数值分析练习第五套

1.填空

1) 计算 f=(2-1)6 , 取2＝1.4 , 利用下列算式，那个得到的结果最好？答：C

(A) 6121

)(-, (B) (3-22)2, (C) 32231)(+, (D) 99-702

2) 称序列{x n }是p 阶收敛的条件为c x x x x p n n n =--+∞→**

lim 1

3) 在等式∑==n k k k n x f a

x x x f 010)(],,,[ 中, 系数a k 与函数f (x ) 无 关。

（限填“有”或“无”） 4) 设P k (x k ,y k ) , k =1,2,…,5 为函数y =x 2-3x +1上的5个互异的点，过P 1,…,P 5且次数不超过4次的插值多项式是

x 2-3x +1 。

5) 设f (x )∈C [a ,b ]， f (x )的最佳一致逼近多项式是__一定___存在的。

6) 求解微分方程数值解的E ul e r 法的绝对稳定区间是(-2,0) 。

7) n 个节点的插值型求积公式的代数精度不会超过2n －1次。

8) 高次插值容易产生________龙格（R u n g e ）现象。

9) R n 上的两个范数||x||p , ||x||q 等价指的是_∃C,D ∈R,_C_||x||q _≤||x||p ≤D ||x||q _； R n 上的两个范数_一定__是等价的。（选

填“一定”或“不一定”）。

2.曲线151.03+-=x x y 与89.14.22-=x y 在点（1.6,1）附近相切，试用牛顿迭代法求切点横坐标的近似值1+k x ，使5110-+≤-k k x x 。

解 两曲线的导数分别为51.032-='x y 和x y 8.4='，两曲线相切，导数相等，故有

051.08.432=--x x

令51.08.43)(2--=x x x f ，则f(1)<0,f(2)>0，故区间[1,2]是f(x)=0的有根区间，又当]2,1[∈x 时，08.46)(>-='x x f ，因此f(x)=0在[1,2]上有惟一实根x*，对f(x)应用牛顿迭代法，得计算公式

,2,1,0,8

.4651.08.4321=----=+k x x x x x k k k k k 由于06)(>=''x f ，故取20=x 迭代计算一定收敛，计算结果如表7-6所示。 表7-6

k

k x k k x 0

2.0 3 1.706815287 1

2.293055556 4 1.700025611 2 1.817783592 5 1.7

继续计算仍得7.16=x ，故7.1*=x 。

注 本题也可令89.14.2151.02

3-=+-x x x ，解得切点横坐标满足方程089.2514.2)(23=+--=x x x x f ，用有重根时的牛顿迭代法（7.15）式计算，此时m=2，仍取x0=2，经四步可得x*=1.7。

3.设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+1221122321

321321x x x x x x x x x

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

解：雅可比法的迭代矩阵

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=+=-022101220)(1U L D B J 10)(,2<==-J J B B I ρλλ

故雅可比迭代法收敛。

高斯-塞德尔法的迭代矩阵

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-=-200320220))(1U L D B s 12)()2(2>=-=-s s B B I ρλλλ

故高斯-塞德尔迭代法不收敛。

4.回答下列问题：

（1）什么叫样条函数？P42

（2）确定n+1个节点的三次样条函数所需条件个数至少需要多少？ （3） 三转角法中参数m i 的数学意义是什么？

答：（1）1）是S （x ）在[a,b]上具有二阶连续导数；

2）对[a,b]上的划分)(,...10x S b x x x a n =<<<=在每一个区间],[1+i i x x 上是一个不高于三次的多项式。

（2）4n 个

（3） m i =S /(x i ) 即样条函数在节点x i 处的一阶导数。

5.证明：{ϕ0,…,ϕn }为点集{x i }m i=1上的线性无关族⇔法方程G T Ga =G T y 有唯一解。其中

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=)()()()()()()()()(101111000100m n m m

n n x x x x x x x x x G ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ 证：充分性。首先注意到若a 0,a 1,..,a n

为方程组

a 0ϕ0+a 1ϕ1+…+a n ϕn =0 （9）

的解，则必为方程组

的解。事实上，令ϕ0, ϕ1,…,ϕn 分别与(9)两端作内积得(10)，知也！ 设|G T G |≠0⇒（10）仅有0解⇒(9) 也仅有0解故{ϕ0,…,ϕn }无关。 证必要性）。 {ϕ0,…,ϕn }无关⇒ (9)仅有0解 即

∀a =(a 0,a 1,..,a n )≠0⇒Ga ≠0⇒a T G T Ga =(Ga )T (Ga ) (ϕ0,ϕ0) a 0+ (ϕ1,ϕ0)a 1 +…+(ϕn ,ϕ0)a n =0 (ϕ0,ϕ1) a 0+ (ϕ1,ϕ1)a 1 +…+(ϕn ,ϕ1)a n =0 ….. (ϕ0,ϕn ) a 0+ (ϕ1,ϕn )a 1 +…+(ϕn ,ϕn )a n =0 (10)

=||Ga ||22>0⇒G T G 正定⇒|G T G |>0∴|G T G |≠0.

6.用复化梯形公式计算积分1

0()f x dx ⎰,要把区间[0,1] 一般要等分 41 份才能保证满足误差小于0.00005的要

求（这里假定()f x 任意阶导数存在，且()()1k f x ∞

≤） 解：)]()(2)([21

b f x f a f h

T n k k n ++=∑-=

余项)('')(122

ηf a b h R --=

00005.0

求得n=41