欧氏空间
第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中，向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广，可以发 现几何向量的度量性质，如长度、夹角等，在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题（包括几何问题）有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念，使其更接近于几何空间，并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间，通 常采用如下两种方法： （1）直接构造：对任意 , V ，直接构造二元实 函数 , ，并验证其满足内积的四条公理。 （2）由正定矩阵确定内积：若V 为 n 维实线性空间， 任取V 的基 1 , 2 ,, n ，以及 n 阶正定矩阵A，定义： b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用，这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质，能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A，要求能熟练地找到正交矩阵 T Q，使 Q AQ为对角阵，以及以另一种形式出现的同一 个问题，即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的，但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的，要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质，会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 （2） R mn －－对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为
线性代数—3.4 欧氏空间
[a, a] a12 L an2 ❖ 向量的内积
设有 n 维向量 a (a1, , an), b (b1, , bnБайду номын сангаас, 记
[a, b] abT a1b1 L anbn 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积. • 向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间.
因此 |[a,b]| || a || || b ||
1 a 1 || a ||
❖ 两向量的夹角 定义非零向量 a 与 b 的夹角为 arccos [a,b] || a || || b ||
规定零向量与任一向量成任意角. • 若 [a, b] 0, 则称向量 a 与 b 正交. • 范数为 1 的向量, 称单位向量.
提示: 对于立体向量 a, b,
[a,b] || a || || b || cos 其中 为向量 a 与 b 的夹角
ab b
a
• 非零向量 a 的单位化(或规范化)向量 ao 1 a || a ||
表示与 a 同向(即夹角为零)的单位向量.
例1 求与 a (1,1,1), b (1,-2,1)同时正交的单位向量.
❖ 向量的内积
设有 n 维向量 a (a1, , an), b (b1, , bn), 记
[a, b] abT a1b1 L anbn 称 [a, b] 为向量 a 与 b 的内积. • 向量空间带有内积运算, 就称为欧氏空间.
❖ 内积的性质
设 a, b, c 为 n 维向量, k 为实数, 则有下列性质: (1) [a, b] [b, a]; (2) [ka, b] k [a, b];
第二节 欧式空间的基本概念
α1 = (1 , 1 , 1)T , α2 = (1 , 0 , -1)T , α3 = (1 , -2 , 1)T ,
是一个正交向量组 ,请将该向量组化为正交单位向量组 .
解
ao = 1 a
|| a ||
1
=
1
|| 1
||1
=
1 (1,1,1)T = ( 1 ,
3
3
1, 3
1 )T . 3
2
=
1
证毕
, .
(3)三角不等式 ||α+β||||α||+||β||.
3 、向量的夹角
定义非零向量a与b的夹角φ为
= arccos a,b ,
|| a || || b ||
(0 )
规定: 零向量与任意向量成任意角.
• 若<a,b>=0, 则称向量a与b正交.
• 范数为 1 的向量称单位向量.
α = 0.
其中α,β和γ是V中任意向量, k是任意实数, 则称实数 <α,β>为α和β的内积, 称定义了内积的实线性空间V为 实内积空间或欧几里得空间, 简称为欧氏空间.
❖ 关于欧氏空间的两点说明
① 欧氏空间定义中的条件(1)-(4)称为内积公理,
其中的(2), (3)统称为内积的线性性质, 且可以写成
(1)与(2)的证明板书推导. 下面证明(3).
三角不等式的证明
|| ||2 = , =|| ||2 2 , || ||2
|| ||2 2 || || || || || ||2 = (|| || || ||)2
两边同时开方可得
||α+β||||α||+||β||, 故三角不等式成立.
欧氏空间
二． 内容及要求
1、 内容：内积、欧氏空间、向量的长度、向量间的夹角、距离的概念、性质.
2、 重点：内积、欧氏空间的定义.
2．正交基（或标准正交基）的求法的基础是建立在"任一线性无关组可得一正交组（从而得一标准正交组）"之上的,上述证明思想的分析过程可从含两个向量的向量组出发,一般地用归纳法,这样易于接受,从而自然得正交基（标准正交基）的求法.这是本节的难点及重点.施密特正交化公式麻烦.
