三招破解三角形解的个数问题(打印)ppt课件
ppt最后一页感谢语_整理由三角形两边及一边对角时判定三角形解的个数
由三角形两边及一边对角时判定三角形解的个数a=x C电子信息工程系关于毕业设计撰写的规定毕业设计撰写工作是高职学生培养工作的重要内容之一，是培养高职学生治学态度、保证毕业设计质量的重要环节。
电子信息工程系学生均需按本规定撰写毕业设计。
撰写毕业设计前需要写出开题报告，开题报告具体内容见附件1。
一个完整的毕业设计应由：题目（标题）、目录、摘要、引言（前言）、正文、结论、致谢、参考文献和附录等几部分构成。
字数要求5000字以上。
一、毕业设计撰写的内容与要求。
1、标题：课题名称，要求简洁、确切，要有概括性。
标题的字数一般不宜超过20字。
2、目录：由论文的章、节、条、项、附录等的序号、名称和页码组成。
3、摘要：扼要叙述设计的主要内容、方法和观点，以及设计成果及特点，文字要简练。
中文摘要约300字左右；对于申请优秀论文的学生原则上还需要将中文摘要翻译成外文。
4、前言：说明课题的目的、意义及应达到的技术性能与要求；简述本课题的发展现状及存在的问题；概述研究的理论、方法及成果。
摘要和前言的主要区别在于：摘要一般要写得高度概括、简略，前言则可稍微具体些；摘要的内容可笼统表达，而前言中所有内容须明确表达；摘要不写选题缘由，前言则应明确缘由；在文字量上一般情况是前言多于摘要。
5、正文：正文是作者对自己所研究课题的详细表述。
正文内容可根据专业、课题的不同做具体要求。
毕业设计中的图、表、附注、参考文献、公式、算式等，一律用阿拉伯数字依序连续编排序号，可就全篇顺序编号，也可分章依序编。
其标注形式应便于区别，如图1、图2.1；表2、表3.2；附注1）；文献[4]；式（5）、式（3.5）等。
其中图、表等应有简短确切的题名，连同图号（表号）置于图下（表上）。
6、结论：对整个毕业设计（论文）的归纳和总结。
应准确、完整、明确、精炼。
可在结论中提出建议、研究设想、改进意见、尚待解决的问题等。
7、致谢：在论文的结尾处，以简短文字，对课题研究与写作过程中曾给予直接或间接帮助的人员，如指导教师及其他人员，表示自己的谢意。
(完整版)三角形解的个数问题专题
解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=(2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 105660b ,c ,C ==∠=(4) 23630a ,b ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有A B C D交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。
解三角解的个数
解三角解的个数1. 任务背景三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条线段组成。
在解三角形问题中，我们通常给定三角形的一些已知条件，例如边长或角度，然后需要确定三角形的其他未知条件。
解三角形的个数取决于已知条件的数量和类型。
2. 解三角形的基本原理解三角形的基本原理是利用三角形的性质和几何关系来求解未知条件。
根据已知条件的不同，解三角形可以分为以下几种情况：2.1 已知三边长度如果已知三角形的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的角度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为三角形的三边长度，C为对应的角度。
通过余弦定理可以求解三角形的角度。
正弦定理表达式为：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C分别为三角形的三个角度。
通过正弦定理可以求解三角形的角度。
根据已知的三边长度，我们可以利用余弦定理和正弦定理求解出三个角度，从而确定三角形的形状。
2.2 已知两边长度和夹角如果已知三角形的两边长度和它们的夹角，我们可以利用余弦定理和正弦定理来求解三角形的第三边长度和其他角度。
根据余弦定理，可以求解第三边的长度：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C)其中，a、b、c分别为已知的两边长度，C为已知的夹角。
根据正弦定理，可以求解其他角度的正弦值：sin(A) = a * sin(C) / csin(B) = b * sin(C) / c其中，A、B为未知的角度。
2.3 已知两个角度和一边长度如果已知三角形的两个角度和一边长度，我们可以利用正弦定理和余弦定理来求解三角形的其他边长度和角度。
根据正弦定理，可以求解其他边的长度：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，A、B、C为已知的两个角度和一边长度。
根据余弦定理，可以求解其他角度的余弦值：cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)3. 解三角形的个数根据已知条件的数量和类型，解三角形的个数可以分为以下几种情况：3.1 一解如果已知的条件足够确定三角形的形状和大小，那么解三角形的个数为一解。
