方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由x=x1是方程 （a≠0，x1≠x2）与 的一个公共解可得x=x1是方程 的一个解，根据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x1= ，整理后即可得答案．
【详解】
∵ （a≠0，x1≠x2）与 有一个公共解x=x1，
∴x=x1是方程 的一个解，
，
∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
【详解】
解：①若 ，方程两边平方得b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，所以方程ax2+bx+c＝0一定有两个相等的实数根；
②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则b2﹣4ac＞0
方程x2﹣bx+ac＝0中根的判别式也是b2﹣4ac＞0，所以也一定有两个不等的实数根；
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac2+bc+c＝0成立，
A．1+ 或1﹣ B．1或﹣1C．1﹣ 或1D．1+ 或﹣1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意应分为x>0和x<0两种情况讨论，并列出关于x的分式方程求解，结合x的取值范围确定方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解即可．
【详解】
解：①当x≥﹣x，即x≥0时，
∵max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1，
∴x＝x2﹣x﹣1，
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意分别表示三月的价格建立方程求解即可．
【详解】
解：设一月的价格为 则二月的价格为 三月的价格为 ，
而三月的价格又可表示为：
故选B．
【点睛】
本题考查的是含字母系数的方程的应用，同时考查分式的加减运算，掌握相关知识点是解题关键．
16．某商品经过连续两次降价，销售单价由原来100元降到81元.设平均每次降价的百分率为 ，根据题意可列方程为（）
A．原数与对应新数的差不可能等于零
B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大
C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30
D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大
【答案】D
【解析】
【分析】
设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．
【详解】
解：设原数为m，则新数为 ，
设新数与原数的差为y
综上所述，满足条件的a的值为−4，0，2，
符合条件的a的值的和是−2
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程根据方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；以及分式方程解的定义：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫分式方程的解．
10．在解方程（x+2）（x﹣2）=5时，甲同学说：由于5=1×5，可令x+2=1，x﹣2=5，得方程的根x1=﹣1，x2=7；乙同学说：应把方程右边化为0，得x2﹣9=0，再分解因式，即（x+3）（x﹣3）=0，得方程的根x1=﹣3，x2=3．对于甲、乙两名同学的说法，下列判断正确的是..（ ）
∴x1+x1= ，
∴a(x2-x1)=d，
故选：B．
【点睛】
本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，若方程的两个根为x1、x2，那么x1+x2= ，x1·x2= ；熟练掌握韦达定理是解题关键．
8．一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是（ ）
C．没有实数根D．由 的取值确定
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出方程的判别式为△=a2+8，可知其大于0，可判断出方程根的情况．
【详解】
方程 的判别式为 ，所以该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与方程根的情况是解题的关键．
12．欧几里得的《原本》记载，形如 的方程的图解法是：画 ，使 ， ， ，再在斜边 上截取 .则该方程的一个正根是（）
6．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k≠0B．k＞4C．k＜4D．k＜4且k≠0
【答案】C
【解析】
【分析】
根据判别式的意义得到△=（-4）2-4k＞0，然后解不等式即可．
【详解】
∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴
解得：k＜4．
故答案为：C．
【点睛】
本题考查的知识点是一元二次方程根的情况与判别式△的关系，解题关键是熟记一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0方程有两个不相等的实数根；（2）△=0方程有两个相等的实数根；（3）△＜0方程没有实数根．
7．已知一元二次方程 （a≠0，x1≠x2）与一元一次方程 有一个公共解x=x1，若一元二次方程 有两个相等的实数根，则（）
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△ 方程有两个不相等的实数根；
（2）△ 方程有两个相等的实数根；
（3）△ 方程没有实数根．
4．若a，b为方程 的两个实数根，则2 的值为（）
A．-41B．-35C．39D．45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义及一元二次方程根与系数的关系可得a2-5a-1=0，a+b=5，ab=-1，把2 变形为2(a2-5a-1)+3ab+8(a+b)+2，即可得答案．
当等腰三角形的腰长为7，底边长为2，此时周长为7+7+2＝16，
故选：B．
【点睛】
此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
18．对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a、b中的较大的数，如：max{2，4}＝4，按照这个规定，方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为（ ）
14．用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】
，
，
，
所以 ，
故选D.
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
15．某种药品的价格，二月比一月下降百分比为 ，三月比二月下降百分比为 ，一月到三月的平均每月下降率为 ，则下列关系式正确的是（）．
A． 的长B． 的长C． 的长D． 的长
【答案】B
【解析】
【分析】可以利用求根公式求出方程的根，根据勾股定理求出AB的长，进而求得AD的长,即可发现结论.
【解答】用求根公式求得：
∵
∴
∴
AD的长就是方程的正根.
故选B.
【点评】考查解一元二次方程已经勾股定理等，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.
5．若 ，则不论 取何值，一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3可得：x≤﹣3．
【详解】
∵x=﹣2a2+4a﹣5=﹣2（a﹣1）2﹣3≤﹣3，∴不论a取何值，x≤﹣3．
故选D．
【点睛】
本题考查了配方法的应用，熟练运用配方法解答本题的关键．
③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，则b2﹣4ac＝（2ax0+b）2，其中正确的（ ）
A．只有①②③B．只有①②④C．①②③④D．只有③④
【答案】B
【解析】
【分析】
判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△ 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示 ．
解得：x＝1+ （1﹣ <0，不符合舍去）；
②当﹣x＞x，即x＜0时，﹣x＝x2﹣x﹣1，
解得：x＝﹣1（1>0，不符合舍去），
即方程max{x，﹣x}＝x2﹣x﹣1的解为1+ 或﹣1，
则 ，
易得，当m＝0时，y＝0，则A错误
∵
当 时，y有最大值．则B错误，D正确．
当y＝21时， ＝21
解得 ＝30， ＝70，则C错误．
故答案选：D．
【点睛】
本题以规律探究为背景，综合考查二次函数性质和解一元二次方程，解题时要注意将数字规律转化为数学符号．
9．从 ， ， ，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为 ．若数 使关于 的一元二次方程 有实数解．且关于 的分式方程 有整数解，则符合条件的 的值的和是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可．
【详解】
由题意可列方程是： .
故选：次方程，解题关键在于列出方程
17．方程x2﹣9x+14＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）
A．甲错误，乙正确B．甲正确，乙错误
C．甲、乙都正确D．甲、乙都错误
【答案】A
【解析】（x+2）（x﹣2）=5，
x2-4=5，
x2-9=0，
（x+3）（x-3）=0，
x+3=0或x-3=0，
x1=-3，x2=3，
所以甲错误，乙正确，
故选A.