2019学年浙江省高中数学竞赛
2019年浙江省高中数学竞赛试卷
因此当 t= a 2
1 ,( S ) ABC max
a
a3
a2
, 1
------------- 14 分
3
令a
27
a2 1 8
(a 3)(8a2 3a 9) 0
a 3, a 3 297 16
a2 1 2
a
a1
3 2, a
297 (不合题意，舍去 )， a 3.
16
--------- 17 分
四、附加题： （本大题共有 2 小题，每题 25 分，共 50 分。） 21. 设 D，E，F 分别为△ ABC的三边 BC，CA，AB 上的点。 记
项的序号为（ 1+2+3+…+4018）+2019=809428。
------------ 17 分
19. 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子 中，要求每个袋子里三种颜色球都有， 且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。 问共有多少种放法。
解：设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为 x, y , z ，则有 1 x, y, z 9 ，且
( x 2010 1)2 2 0
x 2010 1 ，解得
12. x R, 函数 f ( x) x
解答 2 s i n 的周期为 2
x
x
2sin 3cos 的最小正周期为 12 .
2
3
x 4， 3 c o的s周期为 6 ，所以函数 f x 的周( 期) 为
3
。1 2
13. 设 P 是圆 x2 y2 36 上一动点， A 点坐标为 20,0 。当 P 在圆上运动时，线
2019 年浙江省高中数学竞赛试卷
关于举行2019年高中各学科命题竞赛的通知【模板】
温教研高函〔2019〕312号关于举行2019年高中各学科命题竞赛的通知各县（市、区）教育局教研部门，市局直属各高中：为进一步深化课程改革，适应学考与高考改革，加强“考法”研究，发挥教学质量检测评价对深化课程改革与评价的导向和引领作用，经研究，决定举行2019年全市高中各学科命题竞赛活动。
现将有关事项通知如下：一、参加对象全市高中语文、数学、英语、思想政治、历史、地理、物理、化学、生物、通用技术、信息技术学科任课教师。
二、命题原则1.导向性。
以高中各学科的《课程标准》（2017年版）和《浙江省普通高中学科教学指导意见》（2014年版）为指导，以《2019年浙江省普通高考考试说明》《浙江省普通高中学业水平考试说明》（自2019年6月学考起使用）和《浙江省普通高校招生选考科目考试说明》（自2020年1月高考选考起使用）为依据，命题应具有较高的信度、效度，必要的区分度和适当的难度。
2.基础性。
侧重基础知识特别是主干知识的检测，考核学生掌握基础知识与基本技能，理解和掌握基本概念、基本原则、基本理论、基本规律，注重培养动手动脑，运用所学的知识发现问题、解决问题的能力。
3.创新性。
试题内容与形式具有创新性，题目必须原创或改编，杜绝抄袭；题目设计与答案设置具有开放性，体现深化普通高中课程改革和高考改革的新趋势。
4.规范性。
考试目标明确，命题科学规范、难度适中；试题严格按照考试说明规定的内容、结构和题型要求编写；题目、题干简洁，参考答案规范，不能出现科学性错误。
三、参赛要求1.以学校教研组或备课组为单位，组成命题参赛小组，最多署名5人。
每所高中学校每个学科各推荐选拔一个命题参赛小组，并经各县（市、区）教育局教研室或市局直属高中组织初评或初选后推荐参赛。
2.每个命题参赛小组命制本学科一份试题(包括试题、参考答案、评分标准和命题意图等)，命题范围、题型、难度、考核要求与《2019年浙江省普通高考考试说明》《普通高等学校招生全国统一考试英语科考试说明》及《浙江省普通高校招生选考科目考试说明》（自2020年1月高考选考起使用）（各学科的具体要求见附件1），并填写《2019年**市高中各学科命题竞赛报名表》（见附件2）。
2019年重庆市学考选考浙江省高中数学竞赛预赛试题与解答
2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛（重庆赛区）预赛试题参考答案一、填空题(每小题8分，共64分)1.设A 为三元集合（三个不同实数组成的集合），集合{|,,}B x y x y A x y =+∈≠，若222{log 6,log 10,log 15}B =，则集合A =________. 答案：22{1,log 3,log 5}提示：设222{log ,log ,log }A a b c =，其中0.a b c <<<则6,10,15.ab bc ad ===解得2,3,5a b c ===，从而22{1,log 3,log 5}A =。
2.函数 的最小值为 ，最大值为 ，则________.答案：提示：设 ,则 且 ，∴ .，令， . 令 得 ， ， ， ∴ ， ，∴.3. ________. 答案：提示：.4.已知向量 ， ， 满足 ，且 ，若 为 ， 的夹角，则 ________. 答案：提示：∵ ∴ ∴ ∵ ∴又∵ ∴ ∴.5.已知复数 ， ， 使得为纯虚数， ， ，则 的最小值是________.1提示：设 ，则 ，由已知∴∴ ∴ ∴ 。
当12321,,(1)2z z i z i ===+时，最小值能取到。
6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球，则正四面体棱长的最小值为________. 答案：提示：当正四面体棱长最小时，设棱长为 ，此时，一、二、三层分别有1、3、6个小球， 且相邻小球两两相切，注意到重心分四面体的高为 ，所以正四面体的高, 得7. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数，对任意0x >有4()f x x >-，4(())3f f x x+=，则(8)f = . 答案：72提示：由题意存在00x >使0()3f x =。
又因()f x 是(0,)+∞上的单调函数，这样的00x >是唯一的，再由004(())3f f x x +=得00044()3x f x x x=+=+解得04x =或01x =-（舍）。
2019年浙江省绍兴市诸暨理浦中学高三数学文联考试题含解析
2019年浙江省绍兴市诸暨理浦中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知全集，集合，集合，则集合为（）A．[－1,1] B．[0,1] C．(0,1] D．[－1,0)参考答案：C2. 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限参考答案：D，所以对应点位，在第四象限，选D.3. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2cm2 B． cm3 C．3cm3 D．3cm3参考答案：B【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图得到原几何体的底面积与高，进而得到该几何体的体积．【解答】解：由几何体的三视图可知，该几何体为底面是直角梯形，高为的四棱锥，其中直角梯形两底长分别为1和2，高是2．故这个几何体的体积是×[（1+2）×2]×=（cm3）．故选：B．4. 过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为的直线被抛物线截得的线段长为25，则该抛物线的准线方程为（）A．x=﹣8 B．x=﹣4 C．x=﹣2 D．x=﹣1参考答案：B【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线方程，联立直线方程和抛物线方程转化为一元二次方程，根据抛物线的弦长公式进行求解即可．【解答】解：∵过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），∴斜率为的直线方程为y=（x﹣），代入y2=2px，得[（x﹣）]2=2px，整理得8x2﹣17px+2p2=0，∴A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，∵|AB|=x1+x2+p=+p=25，∴p=25，则p=8，则抛物线的直线方程为x=﹣=﹣4，故选：B5. i是虚数单位，若 (a，b∈R)，则乘积ab的值是A.－15B.－3C.3D.15参考答案：B∵.∴a=－1，b=3.∴ab=－3，故选择B.6. 投掷一枚质地均匀的骰子两次，若第一次面向上的点数小于第二次面向上的点数我们称其为前效实验，若第二次面向上的点数小于第一次面向上的点数我们称其为后效实验，若两次面向上的点数相等我们称其为等效试验.那么一个人投掷该骰子两次后出现等效实验的概率是（）．．．．参考答案：B7. 函数的图象可看成将函数的图象（）A．向左平移个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到C．向右平移个单位得到 D．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的倍得到参考答案：A8. 下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是()．A．f(x)＝|x| B．f(x)＝ C．f(x)＝ln x D．f(x)＝ex参考答案：C9. 设为单位向量,其中向量,向量,且向量在上的投影为2,则与的夹角为A. B. C. D.参考答案：C10. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则此双曲线的离心率为A． B． C． D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设，不等式对恒成立，则的取值范围为。
浙江省杭州市2019届高三高考命题比赛模拟数学试卷12Word版含答案
）
（命题意图：考察函数的图像，属中档题） 【预设难度系数】 0.65
8. （改编自 2017 浙江测试卷） 在三棱锥 D ABC 中，记二面角 C AB D 的平面角为 ， 直线 DA 与平面 ABC 所成的角为 1，直线 DA 与 BC 所成的角为 2 ，则（ ）
A.
