北师大版 必修1 函数单调性 第二课时《函数的最大(小)值》课件
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北师大版高中数学必修一《3函数的单调性和最值》新课件(69页)
答案：A
3. 函 数f(x)=—2x+1(x∈[ -2,2])的最小、最大值分别为( )
A.3,5 B.—3,5 C.1,5 D.—5,3
解析：因为f(x)=—2x+1(x∈ [-2,2])是单调递减函数，所以当 x=2 时，函数的最小值为一3.当x=—2 时，函数的最大值为5.
答案：B
4. 函数f(x)在[一2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、
综上，函
间(Vk, 十一)上为增函数.
在区间(0, √k )上为减函数，在区
状元随笔 此题中函数f(x)是一种特殊函数(对勾函数),用
定 义法证明时通常需要进行因式分解，由于x₁x₂-k(k>0) 与0的大
小 关系是不明确的，因此要分类讨论.
方法归纳
利用定义证明函数单调性的步骤
取值 设 x₁,x₂ 是该区间内的任意两个值，且x₁<x₂
A. (一一，0)U[0,1]B.(—1,0)U[0,1]
C.(0, 十 一 )
D.[0,1]
解析：函数f(x)=—x²+4mx 的图象开口向下，且以直线x=2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m≤2, 解得m≤1,g(x)
的图象由
的图象向左平移一个单位长度得到的，若在
区间[2,4]上是减函数，则2m>0, 解得m>0.综上可得m 的取值范围
A.m>0
B.
C.—1<m<3
D.
解析：由题意知 答案：B
解得
状元随笔 利用单调性解不等式，就是根据单调性去掉函数 的对应法则，构造不等式(不等式组)求解，注意函数的定义域，所
有自变量都必须在函数的定义域内.
高数数学必修一《3.2.1.2函数的最大(小)值》教学课件
几何意义
f(x)图象上最高点的 ___纵_坐_标_____
f(x)图象上最低点的 ___纵_坐_标_____
微点拨❶
(1)最大(小)值必须是一个函数值，是值域中的一个元素，如函数y＝ x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0.
(2)最大(小)值定义中的“任意”是说对于定义域内的每一个值都必 须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成 立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最高点？ ②通过观察图1你能发现什么？
(2)观察下面两个函数的图象，回答下列问题．
①比较两个函数的图象，它们是否都有最低点？ ②通过观察图3你能发现什么？
提示：①题图3中函数f(x)＝x2的图象有一个最低点． 题图4中函数y＝x的图象没有最低点． ②对任意x∈R，都有f(x)≥f(0)．
M].( × )
2.函数f(x)在[－2，＋∞)上的图象如图所示，则此函数的最大值和最
小值分别为( )
A．3，0
B．3，1
C．3，无最小值 D．3，2
答案：C 解析：由图可知，f(x)在[－2，＋∞)上的最大值为3，最小值取不到．故选C.
3．已知函数y＝2x，x∈[1，2]，则此函数的最大值是____2____，最小 值是____1____．
课堂小结 1.函数最大值、最小值的定义． 2．求函数最值的方法．
提示：(1)最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)不一定，需要考虑函数的单调性．
例2 已知f(x)＝2xx++11. (1)用定义证明f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增； (2)求该函数在区间[2，4]上的最大值．
新教材人教B版必修第一册 3.1.2.2 函数的最大值、最小值 课件(57张)
5 4a,a 2.
(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max=
5 4a,a 1， 1,a 1.
【解题策略】一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值
【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函 数,所以可以采用配方法和图像法求解.
【解题策略】 (1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间 (, b ]上是减函数,在区间
2a
[ b , )上是增函数,当x=- b 时,函数取得最小值.
2a
2a
(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间 (, b ] 上是增函数,在区间 [ b , ) 上是
点,代入函数解析式求最值.
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,
f a , m a，
①最小值:f(x)min=
f
m
,
a
m
b，
f b, m b.
②最大值:f(x)max=
f f
a, b,
m m
a a
2 2
b， b.
