若()62601261mx a a x a x a x +=++++L 且123663a a a a ++++=L ，则实数m 的值为 ． 答案：1或-31． 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线分别交双曲线的两条渐近线于点,P Q ．若点P 是线段1FQ 的中点，且12QF QF ⊥，则此双曲线的离心率等于 ． 解法一：由题意1F P b =，从而有2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又点P为1FQ 的中点，()1,0F c -，所以222,a ab Q c cc ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ 所以222ab b a c c a c ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，整理得224a c =，所以2e = 解法二：由图可知，OP 是线段1F P 的垂直平分线，又OQ 是12Rt F QF ∆斜边中线，所以1260FOP POQ QOF ∠=∠=∠=o ，所以2e = 解法三：设(),,0Q am bm m >，则()1,QF c am bm =---u u u r，()2,QF c am bm =--u u u u r由()()12,,0QF QF c am bm c am bm ⊥⇒-----=u u u r u u u u r，解得1m =所以(),Q a b ，,22a c b P -⎛⎫⎪⎝⎭ 所以22bb a ca -=-⋅，即2c a =，所以2e = 2． 现有甲、已、丙三个盒子，其中每个盒子中都装有标号分别为1、2、3、4、5、6的六张卡片，现从甲、已、丙三个盒子中依次各取一张卡片使得卡片上的标号恰好成等差数列的取法数为 ． 答案：181． 已知O 为坐标原点，平面向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r满足：24OA OB ==u u u r u u u r ，0OA OB =u u u r u u u rg ，()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，则对任意[]0,2θπ∈和任意满足条件的向量OC u u u r ，cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅u u u r u u u r u u u r的最大值为 ．解：建立直角坐标系，设()()(),,4,0,0,2C x y A B 则由()()20OC OA OC OB --=u u u r u u u r u u u r u u u rg ，得22220x y x y +--=cos 2sin OC OA OB θθ-⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r等价于圆()()22112x y -+-=上一点与圆2216x y +=上一点连线段的最大值即为42． 已知数列{n a }的通项公式为121n n a -=+，则01na C +12n a C +33n a C +L +1n n n a C += ．答案：23n n +高中数学高考复习每日一道好题201． 已知实数,,a b c 成等差数列，点()3,0P -在动直线0ax by c ++=（,a b 不同时为零）上的射影点为M ，若点N 的坐标为()2,3，则MN 的取值范围是 ．解：因为实数,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，方程0ax by c ++=变形为2()20ax a c y c +++=，整理为()2(2)0a x y c y +++=所以2020x y y +=⎧⎨+=⎩，即12x y =⎧⎨=-⎩，因此直线0ax by c ++=过定点()1,2Q -画出图象可得90PMQ ∠=o ，25PQ = 点M 在以PQ 为直径的圆上运动，线段MN 的长度满足55FN MN FN -≤≤+ 即5555MN -≤≤+2． 如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是 个． 答案：48高中数学高考复习每日一道好题211． 已知函数是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()()2502161122xx x f x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩．若关于x 的方程()()20,,f x af x b a b ++=∈⎡⎤⎣⎦R ，有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是 ．解：设()t f x =，问题等价于()20g t t at b =++=有两个实根12,t t ，12501,14t t <≤<<或1255,144t t =<<所以()()0091014504g g h a g ⎧⎪>⎪⎪≤⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩或()5124591024504a g h a g ⎧<-<⎪⎪⎪>⇒-<<-⎨⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩综上， 5924a -<<-或914a -<<-2． 在243()x x +的展开式中，x 的幂的指数是整数的项共有 项．答案：5高中数学高考复习每日一道好题221． 已知椭圆221:132x y C +=的左、右焦点为12,F F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于1l 于点P ，线段2PF 的垂直平分线与2l 的交点的轨迹为曲线2C ，若()()()11221,2,,,,A B x y C x y 是2C 上不同的点，且AB BC ⊥，则2y 的取值范围是 ． 解：由题意22:4C y x =设:(2)1AB l x m y =-+代入22:4C y x =，得()24840y my m -+-= 所以142y m =-，()()2144121x m m m =-+=-设()21:(42)21BC l x y m m m=--++-代入22:4C y x =，得()2248164210y y m m m ⎡⎤+++--=⎢⎥⎣⎦所以122442y y m y m+=-+=-所以(][)2442,610,y m m=--+∈-∞-+∞U2． 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有________种．(用数字作答) 答案：72高中数学高考复习每日一道好题231． 数列{}n a 是公比为23-的等比数列，{}n b 是首项为12的等差数列．现已知99a b >且1010a b >，则以下结论中一定成立的是 ．（请填上所有正确选项的序号）①9100a a <；②100b >；③910b b >；④910a a >解：因为数列{}n a 是公比为23-的等比数列，所以该数列的奇数项与偶数项异号，即：当10a >时，2120,0k k a a -><；当10a <时，2120,0k k a a -<>；所以9100a a <是正确的；当10a >时，100a <，又1010a b >，所以100b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >当10a <时，90a <，又99a b >，所以90b <结合数列{}n b 是首项为12的等差数列，此时数列的公差0d <，数列{}n b 是递减的． 故知：910b b >综上可知，①③一定是成立的．2． 设5nx （的展开式的各项系数之和为M , 二项式系数之和为N ，若M -N ＝240, 则展开式中x 3的系数为 ． 答案：150高中数学高考复习每日一道好题241． 已知集合(){}2,|21A x y y x bx ==++，()(){},|2B x y y a x b ==+，其中0,0a b <<，且A B I 是单元素集合，则集合()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤对应的图形的面积为 ．解：()()()2221221202y x bx x b a x ab y a x b ⎧=++⎪⇒+-+-=⎨=+⎪⎩ ()()2222241201b a ab a b ∆=---=⇒+=所以由2210,0a b a b ⎧+=⎪⎨<<⎪⎩得知，圆心(),a b 对应的是四分之一单位圆弧¼MPN （红色）． 此时()()(){}22,|1x y x a y b -+-≤所对应的图形是以这四分之一圆弧¼MPN上的点为圆心，以1为半径的圆面．从上到下运动的结果如图所示：是两个半圆（¼ABO 与¼ODE ）加上一个四分之一圆（AOEF ），即图中被绿实线包裹的部分。
2022届新高考数学高频考点专题07 指对幂比较大小必刷100题(解析版)
23．设 ，则 的大小关系是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据指数函数 与幂函数 的单调性判断 的大小关系.
【详解】
因为函数 在 上是增函数，所以 ，即 ，又因为函数 在 上是增函数，所以 ，所以 ，故 .
故选：C
24．已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据指数函数和对数函数的性质求出 的范围即可求解.
【详解】
， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
21．若 ， ， ， ，则a，b，c的大小关系为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
先利用 的单调性求出a值范围；再利用 的单调性比较b和c的大小而得解.
【详解】
因 ，且函数 是增函数，于是 ；
C． D．
【答案】B
【分析】
根据指数式与对数式互化公式，结合指数函数和对数函数的性质进行判断即可.
【详解】
由 ，
由 ， ，所以 ，
故选：B
9．已知 ，则这三个数的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用指数函数的单调性即可比较大小.
【详解】
，
因为 在 上单调递增﹐则 ，
又 .
故 .
4．设 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
判断 的大致范围再排序即可.
【详解】
,且 ,又 .
故 .
故选：B
【点睛】
本题主要考查了利于指数对数函数的单调性对函数值大小进行比较,属于基础题型.
2023年高考数学考前信息必刷卷05(新高考地区专用学生版)
新高考地区考试题型为8（单选题）＋4（多选题）＋4（填空题）＋6（解答题），其中结构不良型试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及解三角形与数列两大模块，以解答题的方式进行考查。
考查学生知识的应用能力，数学建模的核心素养。
能够对已知条件进行综合分析、归纳与抽象，并正确地将实际问题转化为数学模型，再用相关的数学知识，进行合理设计，确定解题方案，进行数学上的计以数学文化为背景的新情景问题，此类试题蕴含浓厚的数学文化气息，将数学知识、方法等融为一体，能有效考查学生在新情景下对知识的理解以及迁移到不同情境中的能力，考查学生发现问题、分析问题和解决问题的能力，例如本卷第A．33B．126．如图所示，当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡子是椭圆，且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点．若篮球的半径为个单位长度，灯泡垂直照射在平面上的点为离心率e等于（）A．23B．347．已知数列{}n a满足：当2k最小值为（）A．52B．418．已知0.3e1a=-，ln1.3b=A．c a b>>B．a二、多项选择题：本题共4小题，每小题全部选对的得5分，部分选对的得9．“50米跑”是《国家学生体质健康标准》，则下列说法中正确的是（）．则（））的关系，从该班随机抽取10名$$$．已知之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y bx a=+________________kg．，若动圆M与圆1F内切与圆四、解答题：本题共6小题，共17．（10分）已知锐角△ABC 2sin sin 1sin sin A B c B A ab+=+．(1)求角C 的大小；(2)若2a b +=，求c 的取值范围．18．（12分）已知正项数列(1)求n S ；(2)在数列{}n a 的每相邻两项a {}112123n b a a a a a a ：，，，，，，19．（12分）“稻草很轻，但是他迎着风仍然坚韧，这就是生命的力量，意志的力量踏实实努力的时候，那些你觉得看不到的人和遇不到的风景都终将在你生命里出现你会切身体会到读书破万卷给予我们的力量．学生进行调查，得到了这800如图所示的频率分布直方图．(1)求a 的值；(2)为进一步了解这800名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望；(3)以样本的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取20名学生，用生周平均阅读时间在(]8,12内的概率，其中0,1,2,,20k =⋅⋅⋅．当20．（12分）在苏州博物馆有一类典型建筑八角亭，既美观又利于采光，其中一角如图所示，为多面体11111ABCDE A B C D E -，AB AE ⊥，AE BC ∥，AB ED ∥，的正方形且平行于底面，11AB A B ∥，1D E ，1B B 的中点分别为(1)证明：FG ∥平面1C CD ；(2)求平面1C CD 与平面11AA B B 夹角的余弦值；(3)一束光从玻璃窗面1C CD 上点1C 射入恰经过点A （假设此时光经过玻璃为直射）上的入射角的正切值．21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：(222210x y a b a b+=>>与椭圆C 交于A B 、两点.当直线l 过原点时，3PO AO =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若存在直线l ，使得PA PB m ⋅=，求m 的取值范围.。
高考数学模拟试题（五）
一、选择题1.设集合M ={}|x x 2-x -6<0，N ={}x |2x ≥4，则M ⋂N =().A.∅B.(]-2，2C.[]2，3D.[)2，32.设复数z 满足1+z 1-z=i ，则|z |=().A.1B.2C.3D.23.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图1（1）（2）（3）（4）所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是().图1A.r 4<r 2<0<r 1<r 3B.r 2<r 4<0<r 1<r 3C.r 2<r 4<0<r 3<r 1D.r 4<r 2<0<r 3<r 14.已知函数f (x )=x 2+2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是().A. B.C. D.5.已知函数f (x )=-x 3+ax 2-4在x =2处取得极值，若m ∈[-1,1]，则f (m )的最小值为().A.-4 B.-2C.0 D.26.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中E 为棱BB 1的中点(如图2)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为().7.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点为F ()3,0，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB的中点坐标为()1,-1，则E 的方程为().A.x 245+y 236=1B.x 236+y 227=1C.x 227+y 218=1 D.x 218+y 29=18.函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间(π6,π2)上是减函数，则a 的取值范围是().A.(2,4)B.(]-∞,2C.(]-∞,4D.[)4,+∞9.某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，...，220；女生380人，学籍编号为221，222， (600)为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是().A.15B.310C.710D.4510.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x ，y 都小于1的正实数对()x ,y ；再统计x ，y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对()x ,y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是m =35，那么可以估计π的值约为().梅涛图2A. B.C.D.56A.227B.4715C.5116D.19611.已知数列{}a n 满足a 1=1，a n ∙a n +1=2n (n ∈N *)，则S 2019等于().A.22019-1B.3×21010-3C.21011-3D.3×21010-212.已知f ()x =ln ()x 2+1-x ，不等式f ()a x 2+1+f ()x 2+2≤0对x ∈R 成立，则a 的取值范围为().A.[)-2,+∞B.[)2,+∞C.(]-∞,2 D.(]-∞,-2二、填空题13.∫-11e ||x d x 值为.14.已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n =32+a ∙3n ，则S 6S 3=.15.抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线y 2-x 2=1相交于A ,B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p =.16.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图3A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”，如图3A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图3B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：C rn+C r +1n=Cr +1n +1，其中n 是行数，r ∈N .请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是.图3三、解答题(一)必考题17.在△ABC 中，内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，已知sin A cos B sin B cos A=2c -b b .(1)求A ；(2)设AC =2，点D 在AB 上，且AD =3DB ，若△BCD 的面积为3，求BC 的长.18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择；方案甲：：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元.方案乙：：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获奖金400元.(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？19.