静定梁的内力分析

又由于区段AB两端的轴力 在弯曲小变形的假设下对弯 矩不产生影响
所以
从弯矩图的角度说，(a)右、 (b)右两受力图是相同的。
区段AB的弯矩图可以利用 与简支梁相同的叠加法制
作。其步骤相类似：
1 求出直杆区段两端的弯矩值， 在杆轴原始基线相应位置上画 出竖标，并将两端弯矩竖标连 直线。
2
在新的基线上叠加相应简支 梁与区段相同荷载的弯矩图。 （相应简支梁，指与所考虑 区段等长且其上荷载也相同 的，相应于该区的段简支梁）
M 2 FAy 2a M q 2a a
用文字写明 受拉侧
取截面2右侧：
3
FN 2

FP
5
FQ2

FP

4 5

FBy
qa
4
a
M 2 FBy a FP 5 2a q a 2
用文字写 明受拉侧
4.荷载与内力的关系(未考虑 沿杆件轴向的荷载作用)
隔离体上与其他部分联系的截
断处，只标舍去的其他部分对 隔离体的作用力。
例3-1-1 用截面法，求图(a) 所示伸臂梁截面1上的内力。
M
M
F A x F A y
(a)
F B y
(b)
解
1)求支座反力
去掉支座约束，取整体为隔离体， 见图(b)。建立隔离体的平衡方程 并解之：
MB 0
FAy

3a
1 FBy 7 (14 4 4 7 1) 33kN m
(↑) (↑)
q = 1 4 k N /m
F A x = 0
F A y= 3 0 k N (a)
F B y = 3 3 k N
2)计算控制截面弯矩值 取D截面以左
M D FAy 2 FP 1 30 2 7 1 53kN m

M

q

3a

3a 2

FP

4 5
a

0
FAy

1 3a

M

q 3a
3a 2

FP

4 5
a
(↓)
（箭头标出 实际方向）
MA 0
FBy
3a

M

q 3a
3a 2

FP

4 5

4a

0
(↑) FBy

1 M 3a
q 3a
3a 2
（2）区段叠加法作 弯矩图
指结构的任意一段直杆段的 弯矩图叠加方法。见下图31-7图(a)上所示一刚架结构， 要绘制直杆AB区段的弯矩图。
将直杆段AB取出，见图(a)右， 两端截开截面上的弯矩MAB、 MBA已求出（其它杆端内力也 可求出）。
q
A
B
F Q A B
F N A B A
q
BF N B A F Q B A
AD段中点：
ME

53 2
72 4
30kN m
DC段中点：
3 0 k N /m 5 3 k N /m 7 1 k N /m
3 3 k N /m
(b) M图 M DC1

53 33 2
14 42 8
71kN m
剪力图：见图(c) ，按图(a)外 力从梁的任意一端开始逐段绘 制。注意剪力正负号的确定。
内力计算的一般步骤
1.计算结构的支座反力和约束 取结构整体（切断结构与大地的约 束）、或取结构的一部分（切开结 构的某些约束）为隔离体，建立平 衡方程
(2)计算控制截面的内力 （指定截面的内力）
用假想的平面垂直于杆轴切开指定 截面，取截面的任意一侧为隔离体 并在其暴露的横截面上代以相应的 内力（按正方向标出），建立平衡 方程并求解
d x
图3-1-3 对于直杆段上，见图3-1-3,荷 载与内力之间有下列关系：
(1)微分关系 在图3-1-3所示杆件的连续分 布荷载段截取微段dx，见图31-4(a),建立微段的平衡方程：
图3-1-4(a)
dx
FY 0 FQ dFQ FQ qdx 0
dFQ q
(a)
dx
5.区段叠加法作弯矩图
叠加法的基本含义是，若结构在线 弹性阶段且为小变形时，若干荷载 作用下结构的内力或位移，可由各 荷载单独作用下的内力或位移叠加 求得。自然弯矩图（剪力图、轴力 图）也可按叠加法得到
(1)简支梁的弯矩叠加法
根据叠加法的基本含义，下图(a) 右所示简支梁在两端力偶和均布 荷载所用下，其总弯矩图（图(a) 右）等于，两端力偶、均布荷载 分别单独作下弯矩图（图(b)右、 图(c)右）的叠加。(见下页 )
M 0
M
dM
M

