高三数学解析几何解题技巧

高三数学解析几何解题技巧

解析几何是现在高考中区分中上层学生数学成绩的一个关键考点。能顺利解答解析几何题是数学分数跃上新台阶的重要条件。在解决此类问题时的要点主要有：用运动观点看待条件；挖掘出其中隐含的几何量之间关系；用代数语言（通常即是方程或不等式）翻译几何量之间关系；注意根据题设条件分类讨论。其中对能力的要求主要体现在如何选择变量和合理的运算路径上。三种运算：坐标、向量和运用几何性质推理，如何选择？依据的不是必然的逻辑推理，而是根据经验获得的合情推理。

解析几何的学科特征是“算”，它的第一步是把几何条件转化为代数语言，转换的桥梁大致有三类：①与线段长度有关，用距离公式；②与线段比有关的用向量、坐标之间关系转换；③与角度有关用斜率或用向量夹角公式处理。一经转化，解析几何问题就转化为方程或函数问题。如讨论一元二次方程根的情况，解方程组，求代数式的最大值或最小值等等。

常见翻译方法： 距离问题：距离公式212212)()(||y y x x AB -+-=

几个特殊转换技巧：

①若一条直线上有若干点，如D C B A ,,,等，它们之间距离存在比例关系，如满足条件,||||||2BC CD AB =⋅则可根据它们分别在两坐标轴之间距离关系，利用平行直线分线段成比例之关系转换为坐标关系：,)(||||2C B D C B A x x x x x x -=-⋅-当然也可转化为向量关系再转换为坐标关系等。

②利用向量求距离。

③角度问题：若条件表述为所目标角A 是钝角、直角或锐角，则用向量转化为简洁，即AC AB ⋅的值分别是小于零、等于零或大于零。一般角度问题转化为向量夹角公式即：|

|||cos b a b a ⋅=

θ④面积问题：主要是三角形面积公式：在OAB ∆中（O 是原点） )2

())()((21sin 21c b a p c p b p a p p ah C ab S O ++=---===

||2

1A B B A y x y x -== ⑤特殊地，若三角形中有某条线段是定值，则可把三角形分解为两个三角形来分别求面积。如椭圆122

22=+b y a x 的左右焦点分别为,,21F F 过左焦点直线交椭圆于),,(11y x A ),,(22y x B 则|||)||(|||2

121212121212y y c y y F F S S S F BF F AF ABF -=+=+=∆∆∆ ⑥三点共线问题：一般来说，可直接写出过其中两点的直线方程，再把另一点的坐标代入即可，但在具体问题中，用两点之间斜率相等（有时是用向量共线，可不用讨论斜率存在情况）更合适。

最后，针对广东高考命题特点，请同学们记住一句话：心中有数，不如心中有图，心中有图，不如会用图。

【例题训练】

1．（本小题满分14分）

给定椭圆),0(1:22

22>>=+b a b

y a x C 称圆心在原点O ，半径为22b a +的圆是椭圆C 的“准圆”，若椭圆C 的一个焦点为),0,2(F 其短轴上的一个端点到F 的距离为.3

(1)求椭圆C 的方程和其“准圆”的方程；

(2)点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线,,21l l 使得21,l l 与椭圆C 都只有一个交点，且21,l l 分别交其“准圆”于点M ，N .

①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求21,l l 的方程； ②求证：MN 为定值.

2．（本小题共14分）

已知动圆过定点),0,1( 且与直线1-=x 相切．

(1)求动圆的圆心轨迹C 的方程；

(2)是否存在直线l ，使l 过点),1,0( 并与轨迹C 交于P ，Q 两点，且满足0=⋅OQ OP ？ 若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.

3．（本小题满分14分） 已知椭圆,14

:22

1=+y x C 椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率． (1)求椭圆2C 的方程；

(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆1C 和2C 上，,2OA OB =求直线AB 的方程.

参考答案

1．解：(1)由题意得,2=c 3=a ，所以,1=b 故椭圆方程为,13

22

=+y x 准圆的方程为42

2=+y x ............................................................................2分

(2)①当点P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，它的坐标为）

，（20 由题意知直线21,l l 的斜率均存在时，设其斜率分别为21,k k

过点P 的直线l 的方程分别为2+=kx y 联立方程组,13

222

⎪⎩⎪⎨⎧=++=y x kx y 消去y 得0912)31(22=+++kx x k 因为直线l 与椭圆有且只有一个公共点，

所以,036362=-=∆k 解得,1±=k ..............................................4分

不妨设,11=k 12-=k

所以21,l l 的方程分别为.2,2+-=+=x y x y .......…………………5分

②(i)当21,l l 中有一条无斜率时，不妨设1l 无斜率，

因为1l 与椭圆只有一个公共点，则其方程为3=

x 或.3-=x

当1l 的方程为3=x 时，1l 与准圆交于点),1,3(),1,3(- 此时经过点)1,3(（或)1,3(-)且与椭圆只有一个公共点的直线是1=y

（或1-=y )，即2l 为1=y （或1-=y )，显然直线21,l l 垂直，

同理可证1l 的方程为3-=x 时，直线21,l l 垂直.........................................8分

(ii)21,l l 都有斜率时，设点),,(00y x P 其中.42020=+y x

设经过点),(00y x P 与椭圆只有一个公共点的直线为,)(00y x x t y +-= 则⎪⎩⎪⎨⎧-+==+)

(130022

tx y tx y y x 消去y ，得03)(3)(6)31(2000022=--+-++tx y x tx y t x t

0]3)(3)[31(4)](6[2002200=--+--=∆tx y t tx y t

化简，得.012)3(2000220=-++-y t y x t x ................……………10分

因为,42020=+y x 所以.0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x

设21,l l 的斜率分别为,,21t t 因为21,l l 与椭圆都只有一个公共点，

所以21,t t 满足上述方程,0)3(2)3(2000220=-++-x t y x t x

所以,121-=t t 即1l 与2l 互相垂直 ...............................……………12分

综合(i)、(ii)知：

因为21,l l 经过点),,(00y x P 又分别交其准圆于点,,N M 且21,l l 垂直，

所以线段MN 为准圆42

2=+y x 的直径，故.4||=MN ……………14分

2. 解：(1) 如图，设M 为动圆圆心，)0,1(F 过点M 作直线1-=x 的垂线垂足为N ，

由题意知：||||MN MF = ……………2分

即动点M 到定点F 与到定直线1-=x 的距离相等，

由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，

其中)0,1(F 为焦点，1-=x 为准线，

∴动圆圆心的轨迹方程为x y 42= …………5分

(2) 若直线l 的斜率不存在，则与抛物线C 相切，

只有一个交点，不合题意；