2020届安徽省合肥一中高三上学期10月段考数学(文)试题

…………外……………内…绝密★启用前 2020届安徽省合肥一中高三上学期10月段考数学(文)试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合A {x |1x 2}=-<<，2B {x |x 3x 0}=-<，则()R A B (⋂=ð ) A ．()1,3- B ．()1,2- C ．()0,2 D ．[)2.3 2．若*,x y R ∈，且135y x +=，则34x y +的最小值是（ ） A ．5 B ．245 C ．5 D ．195 3．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 图像的一条对称轴方程是（ ）A ．6x π=-B ．6x π=C ．12x π=-D ．12x π= 4．若l ，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，则“l ∥α”是“l ⊥m 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．函数y=e sinx (-π≤x≤π)的大致图象为( ) A ． B ．…装…………○………线…………○……不※※要※※在※※装※※订※※…装…………○………线…………○……C．D．6．已知平面向量ar与br的夹角为23π，)a=r，2a b-=r r则b=r（）A．1 B C D．27．已知函数()f x是定义在R上的偶函数，且当0x>时，()2f x x x=-，则函数()f x的图像在点()()1,1f--处的切线方程是（）A．20x y+-=B．0x y+=C．10x y++=D．20x y++=8．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，若某个鳖臑的三视图均为直角边长为1的等腰直角三角形（如图所示），则该鳖臑外接球表面积为（）A．43πB．2πC．6πD．3π9．已知数列{}n a中满足115a=，12n na a n+=+，则nan的最小值为（）A．9 B．7 C．274D．110．已知函数()f x的定义域为()0,∞+，且满足()()0f x xf x'+>（()f x'是()f x的导函数），则不等式()()()2111x f x f x--<+的解集为（）A．(),2-∞B．()1,+∞C．()1,2-D．()1,211．在平面直角坐标系中，(0,0)O，(4,3)P，将向量OPuuu r按逆时针旋转3π后，得向量OQuuu r，则点Q的横坐标是（）……装…………○…_______姓名：___________班级：……装…………○…A ．22+B ．22-C ．32D ．32 12．已知函数f （x ）＝（mx ﹣1）e x ﹣x 2，若不等式f （x ）＜0的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m 的取值范围（ ） A ．2211,12e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ B ．2211,12e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ C ．323121,32e e ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭ D ．323121,32e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是1AA 、AB 的中点，则异面直线EF 与11A C 所成角的大小是______. 14．已知点(,)P x y 在不等式组001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域内运动，则4z x y =-的取值范围为______ 15．用半径为3cm 的半圆形纸片卷成一个圆锥筒（接头处不计），则这个圆锥筒的高为______cm . 16．数列{}n a 满足11a =，11n n n a a n λ+-=+，其中[]1,5λ∈，若存在正整数m ，当n m >时总有0n a <，则λ的取值范围是______. 三、解答题外…………○…※※内…………○…17．已知),cos a x x =，(cos ,cos )b x x =r ，()f x a b m =⋅+r r . （1）求函数()f x 的解析式，及()f x 的最小正周期； （2）当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最大值为72，求此函数()f x 的最小值. 18．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边长分别为,,a b c ,且2cos a A ccosB bcosC =+. (1)求角A 的大小; (2)若2a =,求ABC ∆周长的取值范围.19．正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，12AA AB ==.（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）求点C 到平面1AB D 的距离.20．在数列{}n a 中，11a =，1120n n n n a a a a ++-+=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且21nn a b n =+．（1）证明：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．（2）若23n t S t -≤<对*n ∈N 恒成立，求t 的取值范围．21．如图所示,ABCD 是边长为3的正方形,DE ⊥平面,//,3,ABCD AF DE DE AF BE =与平面ABCD 所成角为60︒.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ；(Ⅱ)设点M 是线段BD 上一个动点,试确定点M 的位置,使得//AM 平面BEF ,并证明你的结论．