3．子空间的正交补是子空间的一类特殊的余子空间,其结论上不同于一般向量空间的有限维子空间的余子空间存在不唯一；而正交补存在且唯一.而求正交补的思想同求余子空间类似,不同的在于选标准正交基.
一 教学思考
1．在欧氏空间中讨论线性变换,最主要的是讨论那些与内积有关的线性变换,以后两节即讨论这样两类线性变换.
2．从内容上看本节给出了正交变换的定义及等价叙述（分一般欧空上及有限欧空）,以及中正交变换的类型.从中建立了n 维欧氏空间中正交变换与n 阶正交矩阵的一一对应,此二者是同一事物的两种形式,可以相互借助一方讨论另一方,中的正交变换的形式及相应的矩阵的形式.另外n 维欧氏空间的正交变换是v的自同构映射,等结论.本节易理解不麻烦.
3．为更好的认识正交变换,可总结正交矩阵的若干性质.
Ⅱ）反过来：有了"内积"后,可用此表示行来年感的长度与夹角：.
③ 上述关系启发我们可以先定义"内积",然后利用"内积"定义向量的有关度量问题.
第八章 欧氏空间
例3 在R3中，向量 (1, 0, 0), (1, 1, 0) 求 , 的夹角。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
三、向量的正交
定义4 对欧氏空间V中的两个向量 , , 若内积 ( , ) 0, 则称
与 正交或垂直，记为：
注意： 零向量与任一向量正交。 例4 在R4中求一单位与下面三个向量
例1 设 (1 , 2 ), (1 , 2 ) 为二维实空间R2中的任意两个 向量，问：R2对以下规定的内积是否构成欧氏空间？
(1) ( , ) 1 2 2 1
(2) ( , ) (1 2 )1 (1 2 2 ) 2
正交向量组。
如果一个正交组的每一个向量都是单位向量，则这样的向 量组称为标准正交向量组。 性质1 欧氏空间V中的正交向量组必定线性无关。 注： (1) 单个非零向量也称为一个正交向量组。 (2) 线性无关的向量组不一定是正交向量组。
欧氏空间
§2 标准正交基
定义2 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为 正交基，由n个标准正交向量组成的正交基称为标准正交基。 性质2 设 1 , 2 , , n 是n维欧氏空间V中的一组标准正交基，则
(3) ( , ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) 0,当且仅当 0 时有 ( , ) 0 这里 , , 是V中任意的向量，k为实数，这样的线性空间V
称为欧几里得空间，简称为欧氏空间。
欧氏空间
§1 欧氏空间的定义和性质
i 1 i 1 i 1 i 1n n n
n
(4) 一组基为标准正交基的充要条件是它的度量矩阵为 单位矩阵。
欧氏空间
图形学欧氏空间具体概念
(α , β ) ≤ α β
三、欧氏空间中向量的夹角（续） 欧氏空间中向量的夹角（
〈α , β 〉 = arc cos (α , β )
α β
( 0 ≤ 〈α , β 〉 ≤ π )
(α , β ) = 0
定义： 为欧氏空间中两个向量， 定义：设 α、β为欧氏空间中两个向量，若内积
正交或互相垂直， 则称 α 与 β 正交或互相垂直，记作 α ⊥ β . 注： ① 零向量与任意向量正交 零向量与任意向量正交.