当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), y y2 y1 (即 f ___x_2___x_1____)，
x x2 x1 x
称 f f x2 f x1 为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均
(2)当a≤1时,f(x)max=f(2)=5-4a;
当a>1时,f(x)max=f(0)=1,
所以f(x)max=
5 4a,a 1， 1,a 1.
【解题策略】一元二次函数的最值
(1)不含参数的一元二次函数的最值配方或利用公式求出对称轴,根据对称轴和定义域的关系确定最值
【思路导引】求函数的最大值、最小值问题,应先考虑其定义域,由于是二次函 数,所以可以采用配方法和图像法求解.
【解题策略】 (1)函数y=ax2+bx+c(a>0)在区间 (, b ]上是减函数,在区间
2a
[ b , )上是增函数,当x=- b 时,函数取得最小值.
2a
2a
(2)函数y=ax2+bx+c(a<0)在区间 (, b ] 上是增函数,在区间 [ b , ) 上是
点,代入函数解析式求最值.
(2)含参数的一元二次函数的最值以一元二次函数图像开口向上、对称轴为x=m,区间[a,b]为例,
f a , m a，
①最小值:f(x)min=
f
m
,
a
m
b，
f b, m b.
②最大值:f(x)max=
f f
a, b,
m m
a a
2 2
b， b.
当开口向下、区间不是闭区间等时,类似方法进行讨论,其实质是讨论对称轴与区间的位置关系.
x1≠x2,记y1=f(x1),y2=f(x2), y y2 y1 (即 f ___x_2___x_1____)，
x x2 x1 x
称 f f x2 f x1 为函数在区间[x1,x2](x1<x2时)或[x2,x1](x1>x2时)上的平均
第02课函数的单调性与最大(小)值(课件)
【典例】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x
B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋cos x
D．y＝ x2＋x－2
【解析】∵y＝ex 与 y＝－e－x 为 R 上的增函数，∴y＝ex－e－x 为 R 上的增函数，故 A 正确； 由 y＝|x2－2x|的图象知，故 B 不正确；对于选项 C，y′＝1－sin x≥0，∴y＝x＋cos x 在 R 上为增函数，故 C 正确； y＝ x2＋x－2的定义域为(－∞，－2]∪[1，＋∞)，故 D 不正确．
【典例】已知二次函数 f(x)＝x2－2x＋3, 当 x∈[t，t＋1]时，求 f(x)的最小值 g(t).
【解析】①当 t>1 时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数， 所以当 x＝t 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(t)＝t2－2t＋3. ②当 t≤1≤t＋1，即 0≤t≤1 时，f(x)在[t，t＋1]上先递减后递增， 故当 x＝1 时，f(x)取得最小值，此时 g(t)＝f(1)＝2. ③当 t＋1<1，即 t<0 时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，所以当 x＝t＋1 时，f(x)取得最小值，
函数 f(x)＝ x－1在其定义域内是增函数.
【解析】函数 f(x)＝ x－1的定义域是[1，＋∞)，
设∀x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，则 f(x2)－f(x1)＝ x2－1－ x1－1
＝
x2－1－ x1－1 x2－1＋ x2－1＋ x1－1
x1－1＝
x2－x12－＋x1x1－1.
因为 x1，x2∈[1，＋∞)，且 x1<x2，所以 x2－1＋ x1－1>0，x2－x1>0.
函数的单调性 ppt课件
•上是减少的． [思路分析] 利用函数增减性的定义来证明，其关键是对 f(x1)－f(x2)进行变形，尽量化成几个最简单因式的乘积的形式．
[规范解答] 设 0<x1<x2≤3，则有 y1－y2＝(x1＋x91)－(x2＋x92) ＝(x1－x2)－9xx11－x2x2
• [规律总结] 1.熟记运用函数单调性求最值的 步骤：
• (1)判断：先判断函数的单调性．
• (2)求值：利用单调性代入自变量的值求得最 值．
• 2．明确利用单调性求最大值、最小值易出错 的几点：
• (1)写出最值时要写最高(低)点的纵坐标，而 不是横坐标．
• (2)求最值忘记求定义域．
• (3)求最值，尤其是闭区间上的最值，不判断 单调性而直接将两端点值代入．
• [规律总结] 证明函数在某个区间上的单调性 的步骤：
• (1)取值：在给定区间上任取两个值x1，x2， 且x1<x2；
• (2)作差变形：计算f(x1)－f(x2)，通过因式分 解、通分、配方、分母(分子)有理化等方法 变形；
• (3)定号：判断上式的符号，若不能确定，则 分区间讨论；
• (4)结论：根据差的符号，得出单调性的结 论．
• (2)函数y＝3x2＋6x－12在区间________上 为增函数，在区间________上为减函数．
• [答案] [－1，＋∞) (－∞，－1]
• [解析] ∵y＝3x2＋6x－12＝3(x＋1)2－15，
• ∴它的图像开口向上，对称轴为x＝－1.
