数乘向量的运算律
(教案)向量的数乘运算Word版含解析
6.2.3向量的数乘运算课标解读课标要求核心素养1.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则.2.理解平面向量数乘运算的几何意义.(重点)3.理解两个平面向量共线的含义.(难点)1.运用向量数乘运算律进行向量运算,培养数学运算核心素养.2.通过对比实数的运算律理解向量数乘的运算律,培养类比推理的能力.3.通过共线定理的应用培养直观想象核心素养.一只兔子第1秒钟向东跑了2米,第2、3秒钟又向东各跑了2米.问题1:兔子3秒的位移一共是多少?答案设兔子第1秒的位移是向量a,则3秒的位移是向量3a.问题2:若兔子向西跑3秒,则向量是多少?答案-3a(用a表示向东跑1秒).1.向量的数乘定义实数λ与向量a的积是一个①向量记法λa长度|λa|=|λ||a|方向λ>0λa的方向与a的方向②相同λ<0λa的方向与a的方向③相反几何意义λa中的实数λ是向量a的系数λ>0λa可以看作是把向量a沿着a的方向扩大④|λ|倍得到λ<0λa可以看作是把向量a沿着a的反方向缩小|λ|倍得到特别提醒当λ=0时,λa=0.当λ≠0时,若a=0,也有λa=0.思考1:实数与向量能否进行加减运算?提示不能.2.向量的数乘运算的运算律设λ,μ为实数,那么(1)λ(μa)=(λμ)a;(2)(λ+μ)a=⑤λa +μa; (3)λ(a+b )=λa +λb.思考2:向量数乘运算律与实数乘法运算律有什么关系? 提示两种运算律类似,(2)(3)式是向量因式不同的分配律. 3.向量的线性运算(1)向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,向量线性运算的结果仍是⑥向量. (2)对于任意向量a,b 以及任意实数λ、μ1、μ2,恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b. 思考3:向量的线性运算法则与实数的运算法则有什么关系? 提示在形式上类似. 4.共线向量定理向量a(a ≠0)与b 共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使⑦b =λa. 思考4:λ与向量a,b 的方向有什么关系?提示若λ>0,则a 与b 同向;若λ<0,则a 与b 反向.探究一向量的线性运算例1(1)化简下列各式:①3(6a+b)-9(a +13b);②12[3a +2b -(a +12b)]-2(12a +38b); ③2(5a-4b+c)-3(a-3b+c)-7a.(2)已知向量a,b,m,n 满足a=3m+2n,b=m-3n,试用向量a,b 表示向量m,n. 解析(1)①原式=18a+3b-9a-3b=9a. ②原式=12(2a +32b)-a-34b=a+34b-a-34b=0. ③原式=10a-8b+2c-3a+9b-3c-7a=b-c. (2)a=3m+2n ①,b=m-3n ②, 则①×3+②×2得3a+2b=11m, 即m=311a+211b. ①-②×3得a-3b=11n,即n=111a-311b. 思维突破向量的线性运算的技巧向量的线性运算类似于代数多项式的运算.(1)实数运算中去括号、移项、合并同类项、提取公因式等方法在向量线性运算中也可以使用.(2)这里的“同类项”“公因式”指向量,实数看作是向量的系数. 1-1化简下列各式:(1)2(3a-2b)+3(a+5b)-5(4b-a); (2)16[2(2a+8b)-4(4a-2b)]; (3)(m+n)(a-b)-(m-n)(a+b).解析(1)原式=6a-4b+3a+15b-20b+5a=14a-9b. (2)原式=16×(4a+16b-16a+8b)=16×(-12a+24b)=-2a+4b. (3)原式=m(a-b)+n(a-b)-m(a+b)+n(a+b) =(m+n-m+n)a+(-m-n-m+n)b =2na-2mb.探究二共线向量定理及其应用例2设两个非零向量a 与b 不共线.(1)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),求证:A 、B 、D 三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b 与a+kb 共线. 解析(1)证明:∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b, CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(a-b),∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, 又∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点B,∴A 、B 、D 三点共线. (2)∵ka+b 与a+kb 共线, ∴存在实数λ,使ka+b =λ(a+kb), 即ka+b =λa +λk b,∴(k-λ)a =(λk -1)b. ∵a 、b 是不共线的两个非零向量, ∴k-λ=λk -1=0,∴k 2-1=0,∴k=±1. 思维突破用向量法证明三点共线的关键与步骤(1)关键:能否找到一个实数λ,使得b =λa(a 、b 为这三点构成的任意两个向量). (2)步骤:先证明向量共线,然后指出两向量有公共点,从而证得三点共线.2-1如图,在平行四边形ABCD 中,点M 是AB 的中点,点N 在线段BD 上,且有BN=13BD,求证:M,N,C 三点共线.证明设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,则MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12a+13(b-a)=16a+13b,MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a+b=3×(16a +13b)=3MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点M,∴M,N,C 三点共线.探究三向量线性运算的应用例3(易错题)已知点E,F 分别为四边形ABCD 的对角线AC,BD 的中点,设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示EF⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析如图所示,取AB 的中点P,连接EP,FP. 在△ABC 中,EP 是中位线, 所以PE⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a. 在△ABD 中,FP 是中位线,所以PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12b.在△EFP 中,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =-PE ⃗⃗⃗⃗⃗ +PF⃗⃗⃗⃗⃗ =-12·a-12b =-12(a+b).易错点拨在根据平面几何图形进行化简、证明时,要准确应用平面几何图形的性质.应根据题意判断所给图形是不是特殊图形,不能盲目运用特殊图形的性质进行求解.3-1已知四边形ABCD 是一个梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,试用a,b 表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析解法一:如图,连接CN, 易知AN 与DC 垂直且相等, 所以四边形ANCD 是平行四边形. CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-b,又因为CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =-CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ -CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CN ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b+14a. 解法二:因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以a+BC⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)+(-b)=0, 所以BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b-12a, 又因为在四边形ADMN 中有AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以b+14a+MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(-12a)=0, 所以MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14a-b. 3-2设O 为△ABC 内任意一点,且满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,若D,E 分别是BC,CA 的中点. (1)求证:D,E,O 三点共线; (2)求S△ABC S △AOC的值.解析(1)证明:如图,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2(2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与OE ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点O, ∴D,E,O 三点共线. (2)由(1)知2|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OE ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴S △AOC =2S △COE =2×23S △CDE =2×23×14×S △ABC =13S △ABC ,∴S△ABC S △AOC=3.1.已知非零向量a,b 满足a=4b,则() A.|a|=|b| B.4|a|=|b| C.a,b 的方向相同 D.a,b 的方向相反答案C ∵a=4b,4>0,∴|a|=4|b|. ∵4b 与b 的方向相同, ∴a 与b 的方向相同.2.(多选题)下列向量中,a,b 一定共线的是() A.a=2e,b=-2e B.a=e 1-e 2,b=-2e 1+2e 2 C.a=4e 1-25e 2,b=e 1-110e 2 D.a=e 1+e 2,b=2e 1-2e 2答案ABCA 中,b=-a,则a,b 共线;B 中,b=-2a,则a,b 共线;C 中,a=4b,则a,b 共线;D 中,a,b 不共线.3.已知向量a=e 1+λe 2,b=2e 1,λ∈R,且λ≠0,若a ∥b,则() A.e 1=0B.e 2=0C.e 1∥e 2D.e 1∥e 2或e 1=0或e 2=0 答案D4.已知x,y 是实数,向量a,b 不共线,若(x+y-1)a+(x-y)b=0,则x=,y=. 答案12;12解析由已知得{x +y -1=0,x -y =0,解得x=y=12.5.已知两个非零向量e 1、e 2不共线,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2.求证:A 、B 、D 三点共线.证明∵AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2+6e 1+23e 2+4e 1-8e 2 =12e 1+18e 2=6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.又∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A, ∴A 、B 、D 三点共线.数学运算——在几何图形中进行向量线性运算如图所示,已知▱ABCD 的边BC,CD 上的中点分别为K,L,且AK ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .审:几何图形中用已知向量表示待求向量,可考虑用三角形法则或共线定理. 联:结合图形特征,把待求向量放在三角形中,进行加减运算. 解:解法一:设BC⃗⃗⃗⃗⃗ =a,则BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =①, AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ +KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,DL⃗⃗⃗⃗⃗ =12e 1-14a. 又AD⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得a+12e 1-14a=e 2, 解得a=②.由CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1-12a,得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =③.解法二:设BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n,则BK⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12m,DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12n. 由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BK ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DL ⃗⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ , 得④,得m=23(2e 2-e 1),n=⑤,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-43e 1+23e 2. 解法三:如图所示,BC 的延长线与AL 的延长线交于点E,则△DLA ≌△CLE.从而AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AL ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =32BC⃗⃗⃗⃗⃗ , 由KE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ -AK ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得32BC⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 2-e 1, 即BC⃗⃗⃗⃗⃗ =⑥. 同理可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =⑦.思:解决此类问题的一般思路是将所表示向量置于某一个三角形内,用加减法进行运算,然后逐步用已知向量表示待求向量,过程中体现数学运算核心素养.答案①12a ②43e 2-23e 1,即BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =43e 2-23e 1 ③-43e 1+23e 2④{-n +12m =e 1m -12n =e 2⑤23(-2e 1+e 2)⑥43e 2-23e 1⑦-43e 1+23e 2如图所示,四边形OADB 是以向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b 为邻边的平行四边形,又BM=13BC,CN=13CD,试用a,b 表示OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 解析BM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =16BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =16(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=16(a-b)=16a-16b, ∴OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+16a-16b=16a+56b. ∵CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =16OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +16OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗ )=23a+23b, MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23a+23b-16a-56b=12a-16b.1.将112[2(2a+8b)-4(4a-2b)]化简成最简形式为() A.2a-bB.2b-a C.a-bD.b-a答案B2.在△ABC 中,如果AD,BE 分别为BC,AC 上的中线,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =b,那么BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.23a+43bB.23a-23b C.23a-43bD.-23a+43b 答案A3.已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a+4b,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b-a,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(a+b),则() A.A 、B 、C 三点共线B.A 、B 、D 三点共线 C.A 、C 、D 三点共线D.B 、C 、D 三点共线 答案B4.在△ABC 中,已知D 是AB 边上一点,若AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λCB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ等于() A.23B.13C.-13D.-23答案A 解法一:由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得CD ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 解法二:CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ -CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13CA⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以λ=23. 5.已知四边形ABCD 是菱形,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C),则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =() A.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) B.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) C.λ(AB⃗⃗⃗⃗⃗ -BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1) D.λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,√22) 答案A 因为P 是对角线AC 上的一点(不包括端点A 、C),所以存在λ∈(0,1),使得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,于是AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ ),λ∈(0,1). 6.已知向量a,b 不共线,实数x,y 满足向量等式5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,则x=,y=. 答案3;-4解析因为a 与b 不共线,所以{5x =3y +27,8-y =4x,解得{x =3,y =-4.7.若|a|=3,|b|=2,b 与a 反向,则a=b. 答案-32解析因为b 与a 反向,所以a =λb ,λ<0.又|a|=3,|b|=2,所以|a|∶|b |=|λ|, 所以λ=-32,所以a=-32b.8.如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别为BD,AB,AC,CD 的中点,求证:四边形EFGH 为平行四边形.证明∵F,G 分别是AB,AC 的中点, ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .同理,EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴FG=EH,FG ∥EH,∴四边形EFGH 为平行四边形.9.已知△ABC 和点M 满足MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.若存在实数m 使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,则m=() A.2B.3C.4D.5答案B 由MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0可知,M 为△ABC 的重心,故AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23×12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即m=3.10.(多选题)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x)AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 可以是() A.-13B.-14C.0D.-√26答案BD 当点O 与点C 重合时,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-0)·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时x=0;当点O 与点D 重合时,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 此时x=-13.因为点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合),所以-13<x<0.故x 可以是-14,-√26.故选BD. 11.若对于△ABC 内部的一点O,存在实数λ使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )成立,则△OBC 与△ABC 的面积比为. 答案1∶2解析如图所示,设D,E 分别是AB,AC 的中点,连接OA,OB,OC,以OA,OB 为邻边作平行四边形OAGB,以OA,OC 为邻边作平行四边形OAFC,连接OG,OF.则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为OA⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ),所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOE ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以点O 在线段DE 上.又因为D,E 分别是AB,AC 的中点,所以△OBC 与△ABC 的面积比是1∶2.12.如图,四边形ABCD 是一个梯形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,M,N 分别是DC,AB 的中点,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,试用e 1,e 2表示下列向量:AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =;MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =. 答案e 2+12e 1;14e 1-e 2解析因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2+12e 1.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-14e 1-e 2+12e 1=14e 1-e 2. 13.已知O,A,M,B 为平面上四点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ,λ≠1,λ≠0).(1)求证:A,B,M 三点共线;(2)若点B 在线段AM 上,求实数λ的取值范围.解析(1)证明:因为OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-λ)OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又λ∈R ,λ≠1,λ≠0,且AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A,所以A,B,M 三点共线.(2)由(1)知AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若点B 在线段AM 上,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同向且|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |>|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |(如图所示),所以λ>1.14.平面内有一个△ABC 和一点O(如图),线段OA,OB,OC 的中点分别为E,F,G,线段BC,CA,AB 的中点分别为L,M,N,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a,OB⃗⃗⃗⃗⃗ =b,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c. (1)试用a,b,c 表示向量EL⃗⃗⃗⃗⃗ ,FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)证明:线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.解析(1)因为OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a,OL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c),所以EL ⃗⃗⃗⃗⃗ =OL ⃗⃗⃗⃗⃗ -OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(b+c-a). 同理可得FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+c-b), GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(a+b-c). (2)证明:设线段EL 的中点为P 1,则OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OL ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14(a+b+c). 设FM,GN 的中点分别为P 2,P 3,同理可求得OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(a+b+c),所以OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即线段EL,FM,GN 交于一点且互相平分.。
向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a•b。
若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•cos〈a，b〉；若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣。
平面向量的数乘和运算律
平面向量的数乘和运算律一、平面向量的数乘和运算律1、向量的加法求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
注：向量的和仍是一个向量；对于零向量与任一向量$\boldsymbol a$，有$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，即任意向量与零向量的和为其本身。
①常用结论$\boldsymbol 0+\boldsymbol a=\boldsymbol a+\boldsymbol 0=\boldsymbol a$，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|\leqslant |\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。
当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$同向时，$|\boldsymbol a+\boldsymbolb|=|\boldsymbol a|+|\boldsymbol b|$。
当$\boldsymbol a$与$\boldsymbol b$反向或$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$中至少有一个为$\boldsymbol 0$时，$|\boldsymbol a+\boldsymbol b|=$$|\boldsymbol a|-|\boldsymbol b|$（或$|\boldsymbol b|-|\boldsymbol a|$）。
②向量加法的运算律交换律：$\boldsymbol a+\boldsymbol b=\boldsymbol b+\boldsymbol a$。
结合律：$(\boldsymbol a+\boldsymbol b)+\boldsymbol c=\boldsymbola+(\boldsymbol b+\boldsymbol c)$。
2、向量的减法求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
注：减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，两个向量的差仍是向量。
向量公式大全
向量公式大全『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法AB+BC=ACa+b=(x+x'，y+y')a+0=0+a=a运算律：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)2.向量减法AB-AC=CB 即“共同起点，指向被减”如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3.数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣当λ＞0时，λa与a同方向当λ＜0时，λa与a反方向当λ=0时，λa=0，方向任意当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0『ps.按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0』实数λ向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上伸长为原来的∣λ∣倍当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ＞0)或反方向(λ＜0)上缩短为原来的∣λ∣倍数乘运算律:结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ4.向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，记作a•b若a、b不共线，则a•b=|a|•|b|•c os〈a，b〉若a、b共线，则a•b=+-∣a∣∣b∣向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'向量数量积运算律a•b=b•a(交换律)(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律)(a+b)•c=a•c+b•c(分配律)向量的数量积的性质a•a=|a|2a⊥b〈=〉a•b=0|a•b|≤|a|•|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点『重要』1、(a•b)•c≠a•(b•c) 例如：(a•b)2≠a2•b22、由a•b=a•c (a≠0)，推不出b=c3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b| ，推不出a=b或a=-b5、向量向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b.若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a，b〉.a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线，则a×b=0.性质∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积a×a=0a//b〈=〉a×b=0运算律a×b=-b×a(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb)(a+b)×c=a×c+b×c.『ps.向量没有除法“向量AB/向量CD”是没有意义的』6.向量的三角形不等式∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b反向时，左边取等号②当且仅当a、b同向时，右边取等号∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b同向时，左边取等号②当且仅当a、b反向时，右边取等号————————————————————————————————三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb，xy'-x'y=0『零向量0平行于任何向量』向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0 xx'+yy'=0『零向量0垂直于任何向量』7.定比分点定比分点公式P1P=λ• PP2设P1、P2是直线上的两点，P是直线上不同于P1、P2的任意一点则存在一个实数λ，使P1P=λ• PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有OP=(O P1+λO P2)(1+λ) (定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ)y=(y1+λy2)/(1+λ) (定比分点坐标公式)仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
6.2.3 向量的数乘运算-高一数学新教材配套课件(人教A版2019必修第二册)
课堂小结
1.实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如 λ＋a，λ－a 是没
有意义的．
2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，
→ → →→
→→
若AB＝λAC，则AB与AC共线，又AB与AC有公共点 A，从而 A，B，C 三点共线，
这是证明三点共线的重要方法．
D．2a－3b
解析: A→C＝A→B＋A→D＝2a＋3b.
