第5章 近似方法：习题解答
MATLAB语言基础与应用(第二版)第5章 习题答案
第5章习题与答案5.1用矩阵三角分解方法解方程组123123123214453186920x x x x x x x x x +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ 解答：>>A=[2 1 -1;4 -1 3;6 9 -1] A =2 1 -1 4 -13 6 9 -1 >>b=[14 18 20]; b =14 18 20 >> [L, U, P]=lu(A) L =1.0000 0 0 0.6667 1.0000 0 0.3333 0.2857 1.0000 U =6.0000 9.0000 -1.0000 0 -7.0000 3.6667 0 0 -1.7143 P =0 0 1 0 1 0 1 0 0 >> y=backsub(L,P*b’) y =20.0000 4.6667 6.0000 >> x=backsub(U,y) x =6.5000 -2.5000 -3.5000 5.2 Cholesky 分解方法解方程组123121332352233127x x x x x x x ++=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解答：>> A=[3 2 3;2 2 0;3 0 12] A =3 2 32 2 03 0 12>> b=[5;3;7]b =537>> L=chol(A)L =1.7321 1.1547 1.73210 0.8165 -2.44950 0 1.7321>> y=backsub(L,b)y =-11.6871 15.7986 4.0415>> x=backsub(L',y)x =-6.7475 28.8917 49.93995.3解答:观察数据点图形>> x=0:0.5:2.5x =0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000 2.5000 >> y=[2.0 1.1 0.9 0.6 0.4 0.3]y =2.0000 1.1000 0.9000 0.6000 0.4000 0.3000 >> plot(x,y)图5.1 离散点分布示意图从图5.1观察数据点分布，用二次曲线拟合。
离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数
离散数学习题解答习题五（第五章 格与布尔代数）1．设〈L ，≼〉是半序集，≼是L 上的整除关系。
问当L 取下列集合时，〈L ，≼〉是否是格。
a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10}[解] a) 〈L ，≼〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。
b) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
例如：812=LUB{8，12}不存在。
c) 〈L ，≼〉不是格。
因为L 中存在着两个元素没有上确界。
16312486312411倒例如：46=LUB{4，6}不存在。
2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。
证明：〈S ，⊆〉是〈2B，⊆〉的子格。
其中S={y|y=f (x)，x ∈2A}[证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}⊆B 所以B 1∈2B，故此S ⊆2B；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A)，所以S 非空；对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2)=f (A 1∪A 2) （习题三的8的1）） 由于A 1∪A 2⊆A ，即A 1∪A 2∈2A，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。
对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1(B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1(B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ⊇f (A 1∩A 2) （习题三的8的2））又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。
量子力学周世勋习题解答第五章
第五章习题解5.1 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r U r U H -=' 其中)(0r U 是不考虑这种效应的势能分布，即 rze r U 024πε-=）（)(r U 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域，rZe r U 024)(πε-=在0r r <区域，)(r U 可由下式得出， ⎰∞-=r Edr e r U )(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r U⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(82203020*********r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r U r U H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r U H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态r a Ze a Z 02/1303)0(1)(-=πψ）⎰∞'=τψψd H E 111 ⎰-+--=0002202220302334]4)3(8[r r a Zdr r e r Ze r r r Ze a Z ππεπεπ ∴0a r <<，故102≈-r a Ze 。
∴ ⎰⎰+--=0302404220330024)1(1)3(2r r rdr a e Z dr r r r r a e Z Eπεπε2030024505030300242)5(2r a e Z r r r a e Z πεπε+--= 23002410r a e Z πε= 2032452r a e Z s = #5.2 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量的二级修正。
最优化设计 课后习题答案
最优化方法-习题解答张彦斌计算机学院2014年10月20日Contents1第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、412第二章线搜索算法-P27习题2、4、643第三章最速下降法和牛顿法P41习题1，2，374第四章共轭梯度法P51习题1，3，6(1)105第五章拟牛顿法P73-2126第六章信赖域方法P86-8147第七章非线性最小二乘问题P98-1，2，6188第八章最优性条件P112-1，2,5,6239第九章罚函数法P132，1-(1)、2-(1)、3-(3),62610第十一章二次规划习题11P178-1（1），5291第一章最优化理论基础-P13习题1(1)、2(3)(4)、3、4 1.验证下列各集合是凸集:(1)S={(x1,x2)|2x1+x2≥1,x1−2x2≥1};需要验证：根据凸集的定义，对任意的x(x1,x2),y(y1,y2)∈S及任意的实数λ∈[0,1],都有λx+(1−λ)y∈S.即,(λx1+(1−λ)y1,λx2+(1−λ)y2)∈S证：由x(x1,x2),y(y1,y2)∈S得到，{2x1+x2≥1,x1−2x2≥12y1+y2≥1,y1−2y2≥1(1)1把(1)中的两个式子对应的左右两部分分别乘以λ和1−λ,然后再相加，即得λ(2x1+x2)+(1−λ)(2y1+y2)≥1,λ(x1−2x2)+(1−λ)(y1−2y2)≥1(2)合并同类项，2(λx1+(1−λ)y1)+(λx2+(1−λ)y2)≥1,(λx1+(1−λ)y1)−2(λx2+(1−λ)y2)≥1(3)证毕.2.判断下列函数为凸（凹）函数或严格凸（凹）函数：(3)f(x)=x21−2x1x2+x22+2x1+3x2首先二阶导数连续可微，根据定理1.5，f在凸集上是（I）凸函数的充分必要条件是∇2f(x)对一切x为半正定；（II）严格凸函数的充分条件是∇2f(x)对一切x为正定。
无机化学周祖新学习习题解答第五章..