• ∴在[－1，＋∞)上为增函数，在(－∞，－1] 上为减函数.
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
精品资料
第二章 §3 函数的单调性
《函数的单调性与极值》课件2 (北师大版选修2-2)
例 9 求函数
f ( x) x 3 (6 x 7) 2的单调区间和极值
解 f(x)的一阶导数为
4x 10 x 7 f ( x) (6 x 7) 3 3 6x 7 6x 7 7 / 令f ( x) 0, 得驻点x1 . 10 7 7 又x2 时，f ( x)不可导，即x2 是不可导点。 6 6
b a
推论1: 若函数
在区间 I 上满足
则
在 I 上必为常数.
推论2：如果函数 f ( x)和g ( x) 在区间(a,b)内可导， x 有 f / ( x) g / ( x) 则在(a,b)内 且对于(a,b)中任意 f ( x)与g ( x)仅相差一个常数，即f ( x) g ( x) c ， 其中c为常数。
经验: 欲证 x I 时 f ( x) C0 , 只需证在 I 上 f ( x) 0,
且 x0 I , 使 f ( x0 ) C0 . 自证: arctan x arc cot x , x ( , ) 2
x ln(1 x) x ( x 0) . 例6. 证明不等式 1 x 证法1: 设 f (t ) ln(1 t ) ,
解: 1) 求导数 f ( x) x 2) 求极值可疑点 3) 列表判别
2 3
的极值 .
1 ( x 1) 2 x 3 3
2 x 5 5 3 3 x
2 令 f ( x) 0 , 得 x1 5 ;
令 f ( x) , 得 x2 0
2 5 2 ( 5 , )
f ( x0 ) 0, 即方程有小于 1 的正根
2) 唯一性 .
f (x) 在以 x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在 x0 , x1 之间
单调性与最大(小)值——单调性 课件
函数单调性与单调区间的定义
一般地，设函数 f（x）的定义域为 I ，区间 D I :
如果x1, x2 D，当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就称函数f (x)在区间D上单调递增（如图（1））.
特别地，函数 f（x）在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
如果x1, x2 D，当x1 x2时，都有f (x1) f (x2 ), 那么就称函数f (x)在区间D上单调递减（如图（2））.
你能说明为什么 f (x1) f (x2 ) 吗？
x1 x2 0,x1 x2 0.
由不等式性质7可得：（ x1）2 （ x2）2.
即x12 x22 , f (x1) f (x2 ).
在初中，我们利用函数图象研究过函数值随自变量的增大而增大（或减小）的性质，这一性质叫 做函数的单调性. 下面进一步用符号语言刻画这种性质.
1)
由x1, x2 （1， ），得x1 1, x2 1.
所以x1x2 1, x1x2 1 0.
又由x1 x2 , 得x1 x2 0.
于是 x1 x2 x1x2
所以，函数
(
y
x1x2
x
1)
1
0,即y1 y2.
在区间（1， ）上单调递增.
x
总结：虽然我们可以通过函数的图象判断函数的单调性，但证明函数在某个区间上单调递增（减）
图象在 y 轴左侧部分从左到右是下降的，也就是说当x≤0时， y 随 x 的增大而减小.
用符号语言描述就是：
任意取x1, x2 (,0]，得到f (x1) x12 , f (x2 ) x22 ,
那么当x1 x2时，有f (x1) f (x2 ).