3.在△ABC 中，若A→B＋A→C＝2A→P，则P→B等于( )
A．－12A→B＋32A→C
B. 12A→B－32A→C
√C. 12A→B－12A→C
D．－12A→B＋12A→C
解析：由A→B＋A→C＝2A→P得A→P＝12(A→B＋A→C)，所以P→B＝P→A＋A→B＝－12(A→B＋A→C) ＋A→B＝12A→B－12A→C.
总结
1.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行． 2.若 b＝λa(a≠0)，且 b 与 a 所在的直线有公共点，则这两条直线重合． 例如，若A→B＝λA→C，则A→B与A→C共线，又A→B与A→C有公共点 A，从而 A， B，C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
二．向量共线定理 1.向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 λ，使 b＝λa ．
注意： (1)定理中，向量 a 为非零向量 (2)要证明向量 a，b 共线，只需证明存在实数 λ，使得 b＝λa 即可． (3)由定理知，若向量A→B＝λA→C，则A→B，A→C共线．又A→B，A→C有公共点 A，从而 A，B， C 三点共线，这是证明三点共线的重要方法．
由O→D＝O→A＋O→B＝a＋b，得O→N＝12O→D＋16O→D＝23O→D＝23a＋23b.
2.3.2、2.3.3向量积的运算公式及度量公式概述.
张喜林制2.3.2 向量数量积的运算律2.3.3 向量数量积的坐标运算与度量公式考点知识清单1．向量数量积的运算律： (1)交换律： (2)分配律：(3)数乘向量结合律： 2．常用结论：=+2))(1(b a =-2))(2(b a=-⋅+)())(3(b a b a3．两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和，即若=a ),,(21a a ),,(21b b b =则=⋅b a 4．设).,(),,(2121b b b a a a == 如果,b a ⊥则 如果,02211=+b a b a 则对于任意实数k ，向量),(12b b k -与向量),(21b b 垂直．5．向量),,(),,(2121b b b a a a ==则=||a ,cos a <>=b6．若),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=所以=||AB要点核心解读1．向量数量积的运算律 a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）； )()())(2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）； c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）． 2．向量数量积的运算律的证明a b b a ⋅=⋅)1(（交换律）证明：,,cos ||||,cos ||||a b a b a b b a b a b a ⋅>=<>=<=⋅.a b b a ⋅=⋅∴)()()()2(b a b a b a λλλ⋅=⋅=⋅（结合律）证明：.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ①.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλλ②当0>λ时，a λ与a 同向，),,(,b a b a >=<λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ当0=λ时，,00)0()(=⋅=⋅=⋅b b a b a λ,0,cos ||||>=<b a b a λ.,cos ||||)(><=⋅∴b a b a b a λλ,0时当<λb a 与λ反向，),,,(b a b a <->=πλ],cos[||||)()(><--=⋅∴b a b a b a πλλ],cos [||||><--=b a b a λ .,cos ||||><=b a b a综合以上可得.,cos ||||)(><=⋅b a b a b a λλ ③由②同理可证得：.,cos ||||)(><=b a b a b a λλ综合以上可得：.||||)()()(b a b a b a b a λλλλ=⋅=⋅=⋅.,cos ><b ac b c a c b a ⋅+⋅=⋅+))(3(（分配律）证明：作轴L 与向量c 的单位向量0c 平行． 如图2-3 -2 -1，作==a ,,b 则.b a +=设点0、A 、B 在轴L 上的射影为、O ,//B A 、跟据向量的数量积的定义有,00/c a c OA ⋅=⋅= ,00//c b c AB B A ⋅=⋅== ,)(00/c b a c OB OB ⋅+=⋅=但对轴上任意三点,//B A O 、、都有,0////B A A OB += 即,)(000c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 上式两边同乘以|,|c 由c c c =0||得：.)(c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+∴ 得证．3．关于向量数量积的运算律需要注意的几点(1)数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律．.a b b a ⋅=⋅(2)从力做功情况来看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有).()(b a b a ⋅=⋅λλ(3)两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律.)(2121b a b a b a a ⋅+⋅=⋅+(4)值得注意的是，平面向量的数量积不满足结合律，.a C b a c b ⋅⋅=⋅)()(是错误的，这是因为c b b a ⋅⋅与都是数量，所以c b a c b a ⋅⋅⋅⋅)()(与分别表示a 的共线向量和c 的共线向量，当然就不能相等．(5)由,)()(d b c b d a c a d c b a ⋅+⋅+⋅+⋅=+⋅+可得向量的三个运算公式：,||||)()(22b a b a b a -=-⋅+,||2||)(222b b a a b a +⋅+=+ .||2||)(222b b a a b a +⋅-=-4．向量内积的坐标运算建立正交基底}.,{21e e 已知),(),,(2121b b b a a a ==，则.)()(121111122112211e b a e e b a e b e b e a e a b a +⋅=+⋅+=⋅.2122e b a e +⋅⋅+22221e e b a e因为,0,112212211=⋅=⋅=⋅=⋅e e e e e e e e 所以我们得到数量积的坐标表达式：5．用向量的坐标表示两个向量垂直的条件 设),,(),,(2121b b b a a a == 则.02211=+⇔⊥b a b a b a 6．向量的长度、距离和夹角公式(1)如图2-3 -2 -2，已知,1a a （=),2a 则=⋅=⋅=),(),(||21212a a a a a a a .2221a a +因此①这就是根据向量的坐标求向量长度的计算公式， 这个公式用语言可以表述为：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．(2)如果),,(),,(2211y x B y x A 则),,(1212y y x x AB --=从而②AB 的长就是A 、B 两点之间的距离，因此②式也是求两点的距离公式．这与我们在解析几何初步中得到的两点距离公式完全一样．(3)设),,(),,(2121b b b a a a == 则两个向量夹角余弦的坐标表达式7．如何运用坐标来解决垂直问题(1)设两非零向量),,(),,(2211y x b y x a ==则⇔⊥b a .02121=+y y x x利用向量垂直的坐标的条件，可使向量垂直问题代数他，从而有利于问题的解决．例如：已知： <<<<==βαββαα0)sin ,(cos ),sin ,(cos b a ),π则b a +与b a -是否互相垂直？并说明理由．解：由已知),sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a 有=+b a ),sin sin ,cos (cos βαβα++),sin sin ,cos (cos βαβα--=-b a又++-+=-<+αβαβα(sin )cos )(cos cos (cos )).(b a b a ).sin β)sin (sin βα-.0sin sin cos cos 2222=-+-=βαβα所以).()(b a b a -⊥+(2)平面向量数量积的坐标形式，一定要注意a 与b 的数量积等于两个向量对应坐标乘积之和．在用坐标形式判断两个向量垂直时，要与判断两个向量平行的坐标条件相区别：.0//;012212121=-⇔=+⇔⊥y x y x b a y y x x b a8．利用数量积求两个向量的夹角一定要注意两个向量的数量积为正不能得到它们的夹角一定为锐角，同样，两个向量的数量积为负也不能得到它们的夹角一定为钝角．设a ，b 为非零向量，如果,0>⋅b a 那么a ，b 的夹角为锐角或a ，b 同向，反之也成立；如果,0<⋅b a 那么a ，b 的夹角为钝角或a ，b 反向，反之也成立，典例分类剖析考点1 判断向量运算的正误[例1] 给出下列命题：①设a 、b 、c 是非零向量，则c b a ⋅⋅)(与c 共线；②若=a λ,R b ∈<λλ 且),0=/λ则0;=⋅=b a b a ③与a ⊥b 是等价命题；④若,.c b c a =⋅则;b a =⑤若a 与b 共线，则.||a b a =⋅ |;|b ⑥若.0<⋅b a 则),(b a 是钝角．其中真命题为 （填序号）．[解析] 向量的加、减、数乘、数量积运算及运算律要理解透彻；注意有些命题在特殊情况下是否成立．①因为a ×b 是一个实数，不妨记作λ，故.)(λ=⋅⋅c b a ,//c c C λ=所以①正确．,0)(0=-⇔=-⇔=b a b a b a λλλλλ②因为,0=/λ所以,0=-b a 所以,b a =故②正确．③因为,c o s ||||,0θb a b a b a =⋅=⋅所以0||0||==b a 或或,0cos =θ所以0=a 或0=b 或.90 =θ又因为规定O 与任意向量垂直，所以.b a ⊥反之，.0cos 90,a b a b a ⇔=⇔>=⇔<⊥θ ,090cos ||||== b a b 故③正确．c b c a ⋅=⋅④不一定有.b a =例如,,C b c a ⊥⊥且,2b a =此时,0=⋅=⋅c b C a 但.b a =/故④错．⑤a 与b 共线b a 与⇒方向相同或方向相反0,>=⇒<b a 或.||||),(b a b a b a ±=⋅⇒=π故⑤错， ⑥因为,cos ||||,0θb a ab b a ⋅=<⋅所以,0cos <θ所以),,2(ππθ∈所以θ为钝角或平角，故⑥错．[答案] ①②③[点拨] 此例题为概念综合题，其中③是重要结论，注意深刻理解，灵活应用；⑤⑥的完整形式应用也较广泛，注意特殊情况1．已知a 、b 、c 是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为( )．;//||||||b a b a b a ⇔⋅=⋅①②a 、b 反向.||a b a -=⋅⇔|;|b |;|||b a b a b a -=+⇔⊥③④=a;c b c a b ⋅=⋅⇔⑤.000==⇔=⋅b a b a 或 1.A 2.B 3.C 4.D考点2 向量的混合运算[例2] (1)已知,2||,4||,120==>=⋅<b a b a则+a |=+⋅-+)()2(|b a b a b(2)若向量a 、b 、c 满足,0=++c b a 且,1||,3||==b a .4||=c 则=⋅+⋅+⋅a c c b b a [解析] （1）)()2(b a b a b a +⋅-++2222)(b a b b a a b a -⋅-⋅+++= 2222b b a a b b a a -⋅-++⋅+=222120cos 24164120cos 24216⨯-⨯⨯-++⨯⨯+= .1232+=(2)根据已知条件，可知a 与b 同向，c 与a+b 反向．解法一：由已知得.|,|||||b a c b a c --=+=可知向量a 与b 同向，而向量c 与它们反向，-=++=⋅+⋅+⋅∴3180cos 12180cos 40cos 3 o a c c b b a .13124-=-解法二： ),(2)(2222a c cb b ac b a c b a ⋅+⋅+⋅+++=++a c cb b a ⋅+⋅+⋅∴2)()(2222c b a c b a ++-++=2)413(0222++-=.13-=[答案] 2132)1( + 13)2(- [点拨] ①利用公式2||a a a =⋅和向量数量积的运算性质计算．②(2)问解法二是利用2222)(b b a a b a +⋅+=+推广到=++2)(C b a +++222C b a)(2a c c b b a ⋅+⋅+⋅予以解答的．2．已知,21||,5||,4||=+==b a b a 求：;)1(b a ⋅)2()2)(2(b a b a -⋅+的值，考点3 利用数量积及运算律求横[例3] 已知向量a 、b 满足,1||||==b a 且,3|23|=-b a 求|3|b a +的值．[解析] 通过数量积a ×b 来探求已知条件3|23|=-b a 与目标式|3|b a +之间的关系..1||||,1||||22==∴==b a b a又,9)23(,3|23|2=-∴=-b a b a,9||412||922=+⋅-∴b b a a 将,1||||22==b a 代入有,31=⋅b a而 ,1213169||6||9)3(222=+⨯+=+⋅+=+b b a a b a.32|3|=+∴b a[点拨] 解题过程中要注意模与数量积之间的转换．3．已知向量a 、b 、c 满足：.0a c b a ，（=++:)(:)c b b ⋅=⋅)(a c ),23(:3:1-当1||=a 时；求||b 及||c 的值．考点4 向量夹角问题[例4] 已知a ，b 是两个非零向量，且|,|||||b a b a +==求向量b 与b a -的夹角．[解析] 我们可以利用向量减法的平行四边形法则，画出以a 、b 为邻边的平行四边形．如图2-3 -2 -3所示，若,,b a ==则=,,b a D b a -=+由+==a b a ||||||,b 可知,60oABC =∠b 与D所成角是.150我们还可以利用数量积的运算，得出b 与a-b 的央角，为了巩固数量积的有关知识，我们采用第二种方法解题，由||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<作为切入点，.)(|,||||,|||22b a b a b b a b +=∴=+=.||21||)(2||||2222b b a b b a a b -=⋅+⋅+=∴ 而.||23||||21)(2222b b b b a b b a b -=--=-⋅=-⋅ ①由+-⨯-=+⋅-=-22222||)21(2||)(2)(b b b b a a b a ,|31||22b b =而.||3||,||3)(||222b b a b b a b a =-∴=-=- ②,||||)(,cos b a b b a b b a b --⋅>=-<代入①②得⋅-=⋅->=-<23||3||||23,cos 2b b b b a b 又 ⋅=-∴>∈-<65),(],,0[,ππb a b b a b 4．已知.3||,4||==b a(1)若a 与b 的夹角为,600求+-⋅+a b a b a |),3()2(|;3||,2b a b -(2)若,61)2()32(=+⋅-b a b a 求a 与b 的夹角． 考点5 垂直问题[例5] 已知,4||,5||==b a 且a 与b 的夹角为,60问：当且仅当k 为何值时，向量b ka -与b a 2+垂直？[解析] 利用,0=⋅⇔⊥b a b a 得到关于k 的方程，通过解此方程得到k 的值．于是,4||,5||==b a且a 与b 的夹角为,60o.10214560cos ||||=⨯⨯==⋅∴ b a b a 又向量b ka -与b a 2+垂直，.0)2()(=+⋅-∴b a b ka 则有k ,0||2)12(||22=-⋅-+b b a k a 即,042)12(10252=⨯--+k k解得⋅=1514k [点拨] 非零向量a ，b 若满足,0=⋅b a 则,b a ⊥反之也成立．根据这一结论我们可以解决两类问题：(1)由垂直条件求参数的值；(2)利用题谩条件证明向量垂直或直线垂直．5．已知a 、b 都是非零向量，且b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求a 与b 的夹角． 考点6 向量线性运算与数量积的综合问题[例6] △ABC 三边的长分别为a 、b 、c ，以A 为圆心，r 为半径作圆，如图2 -3 -2 -4，PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，C ⋅有最大值？[解析] 由三角形法则构造P B 及Q C 的数量积转化为实数范围内求最大值，,.Q ,B B CA QA C A AP P =+-=即,--=--=A A C---=⋅∴AC AB C B ().AP (.Q P ⋅+⋅-=B A AC AP AP .)()22.r AC AB AP AB AP AC -⋅=⋅+- =-+)(=⋅+-⋅r AC ..2..cos ||.||2r A AB +-.cos 2+-=r A bc ⋅当与同向时，⋅最大为.||.||ra AP =即当QP 与共线且同方向时，C BP ⋅有最大值+A bc cos .2r ar -[点拨] 利用||||b a b a ⋅≤⋅求最值，但必须先构造出..C B ⋅6．如图2 -3 -2 -5，在Rt△ABC 中，已知,a BC =若长为2a 的线段PQ 以点A 为中心，问：Q B P 与 的夹角θ为何值时，.CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值，考点7 向量内积的坐标运算[例7] 已知),3,1(),1,2(-==b a 若存在向量c ，使得：.9,4-=⋅=⋅C b c a 试求向量c 的坐标． [解析] 设),,(y x c =则由4=⋅c a 可得;42=+y x 又由9-=⋅c b 可得.93-=+-y x于是有⎩⎨⎧-=+-=+,93,42y x y x 解得⎩⎨⎧-==⋅.2,3y x⋅-=∴)2,3(c[点拨] 已知两向量a 、b ，可以求出它们的数量积a ×b ，但是反过来，若已知向量a 及数量积a ×b ，却不能确定b ．需要像本例一样，已知两向量，及这两个向量与第三个向量的擞量积，则我们可利用数量积的坐标表示，通过解方程组的方法，确定第三个向量．7．巳知,1),4,2(),3,2(-=-==（c b a ),2-求.)()(),)((,2b a C b a b a b a b a +⋅+⋅-+⋅ 考点8 运用坐标运算处理垂直问题[例8] 在△ABC 中，),,1(),3,2(k ==且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值． [解析] 题目没有明确哪一个角是直角，要对三个角分别进行讨论，当90=A 时，;32,0312,0.-=∴=⨯+⨯∴=⋅k k A A当90=B =--=-==)3,21(,0k A B ),3,1(--k,0)3(3)1(2=-⨯+-⨯∴k;311=∴k 当oC 90=时，,0)3(1,0C C =-+-∴=⋅k k B A⋅±=∴2133k 32-=∴k 或⋅±2133311或8．(1)已知点A(1，2)和B(4，一1)，问在y 轴上是否存在一点C ，使得.90=∠ACB 若不存在，请说明理由；若存在，求出点C 的坐标．(2)已知),2,4(=a 求与a 垂直的单位向量的坐标，考点9 运用坐标运算求向量的夹角[例9] 已知a 、b 是两个非零向量，同时满足==b a |||,|b a -求a 与b a +的夹角．[解析] 解法一：根据,|||||,|||22b a b a ==有又由|,|||b a b -=得,||.2||||222b b a a b +-=.