1
B.
1
C.
2
D.
2
（命题意图：考察立体几何线线角、线面角问题，属中档偏难题）
【预设难度系数】 0.55
10. 已知函数 f x
a x2 x 3,x 1,
x 2,x 1.
设
x
R ，若关于 x 的不等式 f x
立，则 a 的取值范围是（
）
x a 在 R 上恒成
2
47
A.
,2
16
47 39
B.
,
16 16
C. 2 3,2
39 D. 2 3,
16
（命题意图：考察分段函数的应用及不等式恒成立问题，属较难题） 【预设难度系数】 0.5
若事件 A 在一次试验中发生的概率是 p，则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
率 Pn (k )
C
k n
pk
(1
p) n k (k
0,1,2,
, n)
台体的体积公式 V
1 ( S1
3
S1S2 S2 )h
其中 S1 , S2 分别表示台体的上、 下底面积， h 表
示台体的高
高
锥体的体积公式 V
A. 2
B. 1,2
C. 1,2,4
D. 1,2,4,5
2
（命题意图：考察集合的关系与集合的运算，属容易题）
2019浙江卷 数学(解析版)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学参考公式：选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}0,1,2A =，{}101B =-,,，则U A B =I ð（ ）A. {}1-B. {}0,1C. {}1,2,3-D. {}1,0,1,3-【答案】A 【解析】 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.【详解】={1,3}U C A -，则(){1}U C A B =-I 【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误2.渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是（ ）A. B. 1C.D. 2【答案】C 【解析】 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=，所以==1a b，则c =，双曲线的离心率ce a==【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.3.若实数,x y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，则32z x y =+的最大值是（ ）A. 1-B. 1C. 10D. 12【答案】C 【解析】 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型，根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题，注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域（包含边界），由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时，=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题，要求作图要准确，观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度，也有可能在解方程组的过程中出错.4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）A. 158B. 162C. 182D. 32【答案】B 【解析】 【分析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算. 5.若0,0ab >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，2a b ab +≥，则当4a b +≤时，有24ab a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.6.在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况，分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和，结合选项，判断得出正确结论.题目不难，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时，函数xy a =过定点(0,1)且单调递减，则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点(0,1)且单调递增，则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递减，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02）且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】易出现的错误有，一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟，导致判断失误；二是不能通过讨论a 的不同取值范围，认识函数的单调性.7.设01a <<，则随机变量X 的分布列是：则当a 在()0,1内增大时（ ） A. ()D X 增大 B. ()D X 减小C. ()D X 先增大后减小D. ()D X 先减小后增大【答案】D 【解析】 【分析】 研究方差随a 变化增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查. 【详解】方法1：由分布列得1()3aE X +=，则 2222111111211()01333333926a a a D X a a +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+-⨯=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大.方法2：则()222221(1)222213()()03399924a a a a D X E X E X a ⎡⎤+-+⎛⎫=-=++-==-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 故选D.【点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式.8.设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A. ,βγαγ<<B.,βαβγ<<C.,βαγα<< D. ,αβγβ<<【答案】B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半.【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BDPB PB PB PBα===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ）由最大角定理β<γ'=γ，故选B.法2：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得cos sin ,sin sin 6633α=⇒α=β=γ=，故选B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.9.已知,a b R ∈，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b =--恰有三个零点，则（ ） A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-> D. 1,0a b >-<【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a <-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点，如右图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩， 解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 故选：C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底..10.设,a b R ∈，数列{}n a 中，21,n n n a a a a b +==+，N n *∈ ,则（ ）A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =-> D. 当104,10b a =->【答案】A 【解析】 【分析】本题综合性较强，注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发，通过研究选项得解.【详解】选项B：不动点满足221142x x x⎛⎫-+=-=⎪⎝⎭时，如图，若1110,,22na a a⎛⎫=∈<⎪⎝⎭，排除如图，若a不动点12则12na=选项C：不动点满足22192024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点为ax12-，令2a=，则210na=<，排除选项D：不动点满足221174024x x x⎛⎫--=--=⎪⎝⎭，不动点17122x=±，令17122a=±，则171102na=<，排除.选项A：证明：当12b=时，2222132431113117,,12224216a a a a a a=+≥=+≥=+≥≥，处理一：可依次迭代到10a；处理二：当4n≥时，221112n n na a a+=+≥≥，则117117171161616log2log log2nn n na a a-++>⇒>则12117(4)16nna n-+⎛⎫≥≥⎪⎝⎭，则626410217164646311114710161616216a⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a的可能取值，利用“排除法”求解.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.复数11z i=+（i 为虚数单位），则||z =________.【答案】2【解析】 【分析】本题先计算z ，而后求其模.或直接利用模的性质计算. 容易题，注重基础知识、运算求解能力的考查.【详解】1|||1|2z i ===+. 【点睛】本题考查了复数模的运算，属于简单题.12.已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆相切于点(2,1)A --，则m =_____，r =______.【答案】 (1). 2m =- (2). r =【解析】 【分析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.