2.2.1椭圆及其标准方程(1)

小组讨论 1、改变两图钉之间的距离，使其与绳长相等， 画出的图形还是椭圆吗？
2、绳长能小于两图钉之间的距离吗？ 归纳结论：
2a 2c M点的轨迹是椭圆； 2a 2c M点的轨迹是线段； 2a 2c M点的轨迹不存在.
思考：既然椭圆是点的轨迹，那它存在方程吗？
2.求椭圆的方程
复习: 简化求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 一、建立适当的坐标系，设曲线上任一点 的坐标，及相关点的坐标; 二、(限)找条件，由条件(代)列方程; 三、化简方程.
2.2.1 椭圆及其标准方程
一.课题引入：
生活中的椭圆
如何精确地设计、制作、建造出现实生活中这些椭圆形的 物件呢？
实验：把绳子的两端分开固定在两个定点F1、F2上，保
持拉紧状态，移动铅笔，这时笔尖画出的轨迹是什么图形?
材料:一块纸板、一段细绳、两颗图钉、一支铅笔
M
思考下面问题并解决这些问题：
F1
椭圆的焦距2c(c>0)，M与F1和 F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别 是(c,0)、(c,0) .
y M
F1 0
F2 x
由椭圆的定义得： | MF1 | | MF2 | 2a 代入坐标| MF1 | ( x c)2 y2 ,| MF2 | ( x c)2 y2
1、椭圆的定义
平面内到两个定点F1、F2的距离的和等于常 数( 大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆。
这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点
两焦点之间的距离叫做焦距。
M
F1
F2
如果设轨迹上任一点M到两定点F1、F2的距离和为 常数2a，两定点之间的距离为2c，则椭圆定义还可 以用集合语言表示为：
{M| |MF1|+|MF2| = 2a} (2a＞2c)
a2 b2
y
F1 o
M
F2 x
焦点在y轴：
y2 x2 1(a b 0)
a2 b2
y
F2
M
ox
F1
总体印象：对称、简洁，“像”直线方程的截距式
3.椭圆标准方程的再认识：
定义 图形
方程 焦点
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
y
M
y
F2 M
F1 o F2 x
ox
F1
x 2 y 2 1 a b 0
b2
1 b2
1 1
解
得ba
2 2
15 5
故 所 求 椭圆 的 方 程 为x 2 y 2 1 15 5
a2 b2
y 2 x 2 1 a b 0
a2 b2
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c之间的关系
a2=b2+c2
共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上， 中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.
不同点：焦点在x轴的椭圆x2项分母较大. 焦点在y轴的椭圆y2项分母较大.
2.求椭圆的方程
探讨建立平面直角坐标系的方案
yy y
y
M
F1 O O OF2 x x x
y
M
F2
O
x
O
x
F1
方案一
方案二
建立平面直角坐标系通常遵循的原则： “对称”、“简洁”
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设M(x, y)是椭圆上任意一点，
9 16
若椭圆的方程为16x2+9y2=144,试口答完成(1).
例2、已知椭圆的焦点在x轴上，并且经过点A( 3,2)、
B(2 3,1),求椭圆的标准方程.
解 ： 设 椭 圆 的方 程 为x 2 a2
y2 b2
1(a b 0)
( 3)2 (2)2
依 题 意 有 a 2 (2
3)2
a 2
F2
(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定
的还是运动的？固定的
(2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什
么？ 长度不变 |MF1|+|MF2|=定长
(3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎
样的关系？ |MF1|+|MF2|>|F1F2|
(4)结合实验，你应如何给椭圆下定义？定义含有几个要 点？
两边再平方，得
a 4 2a 2cx c 2 x 2 a 2 x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2 y 2 整理得：(a 2 c 2 )x 2 a 2 y 2 a 2 (a 2 c 2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, a 2 c 2 0,
设a2-c2=b2(b>0) 则上式变为b2 x 2 a 2 y 2 a 2b2
练习：
x2 y2
已知椭圆的方程为：25 16 1，则a=_5____， b=__4____，c=__3___，焦点坐标为：_(3_,_0_)、__(_-_3_,0_)__
焦距等于__6____;若CD为过左焦点F1的弦，则 △F2CD的周长为__2_0_____
Cy
O
F1 D
变式：
F2
x
x2 y2 1
例1、判定下列椭圆的标准方程在哪个轴上，并写 出焦点坐标。
x2 y2 (1) 1
25 16
答：在x轴。(-3，0)和(3，0)
x2
y2
(2) 1
144 169
答:在y轴。(0，-5)和(0，5)
x2 (3) m 2
y2 m2 1
1
答：在y轴。(0，-1)和(0，1)
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则： 焦点在分母大的那个轴上。
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
（问题：下面怎样化简？）
( x c)2 y2 ( x c)2 y2 2a
移项，再平方
( x c)2 y2 4a2 4a ( x c)2 y2 ( x c)2 y2
即：a 2 cx a ( x c)2 y2
椭圆的标准方程(2)
y
y2 x2 a 2 b2 1(a b 0) 它表示:
F2 M
O
x
F1
①椭圆的焦点在y轴
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( y c)2 x2 ( y c)2 x2 2a
②焦点是F1(0，-c)、 F2(0，c)
③a2 = b2+c2
3.椭圆的标准方程:
焦点在x轴：
x 2 y 2 1a b 0
两边同除以a 2b2得：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程(1)
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
它表示：
y M
F1 0
F2 x
①椭圆的焦点在x轴
②焦点坐标为F1(-c，0)、F2(c，0)
③a2=b2 +c2 思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎 样的呢?