这时我们就说，函数 f (x) x2在区间 (,0] 上是单调递减的.
函数的单调性与最大(小)值PPT课件
∴f(x)在[-1,0]上是增函数,在(-∞,-1]上是减函数. 又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到,故
f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1处
可取得最大值. ∴f(1)=， ∴函数的最大值为 ,无最小值.
x≤1,
.是
,
上的减函数, 那么a的取值范围是(
)
A.(0,1)
C.
1 7
,
1 3
B.
0,
1 3
D.
1 7
,1
[错解]依题意应有
3a 1 0, 0 a 1,
解得0
a
1 3
,
选B.
[剖析] 本题的错误在于没有注意分段函数的特点,只保证了函数
在每一段上是单调递减的,没有使函数f(x)在(-∞,1]上的最小值
【典例2】利用定义判断函数f x x x2 1在区间
R上的单调性.
[错解]设x1, x2 R,且x1 x2 ,则f x2 f x1
(x2 x22 1) (x1 x12 1)
x2 x1 ( x22 1 x12 1),
因为x1 x2 ,则x2 x1 0,且 x22 1 x12 1 0,
(2)在解答过程中易出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或不能将不 等式右边3转化为f(2)从而不能应用函数的单调性求解,导致此 种错误的原因是没有熟练掌握单调性的含义及没弄清如何利 用题目中的已知条件或者不能正确地将抽象不等式进行转化.
错源一不注意分段函数的特点
【典例1】已知f
x
(3a 1)x 4a, logax, x 1
北师大版数学必修一《函数的单调性》【第2课时】参考课件
结论:复合函数y=f(g(x))的单调性的判断 ⑴当内层函数与外层函数单调性相同时为增函数; ⑵当内层函数与外层函数单调性相反时为增函数.
可简记为口诀: “同增异减” .
★判定复合函数单调区间的四个步骤: ⑴确定内、外层函数的定义域; ⑵将复合函数分解成基本初等函数;
⑶分别判定基本初等函数的单调区间;
⑷利用“同增异减”法则判断复合函数的单调性 .
例4. 求函数 y x 2 2 x 3 的单调区间.
ax 作业: 讨论函数ຫໍສະໝຸດ f ( x ) 2 在(-1,1)上的 x 1
单调性.
§3
函数的单调性
第2课时
例1. 画出下列函数的图像,并指出函数的单调区间. ⑴y=-x2+2|x|+3 ⑵y=|x2-2x-3|
a 例2. 讨论函数 f ( x) x (a 0) 在(0, +∞) x
上的单调性.
例3. 已知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, 求函数f(1-x2)的单调区间.
高中数学北师大版必修一《函数的单调性》课件
间 D 上是递减的.
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
单击此处编辑母版标题样式
例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
单击此处编辑母版文本样式
– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
单击此处编辑母版标题样式
• 单北击师大此版处高编中数辑学母版文本样式
– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
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– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
9
判断单题 击你认此为处下列编说辑法是母否正版确标，请题说样明理式由（举
• 单击此例处或编者画辑图母）版. 文本样式
– 二级(1) 设函数 y f (x) 的定义域为 [a, )，若对任意x a ，都 • 三有级 [a, ) ，则 f (x) f (a)在区间 y f (x) 上递增.
– 四级 » 五级
（2）函数 f (x) x 1 在区间 (0, +)上有何单调性？
x
5
问题单3 （击1）此如何处用编数学辑符母号描版述标函数题图象样的式“上升”
• 单击此特征处，编即辑“母y随版x文的本增大样而式增大” ？
– 二级例如 函数 f (x) x2 在区间 [0, )上递增的.
• 三级
– 二级
• 三级
– 四级 » 五级
11
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例题 判断并证明函数 f (x) 0.001x 1 的单调性.
•
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– 二级练习 证明函数 f (x) x
1 x
(
x
0)
的单调性：
• 三, ) 上递增.
