立体几何 三垂线定理及其逆定理

（2）求证：PQ⊥AD．
5.在正方体
ABCD
−
A1 B1C1 D1
中，设
E
是棱
AA1
上的点，且
A1E
:
EA
=1:
2
，F
是棱Байду номын сангаас
AB
上的点，
∠C1EF
=
π 2
。求
AF：FB。
6.点 P 是 ΔABC 所在平面外一点，且 PA⊥平面 ABC。若 O 和 Q 分别是ΔABC 和ΔPBC 的垂心，试证：OQ⊥平面 PBC。
立体几何：三垂线定理及其逆定理
知识点：
1.三垂线定理；；
2.三垂线定理的逆定理；
3.综合应用；
1．三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，
那么这条直线就和这条斜线垂直；
已 知 ： PA, PO 分 别 是 平 面 α 的 垂 线 和 斜 线 ， AO 是 PO 在 平 面 α 的 射
例 4.在正方体 AC1 中，求证： A1C ⊥ B1D1, A1C ⊥ BC1 ；
C P
B
D1
A1 D
A
D
O C
C1
B1 C
A B
P
a
2．写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；
A
O
α
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命题： 已知： 求证： 证明：
α 7.已知 ∠EAF 在平面 内， AT ⊂ α , P ∉α ,∠PAE = ∠PAF ，∠EAT = ∠FAT , PD ⊥ α , D ∈α 。求证： D ∈ AT ；
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说明：
例 2．在空间四边形 ABCD 中，设 AB ⊥ CD, AC ⊥ BD 。 求证：（1） AD ⊥ BC ； （2）点 A 在底面 BCD 上的射影是 ΔBCD 的垂心；
A
B
D
C
例 3.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上 已知： 求证：
影, a ⊂ α , a ⊥ AO 。
求证： a ⊥ PO ；
证明：
P
纪福双
a
说明：
（1）线射垂直（平面问题） ⇒ 线斜垂直（空间问题）；
（2）证明线线垂直的方法：定义法；线线垂直判定定理；三垂 （3）三垂线定理描述的是 PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间
A
O
α
（4）直线 a 与 PO 可以相交，也可以异面。
P
说明：可以作为定理来用。
αA
B E
OC F
P
专项专练作业：
1.正方体 ABCD − A1B1C1D1 , E, F 分别是 A1A, AB 上的点, EC1 ⊥ EF .求证: EF ⊥ EB1 。
2.已知： PA ⊥ 平面 PBC ， PB = PC, M 是 BC 的中点。求证： BC ⊥ AM ；
心。
（4）在四面体 ABCD 中，顶点 A 到 BC、CD、DB 的距离相等，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的 心。
4.正方体 ABCD − A1B1C1D1 中棱长 a ，点 P 在 AC 上，Q 在 BC1 上，AP＝BQ＝a，
（1）求直线 PQ 与平面 ABCD 所成角的正切值；
A
3.填空并证明：
（1）在四面体 ABCD 中，对棱互相垂直，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的
心。
（2）在四面体 ABCD 中，AB、ＡＣ、ＡＤ互相垂直，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的
C M B
心
（3）在四面体 ABCD 中，AB=AC=AD，则 A 在底面 BCD 上的射影是底面 BCD 的
（5）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。
例 1.已知 P 是平面 ABC 外一点， PA ⊥ ABC, AC ⊥ BC 。
求证： PC ⊥ BC 。
P
线定理； 的垂直关系。
A B
例 2.已知 PA ⊥ 正方形 ABCD 所在平面， O 为对角线 BD 的中点。 求证： PO ⊥ BD, PC ⊥ BD 。