xe（1）求()f x 的单调区间； （2）当0a <时，且对任意的[]12,4,5x x ∈（12x x ≠），()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案1．D【解析】【分析】由解不等式求出集合B,再算出R A ð，进一步算出()R A B ⋂ð．【详解】由题意可得()0,3B =，而][(),12,R C A =-∞-⋃+∞，所以R (A)B ⋂=ð [)2,3．选D.【点睛】本题主要考查了解一元二次不等式，求集合的补集与交集，属于容易题，在解题过程中要注意在求补集与交集时要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点，同时将不等式与集合融合，体现了知识点之间的交汇.2．A【解析】【分析】 由题，得11334(34)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为*,x y R ∈，且135y x +=，所以1131312134(34)49(135555x y x y x y y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当，2x y =时，34x y +取得最小值5.故选：A【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的分析能力和转化能力.3．D【解析】【分析】由2T πω=，可得2ω=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令2()32x k k Z πππ+=+∈，得1()122x k k Z ππ=+∈，从而可得到本题答案. 【详解】 由题，得222T ππωπ===，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令2()32x k k Z πππ+=+∈，得1()122x k k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴为1()122x k k Z ππ=+∈， 当0k =时，12x π=，所以函数()f x 的一条对称轴为12x π=.故选：D【点睛】 本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，其中涉及2Tπω=公式的运用以及求三角函数的一条对称轴.4．A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】 解：当l ，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，若“l ∥α”，则“l ⊥m ”， 所以“l ∥α”能推出“l ⊥m ”；当l ，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，若“l ⊥m ”，则“l ∥α“或“l 在平面α内”，所以“l ⊥m ”不能推出“l ∥α”；由充要条件的定义可得：若l ，m 是两条不重合的直线，m 垂直于平面α，则“l ∥α”是“l ⊥m ”的充分而不必要条件，故选A ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．5．D【解析】【分析】【详解】取x=-π,0,π这三个值,可得y 总是1,故排除A,C; 当02x π<<时，y=sinx 是增函数，y=e x 也是增函数，故y=e sinx 也是增函数.故选：D.6．A【解析】【分析】由)a =r ，得||2a =r ，又由222222|2|44||4||||cos 4||3ab a ab b a a b b π-=-+=-+r r r r r r r r r r ，即可得到本题答案.【详解】由)a =r ，得||2a =r ， 所以2222222|2|44||4||||cos 4||44||4||123ab a ab b a a b b b b π-=-+=-+=++=r r r r r r r r r r r r ， 解得1b =r ，或2b =-v （舍去）.故选：A【点睛】本题主要考查平面向量数量积的运算，考查学生的计算能力.7．C【解析】【分析】根据奇偶性求出当0x <时，()f x 的解析式，根据导数的几何意义求得切线斜率，然后利用点斜式可得结果.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，0x ->，()()2f x x x f x -=+=，()21f x x '=+，则()11f '-=-.因为()10f -=，所以函数()f x 的图象在点()()1,1f --处的切线方程是01y x （）-=-+化为10x y ++=. 故选C.【点睛】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及函数奇偶性的应用，属于中档题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出()y f x =在0x x =处的导数，即()y f x =在点P 00(,())x f x 出的切线斜率（当曲线()y f x =在P 处的切线与y 轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为0x x =）；（2）由点斜式求得切线方程'00()()y y f x x x -=•-. 8．D【解析】【分析】由三棱锥P ABC -的外接球与正方体的外接球相同，即可得到本题答案.【详解】由题，得三视图的直观图为图中的三棱锥P ABC -，易知，三棱锥的外接球即正方体的外接球，且外接球的半径等于1PB 2，即R ，所以外接球的表面积243S R ππ==. 故选：D【点睛】 本题主要考查三视图的还原以及三棱锥的外接球表面积的求法，考查学生的空间想象能力和转化能力.9．C【解析】【分析】由累加法可得215n a n n =-+，根据15()f x x x=+的单调性，即可确定n a n 的最小值. 