矩形菱形正方形中考复习课件

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2020届中考数学总复习课件：第23课时矩形、菱形、正方形

第 2 题答图
3．[2019·眉山]如图 23－1，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点 O 作 EF⊥AC 交 AD 于点 E，交 BC 于点 F，则 DE 的长是( B )
图 23－1
A．1
B.74
C．2
D.1பைடு நூலகம்2
【解析】如答图，连结 CE.∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝6， AD＝BC＝8，OA＝OC，∵EF⊥AC，∴AE＝CE，设 DE＝x，则 CE＝AE＝8－x，在 Rt△CDE 中，由勾股定理，得 x2＋62＝(8－x)2，解得 x＝74，即 DE＝74.
第五单元四边形
第23课时矩形、菱形、正方形
一、选择题(每题 3 分，共 15 分)
1．[2019·十堰]矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是( C )
A 对边相等
B．对角相等
C．对角线相等
D．对角线互相平分
2．[2019·泸州]一个菱形的边长为 6，面积为 28，则该菱形的两条对角线的长度之和为
图 23－9
解：(1)证明：在矩形 EFGH 中，EH＝FG，EH∥FG， ∴∠GFH＝∠EHF. ∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF， ∴∠BFG＝∠DHE. 在菱形 ABCD 中，AD∥BC，∴∠GBF＝∠EDH. ∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE；
第12题答图
【解析】 ∵阴影部分的面积与正方形 ABCD 的面积之比为 2∶3，∴S 阴影＝23×9＝6， ∴S 空白＝9－6＝3， ∵CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF，∴△BCE≌△CDF， ∴∠DCF＝∠CBE，∵∠DCF＋∠BCF＝90°， ∴∠CBE＋∠BCF＝90°，∴∠BGC＝90°， ∴S△BCG＝S 四边形 DEGF＝12×3＝32，设 BG＝a，CG＝b，则12ab＝32，

中考复习：矩形、菱形、正方形

第26讲┃ 归类示例解：(1)连接AC，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC. ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形． ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC. ∵∠AEF＝60°， ∴∠FEC＝90°－60°＝30°. ∵∠C＝180°－∠B＝120°， ∴∠EFC＝30°， ∴∠FEC＝∠EFC， ∴CE＝CF. ∵BC＝CD， ∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.
正方形的定义
正方形的性质
正方形的判定
(1)有一组邻边相等的矩形是正方形 (2)有一个角是直角的菱形是正方形
第26讲┃ 考点聚焦
判定正方形的思路图：
第26讲┃ 考点聚焦考点4 定义中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形菱形顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是_________
常见结论
顺次连接菱形各边中点所得到的四边形是__________ 矩形正方形顺次连接正方形各边中点所得到的四边形是_______ 菱形顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是______ 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得到的四边形菱形是______
顺次连接对角线互相垂直的四边形所得到的四边形是矩形 ______
第26讲┃ 归类示例
归类示例
► 类型之一矩形的性质及判定的应用命题角度： 1. 矩形的性质； 2. 矩形的判定．例1 [2012·扬州]如图26－1，在四边形ABCD中，AB＝ BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E. 求证：BE＝DE.
图26－1
第26讲┃ 归类示例
[解析]本题综合考查全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，通过添加辅助线构造全等三角形，根据 “全等三角形的对应边相等”加以证明．作 CF⊥BE 于 F ，得 Rt△BCF 和矩形 FEDC ，先证明 △ABE≌△BCF，得BE＝CF，再根据矩形的性质说明DE＝ CF即可．