解三角形PPT演示课件
04 三角形在实际问 题中的应用
测量问题中的三角形解法
角度测量
通过测量三角形的两个角，利用 三角形内角和为180度的性质，可
以求出第三个角的大小。
距离测量
在无法直接测量两点间距离的情况 下，可以通过构造三角形，利用已 知边长和角度，通过三角函数求解 未知距离。
高程测量
在测量地形高度时，可以通过构造 三角形并测量相关角度和距离，利 用三角函数求解未知高程。
物理学中的三角形解法
01 02
力的合成与分解
在物理学中，力是矢量，可以通过构造三角形来表示力的合成与分解。 例如，已知两个分力的大小和方向，可以构造三角形求解合力的大小和 方向。
运动学问题
在解决匀变速直线运动等问题时，可以通过构造速度、加速度和时间等 物理量的三角形关系，利用三角函数求解未知量。
03
解等腰三角形的方法
通过已知的两边和夹角，利用余弦定 理或正弦定理求解第三边和其余两个 角。
等边三角形的解法
等边三角形的定义和性质
01
三边长度都相等的三角形，三个内角均为60度。
解等边三角形的方法
02
通过已知的一边长度，利用三角函数或特殊角度的三角函数值
求解其余两边和三个角。
典型例题解析
03
展示一道等边三角形的求解问题，并详细解析解题步骤和思路
几何图形中的三角形解法
01
02
03
三角形面积计算
通过已知三角形的底和高 ，或者通过海伦公式等方 法，可以计算三角形的面 积。
三角形边长求解
在已知三角形部分边长和 角度的情况下，可以利用 正弦定理、余弦定理等方 法求解未知边长。
三角形形状判断
通过已知三角形的边长或 角度，可以判断三角形的 形状，如等边、等腰、直 角等。
解三角形—解的数量
1）作钝角A
2）以为起点作线段AC=b
b
3）以C为圆心，a作半径作圆
交l于B
AB
l
当a≤b时，以C为圆心，a为半径作圆
圆C与直线l无交点，此时无解
例.判断下列三角形有几组解（A、B、C所 对边为a、b、c）。 （1）b 39, c 54, C 120。
解：1）作线段AC=39
2）作角C= 120。
C
b
a=bsinA
A
B
l
当a<bsinA时，以C为圆心，a为半径作圆
圆C与直线l无交点，此时无解
已知角A，a，b
1）作锐角A 2）以A为起点作线段AC=b
3）以C为圆心，a为半径作圆， 交l于点B
C
a
b
当bsinA<a<b时
l
A B1
B2
B
以C为圆心，a为半径作圆，交l于
点B1,B2
1.已知角A，a，b且a>b C
3）以54为半径，点A为圆心作圆 4）圆A与射线CB交点的数 量就是解的组数
（2）b 11, a 20, B 30。 （3）b 26, c 15, C 30。 （4）a 2, b 6, A 30。
三角形解的情况 已知两边及其中一边的对角解三角形，可能有两解、 一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下 表：
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
①a＝bsin A ②a≥b
解的个数
一解
bsin A<a<b a<bsin A
两解
无解
a>b 一解
a≤b 无解
已知角A，a，b
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
三角形解的个数问题
05
三角形解的个数问题的扩 展和深化
三角形解的个数问题的推广
要点一
推广到多边形
要点二
推广到组合优化
将三角形解的个数问题推广到多边形，研究多边形的可解 性、解的个数和最优解等问题。
将三角形解的个数问题看作是组合优化问题的一种，研究 其他组合优化问题的解法，如旅行商问题、排班问题等。
三角形解的个数问题的变种
详细描述
在几何问题中，三角形解的个数问题通常涉及到三角形边长和角度的条件约束。根据三角形的性质， 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。同时，角度的条件也会影响三角形解的个数。 通过分析这些条件，可以判断三角形解的个数。
三角函数中的三角形解的个数问题
总结词
三角函数中的三角形解的个数问题主要 涉及到三角函数的性质和图象，通过分 析三角函数的性质和图象，判断三角形 解的个数。
考虑三角形边的长度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的边长限制，研究不同边长条 件下三角形的可解性。
考虑三角形角度
在三角形解的个数问题中，可以考虑 三角形的角度限制，研究不同角度条 件下三角形的可解性。
三角形解的个数问题与其他数学知识的结合
与几何学结合
将三角形解的个数问题与几何学知识相结合，研究几 何图形中的可解性问题，如多边形、曲面等。
与图论结合
将三角形解的个数问题与图论知识相结合，研究图论 中的可解性问题，如子图、路径、连通性等。
感谢您的观看
THANKS
三角形解的个数问题
目 录