» 五级
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– 二级
谢谢大家 • 三级 – 四级 » 五级
15
13
课堂单作击业 此处编辑母版标题样式
（1）第38页 习题2-3 A组：3，5
• 单击此（处2）编判辑断母并版证文明本函数样式f (x) x 1 在 (, 0)
– 二级上的单调性.
x
函数的单调性与最值 课件(共20张PPT)
最值. 三．对于较复杂函数，可用换元法化归为简单函数、或者运用导数，
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
课堂小结
单调性
定义
图象特征 判断方法
应用
定义法 图象变换 求导法 求最值 求参数范围 解不等式
祝同学们前程似锦！
专题一：判断、证明函数的单调性
例 1：(3)已知 f x 2x , x 2,6. (1)判断 f x 的单调性，并加以证明；(2)求 f x 的最值.
x 1
专题一：判断、证明函数的单调性
变式 3：讨论 f x ax a 0, 的单调性.
x 1
小结： 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法．
【学习目标】
01
理解函数的单调性、最大值、最小值及其 几何意义；
02
会运用函数图象理解和研究函数的单调性， 并利用单调性求最值或者求参数范围；
03
培养抽象概括、逻辑推理、运算求解等能 力．
复习回顾 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 定义 当x1<x2时，都有__f_(x_1_)_<_f(_x_2)_， 当x1<x2时，都有_f_(_x_1)_>_f_(x_2_)，
自左向右看图象是下降的
复习回顾
(2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上_单__调__递__增__或_单__调__递__减__，那么就说函数y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
复习回顾 2.函数的最值
前提
设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
函数的最大(小)值课件
次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)在定义域为实数集时适用．
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
正解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1,2]．由图象知， 当－1≤x<1时，y随x的增大而减小； 当1≤x≤2时，y随x的增大而增大． 并且当x＝－1时，y取最大值3； 当x＝1时，y取最小值－1. 从而知－1≤y≤3， 即函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域是[－1,3]． 纠错心得：函数的定义域是函数的灵魂，求函数的值域时，首先注意
函数的单调增区间为(－1.5,3]，(5,6]，
单调减区间为[－4，－1.5]，(3,5]，(6,7]．
题型二 利用单调性求函数最值 【例 2】 已知函数 f(x)＝x2＋2xx＋3(x∈[2，＋∞))． (1)求 f(x)的最小值； (2)若 f(x)>a 恒成立，求 a 的取值范围．
思路点拨：本题可先求函数f(x)的单调性，再求最小值．
误区解密 因忽略函数的定义域而出错
【例4】 求函数y＝x2－2x，x∈[－1,2]的值域． 错解：y＝x2－2x＝(x－1)2－1，因为(x－1)2≥0， 所以y＝(x－1)2－1≥－1. 从而可知，函数y＝x2－2x的值域为[－1，＋∞)． 错因分析：这里函数的定义域有限制，即－1≤x≤2，上述解法只对二
解：(1)任取 x1，x2∈[2，＋∞)且 x1<x2，f(x)＝x＋3x＋2， 则 f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)1－x13x2.
∵x1<x2，∴x1－x2<0. ∵x1≥2，x2>2，∴x1x2>4,1－x13x2>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)． 故 f(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴当 x＝2 时，f(x)有最小值，即 f(2)＝121.
函数的单调性和最值 高中数学北师大版必修第一册
结论
增
调递减
图象
自左向右图象逐渐上升
自左向右图象逐渐下降
特征
图
示
名师点析 x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.
微练习
若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0,+∞)
+1
+2
变式训练 3 判断函数 f(x)=
≠
1
2
在(-2,+∞)上的单调性.
解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,
1-2
+2+1-2
=a+ +2 ,
∵f(x)=
+2
1
1-2
1-2
∴f(x2)-f(x1)= + +2 − + +2 =(1-2a)·( +2 −
=[2(x1+x2)-3](x1-x2).由 x1,x2∈
3
-∞,
4
且 x1<x2,得
3 3
x1+x2< +
4 4
=
3
,x1-x2<0,
2
则 2(x1+x2)<3,即 2(x1+x2)-3<0,
所以 f(x2)>f(x1),故函数
f(x)=-2x2+3x+3
在区间
3
-∞, 4
上单调递增.
