2014春初等数论练习题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i 1 m
axi b m 1 。 } m 2
18、证明：对于任意给定的n个不同的素数p1, p2, …, pn，必存在连续相邻的n个整 数，使得它们中的第k个数能被pk整除。 19、证明：若p 是奇素数，N = 1 2 ( p 1)，则(p 1)! p 1 (mod N)。 20、证明欧拉定理。 21、（1）设某公钥密码体系RSA的公钥为e = 9（对公开的n = 943），试将明文 m =100 加密成密文C。 （2）设某公钥密码体系RSA的用户B公开的密钥（公钥）为e =7（对公开的n =10403），用户A通过该公钥将信息m加密成密文7716，用户B收到后用自己的密 钥d进行解密求出明文，请用ASCII码表示求出的明文信息。 22、同余方程x2 3 (mod 13)有多少个解？ 23、已知563 是素数，判定方程x2 429 (mod 563)是否有解。 24、求出模21的所有的二次剩余和二次非剩余。
3x 5 y 1(mod 7) 2 x 3 y 2(mod 7)
9、分别写出模m的完全剩余系与既约剩余系的定义。 10、设={x1, x2, , x(m)}是模m的既约剩余系，则(x1x2x(m))2 1 (mod m)，并
2
证明的所有元素之和对模m同余于0。 11、设p 5 是素数，a{ 2, 3, , p 2 }，则在数列a，2a，3a，，(p 1)a， pa 中有且仅有一个数b，满足b 1 (mod p)。 12、 设m1, m2是互素的正整数， xi分别通过模mi的完全(既约)剩余系 （1 i 2） ， m = m1m2，则x1 m1x2 通过模m的完全(既约)剩余系。 13、 设m1, m2是互素的正整数， xi分别通过模mi的完全剩余系 （1 i 2） ， m = m1m2， 则m2x1 m1x2 通过模m的完全剩余系。 14、设m1, m2, , mn 是两两互素的正整数，xi分别通过模mi 的完全剩余系（1 i n），m = m1m2mn，Mi mi =m，则M1x1 M2x2 Mnxn 通过模m 的完全剩 余系。 15、设n > 1。证明：n 是素数的充要条件是(n 1)! 1 (mod n)。 16、设p 是素数，0 < a < p，证明：
1 1 1 6、证明：对任何nZ， n 5 n 3 n 是整数。 5 3 7
7、证明：对任何nZ，121†n2 2n 12。 8、设a，b，n满足n | bn，ax by=1，x，y为整数，则a|n。 9、设a是奇数，d0是满足a | 2d-1的最小正整数d，那么的充要条件是d0 | h。 10、证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和 能被n 整除。 11、设a和b是正整数，b > 2，则2b 1 †2a 1。 12、设m>1，m|(m-1)!+1，证明：m是素数。 13、证明：若2n 1是素数，则n是2的乘幂。 14、证明：若2n 1是素数，则n是素数。 15、求20！的标准分解式。 16、求使12347!被35k 整除的最大的k值。 17、证明：形如6n 5 的素数有无限多个。 18、 设 a、 b 是不全为 0 的整数， 若ax0 by0 是形如ax by （x， y 是任意整数） 的整数中最小的整数，那么ax0 by0 | ax by。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（ 25、求所有的素数 p，使得
-2 3 ） 1且 （ ） 1 p p
3
2014春初等数论练习题 -By SYF
一、数的整除性
1、设r是正奇数，证明：对任意的正整数n，有n 2†1r 2 r n r。 2、设整数k 1，证明： (ⅰ) 若2k n < 2k +1，1 a n，a 2k，则2k†a； (ⅱ) 若3k 2n 1 < 3k + 1，1 b n，2b 1 3k，则3k †2b 1。 3、证明：存在无穷多个正整数a，使得n4 a（n = 1, 2, 3, ）都是合数。 4、设a1, a2, , an 是整数，且a1 a2 an = 0，a1a2an = n，则4n。 5、证明（1）若n是奇数，则16n4 4n2 11： （2）若n>0，则1342n + 1 3 n + 2 。
17 写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5 和7。 105
1
4、求解不定方程组：
5 x 2 y 3z 17 2 x 5 y 20 z 11