中考专题复习——矩形菱形正方形

中考专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。

这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ．解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，BC DCBCP DCPPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2016•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2016•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2016•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2016•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2016•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2016•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，ABE DAFAB ADBAE D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．7．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2016•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2016•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2016•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2016•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．104．（2016•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2016•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1636．（2016•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．237（2016•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．438．（2016•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．4 9．（2016•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2016•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2016•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2016•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．（2016•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．（2016•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2016•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2016•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2016•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2016•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2016•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2016•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2016•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2016•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是．25．（2016•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x -2）2 （0＜x ＜2）；其中正确的是（填序号）．三、解答题26．（2016•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD -∠BAC=∠CAE -∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2016•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2016•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2016•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =，解得AE=23．32．（2016•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2016•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2016•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，。

浙江新中考2014届中考总复习课件(17)矩形、菱形、正方形

∵两块阴影部分图形关于 AC 成轴对称，∴S1 ＝ 8 8－x－x S1 1 1 2S 四边形 PEBF，S2＝2S△CFP，∴y＝＝＝－8( 2－ ) x S2 x x 1 12 －1＝－8( － ) ＋1(2≤x≤4)．∴当 x＝2 时，y 取最大值 1. x 2
②当两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称时， 8 BE＝ BF， ∴ AE＝ CF， ∴ ＝ x，解得 x＝2 2(x＝－ 2 2 x 8 8 8 8 舍去)，此时 y＝－ 2＋－1＝－＋－ 1＝－1 2 x x 2 2 2 2 ＋ 2 2－ 1＝ 2 2－2.
又∵ BF＝ BF，∴ Rt△ BOF≌ Rt△ BCF(HL)． ∴∠ OBF＝∠ CBF.∴∠ CBF＝∠ FBO＝∠ OBE. ∵∠ ABC＝ 90° ，∴∠ OBE＝ 30° . ∴∠ BEO＝60° ，∴∠ BAC＝ 30° . ∴ 在 Rt△ BAC 中， AC ＝ 2BC ＝ 4 3 ， AB ＝ AC － BC ＝ 6.
考点一
矩形、菱形、正方形的性质和判定
温馨提示 1.正方形的判定：1先证明四边形是矩形，再证明有一组邻边相等或对角线垂直； 2先证明四边形是菱形，再证明有一个角是直角或对角线相等 . 2.矩形的面积： S＝ aba， b 表示长和宽；菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；正方形的面积等于边长的平方或对角线乘积的一半.
(2)连结 BO，∵ OE＝ OF， BE＝ BF. ∴ BO⊥ EF，且∠ EBO＝∠ FBO.∴∠ BOF＝ 90° . ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠ BCF＝ 90° . 又 ∵∠ BEF ＝ 2∠ BAC ， ∠ BEF ＝ ∠ BAC ＋ ∠ EOA， ∴∠ BAC＝∠ EOA.∴ AE＝ OE. ∵ AE＝ CF， OE＝ OF，∴ OF＝ CF.

人教版中考数学复习《第21讲：矩形、菱形、正方形》课件

BF=3x,由勾股定理得:AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得
x=
10
,所以
5
3 10
,即
5
3x=
BF=
3 10
.
5
18
考点梳理自清
考法1
考法2
考题体验感悟
考法互动研析
考法3
3.(2017·江苏徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,
连接DO并延长,交AB延长线于点E连接EC.
一半
5
考点梳理自清
考点一
考点二
考点三
考题体验感悟
考法互动研析
考点四
考点三正方形(高频)
正方形
的定义
正方形
的性质
正方形
的判定
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形
(1)正方形的对边平行
(2)正方形的四条边相等
(3)正方形的四个角都是直角
(4)正方形的对角线相等,互相垂直平分 ,每条对角线
( C )
A.2 5
B.3 5
C.5
D.6
10
考点梳理自清
命题点1
命题点2
考题体验感悟
考法互动研析
命题点3
解析如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FE⊥AC,OG=OH,
易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得∠B=90°,根据勾股定理得
AC=

4 5
42
+
82 =4

5,OA=2 5,易证△AOE∽△ABC,则
考法3
考法1矩形的相关证明与计算
例1(2017·山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向

2015届中考数学自主复习课件【第22讲】矩形、菱形、正方形(51页)

