2014春初等数论练习题

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初等数论练习题答案

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12; 0(2420)=_880_2、设比n是大于1的整数，若是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_卜4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12=0(mod 37)的解是x三11 (mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100 的通解是x=900+23t, y=700+18t t Z。

.6、分母是正整数m的既约真分数的个数为—(山)_。

7、18100被172除的余数是_殛。

9、若p是素数，则同余方程L 1 l(modp)的解数为p-1 。

二、计算题疋11X 20 0 (mod lO5)o1、解同余方程：3解：因105 = 3 5 7,同余方程3x211X 20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3),同余方程3x211X 38 0 (mod 5)的解为x0, 3 (mod 5),同余方程3x211X 20 0 (mod 7啲解为x2, 6 (mod 7), 故原同余方程有4解。

作同余方程组：x (mod 3), x b2 (mod 5), x b3 (mod 7),其中®=1, b2 = 0, 3, b3 = 2, 6,由子定理得原同余方程的解为x 13, 55, 58, 100 (mod 105)o2. 判断同余方程/三42(mod 107)是否有解?*3x7 2 3 7)=(二)(一)(―-)107 107 107 1072 3 I 。

， 2 v( —) = -1, ( — ) = (-1) 2 2(ArL) = -<±) = L 107 107 3 3.-.(—) = 1 107故同余方程x 2三42(mod 107)有解。

3、求(12715C +34) 23除以ill 的最小非负余数。

解：易知 1271 = 50 (mod 111)0由 502 =58 (mod 111) , 503 三58X50三 14 (mod 111), 509=143=80 (mod111)知 502G = (509)彳x50三803X50三803x50三68x50三70 (mod 111) 从而505C=16 (mod 11 l)o故(12715C +34) 2c = (16+34) 20 =502G =70 (mod 111)三、证明题1、已知p 是质数，(a,p) =1,证明：(1) 当 Q 为奇数时,a p l +(p-l)A =O (mod p);(2) 当a 为偶数时,衣三°(mod p)。

初等数论习题集参考答案

习题参考答案第一章习题一1. (ⅰ) 由a∣b知b = aq，于是b = (-a)(-q)，-b = a(-q)及-b = (-a)q，即-a∣b，a∣-b及-a∣-b。

反之，由-a∣b，a∣-b及-a∣-b也可得a∣b；(ⅱ) 由a∣b，b∣c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a∣c；(ⅲ) 由b∣a i知a i= bq i，于是a1x1+a2x2+ +a k x k = b(q1x1+q2x2+ +q k x k)，即b∣a1x1+a2x2+ +a k x k；(ⅳ) 由b∣a知a = bq，于是ac = bcq，即bc∣ac；(ⅴ) 由b∣a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a ≠ 0得|q| ≥ 1，从而|a| ≥ |b|，后半结论由前半结论可得。

2. 由恒等式mq+np = (mn+pq) - (m-p)(n-q)及条件m-p∣mn+pq可知m-p∣mq+np。

3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a+ 1, , a+ 9, a+ 19的数字和为s, s+ 1, , s+ 9, s+ 10，其中必有一个能被11整除。

4. 设不然，n1 = n2n3，n2≥p，n3≥p，于是n = pn2n3≥p3，即p≤3n，矛盾。

5. 存在无穷多个正整数k，使得2k+ 1是合数，对于这样的k，(k+ 1)2不能表示为a2+p的形式，事实上，若(k+ 1)2 = a2+p，则(k+ 1 -a)( k+ 1 +a) = p，得k+ 1 -a = 1，k+ 1 +a = p，即p = 2k+ 1，此与p 为素数矛盾。

第一章习题二1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。

2.写a = 3q1+r1，b = 3q2+r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3∣a2+b2 = 3Q+r12+r22知r1 = r2 = 0，即3∣a且3∣b。

初等数论期末练习

初等数论练习题一、单项选择题2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a + 3、小于30的素数的个数（）. A 10 B 9 C 8 D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或9 8、公因数是最大公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15]二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ). 11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫⎝⎛563429,其中563是素数. （8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》练习答案一、单项选择题2、C3、A4、A5、A6、B 8、A 9、A 11、B 二、填空题1、有理数ba，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ).3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ). 12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数? 解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]=17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

初等数论习题

《初等数论》习题Gonao第一章整除理论第一节数的整除性例1 设r 是正奇数，证明：对任意的正整数n ，有n + 2|/1r + 2 r + " + n r 。

例2 设A = { d 1, d 2, ", d k }是n 的所有约数的集合，则B =}{,,,21kd n d n d n "也是n 的所有约数的集合。

例3 以d (n )表示n 的正约数的个数，例如：d (1) = 1，d (2) = 2，d (3) = 2，d (4) = 3，" 。

问：d (1) + d (2) + " + d (1997)是否为偶数？例4 设凸2n 边形M 的顶点是A 1, A 2, ", A 2n ，点O 在M 的内部，用1, 2, ", 2n 将M 的2n 条边分别编号，又将OA 1, OA 2, ", OA 2n 也同样进行编号，若把这些编号作为相应的线段的长度，证明：无论怎么编号，都不能使得三角形OA 1A 2, OA 2A 3, ", OA 2n A 1的周长都相等。