3) 非零向量 α 的单位化： α α . 的单位化：
1
三、欧氏空间中向量的夹角
1. 柯西－布涅柯夫斯基不等式 柯西－ 对欧氏空间V中任意两个向量 α、β 对欧氏空间V
线性相关时等号成立. 当且仅当 α、β 线性相关时等号成立. 2. 欧氏空间中两非零向量的夹角 定义: 为欧氏空间， 中任意两非零向量， 夹角定义为 α 定义: 设V为欧氏空间， 、β 为V中任意两非零向量，α、β 的夹角定义为 ，有
π α ⊥ β ⇔ 〈α , β 〉 = 即 cos〈α , β 〉 .= 0 , ② 2
3. 勾股定理 为欧氏空间， 设V为欧氏空间，∀α , β ∈ V , α ⊥ β ⇔ α + β 2 = α 2 + β 为欧氏空间 推广：若欧氏空间V中向量 两两正交， 推广：若欧氏空间 中向量 α 1 ,α 2 ,⋯ ,α m 两两正交， 即 (α i ,α j ) = 0, i ≠ j , i , j = 1, 2,⋯ , m 2 2 2 2 α1 + α 2 + ⋯ + α m = α1 + α 2 + ⋯ + α m . 则
欧氏空间简介
批第八章欧氏空间本节恒设为实数域。
定义1 设是上的向量空间。
如果有一个规则，使得对于中任意向量都对应中唯一确定的数，将其记为，并且下述条件成立。
1234 若则称为向量与的内积。
而称为欧几里德空间，简称欧氏空间。
第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1中的所有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。
又如，设是定义在闭区间上的所有连续函数所构成的上的向量空间，规定中任意二向量，对应则便成为一个欧氏空间。
这是因为对任意及实数，均有同时，若不是零函数，则故规定的对应是与的内积。
命题1 设为欧氏空间，则对任意及任意，恒有：(1)(2)(3)证明由定义1知而由知。
证毕。
由命题1，利用数学归纳法不难证明：对任意都有现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为定义2 非负实数称为向量长度，记为。
由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。
而由命题1的（3）知零向量的长度为0。
除此之外，还有命题2 对任意实数及，有其中表的绝对值。
由此即知。
定理1 对欧氏空间中的任意二向量恒有而等号成立的充分必要条件是线性无关。
证明当线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设，于是由知当线性无关时，对任意负数均有，从而并即因此必有这也就是，所以这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与必要性成立，故知定理得证。
定理2（三角不等式）对于欧氏空间中的任意向量均有证明由定理1得故把定理1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式由定理1知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量，恒有因此有意义，而亦称为与的夹角。
特别地，当时，就是说正交。
显然，按此规定，零向量与任意向量均正交。
由此易知有下述二命题成立。
命题3 设是欧氏空间的一个向量，那么中所有与正交的向量构成的一个子空间。
称之为的正交子空间。
记为。
命题4 设是欧氏空间的一个子空间，那么，中所有与中每个向量均正交的向量构成的一个子空间。
欧氏空间
≤ α + 2 α ⋅ β + β = ( α + β )2
2 2
由于 α + β 与 α + β 此即三角不等式。
都是非负实数，故有
α+β ≤ α + β
第九章 欧几里得空间
(α , β ) 由于 ≤ 1, α⋅β
(α , β ) 有意义。 故 cos θ = α⋅β
定义3 设 α 与β 是欧氏空间V的两个非零向量，α 与β 的夹 (α , β ) , 0≤θ ≤π θ = arc cos 角规定为： α⋅β 例9.1.8 在欧氏空间 R 3 中，取向量 α = (1, 0, 0), β = (1,1, 0), 求 α 与β 的夹角。 解： 于是
(γ , γ ) = (α + t β , α + t β ) = (α , α ) + 2(α , β )t + ( β , β )t 2 ≥ 0 （9.1.4）
这是关于t的一个二次三项式，又 ( β , β ) > 0, 故 ∆ ≤ 0, 4(α , β )2 − 4(α , α )( β , β ) ≤ 0 (α , β )2 ≤ (α , α )( β , β ), 故有 (α , β ) ≤ α ⋅ β 因此 即
(α , β + γ ) = (α , β ) + (α , γ ) 。 (α , k β ) = k (α , β ) 。
∀α 1 , α 2 , k1 , k2 ,
n m
,α n , β1 , β 2 , , kn , l1 , l2 ,
n m
, β n ∈V
, ln ∈ R,
则有
( ∑ kiα i , ∑ li β i ) = ∑ ∑ ki li (α i , β j ) 。
第8章 欧氏空间
例2 在欧氏空间 C[0, 2] 中, 函数组 1, cosx, sinx, … , cosnx, sinnx, … 构成 C[0, 2] 的一个正交组. 这是因为：
2 0
2
0
1dx = 2 , , m = n sin mx sin nxdx = 0, m n
2
<x, h>2 ≤ <x, x> <h, h>
当且仅当 x 与 h 线性相关时上式等号才成立.