【详解】由115a =，12n n a a n +=+，∴()()()111211n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-++-+L22(1)215n n =+-+++L(1)2152n n +=⨯+ 215n n =++，所以215n a n n =-+， 所以215151n a n n n n n n-+==+-，又因为对勾函数15()f x x x=+在递减，在)+∞递增， 且34277,344a a ==，所以n a n 的最小值为274. 故选：C【点睛】本题主要考查利用累加法求数列的通项公式，以及利用函数的单调性求数列的最值，考查学生的分析问题和解决问题能力.10．D【解析】【分析】构造函数()()g x xf x =，利用导数分析函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +化为()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，然后利用函数()y g x =在()0,∞+上的单调性进行求解即可. 【详解】构造函数()()g x xf x =，其中0x >，则()()()0g x f x xf x ''=+>，所以，函数()y g x =在定义域()0,∞+上为增函数，在不等式()()()2111x f x f x --<+两边同时乘以1x +得()()()()221111x f x x f x --<++，即()()211g x g x -<+，所以22111010x x x x ⎧-<+⎪->⎨⎪+>⎩，解得12x <<，因此，不等式()()()2111x f x f x --<+的解集为()1,2，故选：D. 【点睛】本题考查利用构造新函数求解函数不等式问题，其解法步骤如下：（1）根据导数不等式的结构构造新函数()y g x =；（2）利用导数分析函数()y g x =的单调性，必要时分析该函数的奇偶性；（3）将不等式变形为()()12g x g x <，利用函数()y g x =的单调性与奇偶性求解. 11．B【解析】【分析】 由任意角的三角函数的定义，得cos 35x πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又因为4cos cos cos sin sin 33310πππθθθ-⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，联立求解，即可得到本题答案. 【详解】设(,)Q x y ，OP uuu r 与x 轴正半轴的夹角为θ，则OQ uuu r 与x 轴正半轴的夹角为3πθ+.由题，得5OQ OP ===， 所以34sin ,cos 55θθ==，则cos cos cos sin sin 333πππθθθ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 又cos 35x πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，5x =，解得22x =-故选：B【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义及和角的余弦公式的综合应用，考查学生分析问题和解决问题的能力.12．C【解析】【分析】令()0f x <，化简得21x x mx e-<，构造函数()()21,x x g x mx h x e =-=，画出两个函数图像，结合两个函数图像以及不等式解的情况列不等式组，解不等式组求得m 的的取值范围.【详解】()210x mx e x --<有两个正整数解即21x x mx e -<有两个不同的正整数解， 令()()21,x x g x mx h x e =-=，()()2'22x x x x x x h x e e--==，故函数()h x 在区间(),0-∞和()2,+∞上递减，在()0,2上递增，画出()(),g x h x 图像如下图所示， 要使21x x mx e-<恰有两个不同的正整数解等价于()()()()234212233931m g h e g h m e ⎧-<⎪⎧<⎪⎪⇒⎨⎨≥⎪⎩⎪-≥⎪⎩解得32312132m e e +≤<+ 故323121,32m e e⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，选C.【点睛】本小题主要考查不等式解集问题，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.13．π3【解析】【分析】将所求两条异面直线平移到一起，解三角形求得异面直线所成的角.【详解】连接11,A B BC ，根据三角形中位线得到1//EF A B ，所以11BA C ∠是异面直线EF 与11A C 所成角.在三角形11A BC 中，1111A B BC AC ==,所以三角形11A BC 是等边三角形，故11π3BAC ∠=. 故填：π3.【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力，属于基础题.14．[1,4]-【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求得4z x y =-的取值范围.【详解】由4z x y =-，得4y x z =-，作出不等式组对应得可行域（阴影部分），平行直线4y x z =-，由平移可知当直线4y x z =-，经过点(0,1)A 时，直线4y x z =-的截距最大，此时z 取得最小值，将A 的坐标代入4z x y =-，得1z =-，即目标函数4z x y =-的最小值为-1；经过点(1,0)B 时，直线4y x z =-的截距最小，此时z 取得最大值，将B 的坐标代入4z x y =-，得4z =，即目标函数4z x y =-的最大值为4.所以4z x y =-的取值范围为[1,4]-.故答案为：[1,4]-【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合图形并利用目标函数的几何意义，是解决此类问题的常用方法.15【解析】【分析】先求半圆的弧长，就是圆锥的底面圆周长，即可得到底面圆半径，然后利用勾股定理即可得到本题答案.【详解】因为半径为3的半圆弧长为3π，所以圆锥的底面圆的周长为3π，则底面圆半径为32，其轴截面为等腰三角形如下图：所以圆锥的高2h==.