例5 设整数k ≥ 1，证明：(ⅰ) 若2k ≤ n < 2k + 1，1 ≤ a ≤ n ，a ≠ 2k ，则2k |/a ； (ⅱ) 若3k ≤ 2n − 1 < 3k + 1，1 ≤b ≤ n ，2b − 1 ≠ 3k ，则3k |/2b − 1。

例6 证明：存在无穷多个正整数a ，使得n 4 + a （n = 1, 2, 3, "）都是合数。

例7 设a 1, a 2, ", a n 是整数，且a 1 + a 2 + " + a n = 0，a 1a 2"a n = n ，则4⏐n 。

例8 若n 是奇数，则8⏐n 2 − 1。

例9 d (1)2 + d (2)2 + " + d (1997)2被4除的余数是多少？例10 证明：方程a 12 + a 22 + a 32 = 1999 无整数解。

(完整版)初等数论练习题答案

初等数论练习题一一、填空题1、d(2420)=12;(2420)=_880_ϕ2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2.3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4}.4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(m )_。

7、18100被172除的余数是_256。

8、 =-1。

⎪⎭⎫⎝⎛103659、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为 p-1 。

二、计算题1、解同余方程：3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 105)。

解：因105 = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 3)的解为x ≡ 1 (mod 3)，同余方程3x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0，3 (mod 5)，同余方程3x 2+11x -20 ≡ 0 (mod 7)的解为x ≡ 2，6 (mod 7)，故原同余方程有4解。

作同余方程组：x ≡ b 1 (mod 3)，x ≡ b 2 (mod 5)，x ≡ b 3 (mod 7)，其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6，由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，55，58，100 (mod 105)。

2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-∙--∙-（）（）（）（），（）（）（）（，（（）（）（（）（解：故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。

初等数论习题

《初等数论》习题集第1章第 1 节1. 证明定理1。

2. 证明：若m pmn pq，则m pmq np。

3. 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数，n = pn1，n1 > 1，证明：若p >，则n1是素数。

5. 证明：存在无穷多个自然数n，使得n不能表示为a2 p（a > 0是整数，p为素数）的形式。

第 2 节1. 证明：12n4 2n3 11n2 10n，nZ。

2. 设3a2 b2，证明：3a且3b。

3. 设n，k是正整数，证明：nk与nk + 4的个位数字相同。

4. 证明：对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2不可能成立。

5. 设a是自然数，问a4 3a2 9是素数还是合数？6. 证明：对于任意给定的n个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n整除。

第 3 节1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。

3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x，yZ，172x 3y，证明：179x 5y。

5. 设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c，证明：ab。

6. 设n是正整数，求的最大公约数。

第 4 节1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a，b是正整数，证明：(a b)[a, b] = a[b, a b]。

