(精选)概率统计和随机过程课件第八章参数估计

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概率论与数理统计ppt课件

04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称。
概率
衡量事件发生可能性的数值，通常表示为0到1之间的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种特性，然后通过样本信息来判断这个假设是否合理。
双侧检验
当需要判断两个假设是否相等时，如总体均值是否等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变量。
方差
衡量随机变量取值分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两种变异，得出因素的显著性。

(高等数学)概率统计与随机过程

λk
k!
e −λ
式中 λ = np。
二、
随机变量与分布函数
[随机变量及其概率分布函数]
每次试验的结果可以用一个变量 ξ 的数值来表示，这个变量的
取值随偶然因素而变化，但又遵从一定的概率分布规律，这种变量称为随机变量，用 ξ ,η ,···表示。它是随机现象的数量比。给定随机变量 ξ ，它的取值不超过实数 x 的事件的概率 P( ξ ≤ x)是 x 的函数，称为 ξ 的概率分布函数，简称分布函数，记作 F(x) ，即 F(x)=P( ξ ≤ x ) [分布函数的基本性质] 1° lim F ( x ) = 0 lim F ( x ) = 1
f ( xk ) ≤ x
∑p
k
当 ξ 是连续型随机变量时，其分布密度为 p(x)，则 G(x)=
∫
f ( y )≤ x
p( y) d y
[随机矢量的联合分布函数与边缘分布函数]
如果 ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n 联系于同一组条件下的 n 个随机
变量，则称 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n )为 n 维随机变量或随机矢量。若(x1 , x2 ,···，xn)是n维实数空间Rn上的一点，则事件“ ξ1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x2 , ···, ξ n ≤ x n 的概率 F ( x1 , x 2 , L, x n ) = P(ξ 1 ≤ x1 , ξ 2 ≤ x 2 , L , ξ n ≤ x n ) 作为x1 , x2 ,···, xn的函数，称为随机矢量 ξ (ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的联合分布函数。设 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 是 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 中任意取出 m(m ≤ n) 个分量构成的 m 维随机变量，则称 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的联合分布函数为( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 的 m 维边缘分布函数。这时，如果分别记 ( ξ1 , ξ 2 , ···, ξ n ) 与 ( ξ i1 , ξ i2 , ···, ξ im ) 的分布函数为 F(x1,x2,···,xn) 与

概率论与数理统计完整ppt课件

化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布，如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概率论中，分别定义了X_1的边缘分布、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据的数据集合，样本是总体的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况，如均值、中位数、标准差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的未知参数，如均值、方差等。
点估计
用样本统计量作为总体参数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计区间，表示对总体的参数有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的

第08章 HMM

• N和T分别为状态个数和序列长度定义：
δ t (i ) = max P[q1q2 ...qt −1 , qt = i, O1,O2,…Ot , | λ ]
q1 , q2 ,...qt −1
我们所要找的，就是T时刻最大的 δ T (i) 表的那个状态序列
所代
51
Viterbi算法 Viterbi算法(续) 算法(
3
马尔科夫链
• 时间状态都离散的马尔科夫过程称为马尔科时间和状态状态夫链 • 记作{Xn = X(n), n = 0,1,2,…}
– 在时间集T1 = {0,1,2,…}上对离散状态的过程相继观察的结果
• 链的状态空间记做I = {a1, a2,…}, ai∈R. • 条件概率Pij ( m ,m+n)=P{Xm+n = aj|Xm = ai} 为马氏链在时刻m处于状态ai条件下，在时刻m+n转移到状态aj的转移概率转移概率。转移概率
– 递归： – 终结：
βt (i) = ∑aijbj (Ot+1)βt +1( j) t = T −1,T − 2,...,1,1≤ i ≤ N
i=1 N
P(O / λ) = ∑β1 (i)
i =1
N
50
Viterbi算法 Viterbi算法
• 目的：给定观察序列O以及模型λ,如何选择一
个对应的状态序列S ，使得S能够最为合理的解释观察序列O？
图8-1 马尔可夫过程状态图。箭头表示状态之间允许转移，箭头的数字表示转移概率
22
实际上并非所有的HMM都像图8-1那样复杂，模型越简单越便于估计和应用。对于某些应用特别是语音识别来说，采用其他类型的HMM效果会更好。一种最常见的模型是从左至右的模型，其一般形式示于图8-2。模型只有惟一的一个初始状态和一个终止状态，并且这个过程只要进入一个新的状态就不能返回到以前的状态。这种模型很适合于其性质随着时间变化的信号，如语音信号。在图8-2所示的模型中，前向转移受到进一步的约束：模型只能重复原有状态、前进一个状态或两个状态。