图 22－9
第22讲┃ 矩形、菱形、正方形
解：图中的所有的等腰三角形有△DCC′，△DAC′， △ABC′，△BCC′.推理过程如下： ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴ CD ＝ AD ＝ AB ＝ BC ， ∠ ADC ＝ ∠DAB ＝ ∠ABC ＝ ∠BCD＝90°. ∵边 DC 绕 D 点顺时针旋转 30°到 DC′处， 1 ∴DC′＝DC＝AD＝AB，∠DCC′＝∠DC′C＝ (180° 2 －30°)＝75°，即△DCC′是等腰三角形．
第22讲┃ 矩形、菱形、正方形
解：(1)证明：∵MN 是 BD 的垂直平分线， ∴MB＝MD，OB＝OD. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD∥BC，∴∠OBN＝∠ODM. ∵∠BON＝∠DOM， ∴△BON≌△DOM， ∴BN＝MD. ∴四边形 BMDN 是平行四边形， ∴平行四边形 BMDN 是菱形． (2)设 MD＝x，则 AM＝8－x，BM＝x. 在 Rt△ABM 中，BM2＝AB2＋AM 2， ∴x2＝42＋(8－x)2，解得 x＝5， ∴MD＝5. 第22讲┃ 矩形、菱形矩形、菱形、正方形
证明：(1)∵CF∥BD， ∴∠EDO＝∠ECF，∠EOD＝∠EFC. ∵E 是 CD 的中点， ∴CE＝DE， ∴△EDO≌△ECF. (2)∵△EDO≌△ECF， ∴EO＝FE. ∵CE＝DE， ∴四边形 ODFC 是平行四边形． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴OC＝OD， ∴四边形 ODFC 是菱形．
第22讲┃ 矩形、菱形、正方形
考点4
中点四边形
如图 22－3，菱形 ABCD 的对角线长分别为 a，b，顺次连接菱形 ABCD 各边的中点得四边形 A1B1C1D1，然后再顺次连接四边形 A1B1C1D1 各边的中点得四边形 A2B2C2D2，„，如此下去，得到四边形 A2014B2014C2014D2014.四边形 A2014B2014C2014D2014 1 2015ab 2 的面积用含 a，b 的代数式表示为________．

人教版中考数学专题课件：矩形、菱形、正方形、梯形

皖考解读
考点聚焦
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矩形、菱形、正方形、梯形
延长梯形的两腰交于一点，得到两延长个三角形，如果是等腰梯形，则得到两个分别以梯形两底为底的等两腰腰三角形．连接梯形一顶点与一腰的中点并连接顶延长与另一底边的延长线相交，可点与一得一个三角形，将梯形的面积转化腰的中为三角形的面积，将梯形的上、下点并延长底转移到同一直线上．
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矩形、菱形、正方形、梯形
考点6 等腰梯形的性质与判定
定有两腰________ 相等的梯形叫做等腰梯形. 义性 1.等腰梯形在同一底边上的两个底角________ 相等；质 2.等腰梯形的两条对角线________. 相等 1.定义法；判 2.同一底上的两个底角相等的梯形是等腰梯形；定 3.对角线________ 相等的梯形是等腰梯形.
皖考解读
考点聚焦
皖考探究
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矩形、菱形、正方形、梯形
判定
面积
1.定义法；相等的四边形是菱形； 2.四条边________ 垂直的平行四边形是菱形. 3.对角线互相________ 1.由于菱形是平行四边形，所以菱形的面积＝底×高；一半 2.菱形的面积等于两对角线乘积的________.
定义有一个角是________ 直角的平行四边形叫做矩形.
1.矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的的等腰三角形； 2.矩形的面积等于两邻边的积． 1.定义法；判定 2.有三个角是直角的四边形是矩形；
相等的平行四边形是矩形. 3.对角线________
皖考解读考点聚焦皖考探究当堂检测
图 22－1