||212a b a =⋅∴ 而,||3||2||||2222a b b a a b a =+⋅+=+.||3||a b a =+∴设a 与b a +的夹角为θ，则,23||3||||21||||.||)(cos 22=⋅+=++=a a a a b a a b a a θ .30,1800o o =∴≤≤θθ解法二：设向量),,(),,(2211y x b y x a ==.|,|||22222121y x y x b a +=+∴=由|,|||b a b -= 得),(2121212121y x y y x x +=+即⋅+=⋅)(212121y x b a 由),(3)(212)(2||2121212121212y x y x y x b a +=+⨯++=+ 得.3||211y x b a +=+设a 与b a +的夹角为θ，则⋅=+⋅⋅++++=+⋅+=233)(21)(||||)(cos 212121212121212y x y x y x y x b a a b a a t θ .30,1800 =∴≤≤θθ解法三：根据向量加法的几何意义，作图（如图2 -3 -2 -6)．在平面内任取一点O ．作B b a 0,,以==为邻边作平行四边形OACB.|,|||b a = 即|,|||=∴ 四边形OACB 为菱形，OC 平分,AOB ∠这时,,0b a BA b a C -=+=而|,|||||b a b a -==即 .||||||==∴ △AOB 为正三角形，则,60 =∠AOB 于是,30 =∠AOC即a 与b a +的夹角为.30[点拨] 基于平面向量的表示上的差异，也就是表示方法的不同，才产生了以上三种不同的解法．9．(1)已知),1,1(),432,2(=-=b a 求a 与b 的夹角．(2)已知),1,1(),2,1(==b a 且a 与b a λ+的夹角为锐角，求实数A 的取值范围，考点10 向量坐标运算的综合应用[例10] 已知),23,21(),1,3(=-=b a 且存在实数k 和t ，使得,)3(2b t a x -+=,tb ka y +-=且 ,y x ⊥试求t t k 2+的最小值．[解析] 由题意可得,2)1()3(||22=-+=a,1)23()21(||22=+=b ,0231213=⨯-⨯=⋅b a 故有.b a ⊥ 由,y x ⊥知,0)(])3([2=+-⋅-+tb ka b t a即,0)3()3(2232=⋅+-+-+-b a k k t t b t t ka.00)3(1)3(22232=⋅+-+⋅-+⋅-∴k k t t t t k∴ 可得 433t t k -=故 ,47)2(41)34(41222-+=-+=+t t t t t k 即当2-=t 时，t t k 2+有最小值为⋅-47 [点拨] 向量与函数知识相结合的综合问题，关键是正确应用向量数量积的坐标形式，将其转化为函数问题，然后利用函数的相关知识来解决，10．已知向量,sin 2(),1,sin 3x b x a ==（],32,6[),1ππ∈x 记函数,)(b a x f ⋅Λ求函数)(x f 的值域．学业水平测试1．若),5,3(),2,(-==b a λ且a 与b 的夹角为钝角，则A 的取值范围是( )．),310.(+∞A ),310[+∞⋅B )310,.(-∞C )310,.(-∞D2．已知A 、B 、C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为、)2,1(A ),1,0()1,4(-C B 、则△ABC 的形状为( )．A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．以上均不对3．给定两个向量),1,2(),4,3(-==b a 且),()(b a xb a -⊥+则x 等于( )．23.A 223.B 323.C 423.D 4．已知),1,1(),2,3(--B A 若点)21,(-x P 在线段AB 的中垂线上，则=x 5．已知,,21),1,0(),0,1(mj i b j a j i +=-===给出下列命题：①若a 与b 的夹角为锐角，则;21<m ②当且仅当21=m 时，a 与b 互相垂直；③a 与b 不可能是方向相反的向量；④若|,|||b a =则.2-=m 其中正确的命题的序号是6．求与向量)1,2(),2,1(==b a 夹角相等的单位向量c 的坐标高考能力测试（测试时间：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）1．（2007年湖北高考题）设b a a 在),3,4(=上的投影为,225b 在x 轴上的投影为2，且,14||≤b 则b 为( )． )14,2(⋅A )72,2.(-B )72,2.(-C )8,2(⋅D 2．（2009年辽宁高考题）平面向量a 与b 的夹角为,2,60（=a=+=|2|,1||),0b a b 则( )． 3.A 32.B 4.C 12.D3．与)4,3(=a 垂直的单位向量是( ）．)53,54.(A )53,54.(--B )53,54.(-C 或)53,54(- )53,54.(D 或)53,54(-- 4．若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足+-OB O ().OC B (,0)2=-则△ABC 的形状为( )．A ．正三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形 D.A 、B 、C 均不正确5．（2011年辽宁理）若a ，b ，c 均为单位向量，且-=⋅a b a (,0,0)()≤-⋅c b c 则||c b a -+的最大值为( )．12.-A 1.B 2.C 2.D6．（2007年重庆高考题）已知向量),5,3(),6,4(==O 且,//,0⊥则向量=0( ))72,73.(-A )214,72.(-B )72,73.(-C )214,72.(-D 7．（2010年安徽高考题）设向量),21,21(),0,1(==b a 则下列结论中正确的是( )． ||||.b a A = 22.=⋅b a B b a C -.与b 垂直 b a D //. 8．（2009年陕西高考题）在△ABC 中，M 是BC 的中点，,1A =M 点P 在AM 上且满足⋅=PA PM AP 则,2)(PC PB +等于( )．94.-A 34.-B 34.C 94.D 二、填空题f5分x4 =20分）9．（2008年江西高考题）直角坐标平面上三点,3()2,1(B A 、),7,9()2C 、-若E 、F 为线段BC 的三等分点，则=⋅F E A A10．（2008年宁夏高考题）已知平面向量,4(),3,1(=-=b a b a +-λ),2与a 垂直，则=λ11．（2010年广东高考题）若向量===c b x a ),1,2,1(),,1,1(),1,1,1(满足条件,2)2()(-=⋅-b a c 则=x12．（2011年安徽理）已知向量a ，b 满足=-⋅+)()2(b a b a ,6-且,2||,1||==b a三、解答题（10分×4 =40分）13．(1)已知,120,,1||,1||ob a b a >=<==计算向量b a -2在向里b a +方向上的投影．(2)已知,4||,6||==b a a 与b 的夹角为,60 求).2(b a +)3(b a -的值．14．已知向量.),1,3(),1,2(),2,3(R t c b a ∈-==-=(1)求||tb a +的最小值及相应的t 值；(2)若tb a -与c 共线，求实数t 的值．15.如图2-3 -2 -7，四边形ABCD 是正方形，P 是对角线BD 上的一点，PECF 是矩形，用向量法证明： ;)1(EF PA =.)2(EF PA ⊥16．平面内有向量)1,2(),1,5(B ),7,1(===OP O OA 点X 为直线OP 上的一个动点．(1)当≡⋅X 取最小值时，求O 的坐标；(2)当点X 满足(I)的条件和结论时，求AXB ∠cos 的值，。
完整版向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则AB+BC=AC 。
a+b=(x+x' ，y+y')。
a+0=0+a=a 。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a ；结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 。
2、向量的减法如果a、b 是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0 的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数入和向量a的乘积是一个向量，记作入a且I X al = I XI ?l a I。
当入〉0时，Xa与a同方向；当XV 0时，Xa与a反方向；当X =0时，X a=0方向任意。
当a=0时，对于任意实数人都有X a=0注：按定义知，如果X a=0那么X =0或a=0。
实数X叫做向量a的系数，乘数向量Xa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当I XI > 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上伸长为原来的I XI倍；当I XI V 1时，表示向量a的有向线段在原方向(X>0)或反方向(XV0) 上缩短为原来的I XI倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：( X a)?b= X (a?b)=(a?。
X b)向量对于数的分配律(第一分配律)：(X + 11 )a= X a+ !i a. 数对于向量的分配律(第二分配律)：X(a+b)= X a+X b.数乘向量的消去律：① 如果实数入工且X a=X，那么a=b。
② 如果a^0且X a= 1，!那么X =14、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b 的夹角，记作〈a,b〉并规定O w〈a,b〉<n定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
向量数乘运算及其几何意义
2．2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标1.了解向量数乘的概念，并理解这种运算的几何意义.2.理解并掌握向量数乘的运算律，会运用向量数乘运算律进行向量运算.3.理解并掌握两向量共线的性质及其判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关共线向量问题．知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向⎩⎪⎨⎪⎧当λ>0时，与a 方向相同；当λ<0时，与a 方向相反.特别地，当λ＝0或a ＝0时，0a ＝0或λ0＝0. 知识点二 向量数乘的运算律 1．λ(μa )＝(λμ)a . 2．(λ＋μ)a ＝λa ＋μa . 3．λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 知识点三 向量共线定理 1．向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b . 思考 共线向量定理中为什么规定a ≠0?答案 若将条件a ≠0去掉，即当a ＝0时，显然a 与b 共线． (1)若b ≠0，则不存在实数λ，使b ＝λa . (2)若b ＝0，则对任意实数λ，都有b ＝λa .1．若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b ＝λa .( × ) 提示 当b ＝0，a ＝0时，实数λ不唯一． 2．若b ＝λa ，则a 与b 共线．( √ ) 提示 由向量共线定理可知其正确． 3．若λa ＝0，则a ＝0.( × ) 提示 若λa ＝0，则a ＝0或λ＝0.题型一 向量的线性运算例1 (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算答案 9a解析 3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a . (2)若3(x ＋a )＋2(x －2a )－4(x －a ＋b )＝0，则x ＝______. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 4b －3a解析 由已知得3x ＋3a ＋2x －4a －4x ＋4a －4b ＝0， 所以x ＋3a －4b ＝0，所以x ＝4b －3a . 反思感悟 向量线性运算的基本方法(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”、“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算． 跟踪训练1 计算：(a ＋b )－3(a －b )－8a . 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (a ＋b )－3(a －b )－8a ＝(a －3a )＋(b ＋3b )－8a ＝－2a ＋4b －8a ＝－10a ＋4b .题型二 向量共线的判定及应用命题角度1 判定向量共线或三点共线 例2 已知非零向量e 1，e 2不共线．(1)若a ＝12e 1－13e 2，b ＝3e 1－2e 2，判断向量a ，b 是否共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 解 ∵b ＝6a ，∴a 与b 共线．(2)若AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线．考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线证明 ∵AB →＝e 1＋e 2，BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．反思感悟 (1)向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．(2)利用向量共线定理证明三点共线，一般先任取两点构造向量，从而将问题转化为证明两向量共线，需注意的是，在证明三点共线时，不但要利用b ＝λa (a ≠0)，还要说明向量a ，b 有公共点．跟踪训练2 已知非零向量e 1，e 2不共线，如果AB →＝e 1＋2e 2，BC →＝－5e 1＋6e 2，CD →＝7e 1－2e 2，则共线的三个点是________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定三点共线 答案 A ，B ，D解析 ∵AB →＝e 1＋2e 2，BD →＝BC →＋CD → ＝－5e 1＋6e 2＋7e 1－2e 2＝2(e 1＋2e 2)＝2AB →， ∴AB →，BD →共线，且有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．命题角度2 利用向量共线求参数值例3 已知非零向量e 1，e 2不共线，欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定k 的值． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 ∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在实数λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线，只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.反思感悟 利用向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．跟踪训练3 设两个不共线的向量e 1，e 2，若a ＝2e 1－3e 2，b ＝2e 1＋3e 2，c ＝2e 1－9e 2，问是否存在实数λ，μ，使d ＝λa ＋μb 与c 共线？ 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 解 d ＝λ(2e 1－3e 2)＋μ(2e 1＋3e 2) ＝(2λ＋2μ)e 1＋(3μ－3λ)e 2，要使d 与c 共线，则存在实数k ，使得d ＝k c ， 即(2λ＋2μ)e 1＋(－3λ＋3μ)e 2＝2k e 1－9k e 2. 因为e 1与e 2不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ＋2μ＝2k ，－3λ＋3μ＝－9k ，得λ＝－2μ.故存在实数λ和μ，使得d 与c 共线，此时λ＝－2μ. 题型三 用已知向量表示其他向量例4 在△ABC 中，若点D 满足BD →＝2DC →，则AD →等于( ) A.13AC →＋23AB → B.53AB →－23AC →C.23AC →－13AB → D.23AC →＋13AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 示意图如图所示，由题意可得AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →.跟踪训练4 如图所示，四边形OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量解 因为BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )，所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b .因为CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD →＝23OD →＝23(OA →＋OB →)＝23(a ＋b )． MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b .向量的综合应用典例 如图，设O 是△ABC 内一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3解析 如图所示，分别取BC ，AC 边的中点D ，E ，则OB →＋OC →＝2OD →，① OA →＋OC →＝2OE →，② 由①×2＋②可得OA →＋2OB →＋3OC →＝2(2OD →＋OE →)． 又因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0， 所以2OD →＋OE →＝0，即OE →＝－2OD →， 所以OD →，OE →共线，且|OE →|＝2|OD →|.所以S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC＝3.[素养评析] 本题主要考查向量共线条件的应用，解题时需充分利用好几何图形，借助几何直观使问题得解，这正体现了数学中直观想象的核心素养.1．下列各式计算正确的有( ) (1)(－7)6a ＝－42a ； (2)7(a ＋b )－8b ＝7a ＋15b ； (3)a －2b ＋a ＋2b ＝2a ； (4)4(2a ＋b )＝8a ＋4b .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 (1)(3)(4)正确，(2)错，7(a ＋b )－8b ＝7a ＋7b －8b ＝7a －b . 2．在△ABC 中，M 是BC 的中点，则AB →＋AC →等于( ) A.12AM → B.AM → C ．2AM → D.MA → 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 C解析 如图，作出平行四边形ABEC ，因为M 是BC 的中点，所以M 也是AE 的中点，由题意知，AB →＋AC →＝AE →＝2AM →，故选C.3．设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m ＝－e 1＋k e 2 (k ∈R )与向量n ＝e 2－2e 1共线，则( ) A ．k ＝0 B ．k ＝1 C ．k ＝2D ．