【详解】可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入得2m =-，此时||r AC ===【点睛】：解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.13.在二项式9)x 的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是_______.【答案】 (1). (2). 5 【解析】 【分析】本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二项展开式的通项入手，根据要求，考察x 的幂指数，使问题得解.【详解】9(2)x +的通项为919(2)(0,1,29)rr r r T C x r -+==L 可得常数项为0919(2)162T C ==，因系数为有理数，1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项【点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确.14.在V ABC 中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =____；cos ABD ∠=________.【答案】 (1). 1225 (2). 7210【解析】 【分析】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.通过引入CD x =，在BDC ∆、ABD ∆中应用正弦定理，建立方程，进而得解.. 【详解】在ABD ∆中，正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而34,4AB ADB π=∠=,22AC AB BC 5=+=，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以122BD =. 72cos cos()coscos sinsin 4410ABD BDC BAC BAC BAC ππ∠=∠-∠=∠+∠=【点睛】解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征.15.已知椭圆22195x y+=的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是_______.【答案】15【解析】【分析】结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用坐标表示考点圆的方程，与椭圆方程联立可进一步求解.利用焦半径及三角形中位线定理，则更为简洁.【详解】方法1：由题意可知||=|2OF OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，设(,)P x y可得22(2)16x y-+=，联立方程22195x y+=可解得321,22x x=-=（舍），点P在椭圆上且在x轴的上方，求得315,2P⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，所以1521512PFk==方法2：焦半径公式应用解析1：由题意可知|2OF|=|OM|=c=，由中位线定理可得12||4PF OM==，即342p pa ex x-=⇒=-求得315,2P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭，所以1521512PF k ==.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、直线与圆的位置关系，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径.16.已知a R ∈，函数3()f x ax x =-，若存在t R ∈，使得2|(2)()|3f t f t +-≤，则实数a 的最大值是____. 【答案】max 43a = 【解析】 【分析】本题主要考查含参绝对值不等式、函数方程思想及数形结合思想，属于能力型考题.从研究()2(2)()23642f t f t a t t +-=++-入手，令2364[1,)m t t =++∈+∞，从而使问题加以转化，通过绘制函数图象，观察得解.【详解】使得()()222(2)()2(2)(2))223642f t f t a t t t t a t t +-=•++++-=++-，使得令2364[1,)m t t =++∈+∞，则原不等式转化为存在11,|1|3m am ≥-≤，由折线函数，如图只需113a -≤，即43a ≤，即a 的最大值是43【点睛】对于函数不等式问题，需充分利用转化与化归思想、数形结合思想.17.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值是________；最大值是_______.【答案】 (1). 0 (2). 25【解析】 【分析】本题主要考查平面向量的应用，题目难度较大.从引入“基向量”入手，简化模的表现形式，利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λu u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v的最小，只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
2019年浙江省高考理科数学试卷及答案解析【word版】
2019年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ， 则=A C U （ ） A. ∅ B. }2{ C. }5{ D. }5,2{（2）已知是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件（3）某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的 表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm4.为了得到函数 x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3sin 2=的图像（ ）A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位5.在46)1()1(y x ++的展开式中，记nm y x 项的系数为),(n m f ，则=+++)3,0(2,1()1,2()0,3(f f f f ）（ ）A.45B.60C.120D. 2106.已知函数则且,3)3()2()1(0,)(23≤-=-=-≤+++=f f f c bx ax x x f （ ）A.3≤cB.63≤<cC.96≤<cD. 9>c 7.在同意直角坐标系中，函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是（ ）8.记,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩，,min{,},y x yx y x x y≥⎧=⎨<⎩，设,a b 为平面向量，则（ ）A.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤B.min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥C.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≥+ D.2222min{||,||}||||a b a b a b +-≤+9.已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m 个红球和n 个篮球 ()3,3m n ≥≥，从乙盒中随机抽取()1,2i i =个球放入甲盒中.（a ）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为()1,2ii ξ=；（b ）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为 ()1,2i p i =. 则A.()()1212,p p E E ξξ><B.()()1212,p p E E ξξ<>C.()()1212,p p E E ξξ>>D.()()1212,p p E E ξξ<<10.设函数21)(x x f =，),(2)(22x x x f -=|2sin |31)(3x x f π=，99,,2,1,0,99==i ia i ，记|)()(||)()(||)()(|98991201a f a f a f a f a f a f I k k k k k k k -++-+-= ，.3,2,1=k 则A.321I I I <<B. 312I I I <<C. 231I I I <<D. 123I I I << 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11.若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的 结果是________.12.随机变量ξ的取值为0,1,2，若()105P ξ==，()1E ξ=，则()D ξ=________. 13.当实数x ，y 满足240,10,1,x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩时， 14ax y ≤+≤恒成立，则实数a 的取值范围是________.14.在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_____种（用数字作答）.15.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______16.设直线)0(03≠=+-m m y x 与双曲线12222=-by a x （0a b >>）两条渐近线分别交于点B A ,，若点)0,(m P 满足PB PA =,则该双曲线的离心率是__________17、如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练. 已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值19（本题满分14分）已知数列{}n a 和{}n b 满足()()*∈=N n a a a nb n 221 . 若{}na 为 等比数列，且.6,2231b ba +==（1）求n a 与n b ； （2）设()*∈-=N n b a c nn n 11。
2019年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
2019年浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）1. 已知53[,]42ππθ∈ D ） A ．2sin θ B. 2sin θ- C. 2cos θ- D. 2cos θ解答：因为53[,]42ππθ∈cos sin cos sin θθθθ--+ 2c o s θ=。
