4.对数求导法 参数方程的求导法则

2 x
x x

dy x x (1 e )e sin y ( x e 2) e sin y e cos y dx (e x sin y )2
x
( 3 x )e x sin2 y ( x e x 2)2 cos y 2x 3 e sin y
y 1 1 2 1 y x 1 3( x 1) x 4
( x 1)3 x 1 1 1 2 y [ 1] 2 x x 1 3( x 1) x 4 ( x 4) e
例2.设 y x sin x ( x 0), 求y.
解: 等式两边取对数得 ln y sin x ln x
例9. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小 速度的水平分量为 故抛射体速度大小 垂直分量为
v1 (v2 gt ) .
再求速度方向 (即轨迹的切线方向): 设 为切线倾角, 则
2
2
y

dy d t dx dx dt
dy
o
x
抛射体轨迹的参数方程 速度的水平分量 速度的方向 在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为 v2 arctan v1 v2 高度 达到最高点的时刻 t , g 落地时刻 垂直分量
一般来说有如下说明： 若参数方程 关系, 可导, 且 可确定一个 y 与 x 之间的函数 则
d y d y d t d y 1 (t ) dx d t dx d t dx (t ) dt (t ) 0 时, 有 dx dx d t dx 1 (t ) d y d t d y d t d y (t ) (此时看成 x 是 y 的函数 ) d t
G ( x ) G ( x0 ) f ( x) a 当 x x0时, G ( x0 ) lim lim , x x0 x x 0 x x0 x x0 注意: G( x0 ) (a )
x x0 f ( x) ( 2)设 H ( x ) , 求H ( x ). x x0 g( x) 解: 当 x x0时, H ( x ) f ( x )
例4.设y ( x 2 1)sin x , 求y.
解: ln y sin x ln( x 2 1),
d d (ln y ) [sin x ln( x 2 1)], dx dx
1 2x 2 y cos x ln( x 1) sin x 2 , y x 1
高等数学A
第2章 一元函数微分学
2.1 导数及微分
2.1.11 对数求导法 2.1.12 参数方程所确定的函数的导数
中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组
2.1 导数及微分
对数求导法
2.1.11 对数求导法
对数求导法习例1-5 参数方程确定函 数的导数 参数方程确定函数 的导数习例6-9
导 数 及 微 分
dy t dy . d t dx ( t 1 )( 1 cos y ) dx dt
2 t x cos y 0 d y 例8.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
解:
因为 x 和 y 都是关于 t 的可微函数, 则
dx dy 1 sin y 0 dt dt dx e x te x dx 0 dt dt
y ( x 1)
2 sin x
2 x sin x cos x ln( x 1) 2 . x 1
2
例5.设y 5
x5
5
x2 2
, 求y .
1 1 2 解: ln y ln( x 5) ln( x 2), 5 5
(t ) (t ) (t ) (t ) y x x y 3 3 x (t )
四、参数方程所确定的函数的导数习例
x ln(1 t 2 ) d3y 例6.设 ,求 3 . dx y t arctan t x t2 2t (0 1) 例7. 设由方程 2 t y sin y 1
例2.设 y x sin x ( x 0), 求y.
例4.设y ( x 2 1)sin x , 求y.
例5.设y
5
x5
5
x 2
2
, 求y .
( x 1)3 x 1 例1.设 y , 求y. 2 x ( x 4) e
解: 等式两边取对数得
1 ln y ln( x 1) ln( x 1) 2 ln( x 4) x 3 上式两边对x求导得
Baidu Nhomakorabea
( x0 ) H ( x0 ), 则 H ( x0 ) 存在. 若 H ( x0 ) H ( x0 ), 则 H ( x0 ) 不存在. 若 H
( x0 ) f ( x ) x x 注意: H
0
( x0 ) g( x ) x x H
d d 1 1 2 (ln y ) ln( x 5) ln( x 2) , dx dx 5 5
1 1 1 1 2x y , 2 y 5 x 5 5 x 2
1 y 5 25
5
x5 5 2x 2 . x2 2 x 5 x 2
三、由参数方程确定的函数的求导法则
dy ( x ) a. y f ( x ) f x ( t ) dx 1. y (t ) b. F ( x , y ) 0 dy f ( x ) dx
2.问题: 消参困难或无法消参时如何求导?
x (t ) 定理: 设 确定了 y为 x的函数, y (t )
y
o
v2 t g 2v2 t g