2021年中考数学一轮复习课件-第二十讲矩形菱形正方形(29PPT)

【自我诊断】
1.正方形是轴对称图形,它的对称轴共有 ( D )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
2.若菱形的两条对角线分别为2和3,则此菱形的面积是___3___.
3.如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线,
则∠EAC=___1_0_5___度.
高频考点·疑难突破考点一矩形的性质与判定【示范题1】(2020·安徽中考)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB. (1)求证:BD⊥EC; (2)若AB=1,求AE的长; (3)如图2,连接AG,求证:EG-DG= 2 AG.
【答题关键指导】矩形的判定方法 (1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等. (2)若直角较多,可证三个角为直角.
【跟踪训练】
1.(2019·桂林中考)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶
点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上, 则 AD 的值为 ( B )
考点三正方形的性质与判定【示范题3】(2019·北部湾中考)如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一个动点(点E与点A,B不重合),连接CE,过点B作BF⊥CE于点G,交AD于点F. (1)求证:△ABF≌△BCE. (2)如图2,当点E运动到AB中点时,连接DG,求证:DC=DG. (3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CM⊥DG于点H,分别交AD,BF于点M,N,求 MN
AE AF,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)连接BD,如图: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠A=∠C=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∵点E是边AD的中点, ∴BE⊥AD,∴∠ABE=30°, ∴AE= 3BE=1,AB=2AE=2,∴AD=AB=2,

中考数学一轮复习：第26课时菱形正方形课件

判定面积计算
1.边：对边平行，四边都__相___等___ 2．角：四个角_直__角__（__9_0_ﾟ_）__
3．对角线：对角线互相_垂__直__平__分___且相等，每条对角线平分一组对角4．
正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有_______4_条对称轴
1.有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平__行__四__边__形__是正方形
DE∥AC，CE∥BD.
求证：四边形OCED是矩形．
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°.
第2题图
∴四边形OCED是矩形．
No
第26课时菱形
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3. (202X宁德5月质检21题8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，点E在
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝ 1 AC＝ 1×12＝6，CD＝AB＝10.
2
2
在Rt△DCO中，根据勾股定理得，
OD＝ CD2－OC2＝ 102－62 ＝8.
又∵EF垂直平分AB，
∴BF＝ 1 AB＝ 1 ×10＝5.
2
2
由(1)可知△BEF∽△DCO,
∴ EF＝BF ，即EF＝5，
OC DO ∴EF＝ 15 .
(5)若在正方形ABCD的外侧，作等边三角形DCE，如图②，则∠EAC＝___3_0_ﾟ___；
No
第26课时菱形
返回目录
(6)作∠DAC的平分线AF交BC的延长线于点F，如图③，若AC＝ 2 ，则CF ＝_____2_____；
例题图③
例题图④
(7)若点G是AD中点，连接BG，交于AC于点H，如图④，则

中考数学总复习：矩形、菱形、正方形ppt专题课件

第二十二讲
第二十三讲
【思路点拨】 (1)证明全等时应避免把对应边找错. (2)因 s i n ∠E D F =
EF DE
第二十四讲
, 结合(1)求 E F , D E 的长.
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
【自主解答】 ( 1) 证明: 在矩形 A B C D 中, BC = AD , A D ∥B C , ∠B = 90°. ∴∠D A F = ∠A E B . ∵D F ⊥A E , AE= BC , ∴∠A F D = 90°= ∠B . 又∵A E = A D . ∴△A B E ≌△D F A .
第二十四讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
名称
定义与判定 1. 有一个角是直角, 一组邻边相等的 2. 一组邻边相等的 3. 一个角是直角的 4. 对角线相等且形的平行四边
性质
第二十二讲
1. 对角线与边的夹角为度 2. 面积等于边长的 3. 面积等于对角线
第二十三讲
第二十四讲
复习目标
知识回顾
重点解析
探究拓展
真题演练
➡特别提示: 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形, 它们都具有平行四边形的性质, 但又有它们独特的性质.
第二十二讲
【答案】2. 直角 3. 相等 1. 直角 4. 中心对称图形 1. 相等 2. 四边形 3. 平行四边形 2. 平分 3. 一半 4. 轴对称 1. 平行四边形 2. 矩形 3. 菱形 4. 垂直 1. 45 2. 平方 3. 平方的一半
复习目标