k ＝12考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 当k ＝12时，m ＝－e 1＋12e 2，n ＝－2e 1＋e 2.∴n ＝2m ，此时m ，n 共线．4．已知P ，A ，B ，C 是平面内四点，且P A →＋PB →＋PC →＝AC →，则下列向量一定共线的是( ) A.PC →与PB → B.P A →与PB → C.P A →与PC →D.PC →与AB → 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理判定向量共线 答案 B解析 因为P A →＋PB →＋PC →＝AC →， 所以P A →＋PB →＋PC →＋CA →＝0， 即－2P A →＝PB →，所以P A →与PB →共线．5.如图所示，已知AP →＝43AB →，用OA →，OB →表示OP →.考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 OP →＝OA →＋AP →＝OA →＋43AB →＝OA →＋43(OB →－OA →)＝－13OA →＋43OB →.1．实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，例如λ＋a ，λ－a 是没有意义的． 2．λa 的几何意义就是把向量a 沿着a 的方向或反方向扩大或缩小为原来的|λ|倍．向量a|a |表示与向量a 同向的单位向量．3．向量共线定理是证明三点共线的重要工具，即三点共线问题通常转化为向量共线问题．一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．λa 与a 的方向不是相同就是相反 B ．若a ，b 共线，则b ＝λa C ．若|b |＝2|a |，则b ＝±2a D ．若b ＝±2a ，则|b |＝2|a | 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的定义及几何意义 答案 D解析 显然当b ＝±2a 时，必有|b |＝2|a |. 2．3(2a －4b )等于( ) A ．5a ＋7b B ．5a －7b C ．6a ＋12bD ．6a －12b考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 D解析 利用向量数乘的运算律，可得3(2a －4b )＝6a －12b ，故选D.3．已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ，且A ，B ，C 三点共线，则实数λ的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．－2或1D ．－1或2考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 D解析 因为A ，B ，C 三点共线， 所以存在实数k 使AB →＝kAC →. 因为AB →＝λa ＋2b ，AC →＝a ＋(λ－1)b ， 所以λa ＋2b ＝k [a ＋(λ－1)b ]．因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2＝k (λ－1)，解得λ＝2或λ＝－1.4．如图，△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，DC →＝3BD →，AE →＝2EC →，则DE →等于( )A ．－13a ＋34bB.512a －34b C.34a ＋13b D ．－34a ＋512b考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 DE →＝DC →＋CE →＝34BC →＋⎝⎛⎭⎫－13AC → ＝34(AC →－AB →)－13AC →＝－34AB →＋512AC →＝－34a ＋512b ，故选D.5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →等于( )A ．a －12bB.12a －b C ．a ＋12bD.12a ＋b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 连接CD ，OD ，如图所示．∵点C ，D 是半圆弧AB 上的两个三等分点， ∴AC ＝CD ，∠CAD ＝∠DAB ＝12×60°＝30°. ∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ＝30°. 由此可得∠CAD ＝∠ADO ＝30°，∴AC ∥DO . 由AC ＝CD ，得∠CDA ＝∠CAD ＝30°， ∴∠CDA ＝∠DAO ，∴CD ∥AO ， ∴四边形ACDO 为平行四边形， ∴AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b .6．已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是( ) ①m (a －b )＝m a －m b ；②(m －n )a ＝m a －n a ； ③若m a ＝m b ，则a ＝b ；④若m a ＝n a ，则m ＝n . A ．②④ B ．①② C ．①③ D ．③④ 考点 向量数乘的定义及运算 题点 向量数乘的运算及运算律 答案 B解析 ①和②属于数乘对向量与实数的分配律，正确；③中，若m ＝0，则不能推出a ＝b ，错误；④中，若a ＝0，则m ，n 没有关系，错误．7．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F .若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于( ) A.14a ＋12b B.13a ＋23b C.12a ＋14b D.23a ＋13b 考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 D解析 ∵△DEF ∽△BEA ， ∴DF AB ＝DE EB ＝13，∴DF ＝13AB ， ∴AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋13AB →.∵AC →＝AB →＋AD →＝a ，BD →＝AD →－AB →＝b ， 联立得AB →＝12(a －b )，AD →＝12(a ＋b )，∴AF →＝12(a ＋b )＋16(a －b )＝23a ＋13b .二、填空题8．(a ＋9b －2c )＋(b ＋2c )＝________. 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算 答案 a ＋10b9．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________. 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 12解析 ∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又∵向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ， 使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.10．在▱ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →＝________.(用a ，b表示)考点 向量共线定理及其应用 题点 用已知向量表示未知向量 答案 14b －14a解析 如图，MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝－12b －a ＋34AC →＝－12b －a ＋34(a ＋b )＝14b －14a .11．若非零向量a 与b 不共线，k a ＋2b 与3a ＋k b 共线，则实数k 的值为________． 考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 ±6解析 ∵k a ＋2b 与3a ＋k b 共线， ∴存在实数λ，使得k a ＋2b ＝λ(3a ＋k b )， ∴(k －3λ)a ＋(2－λk )b ＝0， ∴(k －3λ)a ＝(λk －2)b .∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧k －3λ＝0，λk －2＝0，∴k ＝±6.12．如图，在△ABC 中，延长CB 到D ，使BD ＝BC ，当点E 在线段AD 上移动时，若AE →＝λAB→＋μAC →，则t ＝λ－μ的最大值是________．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用 答案 3解析 设AE →＝kAD →，0≤k ≤1，则AE →＝k (AC →＋2CB →)＝k [AC →＋2(AB →－AC →)]＝2kAB →－kAC →， ∵AE →＝λAB →＋μAC →，且AB →与AC →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2k ，μ＝－k ，∴t ＝λ－μ＝3k .又0≤k ≤1，∴当k ＝1时，t 取最大值3. 故t ＝λ－μ的最大值为3. 三、解答题 13．计算：(1)6(3a －2b )＋9(－2a ＋b )；(2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎡⎦⎤12a ＋37⎝⎛⎭⎫b ＋76a ； (3)6(a －b ＋c )－4(a －2b ＋c )－2(－2a ＋c )． 考点 向量的线性运算及应用 题点 向量的线性运算解 (1)原式＝18a －12b －18a ＋9b ＝－3b . (2)原式＝12⎝⎛⎭⎫3a －23a ＋2b －b －76⎝⎛⎭⎫12a ＋12a ＋37b＝12⎝⎛⎭⎫73a ＋b －76⎝⎛⎭⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0. (3)原式＝6a －6b ＋6c －4a ＋8b －4c ＋4a －2c ＝(6a －4a ＋4a )＋(8b －6b )＋(6c －4c －2c ) ＝6a ＋2b .14．在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别是DC ，BC 的中点，已知AM →＝c ，AN →＝d ，试用c ，d 表示AB →和AD →.考点 向量的线性运算及应用 题点 用已知向量表示未知向量 解 如图，设AB →＝a ，AD →＝b . ∵M ，N 分别是DC ，BC 的中点，∴BN →＝12b ，DM →＝12a .∵在△ADM 和△ABN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD →＋DM →＝AM →，AB →＋BN →＝AN →，即⎩⎨⎧ b ＋12a ＝c ， ①a ＋12b ＝d . ②①×2－②，得b ＝23(2c －d )， ②×2－①，得a ＝23(2d －c )． ∴AB →＝43d －23c ，AD →＝43c －23d .15．已知在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，求证：四边形ABCD为梯形．考点 向量共线定理及其应用题点 向量共线定理在平面几何中的应用证明 如图所示．→＝AB→＋BC→＋CD→∵AD＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，→＝2BC→.∴AD→与BC→共线，且|AD→|＝2|BC→|.∴AD又∵这两个向量所在的直线不重合，∴AD∥BC，且AD＝2BC.∴四边形ABCD是以AD，BC为两条底边的梯形．。
向量数乘运算及其几何意义
向量数乘运算及其几何意义教学目标1．掌握向量的数乘运算及其几何意义．(重点)2．掌握向量共线定理的应用．(难点)3．理解实数相乘与向量数乘的区别．(易混点)[基础·初探]教材整理1向量的数乘运算阅读教材P87～P88例5以上内容，完成下列问题．1．定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa．2．规定：①|λa|＝|λ||a|，②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0．3．运算律：设λ，μ为实数，则(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．特别地，我们有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．设a是非零向量，λ是非零实数，则以下结论正确的有________．①a与－λa的方向相反；②|－λa|≥|a|；③a 与λ2a 方向相同； ④|－2λa |＝2|λ|·|a |.【解析】 由向量数乘的几何意义知③④正确． 【答案】 ③④教材整理2 共线向量与向量的线性运算阅读教材P 88例5以下至P 89例7以上内容，完成下列问题． 1．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 2．向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a 、b ，以及任意实数λ、μ1、μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )＝λμ1a ±λμ2b ．如图2－2－19，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB→＋AD →＝λAO →，则λ＝________.图2－2－19【解析】 由向量加法的平行四边形法则知AB →＋AD →＝AC →， 又∵O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ， ∴AC →＝2AO →，∴AB →＋AD →＝2AO →， ∴λ＝2. 【答案】 2[小组合作型]数乘向量的定义及其几何意义(1)若两个非零向量a 与(2x －1)a 方向相同，则x 的取值范围为________．(2)若平面内不共线的四点O ，A ，B ，C 满足OB →＝13OA →＋23OC →，则|AB→||BC →|＝________. (3)已知点C 在线段AB 的延长线上(在B 点右侧)，且AB ∶AC ＝2∶3.①用BC →表示AB →； ②用CB→表示AC →. 对数乘运算的理解，关键是对系数λ的作用的认识：λ>0时，λa 与a 同向，模是|a |的λ倍； λ<0时，λa 与a 反向，模是|a |的－λ倍； λ＝0时，λa ＝0.解：(1)由定义可知，2x －1>0，即x >12.(2)因为OB →＝13OA →＋23OC →，所以OB →－OA →＝13OA →＋23OC →－OA →， 即AB →＝23AC →， 所以|AB →|＝23|AC →|， ①同理可得|CB →|＝13|CA →|， ② ①÷②得|AB→||CB →|＝2.【答案】 (1)x >12 (2)2(3)如图a ，因为点C 在线段AB 的延长线上，且AB ∶AC ＝2∶3，所以AB ＝2BC ，AC ＝3BC ．①如图b ，向量AB→与BC →方向相同，所以AB →＝2BC →； ②如图c ，向量AC→与CB →方向相反，所以AC →＝－3CB →. 对向量数乘运算的三点说明： (1)λa 中的实数λ叫做向量a 的系数．(2)向量数乘运算的几何意义是把a 沿着a 的方向或a 的反方向扩大或缩小．(3)当λ＝0或a ＝0时，λa ＝0.注意是0，而不是0. [再练一题]1．已知a ，b 是两个非零向量，判断下列各命题的真假，并说明理由．(1)2a 的方向与a 的方向相同，且2a 的模是a 的模的2倍； (2)－3a 的方向与6a 的方向相反，且－3a 的模是6a 的模的12； (3)－4a 与4a 是一对相反向量； (4)a －b 与－(b －a )是一对相反向量；(5)若a ，b 不共线，则0·a 与b 不共线. 解：(1)真命题．∵2>0，∴2a 与a 同向， ∵|2a |＝2|a |，∴2a 的模是a 的模的2倍． (2)真命题．∵－3<0，∴－3a 与a 方向相反且|－3a |＝3|a |， 又∵6>0，∴6a 与a 方向相同且|6a |＝6|a |， ∴－3a 与6a 方向相反且模是6a 的模的12. (3)真命题．由数乘定义和相反向量定义可知． (4)假命题．∵a －b 与b －a 是相反向量， ∴a －b 与－(b －a )是相等向量． (5)假命题.0·a ＝0，∴0·a 与b 共线． 向量的线性运算(1)化简：(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝________.(2)已知向量a ，b ，x ，且(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，则x ＝________.(1)可类比实数运算中的合并同类项方法化简； (2)可类比解方程方法求解．解：(1)(2a ＋3b －c )－(3a －2b ＋c )＝2a －3a ＋3b ＋2b －c －c ＝－a ＋5b －2c.(2)因为(x －a )－(b －x )＝x －(a ＋b )，所以2x －a －b ＝x －a －b ，即：x ＝0.【答案】 (1)－a ＋5b －2c (2)0 向量数乘运算的方法：(1)向量的数乘运算类似于多项式的代数运算，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．[再练一题]2．(2016·枣庄高一检测)化简11[(28)(42)]32a b a b +--的结果是( )A ．2a b -B ．2b a -C ．b a -D ．a b -解：原式＝13(a ＋4b －4a ＋2b )＝13 (6b －3a )＝2b －a . 【答案】 B[探究共研型]向量共线问题探究1 已知m ，n 是不共线向量，a ＝3m ＋4n ，b ＝6m －8n ，判断a 与b 是否共线？【提示】 要判断两向量是否共线，只需看是否能找到一个实数λ，使得a ＝λb 即可．若a 与b 共线，则存在λ∈R ，使a ＝λb ，即3m ＋4n ＝λ(6m －8n )．∵m ，n 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧6λ＝3，－8λ＝4.∵不存在λ同时满足此方程组，∴a 与b 不共线．探究2 已知e 1，e 2是共线向量，a ＝3e 1＋4e 2，b ＝6e 1－8e 2，则a 与b 是否共线？【提示】 ∵e 1，e 2共线， ∴存在λ∈R ，使e 1＝λe 2.∴a ＝3e 1＋4e 2＝3λe 2＋4e 2＝(3λ＋4)e 2， b ＝6e 1－8e 2＝6λe 2－8e 2＝(6λ－8)e 2， ∴a ＝3λ＋46λ－8b ⎝ ⎛⎭⎪⎫λ≠43，∴a 与b 共线．当λ＝43时，b ＝0，∴a 与b 共线．探究3 设两非零向量e 1和e 2不共线，是否存在实数k ，使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线？【提示】 设k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线， ∴存在λ使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)， 则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2. ∵e 1与e 2不共线，∴只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，则k ＝±1.已知非零向量e1，e 2不共线．如果AB →＝e 1＋e 2，BC →＝2e 1＋8e 2，CD →＝3(e 1－e 2)，求证A 、B 、D三点共线．【精彩点拨】 欲证A 、B 、D 共线，只需证存在实数λ，使BD →＝λAB→即可． 解：证明：∵AB →＝e 1＋e 2， BD →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2 ＝5(e 1＋e 2) ＝5AB→. ∴AB→，BD →共线，且有公共点B ， ∴A 、B 、D 三点共线．1．