4. 求正整数a，b，使得a b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144。

5. 设a，b，c是正整数，证明：。

6. 设k是正奇数，证明：1 2 91k 2k 9k。

第 5 节1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。

2. 用辗转相除法求整数x，y，使得1387x 162y = (1387, 162)。

3. 计算：(27090, 21672, 11352)。

4. 使用引理1中的记号，证明：(Fn + 1, Fn) = 1。

初等数论试卷,最全面的答案,包括截图

初等数论试卷,最全⾯的答案,包括截图初等数论考试试卷⼀、单项选择题：（1分/题X 20题=20分）1 ?设x为实数，lx ]为x的整数部分，则（A ）A.[xl X ：：: lx ； E. [x I ::: x Ixl ? 1 ;C. lx I x lx A：；1 ;D. lx I ::: X ：：: Ix.l ? 1 .2.下列命题中不正确的是（B ）A.整数a i,a2,||（,a n的公因数中最⼤的称为最⼤公因数；C.整数a与它的绝对值有相同的倍数D.整数a与它的绝对值有相同的约数3 .设⼆元⼀次不定⽅程ax?by=c （其中a,b,c是整数，且a,b不全为零）有⼀整数解x o,y°,d⼆a,b，则此⽅程的⼀切解可表为（C ）a bA.x =x°t, y ⼆y°t,t =0, _1,_2」H;d da bB.x = X o t, y ⼆y o t,t = 0, —1, _2」H;d db ac. x =X o t, y =y°t,t =0, _1,_2,川；d db aD. x =x°t, y ⼆y o t,t =0, ⼀1,_2,|"；d d4. 下列各组数中不构成勾股数的是（D ）A. 5, 12, 13;B. 7, 24, 25;C.3, 4, 5;D. 8, 16, 175. 下列推导中不正确的是（D ）A.? 三b modm ,a2 三d modm = y a?三b b2modm ;B.Q= b mod m ,a2 = b2 modm = Qa? = bb 2mod m ;c. Q= b mod m = 时2 = ba 2modm ;2 2C. ⼀5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.a1= b1 modm = Q=b modm .6 .模10的⼀个简化剩余系是（D ）A. 0,1,2,川,9;B. 1,2,3川1,10;7. a三b modm的充分必要条件是(A )A. ma —b;B. a —b m;C.m a +b;D. a +b m.&设f x =x42x38x 9，同余式f x三0 mod5的所有解为(C )A. x =1 或-1;B. x =1 或4;C. x 三1 或-1 mod5 ;D.⽆解.9、设f(x)= a n X n JlUII a1x ? a°其中a i是奇数,若x = x0mod p 为f(x) = 0 mod p 的⼀个解, 则:(?)A. 了.三/.: mod p ⼚定为f (x)三0(mod p勺,1的⼀个解B. '三I mod p「，：：1,⼀定为f (x)三0 mod p ：的⼀个解D. 若x三x° mod p -为f (x)三0 mod p -的⼀个解，则有x ：三x° mod p10.设f (x)⼆a n x n|川|) ax a0,其中a i为奇数,a n丞Omodp,n p,则同余式f (x) =0 mod p 的解数：( )A.有时⼤于p但不⼤于n; B .不超过pC.等于p D .等于n11.若2为模p的平⽅剩余，则p只能为下列质数中的:( D )A. 3 B . 11 C . 13 D . 2312.若雅可⽐符号->1，则(C )Im⼃2A. 同余式x三a modm ⼀定有解,B. 当a,m =1时,同余式x2=a mod p有解；C. 当m = p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解；D. 当a⼆p(奇数)时,同余式x2三a mod p有解.13.若同余式x2三a mod2‘，〉-3, 2, a =1有解,则解数等于(A )C. ⼀5, -4, _3,-2,_1,0,1,2,3,4;D. 1,3,7,9.D.18. 若x 对模m 的指数是ab , a >0, ab >0,则a 对模m 的指数是（B ）A. a B . b C . ab D.⽆法确定19. f a , g a 均为可乘函数，则（A ） A. f a g a 为可乘函数； B . f ag （a ）C. f a g a 为可乘函数； D . f a - g a 为可乘函数20. 设丄［a 为茂陛乌斯函数，则有（B ）不成⽴A ⼆ J 1 =1B .空-1 =1C .⼆■-2 = -1D .⼆=9 =0⼆. 填空题：（每⼩题1分，共10分）21.3在45!中的最⾼次n = ________ 21 ___ ; 22. 多元⼀次不定⽅程：a 1x 1 a 2x 2 ?⼁II a n x^ N ,其中a 1 , a 2，…，a n , N 均为整数，n _ 2 ,有整数解的充分必要条件是 _ （ a 1 , a 2 ,…，a n ,） I N_a23.有理数⼀，0cavb , （a,b ）=1，能表成纯循环⼩数的充分必要条件是_ （10, b ） =1__； b- _ 24. 设x 三冷 mod m 为⼀次同余式ax 三b modm , a = 0 mod m 的⼀个解，则它的所有解 A . 414. A . 15. A . B . 3 C 模12的所有可能的指数为：（ 1, 2, 4 B . 1, 2, 4, 6, 若模m 的原根存在，下列数中，2 B .3 C 16. 对于模5，下列式⼦成⽴的是.2 A )12 C . 1, 2, m不可能等于：( D . 12 B ) 3, D 4, 6,12 D ?⽆法确定 )A. in d 32 =2ind 3^=3 C. in d 35 =0ind 310 ⼆ ind 32 ind 35 17. A. 下列函数中不是可乘函数的是：茂陛鸟斯（mobius ）函数w（a ）; B. 欧拉函数■- a ；C. 不超过x 的质数的个数⼆x ；25. ____________________________ 威尔⽣（wilson ）定理： _______________ （P —1）! +1 三0（modp ）, p 为素数 _____________ ；26. 勒让德符号'^03 |= 1 ;訂013⼃27. 若a, p [=1，则a 是模p 的平⽅剩余的充分必要条件是 a 2三1 mod p （欧拉判别条件； 28.在模m 的简化剩余系中，原根的个数是 _讥営m __； 29.设。