5、证明：方程x2 y2 z2 = 1999 无整数解。 6、证明：对任何形如8k+5或8k+7（k为整数）的整数c，不定方程x2 y2 =c无整 数解(x，y)。 7、证明方程x2 y2 = x2y2 没有满足xy 0 的整数解。 8、证明不定方程x2 y2 z2 =0没有满足xyz 0 的整数解。 9、写出满足x2 y2 = z2，y为偶数，(x, y, z ) = 1的全体正整数解。 10、设整数n 3，证明：必有一个商高三角形以n 为其一直角边的长度。 11、解不定方程：求满足x2 3y2 = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1的全部整数 解。 12、小明帮妈妈去菜场买菜，回来后告诉妈妈共买了4样菜，4根黄瓜，6只西红 柿，5只辣椒，15个土豆。 “黄瓜每根7角，辣椒每只9角5分”，小明对妈妈说“一 共花了18元”。问小明对妈妈说的是否正确，请帮助分析。
k 1 2 p2 pk 19、 设整数n>1，n p1 ， 其中pi是素数， 求n的所有正因子的和S与积P。
20、设f(x) = akxk ak -1xk 1 a0 是整系数多项式（k>0,ak>0），那么存在无 穷多个正整数n，使得f(n)是合数。
二、不定方程
1、求不定方程的解（1）37x y =135；（2）3x 6y 12z = 15 2、 （1）求方程7x 3y = 41 的所有非负整数解； （2）求方程5x 2y 3z = 41 的 所有正整数解。 3、将
x b(1) ( a1)
( p 1)( p 2)( p a 1) (mod p) a!
是同余方程ax b (mod p)的解。 17、设A = {x1, x2, , xm}是模m 的一个完全剩余系，以{x}表示x的小数部分，证 明：若(a, m) = 1，b 为一个整数，则 {
三、同余
1、求47对模37的逆，并求(450)。 2、解同余方程325x 20 (mod 161) 。 3、解同余方程18x 39 (mod 69)。 4、解同余方程组：
x b1 (mod 5) x b (mod 6) 2 x b3 (mod 7) x b4 (mod 11)
5、解同余方程组：
x 8(mod15) x 5(mod 8) x 13(mod 25)
6、（1）求313159 被7 除的余数。（2）求81234 被13 除的余数。 7、解同余方程81x3 24x2 5x 23 0 (mod 7)。 8、解同余方程组
axi b m 1 。 } m 2
18、证明：对于任意给定的n个不同的素数p1, p2, …, pn，必存在连续相邻的n个整 数，使得它们中的第k个数能被pk整除。 19、证明：若p 是奇素数，N = 1 2 ( p 1)，则(p 1)! p 1 (mod N)。 20、证明欧拉定理。 21、（1）设某公钥密码体系RSA的公钥为e = 9（对公开的n = 943），试将明文 m =100 加密成密文C。 （2）设某公钥密码体系RSA的用户B公开的密钥（公钥）为e =7（对公开的n =10403），用户A通过该公钥将信息m加密成密文7716，用户B收到后用自己的密 钥d进行解密求出明文，请用ASCII码表示求出的明文信息。 22、同余方程x2 3 (mod 13)有多少个解？ 23、已知563 是素数，判定方程x2 429 (mod 563)是否有解。 24、求出模21的所有的二次剩余和二次非剩余。
3x 5 y 1(mod 7) 2 x 3 y 2(mod 7)
9、分别写出模m的完全剩余系与既约剩余系的定义。 10、设={x1, x2, , x(m)}是模m的既约剩余系，则(x1x2x(m))2 1 (mod m)，并
2
证明的所有元素之和对模m同余于0。 11、设p 5 是素数，a{ 2, 3, , p 2 }，则在数列a，2a，3a，，(p 1)a， pa 中有且仅有一个数b，满足b 1 (mod p)。 12、 设m1, m2是互素的正整数， xi分别通过模mi的完全(既约)剩余系 （1 i 2） ， m = m1m2，则x1 m1x2 通过模m的完全(既约)剩余系。 13、 设m1, m2是互素的正整数， xi分别通过模mi的完全剩余系 （1 i 2） ， m = m1m2， 则m2x1 m1x2 通过模m的完全剩余系。 14、设m1, m2, , mn 是两两互素的正整数，xi分别通过模mi 的完全剩余系（1 i n），m = m1m2mn，Mi mi =m，则M1x1 M2x2 Mnxn 通过模m 的完全剩 余系。 15、设n > 1。证明：n 是素数的充要条件是(n 1)! 1 (mod n)。 16、设p 是素数，0 < a < p，证明：