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证明 1) 若x 与 h 线性相关,则或h = 0 或 h = ax , 都有
<x, h>2 = <x, x> <h, h>,
2) 若x 与 h 线性无关,则 t R, tx +h 0, 所以
2 n
x V, a R, 有
| ax |= < ax , ax > = a < x , x > =| a || x |
2
把长度为1的向量叫做单位向量. 所以向量 x 的 长度为: x／|x | .
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柯西施瓦兹不等式、向量的夹角
定理8.1.1 在欧氏空间里, 对任意向量x, h , 有
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例2 在Rn里对于任意两个向量 x = (x1, x2, ... , xn) , h = (y1, y2, ... , yn) , 规定 < x , h > = 1x1 y1 + 2x2 y2 + ... + nxn yn 容易验证 Rn 对此内积也构成一个欧氏空间.
内积可以构成不同的欧氏空间.
例1, 例2说明在同一向量空间中引入不同的
定义与基本性质欧氏空间
欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中，任意柯西序列都收敛，即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的，其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的，即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小，表 示为$| vec{v} |$，计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积， 表示为$vec{v} cdot vec{w}$，计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中，连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点，这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支，它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ，欧氏空间是一个基本的、重要的概念，用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中，线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中，两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中，两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中，如果对于任意给定的正数$epsilon$，都存在一个正数$delta$，使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$，只要$d(P, Q) < delta$，就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$，则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间.2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且),(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈∀有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈∀有则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数.4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β则j i n j ni j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====∆=1111),(),(βα,5.称 )),(()(j i ije e aA ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵.6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AYX '=),(βα.7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。
欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时，2．欧氏空间中的重要不等式：① Cauchy-Буняковский不等式：对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。
，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。
欧式空间