初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果a b ，b a ，则().A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果(),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),(B ),(b a c C c a D a b a ),(6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为().4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者().5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果b a ,是两个正整数,则存在()整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数.（8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(][b a ).4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者(与p 互素).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果b a ,是两个正整数,则存在(唯一)整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136⨯]=[1768,391]------------(4分) =173911768⨯=104⨯391=40664.------------（4分）2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分）化简得4873=+y x ；-------------------（1分）考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，-------------------（2分）所以原方程的特解为48,96=-=y x ，-------------------（1分）因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二一、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、小于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定方程210231525=+y x （）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最大公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、大于20且小于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(m od 4382≡x （）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解二、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环小数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(m od 75111≡x .（8分） 5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、判断同余式)1847(m od 3652≡x 是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习二答案一、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(m od 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ). 9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

初等数论练习题一(含答案)

《初等数论》期末练习二一、单项选择题1、=),0(b （）.A bB b -C bD 02、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（）.A aB bC 1D b a +3、小于30的素数的个数（）.A 10B 9C 8D 74、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C (mod )ac bc m ≡/D b a ≠5、不定方程210231525=+y x （）.A 有解B 无解C 有正数解D 有负数解6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≥D b a ±=8、公因数是最大公因数的（）.A 因数B 倍数C 相等D 不确定9、大于20且小于40的素数有（）.A 4个B 5个C 2个D 3个10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3B -6，-5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5，6D 0,1,2,3,4，5，611、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解.A [12，15]不整除7B （12，15）不整除7C 7不整除（12，15）D 7不整除[12，15]12、同余式)593(mod 4382≡x （）.A 有解B 无解C 无法确定D 有无限个解二、填空题1、有理数ba ，0,(,)1ab a b <<=，能写成循环小数的条件是（）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( )n ，而且与n （）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、+=][x x （）.8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ).9、在176与545之间有( )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107=+y x .（8分）3、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 4、解同余式)321(mod 75111≡x .（8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116=-y x .7、判断同余式)1847(mod 3652≡x 是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0.《初等数论》期末练习二答案一、单项选择题1、C2、C3、A4、A5、A6、B7、D8、A9、A 10、D 11、B 12、B二、填空题1、有理数ba ，1),(,0=b a b a ，能写成循环小数的条件是（ 1)10,(=b ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( 3 ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( 41 ).4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ϕ表示所有( 不大于 )n ，而且与n （互素）的正整数的个数.5、设b a ,整数，则),(b a （ ],[b a ）=ab .6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（十进位）数码的和能被3整除.7、+=][x x （ }{x ）.8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( 3 ).9、在176与545之间有( 12 )是17的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、b a ,的最小公倍数是它们公倍数的( 因数 ).12、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?解：因为（24871,3468）=17所以[24871,3468]= 17346824871⨯=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是5073684。

（完整版）初等数论练习题二（含答案）

（完整版）初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求??563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(mod 75111≡x .8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0φab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] = 173911768? =104?391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题二（含答案）

初等数论练习题二（含答案）《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(m od m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(m od 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求??563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(m od 75111≡x . 8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(m od 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] = 173911768? =104?391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题二(含答案)

《初等数论》期末练习一一、单项选择题1、如果a b ，b a ，则( ).A b a =B b a -=C b a ≤D b a ±=2、如果n 3，n 5，则15（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定3、在整数中正素数的个数（）.A 有1个B 有限多C 无限多D 不一定4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则A )(mod m bc ac ≡B b a =C ac T )(mod m bcD b a ≠5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解.A c b a ),(B ),(b a cC c aD a b a ),(6、整数5874192能被( )整除.A 3B 3与9C 9D 3或97、如果n 2，n 15，则30（）n .A 整除B 不整除C 等于D 不一定8、大于10且小于30的素数有（）.A 4个B 5个C 6个D 7个9、模5的最小非负完全剩余系是( ).A -2,-1,0,1,2B -5,-4,-3,-2,-1C 1,2,3,4,5D 0,1,2,3,410、整数637693能被( )整除.A 3B 5C 7D 9二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ).3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为(). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ).9、在176与545之间有( )是13的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( ).三、计算题1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219=+y x .3、解同余式)45(mod 01512≡+x .4、求⎪⎭⎫ ⎝⎛563429,其中563是素数. （8分） 5、求[24871,3468]=?6、求解不定方程18176=-y x .7、解同余式)321(mod 75111≡x .8、求17的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、证明对于任意整数n ,数62332n n n ++是整数. 2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14-n 的整数不能写成两个平方数的和.4、如果整数a 的个位数是5,则该数是5的倍数.5、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.初等数论期末练习一答案一、单项选择题1、D.2、A3、C4、A5、A6、B7、A8、C9、D 10、C二、填空题1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),().3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][ba ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ).5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0.7、设p 是素数,则不定方程22y x p +=有（唯一解）.8、如果同余式)(mod 0m b ax ≡+有解,则解的个数( ),(m a ).9、在176与545之间有( 28 )是13的倍数.10、如果0 ab ,则),](,[b a b a =( ab ).11、如果1),(=b a ,那么),(b a ab +=( 1 ).三、计算题1、求[136,221,391]=?（8分）解 [136,221,391]=[[136,221],391] =[391,17221136⨯] =[1768,391] = 173911768⨯ =104⨯391=40664.2、求解不定方程144219=+y x .（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；化简得4873=+y x ；考虑173=+y x ，有1,2=-=y x ，所以原方程的特解为48,96=-=y x ，因此，所求的解是Z t t y t x ∈-=+-=,348,796。