故答案为：2【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的相关问题，利用扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，是解决此题的关键，考查学生的空间想象能力.16．(1,2)(3,4)⋃【解析】【分析】记,(1,2,)1n n b n n λ-==+L ，则λ满足22120212102k k k b k k b k λλ--⎧=>⎪⎪+⎨--⎪=<⎪⎩，由此即可得到本题答案. 【详解】 记,(1,2,)1n n b n n λ-==+L ，根据题意可知，且()*n n N λ≠∈，这时总存在*0n N ∈，满足：当0n n ≥时，0n b >；当01n n ≤-时，0n b <.所以由1n n n a b a +=及110a =>可知，若0n 为偶数，则00n a <，从而当0n n >时，0n a <； 若0n 为奇数，则00n a >，从而当0n n >时0n a >.因此“存在*m N ∈，当n m >时总有0n a <”的充分必要条件是：0n 为偶数，记02(1,2)n k k ==L ，则λ满足22120212102k k k b k k b k λλ--⎧=>⎪⎪+⎨--⎪=<⎪⎩， 故λ的取值范围是(21,2)k k λ∈-，又[1,5]λ∈，所以(1,2)(3,4)λ∈⋃.故答案为：(1,2)(3,4)⋃【点睛】本题主要考查数列知识的综合运用，考查学生分析问题和解决问题的能力，逻辑推理能力，转化计算能力.17．（1）1()sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，最小正周期为π；（2）2 【解析】【分析】（1）由题得，1()sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，由2T πω=，即可得到本题答案； （2）由1()sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，且()f x 的最大值为72，先求得m ，然后即可求得()f x 的最小值.【详解】（1）由题，得2()cos cos f x x x x m =++12(1cos 2)2x x m =+++1sin 262x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期22T ππ==； （2）因为1()sin 262f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭， 由,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦， 所以当262x ππ+=时，()f x 取最大值，且 max 3()2f x m =+， 由题，得3722m +=，解得2m =， 所以5()sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 当ππ266x +=-，()f x 取最小值，且min ()2f x =. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用，其中涉及最小正周期和值域的问题. 18．（1）3π； （2）(]4,6.【解析】【分析】(1)利用正弦定理化简边角关系式后可得1cos 2A =，从而可求A 的大小. （2）利用基本不等式和三角形两边之和大于第三边可求b c +的取值范围，从而可求周长的取值范围.【详解】(1)在ABC ∆中，2cos cos cos a A c B b C =+Q ，2sin cos sin cos sin cos A A C B B C ∴=+即()2sin cos s sin in A A C A B =+=， 因为()0,A π∈，所以sin 0A >，1 cos 2A ∴=， (),0,.3A A ππ∴∈=Q(2)由于2,3a A π==由余弦定理有2221cos 22b c a A bc +-==， ()222442bc b c b c bc ∴=+-=+--，()243b c bc +-∴= 又根据基本不等式有22b c bc +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以()22432b c b c +-+⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 解得4b c +≤(当且仅当2c b ==时等号成立)又因为三角形两边之和大于第三边，所以2b c +>.因为2a =，所以ABC ∆周长a b c ++的取值范围为(]4,6.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.19．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）通过证明1DE A C //，即可得到本题答案；（2）由11C AB D B ACD V V --=，即可算得点C 到平面1AB D 的距离.【详解】（1）连接1A B ，交1AB 于点E ，连接DE .在1A BC ∆中，易知E 为1A B 中点，又D 为BC 中点，所以1DE A C //，又DE ⊂平面1AB D ，所以1A C //平面1AB D ；（2）设点C 到平面1AB D 的距离为h .由题，得平面ABC ⊥平面11BB C C ，又AD BC ⊥，所以AD ⊥平面11BB C C ，1AD B D ⊥，易得，1AD B D =所以11111332C AB D AB D V S h -∆=⋅⋅=⨯=，又1111112332B ACD ACD V S BB -∆=⋅⋅=⨯⨯=，11C AB D B ACD V V --=，所以63h =5h =【点睛】本题主要考查线面平行的证明以及用等体积法求点到平面的距离，考查学生的计算能力.20．（1）见解析（2）15,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）根据已知可变形为111n na a +-=常数；（2）首先求数列{}nb 的通项公式，然后利用裂项相消法求111221n S n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，若满足23n t S t -≤<对*n ∈N 恒成立，需满足()min 23n t S -≤，()max n t S > ，求t 的取值范围.