欧式空间————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期:第八章 欧氏空间向量空间可以看成是通常几何空间概念的推广,然而几何空间里有向量的长度和夹角的概念,而一般的向量空间里却没有得到反映。
这一章我们将在实数域上的向量空间里引入欧氏内积的概念，从而可以合理的定义有向量的长度和夹角，这样的向量空间称为欧氏空间，在许多领域里有广泛的应用。
学习中还要注意学习具体到抽象,再从抽象到具体的辩证的思想方法。
§1 定义和性质几何空间3V 里向量的内积是通过向量的长度和夹角来定义的,即||||cos ξηξηθ⋅=⋅,||ξ表示ξ的长度,θ表示ξ与η的夹角。
我们不能直接按上面方式定义内积,因为还没有定义长度和夹角。
我们要根据几何内积所满足的性质来定义，回想到在第四章第8节在n R 定义内积就是根据几何内积所满足的性质来定义的。
所以在抽象的讨论中，我们取内积作为基本的概念。
定义1 设V 是实数域R 上的一个向量空间，有一个V V ⨯到R 的二元实函数，记作(,)αβ，具有以卡性质:,,V αβγ∀∈，k R ∀∈1） (,)(,)αββα=;2) (,)(,)(,)αβγαβαγ+=+; 3) (,)(,)k k αβαβ=;4) (,)0αα≥， 等号成立当且仅当0α=(,)αβ叫做向量α与β的内积,V 叫做对这个内积来说的欧氏空间。
在需要和其它的内积区别的时候，我们也把满足这4条性质的内积叫做欧氏内积。
在欧氏空间的定义中，对向量空间的维数并无要求,可以是有限维的,也可以是无限维的。
几何空闻中向量的内积显然适合定义中列举的性质，所以几何空间中向置的全体构成一个欧氏空间。
例1 1212(,,,)',(,,,)'n n n a a a b b b R αβ∀==∈，规定α与β的内积为1122(,)'n n a b a b a b αβαβ=+++=，则n R 作成一个欧氏空间。
欧氏空间几何意义
欧氏空间几何意义
摘要：
1.欧氏空间的定义与特点
2.欧氏空间在几何中的意义
3.欧氏空间与其他空间的关系
4.欧氏空间在实际应用中的例子
5.总结
正文：
欧氏空间，又称欧几里得空间，是最基本的几何空间之一。
它是由欧几里得创立的，并在其著作《几何原本》中进行了详细阐述。
欧氏空间是指一个具有以下性质的空间：在其中，直线是唯一的折线，所有的直线都可以通过平移相互重合，而且任意两个直线之间存在且仅存在一个公共点。
欧氏空间在几何中的意义深远。
首先，它为我们理解空间中的点、线、面等基本元素提供了理论基础。
其次，欧氏空间中的公理和定理为我们研究空间中的问题提供了丰富的工具。
例如，欧几里得证明了平面上的直线段可以无限延长，但在三维空间中，直线段却有长度。
这个发现引发了数学家们对更高维空间的研究。
欧氏空间与其他空间，如切比雪夫空间、黎曼空间等，有着密切的关系。
切比雪夫空间是一种非欧几里得空间，在其中，直线可以有不同的斜率，从而使得空间中的几何形状与我们熟悉的欧氏空间中的不同。
黎曼空间则是一种弯曲的空间，它的几何性质与欧氏空间有很大的区别。
欧氏空间在实际应用中也有着广泛的例子。
例如，在物理学中，欧氏空间是描述物体运动的基本框架。
在计算机图形学中，欧氏空间是建模和渲染三维场景的基础。
甚至在日常生活中，我们对于空间的认识，如长度、面积和体积的测量，也都离不开欧氏空间的理论支持。
总的来说，欧氏空间是几何学的基础，它不仅为我们理解空间提供了理论框架，而且在实际应用中也发挥着重要作用。
第九章 欧氏空间
第九章 欧几里得空间§1定义与基本性质一、向量的内积定义 1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1)),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =;3) ),(),(),(γβγαγβα+=+;4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间.例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1)则内积(1)适合定义中的条件，这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用n R 来表示这个欧几里得空间.在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式.例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα,定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍n R 用来表示这个欧几里得空间。
对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里德空间，但应该认为它们是不同的欧几里德空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积 ⎰=ba dx x g x f x g x f )()())(),(( (2)对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间.例4 令H 是一切平方和收敛的实数列：+∞<=∑∞=1221),,,,(n nn x x x x ξ所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间（内积定义类似于例1，这是无穷维空间）.二、欧几里得空间的基本性质1）定义中条件1）表明内积是对称的.),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='.),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+'定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α.显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α，得到一个与α成比例的单位向量，通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式：即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时，等式才成立.证明：由0),(≥++βαβαt t 对于任意实数t 成立，给出简单证明。