如图4，在四棱锥S -ABCD中，底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，△SAB 是等边三角形，侧面SAB ⊥底面ABCD ，AB =23，BC =3，AD =1，点M 、点N 分别在棱SB 、棱CB 上，BM =2MS ，BN =2NC ，点P 是线段MN 上的任意一点.(1)求证：AP ∥平面SCD ；(2)求二面角S -CD -B 的大小.20.已知动圆P 经过点N ()1,0，并且与圆M :(x +1)2+y 2=16.相切.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G ()m ,0为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点，当k 为何值时？ω=|GA |2+|GB |2是与m 无关的定值，并求出该值定值.21.设函数f (x )=ax 2ln x +b (x -1)，曲线y =f (x )过点(e ,e 2-e +1)，且在点(1,0)处的切线方程为y =0.(1)求a ,b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )≥(x -1)2；图457(3)若当x ≥1时，f (x )≥m (x -1)2恒成立，求实数m的取值范围.(二)选考题22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1:ìíîx =t cos α,y =t sin α,(t 为参数,且t ≠0),其中0≤α<π,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=23cos θ.(Ⅰ)求C 2与C 3交点的直角坐标；(Ⅱ)若C 1与C 2相交于点A,C 1与C 3相交于点B ,求||AB 最大值.23.已知函数f (x )=|x -2a |-|x -a |，a ∈R ．(Ⅰ)若f (1)>1，求a 的取值范围；(Ⅱ)若a <0，对∀x ,y ∈(-∞,a ]，都有不等式f (x )≤|y +2020|+|y -a |恒成立，求a 的取值范围．参考答案与解析一、选择题1-12DACAA CDBDD CA 二、填空题13.2e -2；14.28；15.23；16.1C 1n +1C r n =1C 1n +2C r n +1+1C 1n +2C r +1n +1.三、解答题(一)必考题17.解：(1)∵sin A cos B sin B cos A=2c -b b ，∴sin A cos B sin B cos A =2sin C -sin B sin B，∴sin A cos B cos A=2sin C -sin B ，∴sin A cos B =2sin C cos A -sin B cos A ，∴sin A cos B +sin B cos A =2sin C cos A ，∴sin ()A +B =2sin C cos A ，∴sin C =2sin C cos A ，又∵C ∈()0,π，∴sin C ≠0，∴cos A =12，且A ∈()0,π，∴A =π3.(2)∵AD =3DB ，∴S △ABC =4S △BDC ，∵S △BDC =3，∴S △ABC =43=2，∴12bc sin A =43，即12×2c =43，∴c =8，∴a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，∴a 2=64+4-2×8×2cos π3，∴a =213.18.解：(1)P ()X =0=15+45×12×15=725，P ()X =500=45×12=25，P ()X =1000=45×12×45=825.所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金X (元)的分布列为：X P725500251000825(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值E ()X =500×25+1000×825=520，若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B æèöø3,25，则E ()ξ=3×25=65，抽奖所获奖金X 的均值E ()X =E ()400ξ=400E ()Eξ=480，故选择方案甲较划算.19.解：(1)连接AM ,AN ，由BM =2MS ，得MN ∥SC ，MN ∥平面SCD ，且NC =13BC =1=AD ，又AD ∥BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，故AN ∥DC ，AN ∥平面SCD ，又MN ⋂AN =N ，面AMN ∥面SCD ，又AP ⊆面AMN ，∴AP ∥平面SCD .(2)如图5，以AB 中点O 为原点，AB 中垂线为z 轴，直线BC 为x 轴，过O 与BC 平行的直线为y 轴，建立空间直角坐标系,则面BCD 的其中一个法向量为 n 1=(0,0,1)，设面SCD 的一个法向量n 2=(x ,y ,z )，又S (0,0,3)，D (3,1,-3)，C (-3,3,0)，所以 SD =(3,1,-3)， CD =(23,-2,0)，ìíî SD ⋅n 2=0, CD ⋅ n 2=0,⇒ìíîïï3x +y -3z =0,3x -2y =0,令y =1得， n 23)，则|cos < n 1, n 2>|=| n 1⋅ n 2|| n 1|| n 2|=||||||||||231⋅43=12，故二面角S -CD -B 的大小为π3.图55820.解：(1)由题设得：|PM |+|PN |=4，∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，∵2a =4，2c =2，∴b =a 2-c 2=3，∴椭圆方程为x 24+y 23=1；(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),G (m ,0)(-2<m <2)，直线l ：y=k (x -m )，由ìíîïïy =k ()x -m ,x 24+y 23=1,得(3+4k 2)x 2-8k 2mx +4k 2m 2-12=0，x 1+x 2=8mk 24k 2+3，x 1∙x 2=4k 2m 2-124k 2+3，∴y 1+y 2=k ()x 1-m +k ()x 2-m =6mk 4k 2+3．y 1∙y 2=k 2()x 1-m ()x 2-m =3k 2()m 2-44k 2+3．∴||GA |2+GB |2=(x 1-m )2+y 12+(x 2-m )2+y 22=()k 2+1-6m 2()4k 2-3+24()3+k 2()4k2+32．∵ω=|GA 2|2的值与m 无关，∴4k 2-3=0，解得k =.此时ω=|GA |2+|GB |2=7．21.解：(1)由题意可知，f ()x =ax 2ln x +b ()x -1定义域为x >0,即x ∈()0,∞,f ′()x =2ax ln x +ax +b ,(x >0)，∵f ′()1=a +b =0，f ()e =ae 2+b ()e -1=a ()e 2-e +1=e 2-e +1，∴a =1,b =-1．(2)f ()x =x 2ln x -x +1，设g ()x =x 2ln x +x -x 2，()x ≥1，g ′()x =2x ln x -x +1，由()g ′()x ′=2ln x +1>0，g ′()x 在[)1,+∞上单调递增，∴g ′()x ≥g ′()1=0，g ()x 在[)1,+∞上单调递增，g ()x ≥g ()1=0．∴f ()x ≥()x -12．(3)设h ()x =x 2ln x -x -m ()x -12+1,()x ≥1，h ′()x =2x ln x +x -2m ()x -1-1，由(2)中知x 2ln x ≥()x -12+x -1=x ()x -1，x ln x ≥x -1，∴h ′()x ≥3()x -1-2m ()x -1=()3-2m ()x -1，当3-2m ≥0即m ≤32时，h ′()x ≥0，所以h ()x 在[)1,+∞单调递增，∴h ()x ≥h ()1=0，成立．当3-2m <0即m >32时，h ′()x =2x ln x +(1-2m )(x-1)(h ′()x )′=2ln x +3-2m ，令()h ′()x ′=0，得x 0=e 2m -32>1，当x ∈[]1,x 0时，h ′()x 单调递减，则h ′()x <h ′()1，所以h ()x 在[)1,x 0上单调递减，所以h ()x <h ()1=0，不成立．综上，m ≤32．(二)选考题22.解：(Ⅰ)曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2-2y =0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2+y 2-23．联立ìíîx 2+y 2-2y =0,x 2+y 2-23x =0,解得{x =0,y =0,或ìíîïïx y =32,所以C 2与C 1交点的直角坐标为(0,0)和32)．(Ⅱ)曲线C 1的极坐标方程为θ=α(ρ∈R,ρ≠0)，其中0≤α<π．因此A 得到极坐标为(2sin α,α)，B 的极坐标为．所以||AB =||2sin α-23cos α=4||||||sin(α-π3)，当α=5π6时，||AB 取得最大值，最大值为4．23.解：(Ⅰ)由题意知，f (1)=|1-2a |-|1-a |>1，若a ≤12，则不等式化为1-2a -a +a >1，解得a <-1；若12<a <1，则不等式化为2a -1-(1-a )>1，解得a >1，即不等式无解；若a ≥1，则不等式化为2a -1+1-a >1，解得a >1，综上所述，a 的取值范围是(-∞,-1)⋃(1,+∞)；(Ⅱ)由题意知，要使得不等式f (x )≤|y +2020|+|y -a |恒成立，只需[f (x )]max ≤[|y +2020|+|y -a |]min ，当x ∈(-∞,a ]时，|x -2a |-|x -a |≤-a ，[f (x )]max =-a ，因为|y +2020|+|y -a |≥|a +2020|，所以当(y +2020)(y -a )≤0时，[|y +2020|+|y -a |]min =|a +2020|，即-a ≤|a +2020|，解得a ≥-1010，结合a <0，所以a 的取值范围是[-1010,0].59。
2020年高考数学 大题专项练习 导数与函数 五(15题含答案解析)
2020年高考数学 大题专项练习导数与函数 五1.已知函数f(x)=lnx －x ，g(x)=ax 2＋2x(a<0)．(1)求函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最值； (2)求函数h(x)=f(x)＋g(x)的极值点． 2.已知函数f(x)=x 3-3x 2+2x ，g(x)=tx ，．（1）求函数的单调增区间；（2）令h(x)=f(x)-g(x)，且函数h(x)有三个彼此不相等的零点0,m,n ，其中m<n ． ①若n=2m ，求函数h(x)在x=m 处的切线方程； ②若对，恒成立，求实数t 的取值范围．3.已知函数f(x)=xlnx.（1）若函数，求g(x)的极值；（2）证明：f(x)+1<e x-x 2. （参考数据：,,,）4.已知函数f(x)=(x －1)e x＋1，x ∈[0,1]．(1)证明：f(x)≥0；(2)若a<e x－1x<b 对任意的x ∈(0,1)恒成立，求b －a 的最小值．5.已知函数f(x)=e x (x －ae x)．(1)当a=0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)有两个不同的极值点，求a 的取值范围． 6.已知函数，．(1)当m<1时，讨论函数f(x)的单调性； (2)若函数f(x)有两个极值点x 1,x 2，且x 1<x 2.求证．7.已知（1）求函数的单调区间; （2）求函数在上的最小值;（3）对一切的,恒成立,求实数的取值范围.8.已知函数f(x)=ln x,g(x)=21ax+b. (1)若曲线f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式; (2)若φ(x)=1)1(+-x x m -f(x)在[1,+∞)上是减函数,求实数m 的取值范围.9.设函数f(x)=(1-x 2)e x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求实数a 的取值范围．10.已知函数，（为自然对数的底数）．（1）求函数的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数的值；（3）在（2）的条件下，证明：．11.已知函数f(x)=xlnx+ax+1-a.(1)求证：对任意实数a，都有[f(x)]min≤1；(2)若a=2，是否存在整数k，使得在x∈(2,+∞)上，恒有f(x)>(k+1)x-2k-1成立？若存在，请求出k的最大值；若不存在，请说明理由.（e=2.71828）12.已知函数f(x)=ax2+1(a＞0)，g(x)=x3+bx．(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线，求a，b的值；(2)当a=3，b=﹣9时，函数f(x)+g(x)在区间[k，2]上的最大值为28，求k的取值范围．13.已知函数f(x)=x ＋ax＋b(x≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y=f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y=3x ＋1，求函数f(x)的解析式； (2)讨论函数f(x)的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f(x)≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围． 14.已知函数(1)求函数的极值；(2)设函数，其中k ∈R ，求函数在区间[1，e]上的最大值．15.已知函数f （x ）=a x +x 2﹣xlna （a ＞0，a ≠1）．（Ⅰ）当a ＞1时，求证：函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增； （Ⅱ）若函数y=|f （x ）﹣t|﹣1有三个零点，求t 的值．答案解析1.解：(1)依题意，f′(x)=1x －1，令1x－1=0，解得x=1.因为f(1)=－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e =－1－1e ，f(e)=1－e ，且1－e<－1－1e <－1， 故函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最大值为－1，最小值为1－e. (2)依题意，h(x)=f(x)＋g(x)=lnx ＋ax 2＋x(x>0)，h′(x)=1x ＋2ax ＋1=2ax 2＋x ＋1x，当a<0时，令h′(x)=0，则2ax 2＋x ＋1=0. 因为Δ=1－8a>0，所以h′(x)=2ax 2＋x ＋1x =2a (x －x 1)(x －x 2)x ，其中x 1=－1－1－8a 4a ，x 2=－1＋1－8a4a.因为a<0，所以x 1<0，x 2>0，所以当0<x<x 2时，h′(x)>0； 当x>x 2时，h′(x)<0，所以函数h(x)在区间(0，x 2)内是增函数，在区间(x 2，＋∞)内是减函数，故x 2=－1＋1－8a4a为函数h(x)的极大值点，无极小值点．2.解：（1），所以，令 得到，所以的单调增区间是．（2）由方程得是方程的两实根，故，且由判别式得， ①若，得，故，得，因此，故函数在处的切线方程为． ②若对任意的，都有成立，所以，因为，所以， 当时，对有，所以，解得，又因为，得，则有；当时，，则存在的极大值点，且，由题意得，将代入得，进而得到，得，又因为，得，综上可知t的取值范围是或．3.解:（1），，当，，当，，在上递增，在上递减，在取得极大值，极大值为，无极大值.（2）要证f（x）+1＜e x﹣x2．即证e x﹣x2﹣xlnx﹣1＞0，先证明lnx≤x﹣1，取h（x）=lnx﹣x+1，则h′（x）=，易知h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，故h（x）≤h（1）=0，即lnx≤x﹣1，当且仅当x=1时取“=”，故xlnx≤x（x﹣1），e x﹣x2﹣xlnx≥e x﹣2x2+x﹣1，故只需证明当x＞0时，e x﹣2x2+x﹣1＞0恒成立，令k（x）=e x﹣2x2+x﹣1，（x≥0），则k′（x）=e x﹣4x+1，令F（x）=k′（x），则F′（x）=e x﹣4，令F′（x）=0，解得：x=2ln2，∵F′（x）递增，故x∈（0，2ln2]时，F′（x）≤0，F（x）递减，即k′（x）递减，x∈（2ln2，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）递增，即k′（x）递增，且k′（2ln2）=5﹣8ln2＜0，k′（0）=2＞0，k′（2）=e2﹣8+1＞0，由零点存在定理，可知∃x1∈（0，2ln2），∃x2∈（2ln2，2），使得k′（x1）=k′（x2）=0，故0＜x ＜x 1或x ＞x 2时，k ′（x ）＞0，k （x ）递增，当x 1＜x ＜x 2时，k ′（x ）＜0，k （x ）递减，故k （x ）的最小值是k （0）=0或k （x 2），由k ′（x 2）=0，得=4x 2﹣1， k （x 2）=﹣2+x 2﹣1=﹣（x 2﹣2）（2x 2﹣1），∵x 2∈（2ln2，2），∴k （x 2）＞0，故x ＞0时，k （x ）＞0，原不等式成立． 4.解：(1)证明：因为f ′(x)=xe x≥0，即f(x)在[0,1]上单调递增， 所以f(x)≥f(0)=0，即结论成立．(2)令g(x)=e x －1x ，则g ′(x)=x －1e x ＋1x2>0，x ∈(0,1)， 所以当x ∈(0,1)时，g(x)<g(1)=e －1，要使e x－1x <b ，只需b≥e－1.要使e x－1x >a 成立，只需e x－ax －1>0在x ∈(0,1)恒成立，令h(x)=e x －ax －1，x ∈(0,1)，则h ′(x)=e x－a.由x ∈(0,1)，得e x∈(1，e)． ①当a≤1时，h ′(x)>0，此时x ∈(0,1)，有h(x)>h(0)=0成立，所以a≤1满足条件； ②当a≥e 时，h′(x)<0，此时x ∈(0,1)，有h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去； ③当1<a<e 时，令h′(x)=0，得x=ln a ． 当x ∈(0，ln a)时，h′(x)<0，即x ∈(0，ln a)时，h(x)<h(0)=0，不符合题意，舍去． 综上，a≤1.又b≥e－1，所以b －a 的最小值为e －2. 5.解：(1)当a=0时，f(x)=xe x ，f′(x)=(x ＋1)e x，令f′(x)>0，可得x>－1，故f(x)在(－1，＋∞)上单调递增， 同理可得f(x)在(－∞，－1)上单调递减，故f(x)在x=－1处有极小值f(－1)=－1e .(2)依题意，可得f′(x)=(x ＋1－2ae x )e x=0有两个不同的实根．设g(x)=x ＋1－2ae x ，则g(x)=0有两个不同的实根x 1，x 2，g′(x)=1－2ae x，若a≤0，则g′(x)≥1，此时g(x)为增函数，故g(x)=0至多有1个实根，不符合要求；若a>0，则当x<ln 12a 时，g′(x)>0，当x>ln 12a时，g′(x)<0，故此时g(x)在－∞，ln 12a 上单调递增，在ln 12a ，＋∞上单调递减，g(x)的最大值为gln 12a =ln 12a －1＋1=ln 12a，又当x→－∞时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→－∞，故要使g(x)=0有两个不同实根，则gln 12a =ln 12a>0，得0<a<12或作图象知要使g(x)=0有两个不同实根，则gln 12a =ln 12a>0.设g(x)=0的两个不同实根为x 1，x 2(x 1<x 2)， 当x<x 1时，g(x)<0，此时f′(x)<0； 当x 1<x<x 2时，g(x)>0，此时f′(x)>0； 当x>x 2时，g(x)<0，此时f′(x)<0.故x 1为f(x)的极小值点，x 2为f(x)的极大值点，0<a<12符合要求．