本题充分利用了向量共线定理，即b 与a (a ≠0)共线⇔b ＝λa ，因此用它既可以证明点共线或线共线问题，也可以根据共线求参数的值．2．向量共线的判断(证明)是把两向量用共同的已知向量来表示，进而互相表示，从而判断共线．[再练一题]3．设两个非零向量e 1，e 2不共线，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2.问：是否存在实数k ，使得A 、B 、D 三点共线，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【解】 设存在k ∈R ，使得A 、B 、D 三点共线，∵DB →＝CB →－CD →＝(e 1＋3e 2)－(2e 1－e 2)＝－e 1＋4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2.又∵A 、B 、D 三点共线，∴AB→＝λDB →，∴2e 1＋k e 2＝λ(－e 1＋4e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－λk ＝4λ，∴k ＝－8， 所以存在k ＝－8，使得A 、B 、D 三点共线．[构建·体系]1．下列各式中不表示向量的是( ) A ．0·a B ．a ＋3bC ．|3a |D ．1x －ye (x ，y ∈R ，且x ≠y )解：向量的数乘运算结果仍为向量，显然只有|3a |不是向量． 【答案】 C2．下列计算正确的个数是( )①(－3)·2a ＝－6a ；②2(a ＋b )－(2b －a )＝3a ；③(a ＋2b )－(2b ＋a )＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3解：因为(－3)·2a ＝－6a 故①正确；②中左＝2a ＋2b －2b ＋a ＝3a 成立，故②正确；③中左＝a ＋2b －2b －a ＝0≠0，故③错误．【答案】 C3.⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c 等于( )A ．a －14b ＋2cB ．5a －14b ＋2cC ．a ＋54b ＋2cD ．5a ＋54b解：⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋12b ＋c －⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋34b －c ＝(3a －2a )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12b －34b ＋(c ＋c )＝a －14b ＋2c.故选A ． 【答案】 A4．O 为平行四边形ABCD 的中心，AB →＝4e 1，BC →＝6e 2，则3e 2－2e 1＝________．【解析】 设点E 为平行四边形ABCD 的BC 边中点，点F 为AB 边中点，则3e 2－2e 1＝BE→＋BF →＝BO →＝OD →. 【答案】 OD→(或BO →) 5．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，证明：直线AD ∥BC ．证明：∵AD→＝AC →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(a ＋2b )＋(－4a －b )＋(－5a －3b )＝－8a －2b ＝2(－4a －b )＝2BC→，∴AD →与BC →共线． 又AD 与BC 不重合，∴直线AD ∥BC ．学业分层测评[学业达标]一、选择题1．设P 是△ABC 所在平面内一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A ．P A →＋PB→＝0 B ．PC →＋P A →＝0C ．PB→＋PC →＝0 D ．P A →＋PB→＋PC →＝0 解：因为BC →＋BA →＝2BP →，所以点P 为线段AC 的中点，故选项B 正确．【答案】 B2．已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( )A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D解：BD→＝BC →＋CD →＝(－5a ＋6b )＋(7a －2b )＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )＝2AB→，所以A ，B ，D 三点共线． 【答案】 A3．(2016·北京高一检测)四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，BD→＝－5a －3b ，其中a ，b 不共线，则四边形ABCD 是( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形D ．矩形解：因为AB→＝a ＋2b ， 又DC→＝BC →－BD →＝－4a －b －(－5a －3b )＝a ＋2b ＝AB →. 又因在四边形ABCD 中，有|AB →|＝|DC →|且AB ∥DC ， 所以四边形ABCD 为平行四边形． 【答案】 B4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA →＋OB→＋OC →＝0，那么( )A ．AO →＝OD →B ．AO →＝2OD →C ．AO→＝3OD → D ．2AO→＝OD → 解：由2OA →＋OB →＋OC →＝0，得OB →＋OC →＝－2OA →，又因为OB →＋OC →＝2OD→，所以AO →＝OD →. 【答案】 A5.如图2－2－20，正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，那么EF→＝( )图2－2－20A ．12AB →－13AD → B ．14AB →＋12AD →C ．13AB →＋12DA →D ．12AB →－23AD →解：EC →＝12AB →，CF →＝23CB →＝－23AD →，所以EF →＝EC →＋CF →＝12AB →－23AD→. 【答案】 D 二、填空题6．(2016·郑州高一检测)已知P 1P →＝23PP 2→，若PP 1→＝λP 1P 2→，则λ等于________．解：因为P 1P →＝23PP 2→，所以－PP 1→＝23(PP 1→＋P 1P 2→)， 即PP 1→＝－25P 1P 2→＝λP 1P 2→， 所以λ＝－25. 【答案】 －257．(2016·南宁高一检测)若AP →＝tAB →(t ∈R )，O 为平面上任意一点，则OP→＝________．(用OA →，OB →表示) 【解析】 AP→＝tAB →，OP →－OA →＝t (OB →－OA →)， OP→＝OA →＋tOB →－tOA →＝(1－t )OA →＋tOB →. 【答案】 (1－t )OA →＋tOB → 三、解答题8.如图2－2－21所示，OADB 是以向量OA →＝a ，OB →＝b 为邻边的平行四边形．又BM ＝13BC ，CN ＝13CD ，试用a ，b 表示OM →，ON →，MN→.图2－2－21解：BM →＝13BC →＝16BA →＝16(OA →－OB →)＝16(a －b )， 所以OM →＝OB →＋BM →＝b ＋16a －16b ＝16a ＋56b ， CN →＝13CD →＝16OD →，所以ON →＝OC →＋CN →＝12OD →＋16OD → ＝23OD →＝23(OA →＋OB →) ＝23(a ＋b )＝23a ＋23b .MN →＝ON →－OM →＝23(a ＋b )－16a －56b ＝12a －16b . 9．(2016·绍兴高一检测)设a ，b 是两个不共线的非零向量，记OA →＝a ，OB →＝t b (t ∈R )，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？解：∵OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )， ∴AB→＝OB →－OA →＝t b －a ， AC →＝OC →－OA →＝13(a ＋b )－a ＝13b －23a ，∵A 、B 、C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →， 即t b －a ＝λ⎝⎛⎭⎪⎫13b －23a .由于a ，b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧t ＝13λ，－1＝－23λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝32，t ＝12.故当t ＝12时，A 、B 、C 三点共线．[能力提升]1．设O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解：设BC 的中点为M ，则AB →＋AC →＝2AM →，又因为OP →－OA →＝AP →，且由题有OP→－OA →＝λ(AB →＋AC →)，所以AP →＝2λAM →，即AP →与AM →共线，又因为AM 为△ABC 的BC 边上中线，过重心，所以点P 的轨迹通过△ABC 的重心．【答案】 C2．点E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的中点，设BC →＝a ，DA→＝b ，试用a ，b 表示EF →. 解：如图：取AB 的中点P ，连接EP ，FP ，在△ABC 中，因为EP 是△ABC 的中位线， 所以PE →＝12BC →＝12a ，在△ABD 中，因为FP 是△ABD 的中位线， 所以PF →＝12AD →＝－12b ， 在△EFP 中，→＝EP→＋PF→＝－12a－12b＝－12(a＋b)．EF。
空间向量的数乘运算
3．1.2空间向量的数乘运算学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．知识点一空间向量的数乘运算思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.梳理(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝(λμ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb；③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．知识点二共线向量与共面向量思考1回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义．答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．思考2空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．梳理(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb点P在直线l上的充要条件存在实数t满足等式OP→＝OA→＋t a在直线l上取向量AB→＝a，则OP→＝OA→＋tAB→向量a为直线的方向向量(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝x a＋y b点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→对空间任一点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→类型一空间向量的数乘运算例1设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：AG→＝13(AB→＋AC→＋AD→)．证明连接BG，延长后交CD于点E，由G为△BCD的重心，知BG→＝23BE→.由题意知E为CD的中点，∴BE→＝12BC→＋12BD→.∴AG→＝AB→＋BG→＝AB→＋23BE→＝AB→＋13(BC→＋BD→)＝AB→＋13[(AC→－AB→)＋(AD→－AB→)]＝13(AB→＋AC→＋AD→)．反思与感悟应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标．跟踪训练1 已知在空间四边形OABC 中，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG ＝2GN ，如图所示， 记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，试用向量a ，b ，c 表示向量OG →.解 OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝12OA →＋23(MO →＋OC →＋CN →)＝12a ＋23[－12a ＋c＋12(b －c )]＝16a ＋13b ＋13c . 类型二 向量共线问题例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED →1，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA →1＝c . ∵A 1E →＝2ED →1，A 1F →＝23FC →，∴A 1E →＝23A 1D →1，A 1F →＝25A 1C →.∴A 1E →＝23AD →＝23b ，A 1F →＝25(AC →－AA →1)＝25(AB →＋AD →－AA →1)＝25a ＋25b －25c .∴EF →＝A 1F →－A 1E →＝25a －415b －25c ＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA →1＋A 1A →＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，∴EF →＝25EB →.∴E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 判定向量a ，b (b ≠0)共线，只需利用已知条件找到x ，使a ＝x b 即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？ 解 设AC 中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →， EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12AD →＋12BC →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与 AD →＋BC →共线． 类型三 向量共面问题例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面． 证明 因为OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD ＝k ，所以OE →＝kOA →，OF →＝kOB →， OG →＝kOC →，OH →＝kOD →.由于四边形ABCD 是平行四边形， 所以AC →＝AB →＋AD →.因此EG →＝OG →－OE →＝kOC →－kOA →＝kAC →＝k (AB →＋AD →)＝k (OB →－OA →＋OD →－OA →) ＝OF →－OE →＋OH →－OE →＝EF →＋EH →.由向量共面的充要条件知E ，F ，G ，H 四点共面．反思与感悟 利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练3 如图，已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点，且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →. 求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面； (2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.证明 (1)∵AC →＝AD →＋mAB →，∴A 、B 、C 、D 四点共面． ∵EG →＝EH →＋mEF →，∴E 、F 、G 、H 四点共面． (2)EG →＝EH →＋mEF →＝OH →－OE →＋m (OF →－OE →) ＝k (OD →－OA →)＋km (OB →－OA →)＝kAD →＋kmAB →＝k (AD →＋mAB →)＝kAC →，∴AC →∥EG →. (3)OG →＝OE →＋EG →＝kOA →＋kAC →＝k (OA →＋AC →)＝kOC →.1．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量答案 A解析 ∵2a －b ＝2·a ＋(－1)·b ， ∴2a －b 与a ，b 共面．2．已知空间四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN →满足的关系为( ) A.EF →＝MN → B.EF →∥MN → C ．|EF →|＝|MN →| D ．|EF →|≠|MN →|答案 B解析 AE →－AF →＝λAB →－λAD →＝λDB →，即FE →＝λDB →.同理NM →＝μDB →.因为μDB →∥λDB →，所以FE →∥NM →，即EF →∥MN →.又λ与μ不一定相等，故|MN →|不一定等于|EF →|. 3．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面； ③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 根据空间向量的基本概念知四个命题都不对． 4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； ②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________． 答案 ②④解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确．5．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________. 答案 －8解析 BD →＝CD →－CB →＝e 1－4e 2，AB →＝2e 1＋k e 2， 又A 、B 、D 三点共线，由共线向量定理得AB →＝λBD →， ∴12＝－4k.∴k ＝－8.(1)四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1. (2)OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．(3)证明(或判断)三点A 、B 、C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A 、B 、C 共线． (4)空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．一、选择题1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 B解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线在平面内，或与平面平行； ②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b ＝0，则有无数多个λ使之成立．2．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b 3答案 D解析 设D 是BC 边的中点， ∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )，∴AM →＝13(c －b )．3．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同 答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →⇒OP →－OA →＝n (OB →－OA →)⇒AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，即点A ，P ，B 共线．