2018年北京市高考数学(理)试题含答案解析

2018年普通高等学校招生全国统一考试;;（北京卷）数学（理工类）;第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2I=<，{}A x x2,0,1,2=-，则A B=B x（A）{}-1012-201，，，，，（D）{}，，（C）{}01，（B）{}-101的共轭复数对应的点位于2.在复平面内，复数i1i-（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）．A．12B．56C．76D．7124．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，．若第一每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（）．ABC．D．5．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）．A．1B．2C．3D．46.设a b ,均为单位向量，则“33a b a b -=+”是“a b ⊥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件7. 在平面直角坐标系中，记d 为点()P cos ,sin θθ到直线20x my --=的距离.当,m θ变化时，d 的最大值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）48. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉二.填空（9）设{}n a 是等差数列，且13a =，2536a a +=，则{}n a 的通项公式为。

（10）在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ= 相切，则a =。

（11）设函数()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭()0ω>。

若()4f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为。

（12）若,x y 满足12x y x +≤≤ ，则2y x -的最小值是。

（13）能说明“若()()0f x f >对任意的(]0,2x ∈都成立，则()f x 在[]0,2上是增函数”为假命题的一个函数是。

（14）已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=。

若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为；双曲线N 的离心率为。

三．解答题（15）（本小题13分） 在ABC 中，a 7=，8b =，1cos 7B =-。

（Ⅰ）求A ∠；（Ⅱ）求AC 边上的高。

（16）（本小题14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ,D ,E ,F ,G 分别为1AA ,AC ,11AC ,1BB 的中点，AB BC =12AC AA ==. （I ）求证：AC ⊥平面BEF ;（II ）求二面角1B CD C --的余弦值；（III ）证明：直线FG 与平面BCD 相交.（16）（本小题12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“1kξ=”表示第k类电影得到人们喜欢，“0k ξ=” 表示第k 类电影没有得到人们喜欢（1,2,3,4,5,6k =）.写出方差561234,,,,,D D D D D D ξξξξξξ的大小关系（18）（本小题13分）设函数()()24143e xf x ax a x a ⎡⎤=-+++⎣⎦，（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程与x 轴平行，求a ； （2）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． （19）（本小题14分）已知抛物线2:2C y px =经过点()1,2P ．过点()0,1Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．20.（本小题14分）设n 为正整数，集合(){}{}12|,,...,,0,1,1,2,...,n k A t t t t k n αα==∈=.对于集合A 中的任意元素()12,,...,n x x x α=和()12,,...,n y y y β=，记()()()()111122221,...2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ⎡⎤=+--++--+++--⎣⎦ ()I 当3n =时，若()()1,1,0,0,1,1αβ==，求(),M αα和(),M αβ的值； ()II 当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(),M αβ是奇数；当,αβ不同时，(),M αβ是偶数.求集合B 中元素个数的最大值；()III 给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(),0M αβ=.写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由. 答案： 一. 选择题 1. 【答案】A 2.【答案】D11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222z ++====+--+， 则1i 22z =-，故11i-的共轭复数在第四象限， 故选D3. 【答案】B【解析】根据程序框图可知，开始1k =，1s =，执行()11111112s =+-⋅=+，2k =，此时3k ≥不成立，循环， ()211512126s =+-⋅=+，3k =，此时3k ≥成立，结束， 输出56s =．故选B ．4. 【答案】D【解析】根据题意可得，此十三个单音形成一个以f 为公比的等比数列，故第八个单音的频率为81f -⋅=．故选D ．5. 【答案】C【解析】由三视图可知，此四棱锥的直观图如图所示， 在正方体中，PAD △,PCD △,PAB △均为直角三角形，3PB =,BC =,PC =PBC △不是直角三角形．故选C ．6. 【答案】 C【解析】充分性：|3||3|a b a b -=+，2222||69||9||6||a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，又||||1a b ==，可得0a b ⋅=，故a b ⊥. 必要性：a b ⊥，故0a b ⋅=， 所以2222||69||9||6||a a b b a a b b -⋅+=+⋅+，所以|3||3|a b a b -=+．7.【答案】C【解析】：()P cos ,sin θθ，所以P 点的轨迹是圆。