反思感悟 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
增
调递减
图象
自左向右图象逐渐上升
自左向右图象逐渐下降
特征
图
示
名师点析 x1,x2的三个特征:
(1)同区间性,即x1,x2∈I;
(2)任意性,即不可用区间I上的两个特殊值代替x1,x2;
(3)有序性,即需要区分大小,通常规定x1<x2.
微练习
若函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(1)<f(2)<f(3),则函数f(x)在(0,+∞)
+1
+2
变式训练 3 判断函数 f(x)=
≠
1
2
在(-2,+∞)上的单调性.
解任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,
1-2
+2+1-2
=a+ +2 ,
∵f(x)=
+2
1
1-2
1-2
∴f(x2)-f(x1)= + +2 − + +2 =(1-2a)·( +2 −
=[2(x1+x2)-3](x1-x2).由 x1,x2∈
3
-∞,
4
且 x1<x2,得
3 3
x1+x2< +
4 4
=
3
,x1-x2<0,
2
则 2(x1+x2)<3,即 2(x1+x2)-3<0,
所以 f(x2)>f(x1),故函数
f(x)=-2x2+3x+3
在区间
3
-∞, 4
上单调递增.
反思感悟 利用定义法证明或判断函数的单调性的步骤
高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1
第十页，共36页。
5．函数 f(x)＝－x2＋6x＋8 在[－2,1]上的最大值是________． 【解析】 f(x)＝－x2＋6x＋8＝－(x－3)2＋17， 所以函数 f(x)在[－2,1]上是增函数． 所以 f(x)的最大值为 f(1)＝13. 【答案】 13
第十一页，共36页。
课堂探究 类型一 函数单调性的判定或证明 [例 1] (1)函数 y＝f(x)的图像如图所示，其减区间是( )
(2)证明：对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2， 有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122 ＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0， 即 f(x1)<f(x2)．
第二十一页，共36页。
方法归纳,
函数单调性应用的关注点 (1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可 以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确 定函数中参数的范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区 间内的任意子集上也是单调的．
第二十二页，共36页。
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实 数 a 的取值范围．
第二十三页，共36页。
【解析】 函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图像开口向上，对称轴为直线 x＝a，画出草图如图所示．
由图像可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函 数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x) 在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减)， 从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
《函数的基本性质》函数的概念与性质PPT(第2课时函数的最大值、最小值)
A．－1，0 C．－1，2 答案：C
B．0，2 D．12，2
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上( ) A．有最大值无最小值 B．有最小值无最大值 C．有最大值也有最小值 D．无最大值也无最小值
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
解析：选 A.结合函数 f(x)＝1x在[1，＋∞)上的图象可知函数有 最大值无最小值．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
图象法求最值的一般步骤
栏目 导引
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第三章 函数的概念与性质
1．函数 f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最 小值、最大值分别是( )
A．－2，f(2)
B．2，f(2)
C．－2，f(5)
D．2，f(5)
解析：选 C.由函数的图象知，当 x＝－2 时，有最小值－2；当
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
利用函数的单调性求最值 已知函数 f(x)＝xx－＋12，x∈[3，5]． (1)判断函数 f(x)的单调性，并证明； (2)求函数 f(x)的最大值和最小值． 【解】 (1)f(x)是增函数．证明如下： ∀x1，x2∈[3，5]且 x1<x2， f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21＝（x13＋（2x）1－（xx22）＋2），
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1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小 值f(b)；
画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：
(1) f ( x ) 2 x 3 (2)
f (x) x 2 x 1
2
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的 单调性；
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现 函数的什么特征？ y y 2
-1 o o x x
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
当t 14 . 7 2 ( 4 .9 ) h 1 . 5 时，函数有最大值
b
f (
b 2a
)
4ac b 4a
2
例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确 到1m）
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值. (1)当a>0时,f(x)在区间(- , 2ba )上单调递减,在( 2ba , + )上单调递增,所以f(x)在R上的最小值为:
f ( b 2a ) 4ac b 4a
2
(2)当a<0时,f(x)在区间(- , 2 a )上单调递增,在( 2ba , + )上单调递减,所以f(x)在R上的最大值为:
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
常见函数的最值
1.一次函数f(x)=kx+b(k≠0)的最值 (1)当k>0时,f(x)=kx+b是R上的增函数,在区间 [a,b]上的最大值:f(x)max=f(b),最小值 :f(x)min=f(a) (2)当k<0时,f(x)=kx+b是R上的减函数,在区间 [a,b]上的最大值: f(x)max=f(a), 最小值 :f(x)min=f(b)
所以，函数 y
2
f ( x1 ) f ( x 2 )
x 1
是区间[2,6]上的减函数.