x
抛射最远距离
五、 分段函数的求导法
分段函数求导的不同之处是分段点处的导数必须用定义求.
f ( x ) x x0 (1)设 G ( x ) , 求G ( x ). x x0 a 解: 当 x x0时, G( x ) f ( x ),
2.1.12 参数方程确定函数的导数
分段函数的求导法 内容小结 课堂思考与练习
一、对数求导法
方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的
求导方法求出导数.
适用范围: 多个函数相乘和幂指函 数 u( x )
v( x )
v( x)
的情形.
dy 设 y u( x ) , 求 . dx 解: 首先, 两边取对数 ln y v( x ) ln u( x ),
确定函数 y y( x ) , 求
t x cos y 0 d2y 例8.设 ,求 2 . x dx x te 1 0
例9. 抛射体运动轨迹的参数方程为 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向.
x ln(1 t 2 ) d3y 例6.设 ,求 3 . dx y t arctan t 1 dy 1 2 t dy dt 1 t 解: , 2t 2 dx dx dt 1 t2 d t 1 2 d 2 y dt 2 1 t 2 , 2 dx 2 t dx 4t dt 1 t2 d 1 t 2 2t 4t (1 t 2 )4 4 4 t 2 d 3 y dt t 1 16t . 3 3 dx 2t dx 8t dt 1 t2
x dx ex e x dt 1 te 2 x
x dy te x e x 1 xe 2 x dt sin y (1 te ) ( 2 x ) sin y
dy dy dt x ex 2 x dx dx e sin y dt
d y x e 2 从而 2 x e sin y dx
x ( t ) 和 y ( t ) 可导, 且 ( t ) 0,
dy ( t ) 则 . dx ( t )
证明: 方法 1. 利用导数的定义.
x ( t ) 可导, x ( t ) 连续. 从而当x 0时 t 0. y y ( t t ) ( t ) lim lim lim x 0 x t 0 x t 0 ( t t ) ( t ) ( t t ) ( t ) ( t ) dy ( t ) t , . lim t 0 ( t t ) ( t ) dx ( t ) ( t ) t 方法 2. 利用复合函数的求导法则,有 dy dy dy dt ( t ) dt . dx dt dx dx ( t ) dt
(t ) 0 时, 有
若上述参数方程中 则由它确定的函数
二阶可导, 且 可求二阶导数 .
x (t ) 利用新的参数方程 d y (t ) ,可得 dx (t ) d d y dx d 2 y d (d y ) ( ) 2 dx dx d t dx d t dx (t ) (t ) (t ) (t ) (t ) 2 (t )
1 u( x ) 两边求导 y v( x ) ln u( x ) v( x ) , y u( x )
y u( x )
v( x )
u( x ) v( x ) ln u( x ) v ( x ) u( x ) .
二、对数求导法习例
( x 1)3 x 1 例1.设 y , 求 y . 2 x ( x 4) e
当 x x0时, H ( x ) g( x ) 当 x x0时,
H ( x ) H ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0 H ( x ) H ( x0 ) g ( x ) f ( x0 ) ( x0 ) lim H lim , x x0 x x0 x x0 x x0
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x
1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
解: 两边取对数 a ln y x ln a [ ln b ln x ] b[ ln x ln a ] b 两边对 x 求导 a a b y ln b x x y
x t2 2t (0 1) 例7. 设由方程 2 t y sin y 1
确定函数 y y( x ) , 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得
dx 2t 2 dt dy dy cos y 2t 0 dt dt
故
dx 2 ( t 1) dt dy 2t d t 1 cos y