第五章 氧化-复原反响 无机化学习题解答（ 5） 思虑题1．什么是氧化数？如何计算分子或离子中元素的氧化数？氧化数是某一原子真切或模拟的带电数。
若某一原子并不是真切获得若失掉电子而带电荷，能够以为获得与之键合的电负性小于它的原子的电子或赐予与之键合的电负性大于它的原子电子，而后计算出来的带电状况叫氧化数。
已知其余原子的氧化数，求某一原子的氧化数时可用代数和的方法，中性分子总带电数为零；离子总带电数为离子的电荷。
2．指出以下分子、化学式或离子中划线元素的氧化数：As2O3 KO2NH4 + Cr2O 7 2- Na2S2O3 Na2O2 CrO5 Na2PtCl6 N2H2Na2S5 2．AsO 3 +3，KO +1，NH + -3，CrO 2- +3，NaSO +2，NaO -1，CrO+10，2 4 73 2 5 22 2 2 2 Na2PtCl 6 +4，N2H2 -1，Na2S5 -2/5，⑴ 3．举例说明以下观点的差别和联系： ⑴ ⑴氧化和氧化产物⑵复原和复原产物⑴ ⑶电极反响和原电池反响⑷电极电势和电动势⑴ 3．⑴氧化是失掉电子氧化数高升，所得氧化态较高产物即为氧化产物。
⑵复原是获得电子氧化数降低，所得氧化态较较产物即为复原产物。
⑶在某个电极上发生的反响为电极反响，分为正极的复原反响和负极的氧化反响，总反⑴ 应为原电池反响。
⑴ ⑷固体电极资料与所接触的溶液间的电势差即为该原电池的电极电势。
两电极构成原电池时两电极间的电势差为该原电池的电动势。
⑴ 4．指出以下反响中何者为氧化剂，它的复原产物是什么？何者为复原剂，它的氧化产物是什么？ ⑴ 2FeCl 3+Cu →FeCl 2+CuCl 2 ⑴ Cu+CuCl 2+4HCl →2H 2[CuCl 3] ⑴ ⑶Cu 2O+H 2SO 4→Cu+CuSO 4+H 2O⑴ 4．⑴氧化剂：FeCl 3，复原产物：FeCl 2，复原剂：Cu ，氧化产物：CuCl 2。
数据结构预算法 第5章习题解答
④
③
0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6 ^
3 0 3
^ 2 4 ^ 5 ^
0 1
1 4 ^
3 ^
4）逆邻接表： 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 5）强连通分量：
1 4 1 0 2 2 ^ ^ 2 5 ^ 4 ^ 4 5 ^ ^
（2）设无向图 G 如图 5-38 所示，试给出： 1）该图的邻接矩阵； 2）该图的邻接表； 3）该图的多重邻接表； 4）从 V1 出发的“深度优先”遍历序列； 5）从 V1 出发的“广度优先”遍历序列。 【解答】 1） 该图的邻接矩阵： 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0
{if(p!=s) p->next=s->next; else (G->adjlist[e->adjvex].firstedge=s->next;)} if(s) free(s); break; } } for(i=v;i<G->n;i++) /*删除顶点值*/ {G->adjlist[i].vertex=G->adjlist[i+1].vextex; G->adjlist[i].first[i].firstedge=G->adjlist[i+1].firstedge; } } void DeleteArc(AALGraph *G,int v,int w) /*在图 G 中删除序号为 v,w 的顶点之的边*/ {EdgeNode *s,*p; s=G->adjlist[v].firstedge; p=s; for(;s;s=s->next); /*在与 m 邻接的点中找 n*/ {if(s->adjvex==w) /*若找到邻接点 n，则将该边从边表中脱出*/ {if(p!=s) p->next=s->next; else G->adjlist[v].firstedge=s->next; } if(s) free(s); /*释放要删除的边结点*/ } s=G->adjlist[w].firstedge;p=s; for(;s;p=s,s=s->next) /*在与 n 邻接的点中找 m*/ {if(s->adjvex==v) /*若找到邻接点 m，则将该边从边表中脱出*/ {if(p!=s) p->next=s->next; else G->adjlist[w].firstedge=s->next; } if(s) free(s); /*释放要删除的边结点*/ } G->e--; } （3）试以十字链表为存储结构实现算法设计题（1）中所列图的基本操作。 算法略。 （4）试以邻接多重表为存储结构实现算法设计题（1）中所列图的基本操作。 算法略。 （5）对于含有 n 个顶点的有向图，编写算法由其邻接表构造相应的逆邻接表。 【解答】 Void InvertAdjList(ALGraph G, ALGraph *H) /*由有向图的邻接表 G 建立其逆邻接表 H*/ {for (i=1;i<=n;i++) /*设有向图有 n 个顶点，建逆邻接表的顶点向量*/ {H[i]->vertex=G.adjlist[i].vertex; H->firstedge=NULL;} for (i=0; i<n; i++) /*邻接表转为逆邻接表*/ {p= G.adjlist[i].firstedge; /*取指向邻接表的指针*/ while (p!=null) {j=p->adjvex;
结构化学习题解答5(北大)
NH3 N(CH3)3 C6H5NH2 CH3CONH2
[解]： 碱性的强弱和提供电子对能力大小有关，当N原子提供孤
对电子的能力大，碱性强。分子的几何够习惯内和有关性质主 要决定于分子中骨干原子的成键情况。下面将分析4个分子中的 骨干原子特别是N原子的成键轨道以及所形成的化学键的类型， 并结合有关原子或基团的电学性质，比较N原子上电荷密度的大 小，从而推断出4个分子碱性强弱的次序。
=-152.2 KJ•mol-1 [5.20] 试分析下列分子中的成键情况，指出C—Cl键键长大小
次序，并说明理由。
（a）H3CCl (b)H2C=CHCl (c)HC≡CCl [解]： （a）H3CCl：该分子为CH4分子的衍生物。同时CH4分子一样， C原子也采用sp3杂化轨道成键。4个sp3杂化轨道分别与3个H原 子的1s轨道及Cl原子的3p轨道重叠共形成4个σ键。分子呈四面 体构型，属C3v点群。 (b) H2C=CHCl：该分子为H2C=C H2分子的衍生物，其成键情况 与C2H4分子的成键情况即有相同之处又有差别。在C2H3Cl分子 中，C原子（1）的3个sp2杂化轨道分别与两个H原子的1s轨道
H
H
βc1+(α-E) c2+βc3=0
βc1+βc2+(α-E)c3=0 用β除各式并令x = (α-E)/β，则得：
xc1+c2+c3=0 c1+xc2+c3=0
c1+c2+xc3=0
欲使ci为非0解，则必须师其系数行列式为零，即：x 1 1
解此行列式，得：
1 x 10
x1=-2，x2=1，x3=1 将x值代入x=(α-E)/β，得： E1=α+2β，E2=α-β，E3=α-β 能级及电子分布简图如下：
第五章 多原子分子结构与性质习题解答
第五章 多原子分子结构与性质习题解答070601306 何梅华 070601307游梅芳 070601308 陈风芳 070601309黄丽娜 070601310 郑海霞 070601311 黄秀娟 070601312 尤丽君1.以CH 4为例，讨论定域分子轨道和离域分子轨道间的区别和联系。
答：杂化轨道理论将CH 4分子中的C 原子进行了sp 杂化，每个杂化轨道和1个H 原子的1s 杂化形成一个定域分子轨道，在此成键轨道中的一对电子形成定域键C-H ，四个C-H 键轨道能量等同。
离域分子轨道处理CH 4分子所得的能级图说明4个轨道能量高低不同。
定域分子和离域分子两种模型是等价的，只是反应的物理图像有所区别。
2．试讨论杂化轨道构成三原则。
解：若以{i φ}表示某原子参加杂化的原子轨道集合，k Φ为杂化轨道，则：∑=Φni i k cki φ i =1，2，3，…，n （1）（1） 杂化轨道要满足归一化条件 杂化轨道是一种原子轨道，它描述了处于价态原子中单电子的可能状态。
归一化的数学表达式为：1)(222===Φ∑⎰∑⎰ki c d cki d ninii kτφτ （2） 上面的计算用到了同一原子中原子轨道间满足正交、归一的条件。
ki c 为i φ在第k个杂化轨道中的组合系数，而2ki c 表示i φ在k Φ中的成分。
当把k Φ轨道中s 轨道的成分记为k α、p 轨道的成分记为k β时，就有2ks k c =α （3）222kzky kx k c c c ++=β （4） （2）参加杂化的轨道贡献之和为1参加杂化的i φ轨道是归一化的，杂化后的在新形成的所有杂化轨道里的成分之和——即i φ电子“分散”到各杂化轨道中的概率之和应为1。
故有12=∑kkic（5）由（2）式和（5）式可知，有n 个i φ轨道参与杂化应得n 个杂化轨道。