综上所述，a 的取值范围为(0，0.5). 6.解：， ，令，，， 令则， 当，即时， 令则；令则．此时函数在上单调递减；在上单调递增．当，即时， 令，则； 令则， 此时函数在上单调递减； 在和上单调递增． 由知，若有两个极值点， 则且，又，是的两个根，则， ，令，则， 令，则，令，则，所以在上单调递减；在上单调递增．，，，得证．7.8.解析：9.解：(1)f′(x)=(1-2x-x2)e x，令f′(x)=0，得x=-1±2，当x∈(-∞，-1-2)时，f′(x)<0；当x∈(-1-2，-1＋2)时，f′(x)>0；当x∈(-1＋2，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(-∞，-1-2)，(-1＋2，＋∞)上单调递减，在(-1-2，-1＋2)上单调递增．(2)令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)e x-(ax＋1)，令x=0，可得g(0)=0.g′(x)=(1-x2-2x)e x-a，令h(x)=(1-x2-2x)e x-a，则h′(x)=-(x2＋4x＋1)e x，当x≥0时，h′(x)<0，h(x)在[0，＋∞)上单调递减，故h(x)≤h(0)=1-a，即g′(x)≤1-a，要使f(x)-ax-1≤0在x≥0时恒成立，需要1-a≤0，即a≥1，此时g(x)≤g(0)=0，故a≥1.综上所述，实数a的取值范围是[1，＋∞)．10.（1）；（2）；（3）证明见解析.11.解：（1）证明：由已知易得，所以令得：显然，时，<0，函数f（x）单调递减；时，>0，函数f（x）单调递增，所以，令，则由得，时，>0，函数t（）单调递增；时，<0，函数t（）单调递减，所以，即结论成立.（2）由题设化简可得，令，所以 由=0得①若，即时，在上，有，故函数单调递增所以 ②若，即时， 在上，有，故函数在上单调递减， 在上，有.故函数在上单调递增， 所以，在上，故欲使，只需即可令, 由得所以，时，，即单调递减又，故12.解：(1)f(x)=ax 2+1(a ＞0)，则f ′(x)=2ax ，k 1=2a ，g(x)=x 3+bx ，则g ′(x)=3x 2+b ，k 2=3+b ， 由(1，c)为公共切点，可得：2a=3+b ①又f(1)=a+1，g(1)=1+b ，∴a+1=1+b ，即a=b ，代入①式，可得：a=3，b=3． (2)当a=3，b=﹣9时，设h(x)=f(x)+g(x)=x 3+3x 2﹣9x+1则h ′(x)=3x 2+6x ﹣9， 令h'(x)=0，解得：x 1=﹣3，x 2=1；∴k ≤﹣3时，函数h(x)在(﹣∞，﹣3)上单调增，在(﹣3，1]上单调减，(1，2)上单调增，所以在区间[k ，2]上的最大值为h(﹣3)=28﹣3＜k ＜2时，函数h(x)在区间[k ，2]上的最大值小于28 所以k 的取值范围是(﹣∞，﹣3] 13.解：(1)f′(x)=1－ax2(x≠0)，由已知及导数的几何意义得f′(2)=3，则a=－8.由切点P(2，f(2))在直线y=3x ＋1上可得－2＋b=7，解得b=9，所以函数f(x)的解析式为f(x)=x －8x＋9.(2)由(1)知f′(x)=1－ax2(x≠0)．当a≤0时，显然f′(x)>0，这时f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a>0时，令f′(x)=0，解得x=±a ，当x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以当a>0时，f(x)在(－∞，－a)，(a ，＋∞)上是增函数， 在(－a ，0)，(0，a)上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，不等式f(x)≤10在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1上恒成立等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14≤10，f 1≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b≤9－a对于任意的a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2成立，从而得b≤74，所以满足条件的b 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，74.14.15.。
高考数学每日一练(3)-人教版高三全册数学试题
高三数学每日一练（29）——奇偶性（2）1．下列函数中既是奇函数又存在极值的是( )A ．3x y = B ．)ln(x y -= C ．xxe y = D ．xx y 2+= 2．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f （ ） A ．－2 B ．0 C ．1 D ．23．(2014·某某理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 5．已知函数()1log 1a mxf x x -=-是奇函数()01a a <≠且 （1）求m 的值（2）判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性并加以证明（3）当1,a >(x ∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 的值高三数学每日一练（30）——奇偶性（3）1．(2014·某某某某灵宝实验高中月考)f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．－22．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是( )A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最小值是5-D ．减函数且最大值是5- 4．已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.5．已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数，,,a b c 为常数（1） 某某数c 的值；（2） 若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；（3） 对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-对()0,x ∈+∞恒成立，某某数m 的取值X 围.高三数学每日一练（31）——奇偶性（4）1．下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是( )A ．1y x=-B ．22y x =+C ．33y x =- D ．1log ey x =2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-3．（2015某某市3月质检）已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是（ ）4．(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．已知函数y ＝f (x )的定义域为R .且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x >0时，f (x )<0恒成立，f (3)＝－3.（1）证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数； （2）证明：函数y ＝f (x )是奇函数；（3）试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n N ∈＋)上的值域．高三数学每日一练（32）——奇偶性（5）1．(2014·某某某某专题练习)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 2．(2014·某某和平区期末)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递减，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (－1)，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <b <a3．(2014·某某统一检测)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞) D．(10，＋∞)4．(2014·某某某某一中调研)若f (x )＝3x ＋sin x ，则满足不等式f (2m －1)＋f (3－m )>0的m 的取值X 围为________．5．已知定义在(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=+为奇函数，且12()25f =． （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．高三数学每日一练（33）——奇偶性（6）1．如果函数xx f )21()(=（-+∞<<∞x ），那么函数)(x f 是 ( )A. 奇函数，且在)0,(-∞上是增函数B. 偶函数，且在)0,(-∞上是减函数C. 奇函数，且在),0(+∞上是增函数D. 偶函数，且在),0(+∞上是减函数 2．偶函数)(x f 在区间],0[a （0>a ）上是单调函数，且0)()0(<⋅a f f ，则方程0)(=x f 在区间],[a a -内根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．03．定义两种运算：m n ⊕=，a b a b ⊗=-，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数4．已知R 上的不间断函数()g x 满足：（1）当0x >时，'()0g x >恒成立；（2）对任意的x R ∈都有()()g x g x =-。
高考数学大题每日一题规范练(第四周)
高考数学大题每日一题规范练【题目1】 (本小题满分12分)已知向量a ＝(sin x ，m cos x )，b ＝(3，－1). (1)若a ∥b ，且m ＝1，求2sin 2x －3cos 2x 的值；(2)若函数f (x )＝a ·b 的图象关于直线x ＝2π3对称，求函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域.解 (1)当m ＝1时，a ＝(sin x ，cos x )，又b ＝(3，－1)， 且a ∥b .∴－sin x －3cos x ＝0，即tan x ＝－3，∵2sin 2x －3cos 2x ＝2sin 2x －3cos 2x sin 2x ＋cos 2x ＝2tan 2x －3tan 2x ＋1＝2×（－3）2－3（－3）2＋1＝32，∴2sin 2x －3cos 2x ＝32.(2)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x －m cos x 的图象关于直线x ＝2π3对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋x，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6， 即3＝32＋32m ，得m ＝3，则f (x )＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，∴f (2x )＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π6，∴当x ＝π3时，f (2x )取最大值为23；当x ＝2π3时，f (2x )取最小值为－ 3. 即函数f (2x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，2π3上的值域为[－3，23].星期二 (概率统计) 2018年____月____日【题目2】 (本小题满分12分)某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：(1)从5600的概率；(2)求特征量y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^：并预测当特征量x 为570时特征量y 的值.(附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为解 (1)从5次特征量y 的试验数据中随机地抽取两个数据，共有C 25＝10种方法，都小于600，有C 23＝3种方法，∴至少有一个大于600的概率P ＝1－C 23C 25＝1－310＝710.－1×1＋3×5＋（－5）×（－3）＋7×（－1）＋（－4）×（－2）（－1）2＋32＋（－5）2＋72＋（－4）2＝0.3，a ^＝y－b ^x ＝600－0.3×556＝433.2， 线性回归方程为y ^＝0.3x ＋433.2，当x ＝570时，y ^＝0.3×570＋433.2＝604.2. 即当特征量x 为570时特征量y 的估计值为604.2.星期三 (数列) 2018年____月____日【题目3】 (本小题满分12分)在数列{a n }中，a 1＝1，2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1＋a 2n (n ∈N *)，求数列{2nb n }的前n 项和S n .解 (1)∵2＋a n ＋11＋a n ＋1＝11＋a n ＋32，∴11＋a n ＋1＝11＋a n＋12，即11＋a n ＋1－11＋a n ＝12，设c n ＝1a n ＋1，由a 1＝1得c 1＝12，则数列{c n }是一个首项和公差均为12的等差数列， ∴c n ＝12＋12(n －1)＝n 2，则a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝1＋a 2n ＝22n ＝12n －1，所以2nb n ＝2n2n －1，则S n ＝2×1＋4×12＋6×122＋…＋2n ×12n －1①，∴12S n ＝2×12＋4×122＋6×123＋…＋2n ×12n ②， ①－②得12S n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋122＋123＋…＋12n －1－2n ×12n ，即12S n ＝4－2n ＋42n .得S n ＝8－n ＋22n －2⎝⎛⎭⎪⎫或8－4n ＋82n .星期四 (立体几何) 2018年____月____日【题目4】 (本小题满分12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ＝2，M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点.(1)求证：MN ∥平面BB 1C 1C ；(2)若平面CMN ⊥平面B 1MN ，求直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值. (1)证明 连接AC 1，BC 1，则N ∈AC 1且N 为AC 1的中点，又∵M 为AB 的中点，∴MN ∥BC 1，又BC 1⊂平面BB 1C 1C ，MN ⊄平面BB 1C 1C ， 故MN ∥平面BB 1C 1C .(2)解 由A 1A ⊥平面ABC 且CC 1∥A 1A ，得AC ⊥CC 1，BC ⊥CC 1.又∠ACB ＝90°，则AC ⊥BC ，以C 为原点，分别以CB ，CC 1，CA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设CC 1＝2λ(λ>0).则M (1，0，1)，N (0，λ，1)，B 1(2，2λ，0)，∴CM →＝(1，0，1)，MN →＝(－1，λ，0)，NB 1→＝(2，λ，－1). 取平面CMN 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， 由CM→·m ＝0，MN →·m ＝0. 得⎩⎨⎧x ＋z ＝0，－x ＋λy ＝0，令y ＝1，得m ＝(λ，1，－λ).同理可得平面B 1MN 的一个法向量为n ＝(λ，1，3λ)， ∵平面CMN ⊥平面B 1MN ，∴m ·n ＝λ2＋1－3λ2＝0，解得λ＝22，得n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1，322，又AB →＝(2，0，－2)，设直线AB 与平面B 1MN所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，AB →〉|＝|n ·AB →||n ||AB →|＝66.所以，直线AB 与平面B 1MN 所成角的正弦值是66.星期五 (解析几何) 2018年____月____日【题目5】 (本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝r 2(0<r <b )，若圆O 的一条切线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相交于A ，B 两点.(1)当k ＝－12，r ＝1时，若点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，求椭圆E 的方程； (2)若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，探究a ，b ，r 是否满足1a 2＋1b 2＝1r 2，并说明理由.解 (1)依题意原点O 到切线l ：y ＝－12x ＋m 的距离为半径1，∴|m |1＋14＝1，解之得m ＝±52，又点A ，B 都在坐标轴的正半轴上，则m >0， ∴切线l ：y ＝－12x ＋52，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫0，52，B (5，0)，∴B 为椭圆的右顶点，A 为椭圆的上顶点，则a ＝5，b ＝52， ∴椭圆E 的方程为：x 25＋y 254＝1.(2)a ，b ，r 满足1a 2＋1b 2＝1r 2成立，理由如下：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 与圆x 2＋y 2＝r 2相切，则|m |1＋k 2＝r ，即m 2＝r 2(1＋k 2)，① 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx ＋a 2m 2－a 2b 2＝0. 则x 1＋x 2＝－2a 2km b 2＋a 2k 2，x 1x 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2，AB 为直径的圆经过坐标原点O ，则∠AOB ＝90°， 则OA→·OB →＝0， ∴x 1x 2＋y 1y 2＝a 2m 2－a 2b 2b 2＋a 2k 2＋b 2m 2－a 2b 2k 2b 2＋a 2k 2＝（a 2＋b 2）m 2－a 2b 2（1＋k 2）b 2＋a 2k 2＝0.则(a 2＋b 2)m 2＝a 2b 2(1＋k 2)，②将①代入②，得a 2＋b 2a 2b 2＝1r 2， ∴1a 2＋1b 2＝1r 2.星期六 (函数与导数) 2018年____月____日【题目6】 (本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2－a ln x (a >0)的最小值是1. (1)求a ；(2)若关于x 的方程f 2(x )e x －6mf (x )＋9m e －x ＝0在区间[1，＋∞)有唯一的实根，求m 的取值范围. 解 (1)f ′(x )＝2x －ax ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2x(x >0).所以，当0<x <a2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x >a2时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增. 