高级数理逻辑第11讲全解

总复习本章对高级数理逻辑所讲述的内容总结，并对已经学习的内容进行回顾。

在对所讲述的内容回顾之前，首先对整个数理逻辑学科的组成进行回顾，从而使大家有更深刻的认识。

数理逻辑学科学科发展从数理逻辑学中衍生出来的学科有很多，如：递归论、可计算理论、模型论、机器证明、知识工程、布尔代数等。

这些理论都是以数理逻辑学为基础的。

针对数理逻辑本身，由于这些学科的需求产生了很多不同种类的逻辑系统。

数理逻辑的不同种类，基本上都是从经典的逻辑系统中扩展而来的。

这种扩展通常有语法扩展和语义扩展。

●语法扩展：在经典逻辑系统中，扩充一些符号，从而衍生出新的逻辑系统。

如模态逻辑，二阶谓词逻辑等。

●语义扩展：对逻辑系统中语义的范围等进行扩展，如模糊逻辑等。

数理逻辑通常划分成以下不同种类的逻辑系统：1、经典逻辑：传统的命题逻辑、一阶谓词逻辑等。

认为世界是黑白的，对于一个命题非真既假。

2、模态逻辑：认为世界上任何事情的真假是与时间有着密切的关系的。

3、多值逻辑：认为世界上的对与错是没有绝对的，命题的真假是可以是多个甚至连续值的。

4、非单调逻辑：讨论如何将人类的常识加入到逻辑系统中去。

经典逻辑是单调逻辑，既事实越多，已有的结论不会消失；而单调逻辑中，可能随着事实的增加原有的结论被否定。

体系构成在高级数理逻辑（计算逻辑）中，每一种逻辑都自成体系。

逻辑的体系过程主要包括以下几个方面：1、形式系统：用符号的方式来描述一个逻辑系统的构成。

类似于形式语言系统。

2、语义系统：针对形式进行解释的一套体系，这套体系确定了符号的含义的解释方法和规则。

3、元理论：对形式系统组成、语义系统特性和形式与语义之间关系进行研究。

从而保证了数理逻辑的初衷（利用数学演算的方法来研究人类思维过程）。

4、自动化推理：在形式系统的基础上，研究利用计算机自动进行推理的理论和方法。

以及自动推理的效率提高方法和自动推理完备性研究。

形式系统形式系统构成形式系统由{∑, TERM, FORMULA, AXIOM, RULE}等5个部分构成，其中 称为符号表，TERM 为项集；FORUMULA 为公式集；AIXIOM 为公理集；RULE 为推理规则集。

：1、 符号表∑为非空集合，其元素称为符号。

2、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。

项集TERM 为∑*的子集，其元素称为项；项集TERM 有子集V ARIABLE 称为变量集合，其元素称为变量。

3、 设∑*为∑上全体字的组合构成的集合。

公式结FORMULA 为∑*的子集，其元素称为公式；公式集有子集ATOM ，其元素称为原子公式。

4、 公理集AXIOM 是公式集FROMULA 的子集，其元素称为公理。

5、 推理规则集RULE 是公式集FORMULA 上的n 元关系集合，即RULE=)}2(|{n FORMULA r n n n r ⊆∧≥∧∃是正整数，其元素称为形式系统的推理规则。

其中公式集和项集之间没有交叉，即TERM ∩FORMULA =φ，公式和项统称为表达式。

由定义可知，符号表∑、项集TERM 、公式集FORMULA 是形式系统的语言部分。

而公理集AXIOM 、推理规则集RULE 为推理部分。

形式系统的重要问题1、 符号表 为非空、可数集合（有穷、无穷都可以）。

2、 项集TERM 、公式集FORMULA 、公理集AXIOM 和推理规则集RULE 是递归集合，即必须存在一个算法能够判定给定符号串是否属于集合。

3、 形式系统中的项是用来描述研究的对象，或者称为客观世界的。

而公式是用来描述这些研究对象的性质的。

这个语言被称为对象语言。

定义公式和项产生方法的规则称为词法。

4、 用来描述形式系统中各个部分性质的语言称为元语言。

用于研究形式系统的元语言又被称为元数学。

形式推导1、 基本概念演绎结果与定理：设A 为FSPC 上一公式，集合Γ为FSPC 上一公式集合。

称A 为Γ的演绎结果，记为Γ├A ，如果存在一个公式序列：)(,,,,321A A A A A L =使得i A 或者为形式系统FSPC 的公理，或者为公式集合Γ中的元素，或者或者为),,,,(,,,,13211321i j j j j A A A A n j j j j n <-- 由推理规则r 得到；则称A 为FSPC 的演绎结果。

当Φ=Γ时，称A 为定理FSPC 上的定理。

称)(,,,,321A A A A A L = 为A 的证明序列。

逻辑等价：公式A 和B 分别为两个公式，如果A,B 满足B ├A ，且A ├B 同时成立，则称公式A 和B 为逻辑等价公式，记为A ├│B 。

即A,B 互为演绎结果。

例如：A ⌝⌝├|A ，B A ∧├|A B ∧，B A ∨├|A B ∨。

对偶：设A 为FSPC 上由联结词⌝, ∨, ∧和原子公式构成的公式。

在A 中交换∨和∧，以及原子公式和他的否定公式，得到公式'A ，则称'A 为A 的对偶。

2、 推理基础（1）公理代入原理：设A(P)为含有变元P 的公理（定理同样适用），如果将公式A 中的变元P 替换为命题变元B ，则A(B)仍为公理（定理）；C →((B →C)→C)（2）等价替换原理：设命题公式A 含有子公式C （C 为命题公式），如果C ├│D ，那么将A 中子公式C 提换为命题公式D （不一定全部），所得公式B 满足A ├│B 。