（2） 同一原子中杂化轨道间正交正交的杂化轨道间排斥作用能最小，使原子体系稳定。
概率论第五章习题解答(全)
X
i 1
i
0.5 5000
5000 0.1
10 } 50
1 (
10 ) 1 (1.414) ＝1－0.9207＝0.0793。 7.07
5、有一批建筑房屋用的木柱，其中 80%的长度不小于 3m，现从这批木柱中随机地取 100 根，求其中至少有 30 要短于 3m 的概率。 解 把从这批木柱中随机地取一根看作一次试验，并假定各次试验相互独立，在 100 次试验中长度不小于 3m 的根数记作 X ，则 X 是随机变量 X ，且 X b(100, 0.8) ， 其分布律为
2\（1）一保险公司有 10000 个汽车保险投保人，每个投保人索赔金额的数学期望为 280 美 元，标准差为 800 美元，求索赔总金额不超过 2700000 美元的概率； （2）一公司有 50 张签约保险单，每张保险单的索赔金额为 X i ， i 1, 2, ,50 （以千美元 计）服从韦布尔分布，均值 E ( X i ) 5 ，方差 D ( X i ) 6 求 50 张保险单索赔的合计总金额 大于 300 的概率。 解 （1）设每个投保人索赔金额为 X i ， i 1, 2, ,10000 ，则索赔总金额为 X 又 E ( X i ) 280 ， D ( X i ) 800 ，所以，
以 X 表示总收入，即 X
300 i 1
X
i 1
300 i 1
300
i
，由独立同分布中心极限定理，得
X i 300 1.29
300 0.0489
X
i
387 N (387,14.67)
14.67
则收入超过 400 元的概率为
P{ X i 400} 1 P{ X i 400}
现代心理与教育统计学第05章习题解答
1. 解释相关系数时应注意什么？相关系数的值表示两个变量之间的关联程度，但只说明其大概的趋势，不存在精确的数值关系。
相关系数的数值大小，表示两个变量关联的强弱。
相关系数即使是1，也不能推出因果关系的结论。
要能区分虚假相关，不能仅依据相关系数的大小确定变量的相关。
在纯理论研究中，即使有很小的相关，如果在统计上有显著性，也能说明心理规律。
2. 假设两变量为线性关系，计算下列各种相关应用什么方法？ （1）积差相关（2）斯皮尔曼等级相关（3）二列相关（4）多列相关（5）点二列相关（6）等级相关（斯皮尔曼或肯德尔和谐系数） 3.如何区别点二列和二列相关？主要看是人为的划分还是自然划分，而为为二列相关，自然为点二列相关 4.品质相关有几种？各种品质相关的条件？ 主要有四分相关、φ相关、列联表相关 四分相关：当两个变量都是连续变量,且每一个变量的变化都被人为地分为两种类型时, 求两个变量之间的相关。
Φ相关：当两变量是真正（自然）的二分变量时，求两变量之间的相关。
列联相关：当两个变量都是计数数据时，求它们的相关。
5.用肯德尔和谐系数6.将数据带入公式计算得： 解7.此题的数据为非正态的等距数据，故用斯皮尔曼等级相关求相关系数8.解此题符合点二列相关的条件85＝男X 91＝女X 8.3=X S成绩与性别有关，即男女生的成绩存在显著差异 9．此题该用二列相关求解2.88＝奇X 8.87＝偶X 8.3=X S)(()819.02222＝∑∑∑∑∑∑∑---=Y Y N X X N YX XY N r ()()794.011413＝＋＋⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-∙-=∑n n n R R n r y x R ()()972.011413＝＋＋⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-∙-=∑n n n R R n r y x R 789.04/1*8.38591=-=-=pq S X X r x q P pb在某题上及格或不及格对总分的影响不大，亦即该题几乎没有区分度。
《线性代数》(第二版)智能教学系统 习题解答 第五章A组题
第五章二 次 型习 题 五〔A 〕1、写出以下二次型的矩阵〔1〕),,(321x x x f =32312221242x x x x x x -+-；〔2〕),,,(4321x x x x f =434131212222x x x x x x x x +++。
解：〔1〕因为),,(321x x x f =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x ,所以二次型),,(321x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---012110202。
〔2〕因为),,,(4321x x x x f =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101100100011110⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x ，所以二次型),,,(4321x x x x f 的矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0101100100011110。
2、写出以下对称矩阵所对应的二次型：〔1〕⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211； 〔2〕⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211212112101210。
解：〔1〕设T 321),,(x x x X =，那么),,(321x x x f =X T AX =),,(321x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----2221202121211⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛321x x x =323121232142x x x x x x x x -+-+。
〔2〕设T 4321),,,(x x x x X =，那么),,,(4321x x x x f =X T AX =),,,(4321x x x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121210210211212112101210⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4321x x x x =434232312124222x x x x x x x x x x x x +++-++-。
第5章 负反馈放大电路习题解答
第5章 负反馈放大电路习题解答1. 什么是反馈？为什么要引入反馈？ 【解题过程】在电子电路中，把放大电路的输出量（电压或电流）的一部分或者全部通过一定的网络返送回输入回路，以影响放大电路性能的措施，称为反馈。
负反馈可以大大提高增益乃至整个系统的稳定性、负反馈可以扩展通频带、负反馈可以改变输入输出阻抗，使系统更有利于推动后面的负载，所以要引入反馈。
2. 什么是正反馈和负反馈？如何判断电路中引入的是正反馈还是负反馈？ 【解题过程】当电路中引入反馈后，反馈信号能削弱输入信号的作用，称为负反馈。
相反，反馈信号加强了输入信号的作用，称为正反馈。
为了判断引入的是正反馈还是负反馈，通常采用的方法是“瞬时极性法”。
具体做法如下：(1)假定放大电路工作在中频信号频率范围，则电路中电抗元件的影响可以忽略； (2)假定电路输入信号在某个时刻的对地极性，在电路中用符号“＋”和“-”表示瞬时极性的正和负，并以此为依据，逐级推出电路中各相关点电流的流向和电位极性，从而得出输出信号的极性；(3)根据输出信号的极性判断出反馈信号的极性；(4)根据反馈信号和输入信号的极性及连接方式，判断净输入信号，若反馈信号使基本放大电路的净输入信号增强，则为正反馈；若反馈信号使基本放大电路的净输入信号削弱，则为负反馈。
3. 负反馈放大电路的一般表达式是什么？ 【解题过程】负反馈放大电路的一般表达式为F 1AA AF=+4. 负反馈放大电路有哪四种组态？如何判断？【解题过程】负反馈放大电路的四种组态为电压并联负反馈、电压串联负反馈，电流并联负反馈，电流串联负反馈，具体判断方法在正文6.5中有详细描述。
5. 负反馈对电路性能产生什么影响？【解题过程】负反馈对电路性能产生如下影响：提高闭环增益的稳定性、扩展闭环增益的通频带、减小非线性失真、抑制放大电路内部的噪声。
6. 电路如题图6.6 (a)、(b)所示。
（1）判断图示电路的反馈极性及类型；（2）求出反馈电路的反馈系数。
应用数值分析（第四版）课后习题答案第5章
第五章习题解答1、给出数据点:013419156i i x y =⎧⎨=⎩(1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。