正确答案为D 。
2．如果复数()()21a i i ++的模为4，则实数a 的值为（ C ）A. 2B.C. 2±D. ±42a =⇒=±。
正确答案为C 。
3. 设A ，B 为两个互不相同的集合，命题P ：x A B ∈⋂， 命题q ：x A ∈或x B ∈，则p 是q 的（ B ）A. 充分且必要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分且非必要条件 解答：P 是q 的充分非必要条件。
正确答案为B 。
4. 过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45弦AB ，则AB 为（ C ）A.B. C. 3 D. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB 为1,y x =-代入椭圆方程得21243400,33x x x x AB -=⇒==⇒==。
正确答案为C 。
5. 函数150()51xxx f x x -⎧-≥=⎨-<⎩，则该函数为（ A ）A. 单调增加函数、奇函数B. 单调递减函数、偶函数C. 单调增加函数、偶函数D. 单调递减函数、奇函数解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。
正确答案为A 。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）A. 4+52πB. 4+32πC. 4+2π D. 4+π解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（2π），所以该几何体的体积为52213422πππ⨯⨯+-=+。
2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛第13题图论解法
2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛第13题图论解法：Hall 定理的使用13.设X 是有限集，t 为正整数，F 是包含t 个子集的子集族： 12,,,t F A A A ．如果F 中的部分子集构成的集族S 满足：对S 中任意两个不相等的集合,A B ，A B ，B A 均不成立，则称S 为反链．设1S 为包含集合最多的反链，2S 是任意反链．证明：存在2S 到1S 的单射f ，满足2A S ， f A A 或A A f 成立．证明：将F 的各元素视为t 个顶点，若i A 与j A 满足i j A A 或i j A A ，则i A 与j A 间连一条边，从而形成一个图 ,G F E ．这样，S 为F 的反链即S 中各顶点互不相邻．进而，1S 中各顶点互不相邻，2S 中各顶点互不相邻，且12S S ．情形1：若21S S ，则2A S ，定义 f A A ，所得f 便满足要求．情形2：若21S S ，记221V S S ，211V S S ，则12,V V 按照G 中邻接关系形成一个二分图．下面证明：2V U ，有 N U U ，其中1:,N U B V A U A B 使得与相邻.这是因为假设01V U ，使得 00N U U ．作100120N S S S U U V ，则：①若0A U ， 10A U V N ，则 0A N U ，得,A A 不相邻；②若0A U ，12A S S ，则2,'A A S ，得,A A 不相邻；③若 01V N U ，12A S S ，则1,'A A S ，得,A A 不相邻；④若0,A U A ，则2,'A A S ，得,A A 不相邻；⑤若 10,A A V N U ，则1,A A S ，得,A A 不相邻；⑥若12,A A S S ，则显然有,A A 不相邻．故0S 中各顶点互不相邻，即0S 为F 的反链．此外，01120011221211S U V S S V S S S S S S N U S ．这与1S 为F 的元素个数最多的反链矛盾！原假设不成立，从而2V U ，有 N U U 得证．此时，由Hall 婚姻定理得，存在一个2V 到1V 的完全匹配M ，即存在由一个上述二分图的边所形成的集合M 满足：①12,e e M 边，12,e e 边无公共顶点；②2A V ，M e ，使得A 为e 的一个端点．因此，2S A ，若212A S V S ，定义()f A B ，其中,A B 相邻且边AB M ，若12A S S ，定义()f A A ．此时，所得f 便满足要求．□。
浙江省2019年高中数学竞赛模拟试题及答案解析
浙江省2019年高中数学竞赛模拟试题及答案解析一、选择题1、在中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】试题分析：由正弦定理可得，在中，“”则，则，由倍角公式可得，可得，反之也成立，所以在中，“”是“”的充分必要条件，故选C.考点：正弦定理与倍角公式.2、若集合，，，则集合（）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，，．由，知；，知或．所以，或，即．故选D；3、若函数（，且）的值域为，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】当时，函数的值域为，当时，，即时，，且时恒成立．∴，的取值范围为．故选A；4、如图，在四面体中，已知两两互相垂直，且．则在该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如图，设 (在上，在上，在上)．由，，知，，．∴在面内与点距离为的点形成的曲线段(图中弧) 长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．同理，在面内与点距离为的点形成的曲线段长为．所以，该四面体表面上与点距离为的点形成的曲线段的总长度为．故选B．点睛：想象出在每个截面上的弧线是一个个圆弧，找到相应的圆弧的圆心角，和半径，弧长就求出来了；5、已知函数，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，则函数为奇函数且在实数上为增函教，不等式转化为故选D．6、记为三个数中的最小数，若二次函数有零点，则的最大值为（）A．2 B． C． D．1【答案】B【解析】可以不妨设，因为，所以，故所以，，所以（当且仅当时取等号) 故选B．二、填空题7、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是__________．【答案】小乐，小强，小明．【解析】其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．8、省中医院5月1号至5月3号拟安排6位医生值班，要求每人值班1天，每天安排2人．若6位医生中的甲不能值2号，乙不能值3号，则不同的安排值班的方法共有__________种．【答案】42;【解析】分两类(1) 甲、乙同一天值班，则只能排在1号，有种排法；(2) 甲、乙不在同一天值班，有种排法，故共有42 种方法．故结果为42．9、已知函数，若对于任意的，存在，使得成立，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】函数视作为的函数问题等价于对于，由于，所以所以问题等价于，即，所以．故结果为．点睛：双变元问题，先看成函数视作为的函数，求出最值；再看成x的函数求最值．10、已知，则的取值范围为__________．【答案】;【解析】由及有，所故结果为．11、已知是偶函数，时， (符号表示不超过的最大整数)，若关于的方程恰有三个不相等的实根，则实数的取值范围为__________．【答案】;【解析】作出函数与的草图(如图所示)．易知直线恒过点，是方程的一个根．从图像可知，当，即时，两个函数的图像恰有三个不同的交点．∴的取值范围为．点睛：方程的根转化为函数的零点，图像的交点问题，且发现直线过定点；根据图像得到结果．12、已知点为椭圆的右焦点，椭圆的离心率为，过点的直线交椭圆于两点(点在轴的上方)，且，则直线的斜率为__________．【答案】;【解析】极点在右焦点的极坐标方程为，所以，，从而，可得，，所以直线的斜率为．13、方程的正整数解为______________（写出所有可能的情况)．【答案】;【解析】．∴，∴，．由，知，因此，．∴，若，则，，．将，代入题中方程，得．若，则，．由知，不存在．若，则．以，，又，因此，．经验证只有符合．将代入题中方程，得．∴符合条件的正整数解有或．14、一个有限项的数列满足：任何3 个连续项之和都是负数，且任何4个连续项之和都是正数，则此数列项数的最大值为__________．【答案】5;【解析】一方面可以构造5 项的数列：符合题设；另一方面，证明满足条件的数列不超过5项．否则取出前6 项，作出如下排列：由每行的和为负数，知这12 个数之和为负数；由每列的和为正数，知这12 个数之和为正数．矛盾．故结果为5．三、解答题15、已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分当时，恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分当时，，从而．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：3极小值∴，故“在上恒成立”只需，即 ．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.16、（12分）如图，椭圆（）的离心率，短轴的两个端点分别为B1、B2，焦点为F1、F2，四边形F1 B1F2 B2的内切圆半径为（1）求椭圆C的方程；（2）过左焦点F1的直线交椭圆于M、N两点，交直线于点P，设，，试证为定值，并求出此定值．【答案】（1）；（2）【解析】试题解析：（1）设四边形F1B1F2B2的内切圆与边B1B2的切点为G，连接OG，则|OG|=由S△OB2F2=|OB2||OF2|=|B2F2||OG|，|OB2|=b， |OF2|=c， |B2F2|=a，得bc= a又∵e=解得a=2，b=故椭圆方程为：（2）设直线MN的方程为y=k（x+1）代入椭圆方程，整理得（3+4k2）x2+8k2x+4（k2-3）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=又P（-4，-3k），F2（-1，0）由，得，∴∵∴为定值考点：本题考查椭圆的几何性质向量共线点评：解决本题的关键是利用向量共线，求出即可17、已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；（Ⅲ）设，，，求证，，．【答案】(1)；(2)的取值范围为；（3）见解析．【解析】试题分析：（1）点的坐标为；点在上，则（2）方程的根转化为图像的交点；（3）裂项求和．（Ⅰ）函数的图像恒过定点，点的坐标为又因为点在上，则即，∴（Ⅱ）即，∴由图像可知：，故的取值范围为．（Ⅲ），∴，．点睛：主要考查函数零点，方程的根，图像的交点可等价；再就是数列裂项求和问题．。
浙江省杭州市2019届高考数学命题比赛模拟试题十五含答案
A.6
B.3
C.2
D.3
8.[改编自优化方案]
过双曲线
x2 a2
y2 b2
1 (a
0,b
0) 左焦点 F (c, 0) (c
0) ，作圆
x2
y2
a2
的切线，切点为
E
，延长
FE
交双曲线右支于点
P