九年级数学中考专题(空间与图形)-第十讲《四边形(二)》课件(北师大版)

B
E
参考答案
一、填空题： 1、180；2、20cm；3、3；4、；5、200 提示：4题过点P作矩形任一边的垂线，利用勾股定理求解； 5题连结AC，证△ABE≌△ACF得AE＝AF，从而△AEF 是等边三角形. 6、 2 1 ；7、2 1 ；8、②
参考答案
二、DDBBA 三、解答题： 14、可证△DEA≌△ABF 15、略证：AE平分∠BAC，且EG⊥AB， EC⊥AC，故EG＝EC，易得∠AEC＝∠CEF， ∵CF＝EC，EG＝CF，又因EG⊥AB，CD⊥AB，故EG∥CF.四边形GECF是平行四边形，又因EG ＝FG，故GECF是菱形.
A
D G B E F C
能力训练
16、如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF.请回答下列问题（不要求证明）：（1）四边形ADEF是什么四边形？（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？ E F D
第十讲四边形（二）
复习目标
1．复习矩形、菱形、正方形的判定与性质. 2．复习运用矩形、菱形、正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题.
知识要点
1．矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分. 2. 三个角是直角的四边形，或对角线相等的平行四边形是矩形;四边相等的四边形，或对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3. 是矩形又是菱形的四边形是正方形.正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质.
典型例题
例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，AE⊥BD，垂足为E， ∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠EAC的度数. 分析：本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求解. 答案：45° A D

苏科版八年级数学下册课件：9.4矩形、菱形、正方形(5)正方形2(共35张PPT)

直角三角形.
7.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上的有
一点，且CE=AC.求∠E的度数.
A
D
B
C
E
8.已知:如图,四边形ABCD是正方形,以对角线
AC为一边作菱形AEFC.求∠FAB的度数.
DC
F
A
BE
9.已知:如图, E、F是正方形ABCD的对角线AC 上的两点,且AE=CF.
求证:四边形BEDF是菱形.
（2）若正方形A’B’C’D’绕点O任意旋转某个角度后，OE=OF吗？
A O (A')
D
F
D'
B
E
C
A O (A')
B
E
B'
D
F D'
C
B'
C'
C'
练习：如图，将n个边长都为1cm的正方形按如图
所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为（）
A．
（1）A、B、C的对应点分别是什么？
（2）△ABC可通过怎样的变换得到△ADC？
A
（3）从对称性看，四边形
ABCD是什么图形？ B
O
D
正方形实际是等腰直角三角形
绕其底边上的中点旋转180°
而形成的中心对称图形.
C
四边形ABCD有哪些特点？
四边形ABCD是中心对称图形,又是轴对称图形；
是平行四边形
A
A
D
F
OE
B
C
平行四边形
矩正菱形方形
形
挑战第二关具备什么条件的平行四边形是正方形？
正方形的判别方法：

中考数学复习方案(26)矩形、菱形、正方形(26页)