(2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。
(3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。
解:(1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数2202130301191501031013303152933()()()()()()()()()()()()()()i i i x x x x x x L x l x y x x =------==⨯+⨯+⨯-------++=∑代入可得2151175(.).L =。
(2)利用123134,,x x x ===,1239156,,y y y ===构造如下差商表：于是可得插值多项式：229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+-代入可得215135(.).N =。
(3)用事后误差估计的方法可得误差为1501511751350656304.(.)(..).R -=-=-◆ 2、设Lagrange 插值基函数是0012()(,,,,)nj i j i jj ix x l x i n x x =≠-==-∏试证明:①对x ∀,有1()ni i l x ==∑②00110001211()()(,,,)()()nk i i i n n k l x k n x x x k n =⎧=⎪==⎨⎪-=+⎩∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。
证明：①由Lagrange 插值多项式的误差表达式101()()()()()!n ni i f R x x x n ξ+==-+∏知，对于函数1()f x =进行插值，其误差为0，亦即0()()ni ii f x l x f==∑精确成立，亦即1()ni i l x ==∑。
量子力学习题解答-周世勋
周世勋《量子力学教程》习题解答第一章 习题解答1．由黑体辐射公式导出维恩位移律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ（常数）。
并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：由能量密度的公式：185-⋅=λλλλπλρkT hc ed hcd则由0=λρλd d 解得m λ： 2256181185⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-⋅--⋅⋅-=λλλλλλπλπλρkT hc kT hckT hc e e kT hc hce hc d d 0511186=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⋅=λλλλλπkT hc kT hckT hc e ekT hc e hc 即 051=--λλλkT hckT hce e kT hc 令x kT hcm=λ，则 051=--x xe xe 解得 97.4=x所以 )(29.097.41038.110999.210626.6161027K cm kx hc T m ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==--λ 2．在K 0附近，钠的价电子能量约为eV 3，求其德布罗意波长。
解：01019303409.7)(1009.7106.131091.0210626.62A m mE h P h K=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯===----λ3．氦原子的动能是kT E 23=（k 为玻尔兹曼常数），求K T 1=时，氦原子的德布罗意波长。
解：氦原子的动能)(1007.211038.1232323J E --⨯=⨯⨯⨯=，氦原子的质量kg kg M 27271068.61067.14--⨯=⨯⨯=，所以102327346.12)(106.121007.21068.6210626.62A m mEh =⨯=⨯⨯⨯⨯⨯==----λ4．利用玻尔——索末菲量子化条件，求 （1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场T H 10=，玻尔磁子T J M B /10924-⨯=，试计算动能的量子化间隔E ∆，并与K T 4=及K T 100=的热运动能量相比较。
小学数学浙教版五年级上册第五单元 小数乘法与除法(二)积与商的近似值-章节测试习题(1)
章节测试题1.【题文】列竖式计算.246.4÷13（保留一位小数）【答案】19.0【分析】根据小数除法运算的计算法则进行计算即可求解.注意题目的答题要求.【解答】2.【题文】计算：76.2÷0.16－0.84（保留一位小数）【答案】475.4【分析】根据小数除法运算和小数减法的计算法则进行计算，再用“四舍五入”法取近似数.【解答】76.2÷0.16－0.84≈475.43.【题文】竖式计算.55÷3.9（保留两位小数）【答案】14.10【分析】本题根据小数除法的运算法则列竖式计算，要注意用“四舍五入”法保留结果.【解答】4.【题文】竖式计算.6.27÷3.5（保留两位小数）.【答案】1.79【分析】本题根据小数除法的运算法则列竖式计算，要注意用“四舍五入”法保留结果.【解答】5.【题文】脱式计算.4.05÷0.05÷0.81；76.2÷0.16－0.16（保留一位小数）.【答案】100； 476.1【分析】（1）先算乘法，再算减法；（2）先算除法，再算减法.【解答】（1）4.05÷0.05÷0.81＝81÷0.81＝100.（2）76.2÷0.16－0.16＝476.25－0.16≈476.1.6.【题文】一辆汽车每小时行62.5千米，4.4小时到达目的地.如果每小时行75千米，大约多少小时到达目的地？（保留一位小数）【答案】大约3.7小时到达目的地【分析】由“一辆汽车每小时行62.5千米，4.4小时到达目的地”可求出路程（62.5×4.4）千米；如果每小时行75千米，那么所用的时间为（62.5×4.4÷75）小时，解决问题.【解答】62.5×4.4÷75≈3.7（时）答：大约3.7小时到达目的地.7.【答题】求商的近似值里，如果要求保留两位小数，就要除到千分位.（）【答案】✓【分析】根据求小数的近似数的方法：保留两位小数，就得除到小数部分的第三位，那就是千分位，然后进行四舍五入即可.【解答】保留两位小数，就得除到小数部分的第三位，那就是千分位，然后进行四舍五入即可.故此题是正确的.8.【答题】求商的近似数时，商只要除到比要保留的位数多一位就可以了.（）【答案】✓【分析】此题考查的是商的近似数.【解答】求商的近似数时，商只要除到比要保留的位数多一位就可以了.故此题是正确的.9.【答题】一个三位小数，取近似值后写作0.25，这个小数取近似值前最大是______，最小是______．【答案】0.254,0.245【分析】要考虑0.25是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的0.25最大是0.254，“五入”得到的0.25最小是0.245，由此解答问题即可．【解答】一个三位小数，取近似值后写作0.25，这个小数取近似值前最大是0.254，最小是 0.245；故答案为：0.254，0.245．10.【答题】一个两位小数“四舍五入”保留一位小数可得8.5，这个两位小数最大是______，最小是______．【答案】8.54,8.45【分析】首先考虑8.5是一个两位数的近似数，分两种情况分析：“四舍”得到的8.5最大是8.54，“五入”得到的8.5最小是8.45，由此解答问题即可．【解答】一个两位小数“四舍五入”保留一位小数可得8.5，这个两位小数最大是8.54，最小是 8.45；故答案为：8.54，8.45．11.【答题】把5.2819保留三位小数是______，保留两位小数是______．【答案】5.282,5.28【分析】用四舍五入法保留三位小数，就看小数点后面第四位；保留两位小数，就要看小数点后面第三位，运用“四舍五入”的方法分别取近似值即可．【解答】5.2819≈5.282； 5.2819≈5.28；故答案为：5.282，5.28．12.【答题】一个三位小数“四舍五入”后是6.29，这个小数最大是______，最小是______.【答案】6.294,6.285【分析】三位小数“四舍五入”精确到0.01后得6.29，可能是“四舍”，也可能是“五入”.如果是“四舍”，原数的百分位不变，千分位一定是4或比4小的数，但不能为0；如果是“五入”，原数的百分位9一定是千分位上的数超过5或是5进1得来的.【解答】一个三位小数“四舍五入”后是6.29，这个小数最大是6.294，最小是6.285 .13.【答题】7.21÷2.3的得保留两位小数，商要计算到小数部分的第（）位.A.二B.三C.四【答案】B【分析】根据小数除法的计算法则，先移动除数的小数点使它转化为整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动相同的位数，然后按照除数是整数除法进行计算，要求保留两位小数，除到商是三位小数即可，然后利用“四舍五入”法求出近似数.【解答】根据分析可得：7.21÷2.3的得数保留两位小数，商要计算到小数部分的第三位即可.选B.14.【答题】5.47÷1.7的商保留两位小数是（）.A.3.22B.3.21C.3.20【答案】A【分析】要把5.47÷1.7的商保留两位小数，我们应除到第三位，再根据“四舍五入”法取值.【解答】5.47÷1.7≈3.22，选A.15.【题文】小明家七月份用水12.8吨，八月份用水14.7吨，九月份用水11.4吨.平均每月用水多少吨？（得数保留两位小数）【答案】12.97吨【分析】用三个月用水总量除以3即可求出平均每月用水量.【解答】（12.8＋14.7＋11.4）÷3≈12.97（吨）答：平均每月用水12.97吨.16.【题文】蓝鲸的体重大约是大象的多少倍？（得数保留整数）【答案】5倍【分析】根据除法的意义，用蓝鲸的体重除以大象的体重，求出蓝鲸的体重大约是大象的多少倍即可.【解答】4.3÷0.9≈5答：蓝鲸的体重大约是大象的5倍.。