直线20x my --=恒过()0,2点。

转化为圆心到直线的距离加上半径取到最大值，所以答案为3.8. 【答案】：D【解析】：若()2,1A ∈，则2103214222a a a -≥⎧⎪+>⇔>⎨⎪-≤⎩。

则当32a >时，()2,1A ∈； 当32a ≤时，()2,1A ∉ 选D二.填空题9．答案：()63n a n n N +=-∈解析：由题知，设等差数列公差为d ，所以：1215134a a a d a a d=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩，即1113+4=36a a d a d =⎧⎨++⎩，解得13=6a d =⎧⎨⎩，所以()()1=163n a a n d n n N ++-=-∈。

10．答案：1解析：cos sin a ρθρθ+=直线方程转化为x y a += 即0x y a +-=2cos ρθ=22cos ρρθ=圆的方程转化为222x y x += 即22(1)1x y -+= 、 直线与圆相切∴1=解得1a =±0a>1a ∴=11. 答案：23解析：由题知：()max14f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，即c o s 146ππω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()246k k Z ππωπ-=∈，解得:()2=83k k Z ω+∈，0ω>，所以0k =时，min 23ω=。

12．答案：3解析：将不等式转换成线性规划，即121x y y x x +≤⎧⎪≤⎨⎪≥⎩目标函数2z y x =- 如右图z 在A (1,2) 处取最小值∴min 3z =13. 答案：()23f x x x =-+，()答案不唯一解析：函数需要满足在[]0,2上的最小值为()0f ，并且在[]0,2上不单调。

选取开口向下，对称轴在()0,2上的二次函数均可，其余正确答案也正确。

14. 【答案】1，2【解析】：设正六边形边长为t；根据椭圆的定义)21a t=，22c t =，1ce a==椭圆双曲线的渐近线方程为y =，b a ==2ce a=双曲线。

三.解答题15. 【解析】（Ⅰ ）ABC 中，1cos 7B =-，所以B ∠为钝角，sin B =由正弦定理：sin sin a bA B=，所以sinB sin a A b ⋅==，所以2,3A k k Z ππ=+∈；或者22,3A k k Z ππ=+∈；又ABC 中，B ∠为钝角，所以A ∠为锐角，所以3A π=。

（Ⅱ）ABC 中，1sin sin(=sin +=sin 32C A B B B π=+=）（），三角形ABC的面积1s i n 32ABCSab C ==，设AC边上的高为h，11822ABCSbh h ==⋅⋅=，所以h =，即AC 。