考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃归类探究
(2)由题知△ABF、 △ADE、 △CEF 均为直角三角形， 1 1 且 AB＝AD＝4，DE＝BF＝ ×4＝2，CE＝CF＝ ×4＝2， 2 2 ∴S△AEF＝S 正方形 ABCD－S△ADE－S△ABF－S△CEF 1 1 1 ＝4×4－ ×4×2－ ×4×2－ ×2×2 2 2 2 ＝6.
考点聚焦
归类探究
回归教材
第26课时┃归类探究
解析 (1)证明：∵四边形 ABCD 为正方形， ∴AB＝AD，∠D＝∠B＝90°，DC＝CB， 1 ∵E、F 为 DC、BC 中点，∴DE＝ DC， 2 1 BF＝ BC，∴DE＝BF， 2 ∵在△ADE 和△ABF 中， AD＝AB， ∠B＝∠D， DE＝BF， ∴△ADE≌△ABF(SAS)．
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直角 (3)正方形四个角都是________
第26课时┃考点聚焦
判定正方形的思路图：
考点聚焦
归类探究
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第26课时┃考点聚焦
考点4
定义
中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形
顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
顺次连接矩形各边中点所得到的四边形是______ 菱形
第26课时┃归类探究
解析作CF⊥BE于F，得Rt△BCF和矩形FEDC，先证明 △ABE≌△BCF，得BE＝CF，再根据矩形的性质说明DE＝CF即可．
证明：如图，作CF⊥BE于F， ∴∠BFC＝∠CFE＝90°. ∵BE⊥AD，∴∠AEB＝∠BED＝90°.
考点聚焦归类探究回归教材
第26课时┃归类探究

初三总复习矩形、菱形、正方形的性质与判定

矩形、菱形、正方形一、本部分知识重点：矩形、菱形、正方形的定义，性质和判定是重点。

这三种图形都是特殊的平行四边形，它们都具备平行四边形的性质。

二、知识要点：（一）矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

性质：1、具有平行四边形的性质；2、矩形的四个角都是直角；3、矩形的对角线相等。

4、矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定。

2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形。

（二）菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

性质：1、具有平行四边形的性质；2、菱形的四条边相等；3、菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

4、菱形是轴对称图形，它有两条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定；2、四边都相等的四边形是菱形。

3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（三）正方形：定义；有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。

性质：正方形是特殊的菱形，又是特殊的矩形，所以它具备菱形和矩形的所有的性质。

正方形是轴对称图形，它有四条对称轴。

如图.判定：1、用定义判定；2、有一个角是直角的菱形是正方形；3、有一组邻边相等的矩形是正方形。

另外由矩形性质得到直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

三、例题：例1，判断正误：（要判断一个命题是假命题，只需举一个反例即可）1、有三个角相等的四边形是矩形。

（）分析：不正确。

反例：四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=850，∠D=1050，显然此四边形不是矩形。

2、对角线相等的四边形是矩形。

分析：不正确。

因为对角线不平分，未必是平行四边形。

反例：如图，四边形ABCD中，对角线AC=BD，但它不是矩形。

3、四个角都相等的四边形是矩形。

分析：正确。

因为四边形内角和等于3600，又知这四个内角都相等，所以每个内角为900，根据“有三个角是直角的四边形是矩形”即可得证。

4、对角线互相垂直的四边形是菱形。

2015届湘教版中考数学复习课件(第24课时_矩形、菱形、正方形)

第24课时┃ 矩形、菱形、正方形
考点2 菱形
邻边相等的平行四边形叫作菱形菱形的定义一组________
菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线菱形的性质定理对称性是它的对称轴菱形是中心对称图形，它的对称中心是两条对角线的交点
相等． (1)菱形的四条边________ 垂直平分， (2) 菱形的两条对角线互相 ________ 一组对角并且每条对角线平分______________
考点聚焦
归类探究
回归教材
第24课时┃ 矩形、菱形、正方形
(1)定义法．
相等的四边形是菱形．菱形的 (2)四条边________
判定
垂直的平行四边形是 (3) 对角线互相 ________
菱形 (1)菱形的面积＝底×高 (2) 菱形的面积等于两条对角线长度乘积
菱形的面积
一半的________
回归教材
第24课时┃ 矩形、菱形、正方形
1 1 (2)∵∠BAD＝60°，∴∠DAO＝ ∠BAD＝ ×60°＝30°. 2 2 ∵∠EOD＝30°，∴∠AOE＝90°－30°＝60°， ∴∠ AEF ＝∠CFE ＝ 180 °－∠OAE －∠AOE ＝ 180 °－ 30 ° －60°＝90°. 1 1 ∵菱形的边长为 2，∠DAO＝30°，∴OD＝ AD＝ ×2＝1， 2 2 3 ∴AO＝ AD －OD ＝ 3，∴OE＝， 2
考点聚焦归类探究回归教材
第24课时┃ 矩形、菱形、正方形
【方法点析】矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质．判定一个四边形是不是矩形，首先要看这个四边形是不是平行四边形，再看它是否有一个内角是直角．如果这个四边形不能确定是平行四边形，那么可以通过判断能否在该四边形中找到三个内角是直角或对角线平分且相等来进行判定．

