计算机控制系统

ω s = 10ωc
其中， 为系统开环频率特性的截止频率 其中，ωc为系统开环频率特性的截止频率
在快速系统中，也可根据系统上升时间来确定采样周期， 在快速系统中，也可根据系统上升时间来确定采样周期，即 保证上升时间内2到 次采样 次采样。 为上升时间， 保证上升时间内 到4次采样。设Tr为上升时间，Nr为上升时 间内采样次数， 间内采样次数，则经验公式为
问题回顾
计算机控制的本质是什么？ 与模拟控制相比，计算机控制的优点何在？
第五章 计算机控制系统理论基础
5.1 计算机控制系统信号流程 5.2 连续系统离散化
采样及采样定理 信号恢复和保持
5.3 计算机控制系统数学描述
z变换 脉冲（ 脉冲（z）传递函数
图5-1 计算机控制系统的信号流程
模拟信号？ 模拟信号？
第五章 计算机控制系统理论基础
5.1 计算机控制系统信号流程 5.2 连续系统离散化
采样及采样定理 信号恢复和保持
5.3 计算机控制系统数学描述
z变换 脉冲（ 脉冲（z）传递函数
4 采样信号的恢复和保持器
F
*
信号恢复过程？ 信号恢复过程？
a：F *(jw)频谱 b: 理想滤波器特性 ： 频谱; 频谱
数学基础简介（Z变换） （续二）
Z f ( kT − nT ) = z − n F ( z ) （2）延迟（右移）定理： ）延迟（右移）定理：
（3）超前（左移）定理： ）超前（左移）定理：
n −1
Z f ( kT + nT ) = z F ( z ) − z
n
n−m
∞
∫
−∞
f (t )δ (t − kT )dt = f (kT ), k = 0, 1, 2, L
单位脉冲序列： 单位脉冲序列：
δT (t ) =
*
k =−∞ ∞
∑ δ ( t − kT )
∞ k =−∞
∞
理想脉冲采样函数： 理想脉冲采样函数： f
( t ) = ∑ f ( t ) δ ( t − kT ) = ∑ f ( kT ) δ ( t − kT )
数学基础简介（Z变换） （续七）
z反变换： Z 反变换：
Z变换法： 变换法： 变换法
−1
[F (z )] = f (kT )
脉冲序列
级数求和法；部分分式法； 级数求和法；部分分式法；留数法 Z反变换法： 长除法；部分分式法；留数法 反变换法： 长除法；部分分式法； 反变换法
z变换解线性差分方程： 变换解线性差分方程：
图5-10 拉氏变换和拉氏反变换
微 分 方 程 程 方 数
代
数学基础简介（拉氏变换） （续一）
∞
时域函数f(t)的拉氏变换定义为： 用符号表示为
数 学 定 义
F (s) =
∫
0
f (t ) e − st dt
s称为拉氏算子。由于指数函数e-st应有意义，因此s的单 位是1/时间，即频率；由于s是复数，因此，s表示复频 域变量。时域函数经拉氏变换变换后得到拉氏函数。 拉氏反变换定义为：
采样函数频谱与连续函数频谱之间的关系
1 ∞ F ( jω ) = ∑ F ( jω − jkω s ) T k = −∞
*
周期为ω 周期为 s
图5-4 F (jw)和F*(jw)的频谱 和 的频谱
理想低通滤波器
a:ωs>2ωmax b:ωs<2ωmax 图5-5 采样信号频谱的两种情况
3 采样定理及采样周期 的讨论 采样定理及采样周期T的讨论 的有限带宽信号， 若 f ( t )是一个带宽为 2ω max 的有限带宽信号，则由采样信号
采样及采样定理 信号恢复和保持
5.3 计算机控制系统数学描述
z变换 脉冲（ 脉冲（z）传递函数
如何理解拉氏变换和Z变换？
数学基础简介（拉氏变换）
描述系统动态模型的数学表达式 称为动态数学模型。数学模型的 表达形式可以是微分方程、差分 方程、传递函数和状态方程等， 也可以用信号流图或模拟图符号 表示。分析和研究控制系统的动 态特性，就是分析和研究系统数 学模型的特性。对微分方程，可 得到系统输出随时间变化的规律。 当微分方程的阶次较高时，微分 方程的求解就变得十分困难,因此, 常采用拉氏变换的方法,将微分方 程转换成代数方程,求解代数方程 后,再通过反拉氏变换得到微分方 程的解。