1 1 1 6、证明：对任何nZ， n 5 n 3 n 是整数。 5 3 7
7、证明：对任何nZ，121†n2 2n 12。 8、设a，b，n满足n | bn，ax by=1，x，y为整数，则a|n。 9、设a是奇数，d0是满足a | 2d-1的最小正整数d，那么的充要条件是d0 | h。 10、证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和 能被n 整除。 11、设a和b是正整数，b > 2，则2b 1 †2a 1。 12、设m>1，m|(m-1)!+1，证明：m是素数。 13、证明：若2n 1是素数，则n是2的乘幂。 14、证明：若2n 1是素数，则n是素数。 15、求20！的标准分解式。 16、求使12347!被35k 整除的最大的k值。 17、证明：形如6n 5 的素数有无限多个。 18、 设 a、 b 是不全为 0 的整数， 若ax0 by0 是形如ax by （x， y 是任意整数） 的整数中最小的整数，那么ax0 by0 | ax by。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（ 25、求所有的素数 p，使得
-2 3 ） 1且 （ ） 1 p p
3
2014春初等数论练习题 -By SYF
一、数的整除性
1、设r是正奇数，证明：对任意的正整数n，有n 2†1r 2 r n r。 2、设整数k 1，证明： (ⅰ) 若2k n < 2k +1，1 a n，a 2k，则2k†a； (ⅱ) 若3k 2n 1 < 3k + 1，1 b n，2b 1 3k，则3k †2b 1。 3、证明：存在无穷多个正整数a，使得n4 a（n = 1, 2, 3, ）都是合数。 4、设a1, a2, , an 是整数，且a1 a2 an = 0，a1a2an = n，则4n。 5、证明（1）若n是奇数，则16n4 4n2 11： （2）若n>0，则1342n + 1 3 n + 2 。
17 写成三个既约分数之和，它们的分母分别是3，5 和7。 105
1
4、求解不定方程组：
5 x 2 y 3z 17 2 x 5 y 20 z 11
5、证明：方程x2 y2 z2 = 1999 无整数解。 6、证明：对任何形如8k+5或8k+7（k为整数）的整数c，不定方程x2 y2 =c无整 数解(x，y)。 7、证明方程x2 y2 = x2y2 没有满足xy 0 的整数解。 8、证明不定方程x2 y2 z2 =0没有满足xyz 0 的整数解。 9、写出满足x2 y2 = z2，y为偶数，(x, y, z ) = 1的全体正整数解。 10、设整数n 3，证明：必有一个商高三角形以n 为其一直角边的长度。 11、解不定方程：求满足x2 3y2 = z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1的全部整数 解。 12、小明帮妈妈去菜场买菜，回来后告诉妈妈共买了4样菜，4根黄瓜，6只西红 柿，5只辣椒，15个土豆。 “黄瓜每根7角，辣椒每只9角5分”，小明对妈妈说“一 共花了18元”。问小明对妈妈说的是否正确，请帮助分析。
k 1 2 p2 pk 19、 设整数n>1，n p1 ， 其中pi是素数， 求n的所有正因子的和S与积P。
20、设f(x) = akxk ak -1xk 1 a0 是整系数多项式（k>0,ak>0），那么存在无 穷多个正整数n，使得f(n)是合数。
二、不定方程
1、求不定方程的解（1）37x y =135；（2）3x 6y 12z = 15 2、 （1）求方程7x 3y = 41 的所有非负整数解； （2）求方程5x 2y 3z = 41 的 所有正整数解。 3、将
x b(1) ( a1)
( p 1)( p 2)( p a 1) (mod p) a!
是同余方程ax b (mod p)的解。 17、设A = {x1, x2, , xm}是模m 的一个完全剩余系，以{x}表示x的小数部分，证 明：若(a, m) = 1，b 为一个整数，则 {
三、同余
1、求47对模37的逆，并求(450)。 2、解同余方程325x 20 (mod 161) 。 3、解同余方程18x 39 (mod 69)。 4、解同余方程组：
x b1 (mod 5) x b (mod 6) 2 x b3 (mod 7) x b4 (mod 11)
5、解同余方程组：
x 8(mod15) x 5(mod 8) x 13(mod 25)
6、（1）求313159 被7 除的余数。（2）求81234 被13 除的余数。 7、解同余方程81x3 24x2 5x 23 0 (mod 7)。 8、解同余方程组