，若 OP
2OE
OF
，则双曲线的
4
离心率为 （ ）
已知函数
f
x
2x1 2, x 1
log2x 1, x
，则
1
f
(1)
_______,若
f
a＝－3，则
f 10 a等
于_________。
12.[改编自优化方案] 随机变量 ξ 的分布列如下，其中 a, b，c 成等差数列。若 E = 5 ，则
3 D( ) 的值为_______。
A． 10
10 B．
5
10 C．
2
D． 2
9.[改编自步步高] 如图 RtABC 中， ACB 90 ，直线 过点 A 且垂直于平面 ABC ，动点 P l ，
当点 P 逐渐远离点 A 时， PBC 的大小（ ）
A．不变
B．变小
C．变大
D．先变大，再变小
(第 9 题图)
10.[全 全 自2018全全全全 全 赛] 全全全全
13._____________；_____________； 14._____________；_____________；
15.________ _______ 16. _____________ 17. ______________；_____________
2019学年浙江省高中数学竞赛
2019学年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a=3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为4. 设R y x ∈,，且1)sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=⋅→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为10. 已知()⎩⎨⎧≥-<-=0,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a=二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上11. 设.,2,1,)(316)(,32)(2121 =+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的实数解。
浙江省磐安县第二中学2019_2020学年高二数学10月竞赛试题201912230286
浙江省磐安县第二中学2019-2020学年高二数学10月竞赛试题 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．4B ．4CD ．32．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（ ）A ．平行+B ．相交C ．平行或相交D ．垂直3．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．34．正方体中，直线与所成的角为（ ） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o5．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题：①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确的命题个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．46．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童.如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的表面积为（ ）A ．40+B ．72C ．40+D ．327．如图所示，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为3，点E 在11A B 上，且11B E =，记图中阴影平面为平面α，且平面α平面1BC E .若平面α平面111AA B B A F =，则AF 的长为（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．38．ABC ∆的斜二侧直观图如图所示，则ABC ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D 9．下列图形中不一定是平面图形的是（ ）A ．三角形B ．平行四边形C ．梯形D ．四边相等的四边形10．如图所示的平面结构（阴影部分为实心，空白部分为空心），绕中间轴旋转一周，形成的几何体为（ ）A ．一个球B ．一个球中间挖去一个圆柱C ．一个圆柱D ．一个球中间挖去一个棱柱第II 卷（非选择题)二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.14．如图所示，在四面体D ABC -中，若CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）16．某四棱锥的三视图如图所示，那么该四棱锥的体积为____．17．已知圆锥和圆柱的底面半径均为R ，高均为3R ，则圆锥和圆柱的表面积之比是______．三、解答题18．求图中阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.19．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF∥平面AA1B1B；(2)若AA1＝3，AB＝EF与平面ABC所成的角．20．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，E，F分别为BC，CD的中点，且平面求证：平面PBD；平面PEF．的直观图及三视图如图所示，E、F分别为PC、BD的中点．21．如图，多面题P ABCD（1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（3）求P ABCD V -.22．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为AC 与BD 的交点， BE ⊥平面ABCD . （Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED .（Ⅱ）若120ABC ∠=, AE EC ⊥, 2AB =,求点G 到平面AED 的距离.2019-2020学年度磐安二中学校10月月考卷高二数学考试时间：120分钟；命题人：潘建华一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B C D 【答案】C【解析】【分析】根据三视图得到原图，再由椎体公式得到结果.【详解】由三视图可推知，几何体的直观图如图所示，其中平面ABD ⊥平面BCD ，1AO =，三棱锥A BCD -的体积为(2113⨯=故答案为：C.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整. 2．已知四面体中，平面平面，为边长2的等边三角形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形的特征建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后根据直线方向向量的夹角求出异面直线所成的角．【详解】根据题意画出图形如下图所示．∵平面平面，平面平面，，∴平面，以过点D且与平面垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，则，∴,∴，∴异面直线与所成角的余弦值为．故选A．【点睛】解题的关键是将求两条异面直线所成角转化为两向量夹角的问题求解，其中需要注意异面直线所成角与两向量夹角间的关系，解题的关键是要注意异面直线所成角的范围，此处容易出现错误，属于基础题．3．已知点A，B O表面上运动，且AB＝2，过AB作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分别为圆M，N，则A．MN长度的最小值是2 B．MNC．圆M面积的最小值是2πD．圆M，N的面积和是定值8π【答案】B【解析】【分析】由过AB作相互垂直的平面α，β,确定BA、BC、DB两两互相垂直，M，N分别是AC，AD的中点，求出CD，即可得结论．【详解】如图所示，因为过AB作相互垂直的平面α、β，则面ABC⊥面ABD,由面面垂直的性质定理，得AB⊥面BCD，所以AB⊥BC,AB⊥BD,得BD⊥BC，所以BA、BC、DB两两互相垂直，所以BC2+BD2+2AB＝(2，因为AB=4,∴CD2＝BC2+BD2=8，所以∵M，N分别是AC，AD的中点，∴MN故选：B．【点睛】本题考查了球的内接几何体和面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．若三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC,PA=AB=2，AC=三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为A．12πB．16πC．20πD．24π【答案】A【解析】【分析】求解底面长方形的外接圆，PA⊥平面ABC，球心到圆心的距离为1，利用圆心与球心构造直角三角形求解即可．【详解】由题意，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC＝ABC是直角三角形，补形底面为长方形．∴球心到圆心的距离为1，底面长方形的外接圆,∴R2=r2+1，即,∴球O的表面积S=4πR2=12π．故选：A．【点睛】本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系为（）A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直【答案】C【解析】【分析】根据三点在平面的同侧或异侧，两种情况，即可判定得到α与β的位置关系，得到答案．【详解】α平面β；由题意，若三点分布在平面β的同侧，此时平面//若三点分布于平面β的两侧时，此时平面α与平面β相交，综上可知，平面α与平面β平行或相交，故选C．【点睛】本题主要考查了空间中平面的位置关系的判定，其中根据三点在平面β的同侧和异侧，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．6．正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组（）A．由两个圆台组合成的B．由两个圆锥组合成的C．由一个圆锥和一个圆台组合成的D．由两个棱台组合成的【答案】B【解析】【分析】将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，将正方形ABCD绕对角线AC所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥，故选B.【点睛】本题主要考查了旋转体的概念及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解答的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题.7．