【详解】（1）证明：因为1120n n n n a a a a ++-+=，所以112n n n n a a a a ++-=-，， 则1112n na a +-=． 又111a =， 故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）由（1）可知121n n a =-，则121n a n =-． 因为21n n a b n =+，所以()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以1111111111112335572121221n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ． 易知n S 单调递增，则11132n S S =≤<． 所以1233t -≤，且12t ≥，解得1523t ≤≤． 故t 的取值范围为15,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查了证明等差数列的方法，以及裂项相消法求和，本题的一个亮点是与函数结合考查数列的最值问题，涉及最值时，需先判断函数的单调性，可以根据函数特征直接判断单调性或是根据1n n a a +-的正负判断单调性，然后求最值.21．(Ⅰ)见解析； (Ⅱ) 13BM BD =. 【解析】 试题分析: (1)由线面垂直的判定定理证明; (2)建立空间直角坐标系D xyz -, 写出各点坐标, 由于点M 在线段BD 上,所以设(,,0)(0M t t t ≤≤ ,求出平面BEF的法向量n r ,由0AM n ⋅=u u u u r r ,求出点M 的坐标.试题解析: (Ⅰ)证明：∵DE ⊥平面ABCD ,∴DE AC ⊥,∵ABCD 是正方形,∴AC BD ⊥,又DE BD D ⋂＝,∴AC ⊥平面BDE .(Ⅱ)解：因为,,DA DC DE 两两垂直,所以建立空间直角坐标系D xyz -如图所示,因为BE 与平面ABCD 所成角为60︒,即60DBE ∠=︒,所以ED DB=, 由3AD =,可知DE AF ==则()((()300,3,0,0,0,3,30A F E B ，，，,所以((0,30,BF EF =-=-u u u r u u u r ，，, 设平面BEF 的法向量(),,n x y z =r, 则0{0n BF n EF ⋅=⋅=u u u r r u u u r r ,即30{30y x -=-=.令z =,(4,n =r , 又点M 是线段BD 上一动点,设()(,,00M t t t ≤≤,则()3,,0AB t t =-u u u r 因为//AM 平面BEF ,所以0AM n u u u u r r ⋅=,即()4320t t -+=解得2t =.此时,点M 的坐标为(2,2,0) 即当13BM BD =时,//AM 平面BEF . 22．（1）当0a ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的增区间为(,)a +∞，减区间为(0,)a ；（2）43404e a -≤< 【解析】【分析】（1）分0a ≤和0a >两种情况，考虑()f x 的单调性；（2）()()()()1212f x f x g x g x -<-恒成立，等价于()1ln x e h x x a x x=---在[4,5]x ∈递减，逐步转化求解，即可得到本题答案.【详解】（1）因为()1ln (0)f x x a x x =-->，所以()1a x a f x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 在(0,)+∞递增，②当0a >时，令()0f x '>，得x a >，所以()f x 在(,)a +∞递增，令()0f x '<，得0x a <<，所以()f x 在(0,)a 递减；综上，当0a ≤时，()f x 的增区间为(0,)+∞；当0a >时，()f x 的增区间为(,)a +∞，减区间为(0,)a .（2）由()x e g x x=，得2(1)()x e x g x x -'=， 所以()g x 在(1,)+∞递增，在(,1)-∞递减，由（1）得，当0a <时，()f x 在(0,)+∞递增，设1245x x ≤<≤，则有()()()()1212,f x f x g x g x <<，所以()()()()()()()()12122121f x f x g x g x f x f x g x g x -<-⇒-<-，即()()()()2211f x g x f x g x -<-，设()()()h x f x g x =-，即证明()1ln xe h x x a x x=---在[4,5]x ∈递减， 则222(1)(1)()10x x a e x x ax e x h x x x x----'=--=≤在[4,5]x ∈恒成立， 即2(1)0xx ax e x ---≤在[4,5]x ∈恒成立， 所以xxe a x e x ≥-+在[4,5]x ∈恒成立， 设()xxe x x e x ϕ=-+， 因为222(1)11113()111124x xx x e x x e e e x x x x ϕ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫=-+=--+=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢'⎥⎣⎦，[4,5]x ∈ 且有2311331,[4,5]244x e e x x ⎡⎤⎛⎫-+>>∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以()0x ϕ'<在[4,5]x ∈恒成立，即()xxe x x e x ϕ=-+为减函数， 所以()x xe x x e x ϕ=-+在[4,5]x ∈的最大值为4443(4)4444e e e ϕ=-+=-， 所以43404e a -≤<. 【点睛】本题主要考查利用导数求含参函数的单调区间以及利用导数研究不等式恒成立的问题，考查学生的分析问题和解决问题能力，计算能力和转化能力.。