《概率统计模型》课件

回归分析在市场预测中的应用还包括价格分析、消费者行为分析等方面。
在市场营销领域，回归分析可以用于预测产品需求、销售量、市场份额等方面。
通过回归分析，企业可以了解市场趋势，制定有针对性的营销策略，提高市场竞争力。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
03
统计方法在医学领域的应用还包括疾病预测、诊断和治疗效果评估等方面。
04
统计方法在医学领域的应用有助于提高医学研究的准确性和可靠性。
回归分析在市场预测中的应用
回归分析是一种常用的统计分析方法，用于探索变量之间的关系，并对未来趋势进行预测。
回归分析在市场预测中的应用有助于企业做出科学合理的决策，提高市场占有率和盈利能力。
详细描述
时间序列分析涉及对按时间顺序排列的数据进行统计处理，以揭示其内在的规律和特性。这种方法广泛应用于金融、气象、医学等领域，用于预测未来趋势和进行决策分析。
06 案例研究
概率论在金融中的应用
概率论在金融领域中有着广泛的应用，如风险评估、投资组合优化、期权定价等。
概率论在金融领域的应用还包括信用评级、保险精算、风险管理等方面。
描述随机变量取值的平均水平和分散程度。
常见的随机变量分布
二项分布、泊松分布、正态分布等。
02 统计推断
参数估计
参数估计的概念
参数估计是用样本信息来估计总体参数的过程，是统计推断的重要内容之一。
点估计
点估计是指用一个单一的数值来估计总体参数，常用的方法有矩估计和极大似然估计。
区间估计
区间估计是指用一个区间范围来估计总体参数，常用的方法有置信区间和预测区间。
假设检验的步骤

8ML估计

即 I(0)=-E[H(0)]=-E[tHt (0)]= t{-E[Ht(0)] 因此，有如下一致估计量
注意：
（1）在有限样本中，3种算法的结果往往不一致，但在大样本中，结果趋于一致；
（2）第3种算法是直接解析的结果，因而最有效；但一般较难求解期望值，只有在较特殊的情况下才能求解，因此并不常用。
二、渐近正态性（Asymptotic Normality）
记 ()=lim n-1t=1nE[Ht()]，如果Hessian矩阵满足一致性弱大数定理（UWLLN）
plim max |n-1t=1nHt()- ()|=0 则
注意：一致性弱大数定理(Uniform weak law of large number)
ML估计法不仅可用于估计传统的回归模型(在对随机项正态性假设下，ML估计与OLS估计结果相同)，而且可用于估计各种类型的计量模型。
§8.2 极大似然估计 Maximum Likelihood Estimation
一、基本概念记被解释变量Y为n1向量，对K维参数向量，记 Y的联合概率分布pdf为f(Y,)。
而 lim n-1tVar[gt(0)]=lim n-1tE[gt(0)gt(0)’]
=plim n-1tgt(0)gt(0)
记 It(0) = E[gt(0)gt(0)’] 则 lim n-1tVar[gt(0)]=lim n-1tE0[gt(0)gt(0)’]
= lim n-1tIt(0) 由Yt的iid性质，可以证明(其中交叉项为0)：
如果Yt在若干Xt已知的条件下其分布也知道，只有少量的参数未知，ML估计就是通过寻找参数的估计量以使估计的分布尽可能地拟合实际观测值。
在某些实际应用的模型中，常常需要对分布做出一定的假设(如假设为正态分布)，否则估计过程将变得复杂，甚至不可能。