故选A. 4．对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面 D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面 答案 B解析 由6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →， 得OP →－OA →＝2(OB →－OP →)＋3(OC →－OP →)， 即AP →＝2PB →＋3PC →，∴AP →，PB →，PC →共面， 又它们有公共点P ，∴P ，A ，B ，C 四点共面．故选B.5．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.13答案 D解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13.故选D.6．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D答案 A解析 ∵AB →＝a ＋2b ，BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋4b ＝2(a ＋2b )，∴AB →∥BD →，又∵它们有公共点B ，∴A 、B 、D 三点共线．7. A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P 、A 、B 、C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面 答案 B解析 OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →＝34OA →＋18(OA →＋AB →)＋18(OA →＋AC →)＝OA →＋18AB →＋18AC →，∴OP →－OA →＝18AB →＋18AC →，∴AP →＝18AB →＋18AC →.由共面的充要条件知P ，A ，B ，C 四点共面． 二、填空题8．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________. 答案215解析 由P ，A ，B ，C 四点共面可知：15＋23＋λ＝1，故λ＝215.9．在三棱锥A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．答案 0解析 延长DE 交边BC 于点F ， 则AB →＋12BC →＝AF →，32DE →＋AD →＝AD →＋DF →＝AF →，故AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AF →－AF →＝0.10．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________. 答案 －1解析 OA →＝(－2x )·OB →＋(－3y )·OC →＋(－4z )·OD →，由A 、B 、C 、D 四点共面，则有－2x －3y －4z ＝1，即2x ＋3y ＋4z ＝－1. 三、解答题11．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当OP →＝2OA →－OB →－OC →时，点P 是否与A 、B 、C 共面？并给出证明．解 点P 与A ，B ，C 三点不共面，证明如下：若点P 与A 、B 、C 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )，使AP →＝xAB →＋yAC →，于是对平面ABC 外一点O ，有OP →－OA →＝x (OB →－OA →)＋y (OC →－OA →)， ∴OP →＝(1－x －y )OA →＋xOB →＋yOC →， 比较原式得{ 1－x －y ＝2，x ＝－1，y ＝－1，此方程组无解，这样的x ，y 不存在，所以A 、B 、C 、P 四点不共面．12．已知点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)证明：BD ∥平面EFGH . 证明 如图，连接EG ，BG .(1)∵EG →＝EB →＋BG →＝EB →＋12(BC →＋BD → )＝EB →＋BF →＋EH →＝EF →＋EH →，由向量共面的充要条件知：E ，F ，G ，H 四点共面． (2)方法一 ∵EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12BD →，∴EH ∥BD .又EH ⊂面EFGH ，BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥面EFGH . 方法二 ∵BD →＝BA →＋AD →＝2EA →＋2AH →＝2EH →＝2(EG →＋GH →)＝2EG →＋2GH →， 又EG →，GH →不共线，∴BD →与EG →，GH →共面． 又BD ⊄面EFGH ，∴BD ∥面EFGH .13．如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C →，OD →，OC→1是共面向量．证明 设C 1B →1＝a ，C 1D →1＝b ，C 1C →＝c ，∵四边形B 1BCC 1为平行四边形，∴B 1C →＝c －a ， 又O 是B 1D 1的中点， ∴C 1O →＝12(a ＋b )，∴OC →1＝－12(a ＋b )，OD →1＝C 1D →1－C 1O →＝b －12(a ＋b )＝12(b －a )．∵D 1D →綊C 1C →，所以D 1D →＝c ， ∴OD →＝OD →1＋D 1D → ＝12(b －a )＋c . 若存在实数x 、y ，使B 1C →＝xOD →＋yOC →1 (x ，y ∈R )成立，则c －a ＝x [12(b －a )＋c ]＋y [－12(a ＋b )]＝－12(x ＋y )a ＋12(x －y )b ＋x c .∵a 、b 、c 不共线，∴⎩⎨⎧12(x ＋y )＝1，12(x －y )＝0，x ＝1，得{ x ＝1，y ＝1.∴B 1C →＝OD →＋OC →1，∴B 1C →，OD →，OC →1是共面向量．3．1.2 空间向量的数乘运算(学生版)学习目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题．知识点一空间向量的数乘运算思考实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案λ＞0时，λa和a方向相同；λ＜0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的|λ|倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②结合律：λ(μa)＝(λμ)a.梳理(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝(λμ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb；③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展)．知识点二共线向量与共面向量思考1回顾平面向量中关于向量共线知识，给出空间中共线向量的定义．答案如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．思考2空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案正确．根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量．梳理(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在唯一实数λ，使a＝λb点P在直线l上的充要条件存在实数t满足等式OP→＝OA→＋t a在直线l向量a为直线的方向向量上取向量AB→＝a，则OP→＝OA→＋tAB→(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)使p＝x a＋y b点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使AP→＝xAB→＋yAC→对空间任一点O，有OP→＝OA→＋xAB→＋yAC→类型一空间向量的数乘运算例1设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心．求证：AG→＝13(AB→＋AC→＋AD→)．反思与感悟应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量运算的前提，表示向量时要注意选定向量，明确转化的目标．跟踪训练1已知在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，试用向量a，b，c表示向量OG→.类型二 向量共线问题例2 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E →＝2ED →1，F 在对角线A 1C 上，且A 1F →＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线．反思与感悟 判定向量a ，b (b ≠0)共线，只需利用已知条件找到x ，使a ＝x b 即可．证明点共线，只需证明对应的向量共线．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？类型三 向量共面问题例3 如图所示，已知平行四边形ABCD ，过平面AC 外一点O 作射线OA ，OB ，OC ，OD ，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H ，并且使OE OA ＝OF OB ＝OG OC ＝OHOD＝k ，求证：E ，F ，G ，H 四点共面．反思与感悟 利用向量法证明四点共面，实质上是证明向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．跟踪训练3 如图，已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点，且OE →＝kOA →，OF →＝kOB →，OH →＝kOD →，AC →＝AD →＋mAB →，EG →＝EH →＋mEF →. 求证：(1)A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；(2)AC →∥EG →；(3)OG →＝kOC →.1．对于空间的任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量C ．不共面向量D ．既不共线也不共面的向量2．已知空间四边形ABCD ，点E 、F 分别是AB 与AD 边上的点，M 、N 分别是BC 与CD 边上的点，若AE →＝λAB →，AF →＝λAD →，CM →＝μCB →，CN →＝μCD →，则向量EF →与MN →满足的关系为( ) A.EF →＝MN → B.EF →∥MN → C ．|EF →|＝|MN →| D ．|EF →|≠|MN →|3．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异面直线，则a 、b 一定不共面；③若a 、b 、c 三向量两两共面，则a 、b 、c 三向量一定也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量； ②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量； ④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量． 其中正确命题的序号是________．5．设e 1，e 2是平面内不共线的向量，已知AB →＝2e 1＋k e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k ＝________.(1)四点P ，A ，B ，C 共面⇔对空间任意一点O ，都有OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，且x ＋y ＋z ＝1. (2)OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →称为空间平面ABC 的向量表达式．由此可知空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．(3)证明(或判断)三点A 、B 、C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A 、B 、C 共线． (4)空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP →＝xMA →＋yMB →，满足这个关系式的点都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点都满足这个关系式．这个充要条件常用于证明四点共面．一、选择题1．给出下列几个命题：①向量a ，b ，c 共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；③若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb . 其中真命题的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( ) A.b －c 2 B.c －b 2 C.b －c 3 D.c －b 33．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( ) A ．点P 一定在直线AB 上 B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上 D.AB →与AP →的方向一定相同4．对于空间一点O 和不共线三点A ，B ，C ，且有6OP →＝OA →＋2OB →＋3OC →，则( ) A ．O ，A ，B ，C 四点共面 B ．P ，A ，B ，C 四点共面 C ．O ，P ，B ，C 四点共面 D ．O ，P ，A ，B ，C 五点共面5．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为( )A ．1B ．0C ．3 D.136．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D7. A ，B ，C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P 、A 、B 、C 四点( )A ．不共面B ．共面C ．不一定共面D ．无法判断是否共面二、填空题8．已知A ，B ，C 三点不共线，O 是平面ABC 外任一点，若由OP →＝15OA →＋23OB →＋λOC →确定的一点P 与A ，B ，C 三点共面，则λ＝________.9．在三棱锥A-BCD 中，若△BCD 是正三角形，E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →化简的结果为________．10．已知O 是空间任一点，A 、B 、C 、D 四点满足任三点均不共线，但四点共面，且OA →＝2x ·BO →＋3y ·CO →＋4z ·DO →，则2x ＋3y ＋4z ＝________.三、解答题11．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外一点O ，当OP →＝2OA →－OB →－OC →时，点P 是否与A 、B 、C 共面？并给出证明．12．已知点E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点． (1)证明：E ，F ，G ，H 四点共面； (2)证明：BD ∥平面EFGH .13．如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，O 是B 1D 1的中点，求证：B 1C →，OD →，OC→1是共面向量．。
数乘向量的运算律
数乘向量的运算律数乘向量的运算律是线性代数中的一项重要概念，它描述了数和向量之间的关系以及它们在线性空间中的运算规则。
本文将详细介绍数乘向量的运算律及其应用。
一、数乘向量的定义数乘向量的定义是指一个实数与一个向量相乘的运算。
具体来说，如果k是一个实数，向量v是一个n维向量，那么k乘以v的结果是一个与v同维度的向量，它的每个分量都等于k乘以v对应分量的值，即：k × [v, v, …, vn] = [kv, kv, …, kvn]例如，如果k=2，v=[1, 3, -2]，那么2乘以v的结果是[2, 6, -4]。
二、数乘向量的运算律数乘向量的运算律包括以下几个方面：1. 数量乘法结合律对于任意实数k1和k2，以及任意n维向量v，有：(k1k2) × v = k1 × (k2 × v)这个结合律的意义是，无论先乘以k1还是k2，再乘以向量v，最终结果都是相同的。
2. 数量乘法分配律对于任意实数k1和k2，以及任意n维向量v，有：(k1 + k2) × v = k1 × v + k2 × v这个分配律的意义是，一个实数k1+k2乘以向量v的结果，等于实数k1乘以向量v和实数k2乘以向量v的和。
3. 向量乘法分配律对于任意实数k和任意n维向量v1、v2，有：k × (v1 + v2) = k × v1 + k × v2这个分配律的意义是，一个实数k乘以向量v1+v2的结果，等于实数k分别乘以向量v1和向量v2的结果之和。
4. 数量乘法单位元对于任意实数k和任意n维向量v，有：1 × v = v这个单位元的意义是，一个实数1乘以任意向量v的结果，等于向量v本身。
5. 数量乘法逆元对于任意实数k和任意n维向量v，有：(-1) × v = -v这个逆元的意义是，一个实数-1乘以任意向量v的结果，等于向量v的相反数。
数乘向量的运算律
数乘向量的运算律数乘向量的运算律是线性代数中的基本概念之一，它描述了一个数与一个向量相乘的结果。
本文将从定义、性质和应用等方面对数乘向量的运算律进行详细介绍。
一、定义数乘向量的运算律是指一个实数与一个向量相乘的运算法则。
设实数 k 和向量 v，k 与 v 的乘积表示为 kv，即：kv = (k·v1, k·v2, …, k·vn)其中，v1, v2, …, vn 是向量 v 的分量。
二、性质1. 数乘向量的运算满足交换律，即 kv = vk。
2. 数乘向量的运算满足结合律，即 (ab)v = a(bv)。
3. 数乘向量的运算满足分配律，即 (a+b)v = av + bv。
4. 数乘向量的运算满足分配律，即 a(v+w) = av + aw。
5. 数乘向量的运算满足单位元律，即 1v = v。
6. 数乘向量的运算满足零元律，即 0v = 0。
三、应用数乘向量的运算律在线性代数中有广泛的应用，下面介绍其中的几个应用：1. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加的结果。
例如，设向量 v1、v2、…、vn 和实数 k1、k2、…、kn，则它们的线性组合可以表示为：k1v1 + k2v2 + … + knvn这里的 k1、k2、…、kn 称为系数，它们可以是任意实数。
根据数乘向量的运算律，可以将向量的线性组合写成下面的形式：k1v1 + k2v2 + … + knvn = (k1v1, k2v2, …, knvn) 这种形式更加简洁明了，方便计算和理解。
2. 向量的投影向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。
假设有两个非零向量 u 和 v，它们的夹角为θ，向量 u 在向量 v 上的投影为 p，则有：p = |u|cosθ·(v/|v|)其中，|u| 和 |v| 分别是向量 u 和向量 v 的模，cosθ是向量 u 和向量 v 的夹角的余弦值，v/|v| 是向量 v 的单位向量。
空间向量的数乘运算
巩固练习2
已知空间中三点 A, B, P共线，O为空间中任意一点，
OP 1 OA xOB,则x 3
2 3
共面向量：平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.