• 三角形解的个数问题的定义和分类 • 三角形解的个数问题的基本定理和公式 • 三角形解的个数问题的应用实例 • 三角形解的个数问题的解题技巧和方法 • 三角形解的个数问题的扩展和深化
三角形解的个数问题专题演示教学
解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=o(2) 102080a ,b ,A ==∠=o(3) 105660b ,c ,C ==∠=o(4) 23630a ,b ,A ==∠=o答案:(1) 90A ∠>o 而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<o ，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<o ，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使ACA B C D边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。
1.1.1(2)三角形解的个数
1.1.1(2)三角形解的个数一、利用正弦定理解决两类解三角形问题：（1）已知两角一边，求其他元素（已知,,A B a 解三角形）①由内角和求出第三个角；②由正弦定理求出另两边。
例1：0045,30,10A C c ∠=∠==，解三角形。
0105,B a b ∠=== （2）已知两边及其中一边对角，求其他元素（已知,,a b A 解三角形）①由sin sin b A B a=求出B ；②由内角和求出C ；③由正弦定理求出c 例2：试根据下列条件中的,,a b A ，求出B（1）06,9,45a b A ===； sin 14B =>无解（2）04,60a b A ===；sin 2B =，045B ∠=（3）02,30a b A ===。
sin B =，0013545B ∠=或 二、三角形个数的讨论，已知,,a b A ，求B ，sin sin b A B a=（1）从角A 入手： ①090A ≥时，㈠a b ≤，无解；㈡a b >，有唯一解。
②090A <时，㈠sin a b A <，无解； ㈡sin a b A =，一解； ㈢sin b A a b <<，两解； ㈣a b ≥，一解。
（2）从,a b 边的大小关系入手：①a b ≥时，可得A B ≥，B 为锐角，有唯一解；②a b <时，A 为锐角，在用（1）中方法判断。
三、练习：例1：分别判断满足下列条件的三角形的个数：（1）011,20,30b a B ==∠=； 2 （2）054,39,120c b C ==∠=； 1（3）026,60b c C ==∠=； 1（4）02,6,30a b A ==∠=。
0例2：在ABC 中，0,2,45a x b A ===，若此三角形有一解，求x 范围。
2x x =≥。
三角形解的个数问题专题
第 1 页 共 3 页 解三角形专题2 三角形解的个数问题A 为锐角为锐角 A 为钝角或直角为钝角或直角图形图形关系关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数个数无解无解 一解一解 两解两解 一解一解 无解无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1)78105a ,b ,A ==Ð= (2)102080a ,b ,A ==Ð= (3)105660b ,c ,C ==Ð= (4)23630a ,b ,A ==Ð= 答案答案:(1) :(1) 90A Ð>而a b <，故无解，故无解(2) 90A ,a b sin A b Ð<<<，故有无解，故有无解(3) c b >，故有一组解，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b Ð<<<，故有两组解，故有两组解2在△ABC 中，A =45=45°，°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60=60°”的°”的°”的A ．充分不必要条件．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件．充要条件D ．既为充分也不必要条件．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC D 中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC D 中，已知3a =，2b =，45B =°，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin 3sin 453sin 22a B Ab °===，∵4590B =°<°，b a <，∴60A =°或120°． 当60A =°时，75C =°，sin 2sin 7562sin sin 452b Cc B °+===°； 当120A =°时，15C =°，sin 2sin1562sin sin 452b Cc B °-===°． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >Û>Û>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC D 中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ^，10AD =，14AB=，60BDA Ð=°，135BCD Ð=°，求BC 的长．的长． 解：在ABD D 中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-×°， 整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin3082sin sin135BD CDB BC BCD а===а．点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC D 中，A 为已知角（90¹°），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，边长为已知长度，最后以顶点最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，边长为半径画圆，看该圆与看该圆与A 的另一边是否有A BC D交点，如果交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC D 中，60A Ð=°，6a =，3b =，则ABC D 解的情况（解的情况（ ） （A ）无解）无解 （B ）有一解）有一解 （C ）有两解）有两解 （D ）不能确定）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD Ð=°， 以顶点C 为圆心，以6CB a ==为半径画圆，看该圆与AD 没有交点，没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A b Ca D。
解三角形PPT课件
解 法 三: a2 b2 c2 2bccos A
(1) 2
2
2 2
32 c2 22
3 c cos45
c2 2 6c 4 0.解 得c 6 2 ABC有 两 解
(2) 112 222 c2 2 22 c cos30
c2 22 3c 363 0. 解 得c 11 3 ABC有 一 解
A. 0 a 4 3
B. a 6
C. a 4 3或a 6 D. 0 a 4 3或a 6
点评：可通过正弦定理或几何作图很容易 看出三角形有一个解的情况有两种。这些 有些同学容易出现误区，直接令关于C的一 元二次方程有一解，很容易少考虑a>b的情 况，以后做题时要注意。
第15页/共40页
2 sin15 sin45
6 2
2
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方 法 二用 余 弦 定 理
b2 a2 c2 2accosB 2 3 c2 2 3 cos45 即c2 6c 1 0 解 之 ， 得c 6 2
2
点评：此类问题求解需要主要解的个数的讨论，比 较上述两种解法，解法二比较简便。
2
2
cos A B sinC ;
2
2
tan A B cotC
2
2
(5)在ABC中，tanA tanB tanC tanA tanB tanC
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(6)ABC 中，A、B、C成等差数列的充要条件
是B=60
(7) ABC为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数 列，a、b、c成等比数列.
(3) 182 202 c2 2 20 c cos150 c2 20 3c 76 0. 解 得c 10 3 4 11 10 3 4 11 0 ABC无 解
(完整版)三角形解的个数问题专题
解三角形专题2三角形解的个数问题A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系 A<bsinAA=bsinA bsinA<a<b a ≥b a ≤b解的个数无解 一解 两解 一解 无解1 已知下列三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，并指出有几解？(1) 78105a ,b ,A ==∠=(2) 102080a ,b ,A ==∠=(3) 105660b ,c ,C ==∠=(4) 23630a ,b ,A ==∠=答案:(1) 90A ∠>而a b <，故无解(2) 90A ,a b sin A b ∠<<<，故有无解(3) c b >，故有一组解(4) 90A ,b sin A a b ∠<<<，故有两组解2在△ABC 中，A =45°，AB =3，则“BC=2”是“△ABC 只有一解且C =60°”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既为充分也不必要条件另解法法1：大角对大边在已知ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，且已知a ，b 的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B 与角A 的大小关系，然后求出B 的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC ∆中，已知a =b =45B =︒，求A 、C 及c ．