直线m⊥平面α，下面判断错误的是（）A．若直线n⊥m，则n∥αB．若直线n⊥α，则n∥mC．若直线n∥α，则n⊥m D．若直线n∥m，则n⊥α【答案】A【解析】【分析】结合线面垂直、线线平行及线面平行的相关性质可以判断.【详解】由直线m⊥平面α，得：在A中，若直线n⊥m，则由线面平行性质得n与α相交、平行或n⊂α，故A错误；在B中，若直线n⊥α，则由线面垂直的性质得n∥m，故B正确；在C中，若直线n∥α，则由线面垂直的性质得n⊥m，故C正确；在D中，若直线n∥m，则由线面垂直的判定定理得n⊥α，故D正确．故选：A．【点睛】本题主要考查空间位置关系的判定，可以借助模型求解，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.8．已知两条不同直线m、n和两个不同平面α﹑β，下列叙述正确的是（）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若////m n m n ααββ⊂⊂，，，，则//αβC ．若αβ⊥，m α⊂，则m β⊥D ．若αβ⊥，m β⊥，m α⊄，则//m α【答案】D【解析】【分析】A 选项可由线面平行的性质作出判断，B 选项可由面面平行的判定定理作出判断，C 选项可由面面垂直的性质作出判断，D 选项可由线面平行的条件作出判断【详解】当两条直线同时与一个平面平行时，两条直线之间的关系不能确定，故A 不正确，B 选项再加上两条直线相交的条件，可以判断面与面平行，故B 不正确，C 选项再加上m 垂直于两个平面的交线，得到线面垂直，故C 不正确，D 选项中，如下图所示设=b αβ⋂，,a b a β⊥∴⊥，又m β⊥，根据垂直于同一平面的两直线平行，可得m a ∥，又a α⊂，m α∴∥选D【点睛】考生需灵活掌握线线平行到线面平行，面面平行到线面平行的基本转化关系，遇到较为抽象的证明问题时，辅以图像能够更加有效的解决问题9．下列命题中正确的个数是（ ）①平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则//l α．③若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线互相平行④已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//a β，b β⊂，//b α，则//αβ．A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用线线平行、线面平行以及面面平行的定义来判断选项即可【详解】在①中，平面α与平面β相交，它们有无数个公共点，故①错误；在②中，若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l 与α平行或相交，故②错误；在③中，若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线相交、平行或异面，故③错误；在④中，已知平面α，β和异面直线a ，b ，满足a α⊂，//αβ，b β⊂，//b α， 则由面面平行的判定定理得//αβ，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查线线平行、线面平行、面面平行的定义，属于基础题10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ==AD 1AA =1AC 与CD 所成角的大小为( ) A.6π B.4π C.3π D.3π或23π 【答案】C【解析】【分析】平移CD 到AB ，则1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在直角三角形中即可求解.【详解】连接AC 1，CD //AB ，可知1C AB ∠即为异面直线1AC 与CD 所成的角，在1Rt C AB ∆中，11tan BC C AB AB∠=，故选C ． 【点睛】 本题考查异面直线所成的角.常用方法：1、平移直线到相交；2、向量法.二、填空题11．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则直线11D B 与平面11A BCD 所成角的正弦值为________. 【答案】12【解析】【分析】利用平面11ABB A ⊥平面11A BCD 得到 B 1O ⊥平面11A BCD ，进而作出直线与平面所成角，易解．【详解】如图，平面11ABB A ⊥平面11A BCD ，又B 1O ⊥1A B ，∴B 1O ⊥平面11A BCD ，∴∠B 1D 1O 即为所求角，sin∠B 1D 1O 12=， 故答案为：12． 【点睛】求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值，当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系，利用向量求解.12．正方体的全面积为a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是______. 【答案】2a π 【解析】【分析】由题意可得正方体的边长及球的半径，可得球的表面积.【详解】解：根据正方体的表面积可以求得正方体的边长为l =，正方体的外接球球心位于正方体体心，半径为正方体体对角线的一半，求得球的半径r ==积为242aS r ππ==， 故答案：2aπ.【点睛】本题主要考查空间几何体的表面积,得出正方体的边长和球的半径是解题的关键.13．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.【答案】平面1A EF【解析】【分析】由E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，利用线面平行的判定定理，得到EF 平面BCHG ，再由四边形1A EBG 是平行四边形，得到1A E GB ∥，证得1A E ∥平面BCHG ，最后利用面面平行的判定定理，即可得到平面1A EF ∥平面BCHG .【详解】由题意，因为E F ，分别为AB AC ，的中点，所以EF BC ∥，因为EF ⊄平面BCHG ，BC ⊂平面BCHG ，可得EF 平面BCHG ，因为1AG EB =且1AG EB ∥，所以四边形1A EBG 是平行四边形，所以1A E GB ∥，又因为1A E ⊄ 平面BCHG ，GB ⊂平面BCHG ，所以1A E ∥平面BCHG ，因为1A EEF E =，所以平面1A EF ∥平面BCHG . 【点睛】主要考查了空间中平行关系的判定与证明，其中解答中熟记线面平行、面面平行的判定定理和性质定理，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．14．如图所示，在四面体D ABC -中，若CD =，其余各棱长都为1，则在这个四面体中互相垂直的平面是____________________________________.【答案】平面ACD ，平面BCD .【解析】【分析】过A 作AE CD ⊥，得到AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又由222AE BE AB +=，得到90AEB ∠=，即可求解.【详解】由题意，过A 作AE CD ⊥，交CD 于点E ，因为1,AD AC CD ===90DAC =∠，由E 为CD 的中点，所以AE =连接BE ，因为1,BD BC CD ===BE CD ⊥，且2BE =， 所以AEB ∠是二面角A CD B --的平面角，又1AB =，所以222AE BE AB +=，所以90AEB ∠=，∴平面ACD ⊥平面BCD .【点睛】本题主要考查了线面位置关系的应用，其中解答中熟练应用线面垂直的性质定理，合理准确判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.15．已知ABC ∆，用斜二测画法作它的直观图'''A B C ∆，若'''A B C ∆是斜边平行于'x 铀的等腰直角三角形，则ABC ∆是________三角形（填“锐角”.“直角”.“钝角”）.【答案】直角【解析】【分析】根据斜二测画法，45x oy ∠=''︒，直接判断ABC ∆的形状。
2019年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题
年高中数学联赛浙江赛区初赛试题
阳泉十一中：杨翔鹏整理（说明：本试卷满分分，共题，道填空题，道解答题。
填空题的答案和解答题的解答过程写在答题纸上。
）
一、填空题（每题分，共分）
如图，将长度为的线段分为两段，再将长度为的线
段弯成半圆周，将长度为的线段折成矩形
三条边，构成闭“曲边形”，则
该曲边形面积的最大值为 .
已知集合为正整数，若集合中所有元素之和为
则当取最大值时，集合 .
设，则的最大值为 .
设三条不同的直线：
则它们相交于一点的充分必要条件为 .
如图，在中，.在
边上取一点，将沿线段折
起，得到，当平面垂直平面时，则
到平面的距离最大值为 .
如图，在中，分别为上的点，且
.设为四边形
内一点.若则实数的
取值范围为 .
设，定义则 .
设为复数，且满足，，则取值
为 .
设，数列满足，.若，则的取值范围为 .
在复平面上，任取方程的三个不同的根为顶点组成三角形，则不同的锐角三角形的数目为 .
二、解答题（第题分，第题各分）
如图，椭圆，抛物线.
设相交于两点，为坐标原点.
若的外心在椭圆上，求实数的值；
若的外接圆经过点，求实数的值.
设.若，证明：
设是有限集，为正整数，是包含.如果中的部分子集构成的集族满足：对中任意两个不相等的集合，
均不成立，则称为反链.设为包含集合最多的反链，是任意反链.证明存在到的单射成立.。
一道竞赛题引发的探究
