动量矩定理

FN
பைடு நூலகம்
o B
Foy Fox
M
mg
θ
m2 g
图11-6
A m1g
解：选整体为质点系，作用在质点系上的力为三个物体的重力 mg 、 m1 g 、 m 2 g ，在 鼓轮上不变的力偶矩 M，以及作用在轴 O 处和截面的约束力为 Fox 、 Foy 、 F N 。质点系对 转轴 O 的动量矩为
Lo J o ω m1 v1r1 m2 v2 r2
i 1
n
（2）
质点系相对定系的动量为
P = m i v i = Mv c
i 1
n
（3）
将式（2）和式（3）代入式（ 1）得有质点系对固定点 O 的动量矩和质点系对质心 C 的动 量矩间的关系为
Lo = rc × P+L
C
（4 ）
式（4）对时间求导得
dLo dP dLc = v c Mv c + rc + dt dt dt 作用在质点系上的外力对固定点 O 的力矩为
11.1
动量矩定理
11.1.1 质点和质点系动量矩
1．质点的动量矩 如图 11-1 所示，设质点在图示瞬时 A 点的动量为 mv,矢径为 r，与力 F 对点 O 之矩 的矢量表示类似，定义质点对固定点 O 的动量矩为 （11-1） M o (m v ) = r × mv
z
z
B
F
B Mz(mv) M0(m v) A
即 将式（11-6）向直角坐标系投影得 d dt [ M x ( m v )]= M x ( F ) d [ M y ( m v )]= M y ( F ) dt d [ M ( m v )]= M ( F ) z z dt
（ 11-7）
特殊情形： 当质点受有心力 F 的作用时，如图 11-4 所示，力矩 M o ( F ) 0 ，则质点对固定点 O 的动量矩 M o (m v ) =恒矢量，质点的动量矩守恒。例如行星绕着恒星转，受恒星的引力作 用，引力对恒星的矩 M o ( F ) 0 ，行星的动量矩 M o (m v ) =恒矢量，此恒矢量的方向是不 变的，因此行星作平面曲线运动；此恒矢量的大小是不变的，即 mvh=恒量，行星的速度 v 与恒星到速度矢量的距离 h 成反比。
i 1 n
（ 11-8）
质点系的动量矩定理：质点系对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点系
（ 11-9）
质点系动量矩 Lo 恒矢量，则质点系对该点的动量矩守恒。 （2） 当作用在质点系上的外力对某一轴的矩等于零时， 则质点系对该轴的动量矩守恒。 例如 M x ( Fie ) 0 ，由式（11-9）知，质点系对 x 轴的动量矩 L x 恒量，则质点系对 x
M o = ri ×Fie = ( rc + ρi ) Fie = rc Fie + ρi Fie
mv A
r
mv
M0(m v)
o
x 图11-1
h
y
o
y
B' mvxy
x 图11-2
A'
质点对固定点 O 的动量矩是矢量，方向满足右手螺旋法则，如图 11-1 所示，大小为固 定点 O 与动量 AB 所围成的三角形面积的二倍，即 M 0 (mv )=2Δ OAB的面积= m vh 其中，h 为固定点 O 到 AB 线段的垂直距离，称为动量臂。 单位为 kg.m2/s。
ω
ri
mi
vi
y
x
图11-3
L z = M z (mi v i )= (mi vi ri ) = (mi ω ri ri )
i 1 n i 1 i 1
n
n
n
=( m i ri2 )ω = J z ω
i 1
即
Lz = J z ω
（11-5）
其中， J z = m i ri2 为刚体对转轴 z 的转动惯量 。
d d dr d [M o (m v )]= ( r × m v) = × m v + r × (m v ) dt dt dt dt
= v× m v + r ×F = M o ( F )
d （11-6） [M o (m v )]= M o ( F ) dt 质点的动量矩定理：质点对某一固定点的动量矩对时间的导数等于作用在质点上力对 同一点的矩。
建立定系 oxyz，和以质心 C 为坐标原点的动坐标系 Cx yz 。设质点系质心 C 的矢径 为 rc ,任一质点 i 的质量 m i ，对两个坐标系的矢径分别为 ri 、 ρ i ，三者的关系如图 11-8 所示。
ri = rc + ρi
z' i ri rc c x' y ¦Ρ i y'
1
n
i 1
定轴转动刚体对转轴 z 的动量矩等于刚体对转轴 z 的转动惯量与角速度的乘积。
11.1.2 质点和质点系动量矩定理
1．质点的动量矩定理 如图 11-1 所示，设质点对固定点 O 的动量矩为 M o (m v ) ，力 F 对同一点 O 力矩