解：由正弦定理，得sin sin 2a B A b ===，∵4590B =︒<︒，b a <，∴60A =︒或120︒． 当60A =︒时，75C =︒，sin 75sin sin 452b C c B ︒===︒； 当120A =︒时，15C =︒，sin sin b C c B ===． 点评：在三角形中，sin sin a b A B A B >⇔>⇔>这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．法2：二次方程的正根个数一般地，在ABC ∆中的边长a ，b 和角A ，常常可对角A 应用余弦定理，并将其整理为关于c 的一元二次方程2222cos 0c bc A b a -+-=，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解． 【例2】如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =， 60BDA ∠=︒，135BCD ∠=︒，求BC 的长．解：在ABD ∆中，设BD x =，由余弦定理得2221410210cos60x x =+-⋅︒，整理得210960x x --=，解得16x =．由正弦定理，得sin 16sin30sin sin135BD CDB BC BCD ∠︒===∠︒点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．法3：画圆法已知ABC ∆中，A 为已知角（90≠︒），先画出A ，确定顶点A ，再在A 的一边上确定顶点C ，使AC边长为已知长度，最后以顶点C 为圆心，以CB 边长为半径画圆，看该圆与A 的另一边是否有A B C D交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．【例3】在ABC ∆中，60A ∠=︒，a =3b =，则ABC ∆解的情况（ ） （A ）无解 （B ）有一解 （C ）有两解 （D）不能确定 解：在A 的一边上确定顶点C ，使3AC b ==，作60CAD ∠=︒，以顶点C 为圆心，以CB a ==AD 没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A ．A bC a D。
巧破三角阵
１ ９ ＋
▲ ４ ２＝ ２ ８ ＋
。
★ ★ 代 表 的 数 是 ▲ ＝ ３ ５＋ ２８ ４ － ２ ，
２
１ ；
＝ １ ９＋
４
２
－
２８
▲ 代 表 的 数 是 ３ ３ 。
，
（ 作 者 单 位 ： 江 苏 省 海 门 市 德 胜 小 学 ）
小 灵 通 等 一 共 ９ 个 小 朋 友 手 拉 手
个 数 的 和 都 相 等 所 以 女 ★ ★ 三
，
１ ９ ＋４ ２ ＋
＝ ８２ ，
４ ８２ ９ ＝
－ １
－
２，
代表的数是 ２１ 。
三角形 右面这条边 上 ，
★ 代表的数是 ２１
２ ８＋
，
▲ ＋
２ １ ＝ ８２ ，
所 以 ▲ ＝ ８２ － ２ ８－ ２ １ ，
▲ 代 表 的 数 花
我 是 这样解 的
因 为 每 条 边 上 三 个 圆 圈 里 的 各 数 之 和 相 等 并 且 ，
每 两 条 边 交 叉 处 圆 圈 里 的 数 是 公 共 的 所 以 这 两 条 边 ，
外 数 相 上 另
两个圆 圈 里的各 之和也
等 ，
即 女 ３ ５ ＋２ ８＝ ４ ２ ＋ ，
围 成 圓 圈 做 游 戏 ， 每 两 个 小 朋 友 之 间
相 距 １ 米 小 灵 通 他 们 围 成 的 圆 圈 一 ，
共 长 多 少 米 ？
答 （ 参 考
案 第 见
页 ３ ５
）
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例2.在ABC中，已知a 80，b 100， A 450，试判断此三角形解的情况.
解：Q
sinB=
b
sin
a
A
=100sin 450 80
1.
又a<b,B有两解, 三角形有两解。
5
例 3．已知△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，且 B＝30°，
则△ABC 的面积等于( D )
3 A. 2
7
【例 1】如图，在四边形 ABCD中，已知 AD CD ， AD 10 ， AB 14 ， BDA 60 ， BCD 135，求 BC 的长．
D
C
解：在 ABD 中，设 BD x ，由余弦定理得
142 x2 102 210xcos60 ，
A
B
整理得 x2 10x 96 0，解得 x 16 ．
3 B. 4
C. 23或 3
D.
