第2章 故障诊断的信号分析与处理技术

机械信号是指机械系统在运行过程中各种随时间变 化的动态信息，经各种测试仪器拾取并记录和存储 下来的数据或图象。
可以这样理解：机械信号是一个承载机械信息的物 理量函数，而机械信息是反映设备运行状态和结构 特性的特征量。要获取机械设备的状态信息，必须 先要获取机械信号。
一些机械信号（空气压缩机信号：正常、2弹簧失效）
X ( f ) Re2[X ( f )] Im2[X ( f )]
(
f
)
arctg
Im[X Re[ X
( (
f f
)] )]
矩形窗函数的频谱（傅立叶变换）
w(t)
A
0
| t |
2
| t |
2
W ( f ) w(t )e j 2 ft dt
2
Ae j 2 ft dt
2
A (e j f e j f )
除了满足狄利赫利条件外,还要在( , )区间上满足绝 对可积条件的函数才可以作傅傅立叶变换。
但绝对可积的条件是比较强的，许多函数即使是很简单的 函数(如单位函数、正弦函数、线性函数等)都不满足这个 条件。
其次可以进行傅立叶变换的函数必须在整个数轴上有意义， 但在实际应用中，许多以时间t作自变量的函数往往在 下无t 意0 义或者不需要考虑。像这样的函数都不能进行傅立 叶变换。
虚奇函数 实奇函数 时域卷积 x1(t)x2(t) X1(f) X2(f)
线性叠加
ax(t)+b y(t)
对 称 性 X(t)
AX(f)+b Y(f)
x(-f)
频域卷积 x1(t) x2(t)
时域微分
d nx(t) dtn
尺度变换
x(kt)
1 X f , k 0 k k
频域微分
j2t n x(t)
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t) sin n 0tdt
x(t) Cne jn0t , (n 0,1,2,...)
n
x(t )
A,
A,
0 t T0 2
T0 t 0 2
x(t)
4A
(sin
0t
1 3
sin
30t
1 5
sin
50t
...)
0＝
2
T0
x(t)
4A
(sin
由此可见，傅立叶变换的应用范围受到相当大的限制。工 程上实测的信号往往不满足此项要求。
对于任意一个函数，能否经过适当的改造使其进行傅立叶变换 时克服上述两个缺点呢？
对于任意函数 (t)
对函数(t) 进行先乘以 I (t)et ( 0) ，再取傅立叶变换的运 算，就产生了拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换性质
为方根幅值， 为均值 为均方值 为峰值
有量纲型幅值参数来描述机械状态，不但与机器 的状态有关，而且与机器的运动参数(如转速、 载荷等)有关. 因此直接用它们评价不同工况 的机械无法得出统一的结论。
2 无量纲型参数
无量纲型幅值参数具有对机械工况变化不敏感的特点，这就 意味着，理论上它们与机器的运动条件无关，它们只依赖于 概率密率函数p(x)的形状，所以无量纲型参数是一种较好的 评价参数。
§2.2 信号的时域分析方法
一、统计特征参量分析 通过时域波形可以得到的一些统计特征参数，它们常用于对 机械进行快速评价和简易诊断。
1 有量纲型参数
xr
1 T
T 0
x(
t
)
dt
2
T
xd
x
1 T
0
x( t ) dt
1
xrms
1 T
T 0
x2
(
t
)dt
2
x p E m ax x( t )
4
x4 (t) p(x)dx
1
x
[
[x(t)
X ]2
p( x)dx] 2
基于有量纲型幅值参数构造的无量纲指标虽然都不是 通过严格的函数关系或方程推出的，但它们力图从不 同方面反映机器状态变化的物理本质，并且满足对机 器的状态敏感和运行参数不敏感的要求。
图 滚动轴承正常和故障状态的无量纲和有量纲指标变化曲线 （a）峭度指标（无量纲），（b）有效值指标（有量纲）
作Rx(τ)。
Rxy
lim
T
1 T
Txtyt dt
0
自相关函数的应用：判断信号是否含有周期性成分
2、互相关函数
定义：描述随机信号x(t)、y(t)之间的相关性的函数，用 Rxy(τ）表示：
R
x
lim
T
1 T
T
x(t)x(t )dt
0
3、自相关函数的应用举例
R( )
R( )
0
0
( a ) 正常状态变速箱噪声信号的自相关函数
例如我们对一个线性系统激振，测得的振动信号 中常常含有大量的噪声干扰。根据线性系统的频 率保持性，只有和激振频率相同的分量才有可能 是由激振引起的响应，其它分量均视为干扰噪声。
因此，只要将激振信号和输出信号进行互相关处 理，就可以得到由激振引起的响应幅值和相位差，
从而消除噪声的影响。
在不同频率的激励作用下，根据输入信 号和输出响应之间的互相关函数就可以 求出各频率下从激励点到测量点之间的 幅、相传输特性，从而得到相应的频率 响应函数。
0
t
t1
t2
各态历经过程：若平稳随机过程任一样本函数的时间平均 统计特性等于该过程的集合平均统计特性，则称该随机过 程是各态历经的（遍历性）。