初等数论练习题

m ，则 x1 m1x2 通过模 m 的完全剩余系。 mi m ，则 M1x1 M2x2 Mnxn 通过模 m 的既约剩余系。 mi
6、设 m1, m2, , mn 是两两互素的正整数， xi 分别通过模 mi 的既约剩余系（1 i n）， m = m1m2mn， Mi =
17 写成三个既约分数之和，它们的分母分别是 3，5 和 7。 105
3、求方程 7x1 3x2 = 41 的所有非负整数解。 4、求方程 x1 2x2 3x3 = 41 的所有正整数解。 5、求解不定方程组：
x1 2 x 2 3x3 7 2 x1 5 x 2 20x3 11
i 1 m
axi b } 1 (m 1) 。 m 2
24、求 (
71 ) 、 ( 91 ) 563 73
17、求出模 23 的所有的二次剩余和二次非剩余。 18、设 p 是奇素数，证明：模 p 的两个二次剩余的乘积是二次剩余；两个二次非剩余的乘积是二次剩余；一个二次剩余和一个二次非剩余的乘积是二次非剩余。 19、已知 563 是素数，判定方程 x2 429 (mod 563)是否有解。 20、求所有的素数 p，使得 (
7、设 n > 1。证明：n 是素数的充要条件是(n 1)! 1 (mod n)。 8、解同余方程 325x 20 (mod 161) 。 9、解同余方程 81x3 24x2 5x 23 0 (mod 7)。 10、解同余方程 18x 39 (mod 69)。
x b1 (mod5) x b2 (mod6) 11、解同余方程组： x b3 (mod7) x b4 (mod11) 。
( p 1)( p 2) ( p a 1) (mod p)。 a!

初等数论练习题标准答案

初等数论练习题一一、填空题1、d(24２0）=12; ϕ(24２0)＝_880_２、设ａ,n 是大于1的整数，若ａn －１是质数,则a=_2．3、模9的绝对最小完全剩余系是_{－4,-3,－2，-1,０,1,2,3,４}.4、同余方程９x+1２≡0（m ｏｄ３7）的解是x ≡11(mod 37)。

5、不定方程18x-2３y ＝１00的通解是x ＝９0０+２3t,ｙ＝7０0+18ｔ t ∈Z 。

.6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ϕ(ｍ)_。

7、１81００被1７2除的余数是_256。

8、⎪⎭⎫ ⎝⎛10365 ＝－１。

9、若p 是素数，则同余方程ｘ p - 1 ≡1(mo ｄｐ)的解数为 p －1 。

二、计算题1、解同余方程：3ｘ2+１1x -20 ≡ ０ (ｍod 105)。

解:因1０５ = 3⋅5⋅7，同余方程3x 2+１1x -20 ≡ ０（m ｏd 3)的解为x ≡ 1 （mo ｄ３), 同余方程３x 2+11x -38 ≡ 0 (mod 5)的解为x ≡ 0,3 (mod 5），同余方程3x 2+１1x -20 ≡ 0 (mo ｄ 7)的解为x ≡ 2,６ (ｍod 7）, 故原同余方程有4解。

作同余方程组:x ≡ b 1 (mod 3),x ≡ b 2 （mod 5),ｘ ≡ ｂ３ (mo ｄ 7）,其中b 1 ＝ 1,b 2 = 0，3，b 3 = 2,６,由孙子定理得原同余方程的解为x ≡ 13，5５,58,100 （mod 1０5）。

2、判断同余方程ｘ２≡4２(mod 107）是否有解?11074217271071107713231071107311072107710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==⨯⨯≡-•--•-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（）（解：故同余方程x 2≡４2(mod 107)有解。

