数乘向量的运算律

记: a a a 3a OC OA AB BC a a a 即: OC 3a. 同理可得: PN (a) (a) (a) 3a 思考题2: 向量 3a 与向量 a 有什么关系? 向量 3a 与向量 a 有什么关系?
②向量共线定理
b=λa
向量a与b共线
二、定理的应用： 1. 证明 向量共线 2. 证明 三点共线: AB=λBC 3. 证明 两直线平行:
A,B,C三点共线
AB=λCD
AB∥CD
AB与CD不在同一直线上
直线AB∥直线CD
(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向 量)，并进行比较。 (2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b， 并进行比较。 a 3(2a )
设 , 为实数,那么 (1)(a) ( )a (2)( )a 源自文库a a (3)(a b) a b
以上通过 作图可验证
b) a 5b 例1.计算: (1)(3) 4a 12a(2)3(a b) 2(a (3)(2a 3b c) (3a 2b c) a 5b 2c
a
BA a b
实际背景
一物体作匀速直线运动 ，一秒钟的位移对应 向量a, 那么在同方向上 3秒的位移对应的向量 用3a表示，试画出该向量。
a
3a
在物理中位移与速度的关系：s=vt，力与加速度 的关系：f=ma. 其中位移、速度，力、加速度都是向量，而时间、 质量都是数量
思考:(1) 3 (2a) 6a ? (3 2)a 6a ? ? 2a 3a ? (2) (2 3)a 5a 5a (3) 2(a+b)=? 2a+2b=?
数乘向量的运算律:
(2 3)a 2a 3a 2(a+b) = 2a+2b
3 (2a) (3 2)a
3(2a ) = 6 a
b
a
a b
2a 2b
2b
返回
2(a b ) 2a 2b
2a
O
A
B
C
N
M
Q
P
定义:
一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，这 种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和 方向规定如下： (1) |λa|=|λ| |a| (2) 当λ>0时,λa的方向与a方向相同；
当λ<0时,λa的方向与a方向相反；
特别地，当λ=0或a=0时, λa=0
向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有唯 一一个实数λ ，使得 b=λ a 思考:1) a为什么要是非零向量? 2) b 可以是零向量吗?
2.2.3 向量数乘运算及其 几何意义
1.向量加法三角形法则:
特点:首尾相接，首尾连 C ab b
A
2.向量加法平行四边形法则:
B
a
b
ab
C 特点:共起点
b
a
B
O
a
A
a
3.向量减法三角形法则:
b
B
A b 特点：共起点，连终点，方向指向被减数
O
讲授新课 思考题1:已知向量 a, 如何作出 a a a 和(a) (a) (a)?
a a a a a a a
(1)向量 3a 的方向与 a 的方向相同, 向量 3a 的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a . (2)向量3a 的方向与 a的方向相反, 向量 3a的长度是 a 的3倍,即 3a 3 a .
1 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 3
三点共线。 提示：设AB = a BC = b
D
如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点
1 1 则MN= … = a + b 3 6 1 MC= … = a+ b 2
A
C
N M B
小结:
一、①λ
a 的定义及运算律 (a≠0)