离散数学 作业 3~4 答案

『离散数学』课程

作业3：

P64：3

某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人中有4人会打排球。求不会打球的人数。

解：直接使用容斥原理。我们做如下设定：

A：会打篮球的学生；B：会打排球的学生；C：会打网球的学生；

根据题意：|E|=25，|A|=14，|B|=12，|C|=6，|A∩B|=6，|A∩C|=5，|B∩C|=4，|A∩B∩C|=2

由容斥原理:

|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|＋|A∩B∩C|=14+12+6-6-5-4+2=19

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但相当一部分同学没有直接使用容斥原理，

而是画了文氏图。

使用文氏图的方法，会发现此题存在问题：

表示只会打网球的同学是-1人，

此种情况与实际不符。

这可能是作者的疏忽，该教材第一版中，

“已知6个会打网球的人中有4人会打排球。”

一句是写作

“已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。”

则用容斥原理或文氏图，都可以得到5的结果。

A：会打篮球的学生；B：会打排球的学生；C：会打网球的学生；

根据题意：|E|=25，|A|=14，|B|=12，|C|=6，|A∩B|=6，|A∩C|=5，|A∩B∩C|=2

因为“会打网球的人都会打篮球或排球。”

所以C =（A∩C）∪（B∩C）

由容斥原理:

|C|=|（A∩C）∪（B∩C）|

= |（A∩C）|+|（B∩C）|-|（A∩C）∩（B∩C）|

可知|（B∩C）|= |C|-|（A∩C）|+|（A∩C）∩（B∩C）|

= 6-5+2=3

|A∪B∪C|＝|A|＋|B|＋|C|－|A∩B|－|A∩C|－|B∩C|＋|A∩B∩C|

=14+12+6-6-5-3+2=20

作业4：

P70：2

当A=φ时，若A×B⊆A×C，B⊆C不一定成立；

当A≠φ时，若A×B⊆A×C，则B⊆C一定成立，反证如下：

若B⊆C不成立，则存在y∈B∧y∉C；又因为φ≠A，所以存在x∈A；可知序偶∈A×B ∧ ∉A×C ，与A×B⊆A×C矛盾。

P76：5

自反闭包r(R)= R∪{}

对称闭包s(R)= R∪{,}

传递闭包t(R)= R∪{}

P80：2

A中各元素关于R的等价类：

[a]=[b]={a,b}

[c]=[d]={c,d}

相应的划分{{a,b}，{c,d}}

当堂测试：

1、判断下程序段基本语句执行次数的O(f(n))。

int n=10,x=n,y=0;

while(x>=(y+1)*(y+1))

y++;

解：

第(k+1)

取临界值，我们认为x=n≈(y+1)*(y+1)=(k+1)2

k≈n1/2-1 时间复杂度T(n)= O(n1/2)

2、利用容斥原理作答：某班有50 位同学参加期末考试，结果英语不及格的有15 人，数学不及格的有19 人，英语和数学都及格的有21 人，求英语和数学都不及格的有多少人？解：A：英语及格的学生B：数学及格的学生

|E|=50 |A|=50-15=35 |B|=50-19=31 |A∩B|=21

根据容斥原理：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|=35+31-21=45

|E|-|A∪B|=50-45=5

3、R和S都是A={1, 2, 3, 4}上的二元关系，R={<1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <4, 3>, <4,

4>}，S={<1, 2>, <1, 3>, <2, 3>, <2, 4>, <3, 1>, <4, 3>}，试用矩阵相乘的方法求R S。

解：本题是拷给大家的PPT课件原题。

4、设Ａ={a,b,c}，R={,,}，求r(R)，s(R)，t(R)。

5、判断给出的关系是否是{1,2,3,4,5}上的等价关系。如果是，列出等价类。（1）{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<1,3>,<3,1>,<3,4>,<4,3>}

不是等价关系，不满足传递性有<1,3>,<3,4>却无<1,4>

（2）{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<1,5>,<5,1>,<3,5>,<5,3>,<1,3>,<3,1>} 是等价关系，等价类为：

[1]=[3]=[5]={1,3,5}

[2]={2} [4]={4}

对应的划分{{1,3,5}，{2}，{4}}