对于各态历经过程，其时间平均等于集合平均，因此，各 态历经过程的所有特性都可以用单个样本函数上的时间平 均来描述。工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或可 以近似为各态历经过程进行处理。
X1(f)X2(f)
j2f n X ( f )
dnX(f ) df n
时 移 x(t t0) X ( f )e j2ft0 积
分
t x(t)dt
1 X ( f ), X ( f ) 存在
j2f
f
时间尺度特性：信号在时域中压缩（k >1，变化速度加快）
等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。
2.拉普拉斯（Laplace)变换
机械加工表面粗糙度自相关分析
被测工件
相关分析
提取出回转误差等周期性的故障源。
自相关分析测量转速
理想信号
实测信号
自相关系数
干扰信号
自相关分析的主要应用：
用来检测混肴在干扰信号 中的确定性周期信号成分。
提取周期性转速成分。
2、互相关函数在机械工程的应用
它是在噪声背景下提取有用信息的一个十分有效 的手段。
信号可分为确定性信号与随机信号两大类： 确定性信号：能用数学表达式精确描述的信号，可进一步分为周
期和非周期性号。 随机信号：不能用数学表达式精确描述的信号，可利用数理统计
和离散数字处理的方法进行分析；
信号的分类
机械故障诊断领域中遇到大多数机械信号为确定性信号和 随机信号的组合，总体上有一定的随机性，因而往往把所 测机械信号说成是随机信号。
1
0.5
幅值 米/秒2 幅值 米/秒2
0
1 -0.5
0.5
-1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
时间 秒
0
-0.5
-1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
时间 秒
1.5
1
0.5
幅值a/mV
0
-0.5
-1
-1.5
0
256
512
768
1024
序列点数
x5(t)
0
t
x4(t)
0
t
x3(t)
0
t
x2(t)
0
t
x1(t)
二、信号分析与处理中常用的数学变换
1.傅里叶变换
（1）傅里叶级数：三角函数展开式和复指数展开式
x(t) a0 (an cos n0t bn sin n0t)
n1
a0
1 T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t )dt
an
2 T0
T0 / 2 T0 / 2
x(t) cos n0tdt
bn
一些机械信号（空气压缩机信号：正常、2弹簧失效）
0.21
00.1.5
幅幅值值 米米//秒秒22 幅幅值值米/米/秒2秒2
0.10 0-0.0.5
-10 0
10.2
00.5.15
00..12
00..24
00.3.6 00.4.8 0.51
频时率间千赫秒兹
00.1
-00.5.05
-1 0 0
0.01.2 0.02.4 0.03.6 0.04.8 0.51 频时率间千秒赫兹
p( x )
1
2 x
exp
x x 2
2 x 2
（2）正弦信号
p(x) 2
2 x
x
2
1
=0
x A x A
（3）混有高斯噪声的正弦信号的概率密度函数
2
1
p(x)
n 2
x S cos
exp 0
4 n
d
R ( s / n )2
三、相关分析
上面讲的时域参数只考虑了信号的幅值特征,而与信号的时序无关。而 时域分析的重要特点是信号的时序，在时域信号中提取信号特征的方法 主要有相关分析、时序分析、时域平均等。
T
（3）概率密度函数曲线 一般用分布函数的斜率来描述其概率结构数据的不同。即
px dPx
dx 这样得到的函数称为概率密度函数。其变化曲线如图所示
P( x ) lim P( x x ) P( x )
x0
x
Prob x
x(
t
)
x
x
P(
x
x
)
P(
x
)
lim
T
t
T
2 典型信号的概率密度函数 （1）正态(高斯)噪声
4.希尔伯特变换
x^ (t) x( ) d x(t)* 1
(t )
t
揭示了可实现系统函数实部与虚部之间的相互信赖
关系，主要用于信号包络的提取，奇异点信号的
获取。
习题
1、机械振动信号一般含哪些成分？出现故 障后的信号是否会发生变化？
2、傅立叶级数和傅立叶变换分别是应用于 那种类型的信号？
（1）定义
如图所示，各态历经过程的样本函数的值落在x和(x+x)
范围内的概率可用下式表示，即：
Prob x x( t ) x x
lim
T
t
T
（2）概率分布函数
参照图（a）对于各态历经的随机信号，x(t)的值小于或等 于幅值的概率为
P(x) Prob x(t)
lim
T
tx(t )
0t
1 3
sin
30t
1 5
sin
50t
...)
