动量算符及角动量算符的球坐标表示.pdf

or
r ae
符，所以都不能作为动量分量的算符表示。
我们知道 - ;tz —i3 = —r • p，对任意波函数有，
or r
［气X ]'¥=气'¥- 仇（王'¥) = ;t, z' ~y' '¥
r
r
r
r
- 所以有
-X- ,-^rxp-=-ih
z2
+yr2
3X即得
^p x
X -r
=
rX- yP^x -ri y h zi 2 h + 3 y 2 2r+ yr
P= -ihv'= -in(立； 十二＋立 k)= - in(~
函 By oz
OX
6
立
( ^ ＼ \ l．
、 、
-ay ^
o
丿·
z／
K＾
丿
P,和 p。的算符表示
一个算符F满足 F + = F ，才是厄密算符。量子力学中表示力学
量的算符必须是厄密的，而动量分量显然是力学量，所以表示动量
分量的算符必须是厄密算符。但是 -in —a 和 -in —1 —8 都不是厄密算
球坐标系的动量算符
在原子物理学和量子力学的教学中都会遇到动量算符，其表达
形式p =-inV,它是量子力学中的一个基本算符。它的的直角坐标
a , a , a 系下的形式为
i5
=
-
itt(i —
Bx
+J
—
函
+k —Bz )，各分量 九
=
a a -in — ，凡 = -iii — , 祁彻
仇 =-in. —a 是大家都熟悉的，学生们也没有疑惑，但是对于在球坐
户, cos0 cos<p + p） , cos0 sin <p - f,, sin九 0 = r,{xz亡x 了
+
zy ，石言了
P, y
-
勹＾
r P,
根据坐标和动量的对易关系我们可以求得：
｀尸 九z＝ x
zx
(y' + z'y' 王）Z
龙 -in r ' ~ ' + y 于
丸
zy
rj;言了
=
zy
r = 扛 +y2 + z 2 ,t的 =2:'., cos8 =-=-=
z
x
r)x'+y2+z'
由此我们可得[1]
—i3 =— ar — a
+a—e
—i3
+J—(Jl —a =
sine
sin
(Jl
—a
1 +-cose
cos(Jl
— a s-in
— (Jl a
函 ox or 岔 oe OXO(J)
or r
2.2动量各分量的算符表示
2.2.1 - in —B 和
1 iii
a 不是厄密算符，不能作为动量的分量
祈
r汾
各分量的 P^,,^ Pa,^P叩算符形式就产生了疑惑，而一般的量子力学教材 [1~3]对此也没有过多说明，本文试图从在量子力学中表示力学量的
算符必须是厄密算符的要求出发解决这一疑惑。
1.直角坐标系中动量及其各分量的算符表示
=
—• r
p
或 P , =p • 一 r ，过渡到量子力学，由于 p和 r^不对易，为了保证径向 r
动量算符是厄密算符我们可以取
仇＝早 • 6 + 6 • _i:_) = -itz 立 ＿ 竺
2r
r
ar r
这才是动量径向分量的算符表示，它满足厄密性的要求。
同理，可以构造
九＝—I 他
•p
+p
• e。) =
az
标下的动量算符整体形式
i5
=
-
in(—88r
. e'
+
- r1 扮8—乌rs＋ iIn0— 88cp
.e•)和动量
中，可以得到在球坐标系下，动量整体的算符表示
三+-»(立H二 十二仓 —a
p =-ihV = -iii(
1 6-80 -r
ar
仓
ar'r 汾 8 rsin 0 8q> 中）
e。
这样从直角坐标系演变而来，学生易于接受。
r~
九
-in
~
2 +z 2x2- y 2)z
r' ~ ' +y于
丸
~
r
=
~
r
. p
,
+ili
zj;言了
r3
。
1a 所以 in r aa的共轭是
a~J ( -in ;
=
(e0
•
6J
=
九红十 r~
p'
rPz勹y 了
-p＾, ＄r 勹=
zx
r扫勹了
龙
-
ifi
0,' +z 沪 - x' 户 ~'+y于
)
+
zy
祈
至于 -in l 8 ，我们也可以证明不是厄米算符。由于 r ae
乌= i cose cos<p + j cos e sin <p 一 ksin e 可知
-iii 丿 立= e0 • p =V cos0 cos<p + Jcos0 sin <p - k sin 叽(p) 十九丿＾ ＋仇k^)= r汾
同理得
^p
二
Z -r
=
Z -r
^p ” 』
i t" 2 + y2
r)
,
p^y
Y -r
__
பைடு நூலகம்
- ^p x 2 3
由此我们可以求得
(-i飞］＝尸 =(分，五于］+
=p,~+ p)'~+ p, ~=U正~p, +~p,)-竺 =(?• 6J -琴 = -in詹－竺
*
- in—aar
所以 -
iii
—a 不是厄米算符。
动量算符在直角坐标系下的表示为
i5
=
a -itz(t —
, +J
a —
+
, k
a —
)，
ax 初 az
对应的动量各分量的算符表示为 龙
=
-in
— a
,
, P
y
=
ox
-in — a , ft,
匈
=
- m—a ， oz
教学中使用比较多，结果也比较直接，一般学生没有疑惑。 2.球坐标系下动量及其各分量的算符表示 2.1球面坐标动量的算符表示 众所周知球面坐标与直角坐标的关系 x = rsin 8 cos<p, y = rsin 8 sin <p,z = rcos8
r扫勹了
见
-
ifi
~
2+z 2x2 -y2
r飞 + y'fi
)z
尸了 p, +i1i2~勹
(,\. p)- iii rt的
=
一 in -1 — a - in 1 土一in-1 — a
r ae
rt的
r ae
a 故 一 in — r1 a—e 不是厄米算符。
2.2.2构造动量分量 P,， p。的算符
r
在经典力学中，径向动量就是动量的径向投影，定义为 p ,
汾 rsin 0 o(Jl
—o
= —or —o +— 汾 —o + — Olp —o
=sine
sin
(Jl —o
I +-
cose
sin (Jl —o
+
COS(Jl
—o
彻匈 ar 函 ae 匈匈
ar r
茂 rsin 0 o(Jl
a ar a 汾 a 8qJ 8
a sine a
— = —— +—— +—— = cos0 —-—
az az ar az ae az J (Jl
ar r ae
我们
通
过直
角
坐标
系
可用e,<p
表
示出
.^l,
)l^.,
^K 在球面
坐标系
下的
形式：
oo ,,^l、
,^J
\ K^ J
f .g \ eo0sg,cspcoos0 coscp
= .gi
cos0 sin cp
c。
- sin0
一二rn
我们把上面的结果代入下式