M o ( F ) ，将式（11-1）对时间求导得
n
Z
（11-4）
刚体作平移时动量矩的计算：将刚体的质量集中在刚体的质心上，按质点的动量矩计 算。 刚体作定轴转动时动量矩的计算： 设定轴转动刚体如图 11-3 所示， 其上任一质点 i 的质量为 mi， 到转轴的垂直距离为 ri ， 某瞬时的角速度为 ω ，刚体对转轴 z 的动量矩由式（11-4）得 z
L zCD J z ω
1 Ml2 ω 3
当杆 AB 伸出为 x 时，对转轴的动量矩为 l l 1 L zAB m vEe ( x ) J c ω m( x ) 2 ω m l2 ω 2 2 12 当 x 0 时： 2 1 l 1 L z1 L zCD L zAB Ml2 ωo m ωo m l2 ωo 3 4 12 l 当 x 时： 2 1 l l 1 L z 2 L zCD L zAB Ml2 ω m( ) 2 ω m l2 ω 3 2 2 12 1 13 Ml2 ω m l2 ω 3 12 由 L z1 L z 2 得此装置在该瞬时的角速度为 M m ω ωo 13 M m 4 3．质点系相对质心的动量矩定理
o
x
质点系对固定点 O 的动量矩为
Lo = ri mi v i = ( rc + ρi ) mi v i = rc × m i v i + ρi m i v i
i 1 i 1 i 1 i 1
n
n
n
n
（1）
其中， 质点系对质心 C 的动量矩为
Lc = ρi m i v i
Z
2．质点系的动量矩 质点系对固定点 O 的动量矩等于质点系内各质点对固定点 O 的动量矩的矢量和，即
Lo M o (mi v i )
i 1
n
（11-3）
质点系对固定轴 z 的矩等于质点系内各质点对同一轴 z 动量矩的代数和，即
L z = M z (mi v i ) [ Lo ]
i 1
质点的动量对固定轴 z 的矩与力 F 对固定轴 z 的矩类似，如图 11-2 所示，质点的动量 mv 在 oxy 平面上的投影 ( mv ) xy 对固定点 O 的矩， 定义质点对固定轴 z 的矩， 同时也等于 质点对固定点 O 的动量矩在固定轴 z 上的投影。质点对 z 轴的动量矩是代数量，即 （11-2） M (m v)= M o[(m v)xy ]=[M o(m v)]z
图11-7
解：以整体为质点系，因作用在质点系上的外力为重力和转轴处的约束力，对转轴的 力矩均为零，故质点系对转轴的动量矩守恒。即 L z =恒量 管 CD 作定轴转动，杆 AB 作平面运动，由运动学知 ω ω AB ωCD 杆 AB 的质心 E 速度为
v Ea v Ee v Er
管 CD 对转轴的动量矩为
其中， v1 r1 ω ， v2 r2 ω ， 则
Lo J o ω m1r12 ω m2 r22 ω
作用在质点系上的力对转轴 O 的矩为 M o M m1 gr 1 m2 gr 2 s in 由质点系的动量矩定理
n d Lo = M o ( Fie ) dt i 1
第 11 章
动量矩定理
上一章我们学习了动量定理，它只是从一个侧面反映物体间机械运动传递时，动量的 变化与作用在物体上力之间的关系。但当物体作定轴转动时，若质心在转轴上，则物体动 量等于零，可见对于转动刚体而言，动量不再用来描述转动物体的物理量。在这一章里我 们学习描述转动物体的物理量——动量矩，以及作用在物体上力之间的关系。
（1 ）
（2）
g 称为单摆的角频率，单摆的周期为 l
T 2π 2π ωn l g
o 称为单摆的振幅， 称为单摆的初相位，它们由运动的初始条件确定。
2．质点系的动量矩定理
设质点系由 n 个质点组成，对每一个质点列式（ 11-6）有 d [M o (mi v i )]= M o ( Fie ) + M o ( Fii ) dt 其中， M o ( Fie ) 为外力矩， M o ( Fii ) 为内力矩，上式共列 n 个方程，将这些方程进行左 右连加，并考虑内力矩之和为零，得 n n d [ M o (mi v i )]= M o ( Fie ) i 1 dt i 1 n d n [ M o (mi v i )]= M o ( Fie ) dt i 1 i 1 n d 即 Lo = M o ( Fie ) dt i 1 上的外力对同一点矩的矢量和（或称外力的主矩） 。 将式（11-8）向直角坐标系投影得 n d e dt L x = M x ( Fi ) i 1 n d e L y = M y ( Fi ) dt i 1 n d L = M (Fe ) z z i i 1 dt 特殊情形： （1） 当作用在质点系上外力对某点的矩等于零时，即 M o ( Fi e ) 0 ， 由式(11-8)知，