0＝
2
T0
离散频谱
（2）傅立叶变换
FT
xt IFT
x(t)
X ( f
)
X
(f x(t
)e )e
j2ft df j2ft dt
或
x(t)
X ()
1 2
X ()e jt d
x(t)e jt dt
Xf
X ( f ) X ( f ) e j ( f )
第2章 故障诊断信号分析与处理技术
§2.1 信号分析与处理中常用的数学变换 §2.2 信号的时域分析方法 §2.3 信号的频域分析方法 §2.4 设备状态的识别与预报
本章内容在测试技术中讲过，注意复习
§2.1 信号分析与处理中常用的数学变换
信号分析与处理的方法很多，其基础是数学变换。
一、信号的分类
j2 f
A sin f A sin c( f ) X ( f ) e j ( f ) f
傅里叶变换的主要性质
性质 时域
实偶函数
函数的奇 实奇函数 偶虚实性 虚偶函数
频域
性质
时域
实偶函数 频 移 x(t)e j2f0t
虚奇函数 翻 转 x(-t)
虚偶函数 共 轭 x*(t)
频域
X(f f0) X(-f) X*(-f)
设：x与y是随机变量，当y=ax时，为线性相关关系。（图a）
当两个随机变量不相关时，x大时，y可大可小（图b）
当两个随机变量相关时，x大时，y也较大（图c）
y
y
y
x
x
x
a y=ax b 随机变量x与y不相关 c 随机变量x与y相关
1、自相关函数：
定义：描述随机信号一个时刻与另一个时刻的依赖关系，
即研究t时刻与t＋τ时刻两个随机变量的相关性，记
x
x
l
p
(
x
)
dx
1/l
源自文库
x
m
p(
x
)
dx
1/m
（1）波形指标l=2,m=1
K
xrms
x
（2）峰值指标l→∞，m=2
x
x
l
p
(
x
)
dx
1/l
x
m
p
(
x
)
dx
1/m
c
xp xrms
（3）脉冲指标l→∞，m=1 （4）裕度指标l→∞，m=1/2
（5）峭度指标
K
4
4 x
I
xp
x
L xp xr
由信号的幅值参数比值得到的无量纲指标在实际 使用时，敏感性和稳定性常常不能兼顾。
无量纲指标的敏性和稳定性的评价
指标 波形指标 峰值指标 脉冲指标 裕度指标 峭度指标
敏感性 差 中 良 优 优
稳定性 优 中 中 中 差
二、信号的幅值分布特性
1、概率密度函数 它反映了信号落在不同幅值区域内的概率情况。
拉氏变换的应用：
拉氏变换可使求导和求积分的运算简化为代数运 算，可通过拉氏变换把微分方程化为代数方程来 求解。
拉氏变换还常用于求系统的传递函数。（哪门课 程学过？）
3.Z变换
X (z) x(n)zn
n0
Z[x(n)] x(n)zn
n0
利用Z变换的性质，可将差分方程转换为代数方程，
从而使求解过程大为简化。(数字信号）
( b ) 异常状态变速箱噪声信号的自相关函数
C630型机床主轴箱噪声的自相关函数
( a )图是正常状态下噪声的自相关函数，随着的增大R( )迅
速趋近于横坐标，说明变速箱的噪声是随机噪声；相反，在 ( b )图中，变速箱噪声的自相关函数R( )中含有周期分量， 当增大时R( )并不向横坐标趋近，这标志着变速箱工作状态 处于异常。将变速箱中各根轴的转速与R( )的波动频率进行 比较，就可以确定出这一缺陷的位置。