《概率论》课件

物理学
描述粒子在气体或液体中的运动状态。
金融学
用于股票价格和收益率的分析。
隐马尔科夫模型
定义
隐马尔科夫模型是一种特殊的马尔科夫模型，其中观测状态与隐藏状态有关，而隐藏状态之间相互独立。
应用
语音识别、手写识别、生物信息学等领域。
05
大数定律与中心极限定理
大数定律及其应用
大数定律
在独立重复试验中，当试验次数趋于无穷时，事件发生的频率趋于该事件发生的概率。
《概率论》ppt课件
目录
• 概率论简介 • 概率的基本性质 • 随机变量及其分布 • 随机过程与马尔科夫链 • 大数定律与中心极限定理 • 贝叶斯统计推断
01
概率论简介
概率论的定义
概率论
研究随机现象的数学学科，通过数学模型和公式来描述随机事件、随机变量和随机过程。
随机变量
表示随机现象的数值变量，其取值具有随机性。
THANKS
感谢观看
计算机科学
概率论在计算机科学中用于算法设计和数据挖掘等领域。
02
概率的基本性质
概率的公理化定义
概率的公理化定义是概率论的基础，它规定了概率的几个基本性质，包括非负性、规范性、可加性和有限可加性。
非负性指的是任何事件的概率都不小于0；规范性指的是必然事件的概率为1；可加性指的是两个独立事件的概率等于它们各自概率的和；有限可加性指的是任意有限个两两独立的事件的概率等于这些事件概率的和。
应用
在统计学中，大数定律用于估计样本的统计量和参数，如平均值、方差等。
中心极限定理及其应用
中心极限定理
无论随机变量的分布是什么，当样本量足够大时，样本均值的分布近似正态分布。

概率统计和随机过程课件总复习

5 理解并掌握条件概率的定义，掌握乘法公式，
全概率公式与贝叶斯公式
7 理解并会运用事件独立性的概念
5
重点：
概率的概念，古典概率，加法公式，乘
法公式，全概率公式，Bayes 公式
6
第二章随机变量及其分布
• 随机变量
• 随机变量的分布函数
• 离散性随机变量及其概率分布
• 两点分布，二项分布，泊松分布
复习提纲
1
期末不考内容
第四章第三节中 Z=max(X,Y),或min(X,Y) 其中(X,Y)连续型随机变量，求Z的分布， X,Y不独立时，不要求。独立时要求掌握 . 第五章第五节第七章

2
分布，F分布，t 分布密度不要求
第八章第五节，(二元正态均值差，方差比的区间估计)
第九章第三、四节，(二元正态均值差，
y (c, d ) 其它
二维随机变量函数z=g(x,y)的密度
计算 f Z (z) 的方法: 先构造一个新的二维随机变量(Z ,U ), 它们是 ( X , Y ) 的函数，而Z = g(X,Y) 比如 Z=aX +bY + c 等求( Z , U ) 的联合密度函数 f ( z, u ) 求边缘密度 f Z (z)
34
重
点
• 随机过程的概念； • 随机过程的均值、方差、均方值、自相关函数、自协方差函数。
35
第十二章
• • • • 严平稳过程；广义平稳过程；正态平稳过程；遍历过程；
平稳过程
36
基本要求
• 了解严平稳过程的概念及其数字特征的特点； • 掌握广义平稳过程的定义，并会判别； • 了解正态平稳过程； • 有所了解两个平稳过程平稳相关的概念； • 了解随机过程的时间均值、时间相关函数的概念； • 了解遍历过程及其数字特征。

《随机过程》课件

泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上连续取值的随机现象的数学模型。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波器，用于提取有用信号或抑制噪声。

概率统计与随机过程.ppt

P(X u,Y u) P(X u)P(Y u)
FX (u)FY (u)
FN (v) P(min{X ,Y} v) 1 P(min{X ,Y} v) 1 P(X v,Y v) 1 P(X v)P(Y v)
1 (1 FX (v))(1 FY (v))
例2 已知 ( X ,Y ) 的联合密度函数为
3x, 0 x 1, 0 y x
f
(x,
y)