初等数论复习题题库及答案

《初等数论》本科一填空题（每空2分）1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 .2.,(,)(,)(,)a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by +=4.写出180的标准分解式是 22235⋅⋅ ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个.5.,1,2,,a b a b 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []ab个.6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数.8.ϕ(3)= 2 ;ϕ(4)= 2 .9.当p 素数时,(1)()p ϕ= 1p - ;(2)()k p ϕ= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ϕ=-≡设是正整数则 0 (m o d ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (m o d ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (m o d 7). 13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -121(mod ).p np ≡- .17.3()=5 -1 ; 4()=51 .18.,p 设是奇素数则2()p= 218(1).p --.19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1()p = -12(-1).p .20. 5()=9 1 ; 2()=45-1 .二判断题(判断下列结论是否成立，每题2分).1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ⇒∈+且对任意的有.成立2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立3. 23|,|a b a b 若则.不成立4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈⇒≡ 成立5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇒≡ 不成立6. 22(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或至少有一个成立. 不成立 7. 222(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.不成立8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 成立 9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b 若与都是模m 的完全剩余系不成立1122{,,,}.m m a b a b a b m +++则也是模的完全剩余系不成立10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系. 不成立 11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ϕϕϕ∈==若则成立12. 同余方程24330(mod15)x x -+≡和同余方程2412120(mod15)x x +-≡是同解的. 成立13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余方程等价于不定方程成立14. 2,(mod ),() 1.am x a m m≡=当是奇素数时若有解则成立15. 2,()1,(mod ).am x a m m=≡当不是奇素数时若则方程一定有解不成立三计算题1. (1859,1573)-求.（6分）解：1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)(286,15732865)(286,143)(0,143)143-===-⨯===2.求 [-36,108,204].（8分）解：22232232.[36,108,204][36,108,204],3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.-==⨯=⨯=⨯⨯∴=⨯⨯=3. 求(125,17),以及x ,y ,使得125x +17y =(125,17).（10分）解：3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-173125-2217.1253-17221,3,-22.x y =+==⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯∴⨯⨯===由等式起逐步回代得4. 求整数x ,y ,使得1387x -162y =(1387,162).（10分）解：4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411520-911520-9(71320)322097132(91-71)97132914171329141(16291)73914116273(13878162)41162731387625162.1=⨯+=⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯-=⨯-⨯=⨯-⨯-⨯=⨯-⨯∴由等式起逐步回代得38773162625 1.⨯-⨯=5. 12!.分解为质因数乘积（8分）6. ,10|199!k k 求最大的正整数使.（8分）7. [1].100++求(10分) 8. 81743.x y +=求方程的整数解(6分)9. 19201909.x y +=求方程的正整数解(10分)10. 求方程111x -321y =75的整数解.(10分) 11. 12310661.x x x ++=求方程15的整数解(8分) 12. 361215.x y z ++=求不定方程的整数解(8分)13. 237.x y z ++=求不定方程的所有正整数解(8分)14. 19,2,3 5.30将写成三个分数之和它们的分母分别是和(10分) 15. 222370.x y x y +--=求方程的整数解(6分) 16. 331072.x y +=求方程的整数解(8分)17. 5()4.xy yz zx xyz ++=求方程的正整数解(10分)18. 4063().求的个位数字与最后两位数字十进制(10分)19. 67(mod 23).x ≡解同余方程(8分) 20. 12150(mod 45).x +≡解同余方程(8分)21. 2(mod 3)3(mod 5).2(mod 7)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩解同余式组(6分)22. 43()0(mod35),()289.f x f x x x x ≡=+++解同余式(10分) 23. 765:2720(mod5).x x x x --++≡解同余方程(6分)24. .求出模23的所有二次剩余和二次非剩余(8分)25. 25(mod11).x ≡判断方程有没有解(6分)26. 