中招复习数学四边形公开课一等奖课件省赛课获奖课件

线 AC 上的两点，且 BE⊥AC，DF⊥AC. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)请写出图中除△ABE≌△CDF 外其余两对全等三角
形(不再添加辅助线)．
图 25－1
第25学时┃ 课堂热身
[解析] 根据平行四边形对边平行，对边相等得出证明三角形全等的条件．
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠BAE＝∠FCD，又∵BE⊥AC，DF⊥AC， ∴∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴△ABE≌△CDF(AAS)． (2)①△ABC≌△CDA；②△BCE≌△DAF.
第25学时┃ 豫考探究
1．平行四边形的性质的应用，主要是利用平行四边形的边与边，角与角及对角线之间的特殊关系进行证明或计算．
2．判别一个四边形是不是平行四边形，要根据具体条件灵活选择判别方法．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
(1)若 CE＝1，求 BC 的长； (2)求证：AM＝DF＋ME.
图26－2
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母)； (2)求证：△AB′O≌△CDO.
图 25－3
第25学时┃ 豫考探究
[解析] 由折叠和平行四边形的性质判断图中的等腰三角形．
解：(1)△ABB′，△AOC 和△BB′C. (2)证明：在▱ABCD 中，AB＝DC，∠ABC＝∠D. 由轴对称知 AB′＝AB，∠ABC＝∠AB′C. ∴AB′＝CD，∠AB′O＝∠D. 在△AB′O 和△CDO 中，
考点2 平面图形的镶嵌
定义
平面镶嵌的条件
防错提醒
用 __形__状__ 、 _大___小__ 完全相同的一种或几种 _平__面__图__形__进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的_镶__嵌___