（3）对偶原理：设A 为FSPC 上的公式，'A 为其对偶，则A ├│'A ⌝。

（4）演绎定理：设∑为任一公式集合, A,B 为任意公式,那么：∑ ，A ├B 当且仅当∑├B A →∑ ，A ╞B 当且仅当∑╞B A →（5）(变量)改名原理如果公式A 中至少一个量词的指导变元和相应的约束变元都改名为另一个相同变元后得到公式A ’，则A ’为A 的改名式；如果A ’是A 的改名式，且A ’改用的变元在A 中无任何出现，那A ├│A ’3、 其他推理方法根据形式系统的性质，给出一些专用推理规则。

语义系统语义系统定义形式语义：设FS是已经存在的形式系统，FS的语义有语义结构和赋值两个部分组成：a)语义结构：当FS的项集TERM不为空时，由非空集合U和规则组I所组成二元组（U，I），称为形式系统FS的语义结构。

其中U和I的性质如下：i.U为非空集合，称为论域或者个体域；ii.规则组I，称为解释，根据规则组的规定对项集TERM中的成员指称到U 中的个体；规定对原子公式如何指称到U中的个体性质（U的子集）、关U的子集）。

系（nb)指派：若形式系统FS中的变量集合Variables非空，那么下列映射称为指派：s：varibles－>U。

对于给定的语义结构，可以将指派扩展到项集TERM上：s：TERM－>U；s＝S(t) 当t 为变元S指派t中变元由解释确定当t为非变元c)赋值：是指一组给公式赋值的规则，据此规则可对每一结构U和指派S确定一由原子公式到值域的映射v：atomic－>value。

根据这个赋值规则，可以将赋值映射进行扩展：v为v：Formula－>value。

元理论语法构成（1）独立性：如果形式系统中每一个公理都是独立的，即把任一公里A从形式系统中删除后，所得形式系统FSˊ不满足├FS′A（即A不是FSˊ的定理），则称形式系统为独立的；●独立形式系统是简洁的；（2）一致性：形式系统FS称为一致性，或相容的（consistent）如果不存在FS的公⌝同时成立；式A，使得├A，├A●所有形式系统都应该是一致的；（3）完全性：形式系统为完全的，如果对形式系统中任意公式A，或者├A成立，或者⌝成立；├A●完全性的形式系统，一切都是可知的；因此，几乎没有价值；（4）可判定性：形式系统FS称为可判定的，如果存在一个算法，对FS对的任一公式A，可确定├A是否成立，否则称FS是不可判定的；如果上述算法对定理能作出判断，而对于非定理未必终止（作判断），称FS为半可判定的；● FS 为可判定的，当且仅当定理集合为递归集； （5）公式集合一致性：称形式系统的公式集合Γ为一致的，如果形式系统是一致的，且不存在公式A 使 Γ ├A ， ├A ⌝ 同时成立。

语义系统基本上没有。

语法语义关系研究语法语义关系，首先关心的问题是在语法上的形式演算，在语义的逻辑推论上是否成立。

这个问题被称作合理性（Soundness ）。

其次，是对于语义上的逻辑推理，在形式演算上是否成立。

这个问题是完备性（Completeness ）。

这两个问题是语法语义关系的核心。

1) 合理性（soundness ）：称形式系统FS 是合理的，FS 的任意公式A 有：├FS A ，则╞M A ，M 为所有结构；2) 完备性（Completeness ）：称形式系统FS 是完备的，如果对FS 的任意公式A有：若╞M A ，则├FS A ，这里M 为FS 所讨论的一类结构；3) 紧致性：称形式系FS 是紧致的，如果对FS 的任意公式集∑有：如果公式集∑的所有穷子集是可满足的，那么公式集∑也是可满足的；归结原理归结方法二元归结：设1C 和2C 分别含有文字1L 和2L 的子句，并且1L 和2L ⌝有最一般合一θ，那么下列推理规则称为归结原理：)()(,221121θθθθL C L C C C -∨-归结过程公式集 前束范式 skolem 标准形 子句集 合一 归结✓ 合一与代换：子句集合一后与原子句集之间的逻辑关系；合一是代换（t 1/x 1……t n /x n ）将子句集中的变量x i 代换为项t i;✓ 归结合理与完备：在合一后的子句集上归结是一种推理，那么推理能否保证合理性与完备性；提高效率的策略：删除策略；支持集策略；线性策略；在归结过程中，注意：代换过程如果出现)(),(b P a P ⌝的情况就很可能是代换出现的问题；元定理在归结原理中，我们给定的形式系统是：● 形式系统是子句集，其上的推理方法不在是分离规则，而是归结；● 语义系统是Herbrand 结构。

在这样的推理环境中，我们还是要考虑形式推理（子句集上的归结）与形式语义之间的关系。

这些关系中，我们重点考虑的是合理性和完备性。

1、合理性：合理性的表现有两个定理，前面已经叙述过，下面重复一下：✓ 设子句集c 为子句c 1和c 2的归结结果，则c 为c 1和c 2的逻辑结果；✓ 设子句c 为子句集S 的归结结果，即存在一个归结序列，得到c ，则c 为S 的逻辑结果；2、完备性：✓ 若子句集S 为不可满足的，那么必定存在一个否证，即存一个导出空子句口的归结序列。

模态逻辑正规系统模态逻辑是研究各种不同的正规系统，这些正规系统中，最简单的是NSK 系统。

下面我们给出NSK 系统的构成。

1、 NSK 系统语言部分● 符号表：{,,......,,21⌝→p p □,◇,(,) }；其中i p 为原子命题，⌝→,为联接词，□,◇为模态词，(,)技术符号。