故f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2＝a 2－a 2ln a 2， 由题意可得：a 2－a 2ln a 2＝1，即a 2－a 2ln a2－1＝0， 记g (a )＝a 2－a 2ln a2－1(a >0)，则函数g (a )的零点即为方程a 2－a 2ln a2＝1的根； 由于g ′(a )＝－12ln a2，故a ＝2时，g ′(2)＝0， 且0<a <2时，g ′(a )>0；a >2时，g ′(a )<0， 所以a ＝2是函数g (a )的唯一极大值点， 所以g (a )≤g (2)，又g (2)＝0， 所以a ＝2.(2)由条件可得f 2(x )e 2x －6mf (x )e x ＋9m ＝0， 令g (x )＝f (x )e x ＝(x 2－2ln x )e x ， 则g ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x －2x －2ln x e x ，令r (x )＝x 2＋2x －2x －2ln x (x ≥1)，则r ′(x )＝2x ＋2＋2x 2－2x >2x －2x ＝2（x 2－1）x≥0，r (x )在区间[1，＋∞)内单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝e ；所以原问题等价于方程t 2－6mt ＋9m ＝0在区间[e ，＋∞)内有唯一解， 当Δ＝0时可得m ＝0或m ＝1，经检验m ＝1满足条件. 当Δ>0时可得m <0或m >1， 所以e 2－6m e ＋9m ≤0， 解之得m ≥e 26e －9，综上，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＝1或m ≥e 26e －9.星期日 (选考内容) 2018年____月____日【题目7】 在下面两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分.1.(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t(t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρ(4cos θ＋3sin θ)－m ＝0(其中m 为常数).(1)若直线l 与曲线C 恰好有一个公共点，求实数m 的值； (2)若m ＝4，求直线l 被曲线C 截得的弦长.解 (1)直线l 的极坐标方程可化为直角坐标方程：4x ＋3y －m ＝0，曲线C 的参数方程可化为普通方程：y 2＝4x ， 由⎩⎨⎧4x ＋3y －m ＝0，y 2＝4x可得y 2＋3y －m ＝0， ∵直线l 和曲线C 恰好有一个公共点， ∴Δ＝9＋4m ＝0，∴m ＝－94.(2)当m ＝4时，直线l ：4x ＋3y －4＝0恰好过抛物线的焦点F (1，0)，由⎩⎨⎧4x ＋3y －4＝0，y 2＝4x可得4x 2－17x ＋4＝0，设直线l 与抛物线C 的两个交点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝174， 故直线l 被抛物线C 所截得的弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋2＝174＋2＝254. 2.(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲. 设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12x ＋1＋|x |(x ∈R )的最小值为a .(1)求a ；(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求1m ＋1n 的最小值.解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －1，x <－2，－12x ＋1，－2≤x ≤0，32x ＋1，x >0.当x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f (x )单调递增； ∴当x ＝0时，f (x )的最小值a ＝1.(2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得1mn ≥2， 由于m >0，n >0， 则1m ＋1n ≥21mn ≥22，当且仅当m ＝n ＝22时取等号.∴1m ＋1n 的最小值为2 2.。
高考高三数学测试题-反三角函数(5)
高考高三数学测试题-反三角函数(5)高中学生学科素质训练高三数学测试题—反三角函数（5）一、选择题（本题每小题5分，共50分）（1）若arccos 4-arccos(-4) =arcsin x , 则x 的值是55（A ）0（B ）2425（）（D ）不存在（D ）[-1, 0)（）（）（C ）－2425（2）使arcsin x >arccos x 成立的x 的取值范围是（A ）(0, 2] 2（B ）(2, 1]2（C ）[-1, 2]2π（3）若M ={(x , y ) ||xy |=1, x >0},N ={(x , y ) |arctgx +arctgy =则M N = 2（A ）{(x , y ) ||xy |=1}, （C ）N（B ）M（D ）{(x , y ) ||xy |=1, 且x , y 不同时为负数}（）（4）若arcsin(x -a ) >arcsin(x +a ) 有解，则a 的取值范围是（A ）（－∞，0）（C ）[-1, 0)（B ）（－1，0）（D ）（－∞，－1）（5）函数y =cos x (π≤x ≤2π) 的反函数是（A ）y =arccos x （C ）y =-arccos x（6）函数y =2arcsin x -2的值域是（A ）[-π, π]（B ）[0，2]（）（B ）y =π+arccos x （D ）y =2π-arccos x（C ）[0，π]（D ）[－2，2]（）（）（7）函数f (x ) =π-arccos(sinx ) 是2（A ）偶函数（C ）奇函数（B ）既是奇函数又是偶函数（D ）非奇非偶函数（）（8）arg(-3+4i ) 的值是（A ）arctg (-) （B ）arctg (-) （C ）π-arctg （9）若-π（A ）x433444（D ）π+arctg 33（）π2, 则arcsin(sinx ) 的值是（B ）π-x（C ）x -π（D ）-(π+x )（）-x ) >5arccos x 的解集是（10）不等式arccos(（A ）(0,π2)（B ）[0，1]（C ）(, 1] 2（D ）[1-π6, 1]二、填空题（本题11—14题每题4分，15—16题每题5分，共26分）（11）arccos(sin7) = ．（12）函数y =arcsin(x 2-2x ) 的单调递减区间是．（13）函数y =log π[3π3-arccos(4-x )]的定义域是，最大值是．x的反函数是 21（15）若sin(arccosx ) =，则x2（14）函数y =π+arctg（16）若f (x ) 是奇函数，且当x >0时，f (x ) =π-arccos(sinx ), 则当x 是f (x ) = ．三、解答题（17）（本题满分12分）若x >1, 求证:arctgx +arctg 1-x =π.1+x 4（18）（本题满分12分）若0≤x ≤1, 求证:cos(arcsinx )（19）（本题满分12分）若x 1，x 2是方程x -x sin2π5+cosπ5=0的两个根，求证：arctgx 1+arctgx 2=2π.5（20）（本题满分12分）在曲线y 5sin(arccos远距离．x) 上取一点，使它到直线x +y －10=0的距离最远，并求这个最3（21）（本题满分12分）求下列各式的值：①arctg (tg 4π) +tg [1arccos(-3)];525②arcsin52+2arctg . 133（22）（本题满分14分）若α、β∈（0，2π），α≠β，且α，β满足方程sin x +3cos x +a =0, 求实数a 的取值范围，以及α+β的值．高三数学测试题参考答案五、反三角函数一、1．D 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．C 9．D 10．C 二、11．5π716．f (x ) =-arccos(sinx ) -1; 12．[1, 1+] 13．[3, ), 1; 14．y =2tgx ; 15±3; ．222三、17．设α=arctgx , β=arctg -x , 又x >1, ∴π1+x 4241+x从而02418．设α=arcsin x , 则sin α=x , 又x ∈[0, 1],∴α∈[0, π],从而有-x2=cos α, x +-x 2=sin α+cos α=sin(α+π4) ≤2π2. 即-x 2π2-x , 故cos(arcsinx )πsin πx 1+x 219． x -x =sin , x x =cos , 从而=ctg π=tg 2π, 1212tg (arctgx +arctgx ) ==12551-x 1x 21-cos 1055π又arctgx +arctgx ∈(0, π). ∴arctgx +arctgx =2π.12125220．易得曲线y =5--x (y ≥0), 由数形结合知这一点是（－3，0），其最远距离是132.2421．①2-π②π;222．由已知得sin(x +π⎧sin α+cos α+a =0, a ) =-, ∴a ∈[-2, 2].∴⎪⎨32⎪⎩sin β+cos β+a =0.① ②①－②得(sinα-sin β) +3(cosα-cos β) =0⇒sin2cosα+β2α-β2-23sinα+β2sinα-β2=0.α≠β且α, β∈(0, 2π), ∴sin ∴α+β=α-β2≠0, 从而得tgα+β2=α+β又π3或α+β= 7π. 3。
2023年高考数学微专题练习专练55高考大题专练五圆锥曲线的综合运用含解析理
专练55 高考大题专练(五) 圆锥曲线的综合运用1．[2021·全国乙卷]已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，且F与圆M：x2＋(y＋4)2＝1上点的距离的最小值为4.(1)求p；(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB的最大值．2．[2022·全国甲卷(理)，20]设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点D(p，0)，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，|MF|＝3.(1)求C的方程；(2)设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为α，β.当α－β取得最大值时，求直线AB的方程．3．[2022·全国乙卷(理)，20]已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (32，－1)两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT →＝TH →.证明：直线HN 过定点．4．[2022·江西省高三联考]已知曲线C 上任意一点到点F (2，0)的距离比它到y 轴的距离大2，过点F (2，0)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求曲线C 的方程；(2)若曲线C 在A ，B 处的切线交于点M ，求△MAB 面积的最小值．5．[2022·江西省宜春模拟]已知点T 是圆A ：(x －1)2＋y 2－8＝0上的动点，点B (－1，0)，线段BT 的垂直平分线交线段AT 于点S ，记点S 的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过B (－1，0)作曲线C 的两条弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE →·MN →＝0，求△BPQ 面积的最大值．专练55 高考大题专练(五) 圆锥曲线的综合运用1．解析：(1)由题意知M (0，－4)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，圆M 的半径r ＝1，所以|MF |－r ＝4，即p2＋4－1＝4，解得p ＝2.(技巧点拨：F 与圆M 上点的距离的最小值为|MF |－r ，最大值为|MF |＋r )(2)由(1)知，抛物线方程为x 2＝4y ，由题意可知直线AB 的斜率存在，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，x 21 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 22 4，直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx －4b ＝0，则Δ＝16k 2＋16b >0 (※)，x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ，所以|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝41＋k 2·k 2＋b . 因为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以y ′＝x 2，则抛物线在点A 处的切线斜率为x 12，在点A 处的切线方程为y －x 21 4＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 214，(技巧点拔：因为抛物线方程为x 2＝4y ，即y ＝x 24，所以想到利用导数的几何意义求切线方程)同理得抛物线在点B 处的切线方程为y ＝x 22x －x 224，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 12x －x 214y ＝x22x －x 224，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x22＝2k y ＝x 1x 24＝－b ，即P (2k ，－b ).因为点P 在圆M 上，所以4k 2＋(4－b )2＝1 ①，且－1≤2k ≤1，－5≤－b ≤－3，即－12≤k ≤12，3≤b ≤5，满足(※).(易错警示：由点P 在圆M 上，只得到了4k 2＋(4－b )2＝1，而忽视k ，b 的取值范围，导致得到错误答案)设点P 到直线AB 的距离为d ，则d ＝|2k 2＋2b |1＋k 2， 所以S △PAB ＝12|AB |·d ＝4（k 2＋b ）3.由①得，k 2＝1－（4－b ）24＝－b 2＋8b －154，令t ＝k 2＋b ，则t ＝－b 2＋12b －154，且3≤b ≤5.因为t ＝－b 2＋12b －154在[3，5]上单调递增，所以当b ＝5时，t 取得最大值，t max ＝5，此时k ＝0，所以△PAB 面积的最大值为20 5.2．解析：(1)(方法一)由题意可知，当x ＝p 时，y 2＝2p 2.设M 点位于第一象限，则点M 的纵坐标为2p ，|MD |＝2p ，|FD |＝p2.在Rt△MFD 中，|FD |2＋|MD |2＝|FM |2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋(2p )2＝9，解得p ＝2.所以C 的方程为y 2＝4x .(方法二)抛物线的准线方程为x ＝－p2.当MD 与x 轴垂直时，点M 的横坐标为p . 此时|MF |＝p ＋p2＝3，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为y 2＝4x .(2)设直线MN 的斜率为k 1，直线AB 的斜率为k 2，则k 1＝tan α，k 2＝tan β.由题意可得k 1≠0，k 2≠0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＜0，A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，y 3＜0，y 4＞0. 设直线AB 的方程为y ＝k 2(x －m )，m 为直线AB 与x 轴交点的横坐标，直线MN 的方程为y ＝k 1(x －1)，直线MD 的方程为y ＝k 3(x －2)，直线ND 的方程为y ＝k 4(x －2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1（x －1），y 2＝4x ，所以k 21 x 2－(2k 21＋4)x ＋k 21 ＝0，则x 1x 2＝1. 联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 2（x －m ），y 2＝4x ，所以k 22 x 2－(2mk 22 ＋4)x ＋k 22 m 2＝0，则x 3x 4＝m 2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 3（x －2），y 2＝4x ，所以k 23 x 2－(4k 23 ＋4)x ＋4k 23 ＝0，则x 1x 3＝4.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 4（x －2），y 2＝4x ，所以k 24 x 2－(4k 24 ＋4)x ＋4k 24 ＝0，则x 2x 4＝4.所以M (x 1，2x 1)，N (1x 1，－2x 1)，A (4x 1，－4x 1)，B (4x 1，4x 1).所以k 1＝2x 1x 1－1，k 2＝x 1x 1－1，k 1＝2k 2， 所以tan (α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝k 1－k 21＋k 1k 2＝k 21＋2k 22 ＝11k 2＋2k 2. 因为k 1＝2k 2，所以k 1与k 2同号，所以α与β同为锐角或钝角．当α－β取最大值时，tan (α－β)取得最大值．所以k 2＞0，且当1k 2＝2k 2，即k 2＝22时，α－β取得最大值．易得x 3x 4＝16x 1x 2＝m 2，又易知m ＞0，所以m ＝4.所以直线AB 的方程为x －2y －4＝0.3．解析：(1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n ). 将点A (0，－2)，B (32，－1)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4n ＝1，94m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝14．所以椭圆E 的方程为x 23＋y 24＝1.(2)证明：(方法一)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).由题意，知直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为x －1＝t (y ＋2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝t （y ＋2），x 23＋y 24＝1.消去x 并整理，得(4t 2＋3)y 2＋(16t 2＋8t )y ＋16t 2＋16t －8＝0， 所以y 1＋y 2＝－16t 2＋8t 4t 2＋3，y 1y 2＝16t 2＋16t －84t 2＋3. 设T (x 0，y 1).由A ，B ，T 三点共线，得y 1＋2x 0＝y 1＋1x 0－32，得x 0＝32y 1＋3. 设H (x ′，y ′).由MT →＝TH →，得(32y 1＋3－x 1，0)＝(x ′－32y 1－3，y ′－y 1)，所以x ′＝3y 1＋6－x 1，y ′＝y 1， 所以直线HN 的斜率k ＝y 2－y ′x 2－x ′＝y 2－y 1x 2＋x 1－（3y 1＋6）＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4，所以直线HN 的方程为y －y 2＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(x －x 2).