[数学]欧氏空间
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[数学]欧⽒空间
欧⽒空间，即欧⼏⾥得空间（Euclidean Space)。
这⾥，欧⼏⾥得这个定语起源于古希腊时期的欧⼏⾥得⼏何[1]，⽽欧⼏⾥得⼏何是指满⾜欧⼏⾥得的5条⼏何公理的⼀维⼆维⼏何。
欧⼏⾥得平⾯⼏何的五条公理（公设）是：
1.从⼀点向另⼀点可以引⼀条直线。
2.任意线段能⽆限延伸成⼀条直线。
3.给定任意线段，可以以其⼀个端点作为圆⼼，该线段作为半径作⼀个圆。
4.所有直⾓都相等。
5.若两条直线都与第三条直线相交，并且在同⼀边的内⾓之和⼩于两个直⾓，则这两条直线在这⼀边必定相交。
直到19世纪，瑞⼠数学家路德维希·施莱夫利（Ludwig Schläfli）把欧⼏⾥得平⾯⼏何发展到了三维和更⾼维的⼏何。
今天，他的⼯作已经被⼴泛接受，以⾄于他的名字都不被⼈们熟知了[2]。
最早在数学上使⽤空间的概念是在古希腊时期，那时的空间就是现实物理世界的⼀个抽象，其性质由欧⼏⾥得平⾯⼏何的⼏条公理引出。
近现代数学⾥，空间是满⾜某些特定条件的集合，数学家⽤这些条件构造了他们想要的结构。
例如，线性空间的⼋条公理就是构造了⼀种可
以“‘直’地放缩，旋转”的集合。
严格的欧⽒空间，是仿射空间的扩展，也就是在上加上内积的概念。
仿射空间可以理解为不指定原点，且有平移变换的线性空间，⽽有了内积，就定义了距离，长度和⾓度，也就有了度量，因此，欧⽒空间可以理解为增加了度量和平移变换的线性空间。
但在⼀般的使⽤场景，我们⼀般说的欧⽒空间是指标准欧⽒空间，也就是指定原点并且坐标轴正交的具有向量内积性质的R n线性空间。
Processing math: 100%。
欧氏空间与线性空间
欧氏空间与线性空间欧氏空间和线性空间是数学中两个重要的概念，它们在不同的领域和应用中发挥着重要的作用。
本文将从定义、性质和应用等方面来探讨欧氏空间和线性空间的相关内容。
一、欧氏空间欧氏空间是指具有内积的实数向量空间。
在欧氏空间中，可以定义向量的长度和向量之间的夹角。
具体而言，对于n维欧氏空间R^n 中的向量x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)，其内积定义为：<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn而向量的长度定义为：||x|| = sqrt(<x, x>) = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)欧氏空间具有一些重要的性质。
例如，欧氏空间中的向量满足三角不等式，即对于任意的向量x和y，有：||x + y|| <= ||x|| + ||y||此外，欧氏空间还满足正交性质，即对于任意的向量x和y，如果它们的内积为零，则称向量x和y是正交的。
欧氏空间的概念在几何学、物理学、统计学等领域中有广泛的应用。
在几何学中，欧氏空间可以用来描述点、线、面等几何对象之间的关系。
在物理学中，欧氏空间可以用来描述空间中的力、速度等物理量。
在统计学中，欧氏空间可以用来度量数据样本之间的相似性。
二、线性空间线性空间是指具有加法和数乘运算的向量空间。
在线性空间中，向量之间的加法满足交换律和结合律，数乘满足分配律和结合律。
具体而言，对于n维线性空间V中的向量x，y和标量a，其加法和数乘定义为：x + y = y + x (交换律)(a + b)x = ax + by (分配律)a(bx) = (ab)x (结合律)线性空间的概念在代数学、数学物理学、计算机科学等领域中有广泛的应用。
在代数学中，线性空间可以用来研究向量和矩阵的性质。
在数学物理学中，线性空间可以用来描述复杂的物理系统。
在计算机科学中，线性空间可以用来处理图像、音频等数据。
线性代数-欧氏空间
, 2
,
0
,
即
, 2 , ,
两边开方后便得到
, 当α,β线性相关时，必有β=kα，从而
, k ,
k
故 , k , k
即(7.4.2)中等式成立. 反之，若(7.4.2)中等 式成立，则或者β=0 ，或者(7.4.3)式对
,
t
,
等式成立，这意味着此时
t , t 0 由内积性质(4)，即知
性质2 设α , β是欧氏空间中的元素， 且α⊥β，则
2 2 2
证 由正交的定义，
2 , , 2 , ,
, ,
2 2
所得到的等式是普通几何空间中勾股 定理的推广. 它对于多个元素也成立，即 若α1,α2,…,αm两两正交，则
1 2 m 2 1 2 2 2 m 2
为基底ε1,ε2,…,εn的度量矩阵.
式(7.4.4)或(7.4.5)说明，在取定了一组 基后，任二元素的内积可由基的内积αij决 定，或由度量矩阵A决定. 换言之，只要给 出了度量矩阵A，就给出了V上的内积. 度 量矩阵完全确定了内积.