计导-课后习题参考答案(第5章
第5章计算机组成一、复习题1.计算机由哪三个子系统组成？答：计算机由中央处理单元、主存储器和输入/输出子系统组成。
2.CPU又哪几个部分组成？答：；CPU由算术逻辑单元（ALU）、控制单元和寄存器组成。
3.ALU的功能是什么？答：ALU（即算术逻辑单元）用于算术运算和逻辑运算。
4.描述一下几种不同的寄存器。
答：寄存器是用来临时存放数据的高速独立的存储单元。
寄存器有三种：数据寄存器、指令寄存器和程序计数器。
其功能如下：①数据寄存器：数据寄存器用来保存复杂运算的中间结果，可以提高运算速度。
②指令寄存器：指令寄存器存储CPU从内存中逐条取出的指令，解释并执行指令。
③程序计数器：程序计数器保存当前正在执行的指令，当前的指令执行完后，计数器自动加1，指向下一条指令的地址。
5.控制单元的功能是什么？答：控制单元控制各部件协调工作，对取到指令寄存器中的指令进行译码并产生控制信号以完成操作。
控制通过线路的开（高电平）或关（低电平）来实现。
6.字和字节有什么区别？答：数据是以称之为字的位组的形式在存储器中传入和传出。
字就是指执行一条指令时可以处理的二进制数位数。
不同的机器字可以取8位、16位、32位，甚至是64位。
而字节是指8位二进制位。
7.主存的功能是什么？答：主存是存储单元的集合，用于临时存储数据和程序。
8.兆字节的近似值和实际值的字节数如何对应？答：其实际值是220字节，近似值是106字节。
9.存储地址用哪种数的表示法表示？答：地址本身也使用位模式表示，通常用无符号二进制整数表示。
10.RAM和ROM有何区别？答：RAM是随机存取存储器，是主存的主要组成部分。
具有可随机读写、易失性的特点。
ROM是只读存储器，具有只读、非易失性特点。
11.SRAM和DRAM有何区别？答：SRAM技术使用传统的触发器门电路，通电时数据始终存在，不需要刷新，速度快但价格昂贵；DRAM技术使用电容器，内存单元需要周期性地刷新（因为漏电），速度慢，但是便宜。
电工技术(第三版 席时达)教学指导、习题解答 第五章
第五章 电路的瞬态分析【引言】①○2当电路发生接通、断开、联接方式改变及电路参数突然变化时，电路将从一种稳态变换到另一种稳态，这一变换过程时间一般很短，称为瞬态过程或简称瞬态（也称暂态过程或过渡过程）。
○3学习目的和要求１、了解产生瞬态过程的原因和研究瞬态过程的意义。
２、掌握分析一阶电路的三要素法。
理解初始值、稳态值、时间常数的概念。
３、理解ＲＣ电路和ＲＬ电路瞬态过程的特点。
４、了解微分电路和积分电路本章重点：分析一阶电路的三要素法，ＲＣ电路的充放电过程。
本章难点：初始值的确定。
5-1 瞬态过程的基本知识一、电路中的瞬态过程【演示】用根据图5-1-1制作的示教板。
观察开关S 合上瞬间各灯泡点亮的情况。
稳定状态（简称稳态）瞬态分析的目的 交流电路：电压、电流为某一稳定的时间函数直流电路：电压、电流为某一稳定值掌握瞬态过程规律，获得各种波形的电压和电流。
防止出现过电压或过电流现象，确保电气设备安全运行。
【讲授】开关S合上瞬间二、换路定律【讲授】①换路定律是表述换路时电容电压和电感电流的变化规律的，即换路瞬间电容上的电压和电感中的电流不能突变。
②设以换路瞬间作为计时起点，令此时t＝０，换路前终了瞬间以t＝０—表示，换路后初始瞬间以t ＝０+表示。
则换路定律可表示为：u C（０+）= u C（０—）换路瞬间电容上的电压不能突变i换路瞬间电感中的电流不能突变【说明】①换路定律实质上反映了储能元件所储存的能量不能突变。
因为W C=21CuC2、W L=21LiL2，u C和i L的突变意味着能量发生突变，功率p=twdd趋于无穷大，这是不可能的。
②当电路从一种稳定状态换路到另一种稳定状态的过程中，u C和i L必然是连续变化的，不能突变。
这种电流和电压的连续变化过程就是电路的瞬态过程。
③电阻是耗能元件，并不储存能量，它的电流、电压发生突变并不伴随着能量的突变。
因此由纯电阻构成的电路是没有瞬态过程的。
《流体力学》课后习题详细解答
1-8解:
或，由 积分得
1-9解:法一：5atm
10atm
=0.537 x 10-9x (10-5) x98.07 x 103= 0.026%
法二： ,积分得
1-10解：水在玻璃管中上升高度
h =
水银在玻璃管中下降的高度
H= mm
第二章流体静力学
2-1解：已知液体所受质量力的x向分量为–a ,z向分量为-g。液体平衡方程为
重心C位于浮心之上，偏心距
沉箱绕长度方向的对称轴y轴倾斜时稳定性最差。浮面面积A=15m2。浮面关于y
轴的惯性矩和体积排量为
定倾半径
可见， >e,定倾中心高于重心，沉箱是稳定的。
第三章流体运动学
3-1解：质点的运动速度
质点的轨迹方程
3-Байду номын сангаас解：
由 和 ,得
故
3-3解：当t=1s时，点A（1,2）处的流速
线速度u = 0r,速度环量
(2)半径r+dr的圆周封闭流线的速度环量为
得
忽略高阶项2 0dr2，得d
（3）设涡量为 ，它在半径r和r+dr两条圆周封闭流线之间的圆环域上的积分为d 。因为 在圆环域上可看作均匀分布，得
将圆环域的面积dA=2 rdr代入该式，得
可解出 =2 + dr/r。忽略无穷小量 dr/r，最后的涡量
沉箱绕长度方向的对称轴y倾斜时稳定性最差。浮面面积A=15m2.浮面关于y轴的惯性矩和体积排量为
定倾半径
可见， ，定倾中心低于重心，沉箱是不稳定的。
(2)沉箱的混凝土体积
沉箱的重量
沉箱水平截面面积
设吃水深度为h,取水的密度 =1000kg/m3.浮力F等于重量G。有
矩阵理论第五章课后习题解答
第五章课后习题解答1. 设000c c=cc c c A .讨论c 取何值时A 为收敛矩阵. 解：由于()()22c cλ=cc c c c c λλλλλ-----=+---3E A ，所以A 的特征值为12c λ=，23c λλ==-，于是=A ()2r c ，而矩阵A 收敛的充要条件是<A ()1r 即1122c -<<. 2. 若()lim k k →∞=AA ，证明()lim k k →∞=A A ，其中(),k m n ⨯∈A A C ， 为m n ⨯C 中的任何一种矩阵范数，并问该命题的逆命题是否成立，为什么？证：由于()()lim lim 0k k k k →∞→∞=⇔-=AA A A ,再利用矩阵范数的三角不等式推知()()k k -≤-AA A A ，所以有()lim 0k k →∞-=A A ，即()lim k k →∞=AA .该命题的逆命题不成立，例如取⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ()1(1)10k k k ，⎛⎫= ⎪⎝⎭A 1010，并取矩阵范数为Frobenius范数，则有→∞→∞===A A ()lim limk k k ，但→∞A ()lim k k 不存在，所以→∞≠AA ()lim k k .3. 设()()()(),,lim lim k m n k n l k k k k ⨯⨯→∞→∞∈∈==AC B C A A,B B,证明()()lim k k k →∞=A B AB .证：→∞→∞=⇔-=A BAB A B AB ()()()()lim lim 0k k k k k k ，利用矩阵范数的性质有-=-+-A BAB A B AB AB AB ()()()()()()k k k k k k≤-+-AA B A B B ()()()()()k k k≤-+-B A A A B B ()()()()k k k由已知条件→∞→∞==AA B B ()()lim ,lim k k k k 及第2题结论知→∞-=A A ()lim 0,k k→∞-=B B ()lim 0k k ，→∞=B B ()lim k k .