最优生产计划安排 数学 模型

最优生产计划安排

摘要

优化问题可以说是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常遇到的一类问题。如调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排成从各供应点到各需求点的运量和路线，是运输总费用最低；公司负责人需根据生产成本和市场需求确定产品价格。针对优化问题可以通过建立优化模型确定优化目标和寻求的决策。

一般讲，一个经济管理问题凡满足以下条件就能够建立线性规划模型： (1) 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数； (2) 存在多种方案及有关数据；

(3) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可以用线性等式或不等式来

描述。

问题重述

某厂生产三种产品I ，II ，III 。每种产品要经过B A ,两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以21,A A 表示；有三种规格的设备能完成B 工序，它们以

3

21,,B B B 表示。产品I 可在B A ,任何一种规格设备上加工。产

品II 可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在1B 设备上加工；产品III 只能在2A 与2B 设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。

附表一

基本假设与符号说明

基本假设：

每一类产品在A 工序加工的产品总量等于B 工序加工产品的总量，即每一件产品都经过完整的程序成为真正的成品而不是半成品。

符号说明：

设产品I 在21,A A 321,,B B B 上加工的数量分别为11x 、12x 、13x 、14x 、15x

；

产品II 在21,A A ，1B 上加工的数量分别为212223,,x x x

；

产品III 在

21

,A B 上加工的数量分别为

3234

,x x 。

问题的分析

运用数学建模方法处理一个优化问题，首先应确定优化的目标是什么，寻求的决策是什么，决策受到哪些条件的限制，然后用数学工具（变量、常量、函数等）表示它们。当然，在这个过程加工中要对实际问题做出若干合理的假设。

针对该问题需要分析各类产品在A 、B 工序的加工数量，依据假设可得对于每类产品A 工序加工总量等于B 工序加工总量。在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机器设备的费用的限制条件下，确定最有生产计划使得该厂的利最大。显然是求解最大值的优化模型。有所学知识可知道，该问题通过运筹学的相关知识可以寓于合理的解释和求解。通过确定变量、确定目标函数、限制约束条件等建立相应的线性规划模型。

模型的建立

设产品I 在21,A A 321,,B B B 上加工的数量分别为11x 、12x 、13x 、14x 、15x

；

产品II 在21,A A ，1B 上加工的数量分别为212223,,x x x

；

产品III 在21

,A B 上加工的数量分别为

3234

,x x ；

则可得 目标函数:

Max z=

)

7(4000/200)114(7000/783)86(4000/250)1297(10000/321)105(6000/300)5.08.2())(35.02()25.025.1(153414231332221221113222211211x x x x x x x x x x x x x x x -+-+-++-+--++-++-）（ (1)

约束条件:

11121314150x x x x x +---= (2) 2122230x x x +-= (3)

32340x x -= (4) 11215106000

x x +≤ (5)

122232*********x x x ++≤ (6)

1323684000

x x +≤ (7) 14344117000

x x +≤ (8)

1574000

x ≤ (9)

0;

ii x ≥ i=1,2,3,4,5 (10)

模型的求解

将（1）(2)（3）（4）（5）(6)（7）（8）(9)构成的线性规划模型输入LINGO 如下： max =x11+x12+1.65*(x21+x22)+2.3*x32-300/6000*(5*x11+10*x21)-321/10000*(7*x12+9*x22+12*x32)

-250/4000*(6*x13+8*x23)-783/7000*(4*x14+11*x34)-200/4000*7*x15; x11+x12-x13-x14-x15=0; x21+x22-x23=0; x32-x34=0;

5*x11+10*x21<=6000;

7*x12+9*x22+12*x32<=10000; 6*x13+8*x23<=4000; 4*x14+11*x34<=7000;

7*x15<=4000; end

求解可以得到最优解如下：

Global optimal solution found.

Objective value: 1146.567 Total solver iterations: 7

Variable Value Reduced Cost X11 1200.000 0.000000 X12 230.0493 0.000000

X21 0.000000 0.3103448

X22 500.0000 0.000000

X32 324.1379 0.000000

X13 0.000000 0.2530172

X23 500.0000 0.000000

X14 858.6207 0.000000

X34 324.1379 0.000000

X15 571.4286 0.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 1146.567 1.000000

2 0.000000 0.5655172

3 0.000000 1.091379

4 0.000000 1.555172

5 0.000000 0.3689655E-01

6 0.000000 0.2996897E-01

7 0.000000 0.7392241E-01

8 0.000000 0.2952217E-01

9 0.000000 0.3078818E-01

模型的推广与评价

这是一类利用线性规划求解最优解的问题，关键在于变量的合理假设，列出目标函数和约束条件，利用lingo软件求解。它可以求解一类线性规划问题，例如生产中确定下料方案，使用原料最少，获得最高利润，最节省资源以及连续投资获得本利总和等等问题，都能够通过数学规划模型与运筹学的完美相结合来解决。

与依赖于过去经验（经验论）解决面临的优化问题和依赖于做大量试验反复比较（试验论），数学优化模型具有明显的科学性与可行性。例如与试验论相比，优化模型不需要消耗很多的资金和人力。

推广：可以进行灵敏度分析，如价值系数的改变对最优值的影响等。

参考文献

姜启源谢金星叶俊.数学模型（第三版）.高等教育出版社.2003

甘应爱钱颂迪田丰等.运筹学（第三版）.清华大学出版社.2005