δ T (t ) =
k = −∞
∑ δ (t − kT ) = ∑ C e
k = −∞ k
*
∞
∞
jkω s t
1 = T
k = −∞
∑e
∞
jkws t
2π ωs = T
Ck=？ ？
1 采样函数又可表示为： 采样函数又可表示为： f (t ) = ∑ f (kT )e jkωs t T k = −∞
∞
差分方程——离散时间函数或序列 差分方程 离散时间函数或序列——z变换求解 z 离散时间函数或序列 微分方程——连续时间函数 连续时间函数——拉氏变换求解 微分方程 连续时间函数 拉氏变换求解 简化求解过程，微差分运算 简化求解过程，微差分运算——代数运算 代数运算
kT<t<(k+1)T
u ′′(kT ) (t − kT ) 2 + L 2
a：零阶保持器单元方框图 b: 保持器输入 c: 保持器输出 ：
图5-7 零阶保持器输入输出特性
零阶保持器的数学模型: 零阶保持器的数学模型: 其中，单位阶跃信号: 其中，单位阶跃信号:
g0(t)
g 0 (t ) = 1(t ) − 1(t − T )
1 1(t ) = 0 t≥0 t<0
g0(t)
图5-8 零阶保持器的时域特性
零阶保持器的传递函数: 零阶保持器的传递函数:
1 − e −Ts G0 ( s ) = s
零阶保持器的频率特性: 零阶保持器的频率特性:
图5-9 零阶保持器的频谱特性
第五章 计算机控制系统理论基础
5.1 计算机控制系统信号流程 5.2 连续系统离散化
对于一些快速系统，如直流调速系统、随动系统，要求响应 对于一些快速系统，如直流调速系统、随动系统， 抗干扰能力强，采样周期可以根据动态品质指标来选择。 快、抗干扰能力强，采样周期可以根据动态品质指标来选择。 根据经验，用计算机来实现模拟校正环节功能时， 根据经验，用计算机来实现模拟校正环节功能时，选择采样 角频率为： 角频率为：
Nr = Tr = 2~4 T
对于一个闭环系统， 对于一个闭环系统 ， 如果被控过程的主导极点的时 应取: 间常数为T 那么采样周期T应取 间常数为 d，那么采样周期 应取
T < Td / 10
如果被控过程具有纯延迟环节τ， 如果被控过程具有纯延迟环节 ，且占有一定的重要 地位，采样周期应比小，通常取为: 地位，采样周期应比小，通常取为 T<(1/4∼1/10) τ
f * ( t )能够无失真地恢复到原信号的条件为：ω s ≥ 2ω max 。 能够无失真地恢复到原信号的条件为：
采样周期T的选择非常重要，选择不合适会影响系统的动态品质，甚至会 导致系统不稳定。采样定理给出的只是理论指导原则 理论指导原则，但实际系统的最 理论指导原则 高角频率不好确定。对于惯性大、反应慢的生产过程，采样周期可选的 长一些。虽然T越小，复原原系统的精度越高，但计算机的负担加重，也 会使执行结构不能及时反应，反而使系统品质变坏。经验的结果如下表51所示。 表5-1 过程参数采样周期经验值 被控对象 采样周期/s 流量 1-5 压力 3-8 液位 5-10 温度 10-20 成分 15-20
m =0
∑ f ( mT )
若，所有的初始条件为: 所有的初始条件为
f ( 0 ) = f (T ) = L f
( ( n − 1) T ) = 0
Z f ( kT + nT ) = z n F ( z ) 可得到: 则，可得到
（4）初值定理：lim f ( kT ) = lim F ( z ) ）初值定理： k →0 z →∞ lim f ( kT ) = lim (1 − z −1 ) F ( z ) （5）终值定理：k →∞ ）终值定理： z →1
图5-6 理想滤波器特性 理想滤波器是不存在的， 理想滤波器是不存在的，必须找出与理想滤波器特性相近的物理上可实现 的实验滤波器，这种滤波器称为保持器 保持器。 的实验滤波器，这种滤波器称为保持器。
保持器/外推器 保持器 外推器
多项式外推法 泰勒级数） （泰勒级数）
u (t ) = u (kT ) + u ′(kT )(t − kT ) +
1 f (t ) = 2πj
用符号表示为
∫
σ + jω