由内积的对称性，有 aij i , j j ,i a ji , i, j 1,2,, n
i1 j 1
引入矩阵记号，令
a11
A
a 21
a12
a 22
a1n a2n
an1 an2 ann
(7.4.4)
x1
X
x2
xn
y1
Y
y2
yn
则(7.4.4)式可写为
, X T AY
(7.4.5)
其中X、Y分别是α , β在基底 ε1,ε2,…,εn下的 坐标，A是由基底的内积组成的矩阵，称
欧氏空间的定义与基本性质-PPT
a
a
a
证：在 C(a,b) 中， f ( x)与 g( x) 的内积定义为
b
( f ( x), g( x)) a f ( x)g( x)dx
由柯西－布涅柯夫斯基不等式有 ( f ( x), g( x)) f ( x) g( x)
从而得证.
3）
三角 不等式
对欧氏空间中的任意两个向量 、 , 有
设
C
cij
nn
C1,C2 ,
,Cn ,
n
则 i cki k , i 1, 2, , n
k 1
于是
n
n
nn
(i , j ) ( cki k , clj l )
( k , l )ckiclj
k 1
l 1
k1 l 1
nn
aklckiclj CiAC j
k1 l 1
B (i , j ) CiAC j
i 1
j1
m
m
(i ,i ) (i , j )
m
i 1
i j
(i ,i ) 1 2 2 2 m 2
i 1
例3、已知 2,1,3,2, 1,2,2,1
在通常的内积定义下，求 ,( , ), , , .
解： , 22 12 32 22 18 3 2 ( , ) 2 1 1 2 3 2 2 1 0 ,
0 ,
定义2：设 、 为欧氏空间中两个向量，若内积
, 0
则称 与 正交或互相垂直，记作 .
注：
① 零向量与任意向量正交.
②
, ,
2
即
cos , 0
.
5. 勾股定理
设V为欧氏空间， , V
2 2 2
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i 1
(i=1,2,…,m)
1, 2, …, m 是一组正交组。
2. 单位化
取
1
|
1
1
|
1,
2
|
1
2
|
2
,
,
m
|
1
m
|
m.
则 1, 2 , …, m 是一组正交的单位向量组。
—— 以上方法称为施密特(schmidt)正交化方法
它包括正交化和单位化两个过程。
二、向量的长度与夹角
定义2 设 n 维向量=(a1,a2,…,an).称
| | (,) a12 a22 an2 .
为向量 的模(或长度). 特别：| | = 1的向量 称为单位向量， 当 0时，| | 为一单位向量称为 的单位化。
长度的性质:
,,Rn,R,则 (1) 非负性 || 0,若||=0 = 0; (2) 正齐次性 ||=||·||;
n
n
证: (, j ) ( xii , j ) xi (i , j )
设1,2,…,m是一组线性无关的向量，利
用这组向量可构造出正交向量组。
1. 正交化
(1) 令1=1；
(2) 求2=211使
0=(2,1)=(211, 1 )
= (2, 1)1 (1, 1) .
得1=(2,1)/(1,1),
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1;
(3) 求3=31122, 使
0=(3, 1)=(311=(23,2,1)1)1(1, 1)+2(2, 1)
注：定义了内积的 n 维向量空 间Rn称为 n 维 欧氏空间(Euclid Space)，仍记为 Rn.
性质 (1) 交换律
(,)=(,);
(2) 分配律 (, )=(,)(,);
(3) 内积满足如下结合律:
(,)=(,)=(,); R
(2)与(3)等价于
(+,)= (,) (,); 、R (4) 非负性 (,)0, 且(,)=0 =0.
个向量1, 2, …, n 是两两正交的单位向量，即
1.i=j
(i,j)=
0.ij
则称该基为标准正交基。
例如： Rn中， e1=(1,0,…,0),e2=(0,1,…,0),… en=(0,0,…,1)
就是一个标准正交基。
例3
证明
1 (
1, 2
1 2
,0,0), 2
(
1 , 2
1 ,0,0), 2
特别:
, arccos
(, )
.
| || |
当(,)=0时，称与 垂直(正交)
记为 .