令x ＝0，得y ＝y 2－y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4·(－x 2)＋y 2＝（y 1－y 2）（ty 2＋2t ＋1）t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＋y 2＝（2t －3）y 1y 2＋（2t －5）（y 1＋y 2）＋6y 1t （y 1＋y 2）－3y 1＋4t －4＝（2t －3）·16t 2＋16t －84t 2＋3＋（5－2t ）·16t 2＋8t4t 2＋3＋6y 1－t （16t 2＋8t ）4t 2＋3－3y 1＋4t －4＝－2.所以直线NH 过定点(0，－2).(方法二)由A (0，－2)，B (32，－1)可得直线AB 的方程为y ＝23x －2.a ．若过点P (1，－2)的直线的斜率不存在，则其直线方程为x ＝1. 将直线方程x ＝1代入x 23＋y 24＝1，可得N (1，263)，M (1，－263).将y ＝－263代入y ＝23x －2，可得T (3－6，－263).由MT →＝TH →，得H (5－26，－263).此时直线HN 的方程为y ＝(2＋263)(x －1)＋263，则直线HN 过定点(0，－2).b ．若过点P (1，－2)的直线的斜率存在，设此直线方程为kx －y －(k ＋2)＝0，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y －（k ＋2）＝0，x 23＋y 24＝1.消去y 并整理，得(3k 2＋4)x 2－6k (2＋k )x ＋3k (k ＋4)＝0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6k （2＋k ）3k 2＋4，x 1x 2＝3k （4＋k ）3k 2＋4，则⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝－8（2＋k ）3k 2＋4，y 1y 2＝4（4＋4k －2k 2）3k 2＋4，且x 1y 2＋x 2y 1＝－24k3k 2＋4.①联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 1，y ＝23x －2，可得T (3y 12＋3，y 1).由MT →＝TH →，得H (3y 1＋6－x 1，y 1). 则直线HN 的方程为y －y 2＝y 1－y 23y 1＋6－x 1－x 2(x －x 2).将点(0，－2)的坐标代入并整理，得2(x 1＋x 2)－6(y 1＋y 2)＋x 1y 2＋x 2y 1－3y 1y 2－12＝0.② 将①代入②，得24k ＋12k 2＋96＋48k －24k －48－48k ＋24k 2－36k 2－48＝0，显然成立． 综上可得，直线HN 过定点(0，－2).4．解析：(1)设曲线C 上任意一点P 的坐标为(x ，y )，则有：（x －2）2＋y 2＝|x |＋2， 当x ≥0时，有y 2＝8x ；当x ＜0时，有y ＝0， 所以曲线的方程为y 2＝8x (x ≥0)或y ＝0(x ＜0).(2)由题意设l 的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝8x ⇒y 2－8my －16＝0，∴Δ＞0⇒m ∈R ，y 1＋y 2＝8m ，y 1y 2＝－16， ∴|AB |＝1＋m2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝8(1＋m 2)，设切线MA 的方程为y －y 1＝k (x －x 1)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －y 1＝k （x －x 1），y 2＝8x ⇒y 2－8k y ＋8y 1k －8x 1＝0，∴Δ＝0⇒ky 1＝4，∴切线MA 的方程为y －y 1＝4y 1(x －x 1)，化简得yy 1＝4(x ＋x 1)＝4x ＋y 212， ①同理可得切线MB 的方程为yy 2＝4(x ＋x 2)＝4x ＋y 222， ②由①②得点M 的坐标为M (－2，4m )，∴点M 到直线l 的距离d ＝|－2－4m 2－2|1＋m2＝41＋m 2， ∴S △MAB ＝12|AB |·d ＝16(1＋m 2)32≥16，当且仅当m ＝0时等号成立，故△MAB 面积的最小值为16.5．解析：(1)圆A ：(x －1)2＋y 2＝8的圆心A (1，0)，半径r ＝22，依题意，|SB |＝|ST |，|SB |＋|SA |＝|ST |＋|SA |＝|AT |＝22＞2＝|AB |，即点S 的轨迹是以B ，A 为左右焦点，长轴长为22的椭圆，短半轴长b ＝（2）2－12＝1， 所以曲线C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由DE →·MN →＝0知，DE ⊥MN ，直线DE ，MN 不垂直坐标轴，否则点P ，Q 之一与点B 重合，不能构成三角形，即直线DE 的斜率存在且不为0，设直线DE 方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 2＋2y 2＝2消去y 并整理得(2k 2＋1)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，DE 中点P (x P ，y P )，则有x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x P ＝－2k 22k 2＋1，y P ＝k2k 2＋1，因此，|BP |＝（1－2k 22k 2＋1）2＋（k 2k 2＋1）2＝k 2＋12k 2＋1，直线MN 的斜率为－1k ，同理可得|BQ |＝|k |k 2＋1k 2＋2，△BPQ 面积S △BPQ ＝12|BP ||BQ |＝12·k 2＋12k 2＋1·|k |k 2＋1k 2＋2＝|k |＋1|k |4（|k |＋1|k |）2＋2，令t ＝|k |＋1|k |≥2，当且仅当|k |＝1时取“＝”，则S △BPQ ＝t 4t 2＋2＝14t ＋2t，函数y ＝4t ＋2t 在[2，＋∞)上单调递增，即当t ＝2时，(4t ＋2t)min ＝9，所以当t ＝2，即k ＝±1时，(S △BPQ )max ＝19，所以△BPQ 面积的最大值是19.。
高考数学小题限时练解析版 (5)
专题05 小题限时练5一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合{|22}A x x =-<，{2B =-，1-，0，1}，则(A B = )A ．{1-，1，2}B ．{2-，1-，0，1}C ．{1-，0，1}D ．{2-，1-，0，1，2}【答案】C 【详解】{|22}A x x =-<，{2B =-，1-，0，1}，{1AB ∴=-，0，1}．故选：C ．2．已知i 为虚数单位，若复数31iz i-=+，则||(z = )A ．1B ．2C D【答案】D 【详解】由31iz i-=+，得3|3|||||1|1|i i z i i --====++ 故选：D ．3．关于双曲线221:2C x y -=与222:2C y x -=，下列说法中错误的是( ) A ．它们的焦距相等 B ．它们的顶点相同 C ．它们的离心率相等 D ．它们的渐近线相同【答案】B【详解】双曲线221:2C x y -=焦距4，顶点坐标(，0)y x =±，双曲线222:2C y x -=焦距4，顶点坐标(0,y x =±， 故选：B ． 4．已知曲线lnxy x k=+在点(1,1)处的切线与直线20x y +=垂直，则k 的值为( ) A ．1 B ．1- C ．12 D ．12-【答案】A【详解】lnx y x k =+，∴11y kx'=+， 则11|1x y k='=+， 又曲线lnxy x k=+在点(1,1)处的切线与直线20x y +=垂直， ∴112k+=，即1k =． 故选：A ．5．网络上盛极一时的数学恒等式“301.01 1.4≈，3651.0137.8≈，7301.011427.6≈”形象地向我们展示了通过努力每天进步1%，就会在一个月、一年以及两年后产生巨大差异．虽然这是一种理想化的算法，但它也让我们直观地感受到了“小小的改变和时间累积的力量”．小明是一位极其勤奋努力的同学，假设他每天进步2.01%，那么30天后小明的学习成果约为原来的( )倍A ．1.69B ．1.748C ．1.96D ．2.8【答案】C【详解】小明每天进步2.01%，即0.0201，则30天后为3023030221.0201(1.01)(1.01)(1.4) 1.96==≈=． 30∴天后小明的学习成果约为原来的1.96倍．故选：C ．6．已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)3()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()4(1)f x x x =-，则当(2x ∈-，0]时，()f x 的最小值为( ) A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【答案】D【详解】当(0x ∈，1]时，221()4(1)444()12f x x x x x x =-=-=--，易知当12x =时，()1min f x =-， 因为(1)3()f x f x +=，所以1(1)()3f x f x -=， 所以当(1,0)x ∈-时，11(1)33min y =⨯-=-；当(2x ∈-，1]-时，211()(1)39min y =⨯-=-，综上，当(2x ∈-，0]时，13min y =-．故选：D ．7．如图为陕西博物馆收藏的国宝--唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右支与直线0x =，4y =，2y =-围成的曲边四边形ABMN 绕y 旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直，则下列曲线中与双曲线C 共渐近线的是( )A ．2213y x -=B ．22193x y -=C ．2214y x -=D ．22136x y -=【答案】A【详解】根据题意，双曲线C经过点4)，，2)-，则有222225163113431a b a b ⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪⎪-=⎪⎩，解可得23a =，29b =，则双曲线C 的方程为22139x y -=，其渐近线方程为y =，由此依次分析选项：对于A ，2213y x -=，其渐近线方程为y =，符合题意，对于B ，22193x y -=，其渐近线方程为y =，不符合题意，对于C ，2214y x -=，其渐近线方程为2y x =±，不符合题意，对于D ，22136x y -=，其渐近线方程为y =，不符合题意，故选：A ．8．已知三棱锥的三条侧棱长均为2，侧面有两个是等腰直角三角形，，则这个三棱锥的表面积为( )A ．4+B ．4C ．4++D ．4+【答案】C【详解】结合题目边长关系，三棱锥如图所示，2,AB AC AD CE ====由题意ABC ∆，ACD ∆是等腰直角三角形，则1BC CD BE BD AE ======，则表面积为11112222142222ABC ACD ABD BCD S S S S ∆∆∆∆+++=⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯=故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
高考数学模拟试题（五）
图1一、单项选择题1.已知集合A ={}x |-1≤x ≤2，B ={}0,2,4，则A ⋂B =（）.A.{}0,2,4 B.{}0,2C.{}x |0≤x ≤4 D.{}x |-1≤x ≤2或x =42.设i 是虚数单位，z ()1+i =i ，则||z =（）.A.12B.1C. D.23.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A ()4,3，B ()-1,3，则∠AOB 的余弦值为（）.A. B.C. D.4.已知a ，b 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）.A.若α//β，a ⊂α，b ⊂β，则a //bB.若a ⊂α，b ⊂β，a //b ，则α//βC.若α⋂β=a ，b ⊂β，b ⊥a ，则α⊥βD.若α⋂β=l ，α⊥β，a ⊂α，a ⊥l ，a //b ，则b ⊥β5.在五边形ABCDE 中 EB =a ，AD =b，M ，N 分别为AE ，BD 的中点，则MN =（）.A.32a +12b B.23a+13b C.12a +12b D.34a+14b 6.命题p :关于x 的不等式ax 2+ax -x -1<0的解集为()-∞,-1⋃æèöø1a ,+∞的一个充分不必要条件是（）.A.a ≤-1B.a >0C.-2<a <0D.a <-27.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为（）.A.112B.13C.12 D.348.若不等式m cos x -cos 3x -18≤0对任意x ∈æèöø0,π2恒成立，则实数m 的取值范围是（）.A.æèùû-∞,-94 B.(]-∞,-2C.æèùû-∞,94 D.æèùû-∞,98二、多选题9.已知0<log 12a <log 12b <1，则下列说法正确的是（）.A.1>a 2>b 2>14B.2>1a >1b >1C.a b -1>b a -1D.1e>e -b >1e 10.函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图1所示，则下列结论正确的是（）.A.f (x )的最小正周期为2B.把y =f (x )图象上所有点向右平移π12个单位长度后得到函数g (x )=2cos 2x 的图象C.f (x )在区间［π2,11π12］上单调递减D.（π6,0）是y =f (x )图象的一个对称中心11.提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成一条定律，即数列{}a n ：0.4，0.7，1.6，2.8，5.2，10，19.6，…，表示的是太阳系第n 颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A .U .为单位).现将数列{}a n 的各项乘以10后再减4，得到数列{}b n ，可以发现数列{}b n 从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（）.A.数列{}b n 的通项公式为b n =3×2n -2B.数列{}a n 的第2021项为0.3×22020+0.4C.数列{}a n 的前n 项和S n =0.4n +0.3×2n -1-0.3D.数列{}nb n 的前n 项和T n =3()n -1∙2n -112.在一张纸上有一圆C :()x +22+y 2=r 2()r >0与点M ()m ,0()m ≠-2，折叠纸片，使圆C 上某一点M ′好与点M 重合，这样的折法每次都会留下一条直线折世世世世世世世世世世世世世世世世世53高考链接痕PQ ，设折痕PQ 与直线M ′C 的交点为T ，则下列说法正确的是（）.A.当-2-r <m <-2+r 时，点T 的轨迹为椭圆B.当r =1，m =2时，点T 的轨迹方程为x 2-y 23=1C.当m =2，1≤r ≤2时，点T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[]2,4D.当r =22，m =2时，在T 的轨迹上任取一点S ，过S 作直线y =x 的垂线，垂足为N ，则△SON （O 为坐标原点)的面积为定值三、填空题13.正态分布在概率和统计中占有重要地位，它广泛存在于自然现象、生产和生活实践中，在现实生活中，很多随机变量都服从或近似服从正态分布.在某次大型联考中，所有学生的数学成绩X ~N ()100,225.若成绩低于m +10的同学人数和高于2m -20的同学人数相同，则整数m 的值为_______.14.已知抛物线x 2=4y ，其准线与y 轴交于点P ，则过点P 的抛物线的切线方程为_______.15.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，其中A =π3，b +c =4，M 为线段BC 的中点，则||AM 的最小值为_______.16.已知四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PA =PB =PC =PD ，AB =2，若四棱锥P -ABCD 的体积为43，则以点P 为球心，以2为半径的球的表面与四棱锥侧面PAB 交线的长度约为_______，该四棱锥P -ABCD 外接球的体积为_______.(参考数据tan 35°≈).四、解答题17.在①S 8=72，②S 5=6a 2，③S 6=S 4+a 5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=6，________．若数列{b n }满足b n =2a n ，求数列{a n +b n }的前n 项和T n .18.已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S 4=S 5=-20.（1）求数列{}a n 的通项公式；（2）已知数列{}b n 是以4为首项，4为公比的等比数列，若数列{}a n 与{}b n 的公共项为a m ，记m 由小到大构成数列{}c n ，求{}c n 的前n 项和T n .19.如图2，已知圆台O 1O 的下底面半径为2，上底面半径为1，母线与底面所成的角为π3，AA 1，BB 1为母线，平面AA 1O 1O ⊥平面BB 1O 1O ,M 为BB 1的中点，P 为AM 上的任意一点.（1）证明：BB 1⊥OP ；（2）当点P 为线段AM 的中点时，求平面OPB 与平面OAM 所成锐二面角的余弦值.图220.机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让行人”．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据：月份违章驾驶员人数112021053100495580(1)请利用所给数据求违章人数y 与月份x 之间的回归直线方程y =b x +a ；(2)预测该路口9月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数；(3)交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查70人，调查驾驶员不“礼让行人”行为与驾龄的关系，得到下表：驾龄不超过1年驾龄1年以上不礼让行人2416礼让行人1614能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关？参考公式和数据：k 2=n (ad -bc )2(a +b )(c +d )(b +d )(其中n =a +b +c +d )．P (k 2≥k 0)k 00.152.0720.102.7060.053.8410.0255.0240.0106.63521.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，过椭圆的左、右焦点F 1，F 2分别作倾斜角为π3的两条直线，且这两条直线之间的距离为3.54高考链接(1)求椭圆E 的标准方程；(2)如图3，过F 2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆交于A ，B 两点．过点A 作与x 轴垂直的直线与椭圆交于点Q ，求证：直线QB 过定点．图322.已知函数f (x )=e x-1，g (x )=a sin x ，a ∈R .(1)若a =-1，证明：当x ≥0时，f (x )≥g (x )；(2)讨论φ(x )=f (x )-g (x )在x ∈[0，π]上零点的个数．参考答案及解析一、单项选择题1-8BCCDC DDA二、多项选择题9.ACD ；10.CD ；11.CD ；12.ACD.三、填空题；14.x -y -1=0,或x +y +1=0；15.3；16.；9π2.四、解答题17.解：选择①，设公差为d ，因为S 8=72，a 3=6，所以ìíî8a 1+28d =72,a 1+2d =6,解得ìíîa 1=2,d =2,所以a n =2n .