σ − jω
F ( s ) e ds
st
数学基础简介（Z变换）
连续控制系统采用拉氏变换将微分方程转换成代数方程，并经 拉氏反变换得到时域解，同样，离散控制系统采用Z变换将差分 方程转换成以Z为变量的代数方程，求解后经Z反变换得到时域 解。
连 续 统 系 采样 Z=esT 散 离 系 统
数学基础简介（Z变换） （续三）
表5-2 Z变换的有关定理
数学基础简介（Z变换） （续四）
表5-3 常用函数的Z变换
数学基础简介（Z变换） （续五）
例5-1 计算函数sinωt和eat的Z变换
变 换 的 MATLAB MATLAB 计 算 实 例 Z % 计算函数 变换的 计算函数z变换的 变换的MATLAB程序 程序 syms w a n; y1=ztrans(sin(w*n)) y2= ztrans(exp(a*n)); y2=simple(y2) Symbolic Math Toolbox syms simple ztrans
数学基础简介（Z变换） （续六）
例5-2 计算函数10z/(z-1)(z-2)和(1-e-aT)z/(z-1)(z-e-aT)的Z反变换
反 变 换 的 MATLAB MATLAB 计 算 实 例 % 计算函数 反变换的 计算函数z反变换的 反变换的MATLAB程序 程序 syms z n ; y1=iztrans(10*z/(z-1)/(z-2)); n=0:5; yy1=subs(y1,n) syms n z a y2 ; y2=iztrans((1-exp(-a))*z/(z-1)/(z-exp(-a))); y2=simple(y2) yy2=subs(y2,{a,n},{ones(1,6),0:5}) Symbolic Math Toolbox syms subs iztrans simple Z
第五章 计算机控制系统理论基础
5.1 计算机控制系统信号流程 5.2 连续系统离散化
采样及采样定理 信号恢复和保持
5.3 计算机控制系统数学描述
z变换 脉冲（ 脉冲（z）传递函数
图5-2 采样过程
图5-3 理想采样开关采样后所得的采样脉冲序列
1 采样过程及采样函数的数学表示 函数来描述采样过程。 函数是一广义函数又称为脉冲函数， 采用 δ 函数来描述采样过程。 δ 函数是一广义函数又称为脉冲函数， 若 f (t )为连续函数，对 δ 函数有： 为连续函数， 函数有：
* k =0
∞
∞
− st
dt = ∑ f ( kT ) e − kTs
k =0
∞
令： z = eTs 则： F z = F * s = ( ) ( ) ∑ f ( kT ) z − k
k =0 ∞
z变换的性质： 变换的性质：
（1）线性性质： Z α f1 ( kT ) + β f 2 ( kT ) = α F1 ( z ) + β F2 ( z ) ）线性性质：
F ( s ) = L ( f (t )) = ∫ f (t )e dt = ∫
* 0
∗
∞
∗
− st
∞
0
1 T
k = −∞
∑
∞
f (t )e jkω s t e − st dt
1 ∞ = ∑ F ( s − jkω s ) T k = −∞
L[e f (t )] = F ( s − a )
at
（位移定理） 位移定理）
k =−∞
一般t<0时，f(t源自文库=0，故上式可改写为：
f
*
( t ) = ∑ f ( t ) δ ( t − kT ) = ∑ f ( kT ) δ ( t − kT )
k =0 k =0
∞
∞
物理意义？ 物理意义？
2 采样函数的频谱分析
频谱特性？ 频谱特性？
单位脉冲序列展开成傅里叶级数： 单位脉冲序列展开成傅里叶级数：
拉氏变换
Z变换 变换 差分方程 代数方程 Z传递函数 传递函数
微分方程
代数方程 传递函数
图5-11拉氏变换和Z变换关系
数学基础简介（Z变换） （续一）
在线性离散系统中，对采样信号做拉氏变换： 在线性离散系统中，对采样信号做拉氏变换：
L f
*
( t ) = F ( s ) = ∫−∞ ∑ f ( kT ) δ ( t − kT ) e