一道竞赛题引发的探究∗叶硕海1,㊀郑日锋2(1.学军中学海创园学校,浙江杭州㊀311121;2.学军中学,浙江杭州㊀310012)摘㊀要:文章从学生给出的一个错解出发,对2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛第10题进行了探究与推广,得到一般性的结论.关键词:猜想;三角形;计数问题中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)07-0044-031㊀问题呈现近日,笔者的一个学生遇到了这样一个问题.例1[1]㊀在复平面上任取方程z100-1=0的3个不同的根为顶点组成三角形,则不同的锐角三角形的数目为.(2019年全国高中数学联赛浙江赛区初赛试题第10题)该学生是这样思考的:将单位圆100等分,任取其中3个不同的点,则三角形的个数为N0=C3100=161700.其中直角三角形可先确定其直径,共50条,每条直径的同侧可取49个顶点,共两侧,故直角三角形的个数为N1=52ˑ49ˑ2=4900.因此不同的锐角三角形与钝角三角形的个数之和便为N0-N1=156800.㊀㊀此时,该学生猜想:其中锐角三角形与钝角三角形个数相等,于是锐角三角形的个数为N2=156800ː2=78400.然而78400是一个错误的答案,显然错因出现在最后一步,即其中锐角三角形与钝角三角形的个数并不相等.在给该生讲解之后,笔者发现正确答案为39200,正好是78400的一半.这表示钝角三角形个数恰好是锐角三角形个数的3倍!这是巧合还是对任意的n都成立?就此,笔者与该生进行了如下的猜测:猜想1㊀将单位圆n等分(其中nȡ3),任取3个顶点组成三角形,则其中钝角三角形与锐角三角形的个数之比为3ʒ1.2㊀问题探究通过简单计算发现,该结论并不对任意的nȡ3均成立,事实上:当n=3时,此时仅有锐角三角形,故结论不成立;当n=4时,此时仅有直角三角形,故结论也不成立;当n=5时,可用枚举法得钝角三角形与锐角三角形的个数之比为1ʒ1,故结论还不成立.图1下面为方便起见,在各类情况中,记N0为所有三角形总数,N1为直角三角形总数,N2为锐角三角形总数,N3为钝角三角形总数.当n=6时,N0=C36=20,N1=12,N2=2(即图1中的әA1A3A5和әA2A4A6),此时N3=20-12-2=6,故N3ʒN2=3ʒ1.基于以上观察,笔者改变了猜想的方向,得到:猜想2㊀将单位圆2k等分(其中kȡ3),任取3个顶点组成三角形,则其中钝角三角形与锐角三角形的个数之比为3ʒ1.㊃44㊃中学教研(数学)2021年第7期∗收文日期:2020-12-29;修订日期:2021-01-29作者简介:叶硕海(1989 ),男,浙江舟山人,中学一级教师.研究方向:数学教育.证明㊀显然N 0=C 32k=2k(2k -1)(k -1)3,N 1=2k(k -1),则N 0-N 1=43k(k -1)(k -2).为了证明猜想2,下面只需证明N 2=13k(k -1)(k -2).图2如图2,不妨设这2k 个顶点按逆时针次序排列依次为A 1,A 2, ,A 2k .首先考虑所有以A 1为顶点的锐角三角形,显然另外两个点只能出现在直径A 1A k +1的两侧,故三角形第二个点只需考虑A 2,A 3, ,A k 即可.若第二个点取A 2,则下半圆中没有点能与A 1A 2构成锐角三角形;若第二个点取A 3,则下半圆中仅有点A k +2能与A 1A 3构成锐角三角形;㊀㊀依此类推,若第二个点取A m (其中2ɤm ɤk),则有m -2个点能与A 1A m 构成锐角三角形.因此,所有以点A 1为顶点的锐角三角形的个数为0+1+2+3+ +(k -2)=12(k -1)(k -2).由于共有2k 个顶点,每个三角形被计算了3次,从而N 2=13ˑ12(k -1)(k -2)éëêêùûúúˑ2k =13k(k -1)(k -2),于是N 1ʒN 2=3ʒ1.进一步,我们也可考虑当n 为大于5的奇数时,钝角三角形与锐角三角形的个数之比.过程如下:图3设n =2k +1(其中k ȡ3),显然此时无直角三角形.如图3,不妨设这2k +1个顶点按逆时针次序排列依次为A 1,A 2, ,A 2k +1,记A m 关于圆心的对称点为B m (其中1ɤm ɤ2k +1).首先考虑所有以A 1为顶点的锐角三角形,同理另外两个顶点只能出现在直径A 1B 1的两侧,故三角形第二个点只考虑A 2,A 3, ,A k +1即可.与n 为偶数情形类似,若第二个点取A m (其中2ɤm ɤk +1),则有m -1个点能与A 1A m 构成锐角三角形,故所有以A 1为顶点的锐角三角形的个数为12k (k +1).进而,锐角三角形的总数为N 2=13(2k +1)ˑ12k (k +1)éëêêùûúú=16k (k +1)(2k +1).另外,三角形的总数为N 0=(2k +1)2k (2k -1)6,则钝角三角形的个数为N 3=N 0-N 2=(k -1)2k (2k +1)2,因此,钝角三角形与锐角三角形的个数之比为N 3N 2=3(k -1)k +1.经检验,当k =1以及k =2(即当n =3以及n =5)时,上述公式也成立.综上,我们有如下结论:结论1㊀将单位圆n 等分(其中n ȡ3).任取3个顶点组成三角形,1)若n =4,则所有的三角形均为直角三角形;2)若n 为奇数,则钝角三角形与锐角三角形个数之比为3(n -3)n +1;3)若n 为偶数且n ȡ6,则钝角三角形与锐角三角形个数之比为3ʒ1.进而,我们有如下推论:推论1㊀将单位圆n 等分(其中n ȡ5),任取3个顶点组成三角形,记N 2为锐角三角形总数,N 3为钝角三角形总数,则lim n ң+ɕN 3N 2=3.3㊀问题引申进一步,我们还可考虑能否利用几何概型以及多重积分将该问题推广成连续型:猜想3㊀在单位圆上任取3个不同的点,则取到钝角三角形的概率与取到锐角三角形的概率之比为3.4㊀一点感悟(下转第46页)㊃54㊃2021年第7期中学教研(数学)一道浙江预赛题的解法与变式推广∗栾㊀功(南宁市第三中学,广西南宁㊀530021)摘㊀要:文章通过对2020年浙江省预赛试题第12题的解法探究,得到了相关研究对象在运动变化过程中保持的规律性及其变式推广,并由试题的解答与推广得出了关于圆锥曲线的一个统一结论,从而揭示了问题的本质和规律.关键词:圆锥曲线;一题多解;变式推广中图分类号:O123.1㊀㊀㊀㊀文献标识码:A㊀㊀㊀㊀文章编号:1003-6407(2021)07-0046-051㊀试题呈现题目㊀已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为32,且椭圆C的任意3个顶点构成的三角形面积为12.1)求椭圆C的方程;2)若过点P(λ,0)的直线l与椭圆交于相异的两个点A,B,且APң=2PBң,求实数λ的范围.(2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试题第12题)分析㊀第1)小题考查椭圆的基本概念和基本性质,是圆锥曲线中最基本的题型,体现了竞赛试题的基础性及对考生的关怀.第2)小题以过点P 的直线l与椭圆交于相异的两个点A,B为背景,设计了APң=2PBң,求点P横坐标λ的范围;为求出实数λ的范围,必须从运动变化中的不变量APң= 2PBң入手寻找化归途径,即由此思考几何关系APң=2PBң如何转化,从而解决问题.该试题既考查了直线和椭圆的位置关系㊁平面向量的概念及基本运算㊁考生的逻辑推理能力和运算求解能力,还深入考查了解析几何的基本思想和基本方法.该试题蕴含着丰富的数学思想,值得深入探究.(上接第45页)‘普通高中数学课程标准(2017年版)“指出:高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质[2].因此,由真实的问题引发的数学探究作为一种重要的数学活动,不仅能激发学生的学习兴趣以及探索精神,更能提升学生的思维能力以及数学素养.教师应当在教学过程中鼓励学生提出猜想并严谨求证.此外学生解题时的错解也是教师在教学过程中的一个重要的资源,教师应该用积极的眼光看待学生在解题中出现的错误并加以正确引导.通过对错解的分析,不仅能让师生明白其中的原理,还能得到一些有趣的结论,实现师生之间的教学相长.参㊀考㊀文㊀献[1]㊀中国数学会普及工作委员会及数学奥林匹克委员会.高中数学联赛备考手册㊃2020预赛试题集锦[M].上海:华东师范大学出版社,2020:103-111.[2]㊀中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(2017年版)[S].北京:人民教育出版社,2018:1-3.㊃64㊃中学教研(数学)2021年第7期∗收文日期:2020-10-27;修订日期:2020-12-08作者简介:栾㊀功(1982 ),男,甘肃陇西人,中学高级教师.研究方向:数学教育.。
浙江省绍兴市滨江中学2019年高三数学理联考试卷含解析
浙江省绍兴市滨江中学2019年高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为（A）（-1，1）（B）（1，1）（C）（1，-1）（D）（-1，-1）参考答案：A略2. 已知点的最小值是（）A．3 B．-3 C． D．参考答案：D略3. 设f（x）与g（x）是定义在同一区间[a，b]上的两个函数，若函数y=f（x）﹣g（x）在x∈[a，b]上有两个不同的零点，则称f（x）和g（x）在[a，b]上是“关联函数”，区间[a，b]称为“关联区间”．若f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，则m的取值范围为（）A．（﹣，﹣2] B．[﹣1，0] C．（﹣∞，﹣2] D．（﹣，+∞）参考答案：A【考点】函数零点的判定定理．【专题】压轴题；新定义．【分析】由题意可得h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m 在[0，3]上有两个不同的零点，故有，由此求得m的取值范围．【解答】解：∵f（x）=x2﹣3x+4与g（x）=2x+m在[0，3]上是“关联函数”，故函数y=h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣5x+4﹣m在[0，3]上有两个不同的零点，故有，即，解得﹣＜m≤﹣2，故选A．【点评】本题考查函数零点的判定定理，“关联函数”的定义，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．4. 设，是非零向量，记与所成的角为，下列四个条件中，使成立的充要条件是（）．A．B．C．D．参考答案：B等价于非零向量与同向共线，故选B.5. 已知函数（e为自然对数的底数），则函数的零点个数为（）A．8 B．6 C．4 D．3参考答案：B6. 用1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中偶数有( ▲ )．(A) 60个 (B) 48个 (C) 36个 (D) 24个参考答案：B7. 以下说法错误的是A.命题“若”,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则”B.“x=1”是“”的充分不必要条件C.若p∧q为假命题,则p,q均为假命题D.若命题p:∈R,++1<0,则﹁p:x∈R,≥0参考答案：C8. 在中，分别为内角所对的边，，且满足．若点是外一点，,，平面四边形面积的最大值是( )A． B． C．3 D．参考答案：A略9. 如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中判断框内(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是A. B.C. D.参考答案：C10. 在双曲线：中，，分别为的左、右焦点，为双曲线上一点且满足，则（）A．108 B．112 C．116 D．120参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设实数，满足约束条件则的最大值为．参考答案：1412. （选修4-4：极坐标与参数方程）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知直线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数）．若直线与曲线交于两点，则= ．参考答案：13. 若实数x，y满足，则的最小值为______.参考答案：－3【分析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入即可求解．【详解】由题意，画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，直线过点A时，此时直线在y轴上的截距最小，目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14. 设抛物线的焦点为，直线过焦点，且与抛物线交于两点，，则．参考答案：215.某人5次上班途中所花时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9。