因此,函数 x 1 在区间[2,6]上的两个端 点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取 最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值 为0.4 .
y
2
y
2 x 1
利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
2 x1 1 2 x2 1
2 [( x 2 1) ( x 1 1)] ( x 2 1)( x 1 1) 2 ( x 2 x1 ) ( x 2 1)( x 1 1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
f ( x1 ) f ( x 2 ) 0 , 即
课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减， 则a的取值范围是( ) D A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 [21,39] 值域____________.
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) 8 14 . 7 4 ( 4 .9 )
29
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.
例2.求函数 最小值．
f ( x1 ) f ( x 2 )
y
2 x 1
在区间[2，6]上的最大值和
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函数 y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b) ； 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增,则函数y=f(x)在x=b处有最小 值f(b)；
画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：
(1) f ( x ) 2 x 3 (2)
f (x) x 2 x 1
2
1 说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的 单调性；
2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现 函数的什么特征？ y y 2
-1 o o x x
解：作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然， 函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐 标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面 的高度. 由于二次函数的知识，对于 h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:
当t 14 . 7 2 ( 4 .9 ) h 1 . 5 时，函数有最大值
b
f (
b 2a
)
4ac b 4a
2
例1、“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时 一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地 面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ， 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻？这时 距地面的高度是多少（精确 到1m）
2.二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的最值. (1)当a>0时,f(x)在区间(- , 2ba )上单调递减,在( 2ba , + )上单调递增,所以f(x)在R上的最小值为:
f ( b 2a ) 4ac b 4a
2
(2)当a<0时,f(x)在区间(- , 2 a )上单调递增,在( 2ba , + )上单调递减,所以f(x)在R上的最大值为:
那么，称M是函数y=f(x)的最小值
注意：
1、函数最大（小）值首先应该是某一个函数值， 即存在x0∈I，使得f(x0) = M； 2、函数最大（小）值应该是所有函数值中最大 （小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M （f(x)≥M）．
常见函数的最值
1.一次函数f(x)=kx+b(k≠0)的最值 (1)当k>0时,f(x)=kx+b是R上的增函数,在区间 [a,b]上的最大值:f(x)max=f(b),最小值 :f(x)min=f(a) (2)当k<0时,f(x)=kx+b是R上的减函数,在区间 [a,b]上的最大值: f(x)max=f(a), 最小值 :f(x)min=f(b)
所以，函数 y
2
f ( x1 ) f ( x 2 )
x 1
是区间[2,6]上的减函数.
因此,函数 x 1 在区间[2,6]上的两个端 点上分别取得最大值和最小值，即在点x=2时取 最大值，最大值是2，在x=6时取最小值，最小值 为0.4 .
y
2
y
2 x 1
利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
2 x1 1 2 x2 1
2 [( x 2 1) ( x 1 1)] ( x 2 1)( x 1 1) 2 ( x 2 x1 ) ( x 2 1)( x 1 1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
f ( x1 ) f ( x 2 ) 0 , 即
课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减， 则a的取值范围是( ) D A、a≥3 B、a≤3 C、a≥-3 D、a≤-3 2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 [21,39] 值域____________.
1．最大值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M
那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) 8 14 . 7 4 ( 4 .9 )
29
于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这 时距地面的高度为29 m.
例2.求函数 最小值．
f ( x1 ) f ( x 2 )
y
2 x 1
在区间[2，6]上的最大值和
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,则