0,
其他
Z = X + Y ,求 f Z (z) 解：（图形定限法）
由公式（1）

fZ (z) f (x, z x)dx
f
(x,
z

x)

3x,

0,
0 x 1,0 z x x 其他
f (x, y)dxdy
1
x yz
x
当z < 0 时，
FZ (z) 0
当0 z < 1 时，
fZ (z) BA f (x, y)dy

2
0
1dy
z
y 1
•z •z
1 x
当1 z < 2 时，
fZ
(z)

1
z 1
1dy
fZ (z) 2 z
y 1 •z
1 ex
n j1
jk
n Cnjjejx 1 ex n j
jk
n Cnj jejx 1 ex n j
jk 1
Cnk kekx (1 ex )nk
f
X
(
x)

Cnk

概率论与数理统计ppt课件

注：P( A) 0不能 A ； P( B) 1不能 B S .
2。 A1 , A2 ,...,An , Ai Aj , i j, P( P(
n n i 1
Ai ) P( Ai )
i 1
n
证：令 Ank (k 1, 2,...), Ai Aj , i j, i, j 1, 2,....
•
5.1 大数定律 5.2 中心极限定理
•
第六章数理统计的基本概念
• • 6.1 总体和样本 6.2 常用的分布
4
第七章参数估计
• • • 7.1 参数的点估计 7.2 估计量的评选标准 7.3 区间估计
第八章假设检验
• • • • • • • 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 假设检验正态总体均值的假设检验正态总体方差的假设检验置信区间与假设检验之间的关系样本容量的选取分布拟合检验秩和检验
A B 2 A＝B B A
B A
S
例：记A={明天天晴}，B={明天无雨} B A
记A={至少有10人候车}，B={至少有5人候车} B
A
一枚硬币抛两次，A={第一次是正面}，B={至少有一次正面}
BA
13

事件的运算
A与B的和事件，记为 A B
8
§1 随机试验
确定性现象
自然界与社会Βιβλιοθήκη 活中的两类现象不确定性现象
确定性现象：结果确定不确定性现象：结果不确定

例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定 ——不确定明天天气状况 ——不确定买了彩票会中奖

生物统计学中的概率统计和参数估计方法

生物统计学中的概率统计和参数估计方法生物统计学是一门统计学和生物学的交叉学科，主要研究如何利用概率统计和参数估计等方法，对生物学和医学中的相关数据进行分析和研究。

以下将对生物统计学中的概率统计和参数估计方法进行探讨。

一、概率统计概率统计是生物统计学中非常重要的一个分支，其方法主要用来描述和分析生物学和医学数据中的随机变量和随机过程，包括概率分布、概率密度函数、概率质量函数、期望值、方差等。

1.1 概率分布概率分布是随机变量取某些值时的可能性分布，如正态分布、泊松分布、二项分布、均匀分布等。

其中，正态分布是最为常见的一种概率分布，其符合“大数定律”，即大量同类数据的平均值趋近于正态分布。

1.2 概率密度函数和概率质量函数概率密度函数和概率质量函数是描述一种概率分布的函数形式。

概率密度函数主要针对连续随机变量，而概率质量函数则主要针对离散随机变量。

以正态分布为例，其概率密度函数为：$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}$$其中，$\mu$代表均值，$\sigma$代表标准差。

1.3 期望和方差期望是随机变量在大量试验中出现的平均值，其描述了概率分布的中心位置。

而方差则描述了随机变量离平均值的距离，即数据的分散程度。

以正态分布为例，其期望为均值$\mu$，方差为标准差的平方$\sigma^{2}$。

二、参数估计参数估计是生物统计学中另一个非常重要的分支，其方法主要用于从已知的样本数据中，估计未知的总体参数值。

其中两种常见的方法是极大似然估计和贝叶斯估计。

2.1 极大似然估计极大似然估计是从样本数据出发，估计总体参数的一种方法。

其基本思想是找到最能反映样本数据特征，同时符合总体分布的参数值。

其计算过程主要包含两步：第一步，定义似然函数。

似然函数是描述数据在不同参数下的可能性，即已知某参数下的样本数据，求该参数下数据出现的概率密度函数。