2563,429(mod563).x ≡已知是素数判定方程是否有解(8分) 27. 3求以为其二次剩余的全体素数.(8分)28. 10173:(1)();(2)().1521计算(8分) 29. (300).ϕ计算(6分)30. 3(mod8)11(mod 20).1(mod15)x x x ≡⎧⎪≡⎨⎪≡⎩解同余式组(10分)四证明题1、,,,, 1.:|,|,|.a b x y ax by a n b n ab n +=设是两个给定的非零整数且有整数使得求证若则(6分)证明：1.()|,|.n n ax by nax nbyab na ab nb ab n =+=+∴又2.121212,,,,0,.4|.n n n a a a a a a a a a n n +++==设是整数且则(8分)证明：1212121231122.,,,,,,0,2.,,,.,,2(2).-,(-1),,.,,,,4.n n n i n n n n a a a a a a n a a a a a i n a a a a n a a a n +++=∴≤≤+++=∴若是奇数则都是奇数则不可能即在中至少有一个偶数如果只有一个偶数不妨设为则不整除由知左边是个奇数的和右边是偶数这是不可能的在中至少有两个偶数即3. 任给的五个整数中,必有三个数之和被3整除.(8分)证明：1231231231231231233.3,03,1,2,3,4,5.(1)0,1,2,0,1,2,3()3.(2)0,1,2,,(0,12),3()3.i i i i i i i a q r r i r r r r a a a q q q r r r r r r r a a a q q q r =+≤<====++=+++====++=+++设若在中数都出现不妨设则成立若在中数至少有一个不出现则至少有三个取相同的值令或则成立4. 22,,9|,3|(,).a b a ab b a b ++设是整数且则(8分)证明：2222224.9,9()3,3()3,3(),3,9(),93,3,33.3,3,3.3.3,3.3(,).a ab b a b ab a b ab a b a b a b ab ab a b a a b b b a b a a b ++∴-+∴-+∴-∴-∴-∴∴∴-∴-∴或若若故5. 设,a b 是正整数,证明()[,][,]a b a b a b a b +=+.(8分)证明：()5.()[,](),(,)(,)()[,](,),(,)(,),()[,](,),()[,],(,)ab b a b a b a b a b a a b a b b a b b a b b a b b a b a b b a b b a b a b b a b b a b a b ++=+⋅=⋅+=+++=∴+=++=+∴而即结论成立6. (mod ),0,,(mod ).nna b m n n N a b m ≡>∈≡当时又则(6分)证明：123216.(mod ),,()(),,(mod ).n n n n n n n n n n a b m m a b a b a b a a b a b b m a b a b m ----≡∴--=-++++∴-≡又即7. 12{,,,},{}.m A x x x m x x =设是模的一个完全剩余系以表示的小数部分11:(,)1,{}(-1).2mi i ax b a m m m =+==∑证明若则(10分) 证明：1211111117.2,{,,,},(1),1(1)1{}{}{}{}.22m i mm mm m i i j j j j ax b ax b ax b m ax b km j j m ax b j j j j m m m k m m m m m m --=====++++=+≤≤+--=+====⋅=∑∑∑∑∑由定理知也是模的一个完全剩余系可设从而8. ,:n N ∈设证明1()2,2k n n n k N ϕ==∈的充要条件是.(10分)证明：-1-118.2,(2)2(1-)2.22(),2,2|,21()()()(2)(2)()2()2,222(),1,.(()112)k k k k k k k k k nn nn n t t n t n t n t t t t t t t t t n n ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⇐====⇒==/=====⨯⋅=⋅=∴==⇔=若则若设则即从而得证注或9. ,5|12344.n n n n n N n ∈+++⇔/设则(10分)证明：444449.(5)4,,1(mod5)(14).4,03,1234(1)1(2)2(3)3(4)41234(mod5).5|1234,5|1234,0,1,2,30,4;4,0,5|1234,n n n n q r q r q r q rr r r r n n n n r r r r r r r r k k n q r r r r n n r ϕ=≡≤≤=+≤≤+++≡⋅+⋅+⋅+⋅≡+++⇒++++++==∴//⇐=+++/由定理知令则若即得把代入检验可知若则易知5|1234.n n n n ∴+++/10. ()1,(,)1,:(mod )(mod ).m m a m x bam ax b m ϕ-=≡≡设是正整数证明是同余方程的解证明：()()()-110.(,)1,,1(mod ).(mod ),(,)1,(mod ).m m m a m Euler a m ax b a b m a m x a b m ϕϕϕ=≡∴≡≡=∴≡由定理则11. -121(mod ).p n p n p ≡-是模的二次非剩余的充要条件是(10分)证明：-111221122-121211.(,)1,,1(mod ),(1)(1)0(mod ),,10(mod )10(mod ),1(mod ),1(mod ).p p p p p p p n p Euler n p nnp p n p np n p n p np -----=≡∴+-≡+≡-≡≡∴≡-若则由定理是素数则或中必有一个成立是模的二次剩余的充要条件是 12. 12(mod ),(mod ),y a p y a p p ≡≡设都是模的平方剩余121211:(mod ),(mod ),(mod ).y a a p y b b p p y a b p p ≡≡≡求证都是模的平方剩余是模的平方非剩余(10分)证明：11112222121211122212121112.1,1(mod ),1(mod ),()()1(mod ),()1(mod ),.p p p p p p p a a p b b p a a b b p a b p -------≡≡≡≡-∴≡≡≡-∴由定理知得证13. 22,43,:(mod ),(mod ).p q n x p q x q p +≡≡设为两个形如的奇质数求证若无解则有两个解(10分)14. 1(mod 4),(mod ).p p y a p p ≡≡设是适合的素数是模的平方剩余:(mod ).y a p p ≡-证明也是模的平方剩余(8分)15. 2,:141.n n m ++设是整数证明的任何奇因数都是的形式(10分) 16. -1,1(mod )-1.p p x p p ≡若是素数则同余方程有个解(8分) 17. -1-1100101010,:9|9|.nn n n n i i N a a a a N a ==+++⋅+⇔∑设求证(8分)18. 52:641|2 1.+求证(8分)19. :,,()(,)([,]).m n N mn m n m n ϕϕ∈=证明若则(10分) 20. ,,(mod ).p p a a a p ≡设是素数则对于任意的整数有(8分)。