探究2 : (1)对空间任意两个不共线的向量a与b, 如果
p xa yb
AD)
AD1
1 2
AC
D1 A1
C1 B1
AD1 AO OD1
D
C
O
ABBiblioteka 探 究1 :(1)对空间任意两个向量a与b,如果a b
a与b有 什 么 位 置 关 系?
(2)反过来, a与b有什么位置关系时, a b?
b
a 2b
共线
a 3b
知识点二 空间向量共线定理
那么向量p与向量 a, b有什么位置关系?
(2)反过来,向量p与向量a与b有什么位置关系时 ,
p xa yb
共面
知识点三 空间向量共面定理
如果两个向量a, b不共线,那么向量p与向量a, b共面 的充要条件是存在惟一的有序实数对（x, y）,使
p xa yb
注意： 向量a, b不共线
OP xOA yOB zOC(其中x y z 1) P, A, B,C四点共面.
小结2
判断空间任意四点P, A, B,C共面方法：
(1)AP xAB yAC
(2)OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)
例1 已知A, B,C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，
kOC kOA. k AC 同理，EF k AB, EH k AD, EF EH k(AB AD)
数学苏教版必修4学案：第2章 2.2 2.2.3 向量的数乘
2．2.3向量的数乘预习课本P68～71，思考并完成下列问题1．向量数乘的定义是什么？2．向量数乘运算满足哪三条运算律？3．什么是向量共线定理？[新知初探]1．向量的数乘运算(1)定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度和方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当a＝0时，λa＝0；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μ a；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；λ(a －b )＝λa －λb .[点睛] (1)实数与向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算． (2)λa 的结果为向量，所以当λ＝0时，得到的结果为0而不是0. 2．向量共线定理如果有一个实数λ，使b ＝λa (a ≠0)，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与a (a ≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b ＝λa .[小试身手]1．化简：2(3a －2b )＋3(a ＋5b )－5(4b －a )＝_________. ★答案★：14a －9b2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA ＝a ，OB ＝b ，则DC ＝________.★答案★：b －a3．已知向量a 与b 反向，且|a |＝r ，|b |＝R ，b ＝λa ，则λ＝________. ★答案★：－Rr4．在△ABC 中，已知点D 在AB 边上，且AD ＝2DB ，CD ＝13CA ＋λCB ，则λ＝________.★答案★：23向量数乘的基本运算[典例] (1)(－5)×4a ；(2)5(a ＋b )－4(a －b )－3a ； (3)(3a －5b ＋2c )－4(2a －b ＋3c )． [解] (1)原式＝(－5×4)a ＝－20a .(2)原式＝5a ＋5b －4a ＋4b －3a ＝－2a ＋9b .(3)原式＝3a －5b ＋2c －8a ＋4b －12c ＝－5a －b －10c .向量基本运算的方法向量的基本运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量．[活学活用] 化简下列各式： (1)3(6a ＋b )－9⎝⎛⎭⎫a ＋13b ； (2)12⎣⎡⎦⎤(3a ＋2b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b －2⎝⎛⎭⎫12a ＋38b ； (3)2(5a －4b ＋c )－3(a －3b ＋c )－7a . 解：(1)原式＝18a ＋3b －9a －3b ＝9a .(2)原式＝12⎝⎛⎭⎫2a ＋32b －a －34b ＝a ＋34b －a －34b ＝0. (3)原式＝10a －8b ＋2c －3a ＋9b －3c －7a ＝b －c .用已知向量表示未知向量[典例] 在△ABC 中，D ，E 分别为BC ，AC 边上的中点，G 为BE 上一点，且GB ＝2GE ，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AD ，AG .[解] AD ＝12(AB ＋AC )＝12a ＋12b ； AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋23BE ＝AB ＋13(BA ＋BC )＝23AB ＋13(AC －AB )＝13AB ＋13AC ＝13a ＋13b .用已知向量表示未知向量的方法(1)利用三角形法则可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示．(2)当用已知向量线性表示未知向量时，要注意向量选取的恰当性，常常借助图形与平面几何知识(如三角形的中线性质、中位线性质、平行四边形性质等)并结合向量共线定理，把问题解决．如图，ABCD 是一个梯形，AB ∥CD ，且AB ＝2CD ，M ，N 分别是DC 和AB 的中点，已知AB ＝a ，AD ＝b ，试用a ，b 表示BC 和MN .解：连结CN ，因为N 是AB 的中点，AB ＝2CD ，所以AN∥DC且AN＝DC，所以四边形ANCD是平行四边形，所以CN＝－AD＝－b，又CN＋NB＋BC＝0，所以BC＝－NB－CN＝－12a＋b；MN ＝MC＋CN＝14a－b.向量共线的判定及应用1.如图所示，在平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD.求证：M，N，C三点共线. 证明：设BA＝a，BC＝b，则由向量减法的三角形法则可知：CM＝BM－BC＝12BA－BC＝12a－b.又因为N在BD上且BN＝13BD，所以BN＝13BD＝13(BC＋CD)＝13(a＋b)，所以CN＝BN－BC＝13(a＋b)－b＝13a－23b＝23⎝⎛⎭⎫12a－b，所以CN＝23CM，又因为CN与CM的公共点为C，所以M，N，C三点共线．题点二：利用向量的共线求参数2．设a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p＝________.解析：因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，所以λ＝1，p＝－1.★答案★：－1题点三：利用向量共线判定几何图形形状3.如图所示，正三角形ABC 的边长为15，AP ＝13AB ＋25AC ，BQ ＝15AB ＋25AC . 求证：四边形APQB 为梯形． 证明：因为PQ ＝PA ＋AB ＋BQ＝－13AB －25AC ＋AB ＋15AB ＋25AC ＝1315AB ，所以PQ ∥AB .又|AB |＝15，所以|PQ |＝13，故|PQ |≠|AB |，于是四边形APQB 为梯形．向量共线定理应用的注意点(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)若b ＝λa (a ≠0)，且b 与a 所在的直线无公共点，则这两条直线平行．层级一 学业水平达标1．化简：16[]2(2a ＋8b )－4(4a －2b )＝_______.解析：原式＝16(4a ＋16b －16a ＋8b )＝16(－12a ＋24b )＝－2a ＋4b .★答案★：－2a ＋4b2．若2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝0，其中a ，b ，c 为已知向量，则向量y ＝________. 解析：2⎝⎛⎭⎫y －13a －12(c ＋b －3y )＋b ＝2y －23a －12c －12b ＋32y ＋b ＝0，所以72y ＝23a ＋12c －12b ，所以y ＝421a －17b ＋17c . ★答案★：421a －17b ＋17c3．若AP ＝13BP ，AB ＝t BP ，则t 的值是________．解析：由题意AP ＝13BP ，所以AB ＝－23BP ，所以t ＝－23.★答案★：－234．已知a ，b 是非零向量，AB ＝a ＋2b ，DC ＝2a ＋4b ，则四边形ABCD 的形状一定是________．解析：因为 DC ＝2AB ，所以DC ∥AB ，且DC ＝2AB ，所以四边形ABCD 一定是梯形．★答案★：梯形5．在▱ABCD 中，AB ＝a ，AD ＝b ，AN ＝3NC ，M 为BC 的中点，则MN ＝________(用a ，b 表示)．解析：由AN ＝3NC ，得4AN ＝3AC ＝3(a ＋b )，AM ＝a ＋12b ，所以MN ＝AN －AM ＝34(a ＋b )－⎝⎛⎭⎫a ＋12b ＝－14a ＋14b . ★答案★：－14a ＋14b6．已知△ABC 和点M 满足MA ＋MB ＋MC ＝0.若存在实数m 使得AB ＋AC ＝m AM 成立，则m ＝________.解析：因为AB ＋AC ＝(AM ＋MB )＋(AM ＋MC )＝MB ＋MC ＋2AM .由MA ＋MB ＋MC ＝0得，MB ＋MC ＝AM ，所以AB ＋AC ＝3AM ，故m ＝3.★答案★：37.如图，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F .若AC ＝a ，BD ＝b ，则AF ＝________.解析：AF ＝AD ＋DF ，又AB ＋AD ＝a ，AD －AB ＝b ， ∴AB ＝12a －12b ，AD ＝12a ＋12b ，DC ＝AB ＝12a －12b ，∴AF ＝AD ＋13DC ＝23a ＋13b .★答案★：23a ＋13b8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB ＋FC ＝________. 解析：设AB ＝a ，AC ＝b ，则EB ＝－12b ＋a ，FC ＝－12a ＋b ，从而EB ＋FC ＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD .★答案★：AD 9．计算：(1)14⎣⎡⎦⎤(a ＋2b )＋3a －13(6a －12b )； (2)(λ＋μ)(a ＋b )－(λ－μ)(a －b )．解：(1)原式＝14(a ＋2b )＋34a －112(6a －12b )＝14a ＋12b ＋34a －12a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14＋34－12a ＋⎝⎛⎭⎫12＋1b ＝12a ＋32b . (2)原式＝(λ＋μ)a ＋(λ＋μ)b －(λ－μ)a ＋(λ－μ)b ＝[(λ＋μ)－(λ－μ)]a ＋[(λ＋μ)＋(λ－μ)]b ＝2μa ＋2λb .10．如图所示，已知△OAB 中，点C 是以A 为对称中心的B 点的对称点，D 是把OB 分成2∶1的一个内分点，DC 和OA 交于E ，设OA ＝a ，OB ＝b .(1)用a 和b 表示向量OC ，DC ； (2)若OE ＝λOA ，求实数λ的值．解：(1)依题意，A 是BC 中点，∴2OA ＝OB ＋OC ， 即OC ＝2OA －OB ＝2a －b ，DC ＝OC －OD ＝OC －23OB＝2a －b －23b ＝2a －53b .(2)若OE ＝λOA ，则CE ＝OE －OC ＝λa －(2a －b )＝(λ－2)a ＋b . ∵CE 与DC 共线．∴存在实数k ，使CE ＝k DC . ∴(λ－2)a ＋b ＝k ⎝⎛⎭⎫2a －53b ，解得λ＝45.层级二 应试能力达标1．已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线，则实数m 的值为________．解析：因为向量ma －3b 与a ＋(2－m )b 共线且向量a ，b 是两个不共线的向量，所以存在实数λ，使得ma －3b ＝λ[a ＋(2－m )b ]，即(m －λ)a ＋(mλ－2λ－3)b ＝0，因为a 与b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝λ，mλ－2λ－3＝0，解得m ＝－1或m ＝3.★答案★：－1或32．若AB ＝5e ，CD ＝－7e ，且|AD |＝|BC |，则四边形ABCD 的形状是________． 解析：因为AB ＝5e ，CD ＝－7e ，所以CD ＝－75AB .所以AB 与CD 平行且方向相反，易知|CD |>|AB |.又因为|AD |＝|BC |，所以四边形ABCD 是等腰梯形．★答案★：等腰梯形3．点C 在线段AB 上，且AC ＝35AB ，若AC ＝λCB ，则λ＝________.解析：∵AC ＝35AB ，∴AC ＝32CB ，AC 与CB 方向相同，故λ＝32.★答案★：324．已知OP 1＝a ，OP 2＝b ，P P 12＝λPP 2 (λ≠0)，则OP ＝_________.解析：因为P P 12＝λPP 2，所以OP 2－OP 1＝λ(OP 2－OP )，所以OP ＝1λOP 1＋λ－1λOP 2.★答案★：1λ a ＋λ－1λb5．若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足5AM ＝AB ＋3AC ，则△ABM 与△ABC 的面积比为________．解析：设AB 的中点为D ，由5AM ＝AB ＋3AC ，得3AM －3AC ＝2AD －2AM ，即3CM ＝2MD .如图所示，故C ，M ，D 三点共线，且MD ＝35CD ，也就是△ABM 与△ABC 对于边AB 的两高之比为3∶5，则△ABM 与△ABC 的面积比为35.★答案★：356.如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP ＝m OA ，OQ ＝n OB ，m ，n ∈R ，则1n ＋1m 的值为________．解析：设OA ＝a ，OB ＝b ，由题意知OG ＝23×12(OA ＋OB )＝13(a ＋b )，PQ ＝OQ －OP ＝nb －ma ，PG ＝OG －OP ＝⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13b ， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ ＝λPG ， 即nb －ma ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m a ＋13λb ， 从而⎩⎨⎧－m ＝λ⎝⎛⎭⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m ＝3.★答案★：37．已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP ＝m OA ＋n OB (m ，n ∈R)． (1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线； (2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1. 证明：(1)若m ＋n ＝1，则OP ＝m OA ＋(1－m )OB ＝OB ＋m (OA －OB )， 所以OP －OB ＝m (OA －OB )， 即BP ＝m BA ，所以BP 与BA 共线．又因为BP 与BA 有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线， (2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP ＝λBA ， 所以OP －OB ＝λ(OA －OB )．又OP ＝m OA ＋n OB . 故有m OA ＋(n －1)OB ＝λOA －λOB ， 即(m －λ)OA ＋(n ＋λ－1)OB ＝0.因为O ，A ，B 不共线，所以OA ，OB 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －λ＝0，n ＋λ－1＝0，所以m ＋n ＝1.8.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB ＝a ，AC ＝b ，试用a ，b 表示AG .解：AG ＝AB ＋BG ＝AB ＋λBE＝AB ＋λ2(BA ＋BC )＝⎝⎛⎭⎫1－λ2AB ＋λ2(AC －AB ) ＝(1－λ)AB ＋λ2AC ＝(1－λ)a ＋λ2b .又AG ＝AC ＋CG ＝AC ＋m CF ＝AC ＋m2(CA ＋CB )＝(1－m )AC ＋m 2AB ＝m2a ＋(1－m )b ， 所以⎩⎨⎧1－λ＝m 2，1－m ＝λ2，解得λ＝m ＝23，所以AG ＝13a ＋13b .。
