2019学年浙江省高中数学竞赛

2019学年浙江省高中数学竞赛

一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.

1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为

2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a=

3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为

4. 设R y x ∈,，且1)

sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为

6. 设S 是⎪⎭

⎫ ⎝⎛85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值

8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为

9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=⋅→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为

10. 已知()⎩⎨⎧≥-<-=0

,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a=

二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上

11. 设.,2,1,)(3

16)(,32)(2121 =+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的

实数解。

12. 已知椭圆12

62

2=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线)2(-=x k y 交椭圆于P ，Q 两点（0≠k ），若PQ 的中点为原点，直线ON 交直线x=3于M.

（1）求∠MFQ 的大小；

（2）求MF

PQ 的最大值. 13. 设数列{}n a 满足： ,3,2,1,2,221=≤=-+n a a a n n n ，证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列。

14. 设+∈Z b b b a a a 321321,,;,,，证明：存在不全为零的数{}2,1,0,,321∈λλλ，使得332211a a a λλλ++和332211b b b λλλ++同时被3整除.

15. 设{}n a a a ,,,21 =σ为{

}n ,,2,1 的一个排列，记()∑=++==n

i n i i a a a a F 1111,σ，求().m in σF

答案：

一、填空题

1. -4128

2.2

3.[]2,0

4.)(22Z k k ∈+π

π 5.),2[]1,2(+∞-

6.5

7.13102--

8.⎥⎦⎤⎢⎣

⎡714arctan ,0 9.),4()113136,(+∞--∞ 10.2

317- 二、解答题

11. 证明：利用数学归纳法.

（1）x=2是x x f n 3)(=的解

当n=1时，x=2是x x x f 332)(21=+=的解.

当n=k 时，设6)2(=k f 则6)2(3

164)2(1=+=+k k f f . 由此可得x=2是x x f n 3)(=的解（对于所有的n ）.

（2）当x>2时，22

33)(x x x f n <

<. 当n=1时，)2(23332)(221><<+=x x x x x f . 当n=k 时，设x x f k 3)(>，则x x x f x x f k k 31)(3

16)(221>+>+=+. 由此可得0

因此，对于每个n ，x x f n 3)(=的实数解为x=2

12. 解：（1）联立⎪⎩

⎪⎨⎧-==+)2(1262

2x k y y x ，可得061212)13(2222=-+-+k x k x k . 设P 点的坐标为()p p y x ,，Q 的坐标为().,q q y x 则1

3612,13122222+-=+=+k k x x k k x x q p q p . 于是有()1

3442+-=-+=+k k k x x k y y q p q p . 因为PQ 的中点为N ，所以⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+-+132,136222k k k k N ，因此ON 的斜率为k k MF 1-=， 即得1-=PQ MF k k ，因此MF 与PQ 垂直，∠MFQ=

2π. （2）()()[]

q p q p q p q p q p x x x x k x x k k x x k x x MF PQ I 4)(11)(222222222-+=-=+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()

222222222213124131224)13(144++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=k k k k k k k k . 令132+=k

u ，则()⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=+-=169411316)21211(3163)2(18222u u u u u u I ，