43或
3 2
【解析】设 c＝AB＝ 3，b＝AC＝1，由于 B＝30°，
∴c·sin B＝ 3×12＝ 23，c·sin B<b<c， ∴符合条件的三角形有两个．
∵sinb B＝sinc C，即11＝sin3C，∴sin C＝ 23， 2
∴C＝60°或 120°，∴A＝90°或 30°，
其它情况时则只有一解或无解。
三招破解三角形解的个数问题
1
学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道 3 边，2 角 1 边， 2 边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的 条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修 5》在第 8 页到第 9 页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即：
如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为 0；若有一个交点， 则说明该三角形的解的个数为 1；若有两个交点，则说明该三角形 的解的个数为 2．
10
探究：在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解的情况.
分析：由sinB= bsin A ,可求出角B， a
则C=1800 ( A B), 从而c= asin C . sin A
又 S△ABC＝12bcsin A，∴S△ABC＝ 23或 43，故选 D.
6
第二招：二次方程的正根个数
一般地，在 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，常常可对角 A 应用余弦定理， 并将其整理为关于 c 的一元二次方程 c2 2bccos A b2 a2 0 ，若该方程
无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有 一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．
但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解， 操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．
2
第一招：大角对大边
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系，
常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，
C
b
a<bsinA
（3）若a<bsinA,则无解. A
B 12
• 若A为锐角时:
a b sin A
无解
a b sin A 一解直角 b sin A a b二解一锐、一钝
a b
一解锐角
若A为直角或钝角时:
a b 无解
a b一解锐角
评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三
角形时，只有当A为锐角且 bsinA a b时，有两解；
一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角 B 与角 A 的大 小关系，然后求出 B 的值，根据三角函数的有界性求解．
3
【例 1】在 ABC 中，已知 a 3 ，b 2 ， B 45，求 A 、C 及c ．
解：由正弦定理，得sin A asin B 3sin 45 3 ，
b
2
2
∵ B 45 90 ， b a ，∴ A 60或120 ．
1.当A为钝角或直角时:
必须a>b,才能有且只有一解，否则无解。
C
C
a
b
b
a
A
B
A
B 11
2.当A为锐角时: 如果a b,那么只有一解。
C b A
a B
如果a<b,那么可以分下面三种情况讨论：
C
（1）若a>bsinA,则有两解;
b
a a
（2）若a=bsinA,则只有一解.A
C
B2
B1
b A
a=bsinA B
在已知 ABC 中的边长 a ， b 和角 A ，且已知 a ， b 的大小关系， 常利用正弦定理求出 sin B 的值，
①若该值大于 1，与 sin B 1矛盾，则无解； ②若该值小于或等于 1，则要考虑 a ， b 的大小关系及 A 为锐角还是钝角：
若 A 是钝角，且该值小于 1，则有 1 解，若该值等于 1，则无解； 若 A 是锐角，且 b a ，则有 1 解； 若 b a ，且该值小于 1，则有 2 解； b a ，且该值等于 1，则有 1 解．
由正弦定理，得 BC BDsin CDB 16sin 30 8 2 ． sin BCD sin135
点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解， 从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．
8
2．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 a＝λ，
当 A 60时， C 75 ， c bsin C 2 sin 75 6 2 ；
sin B sin 45
2
当 A 120时， C 15 ， c bsin C 2 sin15 6 2 ．
sin B sin 45
2
点评：在三角形中， a b A B sin A sin B 这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．
b＝ 3λ(λ>0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是( )
A．0
B．1
C．2
D．无数个
解析：直接根据正弦定理可得sina A＝sinb B，可得
sin B＝bsian A＝
3λsin λ
45°＝
26>1,没有意义,
故满足条件的三角形的个数为 0，选 A．
9
第三招：画圆法
已知 ABC 中， A 为已知角（ 90 ），先画出 A ，确定顶点 A ， 再在 A 的一边上确定顶点 C ，使 AC 边长为已知长度，最后以顶点 C 为圆心，以 CB 边长为半径画圆，看该圆与 A 的另一边是否有交点，