定理2 (勾股定理)
设1,2,…,k为欧氏空间Rn中两两正交的向
量，即(i ,j )=0,ij，则
|1+2+…+k|2=|1|2+|2|2+…+|k|2
证: |1+2+…+k|2
= (1+2+…+k ,1+2+…+k)
0=(3, 2) = (31122, 2)
=(3,2)1(1, 2)2 (2, 2)
得
1
(3 , 1 ) (1, 1)
,
2
(3 , 2 ) (2, 2)
3
3
(3 , 1 ) (1, 1)
1
(3 , 2 ) (2, 2)
2
(4) 类似地，得：
i
i
(i , (1,
1 1
) )
1
( (
i, 2,
2 2
故 , arccos 18 arccos 2 .
3 26
24
三、标准正交基
1、正交向量组
定义4
若(a,b)=0，则称a与b是正交的，记
作 ab。
注：零向量与任何向量正交。
定义5
在欧氏空间中，一组两两正交的向量 组称为正交向量组。
定理4 非零的正交组是线性无关的。
证：设1,2,…,m是一组非零正交组，并设
k
k
kk
k
( i , j )
(i , j ) (i ,i )
i 1
j 1
i1 j1
i 1
=|1|2+|2|2+…+|k|2
例1 已知=(1,2,2,3),=(3,1,5,1),求与 的长度及它们的夹角<,>. 解： || || (,) 3 2,
|| || (, ) 6
而 (, )=18
3 (0,0,
1, 2
1 2
),
4
(0,0,
1 , 2
1) 2
为 R4 的标准正交基.
证:
(i , i )
(
1 )2 ( 2
1 )2 1,
2
即|i|=1,i=1,2,3,4
且
(1, 2 )
1 1 ( 1 ) ( 1 ) 0，
22 2
2
(1, 3 ) (1, 4 ) 0, (2 , 3 ) (2 , 4 ) 0，
k11+ k22 +…+kmm= 0
用 1 与等式两边作内积，得
0=(0,1)=k1(1,1)+k2(2,1)+…+ki(i,1)+… +km(m,1)
得 k1=0,
类似地：用i ( i=2,3,…, m)与等式两边作内积， 得ki=0, (i=2,3,…,m),故1,2,…,m线性无关。
2、施密特(Schmidt)正交化
(3 , 4 ) 0. 故1, 2, 3, 4为R4的标准正交基.
注：利用施密特正交化方法，可从欧氏 空间的任一个基出发，找到一个标准正交基。
定理5 若n维向量1,2,…,n 是一组标准正 交基.则n维向量=(x1,x2,…,xn)在
基1,2,…,n下的第j个分量为:
x j (, j ), j 1，2， , n.
(3) 三角不等式 ||||||.
定理 1 (Chauchy-Schwarz不等式)
| (, ) | | || |
| (, ) | | || |
向量 和 线性相关.
重要不等式
n
n
n
| aibi |
ai 2
bi 2 .
i 1
i 1
i 1
定义 3
设,为Rn中两个向量，定义与的夹角为
例2 将线性无关组1=(2,0),2=(1,1)化
成正交的单位向量组
解： (1) 正交化
令 1=1=(2,0)
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
(1,1) 2 (2, 0) (0,1) 4
(2) 单位化
1
|
1
1
|
1
(1, 0),
2 2 (0,1),
则1, 2是一组正交的单位向量组。
3、标准正交基 定义6 在 n 维欧氏空间 V 中若一个基的 n
§4 欧氏空间
在 Rn 中引进内积运算，建立 n 维欧氏空间概念 n 维向量的长度
n 维向量间的夹角 n 维向量间的关系
一、向量的内积 定义1 设 n 维向量
=(x1, x2 …, xn), =(y1, y2…, yn).
定义数：x1 y1+x2 y2+…+ xn yn
为向量 与 的内积，记为 ( , ). 即( , ) = x1 y1+x2 y2+…+xn yn.