FQ
dx

q

(dx) 2
2
0
dM dx

FQ
(b)
由(a)、(b) 两式得:
d 2M dx2
q
(c)
以上三式，为荷载与内力的微分 关系。式(b)忽略了二阶微量。
微分关系的几何意义
若直杆段上无荷载作用，则剪 力图是与轴线平行的一条直线， 弯矩图是一条斜直线；
若直杆段上作用均布荷载，则 剪力图为一条斜直线，弯矩图 为抛物线
(c)
M 1 FQ 1
FBy
(d)
FX 0 FN1 FAx 0 FN1 FAx
FY 0 FQ1 FAy q a 0
FQ1 FAy qa
M1 0
M1

q
a
a 2

FAy
a

M

0
M1


1 2
qa 2

FAy a

M
用文字写 明受拉侧
(3)绘制结构的内 力图
(a)弯矩图 (b)剪力图 (c)轴力图
在静定结构的受力分析中，正 1 确有序地选取隔离体是解题的
关键。
2 取隔离体的要点是，要保证隔 离体的完全隔离，即隔离体与 结构其他部分的所有联系都要 切断。
3 隔离体上原有的已知力（荷载 和已求出未知力）要保留，不 能有遗漏。
4
简支梁在两支座端有外力偶作 用时，梁两端截面有等于该端 力偶的弯矩，无外力偶在端部 作用时端部截面的弯矩为零。 所以简支梁两端支座处的弯矩
值竖标可直接绘出。
1）图的叠加是弯矩竖标的叠 注 加，而不是图形的简单叠加。
2)每叠加一个弯矩图，都以紧 前一次弯矩图外包线为新基线， 并由此基线为所叠加的弯矩图 的拉压分界线。见图3-1-6。

FP

4 5
4a
箭头标出实 际方向
FX 0
箭头标出 实际方向
3 FAx FP 5 0
3
FAx 5 FP (→)
由 FY 0 可校核所得支座反力。
2)求截面1处的内力
截开截面1，取右侧为隔离
体，见图（c），建立平衡
方程并解之：
M FAx
M1
FAy
FQ1
上述方法既为直杆区段弯矩 图的叠加法。
例3-1-3 计算图示简支梁， 并作弯矩图和剪力图。
q = 1 4 k N /m
1 m1 m
4 m
1 m
解
1)求支座反力
去掉支座约束，以整体为 隔离体，由静力平衡条件
MB 0
MA 0
得
1
FAy

(14 4 3 7
7 6)