因为b n =2a n ，所以b n =22n =4n ，a n +b n =2n +4n ，T n =2(1+2+...+n )+41+42+ (4)=n (n +1)+4(1-4n )1-4=43(4n -1)+n (n +1)=4n +13+n 2+n -43.选择②，设公差为d ，因为S 5=6a 2，所以5a 3=6a 2.因为a 3=6，所以a 2=5，所以d =1，所以a n =n +3.因为b n =2a n ，所以b n =2n +3=8×2n ，所以a n +b n =8×2n +n +3，T n =8(21+22+…+2n )+(1+2+…+n )+3n=8×2(1-2n )1-2+n (n +1)2+3n=16(2n -1)+n (n +1)2+3n =2n +4+12n 2+72n -16.选择③，设公差为d ，因为S 6=S 4+a 5，可得S 6-S 4=a 5，即a 6+a 5=a 5，所以a 6=0.因为a 3=6，所以d =-2，所以a n =-2n +12.因为b n =2a n ，所以b n =2-2n +12=212×2-2n ，T n =-2(1+2+…+n )+12n +212×(4-1+4-2+…+4-n )=-n (n +1)+12n +212×(14+142+…+14n )=2123[1-(14)n]-n 2+11n .18.解：（1）设等差数列{}a n 的公差为d ，因为S 4=S 5=-20,所以a 5=S 5-S 4=0.因为S 5=5a 3=-20,所以a 3=-4,所以d =a 5-a35-3=2，所以a n =a 5+()n -5d =2n -10.（2）由题意知b n =4×4n -1=4n .因为a m =2m -10,所以2m -10=4n ,m =4n+102.因此c n =4n +102=4n2+5.所以T n =42+5+422+5+432+5+⋯+4n 2+5=23×4n +5n -23.19.（1）证明：过点B 1作平面AOB 的垂线，垂足为C ，如图4，则C 是OB 的中点，所以BC =1.又∠OBB 1=π3,所以BB 1=2.连接OB 1,因为BB 1=OB =2，所以△OBB 1为等边三角形.因为点M 为BB 1的中点，所以BB 1⊥OM .因为平面AA 1O 1O ⊥平面BB 1O 1O ，平面AA 1O 1O ⋂平面BB 1O 1O =OO 1,且AO ⊥OO 1,AO ⊂平面AA 1O 1O ,所以AO ⊥平面BB 1O 1O .因为BB 1⊂平面BB 1O 1O ,所以AO ⊥BB 1.又因为AO ⋂OM =O ,AO ⊂平面OMA ,OM ⊂平面OMA ，所以BB 1⊥平面OMA .因为OP ⊂平面OMA ,所以BB 1⊥OP .图4（2）解：以O 为坐标原点，OA ，OB ，OO 1所在直55线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系A ()2,0,0,B ()0,2,0,B 1()0,1,3,M æèçç0,32,ø,P æèçø1,34, OP =æèçø1,34,,OB =()0,2,0设平面OPB 的一个法向量为n =()x ,y ,z ,则{OP ∙n =0， OB ∙n =0，即ìíîïïx +34y +=0，2y =0，取z =43,得x =-3,y =0，所以n=()-3,0,43,因为BB 1⊥平面OAM ，所以平面OAM 的一个法向量为BB 1=()0,-1,3,所以cos < BB 1,n >=BB 1∙n || BB 1||n 所以平面OAM 与平面OPB 所成锐二面角的余弦值为.20.解：(1)由表中数据知x ˉ=3，y ˉ=100，所以b =1410-150055-45=-9，所以a =y ˉ-b x ˉ=127，故所求回归直线方程为y =-9x +127.(2)由(1)知，令x =9，则y =-9×9+127=46人．(3)假设H 0：“礼让行人”行为与驾龄无关，由表中数据得k 2=70×(24×14-16×16)240×30×40×30=1445≈0.311<2.706，所以没有97.5%的把握认为“礼让行人”行为与驾龄有关．21.(1)解：因为过椭圆E 的左、右焦点倾斜角为π3的两条直线间的距离为3，所以sin π3所以c =1.因为椭圆的离心率为12，所以a =2，所以b =3，故椭圆E 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l ：x =my +1，则Q (x 1，-y 1)．因为直线l 与坐标轴不垂直，所以直线QB ：y +y 1=y 1+y 2x 2-x 1(x -x 1)，所以y =y 1+y 2x 2-x 1x -x 2y 1+x 1y 2x 2-x 1=y 1+y 2m (y 2-y 1)x -2my 1y 2+y 1+y 2m (y 2-y 1),由得ìíîïïx 24+y 23=1,x =my +1,得(3m 2+4)y 2+6my -9=0，所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，所以y =-6m(3m 2+4)(y 2-y 1)(x -4)，所以直线QB 恒过定点(4，0)．22.(1)证明：令F (x )=f (x )-g (x )=e x -1+sin x ，所以F ′(x )=e x +cos x .当x ∈(0，+∞)时，e x >1，cos x ≤1，所以F ′(x )>0.所以F (x )在[0，+∞)上单调递增．又x ∈[0，+∞)，所以F (x )≥F (0)=0，所以f (x )≥g (x )在x ∈[0，+∞)上恒成立．(2)解：因为φ(x )=e x -1-a sin x (a ∈R )，所以φ′(x )=e x -a cos x .设h (x )=φ′(x )，h ′(x )=e x +a sin x ，①当a ≤0时，因为x ∈[0，π]，所以-a sin x ≥0，而e x -1≥0，所以e x -1-a sin x ≥0，即φ(x )≥0恒成立，所以φ(x )零点个数为1个．②当0<a ≤1时，h ′(x )=e x +a sin x ≥0，所以φ′(x )在[0，π]上单调递增，而φ′(0)=1-a ≥0，所以φ′(x )≥φ′(0)=0，所以φ(x )在[0，π]上单调递增．因为φ(0)=0，所以x =0是唯一零点，此时φ(x )零点个数为1个．③当a >1时，h ′(x )=e x +a sin x ≥0，所以φ′(x )在[0，π]上单调递增，而φ′(0)=1-a <0，φ′(π2)=e π2>0，所以存在x 0∈[0，π]，使φ′(x 0)=0，所以当0<x <x 0时，φ(x )单调递减，当x 0<x <π时，φ(x )单调递增，所以当x =x 0时，φ(x )取得最小值φ(x 0)．而φ(x 0)<φ(0)=0，φ(π)=e π-1>0，又φ(x )图象是连续不间断的，由零点存在性定理知，φ(x )在(x 0，π)上有唯一零点．因为x =0也是零点，所以φ(x )在[0，π]上有2个零点.综上：当a ≤1时，φ(x )在[0，π]上有1个零点；当a >1时，φ(x )在[0，π]上有2个零点．高考链接56。
2024高考题分类训练(数学)专题五 数列
专题五数列考点17 等差数列题组一、选择题1. [2023全国卷甲，5分]记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a2+a6=10，a4a8=45，则S5= ( C )A. 25B. 22C. 20D. 15[解析]解法一由a2+a6=10，可得2a4=10，所以a4=5，又a4a8=45，所以a8=9.设等差数列{a n}的公差为d，则d=a8−a48−4=9−54=1，又a4=5，所以a1=2，所以S5=5a1+5×42×d=20，故选C.解法二设等差数列{a n}的公差为d，则由a2+a6=10，可得a1+3d=5①，由a4a8=45，可得(a1+3d)(a1+7d)=45②，由①②可得a1=2，d=1，所以S5=5a1+5×42×d=20，故选C.2. （2023全国卷乙，5分）已知等差数列{a n}的公差为2π3，集合S={cosa n|n∈N∗}，若S={a，b}，则ab= ( B )A. −1B. −12C. 0 D. 12[解析]由题意得a n=a1+2π3(n−1)，cosa n+3=cos(a1+2π3(n+2))=cos(a1+2π3n+4π3)=cos(a1+2π3n+2π−2π3)=cos(a1+2π3n−2π3)=cosa n，所以数列{cosa n}是以3为周期的周期数列，又cosa2=cos(a1+2π3)=−12cosa1−√32sina1，cosa3=cos(a1+4π3)=−12cosa1+√32sina1，因为集合S中只有两个元素，所以有三种情况：cosa1=cosa2≠cosa3，cosa1=cosa3≠cosa2，cosa2=cosa3≠cosa1.下面逐一讨论：①当cosa1=cosa2≠cosa3时，有cosa1=−12cosa1−√32sina1，得tana1=−√3，所以ab=cosa1(−12cosa1+√32sina1)=−12cos2a1+√32sina1cosa1=−1 2cos2a1+√32sina1cosa1sin2a1+cos2a1=−12+√32tana1tan2a1+1=−12−323+1=−12.②当cosa1=cosa3≠cosa2时，有cosa1=−12cosa1+√32sina1，得tana1=√3，所以ab=cosa1(−12cosa1−√32sina1)=−12cos2a1−√32sina1cosa1=−1 2cos2a1−√32sina1cosa1sin2a1+cos2a1=−12−√32tana1tan2a1+1=−12−323+1=−12.③当cosa2=cosa3≠cosa1时，有−12cosa1−√32sina1=−12cosa1+√32sina1，得sina1=0，所以ab=cosa1(−12cosa1−√32sina1)=−12cos2a1=−12(1−sin2a1)=−12.综上，ab=−12，故选B.【速解】取a1=−π3，则cosa1=12，cosa2=cos(a1+2π3)=12，cosa3=cos(a1+4π3)=−1，所以S={12,−1}，ab=−12，故选B.3. [2021北京，4分]已知{a n}和{b n}是两个等差数列，且a kb k(1≤k≤5)是常值，若a1=288 ,a5=96 ,b1=192，则b3的值为( C )A. 64B. 100C. 128D. 132[解析]因为{a n}和{b n}是两个等差数列,所以2a3=a1+a5=288+96=384，所以a3=192.因为当1≤k≤5时，a kb k 是常值，所以a3b3=a1b1=288192=192b3，从而b3=128.故选C.4. [2020全国卷Ⅱ，5分]如图，北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( C )A. 3 699块B. 3 474块C. 3 402块D. 3 339块[解析]由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{a n}，设数列{a n}的公差为d,前n项和为S n，易知其首项a1=9，d=9，所以a n=a1+(n−1)d=9n．由等差数列的性质知S n,S2n−S n,S3n−S2n也成等差数列，所以2(S2n−S n)=S n+S3n−S2n，所以(S3n−S2n)−(S2n−S n)=S2n−2S n=2n(9+18n)2−2×n(9+9n)2=9n2=729，得n=9，所以三层共有扇面形石板的块数为S3n=3n(9+27n)2=3×9×(9+27×9)2=3402，故选C．5. [2020浙江，4分]已知等差数列{a n}的前n项和为S n ,公差d≠0，且a1d≤1 .记b1=S2，b n+1=S2n+2−S2n ,n∈N∗ ,下列等式不可能成立的是( D )A. 2a4=a2+a6B. 2b4=b2+b6C. a42=a2a8D. b42=b2b8 [解析]由b n+1=S2n+2−S2n，得b2=a3+a4=2a1+5d，b4=a7+a8=2a1+13d，b6=a11+a12,b8=a15+a16=2a1+29d.由等差数列的性质易知A成立；若2b4=b2+b6,则2(a7+a8)=a3+a4+a11+a12=2a7+2a8，故B成立；若a42=a2a8,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),则a1=d,故C可能成立；若b42=b2b8,即(2a1+13d)2=(2a1+5d)(2a1+29d)，则a1d =32，与已知矛盾，故D不可能成立.6. [2020北京，4分]在等差数列{a n}中，a1=−9 ,a5=−1 .记T n=a1a2…a n(n=1,2,…) ,则数列{T n} ( B )A. 有最大项，有最小项B. 有最大项，无最小项C. 无最大项，有最小项D. 无最大项，无最小项[解析]设等差数列{a n}的公差为d，∵a1=−9，a5=−1,∴a5=−9+4d=−1,∴d=2,∴a n=−9+(n−1)×2=2n−11.令a n=2n−11≤0,则n≤5.5,∴n≤5时,a n<0；n≥6时,a n>0.∴T1=−9<0,T2=(−9)×(−7)= 63>0，T3=(−9)×(−7)×(−5)=−315<0,T4=(−9)×(−7)×(−5)×(−3)=945>0,T5=(−9)×(−7)×(−5)×(−3)×(−1)=−945<0,当n≥6时,a n>0,且a n≥1，∴T n+1<T n<0，∴T n=a1a2…a n(n=1,2,…)有最大项T4，无最小项,故选B．7. [2019全国卷Ⅰ，5分]记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0，a5= 5，则( A )A. a n =2n −5B. a n =3n −10C. S n =2n 2−8nD. S n =12n 2−2n[解析]解法一 设等差数列{a n } 的公差为d ，∵{S 4=0,a 5=5,∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3,d =2,∴a n =a 1+(n −1)d =−3+2(n −1)=2n −5 ，S n =na 1+n (n−1)2d =n 2−4n .故选A ．解法二 设等差数列{a n } 的公差为d ，∵{S 4=0,a 5=5,∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3,d =2.选项A ，a 1=2×1−5=−3 ；选项B ，a 1=3×1−10=−7 ，排除B ;选项C ，S 1=2−8=−6 ，排除C ；选项D ，S 1=12−2=−32 ，排除D ．故选A ．【方法技巧】 等差数列基本运算的常见类型及解题策略 （1）求公差d 或项数n .在求解时，一般要运用方程思想. （2）求通项.a 1 和d 是等差数列的两个基本元素.（3）求特定项.利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解.（4）求前n 项和.利用等差数列的前n 项和公式直接求解，或利用等差中项间接求解.二、填空题8. [2022全国卷乙，5分]记S n 为等差数列{a n } 的前n 项和.若2S 3=3S 2+6 ，则公差d = 2.[解析]因为2S 3=3S 2+6 ,所以2(a 1+a 2+a 3)=3(a 1+a 2)+6 ，化简得3d =6 ，得d =2 .9. [2020新高考卷Ⅰ，5分]将数列{2n −1} 与{3n −2} 的公共项从小到大排列得到数列{a n } ,则{a n } 的前n 项和为3n 2−2n .[解析]设b n =2n −1 ,c n =3n −2 ,b n =c m ,则2n −1=3m −2 ,得n =3m−12=3m−3+22=3(m−1)2+1 ，于是m −1=2k ,k ∈N ，所以m =2k +1 ,k ∈N ,则a k =3(2k +1)−2=6k +1 ,k ∈N ，得a n =6n −5 ,n ∈N ∗.故S n =1+6n−52×n =3n 2−2n .10. （2019全国卷Ⅲ，5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0，a2= 3a1，则S10S5=4.[解析]设等差数列{a n}的公差为d,由a2=3a1，即a1+d=3a1，得d=2a1，所以S10S5=10a1+10×92d5a1+5×42d=10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1=10025=4.11. [2019北京，5分]设等差数列{a n}的前n项和为S n .若a2=−3，S5=−10，则a5=0，S n的最小值为−10 .[解析]设等差数列{a n}的公差为d，∵{a2=−3,S5=−10,即{a1+d=−3,5a1+10d=−10,∴可得{a1=−4,d=1,∴a5=a1+4d=0.∵S n=na1+n(n−1)2d=12(n2−9n),∴当n=4或n=5时，S n取得最小值，最小值为−10.12. [2019江苏，5分]已知数列{a n}(n∈N∗)是等差数列，S n是其前n项和.若a2a5+a8=0，S9=27，则S8的值是16.[解析]解法一设等差数列{a n}的公差为d，则a2a5+a8=(a1+d)(a1+4d)+ a1+7d=a12+4d2+5a1d+a1+7d=0，S9=9a1+36d=27，解得a1=−5,d=2,则S8=8a1+28d=−40+56=16.解法二设等差数列{a n}的公差为d.S9=9(a1+a9)2=9a5=27,a5=3，又a2a5+a8=0，则3(3−3d)+3+3d=0,得d=2，则S8=8(a1+a8)2=4(a4+a5)= 4(1+3)=16.【方法技巧】在等差数列{a n}中，若m+n=p+q ,m ,n ,p ,q∈N∗，则a m+a n=a p+a q .三、解答题13. [2023全国卷乙，12分]记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a2=11 ,S10=40 .（1）求{a n}的通项公式；[答案]设{a n}的公差为d，则{a2=a1+d=11,S10=10a1+45d=40,解得a1=13,d=−2.所以{a n}的通项公式为a n=13+(n−1)⋅(−2)=15−2n.（2）求数列{|a n|}的前n项和T n .[答案]由（1）得∣a n∣={15−2n,n≤7, 2n−15,n≥8.当n≤7时，T n=S n=13n+n(n−1)2×(−2)=14n−n2,当n≥8时，T n=−S n+2S7=−(14n−n2)+2(14×7−72)=98−14n+ n2.综上,T n={14n−n2,n≤7,98−14n+n2,n≥8.14. [2023新高考卷Ⅰ，12分]设等差数列{a n}的公差为d，且d>1 .令b n=n2+na n,记S n ,T n分别为数列{a n}，{b n}的前n项和.（1）若3a2=3a1+a3 ,S3+T3=21 ,求{a n}的通项公式；[答案]因为3a2=3a1+a3，所以3(a2−a1)=a1+2d，所以3d=a1+2d,所以a1=d,所以a n=nd.因为b n=n2+na n ,所以b n=n2+nnd=n+1d，所以S3=3(a1+a3)2=3(d+3d)2=6d，T3=b1+b2+b3=2d+3d+4d=9d.因为S3+T3=21，所以6d+9d =21，解得d=3或d=12，因为d>1，所以d=3.所以{a n}的通项公式为a n=3n.（2）若{b n}为等差数列，且S99−T99=99，求d . [答案]因为b n=n2+na n，且{b n}为等差数列，所以2b2=b1+b3，即2×6a2=2a1+12a3，所以6a1+d −1a1=6a1+2d，所以a12−3a1d+2d2=0，解得a1=d或a1=2d.①当a1=d时，a n=nd，所以b n=n2+na n =n2+nnd=n+1d，S99=99(a1+a99)2=99(d+99d)2=99×50d，T99=99(b1+b99)2=99(2d+100d)2=99×51d.因为S99−T99=99，所以99×50d−99×51d=99，即50d2−d−51=0，解得d=5150或d=−1（舍去）.②当a1=2d时，a n=(n+1)d，所以b n=n2+na n =n2+n(n+1)d=nd，S99=99(a1+a99)2=99(2d+100d)2=99×51d，T99=99(b1+b99)2=99(1d+99d)2=99×50d.