实数与向量相乘的运算律
实数与向量相乘的运算律好吧，今天咱们聊聊实数和向量相乘这件事儿。
听起来可能有点儿严肃，实际上呢，挺有意思的，就像是咱们在厨房里调味一样，很多看似简单的东西，背后其实都有深意。
想象一下，向量就像是一支队伍，每个成员都有自己的方向和力量。
想象一下，五个人在一起，向前冲。
现在来了个实数，相当于一个教练，给他们加油。
教练说：“你们每个人都加把劲儿，快点儿！”这时候，队伍的每个人都听到这个指令，立马就提升了自己的速度。
哎呀，结果可想而知，向量的“长度”就变得更长了，方向也没变，大家依旧朝着同一个目标前进。
再举个例子，想想购物时的情景。
你拿着一张购物清单，上面写着一堆东西。
这个购物清单就像一个向量，代表你需要买的东西。
可是一看价格，唉呀，有些东西实在是贵得离谱。
这时候，老板给你一个优惠券，买一送一，或者直接打折。
这样一来，你就可以用更少的钱买到更多的东西。
这就和实数乘向量是一个道理。
实数就像是你的折扣，乘以向量，结果就是你在购物车里的商品数量增加了，但整体方向和需求没有改变。
咱们再谈谈一些有趣的性质。
比如，咱们说实数乘向量是满足交换律的。
也就是说，教练如果先给队伍中的某一个人加油，接着再对其他人加油，和先对大家一起加油再对某一个人加油，结果是一样的。
你想想，这就像是几个人一起吃火锅，谁先点菜不重要，最后大家还是能一起享受这顿美餐，大家高高兴兴地吃完就行。
再说说结合律。
想象一下，周末大家一起去爬山，分成几个小组。
每个小组都有一个目标。
结果在某个地方，大家都集合到了一起。
无论是先把目标给了某个小组，还是后面的组合，最终大家都会到达山顶。
这就像实数和向量之间的结合律，谁在前面带路无所谓，最后大家都能一起到达目的地，真是太酷了。
其实啊，生活中到处都有这种运算的影子。
比如，团队合作，大家分工明确，每个人各自发挥自己的特长，这种状态就是向量，大家一起努力，实现目标就像是实数的乘法。
很多时候，我们的目标并不是孤立的，实际上是在相互影响、相互成就。
向量公式汇总
向量公式汇总平面向量1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a?b。
若a、b不共线，则a?b=|a|?|b|?cos〈a，b〉；若a、b共线，则a?b=+-∣a∣∣b∣。
《向量的数乘》 讲义
《向量的数乘》讲义一、向量的数乘的定义向量是既有大小又有方向的量。
在数学中，我们常常会遇到对向量进行数乘的运算。
所谓向量的数乘，就是一个实数与一个向量相乘的运算。
设向量＄＼vec{a}＄，实数＄＼lambda$，则＄＼lambda ＼vec{a}＄就是向量＄＼vec{a}＄的数乘。
例如，有向量＄＼vec{A} ＝（2, 3)＄，若实数＄＼lambda ＝ 2$ ，则数乘后的向量为＄2\vec{A} ＝（4, 6)＄。
二、向量数乘的几何意义从几何角度来看，向量的数乘具有以下重要意义：当＄＼lambda ＞ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a}＄与＄＼vec{a}＄的方向相同，且＄＼vert ＼lambda ＼vec{a} ＼vert ＝＼lambda ＼vert ＼vec{a} ＼vert$ 。
比如，向量＄＼vec{a} ＝（1, 0)＄，实数＄＼lambda ＝ 3$ ，那么＄3\vec{a} ＝（3, 0)＄，其长度是向量＄＼vec{a}＄的 3 倍。
当＄＼lambda ＝ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a} ＝＼vec{0}＄，即零向量。
当＄＼lambda ＜ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a}＄与＄＼vec{a}＄的方向相反，且＄＼vert ＼lambda ＼vec{a} ＼vert ＝＼lambda ＼vert ＼vec{a} ＼vert$ 。
例如，向量＄＼vec{b} ＝（－1, 2)＄，实数＄＼lambda ＝－2$ ，则＄－2\vec{b} ＝（2, －4)＄。
通过向量的数乘，可以实现对向量的缩放和方向的改变。
三、向量数乘的运算律向量数乘满足以下运算律：1、结合律：＄（＼lambda ＼mu) ＼vec{a} ＝＼lambda （＼mu ＼vec{a}）＄。
例如，若有向量＄＼vec{c} ＝（2, 1)＄，实数＄＼lambda ＝ 2$ ，＄＼mu ＝ 3$ ，则＄（2×3) ＼vec{c} ＝ 2 （3\vec{c}）＝ 6\vec{c} ＝（12, 6)＄。
向量公式大全
向量公式大全『ps.加粗字母表示向量』1.向量加法AB+BC=ACa+b=x+x',y+y'a+0=0+a=a运算律：交换律：a+b=b+a结合律：a+b+c=a+b+c2.向量减法AB-AC=CB 即“共同起点,指向被减”如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0a=x,y b=x',y' 则a-b=x-x',y-y'.3.数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣当λ＞0时,λa与a同方向当λ＜0时,λa与a反方向当λ=0时,λa=0,方向任意当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0『ps.按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0』实数λ向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向λ＞0或反方向λ＜0上伸长为原来的∣λ∣倍当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向λ＞0或反方向λ＜0上缩短为原来的∣λ∣倍数乘运算律:结合律：λa•b=λa•b=a•λb向量对于数的分配律第一分配律：λ+μa=λa+μa.数对于向量的分配律第二分配律：λa+b=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ4.向量的数量积定义：已知两个非零向量a,b作OA=a,OB=b,则∠AOB称作a和b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π两个向量的数量积内积、点积是一个数量,记作a•b 若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•c os〈a,b〉若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'向量数量积运算律a•b=b•a交换律λa•b=λa•b关于数乘法的结合律a+b•c=a•c+b•c分配律向量的数量积的性质a•a=|a|2a⊥b〈=〉a•b=0|a•b|≤|a|•|b|向量的数量积与实数运算的主要不同点『重要』1、a•b•c≠a•b•c例如：a•b2≠a2•b22、由a•b=a•c a≠0,推不出b=c3、|a•b|≠|a|•|b|4、由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b5、向量向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量,记作a ×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin 〈a,b〉.a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.性质∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积a×a=0a『ps.向量没有除法“向量AB/向量CD”是没有意义的』6.向量的三角形不等式∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b反向时,左边取等号②当且仅当a、b同向时,右边取等号∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣①当且仅当a、b同向时,左边取等号②当且仅当a、b反向时,右边取等号—————————————————————三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心向量共线的重要条件若b≠0,则a比分点定比分点公式P1P=λ• PP2设P1、P2是直线上的两点,P是直线上不同于P1、P2的任意一点则存在一个实数λ,使P1P=λ•PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比若P1x1,y1,P2x2,y2,P x,y,则有OP=O P1+λO P21+λ定比分点向量公式x=x1+λx2/1+λy=y1+λy2/1+λ定比分点坐标公式。
人教版高中数学必修2《向量的数乘运算》PPT课件
)
2.4(a-b)-3(a+b)-b等于(
)
A.a-2b B.a
C.a-6b D.a-8b
答案 D
解析 原式=4a-4b-3a-3b-b=a-8b.
1
3.在△ABC 中,D 是 AB 边上一点.若 = , = +λ,则
2
λ=
.
1
答案
2
解析 ∵ = ,∴D 是 AB 的中点.
|| ||
,则是以 A 为起点,向量
与
所在线段为邻边的菱形对角线对应
|| ||
的向量,即在∠BAC 的平分线上.
∵=λ,∴, 共线.
∴点 P 的轨迹一定通过△ABC 的内心.
方法点睛 (1)三角形的内心:三角形内切圆的圆心,三角形三条角平分线的
交点,内心到三角形三边的距离相等.
=x+y 且 x+y=1.
2.利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ,
使得b=λa(a≠0).而已知向量共线求λ,常根据向量共线的条件转化为相应向
量系数相等求解,利用待定系数法建立方程,从而解方程求得λ的值.若两向
量不共线,必有向量的系数为零.
(2)三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三条边的中垂线的交点,外
心到三角形三个顶点的距离相等.若M是△ABC内一点,且满足
||=| |=| |,则点 M 为△ABC 的外心.
(3)三角形的垂心:三角形三条高线的交点.
(4)三角形的重心:三角形三条中线的交点.若 G 是△ABC 内一点,且满足 +
C.b-a D.a-b
(2)已知2a-b=m,a+3b=n,那么a,b用m,n可以表示为
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讲授新课 思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
a a a a a a a
(1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a 的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a . (2)向量3a 的方向与 a的方向相反, 向量 3a的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
O
A
B
C
N
M
Q
P
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和 方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有唯 一一个实数λ ，使得 b=λ a 思考:1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 3
三点共线。 提示：设AB = a BC = b
D
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+:
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)
2.2.3 向量数乘运算及其 几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则:
B
a
b
ab
C 特点:共起点
b
a
B
O
a
A
a
3.向量减法三角形法则:
b
B
A b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
O
思考:(1) 3 (2a) 6a ? (3 2)a 6a ? ? 2a 3a ? (2) (2 3)a 5a 5a (3) 2(a+b)=? 2a+2b=?
数乘向量的运算律:
(2 3)a 2a 3a 2(a+b) = 2a+2b
3 (2a) (3 2)a
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD
AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向 量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。 a 3(2a )
设 , 为实数,那么 (1)(a) ( )a (2)( )a a a (3)(a b) a b
以上通过 作图可验证
b) a 5b 例1.计算: (1)(3) 4a 12a(2)3(a b) 2(a (3)(2a 3b c) (3a 2b c) a 5b 2c
a
BA a b
实际背景
一物体作匀速直线运动 ，一秒钟的位移对应 向量a, 那么在同方向上 3秒的位移对应的向量 用3a表示，试画出该向量。
a
3a
在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度 的关系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、 质量都是数量
记: a a a 3a OC OA AB BC a a a 即: OC 3a. 同理可得: PN (a) (a) (a) 3a 思考题2: 向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 3a 与向量 a 有什么关系?
3(2a ) = 6 a
b
a
a b
2a 2b
2b
返回
2(a b ) 2a 2b
2a