30kN m
若直杆段上作用三角形分布荷 载，则剪力图为抛物线，弯矩 图为三次曲线；
以此类推
(2)荷载与内力的增量关系
在图3-1-3所示杆件上，取含有集 中力和集中力偶在内的微段dx，见 图 3-1-4(b)，建立微段平衡方程：
图Βιβλιοθήκη Baidu-1-
4 (b)
dx
FY 0
M 0
FQ FQ FQ FP 0
(下侧受拉)
FQD FAy FP 30 7 23kN
取C截面以右
M C FBy 1 33 1 33kN m
(下侧受拉)
FQC FBy 33kN
3)作内力图
弯矩图：见图(b)（下页），以 梁轴线为基线，画出控制截面 弯矩竖标并连以直线；分段叠 加各段相应简支梁的弯矩图， 并计算各段中点的弯矩值。
1.轴力（FN） 2.剪力（FQ）
3.弯矩（M）
轴力(FN)
横截面上应力在截面法线（杆轴） 方向上的投影（或横截面上正应 力）的代数和称为轴力。轴力使 隔离体受拉为正（与截面法线方 向相同）。
剪力（FQ）
横截面上应力在截面切线（垂直于 杆轴）方向上的投影（或横截面上 切应力）的代数和称为剪力。剪力 使隔离体顺时针转动为正（左上、 右下）。
30kN
(c) FQ图
33kN /m
例3-1-4 计算图示伸臂梁， 并作弯矩图和剪力图。
q = 2 0 k N /m
2 m 1 m 1 m1 m
解
1)求支座反力（略）
q = 2 0 k N / m
F A y = 5 k N
(a)
F B y = 7 5 k N
2)求控制截面弯矩值 取截面C以右：
在集中力偶作用截面两侧，弯矩 有突变，突变值即为该集中力偶； 剪力相同。
(3)荷载与内力的积分关系
取图3-1-3所示杆件的连续分布 荷载段（AB段），见图3-1-5， 建立平衡方程并求解：
图3-1-5
dx
B
FY 0
FQB FQA
qdx
A
(f)
M 0
B
M B M A FQAl AB A q(l AB x)dx
第三章 静定梁的内力分析
静定梁有单跨静定梁和多跨静定梁。静定梁 是基本的结构形式。本节通过单跨静定梁， 复习杆系结构内力概念及内力计算基本方法； 通过多跨静定梁，了解静定结构几何组成对 内力计算的影响，掌握静定结构内力分析的 基本途径和方法。
第一节 单跨静定梁
单跨静定梁
简支梁
伸臂梁
悬臂梁
(a)
即
B
M B M A A FQdx (g)
以上两式，为荷载与内力 的积分关系。 注：
式(g)原式等号右侧的第二、
三项可写成：
B
B
A[FQA (qlAB qx)]dx A FQ dx
(f)、(g)两式又可又前述
微分关系得出
积分关系的几何 意义
有连续分布荷载（荷载垂直于杆 轴）的直杆段AB，B端的剪力等 于A端的剪力减去该段分布荷载 图的面积。B端的弯矩等于A端的 弯矩减去该段剪力图的面积。
FQ FP
(d)
M M M FQdx m 0
M m
(e)
以上两式，为荷载与内力的增量 关系。式(e)忽略了一阶微量。
增量关系的几 何意义
在集中力作用点（集中力垂直 与杆轴或有垂直于杆轴的分量） 两侧截面，剪力有突变，突变 值即为该集中力或垂直于杆轴 的分量；弯矩相同。
A
q BA
B
CM BM A 2
图3-1-6(a)
A
B
A
C
B
ql2
8
图3-1-6(b)
A
q
A
B
C
B
ql2 8
图3-1-6(c)
将先分别计算和绘制各荷载单 独作用下的弯矩图后再叠加的 过程在总弯矩图上一次完成， 其步骤是:
1
梁的轴线为原始基线，将梁两 端的弯矩竖标连以直线。
2
上一步所作的直线为新的基 线，叠加梁中部荷载作用下 的弯矩图 。
(b)
(c)
(d)
1.结构的内力概念
结构的内力反映其受力后结构内部的响应状态 （产生应变及相应的应力）。杆件结构的内力 为杆件（垂直杆轴的）横截面上分布的应力， 可以用一个合力来表示。在杆系结构的内力分 析中，将这个合力分解成作用在横截面中性轴 处的三个分量即轴力、剪力和弯矩。
典型杆件截面上的内力
弯矩（M）
横截面上应力（或横截面上正 应力）对截面中性轴的力矩代 数和称为弯矩。规定弯矩的竖 标画在受拉侧。
杆件截面上的 内力定义图
MA
M A
M B
MB
静定结构内力计算基本方 法和步骤：
静定结构的内力计算可归纳为， 选隔离体、建立隔离体的静力 平衡方程，和求解方程三部分 主要工作。内力计算基本方法 为截面法。
图3-1-7(a)
另做一与区段AB等长的简支 梁，见图(b)左，其上作用 有杆端力偶MA、MB和与刚 架相同的均布荷载q。
A
q
B
A
q B
F A y
F B y
图3-1-7(b)
比较(a)右、(b) 右两受力图
若简支梁的杆端外力偶分别等 于区段AB两端的弯矩，即， MA=MAB, MB=MBA, 容易看出， 区段AB两端的剪力与简支梁 的支座反力将相等，即， FQAB=FAy, FQBA=FBy
弯矩（M）
截面一侧所有外力对 指定截面形心力矩的 代数和。
例3-1-2 用直接法，求例 3-1-1图(a)所示伸臂梁截 面2上的内力。
M
(a)
解
支座反力计算同例3-1-1。内力 可由右图所示受力图直接计算：
M
F A x F A y
F B y
取截面2左侧：
FN 2 FAx FQ2 FAy q 2a
取截面1右侧为隔离体 计算可得同样结果
3.直接法求指定 截面的内力
由例3-1-1内力计算结果 分析，指定截面的内力可 用该截面一侧的外力直接 表示，即：
轴力 （FN）
截面一侧所有外力在指定 截面法线方向投影的代数 和，以与截面外法线方向 相反为正。
剪力 （FQ）
截面一侧所有外力在指定 截面切线方向投影的代数 和，左上、右下为正。