3.6 脉冲响应不变法-数字信号处理 总结
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因此,当f在 jW 轴上从-∞变至+∞的过程中，每 间隔Fs，对应的 w 从0变到2π ，即在单位圆上绕
了一周，所以，由s平面到z平面的映射不是单一的。
脉冲响应不变法的基本原理
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]
h[k ] h(t ) tkT 脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
Al s pl
M
h(t ) L1[H (s)] Al e plt u(t )
l 1
对h(t)等间隔抽样得
M
H (z) Z{h[k]}
Al
l1 1 e plTs z 1
H(z)
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 单极点情况
M
H(s)
频率，单位为rad/s
（1）
z esTs e( jW)Ts eTs e jWTs
（2）
r eTs
则 z re jw
w WTs
z变换的定义
Ts是抽样周期（或抽样间隔），Fs=1/Ts是抽样 频率
w WTs 2f Fs W w / Ts wFs
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB 。
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter
0 0
DF AF
5
10
15
20
25
Hz
fsam=50 Hz
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
20
40
60
Hz
fsam=200 Hz
DF AF
80
100
脉冲响应不变法的基本原理
AlBaidu Nhomakorabea
l1 s pl
M
H(z)
Al
l1 1 e plTs z 1
拉氏反变换
抽样t=kT
Z变换
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
1 1
s pl
1 e plT z 1
脉冲响应不变法的基本原理
稳定性分析
M
H(s)
Al
l1 s pl
z esT
极点映射关系：
脉冲响应不变法的优缺点 优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
w W Ts
缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设 计高通、带阻等滤波器。
脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法的MATLAB实现
[numd,dend] = impinvar(num,den,Fs) num,den：AF分子、分母多项式的系数向量 Fs=1/T：抽样频率 numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。 2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。 3．计算h[k]的z变换得到H(z)。
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
拉氏反变换
抽样t=kT
z变换
H(s)
h(t)
h[k]
设H(s)只有一阶极点，即
M
H(s)
l 1
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
脉冲响应不变法的基本原理
H (e jw ) 和 H ( jW) 的关系
H (e jw )
1 Ts
n
H
j
w
2π n TH (e jw )
无混叠时： H (e jw ) 1 H ( jW), w π
Ts
数字滤波器在w点的频率响应和模拟滤波器 在W 点的频率响应只差一个常数因子1/Ts
[numa,dena]=butter(N,wc,'s');
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
H ( jw ) wc jw wc
H (e jW )
wc
1 e wcT e jW
其中W wT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
M
H(z)
z eT
Al
l1 1 e plTs z 1
令s jW ，则有
z eT e jWT
脉冲响应不变法的基本原理
稳定性分析
z eT
1) <0, |z|<1 S域左半平面映射到z域单位元内 2) 0, |z|=1 S域虚轴映射到z域单位圆上 3) >0, |z|>1 S域右半平面映射到z域单位圆外
数字频率w与模拟频率W 的关系为 w WTs
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得
H (z) wc
1 e wcT z 1
AF与DF的频率响应分别为
3.6 脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)
wp,ws
频率
设计模拟
AF到DF
变换
Wp,Ws
H(s)
滤波器
的转换 H(z)
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
z变换的定义
e 令z= sTs
拉普拉斯复变量， s jW
式中 W 2f 是相对连续系统及连续信号的角