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四边形是菱形. ②四条边都相等的四边
形是菱形.
角
①对角相等. ②邻角互补.
菱形的两条对角线互
相垂直；
对角线并且每条对角线平分
一组对角.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
二、知识概要 (正方形)
性质
判定
边
正方形的四条边都相有一组邻边相等的矩
等.
形是正方形.
角
正方形的四个角都是有一个角是直角的菱
3.探究下列问题：
（1）如图①，在△ABC中，CP⊥AB于点P，求证:AC2-BC2=AP2-BP2；
（2）如图②，在四边形ABCD中，AC⊥BD,垂足为P，猜一猜AB,BC,CD,DA之间有何数量关系，用式子表示出来（不必说明理由）；
（3）如图③，在矩形ABCD中，P为内部任意一点，请猜想出AP,BP,CP,DP之间的数量关系，并证明之。
4.如图，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA=10，OC=6。
（1）如图①，在OA上选取一点G，将△COG 沿CG翻折，使点O落在BC边上，设为E，求折痕CG所在直线的解析式。
4. （2）如图②，在OC上任取一点D，将△AOD 沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E’。
4.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、 BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH 为菱形，并说明理由，添加的条件__________，理由：
顺次连接任意四边形各边的中点，所构成的四边形以下简称为“中点四边形”。试判断中点四边形EFG边形 EFGH为菱形； AC=BD
（2）添加一个条件，使四边形 EFGH为矩形； AC ⊥ BD
H
A
（3）添加一个条件，使四边形
EFGH为正方形；
E
AC=BD且AC ⊥ BD
D G
B
F
C
那么，特殊平行四边形的“中点四边形”会是怎样的图形呢？
1.矩形的“中点四边形”是菱形；
B
C
四、训练题
1.如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD的顶点分别在正方形MNPQ的4条边的小方格的顶点上。
（1）设正方形MNPQ网格中每个小方格的边长为1，求： ①△ABQ,△BCM,△CDN, △ADP的面积 ②正方形ABCD的面积
（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程。
直角.
形是正方形.
正方形的两条对角线相等.并且互相
对角线垂直平分.每条对角线平分一组对角.
①对角线相等的菱形是正方形.
②对角线互相垂直的矩形是正方形.
有三个角是直角
有一个内角是直角
有一组邻边相等
矩形
对角线相等
对角线互相垂直
平
四
行
正
边
四
方
形
边
形
形
有一组邻边相等
有一个内角是直角
菱形
对角线互相垂直
角对角
线
推论
矩形的四个角都是直角
矩形的两条对角线相等
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半, 那么这个三角形是直角三角形
二、知识概要 (菱形)
性质
判定
①一组邻边相等的平行
边
菱形的四条边都相等.
2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的中垂线DE 交BC于点D,交AB于点E，F在DE的延长线上，并且AF=CE.
（1）证明：四边形ACEF是平行四边形. （2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形
ACEF是菱形？请回答并证明你的结论. （3）四边ACEF有可能是正方形吗？请证明
你的结论。
对角线相等
四条边都相等
【思维诊断】(打“√”或“×”) 1.矩形的对角线相等且互相平分. ( √ ) 2.菱形的对角线互相垂直平分. ( √ ) 3.对角线互相平分且相等的四边形是矩形. ( √ ) 4.对角线相等的四边形是菱形. ( × ) 5.四条边相等的四边形是正方形. ( × ) 6.对角线互相平分且垂直的四边形是菱形. ( √ ) 7.正方形的对角线相等且互相垂直. ( √ ) 8.正方形的边和对角线构成8个等腰直角三角形. ( √ )
2.菱形的“中点四边形”是矩形；
3.正方形的“中点四边形”是正方形。
5、如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH 拼成的一个大正方形ABCD，若S正方形 ABCD=13，S正方形EFGH=1，直角三角形较短直角边为a，较长的直角边为b，求（a+b）2的值．
6、(浙江台州)把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点 (如图).试问线段与线段相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想.
7.已知正方形ABCD， ME⊥ BD， MF⊥ AC，垂足分别为E、F
（1） M是AD上的点，若对角线AC=12cm，求ME+MF的长。
（2）若M是AD上的一 A
M
D
个动点，ME+MF的长度是否发生改变？
F
E
（3）当M点运动到何
O
处时，四边形MFOE的面
积最大？
一、中考目标
矩形、菱形、正方形 ① 了解平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系a ② 掌握矩形、菱形、正方形的概念 b ③ 探索并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质 c ④ 探索并掌握四边形是矩形、菱形、正方形
的条件 c
二、知识概要 (矩形)
性质
判定
边
① 两组对边分别平行有一个角是直角的平行四 ② 两组对边分别相等边形是矩形
1、.正方形具备而菱形不具备的性质是（） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.每条对角线平分一组对角 2、如图，当 ____ 时，平行四边形ABCD是矩形；当 _______ 时，平行四边形ABCD 是菱形（填上一个条件即可）．
3、如图，四边形ABCD中，AC=6，BD=8，且AC⊥BD，顺次连接四边形各边的中点，得到四边形A B C D ，再顺次连接四边形A B C D 各边的中点，得到四边形A B C D …… 如此进行下去得到四边形A B C D ．（1）求证：四边形A B C D 是矩形；（2）试说出该图形的变化规律，并求出四边形A B C D 和四边形A B C D 的面积．