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2019学年浙江省高中数学竞赛一、填空题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为2. 已知5log )35(log 172+=-a a ，则实数a=3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根，则b a 22-的取值范围为4. 设R y x ∈,，且1)sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ，则x -y= 5. .已知两个命题，命题P ：函数())0(log >=x x x f a 单调递增；命题q ：函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题，q p ∧为假命题，则实数a 的取值范围为6. 设S 是⎪⎭⎫ ⎝⎛85,0中所有有理数的集合，对简分数()1,,=∈q p S p q ，定义函数()32,1=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ，M ，N 分别在x 轴上，圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上，则PN PM +的最小值8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ，动点E 在线段AD 上，则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为9. 已知平面向量→a ，→b ，→c ，满足1=→a ，2=→b ，3=→c ，10<<λ，若0=⋅→→c b ，则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为10. 已知()⎩⎨⎧≥-<-=0,10,22x x x x x f ，方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-，则实数a=二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上11. 设.,2,1,)(316)(,32)(2121 =+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ，求x x f n 3)(=的实数解。
12. 已知椭圆12622=+y x 的右焦点为F ，过F 的直线)2(-=x k y 交椭圆于P ，Q 两点（0≠k ），若PQ 的中点为原点，直线ON 交直线x=3于M.（1）求∠MFQ 的大小；（2）求MFPQ 的最大值. 13. 设数列{}n a 满足： ,3,2,1,2,221=≤=-+n a a a n n n ，证明：如果1a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列。
14. 设+∈Z b b b a a a 321321,,;,,，证明：存在不全为零的数{}2,1,0,,321∈λλλ，使得332211a a a λλλ++和332211b b b λλλ++同时被3整除.15. 设{}n a a a ,,,21 =σ为{}n ,,2,1 的一个排列，记()∑=++==ni n i i a a a a F 1111,σ，求().m in σF答案：一、填空题1. -41282.23.[]2,04.)(22Z k k ∈+ππ 5.),2[]1,2(+∞-6.57.13102--8.⎥⎦⎤⎢⎣⎡714arctan ,0 9.),4()113136,(+∞--∞ 10.2317- 二、解答题11. 证明：利用数学归纳法.（1）x=2是x x f n 3)(=的解当n=1时，x=2是x x x f 332)(21=+=的解.当n=k 时，设6)2(=k f 则6)2(3164)2(1=+=+k k f f . 由此可得x=2是x x f n 3)(=的解（对于所有的n ）.（2）当x>2时，2233)(x x x f n <<. 当n=1时，)2(23332)(221><<+=x x x x x f . 当n=k 时，设x x f k 3)(>，则x x x f x x f k k 31)(316)(221>+>+=+. 由此可得0<x<2都不是x x f n 3)(=的解（对于所有的n ）.因此，对于每个n ，x x f n 3)(=的实数解为x=212. 解：（1）联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12622x k y y x ，可得061212)13(2222=-+-+k x k x k . 设P 点的坐标为()p p y x ,，Q 的坐标为().,q q y x 则13612,13122222+-=+=+k k x x k k x x q p q p . 于是有()13442+-=-+=+k k k x x k y y q p q p . 因为PQ 的中点为N ，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+132,136222k k k k N ，因此ON 的斜率为k k MF 1-=， 即得1-=PQ MF k k ，因此MF 与PQ 垂直，∠MFQ=2π. （2）()()[]q p q p q p q p q p x x x x k x x k k x x k x x MF PQ I 4)(11)(222222222-+=-=+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛= ()222222222213124131224)13(144++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=k k k k k k k k . 令132+=ku ，则()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---=+-=169411316)21211(3163)2(18222u u u u u u I ，13. 证明：（1）若1a 为有理数，则{}n a 为一个有理数数列（2）对于任意的n ，设1),(,==x y xy a n ，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立：x x y a a n n 22221+=+=+或xx y a a n n 22221-=-=+.n a 与1+n a 有相同的分母（不约分）. （3）设1),(,1==q p p q a ，则n n n b pb a ,=为整数，由于,,3,2,1,2 =≤n a n 因此p b p n 22≤≤-（4）若存在两个自然数l k <，使得i k a a =，则由（2）中得到的x x y a a n n 22221+=+=+或xx y a a n n 22221-=-=+递推公式以及2≤n a ，n=1,2,3，…，可得{}n a 从k 项开始是一个周期数列，周期为k l -（5）由（3）可知对于任意的n ，n b 的值只有4p+1（有限个），故总能找到l k <，使得l k b b =，从而由l k a a =.综上所述，如果l a 为有理数，则从某项后{}n a 为周期数列.14.证明：不妨设{}3,2,1,2,1,0,),3(m od ),3(m od =∈≡≡i l k l b k a i i i i k i ．则要证明结论正确，只要证明存在不全为零的数{}2,1,0,,321∈λλλ，使得≡++332211k k k λλλ)3(m od 0)3(m od 332211≡++l l l λλλ．(*)记)3(m od 1221c I k I k =-，这里{}2,1,0∈c ．情形（1）当时，则011==l k ，或者11,l k 不全为零．若011==l k ，则取0,1321===λλλ，有（*）式成立．若11,l k 不全为零，不妨设01≠k ，则取0,,31221=-==λλλk k ，且⎩⎨⎧≡-=++≡-=++)3(mod 0)3(mod 021123322112112332211l k l k l l l k k k k k k k λλλλλλ即(*)式. 情形（2）当c=1或2时，即)3(mod 12≡c ．记)3(m od )(),3(m od )(2311312332c l k l k c c l k l k c ≡-≡-，这里{}2,1,0,21∈c c ．令1,,32211===λλλc c ，则{}2,1,0,,321∈λλλ且不全为零，且=++332211k k k λλλ≡++332211k c k c k c )3(m od )()(32311312332k k l k l k c k l k l k c +-+- )3(mod 0)3(mod )1()3(mod )(32221123≡-≡+-≡k c k l k l k ck类似可以证明)3(m od 0332211≡++l l l λλλ．综上所述，可以取到不全为零的数{}2,1,0,,321∈λλλ，使得（*）式成立15.解：问题等价于圆周上放置i r 个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值记为n T ．不妨设n a =1，则数字1必与它相邻，否则设j a =1（2≠j ，i r ），则可将j a a a ,,,32 ，的数字改变为21,,,a a a j j -上的数字，则相邻数的乘积和的该变量为0))((211121121<--=--++++a a a a a a a a a a a a j j j j j j ．于是可确定12=a ．再说明数字2也必与数字i r 相邻，即2=n a ．事实上，若j a =2（n j ≠），则交换j n n a a a ,,,1 -为n j j a a a ,,,1 +，此时的目标改变值为0))((111111<--=--+---n j j j j n j n j a a a a a a a a a a a a .因此目标取到最小值时，2,1,21===n a a n a ．由此出发，依次可得2,113-=-=-n a n a n ． 在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都小，则在剩下的数中找两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的数字中找两个最大的数，按大对小，小对大放置．由此规律即得 ,4,3,4,33524-=-===--n a n a a a n n ．下面用递推法计算n T ．考虑n+2个数字，我们在n T 的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，n+2这两个数字，在，n+1的中间插入n+2，1，即可得到2+n T ．因此，)1(2)2(2)2()1(2+-++++++=+n n n n T T n n ，其中∑=+++=++=ni n i i n n n T a a T 11)2()1)(1(，。