由此可见上面不等式的右边趋于0， 所以→∞-=A B AB ()()lim 0k k k .4. 设()()()1lim ()k n n k k k ⨯-→∞∈=AC ,A A,A 和1-A 都存在，证明()11lim()k k --→∞=A A .证：记adj A 为矩阵A 的伴随矩阵，ij A 为A 中元素ij a 的代数余子式，则()()1()adj ()det k k k -=A A A， 其中adj ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A A A A A A A A ()()()11211()()()()12222()()()12.k k k n k k k k n k k k nn nn易知(k)ij A 是A ()k 中元素的1n -次多项式，由多项式函数的连续性知(k)ij ij =A →∞A lim k ，故adj adj →∞=AA ()lim k k .同理d e t A ()k 是A ()k 中元素的n 次多项式，所以det det →∞=≠AA ()lim 0k k ，于是adj adj det det --→∞→∞===A A A A AA ()()11()lim ()lim k k k k k . 5. 设矩阵级数∞=∑A ()k k收敛（绝对收敛），证明()k k ∞=∑PAQ 也收敛（绝对收敛），且 ()()00k k k k ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑PA Q P A Q , 其中()k m n s m n l ⨯⨯⨯∈∈∈AC ,P C ,Q C .证：记 ()()()0()N NN k k k k ====∑∑SPA Q P A Q ,于是()()()()0lim (lim )()N k N k k N N k k k ∞∞→∞→∞======∑∑∑PAQ SP A Q P A Q可见若∞=∑A ()k k收敛，则()k k ∞=∑PAQ 也收敛.如果()k k ∞=∑A绝对收敛，则()0k k ∞=∑A 收敛.又由于≤≤PA Q PA Q A ()()()k k k c ，其中c 是与k 无关的正常数，由比较判别法知()k k ∞=∑PA Q 收敛，故()0k k ∞=∑PA Q 也绝对收敛.6. 讨论下列幂级数的敛散性：⑴ 2117113kk k ∞=⎛⎫ ⎪--⎝⎭∑; ⑵ 018216kkk k ∞=-⎛⎫⎪-⎝⎭∑. 解: (1) 设1713⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦A可求得A 的特征值为221-==λλ，所以=A ()2r . 幂级数∑∞=121k k x k的收敛半径为1)1(lim lim 221=+==∞→+∞→k k a a r k k k k . 由=>A ()2r r 知矩阵幂级数211k k k∞=∑A 发散.(2) 设1821-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦B ，可求得B 的特征值为31-=λ，52=λ，所以()=B 5r .又因幂级数∑∞=06k kk x k 的收敛半径 6166lim lim 11=+==+∞→+∞→k k a a r k k k k k k ,<B ()r r ，所以矩阵幂级数06kkk k ∞=∑B 绝对收敛. 7. 计算00.10.70.30.6kk ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑.解：设0.10.70.30.6⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，由于0.91∞=<A ，故矩阵幂级数0kk ∞=∑A 收敛，且其和为1472()393-⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦E A . 8. 设,n n⨯∈=A B C,AB BA ，证明sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin +=++=-A B A B A B,A B A B A B .证：由=AB BA ，有e e e +=A B A B，()()11sin()()()22i i i i i i e e e e e e i i +-+--+=-=-A B A B A B A B A B 1[(cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )]2i i i i i=++---A A B B A A B Bsin cos cos sin =+A B A B同理可证：cos()cos cos sin sin +=-A B A B A B .9. 设210001010⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求te A ，sin t A .解：()()()31120λλλλ-=+--=E A求得A 的特征值为11-=λ，12=λ，23=λ，于是存在可逆矩阵111310310-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦P ，101110336642--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P 使得1112--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP . 再根据矩阵函数值公式得 ()21,,t t t t e diag e e e --=A P P⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--++---=------t t tt t t t t t t t tt t t e e e e e e e e e e e e e e e 33330333303234661222 ()()1sin sin ,sin ,sin 2t diag t t t -=-A P P=sin 24sin 22sin 2sin 24sin 1006sin 606sin 0tt t t t t t --⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10. 设126103114--⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭A ，求,cos .t e t A A解：由 ()λλλλλ+--=-=-=-E A 331261310114得A 的特征值1λ=，解齐次线性方程组3()0-=A E x ，即2261130113x --⎛⎫⎪--= ⎪ ⎪--⎝⎭得1λ=的两个无关特征向量12(1,1,0),(2,1,1)T T αα=-=.又对2α，因非齐次方程组322()βα-=A E 相容，故可求得解2(1,0,0)T β=-.由122,,ααβ构造可逆矩阵121110010--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，1011001113--⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪--⎝⎭P ，使 1100011001-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP 为A 的Jordan 标准形.于是1001210001112260110000113000100011313t tt t t t t t t t e e t t t e P e te P e te e t t t e e t t t -⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1cos 002sin cos 2sin 6sin cos 0cos sin sin cos sin 3sin 00cos sin sin cos 3sin t t t tt t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t -+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A P P .11. 设1000110001100011⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求ln A . 解：方法一：事实上，可证明()[()]TTf f =A A 成立. 本题中TA 为一约当标准形矩阵，由()ln()f =A A 知(1)0,(1)1,(1)1,(1)2f f f f ''''''===-=.