因为S99−T99=99，所以99×51d−99×50d=99，即51d2−d−50=0，解得d=−5051（舍去）或d=1（舍去）.综上，d=5150.15. [2022全国卷甲，12分]记S n为数列{a n}的前n项和.已知2S nn+n=2a n+1 . （1）证明:{a n}是等差数列;[答案]由2S nn+n=2a n+1，得2S n+n2=2a n n+n①，所以2S n+1+(n+1)2=2a n+1(n+1)+(n+1)②，②−①，得2a n+1+2n+1=2a n+1(n+1)−2a n n+1，化简得a n+1−a n=1，所以数列{a n}是公差为1的等差数列.（2）若a4 ,a7 ,a9成等比数列，求S n的最小值.[答案]由（1）知数列{a n}的公差为1.由a72=a4a9，得(a1+6)2=(a1+3)(a1+8)，解得a1=−12.所以S n=−12n+n(n−1)2=n2−25n2=12(n−252)2−6258，所以当n=12或13时，S n取得最小值,最小值为−78.16. [2021新高考卷Ⅱ，10分]记S n是公差不为0的等差数列{a n}的前n项和，若a3=S5 ,a2a4=S4 .（1）求数列{a n}的通项公式；[答案]设等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，则由题意，得{a1+2d=5a1+10d,(a1+d)(a1+3d)=4a1+6d得{a1=−4,d=2所以a n=a1+(n−1)d=2n−6.（2）求使S n>a n成立的n的最小值.[答案]S n=n(a1+a n)2=n(2n−10)2=n2−5n，则由n2−5n>2n−6，整理得n2−7n+6>0，解得n<1或n>6.因为n∈N∗，所以使S n>a n成立的n的最小值为7.17. [2021全国卷甲，12分]已知数列{a n}的各项均为正数,记S n为{a n}的前n项和,从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等差数列；②数列{√S n }是等差数列；③a2=3a1 .注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.[答案]①③⇒②.已知{a n}是等差数列，a2=3a1.设数列{a n}的公差为d，则a2=3a1=a1+d，得d=2a1，所以S n=na1+n(n−1)2d=n2a1.因为数列{a n}的各项均为正数，所以√S n=n√a1，所以√S n+1−√S n=(n+1)√a1−n√a1=√a1（常数），所以数列{√S n}是等差数列.①②⇒③.已知{a n}是等差数列，{√S n}是等差数列.解法一易得√S3+√S1=2√S2,即√3a2+√a1=2√a1+a2,两边同时平方得3a2+a1+2√3a1a2=4(a1+a2),整理得(√3a1−√a2)2=0,所以a2=3a1.解法二设数列{a n}的公差为d，则S n=na1+n(n−1)2d=12n2d+(a1−d2)n.因为数列{√S n}是等差数列，所以数列{√S n}的通项公式是关于n的一次函数，则a1−d2=0，即d=2a1，所以a2=a1+d=3a1.②③⇒①.已知数列{√S n}是等差数列，a2=3a1，所以S1=a1,S2=a1+a2=4a1.设数列{√S n}的公差为d，d>0，则√S2−√S1=√4a1−√a1=d，得a1= d2，所以√S n=√S1+(n−1)d=nd，所以S n=n2d2，所以a n=S n−S n−1=n2d2−(n−1)2d2=2d2n−d2(n≥2)，所以a n−a n−1=2d2(n≥2)，所以数列{a n}是等差数列.考点18 等比数列题组一、选择题1. [2023全国卷甲，5分]设等比数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n ,若a1=1，S5=5S3−4，则S4= ( C )A. 158B. 658C. 15D. 40[解析]解法一若该数列的公比q=1，代入S5=5S3−4中，有5=5×3−4，不成立，所以q≠1.由1−q 51−q =5×1−q31−q−4，化简得q4−5q2+4=0,所以q2=1（舍）或q2=4,由于此数列各项均为正数，所以q=2，所以S4=1−q41−q= 15.故选C.解法二由已知得1+q+q2+q3+q4=5(1+q+q2)−4,整理得(1+q)(q3−4q)=0,由于此数列各项均为正数，所以q=2，所以S4=1+q+q2+q3=1+2+4+8=15.故选C.2. [2023天津，5分]已知{a n}为等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，a n+1= 2S n+2 ,则a4的值为( C )A. 3B. 18C. 54D. 152[解析]解法一因为a n+1=2S n+2，所以当n≥2时，a n=2S n−1+2，两式相减得a n+1−a n=2a n，即a n+1=3a n，所以数列{a n}是公比q=a n+1a n=3的等比数列.当n=1时，a2=2S1+2=2a1+2，又a2=3a1，所以3a1=2a1+ 2，解得a1=2，所以a4=a1q3=2×33=54，故选C.解法二设等比数列{a n}的公比为q，因为a n+1=2S n+2，所以公比q≠1，且a1q n=2a1(1−q n)1−q +2=−2a11−qq n+2a11−q+2，所以{a1=−2a11−q,0=2a11−q+2,又a1≠0，所以q=3，a1=2，所以a4=a1q3=2×33=54，故选C.3. [2023新高考卷Ⅱ，5分]记S n 为等比数列{a n } 的前n 项和，若S 4=−5 ,S 6=21S 2 ,则S 8= ( C ) A. 120B. 85C. −85D. −120[解析]解法一 设等比数列{a n } 的公比为q (q ≠0) ，由题意易知q ≠1 ，则{a 1(1−q 4)1−q=−5,a1(1−q6)1−q=21×a 1(1−q 2)1−q,化简整理得{q 2=4,a 11−q =13. 所以S 8=a 1(1−q 8)1−q=13×(1−44)=−85 .故选C . 解法二 易知S 2 ，S 4−S 2 ，S 6−S 4 ，S 8−S 6 ，…… 为等比数列，所以(S 4−S 2)2=S 2⋅(S 6−S 4) ,解得S 2=−1 或S 2=54.当S 2=−1 时，由(S 6−S 4)2=(S 4−S 2)⋅(S 8−S 6) ，解得S 8=−85 ；当S 2=54 时，结合S 4=−5得{a 1(1−q 4)1−q =−5a 1(1−q 2)1−q =54,化简可得q 2=−5 ，不成立，舍去.所以S 8=−85 ，故选C .4. [2022全国卷乙，5分]已知等比数列{a n } 的前3项和为168，a 2−a 5=42 ,则a 6= ( D ) A. 14B. 12C. 6D. 3[解析]解法一 设等比数列{a n } 的公比为q ，由题意可得{a 1+a 2+a 3=168,a 2−a 5=42,即{a 1(1+q +q 2)=168,a 1q (1−q 3)=a 1q (1−q )(1+q +q 2)=42, 解得{a 1=96,q =12, 所以a 6=a 1q 5=3 ，故选D .解法二 设等比数列{a n } 的公比为q ,易知q ≠1 ,由题意可得{a 1(1−q 3)1−q=168,a 1q (1−q3)=42,解得{a 1=96,q =12,所以a 6=a 1q 5=3 ，故选D .5. [2021全国卷甲，5分]记S n 为等比数列{a n } 的前n 项和.若S 2=4 ，S 4=6 ,则S 6= ( A ) A. 7B. 8C. 9D. 10[解析]解法一因为S2=4,S4=6，所以公比q≠1，所以由等比数列的前n项和公式，得{S2=a1(1−q2)1−q=a1(1+q)=4,S4=a1(1−q4)1−q =a1(1+q)(1+q2)=6,两式相除，（技巧点拨：与等比数列有关的方程组，求解时通常利用两式相除，达到消元、降次的目的）得q2=12，所以{a1=4(2−√2),q=√22或{a1=4(2+√2),q=−√22,所以S6=a1(1−q6)1−q=7．故选A．解法二易知公比q≠−1，则S2,S4−S2,S6−S4构成等比数列，所以S2(S6−S4)=(S4−S2)2，即4(S6−6)=22，所以S6=7．故选A．6. [2020全国卷Ⅰ，5分]设{a n}是等比数列，且a1+a2+a3=1 ,a2+a3+ a4=2 ,则a6+a7+a8= ( D )A. 12B. 24C. 30D. 32[解析]解法一设等比数列{a n}的公比为q，所以a2+a3+a4a1+a2+a3=(a1+a2+a3)qa1+a2+a3=q=2，由a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=a1(1+2+22)=1，解得a1=17，所以a6+a7+a8=a1(q5+q6+q7)=17×(25+26+27)=17×25×(1+2+22)=32，故选D.解法二令b n=a n+a n+1+a n+2(n∈N∗)，则b n+1=a n+1+a n+2+a n+3.设数列{a n}的公比为q，则b n+1b n =a n+1+a n+2+a n+3a n+a n+1+a n+2=(a n+a n+1+a n+2)qa n+a n+1+a n+2=q，所以数列{b n}为等比数列，由题意知b1=1,b2=2，所以等比数列{b n}的公比q=2，所以b n=2n−1,所以b6=a6+a7+a8=25=32，故选D.7. [2020全国卷Ⅱ，5分]数列{a n}中，a1=2 ,a m+n=a m a n .若a k+1+a k+2+⋯+a k+10=215−25 ,则k= ( C )A. 2B. 3C. 4D. 5[解析]令m=1，则由a m+n=a m a n，得a n+1=a1a n，即a n+1a n=a1=2，所以数列{a n}是首项为2、公比为2的等比数列，所以a n=2n，所以a k+1+a k+2+⋯+a k+10=a k(a1+a2+⋯+a10)=2k×2×(1−210)1−2=2k+1×(210−1)=215−25=25×(210−1)，解得k=4，故选C．8. [2019全国卷Ⅲ，5分]已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= ( C )A. 16B. 8C. 4D. 2[解析]设等比数列{a n}的公比为q，由a5=3a3+4a1得q4=3q2+4，得q2= 4，因为数列{a n}的各项均为正数，所以q=2，又a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=a1(1+2+4+8)=15，所以a1=1，所以a3=a1q2= 4.二、填空题9. [2023全国卷乙，5分]已知{a n}为等比数列，a2a4a5=a3a6 ,a9a10=−8 ,则a7=−2 .[解析]解法一设数列{a n}的公比为q，则由a2a4a5=a3a6，得a1q⋅a1q3⋅a1q4=a1q2⋅a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q=1①.又a9a10=a1q8⋅a1q9=a12q17=−8②，所以由①②可得q15=−8，q5=−2，所以a7=a1q6=a1q⋅q5=−2.解法二设数列{a n}的公比为q.因为a4a5=a3a6≠0，所以a2=1.又a9a10= a2q7⋅a2q8=q15=−8，于是q5=−2，所以a7=a2q5=−2.10. [2019全国卷Ⅰ，5分]记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=13，a42=a6，则S5=1213.[解析]解法一设等比数列{a n}的公比为q，因为a42=a6，所以(a1q3)2=a1q5，所以a1q=1，又a1=13，所以q=3，所以S5=a1(1−q5)1−q=13×(1−35)1−3=1213．解法二设等比数列{a n}的公比为q，因为a42=a6，所以a2a6=a6，所以a2=1，又a1=13，所以q=3，所以S5=a1(1−q5)1−q=13×(1−35)1−3=1213．三、解答题11. [2020全国卷Ⅰ，12分]设{a n}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项.（1）求{a n}的公比；[答案]设{a n}的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.所以q2+q−2=0，解得q=1（舍去）或q=−2.故{a n}的公比为−2.（2）若a1=1，求数列{na n}的前n项和.[答案]记S n为{na n}的前n项和.由（1）及题设可得，a n=(−2)n−1.所以S n=1+2×(−2)+⋯+n×(−2)n−1,−2S n=−2+2×(−2)2+⋯+(n−1)×(−2)n−1+n×(−2)n.可得3S n=1+(−2)+(−2)2+⋯+(−2)n−1−n×(−2)n=1−(−2)n3−n×(−2)n.所以S n=19−(3n+1)(−2)n9.12. [2020新高考卷Ⅰ，12分]已知公比大于1的等比数列{a n}满足a2+a4= 20 ,a3=8 .（1）求{a n}的通项公式；[答案]设{a n}的公比为q.由题设得a1q+a1q3=20，a1q2=8.解得q=12（舍去）或q=2.由题设得a1=2.所以{a n}的通项公式为a n=2n.（2）记b m为{a n}在区间(0,m](m∈N∗)中的项的个数，求数列{b m}的前100项和S100 .[答案]由题设及（1）知b1=0，且当2n≤m<2n+1时，b m=n.所以S100=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+⋯+(b32+b33+⋯+b63)+ (b64+b65+⋯+b100)=0+1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×(100−63)=480.【方法技巧】求解本题第（2）问的关键在于找准m的取值和a n的联系，可从小到大进行列举，找规律，从而可得结果.13. [2019全国卷Ⅱ，12分]已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2 ,a3= 2a2+16 .（1）求{a n}的通项公式;[答案]设{a n}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2−2q−8=0.解得q=−2（舍去）或q=4.因此{a n}的通项公式为a n=2×4n−1=22n−1.（2）设b n=log2a n ,求数列{b n}的前n项和.[答案]由（1）得b n =(2n −1)log 22=2n −1 ,因此数列{b n } 的前n 项和为1+3+⋯+2n −1=n 2 .考点19 递推数列与数列求和题组一一、选择题1. [2021浙江，4分]已知数列{a n } 满足a 1=1 ,a n+1=n 1+√a n ∈N ∗) ,记数列{a n } 的前n 项和为S n ,则( A ) A. 32<S 100<3B. 3<S 100<4C. 4<S 100<92D. 92<S 100<5[解析]因为a 1=1 ,a n+1=n 1+√a ，所以a n >0 ，a 2=12 ,所以S 100>32.1an+1=1+√a n a n =1a n+√a =(√a +12)2−14 .所以1a n+1<(√a +12)2，两边同时开方可得√a <√a +12 ，则√a <√a +12 ,… ，√a <√a 12 ,由累加法可得√a <√a +n2=1+n2 ，所以√a ≤1+n−12=n+12，所以√a n ≥2n+1 ,所以a n+1=n 1+√a ≤a n1+2n+1=n+1n+3a n ，即a n+1a n≤n+1n+3 ，则a nan−1≤n n+2 ,… ,a 2a 1≤24 ,由累乘法可得当n ≥2 时，a n =a n a 1≤nn+2×n−1n+1×n−2n ×…×35×24=6(n+2)(n+1)=6(1n+1−1n+2) ，所以S 100<1+6(13−14+14−15+⋯+1101−1102)=1+6(13−1102)<1+2=3 ，故选A .【方法技巧】利用放缩法，结合累加法与累乘法求得a n ≤6(1n+1−1n+2) ，从而利用裂项相消法计算S 100 的取值范围.二、填空题2. [2021新高考卷Ⅰ，5分]某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm ×12dm 的长方形纸,对折1次共可以得到10dm ×12dm ,20dm ×6dm 两种规格的图形,它们的面积之和S 1=240dm 2 ,对折2次共可以得到5dm ×12dm ,10dm ×6dm ,20dm ×3dm 三种规格的图形,它们的面积之和S 2=180dm 2 ,以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折n 次,那么∑nk=1S k = 240(3−n+32n) dm 2 .[解析]依题意得，S 1=120×2=240 ；S 2=60×3=180 ；当n =3 时，共可以得到5dm ×6dm ，52dm ×12dm ,10dm ×3dm ,20dm ×32dm 四种规格的图形，且5×6=30 ,52×12=30 ，10×3=30 ，20×32=30 ，所以S 3=30×4=120 ；当n =4 时，共可以得到5dm ×3dm ，52dm ×6dm ,54dm ×12dm ,10dm ×32dm ,20dm ×34dm 五种规格的图形，所以对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5，且5×3=15 ,52×6=15 ，54×12=15 ，10×32=15 ，20×34=15 ，所以S 4=15×5=75 ； ……所以可归纳S k =2402k×(k +1)=240(k+1)2k.所以∑n k=1S k =240(1+322+423+⋯+n2n−1+n+12n) ①，所以12×∑nk=1S k =240(222+323+424+⋯+n2n +n+12n+1) ②，由①−② 得，12×∑nk=1S k =240(1+122+123+124+⋯+12n −n+12n+1)=240(1+122−12n ×121−12−n+12n+1)=240(32−n+32n+1) ，（提示：用等比数列的前n 项和公式S n =a 1−a n q 1−q(q ≠1) ，可避免计算数列项数时出错）所以∑nk=1S k =240(3−n+32n)dm 2 .3. [2020全国卷Ⅰ，5分]数列{a n } 满足a n+2+(−1)n a n =3n −1 ,前16项和为540，则a 1= 7.[解析]因为数列{a n } 满足a n+2+(−1)n a n =3n −1 ，所以当n =2k(k ∈N ∗) 时，a 2k+2+a 2k =6k −1(k ∈N ∗) ，所以(a 2+a 4)+(a 6+a 8)+(a 10+a 12)+(a 14+a 16)=5+17+29+41=92 .当n =2k −1(k ∈N ∗) 时，a 2k+1−a 2k−1=6k −4(k ∈N ∗) ，所以当k ≥2 时，a 2k−1=a 1+(a 3−a 1)+(a 5−a 3)+(a 7−a 5)+⋯+(a 2k−1−a 2k−3)=a 1+2+8+14+⋯+[6(k −1)−4]=a 1+(2+6k−10)(k−1)2=a 1+(3k −4)(k −1) ，当k =1 时上式也成立，所以a 2k−1=a 1+(3k −4)(k −1)(k ∈N ∗) ，即a 2k−1=a 1+3k 2−7k +4(k ∈N ∗) .解法一所以a1+a3+a5+a7+⋯+a15=8a1+3×(12+22+32+⋯+82)−7×(1+2+3+⋯+8)+4×8=8a1+3×8×(8+1)×(2×8+1)6−7×(1+8)×82+32=8a1+612−252+32=8a1+392.又前16项和为540，所以92+8a1+ 392=540，解得a1=7.解法二所以a2k−1=a1+(3k2+3k+1)−10k+3=a1+[(k+1)3−k3]−10k+3，所以a1+a3+a5+a7+⋯+a15=8a1+(23−13)+(33−23)+⋯+(93−83)−10×(1+8)×82+3×8=8a1+93−13−360+24=8a1+392.又前16项和为540，所以92+8a1+392=540，解得a1=7.【拓展结论】12+22+32+42+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6.