了一周，所以，由s平面到z平面的映射不是单一的。
脉冲响应不变法的基本原理
对模拟滤波器的单位冲激响应h(t)等间隔抽样 来获得数字滤波器的单位脉冲响应h[k]
h[k ] h(t ) tkT 脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
Al s pl
M
h(t ) L1[H (s)] Al e plt u(t )
l 1
对h(t)等间隔抽样得
M
H (z) Z{h[k]}
Al
l1 1 e plTs z 1
H(z)
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z) —— 单极点情况
M
H(s)
频率，单位为rad/s
（1）
z esTs e( jW)Ts eTs e jWTs
（2）
r eTs
则 z re jw
w WTs
z变换的定义
Ts是抽样周期（或抽样间隔），Fs=1/Ts是抽样 频率
w WTs 2f Fs W w / Ts wFs
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
Wp=0.2, Ws=0.6, Ap2dB, As15dB 。
%Design DF BW low-pass filter using impulse invariance %DF BW LP specfication Wp=0.2*pi; Ws=0.6*pi; Ap=2; As=15; Fs=1; %Sampling frequency(Hz) %Analog Butterworth specfication wp=Wp*Fs; ws=Ws*Fs; %determine the order of AF filter N=buttord(wp,ws,Ap,As,'s'); %determine the 3-db cutoff frequency of BW filter from pass-band specfication wc=wp/(10^(0.1*Ap)-1)^(1/N/2); %determine the AF-BW filter
0 0
DF AF
5
10
15
20
25
Hz
fsam=50 Hz
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
20
40
60
Hz
fsam=200 Hz
DF AF
80
100
脉冲响应不变法的基本原理
AlBaidu Nhomakorabea
l1 s pl
M
H(z)
Al
l1 1 e plTs z 1
拉氏反变换
抽样t=kT
Z变换
H(s)
h(t)
h[k]
H(z)
1 1
s pl
1 e plT z 1
脉冲响应不变法的基本原理
稳定性分析
M
H(s)
Al
l1 s pl
z esT
极点映射关系：
脉冲响应不变法的优缺点 优点：数字滤波器和模拟滤波器的频率关系为线性
w W Ts
缺点：存在频谱混叠，故不能用脉冲响应不变法设 计高通、带阻等滤波器。
脉冲响应不变法设计DF的步骤
脉冲响应不变法的MATLAB实现
[numd,dend] = impinvar(num,den,Fs) num,den：AF分子、分母多项式的系数向量 Fs=1/T：抽样频率 numd,dend：DF分子、分母多项式的系数向量
1．对H(s)进行Laplace反变换获得h(t)。 2．对h(t)等间隔抽样得到h[k]。 3．计算h[k]的z变换得到H(z)。
脉冲响应不变法的基本原理
脉冲响应不变法由H(s)获得H(z)步骤:
拉氏反变换
抽样t=kT
z变换
H(s)
h(t)
h[k]
设H(s)只有一阶极点，即
M
H(s)
l 1
因果、稳定的AF系统映射为因果、稳定的DF系统
脉冲响应不变法的基本原理
H (e jw ) 和 H ( jW) 的关系
H (e jw )
1 Ts
n
H
j
w
2π n TH (e jw )
无混叠时： H (e jw ) 1 H ( jW), w π
Ts
数字滤波器在w点的频率响应和模拟滤波器 在W 点的频率响应只差一个常数因子1/Ts
[numa,dena]=butter(N,wc,'s');
例：利用AF-BW filter及脉冲响应不变法设计一DF，满足
H ( jw ) wc jw wc
H (e jW )
wc
1 e wcT e jW
其中W wT，抽样频率为50，200Hz的幅度响应如下
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
1 0.8 0.6 0.4 0.2
M
H(z)
z eT
Al
l1 1 e plTs z 1
令s jW ，则有
z eT e jWT
脉冲响应不变法的基本原理
稳定性分析
z eT
1) <0, |z|<1 S域左半平面映射到z域单位元内 2) 0, |z|=1 S域虚轴映射到z域单位圆上 3) >0, |z|>1 S域右半平面映射到z域单位圆外
数字频率w与模拟频率W 的关系为 w WTs
例: 设一阶模拟低通滤波器的系统函数为
H (s) wc s wc
利用脉冲响应不变法求H(z)，并分别画出AF与DF的幅度响应。
解：
利用单极点H(s) 与H(z)的映射关系，可得
H (z) wc
1 e wcT z 1
AF与DF的频率响应分别为
3.6 脉冲响应不变法 (Impulse Invariance)
wp,ws
频率
设计模拟
AF到DF
变换
Wp,Ws
H(s)
滤波器
的转换 H(z)
如何将模拟滤波器转变为数字滤波器? 1. 脉冲响应不变法 2. 双线性变换法
z变换的定义
e 令z= sTs
拉普拉斯复变量， s jW
式中 W 2f 是相对连续系统及连续信号的角