《初等数论》试卷及参考答案(与闵嗣鹤第三版配套)

《初等数论》试卷一、单项选择题：（1分/题×20题=20分）１．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+；Ｂ．[][]1x x x <≤+；Ｃ．[][]1x x x ≤≤+；Ｄ．[][]1x x x <<+．２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数；Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( )Ａ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =-=+=±± Ｂ．00,,0,1,2,;abx x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2,;bax x t y y t t dd =-=-=±±４．下列各组数中不构成勾股数的是( )Ａ．５，１２，１３；Ｂ．７，２４，２５；Ｃ．３，４，５；Ｄ．８，１６，１７５．下列推导中不正确的是( )Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112211mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2,,9; Ｂ．1,2,3,,10;Ｃ．5,4,3,2,1,0,1,2,3,4;----- Ｄ．1,3,7,9. ７．()mod a b m ≡的充分必要条件是( ) Ａ．;m a b - Ｂ．;a b m - Ｃ．;m a b + Ｄ．.a b m +８．设()43289f x x x x =+++，同余式()()0mod5f x ≡的所有解为( ) Ａ．1x =或1;- Ｂ．1x =或4; Ｃ．1x ≡或()1mod5;- Ｄ．无解． 9、设f(x)=10n n a x a x a +++其中()0,mod i a x x p ≡是奇数若为f(x)()0mod p ≡的一个解，则:( )A ．()()mod ()0mod ,1p f x p χχ∂≡≡∂>一定为的一个解 B ．()()0mod ,1,()0mod p f x p χχ∂∂≡∂>≡一定为的一个解C ．()()()00(),()0mod mod ,mod p f x f x p x x p x x p ααα≡≡≡当不整除时一定有解其中 D ．()()()00mod ()0mod ,mod x x p f x p x x p ααα≡≡≡若为的一个解则有 10．()10(),,0mod ,,n n i n f x a x a x a a a p n p =+++≡>/设其中为奇数则同余式()()0mod f x p ≡的解数：（） A ．有时大于p 但不大于n; B ．可超过pC ．等于pD ．等于n11．若2为模p 的平方剩余，则p 只能为下列质数中的 :( )A ．3B ．11C ．13D ．23 12．若雅可比符号1a m ⎛⎫=⎪⎝⎭，则 ( ) A ．()2mod ,x a m ≡同余式一定有解B ．()()2,1,mod a m x a p =≡当时同余式有解;C ．()2(,mod m p x a p =≡当奇数)时同余式有解;D ．()2(),mod a p x a p =≡当奇数时同余式有解．13．()()2mod 2,3,2,1,x a a αα≡≥=若同余式有解则解数等于( )A ． 4B ．3C ． 2D ． 1 14．模12的所有可能的指数为;( )A ．1，2，4B ．1，2，4，6，12C ．1，2，3，4，6，12D ．无法确定 15．若模m 的单根存在，下列数中，m 可能等于: ( ) A ． 2 B ．3 C ． 4 D ． 12 16．对于模5，下列式子成立的是: ( )A ．322ind =B ．323ind =C ．350ind =D ．3331025ind ind ind =+ 17．下列函数中不是可乘函数的是: ( ) A ．茂陛鸟斯(mobius)函数w(a) ; B ．欧拉函数()a φ；C ．不超过x 的质数的个数()x π；D ．除数函数()a τ；18．若x 对模m 的指数是ab ，a >0，ab >0，则x α对模m 的指数是( ) A ．a B ．b C ．ab D ．无法确定 19．()f a ，()g a 均为可乘函数，则( ) A ．()()f a g a 为可乘函数； B ．()()f ag a 为可乘函数 C ．()()f a g a +为可乘函数； D ．()()f a g a -为可乘函数 20．设()a μ为茂陛乌斯函数，则有( )不成立A ．()11μ=B ．()11μ-=C ．()21μ=-D ．()90μ= 二．填空题：（每小题1分，共10分）21． 3在45!中的最高次n ＝ ____________________； 22．多元一次不定方程：1122n n a x a x a x N +++=，其中1a ，2a ，…，n a ，N 均为整数，2n ≥，有整数解的充分必要条件是___________________；23．有理数ab，0a b <<，)(,1a b =，能表成纯循环小数的充分必要条件是_______________________；24．设()0mod x x m ≡为一次同余式()mod ax b m ≡，a ≡()0mod m 的一个解，则它的所有解为_________________________；25．威尔生（wilson ）定理：________________________________________； 26．勒让德符号5031013⎛⎫⎪⎝⎭=________________________________________； 27．若)(,1a p =，则a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是_____________(欧拉判别条件)； 28．在模m 的简化剩余系中，原根的个数是_______________________； 29．设1α≥，g 为模p α的一个原根，则模2p α的一个原根为_____________； 30．()48ϕ=_________________________________。