三、解答题4. [2023全国卷甲，12分]记S n为数列{a n}的前n项和，已知a2=1，2S n= na n .（1）求{a n}的通项公式；[答案]当n=1时，2S1=a1，即2a1=a1，所以a1=0.当n≥2时，由2S n=na n，得2S n−1=(n−1)a n−1，两式相减得2a n=na n−(n−1)a n−1，即(n−1)a n−1=(n−2)a n，当n=2时，可得a1=0，故当n≥3时，a na n−1=n−1n−2，则a na n−1⋅a n−1a n−2⋅…⋅a3a2=n−1n−2⋅n−2n−3⋅…⋅21，整理得a na2=n−1，因为a2=1，所以a n=n−1(n≥3).当n=1，n=2时，均满足上式，所以a n=n−1.（2）求数列{a n+12n}的前n项和T n .[答案]令b n=a n+12n =n2n，则T n=b1+b2+⋯+b n−1+b n=12+222+⋯+n−12n−1+n2n①，1 2T n=122+223+⋯+n−12n+n2n+1②，由①−②得12T n=12+122+123+⋯+12n−n2n+1=12(1−12n)1−12−n2n+1=1−2+n2n+1，即T n=2−2+n2n．5. [2019全国卷Ⅱ，12分]已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，4a n+1= 3a n−b n+4，4b n+1=3b n−a n−4 .（1）证明:{a n+b n}是等比数列，{a n−b n}是等差数列;[答案]由题设得4(a n+1+b n+1)=2(a n+b n),即a n+1+b n+1=12(a n+b n).又因为a1+b1=1,所以{a n+b n}是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(a n+1−b n+1)=4(a n−b n)+8,即a n+1−b n+1=a n−b n+2.又因为a1−b1=1,所以{a n−b n}是首项为1,公差为2的等差数列.（2）求{a n}和{b n}的通项公式.[答案]由（1）知,a n+b n=12n−1,a n−b n=2n−1.所以a n=12[(a n+b n)+(a n−b n)]=12n+n−12,b n=12[(a n+b n)−(a n−b n)]=12n−n+12.【方法技巧】破解此类题的关键：一是用定义，即根据所给的等式的特征，将其转化为数列相邻两项的差（比）的关系，利用等差（比）数列的定义，即可证明数列为等差（比）数列；二是用公式，即会利用等差（比）数列的通项公式，得到各个数列的通项所满足的方程（组），解方程（组），即可求出数列的通项公式．【易错警示】在利用等差（比）数列的定义时，既需注意是从第二项起，又需注意是后项与前项的差（比），在运用等比数列的通项公式时，注意不要与等比数列的前n项和公式搞混．题组二解答题1. [2023新高考卷Ⅱ，12分]已知{a n}为等差数列,b n={a n−6,n为奇数2a n,n为偶数.记S n，T n分别为数列{a n} ,{b n}的前n项和，S4=32，T3=16 . （1）求{a n}的通项公式;[答案]设等差数列{a n}的公差为d．因为b n={a n−6,n为奇数, 2a n,n为偶数,所以b1=a1−6，b2=2a2=2a1+2d，b3=a3−6=a1+2d−6.（提示：由于数列{b n}是一个奇偶项数列，因此求项时需“对号入座”）因为S4=32，T3=16，所以{4a1+6d=32,(a1−6)+(2a1+2d)+(a1+2d−6)=16,（方法技巧：求等差数列的基本量时，常根据已知条件建立方程组求解）解得{a1=5,d=2,所以{a n}的通项公式为a n=2n+3.（提示：等差数列的通项公式为a n=a1+(n−1)d）（2）证明:当n>5时，T n>S n . [答案]由（1）知a n=2n+3，所以S n=n[5+(2n+3)〗2=n2+4n，b n={2n−3,n为奇数,4n+6,n为偶数,当n为奇数时，T n=(−1+14)+(3+22)+(7+30)+⋯+[(2n−7)+(4n+2)]+2n−3= [−1+3+7+⋯+(2n−7)+(2n−3)]+[14+22+30+⋯+(4n+2)]=n+12(−1+2n−3)2+n−12(14+4n+2)2=3n2+5n−102．（方法技巧：如果数列的奇数项、偶数项构成等差或等比数列，则求其前n项和时可以使用分组求和方法，使具有相同结构的部分求和，然后将结果相加、化简即可）当n>5时，T n−S n=3n2+5n−102−(n2+4n)=n2−3n−102=(n−5)(n+2)2>0，所以T n>S n．当n为偶数时，T n=(−1+14)+(3+22)+(7+30)+⋯+[(2n−5)+ (4n+6)]=[−1+3+7+⋯+(2n−5)]+[14+22+30+⋯+(4n+6)]= n2(−1+2n−5)2+n2(14+4n+6)2=3n2+7n2．当n>5时，T n−S n=3n2+7n2−(n2+4n)=n2−n2=n(n−1)2>0，所以T n>S n．综上可知，当n>5时，T n>S n．2. [2022新高考卷Ⅰ，10分]记S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=1 ,{S na n}是公差为13的等差数列.（1）求{a n}的通项公式；[答案]因为a1=1，所以S1a1=1，又{S na n }是公差为13的等差数列，所以S na n =1+(n−1)×13=n+23.所以S n=n+23a n.因为当n≥2时，a n=S n−S n−1=n+23a n−n+13a n−1，所以n+13a n−1=n−13a n(n≥2)，所以a na n−1=n+1n−1(n≥2)，所以a2a1×a3a2×…×a n−1a n−2×a na n−1=31×42×53×…×nn−2×n+1n−1=n(n+1)2(n≥2)，所以a n=n(n+1)2(n≥2)，又a1=1也满足上式，所以a n=n(n+1)2(n∈N∗).（2）证明：1a1+1a2+⋯+1a n<2 .[答案]因为a n=n(n+1)2，所以1a n=2n(n+1)=2(1n−1n+1)，所以1a1+1a2+⋯+1a n=2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)]=2(1−1n+1)<2.3. [2021全国卷乙，12分]记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知2S n +1b n=2 .（1）证明：数列{b n}是等差数列. [答案]因为b n是数列{S n}的前n项积，所以n≥2时，S n=b nb n−1,代入2S n +1b n=2可得，2b n−1b n+1b n=2，整理可得2b n−1+1=2b n，即b n−b n−1=12(n≥2).又2S1+1b1=3b1=2，所以b1=32，故{b n}是以32为首项，12为公差的等差数列.（2）求{a n}的通项公式.[答案]由（1）可知，b n=n+22，则2S n+2n+2=2，所以S n=n+2n+1，当n=1时，a1=S1=32，当n≥2时，a n=S n−S n−1=n+2n+1−n+1n=−1n(n+1).故a n={32,n=1,−1n(n+1),n≥2.【易错警示】研究数列{a n}的通项与前n项和S n的关系时，一定要检验n=1的情况.4. [2021新高考卷Ⅰ，10分]已知数列{a n}满足a1=1 ,a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数.（1）记b n=a2n ,写出b1 ,b2 ,并求数列{b n}的通项公式；[答案]因为b n=a2n，且a1=1，a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数,所以b1=a2=a1+1=2，b2=a4=a3+1=a2+2+1=5.因为b n=a2n，所以b n+1=a2n+2=a2n+1+1=a2n+1+1=a2n+2+1=a2n+3，所以b n+1−b n=a2n+3−a2n=3，所以数列{b n}是以2为首项，3为公差的等差数列，b n=2+3(n−1)=3n−1，n∈N∗.（2）求{a n}的前20项和.[答案]因为a n+1={a n+1,n为奇数, a n+2,n为偶数,所以k∈N∗时，a2k=a2k−1+1=a2k−1+1，即a2k=a2k−1+1①，a2k+1=a2k+2②，a2k+2=a2k+1+1=a2k+1+1，即a2k+2=a2k+1+1③，所以①+②得a2k+1=a2k−1+3，即a2k+1−a2k−1=3，所以数列{a n}的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；②+③得a2k+2=a2k+3，即a2k+2−a2k=3，又a2=2，所以数列{a n}的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列.所以数列{a n } 的前20项和S 20=(a 1+a 3+a 5+⋯+a 19)+(a 2+a 4+a 6+⋯+a 20)=10+10×92×3+20+10×92×3=300 .5. [2020全国卷Ⅲ，12分]设数列{a n } 满足a 1=3 ,a n+1=3a n −4n . （1） 计算a 2 ,a 3 ,猜想{a n } 的通项公式并加以证明； [答案]a 2=5 ,a 3=7 . 猜想a n =2n +1 .由已知可得 a n+1−(2n +3)=3[a n −(2n +1)] , a n −(2n +1)=3[a n−1−(2n −1)] , …a 2−5=3(a 1−3) .因为a 1=3 ,所以a n =2n +1 . （2） 求数列{2n a n } 的前n 项和S n . [答案]由（1）得2n a n =(2n +1)2n ,所以S n =3×2+5×22+7×23+⋯+(2n +1)×2n ①. 从而2S n =3×22+5×23+7×24+⋯+(2n +1)×2n+1 ②.①−② 得−S n =3×2+2×22+2×23+⋯+2×2n −(2n +1)×2n+1 . 所以S n =(2n −1)2n+1+2 .6. [2019天津，14分]设{a n } 是等差数列，{b n } 是等比数列.已知a 1=4 ，b 1=6 ，b 2=2a 2−2 ，b 3=2a 3+4 . （Ⅰ） 求{a n } 和{b n } 的通项公式；[答案]设等差数列{a n } 的公差为d ,等比数列{b n } 的公比为q .依题意得{6q =6+2d,6q 2=12+4d,解得{d =3,q =2, 故a n =4+(n −1)×3=3n +1 ,b n =6×2n−1=3×2n .所以{a n } 的通项公式为a n =3n +1 ,{b n } 的通项公式为b n =3×2n . （Ⅱ） 设数列{c n } 满足c 1=1 ，c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k, 其中k ∈N ∗ . （ⅰ） 求数列{a 2n (c 2n −1)} 的通项公式；[答案]a 2n (c 2n −1)=a 2n (b n −1)=(3×2n +1)(3×2n −1)=9×4n −1 . 所以数列{a 2n (c 2n −1)} 的通项公式为a 2n (c 2n −1)=9×4n −1 .（ⅱ） 求∑2ni=1a i c i (n ∈N ∗) .[答案]∑2n i=1a i c i =∑2ni=1[a i +a i (c i −1)]=∑2ni=1a i +∑ni=1a 2i (c 2i −1)=[2n×4+2n (2n −1)2×3]+∑ni=1(9×4i −1)=(3×22n−1+5×2n−1)+9×4(1−4n )1−4−n=27×22n−1+5×2n−1−n −12(n ∈N ∗) .考点20 数列的综合应用题组一一、选择题1. [2021北京，4分]数列{a n } 是递增的整数数列，且a 1≥3 ，a 1+a 2+a 3+⋯+a n =100 ，则n 的最大值为( C ) A. 9B. 10C. 11D. 12[解析]因为数列{a n } 满足三个特征，整数数列，递增，前n 项和为100，所以欲求n 的最大值，需要保证a k+1−a k (k ≤n −1) 的值取最小的正整数.又a 1≥3 ，故可取a 1=3 ，a k+1−a k =1 ，则数列{a n } 的前10项为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,第11项a 11=100−(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)=25 ，满足题意，取数列{a n } 的前11项为3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13，则第12项a 12=100−(3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13)=12 ，不满足题意，故n 的最大值为11.二、填空题2. [2020江苏，5分]设{a n } 是公差为d 的等差数列，{b n } 是公比为q 的等比数列.已知数列{a n +b n } 的前n 项和S n =n 2−n +2n −1(n ∈N ∗) ,则d +q 的值是4.[解析]解法一 当n =1 时，S 1=a 1+b 1=1 ①，当n ≥2 时，a n +b n =S n −S n−1=2n −2+2n−1 ，则a 2+b 2=4 ②，a 3+b 3=8 ③，a 4+b 4=14 ④，②−① 得d +b 1(q −1)=3 ⑤，③−② 得d +b 2(q −1)=4 ⑥，④−③ 得d +b 3(q −1)=6 ⑦，⑥−⑤ 得b 1(q −1)2=1 ，⑦−⑥ 得b 2(q −1)2=2 ，则q =2 ,b 1=1 ,d =2 ，所以d +q =4 .解法二 由题意可得S 1=a 1+b 1=1 ，当n ≥2 时，a n +b n =S n −S n−1=2n −2+2n−1 ，易知当n =1 时也成立，则a 1+(n −1)d +b 1q n−1=dn +a 1−d +b 1q n−1=2n −2+2n−1 对任意正整数n 恒成立，则d =2 ,q =2 ，d +q =4 . 【速解】 由等差数列和等比数列的前n 项和的特征可得等差数列{a n } 的前n 项和H n =n 2−n ，等比数列{b n } 的前n 项和T n =2n −1 ，则d =2 ,q =2 ，d +q =4 .【方法技巧】 公差为d 的等差数列{a n } 的前n 项和S n =An 2+Bn ,其中A =d2 ,B =a 1−d 2 ;公比为q 的等比数列{b n } 的前n 项和T n =C −Cq n,其中C =b11−q（公比q 不等于1）.三、解答题3. [2023天津，15分]已知数列{a n } 是等差数列，a 2+a 5=16 ，a 5−a 3=4 . （1） 求{a n } 的通项公式和∑2n −1i=2n−1a i .[答案]设{a n } 的公差为d ， 由{a 2+a 5=16,a 5−a 3=4, 得{a 1+d +a 1+4d =16,a 1+4d −(a 1+2d )=4,解得{a 1=3,d =2,所以{a n } 的通项公式为a n =3+2(n −1)=2n +1 .a 2n−1=2⋅2n−1+1=2n +1 ，a 2n −1=2(2n −1)+1=2n+1−1 .（易错：不要把a 2n−1 和a 2n −1 的表达式理解成等比数列的通项公式）从a 2n−1 到a 2n −1 共有2n −1−2n−1+1=2n−1 （项）.（提醒：下标相减算项数时要加1） 所以∑2n −1i=2n−1a i =(2n +1+2n+1−1)⋅2n−12=(2n +2⋅2n )⋅2n−12=3⋅2n ⋅2n−12=3⋅22n−2 .( 或∑2n −1i=2n−1a i =2n−1⋅(2n+1)+2n−1(2n−1−1)2⋅2=3⋅22n−2)（2） 已知{b n } 为等比数列，对于任意k ∈N ∗，若2k−1≤n ≤2k −1 ，则b k <a n <b k+1 .（ⅰ） 当k ≥2 时，求证:2k −1<b k <2k +1 ; [答案]因为当2k−1≤n ≤2k −1 时，b k <a n <b k+1 ， 所以当2k ≤n +1≤2k+1−1 时，b k+1<a n+1<b k+2 ， 可得a n <b k+1<a n+1 .因为{a n}为递增数列，所以若2k−1≤n≤2k−1,则a2k−1≤a n≤a2k−1,得2k+ 1≤a n≤2k+1−1.同理可得2k+1+1≤a n+1≤2k+2−1.故可得2k+1−1<b k+1<2k+1+1,（提醒：大于大的，小于小的）所以2k−1<b k<2k+1.综上，当k≥2时，2k−1<b k<2k+1.（ⅱ）求{b n}的通项公式及其前n项和.[答案]由题意知{b n}是q≠1的正项等比数列，（若q=1,则{b n}为常数列，与(i)矛盾）设{b n}的通项公式为b n=p⋅q n(p>0,q>0且q≠1)，（点拨：若设成b n= b1⋅q n−1，不利于下一步的化简）由(i)知,2n−1<b n<2n+1，即2n−1<p⋅q n<2n+1，则有1−12n <p⋅(q2)n<1+12n.①当q2>1，即q>2时，∃n0∈N∗，使得p⋅(q2)n0>2，与p⋅(q2)n0<1+12n0矛盾；②当0<q2<1，q≠1，即0<q<2且q≠1时，∃n1∈N∗，使得p⋅(q2)n1<12，与p⋅(q2)n1>1−12n1矛盾.故q=2.(思路引导：从(i)的结论可以观察出b n=2n，通过反证法证明q>2和0<q<2且q≠1时不等式不成立，从而得到q=2)因为2n−1<b n<2n+1，所以b n=2n.设{b n}的前n项和为S n，则S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2.4. [2022新高考卷Ⅱ，10分]已知{a n}是等差数列，{b n}是公比为2的等比数列，且a2−b2=a3−b3=b4−a4 .（1）证明：a1=b1 ;[答案]设等差数列{a n}的公差为d，由a2−b2=a3−b3得a1+d−2b1=a1+2d−4b1，即d=2b1，由a2−b2=b4−a4得a1+d−2b1=8b1−(a1+3d)，即a1=5b1−2d，将d=2b1代入，得a1=5b1−2×2b1=b1，即a1=b1.。
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10月4日，姜逸飞每日5道题 任老师
题型：三角函数，函数周期与对称，立体几何向量
1：已知在ABC 中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1A B B A +=+=，则角C 的大小为（ ）
A. 30
B. 150
C. 30或150
D. 90
2、设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[)1,1x ∈-时，
()242,10,01x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
_________ 3、已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()(),22f x f x f x f x -=--=+，且
()1,0x ∈-时，()125
x f x =+，则()2log 20f =（ ） A. 1 B. 45 C. 1- D. 45
- 4：如图，在四棱锥P ABCD 中，PA 底面ABCD ，AD AB ，//AB DC ，2AD DC AP ，1AB ，点E 为棱PC 的中点．
（1）证明：BE DC ⊥
（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值
（3）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角
F AB P --的余弦值
5：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，若MN 分别为棱,PD PC 上的点，O 为AC 中点，且22AC OM ON ==
（1）求证：平面ABM ⊥平面PCD
（2）求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值
（3）求点N 到平面ACM 的距离
O
A
D
B C P
M
N。