所以(1)(1)110(1)(1)012!3!2310(1)11(1)(1)01ln()[ln()]102!2201(1)(1)11100(1)32TTT T f f f f f f f f f f '''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪''⎪⎪ ⎪'-====-⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪' ⎪⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A方法二：对A 求得P ，使得11111111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦P AP J ，再得到1000010001ln ln 1002111032-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅⋅=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A P J P .12. 设()t A 和1()t -A 均为n 阶可微矩阵，证明111()()()()d t d t t t dt dt ---⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A A A .证：对1()()t t -=A A E 两端关于t 求导数可得11()()()()0d t d t t t dt dt--⋅+⋅=A A A A . 两边左乘1()t -A 并移项即得111()()()()d t d t t t dt dt ---⎛⎫=- ⎪⎝⎭A A A A .13. 设()(),T m n f tr ⨯=∈X X X X R ，求dfd X. 解: 这是数量函数对矩阵变量的导数.设()ijm nx ⨯=X ，则()()2211m nT st Fs t f x tr =====∑∑X XX X . 又因为()21,2,,;1,2,,ij ijfx i m j n x ∂===∂ ，所以 ()22ij m n ijm ndf f x d x ⨯⨯⎛⎫∂=== ⎪ ⎪∂⎝⎭X X . 14. 设,,()m nn F ⨯∈∈=A Rx R x Ax ，求()(),dF dF d d Tx x x x . 解：设 ()ijm na ⨯=A ,12(,,,)Tn x x x =x , 由于111(),,Tn nk k mk k k k F a x a x ==⎛⎫== ⎪⎝⎭∑∑x Ax所以()1,,,T i mi i F a a x ∂=∂ ()11111,,,,,,,,.TTm n mn n dF F F a a a a d x x ⎛⎫∂∂== ⎪∂∂⎝⎭x 而 11111,,n T nm mn a a dF F Fd x x aa ⎡⎤⎛⎫∂∂⎢⎥=== ⎪⎢⎥∂∂⎝⎭⎢⎥⎣⎦Ax .15. 设(),det 0,det n n f ⨯∈≠=X R X X X ．证明1(det )()T dfd -=X X X. 证：设()ijn nx ⨯=X ，记ij x 的代数余子式为ij X ，X 的伴随矩阵为adj X .将det X 按第i 行展开，得11()i i ij ij in in f =det x x x =++++X X X X X ，所以(),1,2,,ij ijfi j n x ∂==∂X ，从而有()()()()()11det (det )T T Tij n n df adj d --⨯====X X X X X X X.。
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第5章 近似方法习题5.1 一维无限深势阱)0(a x ≤≤中的粒子受到微扰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤=')2( )1(2)20( 2)(a x a a x a x a xx H λλ作用，试求基态能级的一级修正。
解：基态波函数（零级近似）为⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=a)x 0,(x 0a)x (0 x a πsin a 2)0(1ψ ∴能量一级修正为⎰'=dx H E )0(1)*0(1)1(1ψψ ⎰⎰-+=a a a xdx aa x a xdx a a x a 2/22/02sin )1(22sin 22πλπλ])2cos 1()2cos 1()2cos 1([22/2/2/02⎰⎰⎰---+-=a a a a a dx x a x dx x a a dx x a x a πππλ])2cos 42sin 221()2sin 2 ()2sin 42sin 221[(22/2222/3/02222aa a a a x a a x a x a x x a a x a x a a x a x a x a ππππππππππλ----+--= )]281(2281[222222222ππλa a a a a a --++= )4(22222πλa a a +=)221(2πλ+=习题5.2 如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为0r 、电荷均匀分布的小球，计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正。
解：这种分布只对0r r <的区域有影响，对0r r ≥的区域无影响。
据题意知)()(ˆ0r V r V H-=' 其中)(0r V 是不考虑这种效应的势能分布，即rZe r V 0204πε-=）（ )(r V 为考虑这种效应后的势能分布，在0r r ≥区域， rZe r V 024)(πε-=在0r r <区域，)(r V 可由下式得出，⎰∞-=rEdr e r V )(而 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤=⋅⋅=)( 4 )( ,434410200300330420r r r Ze r r r r Ze r r Ze r E πεπεπππε所以⎰⎰∞--=0)(r r rEdr e Edr e r V⎰⎰∞--=002023002144r r rdr r Ze rdr r Ze πεπε)3(84)(822030020022203002r r r Ze r Ze r r r Ze --=---=πεπεπε )( 0r r ≤⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+--=-=')( 0 )( 4)3(8)()(ˆ000222030020r r r r r Ze r r r Ze r V r V H πεπε由于0r 很小，所以)(2ˆˆ022)0(r V H H +∇-=<<'μ ，可视为一种微扰，由它引起的一级修正为（基态ra Z2/1313)0(11e )a Z (-=πψ） ⎰∞'=τψψd H E )0(1*)0(1)1(1ˆ ⎰-+--=01r 02r a Z202220302313dr r 4e ]r 4Ze )r r 3(r 8Ze [a Z ππεπεπ ∵1a r <<，故1e r a Z 21≈-。
∴ ⎰⎰+--=0r 031024r 04220331024)1(1rdr a e Z dr )r r r 3(r a 2e Z Eπεπε203102450503031024r a 2e Z )5r r (r a 2e Z πεπε+--= 231024r a 10e Z πε= 20312s4r a 5e Z 2= 本题亦可精确积分求出，结果为：)a Z r Z 2a 3r 23(Ze e )r Z 2a 3Zr a 3r 23(Ze E 13022102s 3022120102s )1(11a 0Z r2---++-=-习题5.3 转动惯量为I 、电偶极矩为D 的空间转子处在均匀电场在ε中，如果电场较小，用微扰法求转子基态能量到二级修正。
解：取ε的正方向为Z 轴正方向建立坐标系，则转子的哈米顿算符为θεεcos ˆ212ˆˆ22D L ID I L H -=⋅-= 取θεcos ˆ ,ˆ21ˆ2)0(D H L I H-='=，则 H H H'+=ˆˆˆ)0( 由于电场较小，视H'ˆ为微扰，用微扰法求解： )0(ˆH 的本征值为2)0()1(21+=l l IE 本征函数为 ),(Y m )0(ϕθψ =先计算H'ˆ的微扰矩阵元： ⎰⎰-='='ϕθθθετψψd d Y D Y d HH m sin )cos (ˆ00*)0(0)0*(0⎰-=ϕθθθεd d Y Y D m sin ) (cos 00* ⎰-=ϕθθππεd d Y Y D m sin 4134 10*110*03sin 3δεϕθθεD d d Y Y D -=-=⎰)0(ˆH 的基态能量为000=）（E ，为非简并情况。