16. 【解析】（I ）证明：∵AB BC =，且E 是AC 的中点，∴AC BE ⊥,∵在三棱柱111ABC A B C -中，E ,F 分别是AC ,11AC 的中点， ∴1EF CC ∥ ∵1CC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC , ∵AC ⊂平面ABC ， ∴EF AC ⊥, ∵EF ,BE ⊂平面BEF ,EFBE E =∴AC ⊥平面BEF .（II ）由（I ）知，EF AC ⊥，AC BE ⊥，EF EB ⊥, ∴以E 为原点，EA ,EB ,EF 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有，()0,2,0B ,()1,0,0C -,()1,0,1D ,()11,0,2C -()1,2,0BC =--，()2,0,1CD =设平面BCD 的法向量(),,z n x y =，∴00BC n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即2020x y x z --=⎧⎨+=⎩， ∴()2,1,4n =--，.易知平面1CDC 法向量()0,1,0m =∴cos ,21m n m n m n⋅<>===⋅ 由图可知，二面角1B CD C --的平面角为钝角，∴二面角1B CD C --的余弦值.（III ）方法一：∵()0,0,2F ,()0,2,1G ,∴()0,2,1FG =- ∵平面BCD 的法向量()2,1,4n =--， 设直线FG 与平面BCD 的夹角为θ， ∴2sin cos ,05FG n FG n FG nθ-⋅=<>==≠⋅，∴0θ≠∴直线FG 与平面BCD 相交. 方法二：假设直线FG 与平面BCD 平行， ∵设CD 与EF 的交点为M ,连结BM ，∵FG ⊂平面1BB FE ,且平面1BB FE 平面BCD BM =, ∴FG BM ∥, ∵BG FM ∥,∴四边形BMFG 为平行四边形， ∴FMBG =,易知FM BG ≠，∴假设不成立，∴直线FG 与平面BCD 相交.17.【解析】（1）由表格可知电影的总部数140503002008005102000+++++= 获得好评的第四类电影 2000.2550⨯=设从收集的电影中选1部，是获得好评的第四类电影为事件A ,则501()200040P A ==（2）由表格可得获得好评的第五类电影8000.2160⨯= 第五类电影总数为800未获得好评的第五类电影800160640-= 第四类电影总数为200未获得好评的第四类定影20050150-=设从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评为事件B则1111506401501601120080017()100C C C C P B C C +== （3）514236D D D D D D ξξξξξξ>>=>>18.【解析】（1）函数定义域为x ∈R ，()()2()241e 4143e x xf x ax a ax a x a '⎡⎤=-++-+++⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()2e 212x ax a x ⎡⎤=-++⎣⎦()()e 12x ax x =--，若函数在()()1,1f 处切线与x 轴平行，则()()1e 10f a '=--=，即1a =．（2）由（1）可知()()()()2212e 21e x xf x ax a x x ax '⎡⎤=-++=--⎣⎦， ①当0a =时，令()0f x '=，2x =，不满足题意；当0a ≠时，令()0f x '=，2x =或1x a=，②当0a <时，即12<，不满足题意； ③当0a >时，1）当12a =，即12a =时，()0f x '≥，函数()f x 无极值点；2）当12<，即1a >时，满足题意；3）当12>，即10a <<时，不满足题意．综上所述，若()f x 在2x =处取得极小值，12a >．19. 【解析】（1）由已知可得42p =，所以抛物线C 的方程为24y x =．令11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 显然不能与x 轴垂直，令其方程为1y kx =+，带入24y x =整理得214y y k =⋅+，即2440ky y -+=． 所以由已知可得016160k k ≠⎧⎨∆=->⎩，解得1k <且0k ≠．所以直线l 的斜率k 的取值范围为()(),00,1-∞． （2）由（1）知124y y k+=，124y y k=．而点11(,)A x y ，22(,)B x y 均在抛物线上，所以2114y x =，2224y x =．因为直线PA 与直线PB 与y 轴相交，则直线PA 与直线PB 的斜率均存在，即12y ≠-，22y ≠-． 因为111221111224(2)414214PA y y y k y x y y ---====--+-，所以直线PA 的方程为142(1)2y x y -=-+，令0x =，可得11124222M y y y y =-=++，即112(0,)2y M y +． 同理可得212(0,)2y N y +． 而由QM QO λ=可得，11212y y λ-=-+，所以11212y y λ+=-． 同理由QN QO μ=可得，22212y y μ-=-+，所以22212y y μ+=-．所以121221121222(2)(2)(2)(2)1122(2)(2)y y y y y y y y y y λμ+++-++-+=+=---- 121212888882244442()424y y kk y y y y k k k---====+-++-⨯-．20. 【解析】解：（Ⅰ）(1,1,0)α=, (0,1,1)β=1(,)[(11|11|)(11|11|)(00|00|)]21[220]22M αα=+--++--++--=++=1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]21[020]12M αβ=+--++--++--=++=（Ⅱ）,{0,1}i i x y ∈Q0,0||2,==1i i i i i i i i i i x y x y x y x y x y ==≠⎧∴+--=⎨⎩或4n =，因为(,)M αα为奇数，则α有1项或3项为1，其余为0，所以理论上元素个数最多有13448C C +=个。