根据定态非简并微扰论可知 0'00)1(0==H EI D ID E E E22221222')0()0(02')2(031)1(32 Hεδε-=+⋅-=-'=∑∑ 从而基态能量的近似值为：I D E 222031ε-≈习题5.4 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H'ˆ的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112，；b a 、都是实数。
用微扰公式求能量至二级修正值。
解：由微扰公式得nnn H E '=)1( ∑-'=mmnmn nEEH E )0()0(2')2(得 b H E b H E ='=='=22)1(0211)1(010201200121')2(01E E a E E H Emmm-=-'=∑0102200221')2(02E E a E E H Emmm-=-'=∑∴ 能量的二级修正值为02012011E E a b E E -++=01022022E E a b E E -++=习题5.5 对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为2xe λ-，λ为参数，用变分法求基态能量，并与严格解比较。
解：设基态波函数2x Ce λψ-= ，归一化，得1221222222=⎪⎭⎫⎝⎛==⎰⎰∞∞--∞∞--λπλλC dx eCdx Cexx，取 412⎪⎭⎫ ⎝⎛=πλC ， 2412x e λπλψ-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴。
()22222212x dx d x H μω+μ-= ()⎰+∞∞-∧=dx H E ψψλ*⎰+∞∞-λ-λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛μω+μ-⎪⎭⎫⎝⎛πλ=dx e x dx d ex x 2222222212122 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅μω+λ-μλ⎪⎭⎫ ⎝⎛πλ=⎰⎰+∞∞-λ-+∞∞-λ-dx x e dx x e x x 22222212221212 λμω+μλ=8222 由 ()082222=λω-μ=λ∂λ∂u E ， 得 2μω±=λ 考虑()x ψ在∞→x 处要求有限的条件，取 2212α=μω=λ 代入式()λE 的表达式，得谐振子（一维）基态能量ω 210=E而22212241x x ee α-μω-πα=⎪⎭⎫ ⎝⎛πμω=ψ 与严格解求得的结果完全一致。
可见，如果尝试解选得好，能得到相当理想的结果。
*习题5.6：计算 I 1、I 2和I 3。
解：21)(2221)(223131])(2[)(211211ττμπd d e e a Z I r r a zr r a z+-+-∇+∇-=⎰⎰在这一项积分中，1r 与2r 的地位对称，21∇项和22∇项的积分值相等，故第一项积分值为21∇项的两倍。
又因为120()Z r r a e +-与,θϕ无关，故只考虑对1r 求偏导的项，如111111)2()(111112112121a zr a zr a zr e a Z r a Z e r r r r e-----=∂∂∂∂=∇ 由此得到第一项的积分为：121110222202212313221)(2221)(223131)2()4)(()(22])(2[2)(1112211211dr r a Zr edr r ea Za Z d d e e a Z I a Zr a Zr r r a zr r a z---=∇+∇-=⎰⎰⎰⎰∞-∞-+-+-ππμττμπ122212231121311222313]!2)2)(()2(2[!2)2)(()4(22)(a e Z a ZZ aa Z Z a Z a a Z a Z s==-=μπμπ这里利用了定积分公式：10!n axn n x edx a ∞-+=⎰ （其中a ＞0）以及Bohr 半径公式221se a μ =。
在第二项中，由于同样的原因，其积分值等于11r 项的两倍，故 21)(221223132])11(2[)(211ττπd d e r r e a Z I r r a zs +-+-=⎰⎰ 123121223132222212122313221)(21231324!2)2()2()4()(4)4()(412)(22111211a Ze Z a Z a a Z e dr er dr e r a Z e d d e r a Z e ss r a zr a zs r r a zs -=-=-=-=⎰⎰⎰⎰--+-ππππττπ第三项的积分：21)(212223133][)(211ττπd d e r e a Z I r r a zs +-⎰⎰=计算方法有二： 方法一：改写积分为22112023*******)(2122231332111211]4[][)(ττπεππττπd e d r ea eZ a eZ d d er e a Z I r a zr a zr r a zs --+-⎰⎰⎰⎰--==上式中211002313|)(|11r e e a eZ r a zψπ-=--是第一个电子在1r 处的电荷密度，上式中方括号内的量是第一个电子在2r 处所产生的势。
221002313|)(|21r e e a eZ r a zψπ-=--是第二个电子在2r 处的电荷密度，这些电荷密度都是径向对称的，即它们与1r ，2r 的大小有关而与1r ，2r的方向无关。
第一个电子在2r 处所产生的势可以按1r ，2r的相对大小分成两部分：]44[444421121111112112020211202313121120231311202313⎰⎰⎰⎰∞----+-=-=-r r a z r r a z r a z r a z dr r r e dr r r e a eZ dr r r e a eZ d r e a eZ πεπεπετπεπ这个式子右边两项中第一项是以2r 为半径的球内第一个电子的电荷在2r处所产生的势1V ，第二项是分布在这个球以外的第一个电子的电荷在2r处所产生的势2V .根据电磁学的知识可知1V 等于球内所有电荷集中在球心时在2r处所产生的势，即2022010210220121223103012112023134]422[4421211211r ee r ea eZ a r eZ dr r r ea eZ dr r r e a eZ r a z r r a z r r a z πεπεπεπεπεπε-++=-=----⎰⎰而按径向对称地分布在球外的电荷在球内所产生的势2V 等于常量，其值可由在球心处的势得出212112112102102201211231031211202313]42[44r a zr r a z r r a z e a eZa r eZ dr r r ea eZdr r r e a eZ ---+-=-=-⎰⎰πεπεπεπε所以 2022010112023134)44(42111r ee r e a eZ d r e a eZ r a zr a zπεπεπετπεπ-+=---⎰ 将此结果代入I 3中再对2d τ积分，最后得到12222022*******1)(21222313385]4)44([][)(2121211a Ze d e r e e r e a eZ a eZ d d e r e a Z I s r a zr a zr r a zs =-+-==--+-⎰⎰⎰τπεπεπεπττπ方法二：利用Legendre 多项式的母函数∑∞=-=-+02/12)(cos )cos 21(l l l t P t t θθ有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><=-+=∑∑∞=∞=0211212102122/121222112),(cos )(1,)(cos )(1)cos 2(11l l l l l lr r P r r r r r P r r r r r r r r θθθ 先对1τd 积分，选z 轴沿2r 方向，则1r 与2r的夹角即球坐标θ，再对1r 分段积分，分别利用上面的展开式，注意到1)(cos 0=θP ，对θ积分时只有l =0的项不为零，即得到1222012112012122231322112201122231321)(21222313385]44[)(][)(][)(2121121121211211211a Ze d edr r r edr r r e a Z e d e d r e d r e a Z e d d e r e a Z I s r a z r r a z r r a zs r a zr r a z r r a z s r r a zs =+=+==----∞--+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰τπππτττπττπ*习题5.7设在0=t 时，氢原子处于基态，以后受到单色光的照射而电离。